Les ensembles de nombres - appui

Les ensembles de nombres
www.phymaths.ch - Thème TM3-1011
1er septembre 2010
Ce résumé présente les différents ensembles de nombres qu’il est indispen-
sable de connaître et dont il faut comprendre la construction.
Table des matières
1 Opérations 1
2 Les nombres naturels 2
3 Les entiers relatifs 2
4 Les nombres rationnels 2
5 Les nombres réels 3
6 Exercices 4
7 Solutions 5
1 Opérations
Définition 1.1 (Opération).Une opération est composée d’un ou plusieurs opérandes,
d’un opérateur et d’un résultat. Il n’est pas nécessaire que les opérandes et le résultat
appartiennent au même ensemble de nombres. De manière générale on a :
a⊕b=c
où a, b sont les opérandes, ⊕l’opérateur et cle résultat.
Exemple(s):
•3 + (−6) = −3(3et −6sont les opérandes, + est l’opérateur et −3est le résultat)
•45 ∗2 = 90 (45 et 2sont les opérandes, * est l’opérateur et 90 est le résultat)
•90
4= 22.5(90 et 4sont les opérandes, l’opérateur est la division et 22.5est le résultat)
Définition 1.2 (Opération stable).On appelle opération stable, une opération pour
laquelle les opérandes et le résultat appartiennent au même ensemble de nombres.
1

2 Les nombres naturels
L’ensemble des nombres naturels est noté N. L’ensemble Nest l’ensemble des nombres
de un jusqu’à l’infini non compris. On le note ainsi :
N={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}
Personnellement je préfère éliminer le zéro de l’ensemble des nombres naturels. Le zéro
est l’élément neutre pour l’addition et qui dit addition dit opération, qui dit opération
dit structure, l’ensemble Nn’en possède pas. Nn’est qu’une énumération des nombres à
partir de 1.
Pour cette raison, l’ensemble des nombres naturels ne devrait être utilisé que pour la
numérotation des éléments d’un ensemble, les termes d’une suite, les sommes partielles
d’une série ou pour l’indexation des éléments d’une matrice etc.
Exemple(s):
•Indexation des éléments d’une matrice :
A=a11 a12
a21 a22 
•Définition d’une suite :
a0= 1 et an+1 = (1 + 1
an
)pour n∈N
ce qui donne l’ensemble (an) = {1,2,3
2,5 3,8 5,13 8, ...}
C’est un ensemble qui se prête mal aux opérations. Par exemple (3 −5) n’a pas de
résultat dans N, l’opération ainsi définie n’est pas stable.
3 Les entiers relatifs
L’ensemble des entiers relatifs est noté Z. Il est construit à partir des nombres naturels.
On ajoute à ces derniers zéro et les opposés des nombres déjà existants, ce qui nous donne
l’ensemble
Z={..., −5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5, ...}
En introduisant les nombres négatifs, la soustration devient une opération stable dans Z.
4 Les nombres rationnels
L’ensemble des nombres rationnels est noté Q. L’ensemble Qse définit de manière
suivante :
Q={a
b|a∈Z, b ∈Net a, b sont premiers entres eux}
Ce qui se lit :
L’ensemble Qest l’ensemble de toutes les fractions a
b, telles que aest un entier relatif et
bun nombre naturel (non nul si l’on considère zéro comme étant nombre naturel).
Il faut insister sur le fait que aet bdoivent être premiers entres eux (fraction irréductible).
Exemple(s):
2

