1 Exemples de distributions

Université Pierre et Marie Curie Analyse réelle, MM003
Master de Mathématiques, M1Année universitaire 2014-2015
Ayman Moussa
[email protected]
TD no7– Distributions.
Sauf indication contraire, Ωdésignera dans toute la suite un ouvert non vide de Rd.
1 Exemples de distributions
Exercice 1.1: L1
locpΩqãÑD1pΩq
1. Vérifier qu’une fonction de L1
locpΩqdéfinit bien une distribution par la formule
@ϕPDpΩq, Tfpϕq:“żΩ fpxqϕpxqdx.
2. On veut prouver que l’application linéaire fÞÑ Tfest bien injective. Soit donc fPL1
locpΩqtelle que
Tf“0.
(a) Soit Kun compact de Ω,θPDpΩqvalant 1sur Ket pρnqnPNPDpRdqNune approximation
de l’unité. Montrer que pour tout nPN,ρn‹ pθfq “ 0.
(b) En déduire que θf PL1pRdqest nul presque partout puis que fl’est également sur Ω.
Voir la correction.
Exercice 1.2: Masses de Dirac
1. Pour aPΩ, montrer que l’application d’évaluation
δa:DpΩq ÝÑ R
ϕÞÝÑ ϕpaq,
définit bien une distribution. On l’appelle masse de Dirac en a. Calculer les dérivées de δa, dans
le cas de la dimension 1.
2. Montrer que les masses de Dirac ne sont pas des fonctions.
Voir la correction.
Exercice 1.3: Valeur principale
On se place sur D1pRq.
1. Soit ϕPDpRq. Vérifier que ż|x|ěε
ϕpxq
xdxpossède une limite lorsque εÑ0et que la forme linéaire
qui à ϕPDpRqassocie cette limite est bien une distribution d’ordre inférieur ou égal 1. C’est la
valeur principale de 1
x, notée vpp1 xq.
2. En considérant une suite de fonctions test pϕnqnPNà valeurs dans r0,1set telle que pour tout nPN,
Supppϕnq Ă „1
2n,2et ϕn”1sur „1 n,1, montrer que vpp1
xqest exactement d’ordre 1.
1

3. Calculer xvpp1
xq.
Voir la correction.
Exercice 1.4: Pas de multiplication pour les distributions
En considérant xÞÑ x,δ0et vpp1
xqmontrer qu’il est impossible de définir un produit sur l’ensemble
D1pRqqui soit associatif et prolonge le produit déjà défini d’une distribution par un élément de C8pRq.
Voir la correction.
2 Ordre et support
Soit pPN. On fixe pKnqnPNune suite exhaustive de compacts de Ω(voir le TD sur les fonctions tests).
On note EpΩq “ C8pΩqet Cp
cpΩql’espace des fonctions de classe CppΩq, à support compact dans Ω.
On rappelle que le premier est un espace de Fréchet pour la topologie des semi-normes supK}Bα¨ } où α
parcoure Ndet Kles compacts de Ω. Pour un compact KĂΩ,DKpΩqet Cp
KpΩqdésignent respectivement
les éléments de DpΩqet Cp
cpΩqdont le support est inclus dans K.Cp cpΩqest muni de la topologie limite
inductive des espaces normés Cp
KnpΩq.
Exercice 2.1: Contre-exemples
1. Trouver une fonction test ϕnulle en 0PRdet une distribution Tdont le support est réduit à t0u
et tel que Tpϕqsoit non nul.
À retenir : ϕ|SupppTq“0œ xT, ϕy “ 0, mais si Vest un voisinage de SupppTq,ϕ|V“0ñ xT, ϕy “
0.
2. Dans le même genre, si fPC8pΩqs’annule sur le support de T, peut-on affirmer que fT “0?
Voir la correction.
Exercice 2.2: Distribution d’ordre fini
1. Montrer qu’une forme linéaire continue sur Cp
cpΩqdéfinit par restriction une distribution d’ordre
inférieur ou égal à p.
2. Réciproquement, si Test une distribution d’ordre inférieur ou égal à p, montrer qu’elle se prolonge
de manière unique en une forme linéaire continue sur Cp
cpΩq.
Indication : Invoquer le théorème de prolongement des applications uniformément continues sur les
espaces normés Cp
KnpΩq. Et vérifier que les différents prolongements obtenus coïncident tous.
Voir la correction.
Exercice 2.3: Mesures
On dit qu’une forme linéaire T(à valeurs réelles) sur DpΩqest positive si pour toute fonction test
ϕpositive, Tpϕqest un réel positif.
1. Montrer qu’une forme linéaire positive est croissante au sens où ϕďψñTpϕq ď Tpψq.
2. Soit Kun compact de Ω. On fixe θKPDpΩqvalant 1sur K. Encadrer tout élément de DKpΩq
entre deux éléments de la droite vectorielle RθK. En déduire que Test une distribution d’ordre 0
puis que l’ensemble des formes linéaires positives s’injecte dans le dual topologique de C0
cpΩq.
2

