Les ensembles de nombres - appui

Les ensembles de nombres
www.phymaths.ch - Thème TM3-1011
1er septembre 2010
Ce résumé présente les différents ensembles de nombres qu’il est indispensable de connaître et dont il faut comprendre la construction.
Table des matières
1 Opérations
1
2 Les nombres naturels
2
3 Les entiers relatifs
2
4 Les nombres rationnels
2
5 Les nombres réels
3
6 Exercices
4
7 Solutions
5
1 Opérations
Définition 1.1 (Opération). Une opération est composée d’un ou plusieurs opérandes,
d’un opérateur et d’un résultat. Il n’est pas nécessaire que les opérandes et le résultat
appartiennent au même ensemble de nombres. De manière générale on a :
a⊕b=c
où a, b sont les opérandes, ⊕ l’opérateur et c le résultat.
Exemple(s):
• 3 + (−6) = −3 (3 et −6 sont les opérandes, + est l’opérateur et −3 est le résultat)
• 45 ∗ 2 = 90 (45 et 2 sont les opérandes, * est l’opérateur et 90 est le résultat)
= 22.5 (90 et 4 sont les opérandes, l’opérateur est la division et 22.5 est le résultat)
• 90
4
Définition 1.2 (Opération stable). On appelle opération stable, une opération pour
laquelle les opérandes et le résultat appartiennent au même ensemble de nombres.
1
2 Les nombres naturels
L’ensemble des nombres naturels est noté N. L’ensemble N est l’ensemble des nombres
de un jusqu’à l’infini non compris. On le note ainsi :
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}
Personnellement je préfère éliminer le zéro de l’ensemble des nombres naturels. Le zéro
est l’élément neutre pour l’addition et qui dit addition dit opération, qui dit opération
dit structure, l’ensemble N n’en possède pas. N n’est qu’une énumération des nombres à
partir de 1.
Pour cette raison, l’ensemble des nombres naturels ne devrait être utilisé que pour la
numérotation des éléments d’un ensemble, les termes d’une suite, les sommes partielles
d’une série ou pour l’indexation des éléments d’une matrice etc.
Exemple(s):
• Indexation des éléments d’une matrice :
a11 a12
A=
a21 a22
• Définition d’une suite :
1
) pour n ∈ N
an
3 5 8 13
ce qui donne l’ensemble (an ) = {1, 2, , , , , ...}
2 3 5 8
C’est un ensemble qui se prête mal aux opérations. Par exemple (3 − 5) n’a pas de
résultat dans N, l’opération ainsi définie n’est pas stable.
a0 = 1 et an+1 = (1 +
3 Les entiers relatifs
L’ensemble des entiers relatifs est noté Z. Il est construit à partir des nombres naturels.
On ajoute à ces derniers zéro et les opposés des nombres déjà existants, ce qui nous donne
l’ensemble
Z = {..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
En introduisant les nombres négatifs, la soustration devient une opération stable dans Z.
4 Les nombres rationnels
L’ensemble des nombres rationnels est noté Q. L’ensemble Q se définit de manière
suivante :
a
Q = { |a ∈ Z, b ∈ N et a, b sont premiers entres eux}
b
Ce qui se lit :
L’ensemble Q est l’ensemble de toutes les fractions ab , telles que a est un entier relatif et
b un nombre naturel (non nul si l’on considère zéro comme étant nombre naturel).
Il faut insister sur le fait que a et b doivent être premiers entres eux (fraction irréductible).
Exemple(s):
2
• 46 est le nombre rationnel 32 , il faut toujours rendre une fraction irréductible.
• 12 est l’entier relatif 2.
• 05 n’appartient à aucun ensemble. La division par zéro n’a aucun sens 1 .
Dans Q la division devient une opération stable.
Il reste cependant encore des opérations qui ne sont pas stables dans Q. Prenons
√ par
√
exemple l’opérateur
et l’opérande 2, le résultat de cette opération qui est 2 fait
partie des nombres dits irrationnels.
