2 Entropie et deuxi`eme principe

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Entropie et deuxième principe
Rudolf Julius Emmanuel Clausius, 1822 - 1888
Professeur à Zürich, à Würzburg puis à Bonne, il développe la théorie qui
constitue le contenu d’un cours typique de thermodynamique, celle du gaz
parfait et des machines à vapeur. En 1854, il étend le calcul de l’efficacité
thermodynamique que Carnot avait établit pour un cycle infinitésimal. Il
obtient la formule bien connue 1 − T − /T + . En 1865, il propose
l’introduction d’une nouvelle grandeur, l’entropie, mot qu’il invente en
partant du mot grec voulant dire “transformation”.
2.9.1
Symétrie temporelle de l’oscillateur harmonique
1. Montrer explicitement que l’équation d’évolution d’un oscillateur harmonique de masse M soumis à une force élastique F el = − k r en
absence de frottement est invariante par renversement du temps.
2. Montrer explicitement que l’équation d’évolution d’un oscillateur harmonique amorti de masse M soumis à une force élastique F el = − k r
et à une force de frottement visqueux F fr = − b v n’est pas invariante
par renversement du temps.
Solution :
1. D’après la définition (1.10) de la quantité de mouvement, l’équation
du mouvement (1.4) de l’oscillateur harmonique s’écrit,
−kr = M a
Compte tenu des lois de transformation (2.5) de la position r et de
l’accélération a par renversement du temps, l’équation du mouvement
est invariante par renversement du temps. Par conséquent, elle est
réversible.
2. L’équation du mouvement (1.4) de l’oscillateur harmonique amorti
s’écrit,
−kr − bv = M a
Compte tenu des lois de transformation (2.5) de la position r, de la
vitesse v et de l’accélération a par renversement du temps, l’équation
du mouvement devient,
−kr + bv = M a
par renversement du temps. Cette équation est différente de l’équation initiale, car le signe du deuxième terme du membre de gauche
a changé, ce qui implique que l’équation du mouvement n’est clairement pas invariante par renversement du temps. Par conséquent, elle
est irréversible. Cette irréversibilité est due à l’action de la force de
frottement visqueux.
2.9.2
Se frotter les mains
Le frottement des mains l’une contre l’autre est un processus dissipatif
que l’on désire modéliser et quantifier.
1. Déterminer la puissance P fr dissipée par frottement lors de ce processus en admettant que la norme de la force de frottement est
kF fr k = 1 N et que la norme de la vitesse relative moyenne d’une
main par rapport à l’autre est kvk = 0.1 m/s .
2. A température ambiante, i.e. T = 25◦ C, déterminer le taux de production d’entropie ΠS de ce processus.
Solution :
1. Par rapport au référentiel du centre de masse des deux mains, chaque
main se déplace avec une vitesse opposée de norme kvk/2. La force de
frottement F fr s’oppose au mouvement relatif des mains, i.e. F fr ·v <
0. D’après la définition (2.34), la puissance de frottement s’écrit,
v P fr = − 2 F fr ·
= kF fr kkvk = 0.1 W
(2.44)
2
2. D’après l’équation (2.33), Le taux de production d’entropie s’écrit
ΠS =
2.9.3
P fr
= 3.36 · 10−4 W/K
T
Travail et énergie interne
Dans l’expérience d’auditoire (Fig. 13), une masse M est choisie pour
que l’extrémité du fil accrochée au ressort ne subisse pratiquement aucune
tension, quand l’opérateur tourne la manivelle.
Cela signifie que la force résultante du frottement sec F fr qui s’exerce sur
toute la surface du tambour, est égale au poids M g. Le rayon du tambour de
cuivre est R0 . On suppose qu’en tout temps la température T est homogène
dans le système constitué de la tresse de cuivre, du tambour et de l’eau.
On suppose aussi que le système est adiabatiquement fermé. La vairation
d’énergie interne est de la forme ∆U = CV ∆T où CV s’appelle la chaleur
spécifique.
1. Déterminer le travail W qu’il faut fournir pour une rotation d’un tour
de tambour.
Figure 13 – Une masse donnée est retenue par une tresse de cuivre
faisant plusieurs tours autour d’un cylindre de cuivre qui contient de l’eau.
Un thermomètre permet d’en mesurer la température. La partie horizontale
de la tresse de cuivre est pratiquement libre de traction, si bien que la force
de frottement totale agissant sur le cylindre de cuivre est égale au poids de
la masse suspendue.
2. Calculer la variation de la température ∆T du système par tour de
tambour.
Solution :
1. Le travail qu’il faut fournir pour une rotation d’un tour de tambour
est l’opposé du travail accompli par la force de frottement F fr qui
s’oppose au mouvement,
Z
Z 2π
fr
W = − F · ds =
kF fr kR0 dθ = 2πR0 kF fr k > 0
0
Vu que la norme de la force de frottement est égale à la norme du
poids de la masse d’entraı̂nement, i.e. kF fr k = M g, le travail fourni
pour un tour de tambour vaut
W = 2πR0 M g > 0
2. Puisque le système est adiabatiquement fermé, la chaleur fournie au
système par tour de tambour est nulle, i.e. Q = 0. Le premier principe (1.28) pour chaque tour de tambour s’écrit,
∆U = W + Q = 2πR0 M g > 0
La variation d’énergie interne lors d’un tour de tambour est donnée
par
∆U = CV ∆T
où ∆T est la variation de température lors d’un tour de tambour qui
est alors de la forme
2πR0 M g
∆T =
CV
2.9.4
Horloge Atmos
L’entreprise Jaeger-LeCoultre déclare dans leur prospectus que la puissance dissipée par leur horloge Atmos (Fig. 14) est P fr = 0.25 · 10-6 W. Le
travail fourni à l’horloge est dû aux fluctuations de la température ambiante
T = 25◦ C. Selon ce fabriquant, une fluctuation de 1◦ C suffit à faire fonctionner l’horloge pendant 2 jours. La pression atmosphérique p0 = 105 P a
et le volume du gaz V sont liés par la loi des gaz parfaits p0 V = N R T où
R est la constante des gaz parfaits. On considère que le gaz dans la capsule
est toujours en équilibre avec l’air à l’extérieur de la capsule (la pression et
la température sont les mêmes à l’intérieur et à l’extérieur). En déduire le
volume V de la capsule de gaz utilisée dans cette horloge.
