TD14 – Milieux ferromagnétiques

TD : D – Electromagnétisme XIV – Milieux ferromagnétiques Sciences Physiques : PSI
Laurent Pietri ~ 1 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy
TD14 – Milieux ferromagnétiques
A – Travaux Dirigés
141 – Cycle d’hystérésis
On désire tracer expérimentalement le cycle d'Hystérésis B=f(H) d'un matériau se présentant sous
la forme d'un tore sur lequel sont bobinés deux enroulements. L'enroulement primaire contient N1 spires
et l'enroulement secondaire contient N2 spires. On note a son rayon moyen et S sa section. Dans les
conditions expérimentales, N2i2 << N1i1 . On ne tiendra pas compte de la résistance des enroulements. H et
B sont supposés uniformes dans le tore. On donne Ro = 1k.
1°) Déterminer la relation entre H et i1. Montrer que la tension vX sur la voie X peut se mettre sous la forme
:  . Déterminer K1.
2°) Proposer un montage avec des amplificateurs linéaires intégrés permettant d'avoir i2 = 0 et de réaliser
la fonction intégration. On suppose qu'à t = 0, vy = 0 et B = O. Montrer que la tension vy sur la voie Y peut
se mettre sous la forme :  . Déterminer .
3°) On observe sur l'oscilloscope la courbe suivante :
Le point A1 correspond au champ magnétique à saturation. Interpréter la courbe et les deux points
A2 et A6. Que représente la surface du cycle ? Les composants donnent K1 = 0,03 S.I et K2 = 5,0 S.I.
- Déterminer les valeurs numériques des points.
4°) Déterminer la puissance moyenne fournie par le circuit primaire au matériau ferromagnétique.
Interpréter avec l'aire du cycle d'hystérésis.
5°) La ferrite présente un cycle de surface inférieure à celle du fer ainsi qu'un champ rémanent plus faible.
Quel est parmi ces deux matériaux celui qui est le mieux adapté à la réalisation :
- D'un transformateur ?
- D'un aimant permanent ?
Rép : 1°)  
 2°)    3°)   4°)   
5°) Transformateur : ferrite doux, Aimant permanent plutôt du fer…
142 - Énergie stockée dans l'entrefer d'un électroaimant
On considère un circuit magnétique torique, de section S et rayon moyen R, réalisé en matériau
ferromagnétique doux de perméabilité . Un entrefer d'épaisseur e est ménagé dans le circuit magnétique.
On supposera que la largeur de l'entrefer est suffisamment faible pour que l'on puisse considérer que la
géométrie des lignes de champ n'est pas modifiée. D'autre part, les champs sont considérés uniformes sur
une section, leur valeur étant déterminée à la distance R de l'axe du tore.

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Un circuit électrique de N spires enlace le tore, il est parcouru par un courant d'intensité I.
a) Exprimer l'énergie magnétique emmagasinée dans le fer, dont on notera    la longueur. On
mettra le résultat en fonction du flux de B, de l'excitation magnétique dans le milieu et de la
longueur L.
b) Faire de même avec l'entrefer.
c) Exprimer le rapport entre ces deux énergies et commenter.
d) Pour un matériau de perméabilité relative  et un rapport e/L=0.1, quelle approximation
commet-on en considérant que l'énergie magnétique est totalement comprise dans l'entrefer ?
e) L'étude dans la limite d'une perméabilité infinie pour le matériau donne-t-elle le même résultat ?
Rép : a) 
 b)   c)…. d)  e)  
143 - Circuit magnétique à aimant permanent
Un aimant permanent de forme cylindrique (hachuré sur la figure) de longueur l et section S est
destiné à créer un champ magnétique de valeur Be = 1.6T, dans un entrefer de dimensions r = 8 mm et
s=2cm² auquel il est relié par un circuit magnétique en fer doux.
On souhaite déterminer les valeurs de l et S en envisageant deux matériaux, dont les propriétés
caractéristiques sont :
Les valeurs préconisées sont définies pour chaque matériau en vue de rendre minimal le volume de
l'aimant et donc son coût, pour une utilisation donnée. Cet exercice vise à montrer comment s'utilisent ces
données et à en justifier le choix.
a) Relier les intensités des champs magnétiques Bp dans l'aimant, Bf dans le fer (dans la partie de
même section S que l'aimant) et Be dans l'entrefer à l'aide du rapport des sections   
.
b) Établir une relation entre les valeurs de l'excitation magnétique Hp dans l'aimant, Hf dans le fer et
He dans l'entrefer faisant intervenir les longueurs l,  et L, longueur moyenne des lignes de champ
dans le fer doux.
c) Montrer que l'hypothèse  permet de simplifier la relation entre les excitations et en déduire
une relation linéaire entre Bp et Hp, faisant intervenir k,l et  et
.
d) Rappeler l'allure de la caractéristique (Bp,Hp) d'un matériau magnétique dur et justifier les signes
intervenant dans la relation précédente.
e) Pour chacun des matériaux dont les données sont fournies ci-dessus, calculer les dimensions de
l'aimant permettant de respecter les préconisations du constructeur. Comparer les volumes
obtenus.
f) Justifier l'existence. pour un matériau donné, d'un couple de valeurs (Bp,Hp) rendant minimal le
volume de l'aimant dans une application déterminée.
Rép : a)… b)       c)  
 d)… e)     f) Il faut  maximal avec  

