algebre: groupes et anneaux 1

Universit´e Blaise Pascal
U.F.R. Sciences et Technologies
D´epartement de Math´ematiques et Informatique
Licence de Math´ematiques
Troisi`eme ann´ee, U.E. 35MATF2
ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUX 1
Polycopi´e du cours
2007-2008
Franc¸ois Dumas

Universit´e Blaise Pascal, U.F.R. Sciences et Technologie, D´epartement de Math´ematiques et Informatique
Licence de Math´ematiques, 3`eme ann´ee
U.E. 35MATF2
Cours d’alg`ebre : groupes et anneaux 1
Franc¸ois DUMAS
Chapitre 1. – Groupes : les premi`eres notions
1. Groupes et sous-groupes
1.1 Notion de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sous-groupe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.3 Cas particulier des groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Groupes monog` enes, groupes cycliques
2.1 Sous-groupe engendr´e par un ´el´ement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Groupes monog`enes, groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 G´en´erateurs d’un groupe cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Groupes finis d’ordre premier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
3. Morphismes de groupes
3.1 Notion de morphisme de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Image et noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
3.3 Isomorphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4 Automorphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
3.5 Automorphismes int´erieurs et centre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
4. Produit direct de groupes.
4.1 Produit direct (externe) de deux groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Produit direct de groupes cycliques, th´eor`eme chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
4.3 Produit direct (interne) de deux sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5. Groupes sym´
etriques
5.1 Notion de groupe sym´etrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.2 D´ecomposition d’une permutation en produit de transpositions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.3 Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.4 Groupe altern´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.5 Support et orbites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
5.6 D´ecomposition d’une permutation en produit de cycles disjoints. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6. Groupes di´
edraux
6.1 Exemples pr´eliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.2 Notion de groupe di´edral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Chapitre 2. – Groupes : groupes quotients
1. Sous-groupes normaux
1.1 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Notion de sous-groupe normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
1.3 Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 Classes modulo un sous-groupe, indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Normalisateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2. Quotient d’un groupe par un sous-groupe normal
2.1 Congruence modulo un sous-groupe normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
2.2 Notion de groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Premier th´eor`eme d’isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Exemple : groupe d´eriv´e et ab´elianis´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Exemple : quotients Z/nZ................................................................. 30
3. Quelques compl´ ements
3.1 Propri´et´e universelle du groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
3.2 Deuxi`eme th´eor`eme d’isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Sous-groupes d’un groupe quotient et troisi`eme th´eor`eme d’isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Chapitre 3. – Anneaux : les premi`eres notions
1. Anneaux et sous-anneaux
1.1 Notion d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.2 Sous-anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.3 Groupe des unit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4 Corps.......................................................................................40
1.5 Int´egrit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.6 Morphisme d’anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
1.7 Corps des fractions d’un anneau int`egre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.8 Anneaux produits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
2. Id´
eaux
2.1 Notion d’id´eal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Id´eal principal, id´eal engendr´e par une partie, somme d’id´eaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Produit d’id´eaux, op´erations sur les id´eaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Caract´eristique d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
3. Anneaux quotients
3.1 Quotient d’un anneau par un id´eal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Id´eaux premiers, id´eaux maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Th´eor`eme de Krull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4. Anneaux euclidiens, anneaux principaux
4.1 Multiples, diviseurs et id´eaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Notion d’anneau euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Notion d’anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Chapitre 4. – Anneaux : divisibilit´e, arithm´etique
1. Notions g´
en´
erales
1.1 Multiples et diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.2 Elements associ´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.3 Elements irr´eductibles, ´el´ements premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.4 Elements premiers entre eux, plus grand commun diviseur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
2. Arithm´
etique dans les anneaux principaux
2.1 Pgcd, th´eor`eme de B´ezout et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2 Cas particulier des anneaux euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
3. Arithm´
etique dans les anneaux factoriels
3.1 Notion d’anneau factoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Divisibilit´e dans les anneaux factoriels, lemme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4. Factorialit´
e des anneaux de polynˆ omes
4.1 Irr´eductibilit´e des polynˆomes `a coefficients dans un anneau factoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Premi`ere application : crit`ere d’irr´eductibilit´e d’Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Seconde application : factorialit´e de l’anneau des polynˆomes sur un anneau factoriel . . . . . . . . . 67