Figure 14 – L’horloge Atmos reçoit son énergie de la capsule dont le
gaz se dilate et se contracte sous l’effet des variations de la température
ambiante.
Solution :
D’après la relation (2.40), le travail infinitésimal effectué sur le gaz à
pression atmosphérique constante p0 dans le volume V à l’intérieur de la
capsule est donné par
δW = − p0 dV
et la loi des gaz parfaits implique que
dV =
NR
dT
p0
Par conséquent, le travail infinitésimal effectué sur le gaz par l’extérieur est
de la forme,
δW = − N RdT
L’état initial i correspond à l’état d’équilibre “chaud” juste après une fluctuation et l’état final f correspond à l’état d’équilibre “froid” juste avant la
prochaine fluctuation. Le travail Wif effectué sur le gaz entre l’état d’équilibre initial i, caractérisé par les grandeurs thermodynamiques (Vi = V +∆V ,
Ti = T + ∆T ) et l’état final f , caractérisé par les grandeurs thermodynamiques (Vf = V , Tf = T ), est obtenu en intégrant l’équation précédente
Z
Tf
N RdT = N R∆T
Wif = −
Ti
De plus, la loi des gaz parfaits évaluée à l’état initial implique que
Wif =
Ainsi,
V =
p0 V
∆T
T
Wif T
p0 ∆T
D’après la relation (1.29), le travail Wif est égal à la puissance de dissipation
constante P fr par unité de temps t, i.e. Wif = P fr t. Par conséquent, le
volume V de la capsule est donné par l’expression,
V =
2.9.5
P fr t T
= 127 cm3
p0 ∆T
Compression thermique d’un ressort
On considère un piston de masse négligeable coulissant sans frottement
dans un cylindre d’aire A et attaché à un ressort dont la constante de rappel
est k (Fig. 15). Lorsque le cylindre est vide, le piston se trouve en position
x0 . On le remplit d’un gaz parfait qui satisfait la loi pV = N RT (appelée
équation d’état). L’énergie interne est donnée par U = cN RT où c > 0
est une constante et R > 0 également. Après remplissage, il se trouve alors
à l’équilibre en position initiale xi . On chauffe le cylindre et on constate
Figure 15 – Travail effectué par la dilatation d’un gaz entraı̂nant la compression d’un
ressort de constante élastique k.
qu’il se trouve alors à l’équilibre en position finale xf . On suppose que ce
processus est réversible et que le système se trouve dans une enceinte à vide,
c’est-à-dire que la pression dans l’enceinte est nulle.
1. Déterminer le volume Va , la pression pa et la température Ta lorsque
le piston se trouve respectivement en position initiale xa = xi et finale
xa = xf en termes des paramètres k, A, x0 et xa .
2. Montrer que la dérivée de la pression p par rapport au volume V est
de la forme,
dp
k
= 2
dV
A
3. Déterminer le travail − Wif effectué par le gaz sur le ressort lorsque
le piston se déplace de xi à xf en termes des paramètres k, xi et xf .
4. Déterminer la variation d’énergie interne ∆Uif du gaz lorsque le piston se déplace de xi à xf en termes des paramètres k, c, x0 , xi et
xf .
Solution :
1. Dans l’état d’équilibre a où a = {i, f } (i.e. état initial ou final), le
volume du gaz parfait est donné par
Va = Axa
et la pression du gaz parfait est donnée par
pa = −
k
Fa
= (xa − x0 )
A
A
où Fa est la norme de la force de rappel agissant sur le ressort. Vu
que le processus est réversible, la relation (2.31) implique que la pression du gaz parfait est égale à la pression exercée par le ressort. La
température du gaz parfait est donnée par,
Ta =
pa Va
k
=
(xa − x0 ) xa
NR
NR
2. Les expressions pour le volume et la pression du gaz parfait impliquent
que
1
k
k
dp = − dF = dx = 2 dV
A
A
A
Ainsi,
k
dp
= 2 = cste
dV
A
3. Par conséquent, la pression p est exprimée en terme du volume V
comme
k
p = 2 (V − V0 )
A
Le travail − Wif effectué par le gaz parfait sur le ressort est donné
en terme de Vi et Vf par
Z Vf
k
pdV = 2
(V − V0 ) dV
− Wif =
A Vi
Vi
k
k
2
2
=
−
V
− 2 V0 (Vf − Vi )
V
i
f
2A2
A
Z
Vf
On peut réécrire ce résultat en terme de x comme
− Wif =
k 2
k
xf − x2i − k x0 (xf − xi ) =
(xf − x0 )2 − (xi − x0 )2
2
2
4. Le travail effectué par le gaz parfait sur le ressort est égal à la variation d’énergie élastique du ressort lors de sa compression, ce qui
signifie qu’il est entièrement utilisé pour comprimer le ressort. Ceci
est une conséquence du fait que la dilatation du gaz parfait soit un
processus réversible. La variation d’énergie interne ∆Uif est donnée
par
∆Uif = cN R (Tf − Ti ) = ck (xf − x0 ) xf − (xi − x0 ) xi