Remarque : Un théorème de représentation de Riesz permet de préciser ce résultat : les distributions
positives sur Ωs’identifient en fait aux mesures de Radon définies sur la tribu des boréliens de Ω.
Voir la correction.
Exercice 2.4: Distributions à support compact
1. Montrer que DpΩqest dense dans EpΩq.
2. Montrer qu’une forme linéaire continue sur EpΩqdéfinit par restriction à DpΩq Ă EpΩqune distri-
bution à support compact.
3. Réciproquement, soit Tune distribution à support compact. Montrer que Tse prolonge de manière
unique en une forme linéaire continue sur EpΩq.
Indication : On fixera θà support compact bien choisie et on remarquera que la multiplication par θ
envoie continûment EpΩqdans DpΩq.
4. Montrer qu’une distribution à support compact est d’ordre fini.
Remarque : De la même manière que précédemment on peut alors montrer qu’une distribution à
support compact se prolonge en une forme linéaire continue sur CmpΩqpour tout entier mPN
supérieur ou égal à son ordre.
Voir la correction.
Exercice 2.5: Combinaisons de masses de dirac
Soit x1, x2, . . . , xnnpoints distincts de Ω.
1. Montrer l’existence de θ1, θ2, . . . , θnPDpΩqtelles que θipxjq “ δij (symbole de Kronecker, pas la
masse de Dirac !).
2. Soit TPD1pΩqtelle que @ϕPDpΩq,”@iPJ1, nK, ϕpxiq “ 0ıñ”Tpϕq “ 0ı. Montrer que
TPVectpδx1, . . . , δxnq.
Remarque : De manière plus générale, on peut montrer qu’une distribution dont le support est un
ensemble fini est une combinaison linéaire finie de dérivées de masses de dirac centrées en les points
de cet ensemble.
Voir la correction.
3 Dérivation de distribution
Exercice 3.1: Opérations élémentaires
1. Quelle est la dérivée de 1R`? Et la dérivée de xÞÑ |x|?
2. Soit θPEpRqet TPD1pRq. Montrer que pθT q1“θ1T`θT 1. Donner une formule pour pθT qpnq.
3. Soit α, β PNd, et TPD1pΩq, vérifier que BαBβT“ BβBαT.
4. Pour hPRd, on note τhl’opérateur défini de D1pRdqdans lui-même par τhTpϕq “ Tpτ´hϕq. Vérifier
que les définitions « fonctionnelle » et « distributionnelle » de τhcoïncident.
Voir la correction.
3

Exercice 3.2: Distributions constantes
On se place sur Rpour simplifier, cependant les résultats suivants se généralisent à la dimension d.
1. Montrer que les éléments de DpRqd’intégrale nulle sont exactement les dérivées de fonctions tests.
2. On fixe θPDpRqd’intégrale égale à 1. Déduire de ce qui précède que pour tout ϕPDpRq, il existe
pλϕ, ψq P RˆDpRqtel que ϕ“λϕθ`ψ1.
3. En déduire qu’une distribution de dérivée nulle est constante.
Remarque : En dimension dce résultat devient : une distribution dont toutes les dérivées partielles
d’ordre 1sont nulles est une fonction constante.
Voir la correction.
4 Distributions s’identifiant à une fonction
On va s’intéresser à une série de cas où une estimation/égalité imposée à une distribution Timplique
que cette distribution soit une fonction. Pour simplifier, si Xest un espace fonctionnel, et TPD1pΩq, on
adopte l’abus de notation TPXpour dire que T« s’identifie à un élément de X».
Exercice 4.1:
1. Que dire d’un élément TPD1pRqtel que T1PC0pRq?
Indication : Considérer une primitive de T1- c’est donc une fonction C1pRq- et remarquer qu’elle
a la même dérivée faible que T!
2. Que dire d’un élément TPD1pRqtel que Tpnq“0pour un certain entier nPN?
3. Soit pP r1,8r et Bpla boule unité de LppΩq. Montrer que si TPD1pΩqest bornée sur BpXDpΩq,
alors TPLp1pΩq.
Indication : Montrer que Test alors uniformément continu sur DpΩq(pour la distance induite par
la norme }¨}p) et prolonger.
Voir la correction.
Exercice 4.2: Un espace de Sobolev
On fixe une fonction θPDps0,1rq d’intégrale égale à 1. On rappelle alors un résultat obtenu
précédemment : tout élément ϕPDps0,1rq se décompose sous la forme ϕ“ψ1`λϕθoù ψPDps0,1rq et
λϕ“ż1
0
ϕpxqdx. Dans toute la suite }¨}2représente la norme de L2`s0,1r˘.
1. Soit ψPDps0,1rq. En remarquant que ψpxq2“2żx
0
ψ1ptqψptqdt, montrer que }ψ}2ď2}ψ1}2.
2. Soit TPD1ps0,1rq tel que T1PL2ps0,1rq. En utilisant la décomposition ϕ“ψ1`λϕθ, montrer que
pour tout ϕPDps0,1rq,|Tpϕq| ď |Tpθq|}ϕ}2`2“1` }θ}2|‰}T1}2}ϕ}2.
Indication : Remarquer que |λϕ|ď}ϕ}2et utiliser la question précédente pour montrer que }ψ}2ď
2p1` }θ}2q}ϕ}2et en déduire |Tpψ1q| ď 2“1` }θ}2|‰}T1}2}ϕ}2.
3. En déduire que T1PL2ps0,1rq ñ TPL2ps0,1rq (ou pourra utiliser la troisième question de l’exercice
précédent).
4. Soit uPC1pr0,1sq, nulle en 0. Montrer que
|upxq|2“2ˇˇˇˇżx
0
u1ptquptqdtˇˇˇˇď2}u}2}u1}2.
4