Un nombre irrationnel
√
√est un nombre qui ne peut pas être mis sous forme d’une fraction.
Les √
nombres 3, π, e, 12 en sont des exemples. Mais comment être sûr, par exemple,
que 2 n’est pas rationnel ?
Rappels :
1. Dans un nombre rationnel (autrement dit une fraction irréductible), le numérateur
et le dénominateur sont premiers entre eux. C’est à dire que leur plus grand dénominateur commun (pgdc) est 1.
2. La racine carrée d’un nombre pair est un nombre pair.
Démonstration:
Nous allons utiliser une méthode qui s’avère utile lorsqu’une démonstration directe n’est
pas possible, la démonstration par l’absurde. 2
√
√
. En mettant
Supposons que 2 soit un nombre rationnel. C’est à dire que 2 = m
n
m 2
m2
2
2
le tout au carré nous obtenons que 2 = ( n ) = n2 ou encore que m = 2n . m2 est donc
un nombre pair puisque c’est un multiple de 2. Si m2 est pair alors m également (rappel
2).
Donc on peut remplacer m par un multiple de 2, disons m = 2r. En remplaçant m = 2r
2
2
2
on obtient 2 = ( 2r
)2 = 4r
. En isolant n2 , on a n2 = 4r2 = 2r 2 . Si n2 = 2r 2
dans 2 = m
n2
n
n2
alors n2 est pair donc n également.
Finalement nous avons que m et n sont pairs. Mais si m et n sont pairs alors 1 n’est
pas le pgdc de m et n par conséquent m
n’est pas un nombre rationnel (rappel 1).
n
Notre supposition est donc fausse. Si notre
√ supposition est fausse alors sa négation est
vraie, donc nous avons bien démontré que 2 est un nombre irrationnel.
5 Les nombres réels
L’ensemble des nombres réels R est l’ensemble formé par les nombres irrationnels et
rationnels, c’est un ensemble qui a une importance fondamentale en mathématiques par
le fait qu’il est complet. Je ne rentrerai pas dans le détail de la complétude d’un ensemble,
il faut se souvenir simplement qu’un ensemble complet est un ensemble dans lequel il n’y
a pas de "trou".
Cependant malgré la complétude de R, il existe des équations n’y ayant pas de solution.
Par exemple x2 + 4 = 0 n’a pas de solution dans R.
1. Diviser 5 par 0, revient à se demander combien de fois on peut mettre zéro dans 5 !
2. Voir résumé "Logique, ensembles et éléments"
3
Pour remédier à cet état de fait nous allons devoir définir encore un autre ensemble de
nombres qui est l’ensemble des nombres complexes noté C. L’étude √
de cet ensemble sera
omis dans ce résumé, retenez simplement qu’à l’instar du radical
√ ( 2) pour désigner la
racine carrée de 2 dans R, on défini dans C le symbole i = −1. (voir résumé sur les
nombres complexes).
La figure 1 donne un diagramme des différents ensembles de nombres. On notera que
chaque ensemble nouvellement défini contient les ensembles qui ont déjà étés définis.
Figure 1: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
6 Exercices
Exercice 6.1. La soustraction est-elle stable dans N?
Exercice 6.2. Quels opérations ne sont pas stables dans Z ?
Exercice 6.3. *Montrer à l’aide de la décomposition en facteurs premiers que si, dans
l’expression m2 = 2p2 , m2 est pair, alors m également.
√
Exercice 6.4. **Démontrer que 12 est un nombre irrationnel, c’est à dire qu’il ne peut
pas être mis sous une forme la forme d’une fraction pq .
Exercice 6.5. *Comment est défini l’ensemble des nombres décimaux ? Redessiner la
figure 1 en y incorporant cet ensemble que l’on notera D.
