TD de Physique no 6 : Électromagnétisme (suite)

E.N.S. de Cachan Département E.E.A.
M2 FE 3eannée
Physique appliquée 2011-2012
TD de Physique no6 :
Électromagnétisme (suite)
Exercice no1 : Aspect énergétique de la charge d’un condensateur
Un condensateur (cf figure ci-contre) est chargé par un
générateur V0via une résistance R. Il est constitué de deux
disques conducteurs, de rayon a, de même axe Oz et séparés
d’une distance e. Initialement le condensateur est déchargé. On
néglige les effets de bords (a >> e) de sorte qu’en coordonnées
cylindriques, le champ électromagnétique dans le condensateur
est en première approximation de la forme :
~
E=E(t)~uz;~ B=B(r, t)~uθ
et le champ électrique est nul à l’extérieur du condensateur.
1. Définir la capacité Cdu condensateur et donner son
expression en fonction de ε0,eet a. Pour cela on déterminera
E(t)en utilisant le théorème de Gauss.
2. Déterminer u(t)la tension aux bornes du condensateur
et montrer que Uc, l’énergie stockée dans le condensateur dans l’état final, vaut (1/2)CV 2
0.
3. Déterminer B(r, t)dans le condensateur en appliquant le théorème d’Ampère généralisé.
4. En déduire la puissance électromagnétique Preçue par l’intérieur du condensateur, puis l’énergie
électromagnétique Uem emmagasinée par le condensateur au cours de sa charge. Comparer avec l’énergie Uc
déterminée à la question 2.
5. Retrouver Uem en utilisant la densité d’energie électromagnétique uem dans l’état initial et dans l’état
final.
Exercice no2 : Énergie électromagnétique stockée par un solénoïde
On considère un solénoïde d’axe Oz, de grande longueur h, comportant nspires par unité de longueur,
circulaires de rayon a, parcourues par un courant Iconstant. Le champ magnétique propre s’écrit :
~
Bext =~ 0 ; ~ Bint =µ0nI~uz.
1. Rappeler la définition de l’inductance propre Ldu solénoïde et donner son expression.
2. Montrer que l’énergie électromagnétique stockée dans le solénoïde s’identifie à (1/2)LI2.
Exercice no3 : Haut-parleur
I- Questions préliminaires
1. Approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS)
a- En quoi consiste cette approximation ?
b- Donner un critère de validité de l’ARQS.
c- Comment se simplifient les équations de Maxwell dans le cadre de l’ARQS ?
d- Quelles sont les conséquences de l’ARQS sur le champ magnétique ~ Bet sur le vecteur densité de courant
~
j?
2. Énoncer les lois de Faraday et de Lenz.
1

3. Induction de Lorentz. On considère une distribution de charges et de courants créant un champ élec-
tromagnétique { ~ Es;~ Bs} permanent dans le réferentiel Rs. Un élément de conducteur Ccentré en Mse déplace
avec un vecteur vitesse ~ve(M)dans le champ électromagnétique { ~ Es;~ Bs}.
a- En utilisant l’invariance de la force de Lorentz vis-à-vis du référentiel, donner dans un cadre non-relativiste
l’expression du champ électromagnétique { ~ E;~ B} exprimer dans le référentiel Rlié au conducteur.
b- En déduire l’expression du champ électromoteur ~ Em.
II- Modélisation d’un haut-parleur
On considère le haut-parleur représenté en coupe sur la figure ci-
contre, possédant la symétrie de révolution autour de l’axe Oz. Il com-
porte :
- un équipage mobile, de masse m, constitué d’une membrane circulaire
plane de surface S, solidaire d’un tube sur lequel est collé une bobine de
résistance Ret d’inductance négligeable, réalisée avec un fil de longueur
l,
- un socle fixe comportant un aimant qui crée un champ magnétique
centrifuge de module Bunifome dans son entrefer, où est logée la
bobine. Sur ce socle est fixé un saladier conique.
- des suspensions latérales entre le saladier et l’équipage mobile, qui
réduisent les mouvements de ce dernier à une translation suivant Oz.
Les applications numériques seront faites pour un haut-parleur dit "de réference", dont le constructeur
donne les caractéristiques suivantes (définies plus loin) : plage d’utilisation 0,8−8kHz, surface membrane
S= 73 cm2, résistance R= 6,5 Ω et sensibilité σ0= 90 dB.
On repère la position de la membrane sur l’axe Oz par sa cote ξ(t), prise nulle au repos et on pose
v(t) = ˙ ξ(t). On note u(t)la tension aux bornes du circuit électrique, i(t)le courant qui y circule. L’orientation
du circuit est précisé sur la figure. On se place en régime sinusoïdal, de pulsation ω.
1. Équation électrique. Déterminer l’équation électrique du haut-parleur en utilisant les amplitudes com-
plexes U,Vet Ides variables u(t),V(t)et i(t).