En déduire que comme précédemment}u}2ď2}u1}2et aussi }u}8ď1
?2p}u}2` }u1}2q.
Indication : On pourra méditer sur 2ab ďa2`b2.
5. En déduire que si v:“ pvnqnPNPDps0,1rqNest une suite de Cauchy dans L2ps0,1rq, la suite des
primitives s’annulant en 0des vnest de Cauchy dans L2ps0,1rq, puis dans C0pr0,1sq. Elle converge
donc dans ce dernier espace et on note la limite upvq.
6. Soit maintenant TPD1ps0,1rq tel que T1PL2ps0,1rq. Soit une suite v“ pvnqnPNPDps0,1rqN
approchant T1dans L2ps0,1rq. Montrer que upvqet Tont la même dérivée (au sens des distributions)
et en déduire que TPC0pr0,1sq.
Voir la correction.
Exercice 4.3: Solutions faibles
Soit aPEpRq,TPD1pRqet fPC0pRq. On suppose que l’on a T1`aT “fau sens des distributions.
1. On pose gpxq:“exp "żx
0
aptqdt*. Montrer que pgT q1“fg.
2. En déduire que gT PC1pRq, puis TPC1pRq.
3. En déduire finalement que l’équation est vérifiée au sens usuel.
Voir la correction.
Exercice 4.4: Caractérisation des fonctions lipschiztiennes
1. Soit TPD1pRqet fPL1
locpRq. Pour CPR, on note FCpxq “ C`żx
0
fptqdt. Montrer que T1“Tf
si et seulement si T“FCpour un certain CPR.
Indication : On pourra montrer que la dérivée faible de F0est égale à Tf.
2. Montrer que TPD1pRqs’identifie à une fonction lipschitzienne si et seulement si T1s’identifie à un
élément de L8pRq.
Indication : Pour l’aspect « nécessaire » on pourra utiliser que h´1pτ´hT´TqÝÑ
hÑ0T1dans D1pRq
(voir section suivante). En déduire que |xT1, ϕy| ď LippTq}ϕ}1et conclure.
Voir la correction.
5 Convergence de distributions
Exercice 5.1: Exemples
1. Les séries
N
ÿ
n“0
δpnq
net
N
ÿ
n“0
δpnq
0sont-elles convergentes dans D1pRq?
Indication : Pour la deuxième série, prendre θvalant 1au voisinage de 0puis considérer ϕpxq:“
θpxqex.
2. Soit pρnqnPNune approximation de l’unité sur Rd. Calculer la limite de pρnqnPNau sens des distri-
butions.
3. Calculer la limite de pxÞÑ sinpnxqqnPN, au sens des distributions.
4. En dimension 1, vérifier que la famille d’opérateurs Sh:“h´1pτ´h´Idqtend simplement (hÑ0)
vers l’opérateur de dérivation sur D1pRq,i.e.
τ´hT´T
hÝÑ
hÑ0T1,
au sens des distributions, pour tout TPD1pRq.
5