Diapositive 1

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Chap. III : Les postulats de la mécanique quantique
III.1. Probabilité de présence
A toute particule de masse m et de vitesse v on associe une fonction
d’onde telle que la quantité :
représente la probabilité de présence à l’instant t de la particule dans
l’élément de volume d = dx×dy×dz.
dP =ψ
*
( x , y ,z ,t )ψ( x ,y ,z ,t ) d τ
ψ( x , y , z ,t )
X
Y
Z
M(x,y,z)
d τ= dx × dy × dz =ρ
2
sin θ d ρ d θ d φ
 dP

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Chap. III : Les postulats de la mécanique quantique
La probabilité de présence P(t) d’un électron dans un volume V :
Les fonctions d’onde ψ doivent :
- Être continues, dérivables
La probabilité de trouver l’électron dans tout l’espace est égale à 100 % ...
P(t)=∫
V
ψ* (
⃗
r ,t ) ψ (
⃗
r ,t ) dτ
- Être de carré sommable finie
∫
ψ
*
(
⃗
r ,t ) ψ (
⃗
r ,t ) d τ
P = 1 =
∫
espace
ψ
*
(
⃗
r ,t ) ψ (
⃗
r ,t ) d τ
C’est la condition de normalisation :
⟨ψ (
⃗
r ,t )
|
ψ (
⃗
r ,t ) ⟩=1

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Chap. III : Les postulats de la mécanique quantique
III.2. Postulat sur la mesure
Etant donné une particule ponctuelle dans un état défini par ψ sa fonction
d’onde. A toute grandeur physique mesurable (A) on associe un opérateur
linéaire et hermitique  tel que la valeur moyenne de la mesure ā soit :
Si ψ est normalisée, le dénominateur est égal à 1…
Rem : fonction d’onde  onde  longueur d’onde de de Broglie
λ=
h
mv
¯
a=⟨a⟩=
∫
espace
ψ*^ A
(
ψ
)
dτ
∫
espace
ψ*
(
ψ
)
dτ=⟨ψ
|
^
A
|
ψ⟩
⟨ψ
|
ψ⟩

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Chap. III : Les postulats de la mécanique quantique
Deux cas sont possibles :
La valeur de la mesure est la v.p. associée (a).
C’est la valeur exacte de la mesure
2) ψ n’est pas f.p. de l’opérateur  :
On ne peut connaître la valeur exacte de la mesure, mais une valeur
moyenne sur plusieurs particules (statistique) : notion d’incertitude
1) ψ est f.p. de l’opérateur  :
ψ*^ A(ψ)=ψ*×a×ψ=a×ψ*ψ
¯
a=⟨a⟩= a⟨ψ
|
ψ⟩
⟨ψ
|
ψ⟩ =a

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Chap. III : Les postulats de la mécanique quantique
III.3. Inégalité d’Heisenberg
Soit deux grandeurs physiques A et B mesurables
définies par les deux opérateurs
^
Aet
^
B
L’incertitude sur la mesure simultanée de A et B, δa et δb, est donnée
par la relation :
Rem : si les deux opérateurs commutent (Ĉ = 0), ψ est f.p. des deux
opérateurs (voir Chap. II). On peut alors connaître simultanément les
valeurs exactes de A et B.
δa×δ b≥1
2
|
⟨ψ
|
^
C
|
ψ⟩
⟨ ψ
|
ψ⟩
|
^
C=1
i
[
^
A, ^ B
]
=1
i
(
^
A^ B−^ B^ A
)