CHAPITRE IV DIFFRACTION D`UNE ONDE PLANE LUMINEUSE

Prof. H. NAJIB
Optique Physique
Version 3 : juillet 2012
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CHAPITRE IV
DIFFRACTION D’UNE ONDE PLANE LUMINEUSE
V.1- Définition
La diffraction de la lumière est le changement de sa direction par le bord d’un obstacle
ou après la traversée d’une ouverture de faible dimension. Elle se traduit par l’apparition de
franges dans les régions des ombres géométriques.
IV.2- Principe de Huygens-Fresnel
Considérons une pupille plane (D) (trous, fente,…) qui reçoit sous une incidence
quelconque une onde plane monochromatique de longueur d’onde λ (Fig.IV.1).

u
Fig.IV.1

θ: angle de diffraction dans la direction du vecteur unitaire u .
L’interprétation de ce phénomène s’appuie sur le principe de Huygens et de Fresnel qui
énonce la méthode permettant de déterminer l’amplitude, donc l’intensité, de l’onde
diffractée. L’énoncé est le suivant :
- chaque point M de la pupille (D) atteint par la lumière se comporte comme une source
secondaire qui émet de la lumière (ondelettes) dans toutes les directions;
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- l’amplitude complexe de l’ondelette issue de l’élément de surface dS de (D), entourant
le point M, est proportionnelle à celle de l’onde incidente A(M) et à dS:
dA(M) = μA(M)ejwt . dS
μ étant le facteur de proportionnalité et A(M) = a0 e-jφ

- les différentes vibrations émises, dans la direction u , se superposent et donnent le
phénomène de diffraction. On est donc ramené à un phénomène d’interférence d’une
infinité de vibrations.
IV.3- Classification des phénomènes de diffraction
On distingue deux méthodes expérimentales d’obtention des phénomènes de
diffraction :
1- Diffraction de Fresnel
La source de lumière et l’écran d’observation sont placés à distance finie par rapport à (D)
(Fig.IV.2). Les ondes incidentes et diffractées sont donc sphériques.
Fig.IV.2
2- Diffraction de Fraunhofer
Dans ce cas, la source et l’écran d’observation sont à placés à l’infini par rapport à (D)
(Fig.IV.3). Les ondes incidentes et diffractées sont donc planes.
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FIG.IV.3
On ne considérera dans ce cours que la seconde méthode, facile à interpréter par le principe
de Huygens-Fresnel, l’onde plane incidente est normale à (D).
IV.4- Calcul de l’amplitude diffractée - Intensité
Considérons un élément de surface dS entourant un point M de (D) et soit P un point
de l’écran d’observation placé au plan focal image de la lentille L2.
La vibration émise par dS a pour fonction d’onde :
ds(M, t) = μA(M)ejwt . dS

La vibration élémentaire diffractée en P dans la direction de u s’écrit :
ds(P, t) = ds(M, t).e-jΦ
avec Φ: déphasage introduit lors du trajet MP; on prend l’origine des phases en O.
2π MP
2π  
MP.u
=
Φ
λ
λ


 
2π  
OP.u
On pose : u = u (α, β, γ); OM = OM (x, y, 0); φ’ =
λ
La vibration diffractée en P, résultant de la superposition de toutes les ondes émises suivant la

direction u est :
s(P, t) = μej(wt – φ’)   A(x, y)e2πj(α x + β y) / λ dxdy
ou
s(P, t) = A(p) ejwt
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
A(p) est l’amplitude diffractée dans la direction u ; elle s’écrit à un facteur multiplicatif près:
A(p) =   A(x, y)e2πj(α x + β y) / λ dxdy
Mathématiquement, cette amplitude n’est autre que la Transformée de Fourier (TF) de la
fonction de répartition pupillaire A(x, y) au point M de l’ouverture (D).
Dans le cas d’une pupille transparente, A(x, y) est constante par rapport à x et y.
Ainsi, pour déterminer la figure de diffraction, il suffit de calculer la T F de l’amplitude A(x,y).
A(p) = TF[A(x, y)]
C’est pourquoi A(p) est appelée: spectre de la fonction A(x, y)