2. Équation mécanique. On considère en première approximation que les actions mécaniques sur l’équi-
page mobile se limitent à la force de Laplace. Déterminer l’équation mécanique du haut-parleur régissant le
mouvement de l’équipage mobile sur l’axe Oz, en utilisant les variables Vet I.
3. Établir les expressions :
H=V
U=H0
1
1 + jω/ωc
Y=I
U=Y0
jω/ωc
1 + jω/ωc
et donner les valeurs littérales de H0,Y0et ωc.
4. On montre1que, dans les conditions de champ lointain (i.e. z >> a avec a le rayon de la membrane),
l’intensité sonore rayonnée par le haut parleur en un point de l’axe de cote zs’écrit :
I= 10 log ρ0ξ2
0S2ω4
8π2z2cΠ0
avec ρ0la masse volumique de l’air, ξ0l’amplitude des déplacements de la membrane, Sla surface de la
membrane, cla vitesse du son dans l’air et Π0une densité de flux de puissance sonore de référence fixée
conventionnellement à 10−12 W.m−2. Exprimer l’intensité sonore en un point de l’axe de cote zen fonction de
ρ0,c,S,z,Π0,ω,|H|et |U|. Pourquoi est-il souhaitable de travailler à des pulsations très supérieures à ωc?
Dans toute la suite, sauf exception signalée, on suppose ω >> ωc.
5. Donner les expressions simplifiées de Het Y, que l’on notera respectivement H0et Y0.
III- Directivité
1. Dans les conditions de champ lointain (i.e. z >> a avec a le rayon de la membrane), on considère
un point M0tel que l’angle entre −−−→ OM0et Oz soit égal à θ. S’il existe, quel est (approximativement) le plus
petit d’angle θpour lequel on observe un minimum de diffraction ? En déduire une condition pour que le
1La démonstration sera faite lors du Cours-TD n˚12.
2

rayonnement d’un haut-parleur ne s’annule dans aucune direction. Pour quelles fréquences cette condition
est-elle vérifiée pour le haut-parleur de référence ?
2. En fait, pour f'0,8kHz, le rayonnement du haut-parleur de référence est isotrope dans le demi-
espace z > 0. Pourquoi les haut-parleurs d’aigus sont-ils si petits ?
IV- Sensibilité
1. Exprimer Pe, la puissance électrique moyenne reçue par le haut-parleur, en fonction de Ret |U|.
2. La sensibilité σd’un haut-parleur est définie comme l’intensité sonore à 1 mètre sur l’axe, pour une
puissance électrique fournie Pe= 1 W. On note σ0la valeur de σdans le cadre de cette modélisation. Exprimer
σ0en fonction de ρ0,c,S,m,Π0et ωc, toutes les grandeurs étant exprimées en unités du S.I.
3. Application numérique : on a mesuré m= 2,5g, calculer fc=ωc/2πet commenter. On prendra
ρ0= 1,25 kg.m−3.
V- Rendement
1. En supposant l’onde plane et uniforme au voisinage immédiat de la membrane, calculer la puissance
P+rayonnée dans le demi-espace z > 0par le haut-parleur, en fonction de ρ0,c,Set |V|.
2. En déduire le rendemennt η=P+/Peen fonction de ρ0,c,S,m,ωet ωc
3. Application numérique : calculer ηpour f= 4,4kHz. Commenter.
Exercice no4 : Effet Doppler
I- Questions préliminaires
Considérons un référentiel R0en mouvement de translation uniforme à la vitesse ~ V(non relativiste) par
rapport un référentiel d’étude R.
1. Soit un point Mrépéré par son vecteur position ~r (resp. ~ r0) dans R(resp. R0). Établir une relation
entre ~r et ~ r0.
2. Soit une onde plane progressive harmonique (acoustique ou électromagnétique par exemple) décrite
dans Rpar la fonction d’onde P(M, t) = P0exp i(ωt −~ k.~r)et dans R0par la fonction d’onde P0(M, t) =
P0
0exp i(ω0t−~
k0.~ r0). Établir la relation entre ~ k0et ~ kd’une part et ω0et ωd’autre part.
3. Réécrire la relation liant ω0àωdans le cas d’une onde satisfaisant une équation de propagation de
d’Alembert associée à une célérité c.
II- Effet Doppler en acoustique
Une voiture passe devant un observateur à la vitesse constante v= 100 km.h−1en émettant un signal
sonore à la fréquence f= 400 Hz. L’observateur entend-il un son plus "grave" ou plus "aigu" ?
III- Effet Doppler en radioastronomie
On rappelle la définition de l’unité de distance appelée le parsec : "un parsec (pc) est la distance à la
laquelle se trouve un point depuis lequel on voit le demi-grand axe terrestre ou unité astronomique (environ
150 millons de kilomètres) sous un angle d’une seconde d’arc"
1. Un objet céleste contient de l’hydrogène atomique connu pour émettre, dans certaines conditions, une
raie de longueur d’onde λ0= 21,1cm. On perçoit sur l’antenne du radio télescope un rayonnement de longueur
d’onde λ= 21,5cm. Calculer la vitesse radiale de l’objet vren km.s−1par rapport à la Terre, préciser le sens
de déplacement de l’objet.
