Entropie: 6 exercices

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1) On chauffe, à pression constante, un corps de capacité thermique Kp constante, de la température initiale T1
à la température finale T2 en le mettant en contact successivement avec n thermostats aux températures
respectives T1θ, T12θ, ...,T1nθ=T2.
A chaque contact thermique on attend que l'équilibre thermique entre le corps et le thermostat utilisé soit
réalisé.
a. Calculer la variation de l'entropie du corps, ∆S.
b. Calculer la variation de l'entropie de l'ensemble des thermostats, ∆S ' .
c. Vérifier que ∆S' ' =∆S∆S ' est bien positive.
d. Quelles sont les limites de ∆S , ∆S ' et ∆S '' quand n augmente indéfiniment , T1et T2restant fixes?
Conclusion.
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2) Un récipient adiabatique et indéformable est séparé en deux compartiments, de même volume V = 10 litres,
que l'on peut faire communiquer en ouvrant un robinet.
Ce robinet étant fermé, on introduit le même gaz parfait dans chaque compartiment, à la pression P1=1 bar
pour l ' un et P2=3 bars pour l'autre, la température étant égale à 27°C dans les deux compartiments.
On ouvre le robinet:
a. Déterminer la température et la pression finales du gaz.
b. Calculer la variation de l'entropie du gaz.
c. Répondre aux mêmes questions en supposant les deux compartiments remplis initialement de deux gaz
parfaits différents.
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3) L'enthalpie libre d'une masse constante m de fluide est donnée par:
GT , P = G0T , P0fTln P
P0
a. En déduire le volume et l'entropie du fluide.
b. Montrer que le fluide suit la loi de Mariotte.
c. A quelle condition suit-il les lois de Joule?
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4) Une mole de gaz parfait est à la température T0=300 K et à la pression P0=1 bar.
On lui fait subir une compression réversible isotherme jusqu'à 100 bars puis une détente adiabatique
réversible jusqu'à 1 bar.
a. Calculer la température finale du gaz et ses variations d'énergie interne, d'enthalpie et d'entropie.
On prendra γ=1,4 .
b. On recommence n fois l'opération précédente.
Répondre aux mêmes questions et conclure.

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5) Un récipient aux parois indéformables et adiabatiques est divisé en deux compartiments de même volume par
une paroi fixe et diatherme.
Chaque compartiment contient un gaz monoatomique γ=5
3
.
A partir des conditions initiales indiquées sur le schéma, on
laisse évoluer le système jusqu'à l'équilibre thermique.
P0=4 bars ; T0=300 K ; R =8,31 J K−1mol−1.
a. Déterminer, dans l'état final, la température et les pressions P1et P2dans les compartiments 1 et 2.
b. Calculer les variations d'énergie interne ∆U1et ∆U2ainsi que les variations d 'enthalpie ∆H1et ∆H2
des gaz contenus dans chaque compartiment.
c. Calculer les variations d'entropie ∆S1et ∆S2et la variation d' entropie du système.
d. Calculer la variation d'entropie du système lorsque, à partir des mêmes conditions initiales, on enlève la
paroi de séparation dans les deux cas suivants:
α. Les gaz contenus dans les deux compartiments sont identiques.
β. Les gaz contenus dans les deux compartiments sont différents.
On admettra que les gaz sont parfaits et leur mélange idéal.
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6) Pour un système thermodynamique ouvert formé de N moles d'un corps pur, de volume V et d'énergie
interne U, on peut considérer son entropie S comme une fonction de U, V et N, ou réciproquement
considérer U =US , V, N.
a. Ecrire la différentielle de l'entropie S(U,V,N).
Rappeler le caractère intensif ou extensif des grandeurs intervenant dans cette expression.
b. Si le corps pur est un gaz parfait soumis uniquement à des forces pressantes, montrer que S est de la forme:
S=N R ln V
V0
ϕU , N 
où V0 est le volume occupé par N moles du gaz d'énergie interne U0et d 'entropie S0.
c. Le gaz parfait considéré est monoatomique.
α. Déterminer la dépendance en U de ϕU , N.
β. Déterminer complètement ϕU , N en explicitant le caractère intensif-extensif des grandeurs.
On utilisera l'entropie molaire s0dans l ' état U0, V0, N .
d. De cette expression de l'entropie, déduire l'enthalpie libre molaire g (ou potentiel chimique) du gaz
considéré.
Montrer qu'elle peut se mettre sous la forme g =R T ln kc
c0
T
T0
−3
2
.
k est une constante, T la température de l'état (U, V, N), c la concentration molaire dans cet état et c0celle
dans l 'état U0, V0, N ,T0.
Exprimer aussi g en fonction des variables T, P, c où P est la pression du gaz dans l'état (U, V, N).
1 2
1 mole 3 moles
P0, 3 T0 P0, T0