Entropie: 6 exercices

1) On chauffe, à pression constante, un corps de capacité thermique K p constante, de la température initiale T 1
à la température finale T 2 en le mettant en contact successivement avec n thermostats aux températures
respectives T1 θ, T1 2 θ, ...,T 1 n θ = T2 .
A chaque contact thermique on attend que l'équilibre thermique entre le corps et le thermostat utilisé soit
réalisé.
a . Calculer la variation de l'entropie du corps, ∆ S.
b . Calculer la variation de l'entropie de l'ensemble des thermostats, ∆ S '.
c . Vérifier que ∆ S' ' = ∆ S∆ S ' est bien positive.
d . Quelles sont les limites de ∆ S , ∆ S ' et ∆ S '' quand n augmente indéfiniment , T1 et T 2 restant fixes?
Conclusion.
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2) Un récipient adiabatique et indéformable est séparé en deux compartiments, de même volume V = 10 litres,
que l'on peut faire communiquer en ouvrant un robinet.
Ce robinet étant fermé, on introduit le même gaz parfait dans chaque compartiment, à la pression P 1 = 1 bar
pour l 'un et P 2 = 3 bars pour l'autre, la température étant égale à 27°C dans les deux compartiments.
On ouvre le robinet:
a . Déterminer la température et la pression finales du gaz.
b . Calculer la variation de l'entropie du gaz.
c . Répondre aux mêmes questions en supposant les deux compartiments remplis initialement de deux gaz
parfaits différents.
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3) L'enthalpie libre d'une masse constante m de fluide est donnée par:
GT , P = G 0 T , P0 f T ln
P
P0
a . En déduire le volume et l'entropie du fluide.
b . Montrer que le fluide suit la loi de Mariotte.
c . A quelle condition suit-il les lois de Joule?
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4) Une mole de gaz parfait est à la température T 0 = 300 K et à la pression P0 = 1 bar.
On lui fait subir une compression réversible isotherme jusqu'à 100 bars puis une détente adiabatique
réversible jusqu'à 1 bar.
a . Calculer la température finale du gaz et ses variations d'énergie interne, d'enthalpie et d'entropie.
On prendra γ = 1,4 .
b . On recommence n fois l'opération précédente.
Répondre aux mêmes questions et conclure.
1
5) Un récipient aux parois indéformables et adiabatiques est divisé en deux compartiments de même volume par
une paroi fixe et diatherme.
5
Chaque compartiment contient un gaz monoatomique γ = .
1
2
3
1
mole
3 moles
A partir des conditions initiales indiquées sur le schéma, on
P0, 3 T0
P0, T0
laisse évoluer le système jusqu'à l'équilibre thermique.
−1
−1
P0 = 4 bars ; T 0 = 300 K ; R = 8,31 J K mol .
 
a . Déterminer, dans l'état final, la température et les pressions P 1 et P2 dans les compartiments 1 et 2.
b . Calculer les variations d'énergie interne ∆ U1 et ∆ U2 ainsi que les variations d 'enthalpie ∆ H1 et ∆ H2
des gaz contenus dans chaque compartiment.
c . Calculer les variations d'entropie ∆ S1 et ∆ S2 et la variation d ' entropie du système.
d . Calculer la variation d'entropie du système lorsque, à partir des mêmes conditions initiales, on enlève la
paroi de séparation dans les deux cas suivants:
α . Les gaz contenus dans les deux compartiments sont identiques.
β . Les gaz contenus dans les deux compartiments sont différents.
On admettra que les gaz sont parfaits et leur mélange idéal.
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6) Pour un système thermodynamique ouvert formé de N moles d'un corps pur, de volume V et d'énergie
interne U, on peut considérer son entropie S comme une fonction de U, V et N, ou réciproquement
considérer U = US , V, N.
a . Ecrire la différentielle de l'entropie S(U,V,N).
Rappeler le caractère intensif ou extensif des grandeurs intervenant dans cette expression.
b . Si le corps pur est un gaz parfait soumis uniquement à des forces pressantes, montrer que S est de la forme:
V
S = N R ln ϕU , N 
V0
où V 0 est le volume occupé par N moles du gaz d'énergie interne U0 et d 'entropie S 0 .
c . Le gaz parfait considéré est monoatomique.
α . Déterminer la dépendance en U de ϕU , N.
β . Déterminer complètement ϕU , N en explicitant le caractère intensif-extensif des grandeurs.
On utilisera l'entropie molaire s0 dans l ' état U 0 , V 0 , N.
d . De cette expression de l'entropie, déduire l'enthalpie libre molaire g (ou potentiel chimique) du gaz
considéré.
  
c T
Montrer qu'elle peut se mettre sous la forme g = R T ln k
c0 T0
−
3
2
.
k est une constante, T la température de l'état (U, V, N), c la concentration molaire dans cet état et c 0 celle
dans l 'état U0 , V 0 , N ,T0 .
Exprimer aussi g en fonction des variables T, P, c où P est la pression du gaz dans l'état (U, V, N).
2