Traitement Numérique du signal

Introduction au traitement numérique du signal A. Oumnad 1
Traitement Numérique du signal
Chapitre I -- Les représentations du signal......................................... 3
I.1 -- Signal.............................................................................................................................................................3
I.2 -- Signal continu ou signal analogique..........................................................................................................3
I.3 -- Signal discret ..............................................................................................................................................3
I.4 -- Les deux domaines d'un signal.................................................................................................................3
I.5 -- Représentation des signaux périodique .................................................................................................5
I.5.1 -- Séries de Fourier................................................................................................................................5
I.5.2 -- Série de Fourier exponentielle complexe......................................................................................5
I.5.3 -- Troisième forme de la série de Fourier ........................................................................................6
I.5.4 -- Séries de Fourier de quelques signaux utiles...............................................................................6
I.6 -- Représentation des signaux Apériodiques ............................................................................................7
I.6.1 -- Spectre d'un signal ............................................................................................................................8
I.6.2 -- Propriétés de la transformée de Fourier......................................................................................9
I.6.3 -- Transformées de Fourier usuelles................................................................................................10
I.6.4 -- Transformée de la place ................................................................................................................. 11
I.7 -- Représentation des signaux Discret périodiques ..............................................................................12
I.8 -- Représentation des signaux Discret Apériodiques ...........................................................................12
I.9 -- La transformée de Fourier Discrète (TFD)........................................................................................13
I.10 -- Exemples : la fenêtre carrée sous ces différentes formes .......................................................16
I.10.1 -- fenêtre Continue périodique ..........................................................................................................16
I.10.2 -- fenêtre Continue Apériodique....................................................................................................17
I.10.3 -- fenêtre Apériodique discrète....................................................................................................18
I.10.4 -- fenêtre Apériodique discrète centrée ....................................................................................19
I.10.5 -- fenêtre Apériodique discrète 'centrée' (L pair)...................................................................19
I.10.6 -- fenêtre discrète périodique...................................................................................................... 20
I.11 -- Algorithme de la transformée de Fourier rapide (FFT) ..............................................................21
I.11.1 -- Exemple de calcul de la TFD à l'aide de l'algorithme FFT..................................................... 27
Chapitre II -- Numérisation du signal analogique..................................29
II.1 -- Spectre d'un signal échantilloné...................................................................................................... 30
II.2 -- Reconstitution dU signal continu à partir du signal échantillonné.............................................31
II.3 -- Théorème déchantillonnage............................................................................................................... 33
II.4 -- La quantification .................................................................................................................................. 35
II.4.1 -- Quantification non uniforme ......................................................................................................... 38
II.4.2 -- Compression .................................................................................................................................. 40
Chapitre III -- Estimation spectrale à l'aide la tTFD ............................ 41
III.1 -- Amélioration de l'estimation spectrale ..........................................................................................43
III.1.1 -- Amélioration de la résolution spectrale.................................................................................. 44
III.1.2 -- Fenêtrage ...................................................................................................................................... 44
III.2 -- Réalisation du filtre de HILBERT à l'aide de la TFD.................................................................. 46
III.2.1 -- Signal analytique .......................................................................................................................... 46
Chapitre IV -- Les systèmes linéaire discrets invariants dans le temps .........49
IV.1 -- Définitions............................................................................................................................................. 49
IV.2 -- Etude d'un système discret par sa réponse impulsionnelle........................................................ 49
IV.3 -- Propriétés.............................................................................................................................................. 50
IV.3.1 -- Causalité......................................................................................................................................... 50
IV.3.2 -- Stabilité......................................................................................................................................... 50
IV.4 -- La transformée en Z ............................................................................................................................51
IV.5 -- La transformée en z rationnelle....................................................................................................... 53
IV.6 -- Comportement d'un signal selon la position de ces pôles............................................................ 55

Introduction au traitement numérique du signal A. Oumnad 2
IV.7 -- Fonction de transfert en z d'un système discret........................................................................ 57
IV.8 -- Transformée en z inverse ( TZ
-1
).................................................................................................... 57
IV.8.1 -- Transformée en z inverse par développement en série...................................................... 57
IV.9 -- Systèmes à réponse impulsionnelle finie et infinie...................................................................... 58
IV.10 -- Les systèmes récursifs et NON-RECURSIFS.............................................................................. 59
IV.11 -- Système LIT définis par une équation aux différences............................................................. 60
Chapitre V -- Les filtres numériques ...............................................61
V.1 -- Les filtres à réponse impulsionnelle finie (RIF) ................................................................................61
V.2 -- Filtre passe bas.........................................................................................................................................61
V.3 -- Filtre passe haut...................................................................................................................................... 64
V.4 -- Filtre passe bande................................................................................................................................... 65
V.5 -- Filtre réjecteur de bande...................................................................................................................... 66
V.6 -- Diminution des ondulations par troncature douce............................................................................ 66