2. Ce fait observationnel a été interprété comme un signe de l’expansion de l’univers. On a montré que :
vr=H∗D
où Dest la distance de la Terre à l’objet exprimée en Mégaparsec (Mpc) et Hune constante : H= 80 km.s−1.Mpc−1.
Vérifier que : 1 Mégaparsec '3.1022 m. Calculer la distance Den Mpc puis en mètres.
IV- Élargissement thermique des raies spectrales
On considère l’atmosphère d’une étoile dite "froide", c’est-à-dire dont la température de surface est de
l’ordre de 3000 K. Cette atmosphère est essentiellement constituée d’atomes d’hydrogène (80 %).
1. Largeur intrinsèque d’une raie d’émission. À partir de la relation d’Heisenberg, déduire qu’une raie
d’émission n’est pas infiniment étroite. Si on considère qu’un atome passe en moyenne ∆t= 10−6sdans un
état excité, déduire la dispersion de fréquence ∆νd’un photon puis la largeur ∆λassociée. Faire l’application
numérique dans le cas de l’hydrogène (λ0= 21,1cm).
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2. Élargissement des raies spectrales résultant de l’agitation thermique. On suppose que la distribution
des vitesses des atomes constituant l’étoile suit une loi de Maxwell-Boltzmann. La probabilité qu’un atome ait
une vitesse (dans le référentiel barycentrique de l’étoile) comprise entre ~v et ~v +d~v est alors :
f(vx, vy, vz)dvxdvydvz=Kexp −mv2
2kBTdvxdvydvz
avec mla masse d’un atome d’hydrogène, Tla température exprimée en Kelvins et kBla constante de Boltz-
mann.
a) Déterminer le facteur de normalisation K. On donne :
Z+∞
−∞
e−αx2dx =rπ
α.
b) La vitesse la plus probable d’agitation thermique vcest définie comme la valeur de vqui maximise le terme :
v2f(vx, vy, vz)
Expliciter vc.
c) Quelle condition le vecteur vitesse d’un atome doit-il vérifier pour que son rayonnement (longueur d’onde
λ0) soit perçu à la longueur d’onde λpar un observateur situé sur Terre ?
d) On note I(λ)le spectre d’intensité lumineuse reçue sur Terre depuis l’étoile considérée. Expliciter I(λ)à
une constante multiplicative Après.
e) On définit la demi-largeur Doppler thermique ∆λDpar :
I(λ0±∆λD)
I(λ0)=1 e.
Exprimer ∆λD.
f) Calculer vcet ∆λDpour la raie λ0de l’hydrogène dans le cas de l’étoile froide précédente. On donne
kB= 1,38.10−23 J.K−1et m= 1,67.10−27 kg.
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Problème : Champs électromagnétiques et télécommunications (problème extrait de l’agrégation
de sciences physiques option physique de 2003)
Ce sujet se comporte de deux parties indépendantes :
– PARTIE A : Rayonnement dipolaire et applications,
– PARTIE B : Propagation guidée, fibres optiques.
Des données utiles à la résolution de certaines questions sont regroupées au début du problème.
La plus grande importance sera donnée à la qualité de la rédaction et de la présentation.
Données générales
•−→ rot(f−→ G) = f−→ rot−→ G+−−→ gradf ∧−→ G
•−→ rot(−→ rot−→ G) = −−→ grad(div−→ G)−∆−→ G
•div(f−→ G) = fdiv−→ G+−−→ gradf.−→ G
Données relatives à la partie A
•masse de l’électron : me= 9,1.10−31 kg
•charge élémentaire : e= 1,6.10−19 C
•vitesse de la lumière dans le vide : c= 3,0.108m.s−1
•perméabilité magnétique du vide : µ0= 4π.10−7H.m−1
Données relatives à la partie B
•~a ∧(~ b∧~c) = (~a.~c)~ b−(~a.~ b)~c
•coordonnées cylindriques :
•Laplacien en coordonnées cylindriques :
∆f=∂2f
∂r2+1 r
∂f
∂r +1 r2
∂2f
∂ϕ2+∂2f ∂z2.
•fonction de Bessel de première espèce d’ordre m:Jm(x)pour mentier naturel.
∗elle vérifie l’équation différentielle suivante :
d2Jm(x)
dx2+1 x
dJm(x)
dx +1−m2 x2Jm(x) = 0.
∗comportement au voisinage de 0 : J0(0) = 1 et Jm(0) = 0 pour m≥1.
∗dJ0(x)
dx =−J1(x).
∗tableau des premières solutions de l’équation J0(x) = 0 sur ]0; +∞[:
2,405 5,520 8,654 11,792 14,931
•fonction de Bessel modifiée de seconde espèce d’ordre m:Km(x)pour mentier naturel.
∗elle vérifie l’équation différentielle suivante :
d2Km(x)
dx2+1 x
dKm(x)
dx −1 + m2 x2Km(x) = 0.
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