2 Entropie et deuxi`eme principe

2 Entropie et deuxi`eme principe
Rudolf Julius Emmanuel Clausius, 1822 - 1888
Professeur `a Z¨ urich, `a W¨ urzburg puis `a Bonne, il d´eveloppe la th´eorie qui
constitue le contenu d’un cours typique de thermodynamique, celle du gaz
parfait et des machines `a vapeur. En 1854, il ´etend le calcul de l’efficacit´e
thermodynamique que Carnot avait ´etablit pour un cycle infinit´esimal. Il
obtient la formule bien connue 1 −T−/T +. En 1865, il propose
l’introduction d’une nouvelle grandeur, l’entropie, mot qu’il invente en
partant du mot grec voulant dire “transformation”.

2.9.1 Sym´etrie temporelle de l’oscillateur harmonique
1. Montrer explicitement que l’´equation d’´evolution d’un oscillateur har-
monique de masse Msoumis `a une force ´elastique Fel =−kren
absence de frottement est invariante par renversement du temps.
2. Montrer explicitement que l’´equation d’´evolution d’un oscillateur har-
monique amorti de masse Msoumis `a une force ´elastique Fel =−kr
et `a une force de frottement visqueux Ffr =−bvn’est pas invariante
par renversement du temps.
Solution :
1. D’apr`es la d´efinition (1.10) de la quantit´e de mouvement, l’´equation
du mouvement (1.4) de l’oscillateur harmonique s’´ecrit,
−kr=Ma
Compte tenu des lois de transformation (2.5) de la position ret de
l’acc´el´eration apar renversement du temps, l’´equation du mouvement
est invariante par renversement du temps. Par cons´equent, elle est
r´eversible.
2. L’´equation du mouvement (1.4) de l’oscillateur harmonique amorti
s’´ecrit,
−kr−bv=Ma
Compte tenu des lois de transformation (2.5) de la position r, de la
vitesse vet de l’acc´el´eration apar renversement du temps, l’´equation
du mouvement devient,
−kr+bv=Ma
par renversement du temps. Cette ´equation est diff´erente de l’´equa-
tion initiale, car le signe du deuxi`eme terme du membre de gauche
a chang´e, ce qui implique que l’´equation du mouvement n’est claire-
ment pas invariante par renversement du temps. Par cons´equent, elle
est irr´eversible. Cette irr´eversibilit´e est due `a l’action de la force de
frottement visqueux.

2.9.2 Se frotter les mains
Le frottement des mains l’une contre l’autre est un processus dissipatif
que l’on d´esire mod´eliser et quantifier.
1. D´eterminer la puissance Pfr dissip´ee par frottement lors de ce pro-
cessus en admettant que la norme de la force de frottement est
kFfrk= 1 N et que la norme de la vitesse relative moyenne d’une
main par rapport `a l’autre est kvk= 0.1 m/s .
2. A temp´erature ambiante, i.e. T= 25◦C, d´eterminer le taux de pro-
duction d’entropie ΠSde ce processus.
Solution :
1. Par rapport au r´ef´erentiel du centre de masse des deux mains, chaque
main se d´eplace avec une vitesse oppos´ee de norme kvk/2. La force de
frottement Ffr s’oppose au mouvement relatif des mains, i.e. Ffr ·v<
0. D’apr`es la d´efinition (2.34), la puissance de frottement s’´ecrit,
Pfr =−2Ffr ·v
2=kFfrkkvk= 0.1 W (2.44)
2. D’apr`es l’´equation (2.33), Le taux de production d’entropie s’´ecrit
ΠS=Pfr
T= 3.36 ·10−4W/K
2.9.3 Travail et ´energie interne
Dans l’exp´erience d’auditoire (Fig. 13), une masse Mest choisie pour
que l’extr´emit´e du fil accroch´ee au ressort ne subisse pratiquement aucune
tension, quand l’op´erateur tourne la manivelle.
Cela signifie que la force r´esultante du frottement sec Ffr qui s’exerce sur
toute la surface du tambour, est ´egale au poids Mg. Le rayon du tambour de
cuivre est R0. On suppose qu’en tout temps la temp´erature Test homog`ene
dans le syst`eme constitu´e de la tresse de cuivre, du tambour et de l’eau.
On suppose aussi que le syst`eme est adiabatiquement ferm´e. La vairation
d’´energie interne est de la forme ∆U=CV∆To`u CVs’appelle la chaleur
sp´ecifique.
1. D´eterminer le travail Wqu’il faut fournir pour une rotation d’un tour
de tambour.

Figure 13 – Une masse donn´ee est retenue par une tresse de cuivre
faisant plusieurs tours autour d’un cylindre de cuivre qui contient de l’eau.
Un thermom`etre permet d’en mesurer la temp´erature. La partie horizontale
de la tresse de cuivre est pratiquement libre de traction, si bien que la force
de frottement totale agissant sur le cylindre de cuivre est ´egale au poids de
la masse suspendue.
2. Calculer la variation de la temp´erature ∆Tdu syst`eme par tour de
tambour.
Solution :
1. Le travail qu’il faut fournir pour une rotation d’un tour de tambour
est l’oppos´e du travail accompli par la force de frottement Ffr qui
s’oppose au mouvement,
W=−ZFfr ·ds=Z2π
0kFfrkR0dθ = 2πR0kFfrk>0
Vu que la norme de la force de frottement est ´egale `a la norme du
poids de la masse d’entraˆınement, i.e. kFfrk=Mg, le travail fourni
pour un tour de tambour vaut
W= 2πR0Mg > 0
2. Puisque le syst`eme est adiabatiquement ferm´e, la chaleur fournie au
syst`eme par tour de tambour est nulle, i.e. Q= 0. Le premier prin-
cipe (1.28) pour chaque tour de tambour s’´ecrit,
∆U=W+Q= 2πR0Mg > 0

La variation d’´energie interne lors d’un tour de tambour est donn´ee
par
∆U=CV∆T
o`u ∆Test la variation de temp´erature lors d’un tour de tambour qui
est alors de la forme
∆T=2πR0Mg
CV
2.9.4 Horloge Atmos
L’entreprise Jaeger-LeCoultre d´eclare dans leur prospectus que la puis-
sance dissip´ee par leur horloge Atmos (Fig. 14) est Pfr = 0.25 ·10-6 W. Le
travail fourni `a l’horloge est dˆu aux fluctuations de la temp´erature ambiante
T= 25◦C. Selon ce fabriquant, une fluctuation de 1◦C suffit `a faire fonc-
tionner l’horloge pendant 2 jours. La pression atmosph´erique p0= 105P a
et le volume du gaz Vsont li´es par la loi des gaz parfaits p0V=NR T o`u
Rest la constante des gaz parfaits. On consid`ere que le gaz dans la capsule
est toujours en ´equilibre avec l’air `a l’ext´erieur de la capsule (la pression et
la temp´erature sont les mˆemes `a l’int´erieur et `a l’ext´erieur). En d´eduire le
volume Vde la capsule de gaz utilis´ee dans cette horloge.
Figure 14 – L’horloge Atmos re¸coit son ´energie de la capsule dont le
gaz se dilate et se contracte sous l’effet des variations de la temp´erature
ambiante.
Solution :
D’apr`es la relation (2.40), le travail infinit´esimal effectu´e sur le gaz `a
pression atmosph´erique constante p0dans le volume V`a l’int´erieur de la
capsule est donn´e par
δW =−p0dV