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B – Exercices supplémentaires
144 – Pince ampèremétrique
Une pince ampèremétrique sert à mesurer l'intensité d'un courant sans ouvrir le circuit. Elle est
schématiquement constituée d'un tore ferromagnétique à base carrée, de coté a, milieu doux, non saturé,
linéaire de perméabilité, sur lequel sont entourées N spires jointives. La figure montre une coupe
transversale du dispositif.
Les spires sont électriquement branchées aux bornes d'une résistance R, de valeur très supérieure à
celle du bobinage. On note u(t) la tension aux bornes de R et i(t) le courant circulant dans le bobinage et R.
Le tore est centré sur le fil infiniment long dont on mesure l'intensité I(t).
1°) Calculer le champ  créé dans tout l'espace par I(t). En déduire le flux magnétique
 reçu par le
bobinage.
2°) Calculer le flux
 créé par i (t) et reçu par le bobinage.
3°) Établir une équation différentielle liant u(t) et I(t).
4°) Quelle est la fonction de transfert 
 En déduire comment choisir les paramètres constitutifs
de la pince afin que u soit directement proportionnel à I.
Rép : 1°)
  2°)   3°)   4°) 
145 - Présence d'un entrefer
Un tore ferromagnétique de rayon moyen R et section S est interrompu sur une portion d'épaisseur
très faible r « R. Cet entrefer est constitué d'air. Un bobinage comprenant N spires est enroulé sur le tore,
l'ensemble constitue une bobine parcourue par un courant d'intensité i.
a) Justifier que l'on adopte la même forme des lignes de champ magnétique que pour une bobine sans
entrefer.
b) Montrer que le champ magnétique a même norme en tout point d'une ligne de champ.
c) Que peut-on en déduire pour l'excitation magnétique, si on suppose le milieu magnétique LHI de
perméabilité  ?
Application numérique :
 , conclusion ?
d) Pour un nombre de spires N = 500 , quelle valeur maximale d'intensité ne doit-on pas dépasser afin
de limiter la valeur de B à Bmax = 1 T :
- Si l'entrefer a une épaisseur égale à 4.10-4 m ?
- S'il n'y a pas d'entrefer ?
On adoptera R = 10 cm.
Rép : a)… b) … c) 
 et 
d)  

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146 – Critère d’Evershed
On considère un circuit magnétique de section S constante, composé d'un aimant de longueur
a, décrit par son cycle d'hystérésis, de fer doux de longueur lf, considéré comme linéaire, homogène,
isotrope, transparent, de perméabilité magnétique infinie et d'un entrefer de longueur e. On fera
l'hypothèse des champs unidimensionnels. On négligera toute fuite et tout effet de bord (en particulier
dans l'entrefer). Le cycle d'hystérésis de l'aimant est graphiquement connu.
1°) Comment doit être le cycle d'hystérésis d'un bon aimant permanent ? Doit-on utiliser un matériau
magnétique doux ou dur ? Est-ce le même choix pour un transformateur ? Pourquoi ?
2°) Montrer que le vecteur  dans le fer doux est nul.
3°) On cherche  dans l'entrefer. Calculer une relation entre  dans l'aimant. En déduire
graphiquement leur valeur. Combien de solution obtient-on ? Quelle(s) différence(s) y a-t-il entre elle(s) ?
Que valent alors  ?
4°) Pour un entrefer donné (e et  donnés), montrer que le volume de l'aimant est minimum quand 
est maximum (critère d'Evershed) ?
Rép : 1°) On utilise un matériau dur pour l’aimant permanent… 2°)… 3°)  
 4°) 