L’intensité de l’onde diffractée dans la direction u se calcule d’après la relation:
I = | A(p)|2
IV.5- Diffraction par une ouverture rectangulaire
1- Amplitude et intensité
Considérons une ouverture (D) rectangulaire de largeur a et de longueur b (Fig.IV.4).
FIG.IV.4
Nous prenons le cas simple A(x, y) = Cte = a0. L’amplitude complexe de la vibration
résultante diffractée par tous les points de l’ouverture est :
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A(p) = a0 
a/2
a/2
e2πjα x / λ dy
b/2
b/2
e2πjβ y / λ dx
L’intensité résultante a pour expression:
I = a2b2 I0 sinc2(π a
α
β
) sinc2(π b )
λ
λ
sinc(u) = sin(u)/u: sinus cardinal
L’intensité résultante est donc proportionnelle à l’aire de l’ouverture et à l’intensité de l’onde
incidente.
En fonction des composantes (X, Y) du point P de l’écran, l’intensité a pour expression:
I = a2b2 I0 sinc2(π a
X
Y
) sinc2(π b
)
fλ
fλ
f étant la distance focale de la lentille convergente L2.
2- Figure de diffraction
La figure IV.5 donne l’allure de l’intensité en fonction de α. L’allure est tout à fait identique
en fonction de β.
Fig.IV.5
Chaque sinus cardinal comporte un maximum principal et des maximums secondaires
d’intensité très faible.
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La figure IV.6 représente une photo de la figure de diffraction. Elle est formée d’une tâche
centrale brillante et large encadrée de tâches secondaires faibles.
Fig.IV.6
IV.6- Diffraction par une fente
1- Figure de diffraction
Une fente est une ouverture rectangulaire dont la longueur b devient très grande
devant la largeur a.
L’amplitude complexe de la vibration résultante diffractée par la fente est :
A(p) = a0 
a/2
a/2
or


e2πjα x / λ dy


e2πjβ y / λ dx
e2πjβ y / λ dx = δ(0) (fonction de Dirac); d‘où : A(p) = a 0 a sinc( πaα )
L’intensité résultante en P s’écrit:
λ
I = I 0 a 2 sinc 2 ( πaα )
λ
La Fig.IV.5 représente la variation de cette intensité en fonction de α.
La Fig.IV.7 est une photo de la figure de diffraction obtenue avec une fente fine.
Fig.IV.7
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Les franges de diffraction sont donc alignées le long de l’axe des X, avec une tâche centrale
λ
de largeur 2 .
a
2- Interfrange angulaire
On appelle interfrange angulaire i ou largeur angulaire la distance entre deux minima
consécutifs situés d’un même côté de la frange centrale: i  f
λ
a
IV.7- Diffraction par les fentes d’Young
1- Intensité résultante
Étudions maintenant la diffraction par deux fentes identiques de largeur a et dont les
centres F1 et F2 sont distants de  (Fig.IV.8). L2 placée très proches des fentes.
Fig.IV.8
Dans l’étude des trous d’Young, nous avons vu qu’il y a un phénomène d’interférence en P
avec une intensité: I 0  4I1cos 2
or: φ  2π
φ
2
(' F P - F2 P)
FH
δ
θ
X
 2π 1
 2π 2  2π  2π
λ
λ
λ
λ
λf
soit: I 0  4I1cos 2 ( π  X )
λf
En réalité, chaque fente diffracte en P une vibration dont l’amplitude est : A(p)  a 0 a sinc( πaα )
λ
et l’intensité est: I  I 0 a 2 sinc 2 ( πaα )
λ
On en déduit la loi de répartition de l’intensité obtenue avec deux fentes fines de largeur a :
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I  4I1a 2 cos 2 (
πX
πaX
) sinc 2 (
)
λf
λf
2-Allure de I(X)
La Fig.IV.9 donne l’allure de la courbe représentative de l’intensité I.
Fig.IV.9
Les franges d’interférences des deux fentes sont modulées par le phénomène de diffraction dû
à une fente unique. La figure IV.10 représente une figure de diffraction obtenue par les deux
fentes d’Young.
Fig.IV.10
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