Difficulté :
* assez difficile
** difficile
*** très difficile
4
7 Solutions
Exercice 7.1. La soustraction est-elle stable dans N?
Solution: La soustraction n’est pas une opération stable dans N. Il suffit de considérer
l’opération 4 − 6 = −2. −2 n’appartient pas à N.
Exercice 7.2. Quels opérations ne sont pas stables dans Z ?
Solution: Si nous reprenons l’exercice 1.1, il nous est à présent clair que la soustraction
est une opération stable dans Z car dans 4 − 6 = −2, −2 appartient à Z.
Il existe cependant une opération non stable dans Z, c’est la division. En effet le résultat
5
ne fait pas partie de Z, vu que −2.5 n’est pas un entier relatif.
de l’opération −2
Exercice 7.3. *Montrer à l’aide de la décomposition en facteurs premiers que si, dans
l’expression m2 = 2p2 , m2 est pair, alors m également.
Solution: m2 est pair évidemment puisque il est égale à un multiple de 2 en l’occurence
2p2 .
Pour affirmer que m est pair également on remarquera que le 2 dans l’expression 2p2 est
forcément "accompagné" par un autre 2 dans la décomposition en nombres premiers de
m2 .
2 étant est un nombre premier, il apparait deux fois dans la décomposition du carré d’un
nombre pair.
√
Exercice 7.4. **Démontrer que 12 est un nombre irrationnel, c’est à dire qu’il ne peut
pas être mis sous une forme la forme d’une fraction pq .
√
√
√
√
Solution: On remarque que 12 = 4 ∗ 3 = 2 3, il suffit donc de prouver que 3
est un nombre irrationnel.
Il faut avant tout prouver que si un nombre m2 est un multiple de 3 alors m est également
un multiple de 3. Ceci peut être fait en raisonnant identiquement que dans l’exercice précédent.
√
Essayons de prouver que pq = 3. (Démonstration par l’absurde)
p √
= 3
q
⇒
p2
=3
q2
⇒
p2 = 3q 2 ;
p2 est un multiple de trois donc p aussi. Remplaçons p par p = 3r et substituons dans
p2
= 3, nous avons alors
q2
p2
=3
q2
⇒
(3r)2
=3
q2
⇒
9r 2
=3
q2
⇒
q 2 = 3r 2
à nouveau on a q 2 qui est un multiple de 3, donc q également. Si p et q sont des multiples
p
de 3, alors ne peut pas être un nombre rationnel puisque le pgcd de p et q est 3 et non
q
5
√
p
pas 1 comme exigé par la définition des nombres rationnels. Finalement si = 3 est
q
√
p √
faux, nous en déduisons que 6= 3 est vrai, autrement dit que 3 n’est pas un nombre
q
rationnel.
Remarque: Cette démonstration peut paraître à première vue un peu étrange, cependant en la refaisant encore et encore on arrive à découvrir toute l’élégance qu’elle cache.
On suppose que cette démonstration est due à Pythagore ou à l’un de ses élèves il y a
quelques deux milles ans.
Exercice 7.5. *Comment est défini l’ensemble des nombres décimaux ? Redessiner la
figure 1 en y incorporant cet ensemble que l’on notera D.
2
4
et . La première nous donne 0.666666666666..... =
3
5
0.6 (6 périodique) et la seconde 0.80000 = 0.8. Les deux appartiennent aux nombres
rationnels, mais on désignera la deuxième comme faisant partie d’un sous-ensemble des
nombres rationnels, à savoir les nombres décimaux D. Les nombres décimaux sont les
nombres rationnels dont la partie décimale se termine par une infinité de zéro à partir
d’un certain point.
Solution: Soient les fractions
Exemple(s):
6
= 0.857142857142857142..... = 0.857142 appartient à Q mais pas à D.
7
1
= 0.125000000000.... = 0.125 appartient à Q et à D.
8
Le graphique sera alors :
Figure 2: N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R
6