Exercice 1 Champ électromoteur (noté sur 8 pts)

PS26 / P06 / Examen final Mardi 27juin 2006 Auteur : Eric Bachard
Durée : 2h / notes de cours et TD autorisés
Le total est sur 35 points, mais la note finale sera ramenée à une note sur 20 points
Exercice 1 Champ électromoteur (noté sur 8 pts)
Soit une bobine circulaire, plate, de rayon R, comportant N tours de fil. Cette bobine a même axe
qu'un solénoïde infini de rayon R0 < R. Le solénoïde comporte n tours de fil par unité de longueur.
1.1) Montrer que :
∬
B⋅ dS=∮ A⋅ dl
(2pts)
1.2) Soit i le courant circulant dans le solénoïde. Déterminer en tout point de l'espace le potentiel
vecteur
A
dû à ce courant. (3pts)
1.3) Le courant i est maintenant une fonction du temps: i = i(t). Calculer la f.e.m induite qui apparaît
aux bornes de la bobine en appliquant la loi de Faraday (1pt)
1.4) Même question en faisant circuler le champ électromoteur sur le contour adapté (2pts)
Note : dans la question 1.2, il est conseillé d'utiliser le Théorème d'Ampère.
Exercice 2 : Propagation d'une onde plane sinusoïdale dans le
vide (noté sur 5 points)
Dans le vide, et en l'absence de charges (on prendra µ = µ0 et
=0
), les champs
EEx, Ey,Ez
et
BBx, By,Bz
d'une onde plane sinusoïdale en un point M(x,y,z) ne dépendent que de z et de t.
Le référentiel utilisé est Oxyz de base
 ux,uy,uz
.
2.1) Dans quelle direction se propage cette onde ? (1pt)
2.2) En utilisant les équations de Maxwell, écrire huit relations aux dérivées partielles liant les
composantes des champs
Eet  B
. (2 pts)
2.3) En déduire que EZ = BZ = 0 (2pts)
Exercice 3 : onde plane monochromatique polarisée
rectilignement (noté sur 22 points)
3) Soit une onde électromagnétique plane, sinusoïdale, de pulsation
. Cette onde se propage
dans le vide, en l'absence de charges, dans le plan xOy. La direction de propagation fait un angle
avec l'axe Ox, et cette onde est polarisée rectilignement selon l'axe Oz ( de vecteur unitaire
uz
).
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On donne, en notation complexe, la composante selon Oz du champ électrique
E
à l'instant t:
E=E0ej t−ax−byuz
Autres données importantes :
0=410−7S.I.
,
c0=3108m/s
dans le vide
3.1) Préciser le sens de « onde polarisée rectilignement » selon Oz, et en déduire les composantes de
E
(0,5pt)
3.2) Que représente µ0 ? ( 0,5 pt)
3.3) Rappeler les équations de Maxwell dans le vide ( 1 pt)
3.4) Réécrire ces équation en notation complexe, en utilisant les propriétés de l'onde plane sinusoïdale
(2pts)
3.5) Établir l'équation de propagation du champ
E
dans le vide (1pt)
3.6) En déduire la relation qui lie a,b,
et c0 (2pts)
3.7) Que représentent les coefficients a et b ? (1 pt)
3.8) Déterminer, en fonction de a et b, la longueur d'onde
et la direction
de propagation de
l'onde (1pt)
3.9) Exprimer le vecteur champ magnétique
Bx , y ,t 
de l'onde étudiée (1pt)
3.10) Montrer que
Eet  B
sont perpendiculaires en tout point, et à chaque instant. (1pt)
3.11) Calculer l'impédance caractéristique du vide Z0 définie par le rapport
∥ E ∥
∥ H ∥
avec
H=
B
µ0
(2pts)
3.12) Exprimer les composantes A// et
A⊥
du potentiel vecteur
A
(respectivement parallèles et
perpendiculaires à la direction de propagation de l'onde) en fonction du potentiel scalaire V et du
champ électrique
E
de l'onde. (2pts)
3.13) Montrer que les champs
Eet  B
sont indépendants de A// (2pts)
3.14) Justifier le choix arbitraire V=0 et déterminer, en notation réelle, le potentiel vecteur
Ax , y ,z ,t
associé à l'onde plane étudiée. (2pts)
3.15) Déterminer les composantes du vecteur de Poynting
Rx , y ,t
et la valeur moyenne du
module de
R
dans le temps (2pts)
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3.16) Déduire du résultat précédent les amplitudes des champs
Eet  B
d'un faisceau laser, dont la
section sera supposée circulaire, de diamètre d=3 mm, dont la puissance transportée est P=0,5 kW
(2pts)
FIN DU SUJET
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