•6
4est le nombre rationnel 3 2, il faut toujours rendre une fraction irréductible.
•2
1est l’entier relatif 2.
•5
0n’appartient à aucun ensemble. La division par zéro n’a aucun sens 1.
Dans Qla division devient une opération stable.
Il reste cependant encore des opérations qui ne sont pas stables dans Q. Prenons par
exemple l’opérateur √et l’opérande 2, le résultat de cette opération qui est √2fait
partie des nombres dits irrationnels.
Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas être mis sous forme d’une fraction.
Les nombres √3, π, e, √12 en sont des exemples. Mais comment être sûr, par exemple,
que √2n’est pas rationnel ?
Rappels :
1. Dans un nombre rationnel (autrement dit une fraction irréductible), le numérateur
et le dénominateur sont premiers entre eux. C’est à dire que leur plus grand déno-
minateur commun (pgdc) est 1.
2. La racine carrée d’un nombre pair est un nombre pair.
Démonstration:
Nous allons utiliser une méthode qui s’avère utile lorsqu’une démonstration directe n’est
pas possible, la démonstration par l’absurde.2
Supposons que √2soit un nombre rationnel. C’est à dire que √2 = m
n. En mettant
le tout au carré nous obtenons que 2 = (m
n)2=m2 n2ou encore que m2= 2n2.m2est donc
un nombre pair puisque c’est un multiple de 2. Si m2est pair alors mégalement (rappel
2).
Donc on peut remplacer mpar un multiple de 2, disons m= 2r. En remplaçant m= 2r
dans 2 = m2
n2on obtient 2 = (2r n)2=4r2 n2. En isolant n2, on a n2=4r2 2= 2r2. Si n2= 2r2
alors n2est pair donc négalement.
Finalement nous avons que met nsont pairs. Mais si met nsont pairs alors 1n’est
pas le pgdc de met npar conséquent m
nn’est pas un nombre rationnel (rappel 1).
Notre supposition est donc fausse. Si notre supposition est fausse alors sa négation est
vraie, donc nous avons bien démontré que √2est un nombre irrationnel.
5 Les nombres réels
L’ensemble des nombres réels Rest l’ensemble formé par les nombres irrationnels et
rationnels, c’est un ensemble qui a une importance fondamentale en mathématiques par
le fait qu’il est complet. Je ne rentrerai pas dans le détail de la complétude d’un ensemble,
il faut se souvenir simplement qu’un ensemble complet est un ensemble dans lequel il n’y
a pas de "trou".
Cependant malgré la complétude de R, il existe des équations n’y ayant pas de solution.
Par exemple x2+ 4 = 0 n’a pas de solution dans R.
1. Diviser 5par 0, revient à se demander combien de fois on peut mettre zéro dans 5!
2. Voir résumé "Logique, ensembles et éléments"
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Pour remédier à cet état de fait nous allons devoir définir encore un autre ensemble de
nombres qui est l’ensemble des nombres complexes noté C. L’étude de cet ensemble sera
omis dans ce résumé, retenez simplement qu’à l’instar du radical (√2) pour désigner la
racine carrée de 2dans R, on défini dans Cle symbole i=√−1. (voir résumé sur les
nombres complexes).
La figure 1 donne un diagramme des différents ensembles de nombres. On notera que
chaque ensemble nouvellement défini contient les ensembles qui ont déjà étés définis.
Figure 1: N⊂Z⊂Q⊂R⊂C
6 Exercices
Exercice 6.1. La soustraction est-elle stable dans N?
Exercice 6.2. Quels opérations ne sont pas stables dans Z?
Exercice 6.3. *Montrer à l’aide de la décomposition en facteurs premiers que si, dans
l’expression m2= 2p2, m2est pair, alors mégalement.
Exercice 6.4. **Démontrer que √12 est un nombre irrationnel, c’est à dire qu’il ne peut
pas être mis sous une forme la forme d’une fraction p
q.
Exercice 6.5. *Comment est défini l’ensemble des nombres décimaux ? Redessiner la
figure 1 en y incorporant cet ensemble que l’on notera D.
Difficulté :
* assez difficile
** difficile
*** très difficile
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7 Solutions
Exercice 7.1. La soustraction est-elle stable dans N?
Solution: La soustraction n’est pas une opération stable dans N. Il suffit de considérer
l’opération 4−6 = −2.−2n’appartient pas à N.
Exercice 7.2. Quels opérations ne sont pas stables dans Z?
Solution: Si nous reprenons l’exercice 1.1, il nous est à présent clair que la soustraction
est une opération stable dans Zcar dans 4−6 = −2,−2appartient à Z.
Il existe cependant une opération non stable dans Z, c’est la division. En effet le résultat
de l’opération 5
−2ne fait pas partie de Z, vu que −2.5n’est pas un entier relatif.
Exercice 7.3. *Montrer à l’aide de la décomposition en facteurs premiers que si, dans
l’expression m2= 2p2, m2est pair, alors mégalement.
Solution: m2est pair évidemment puisque il est égale à un multiple de 2en l’occurence
2p2.
Pour affirmer que mest pair également on remarquera que le 2dans l’expression 2p2est
forcément "accompagné" par un autre 2dans la décomposition en nombres premiers de
m2.
2étant est un nombre premier, il apparait deux fois dans la décomposition du carré d’un
nombre pair.
Exercice 7.4. **Démontrer que √12 est un nombre irrationnel, c’est à dire qu’il ne peut
pas être mis sous une forme la forme d’une fraction p
q.
Solution: On remarque que √12 = √4∗3 = 2√3, il suffit donc de prouver que √3
est un nombre irrationnel.
Il faut avant tout prouver que si un nombre m2est un multiple de 3alors mest également
un multiple de 3. Ceci peut être fait en raisonnant identiquement que dans l’exercice pré-
cédent.
Essayons de prouver que p
q=√3. (Démonstration par l’absurde)
p
q=√3⇒p2 q2= 3 ⇒p2= 3q2;
p2est un multiple de trois donc paussi. Remplaçons ppar p= 3ret substituons dans
p2
q2= 3, nous avons alors
p2
q2= 3 ⇒(3r)2 q2= 3 ⇒9r2 q2= 3 ⇒q2= 3r2
à nouveau on a q2qui est un multiple de 3, donc qégalement. Si pet qsont des multiples
de 3, alors p
qne peut pas être un nombre rationnel puisque le pgcd de pet qest 3et non
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