Universit´e Blaise Pascal, Licence de Math´ematiques, U.E. 35MATF2, Alg`ebre : groupes et anneaux 1, F. Dumas
Chapitre 1
Groupes : les premi`eres notions
1. Groupes et sous-groupes
1.1 Notion de groupe
1.1.1 D´ efinition. Soit Gun ensemble non-vide. On appelle loi de composition interne dans G,
ou op´eration interne dans G, toute application ?:G×G→G.
Une telle loi de composition interne permet donc d’associer `a tout couple (x, y) d’´el´ements de G
un autre ´el´ement de G, not´e x ? y, et appel´e le produit de xpar ypour la loi ?.
1.1.2 D´ efinition. On appelle groupe tout ensemble non-vide Gmuni d’une loi de composition
interne ?, v´erifiant les 3 propri´et´es suivantes (appel´ees axiomes de la structure de groupe):
(A1) la loi ∗est associative dans G;
rappelons que cela signifie que x∗(y∗z) = (x∗y)∗zpour tous x, y, z ∈G.
(A2) la loi ∗admet un ´el´ement neutre dans G;
rappelons que cela signifie qu’il existe e∈Gtel que x∗e=e∗x=xpour tout x∈G.
(A3) tout ´el´ement de Gadmet un sym´etrique dans Gpour la loi ∗;
rappelons que cela signifie que, pour tout x∈G, il existe x0∈Gtel que x∗x0=x0∗x=e.
1.1.3 D´ efinition. On appelle groupe commutatif, ou groupe ab´elien, tout groupe Gdont la loi ?
v´erifie de plus la condition suppl´ementaire de commutativit´e: x∗y=y∗xpour tous x, y ∈G.
1.1.4 Exemples.
(a) Pour tout ensemble X, l’ensemble S(X) des bijections de Xsur Xmuni de la loi ◦de
composition des bijections est un groupe, appel´e groupe sym´etrique sur X.
Le neutre en est l’identit´e de X, car f◦idX= idX◦f=fpour toute f∈ S(X). Pour toute f∈
S(X), le sym´etrique de fpour la loi ◦est la bijection r´eciproque f−1, car f◦f−1=f−1◦f= idX.
D`es lors que Xcontient au moins trois ´el´ements, le groupe S(X) n’est pas ab´elien (montrez-le).
(b) Pour tout entier n≥1, l’ensemble GLn(R) des matrices carr´ees d’ordre ninversibles `a coef-
ficients r´eels est un groupe pour la multiplication des matrices.
Le neutre en est la matrice identit´e In, car M×In=In×M=Mpour toute M∈GLn(R).
Pour toute M∈GLn(R), le sym´etrique de Mpour la loi ×est la matrice inverse M−1, car
M×M−1=M−1×M=In. D`es lors que n≥2, le groupe GLn(R) n’est pas ab´elien (montrez-le).
(c) L’ensemble Cdes nombres complexes muni de l’addition est un groupe ab´elien.
Le neutre en est le nombre complexe nul 0, car z+ 0 = 0 + z=zpour tout z∈C. Pour tout
z∈C, le sym´etrique de zpour l’addition est son oppos´e −z, car z+ (−z) = (−z) + z= 0.
(d) L’ensemble C∗des nombres complexes non-nuls muni de la multiplication est un groupe
ab´elien.
Le neutre en est le nombre complexe 1, car z.1 = 1.z =zpour tout z∈C∗. Pour tout z∈C∗, le
sym´etrique de zpour la multiplication est son inverse z−1, car z.z−1=z−1.z = 1.
1