Introduction au traitement numérique du signal A. Oumnad 3
CHAPITRE I -- LES REPRESENTATIONS DU SIGNAL
I.1 -- SIGNAL
On désigne par signal l'information relative à une grandeur physique qui évolue dans le temps. Les
signaux les plus couramment utilisés sont les signaux électriques. Mais ces signaux sont les plus souvent
des traductions de signaux physiques comme des signaux acoustiques, sismiques, de température ou de
pression … L'obtention des signaux électriques à partir des variations d'une grandeur naturelle se fait
à l'aide d'un capteur ou d'un transducteur.
I.2 -- SIGNAL CONTINU OU SIGNAL ANALOGIQUE
Un signal analogique
( Fig. I.1 ) est un signal qui est
défini (par une valeur unique) pour n'importe quel
instant t. Un signal peut être fonction d'une grandeur
autre que le temps.
I.3 -- SIGNAL DISCRET
Un signal discret ( Fig. I.2) n'est défini que pour des
instants tk appartenant à un ensemble dénombrable
{
t
1
, t
2
, t
3
, t
4
, . . . t
n
, } Les signal est noté x( t
n
) ou tout
simplement
x(n) .
Les signaux rencontrés dans la nature sont par
nature des signaux analogiques. Tout traitement
numérique (discret) de ces signaux nécessite au
préalable une opération de numérisation. Ceci fera
l'objet d'un chapitre du chapitre suivant.
I.4 -- LES DEUX DOMAINES D'UN SIGNAL
Comme on vient de le voir, la représentation
naturelle d'un signal est sa représentation dans le
domaine temporel. Il existe une autre représentation
non moins importante, qui est la représentation dans le
domaine fréquentiel, qu'on appelle représentation
fréquentielle ou représentation harmonique ou tout
simplement spectre du signal. Elle consiste à
représenter la variation du signal en fonction de la
fréquence. Cette représentation est importante car elle
permet de voir l'amplitude des composantes qui
constituent le signal pour chaque fréquence
(composante spectrales). La figure (Fig. I.3) montre le
spectre d'un son grave, on remarque les composantes
basse-fréquence sont prépondérantes. La figure (Fig.
I.4) montre le spectre d'un son aigu, on remarque que
les composantes haute-fréquence sont prépondérantes.
La figure ci-dessous montre les deux
représentations de quelques signaux élémentaire qui
vont nous servir dans la suite de ce document.
x(t)
t
Fig. I.1 : signal analogique
n
x(n)
Fig. I.2 : Signal discret
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000Hz
0
500
1000
1500
Fig. I.3 : spectre d'un son grave
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
Fig. I.4 : spectre d'un son aigu

Introduction au traitement numérique du signal A. Oumnad 4
t
x(t)
f
X(f)
fo-fo
x(t) = A cos(2πf
o
t)
[
]
)ff( )ff(
2
A
)f(X
oo
++−= δδ
t
x(t)
0fo
-fo
f
R
I
x(t) = A sin(2πf
o
t)
[
]
)ff( - )ff(
j2
A
)f(X
oo
+−= δδ
f
R
I
f
X(f)
fo
t
f
j2
o
A
e
)
t
(
x
π
=
)
f
f
(
A
)
f
(
X
o
−
=
δ
t
x(t)
f
X(f)
x(t) = A
)
f
(
A
)
f
(
X
δ
=

Introduction au traitement numérique du signal A. Oumnad 5
I.5 -- REPRESENTATION DES SIGNAUX PERIODIQUE
Un signal périodique (Fig. I.5) de période T
o
est t.q. :
x
p
(t) = x
p
(t+kT
o
)
Pour suivre plus facilement l'évolution d'un signal plus ou
moins complexe à travers les système qu'il traverse, il
convient mieux de le représenter par une combinaison linéaire
de signaux simples appelés signaux élémentaires (
u
1
(t) . u
2
(t) ,
u
3
(t) . …) En théorie, on peut trouver plusieurs types de
fonctions élémentaires
u
k
(t) permettant de représenter un signal quelconque par la relation :
∑
=
=
N
0k kk
)t(ua )t(x
(1)
Dans la pratique, l'analyse de Fourier qui consiste à décomposer un signal en une somme de signaux
sinusoïdaux a éclipsé toutes les autres représentations.
I.5.1 -- SERIES DE FOURIER
Selon l'analyse de Fourier, un signal périodique
x
p
(t) peut être représenté par une série de Fourier
qui est une somme infinie de signaux sinusoïdaux.
[]
∑
∞
=
++=
1k o
k
o
k
o
p
)tkf2sin(b )tkf2cos(a
2
a
)t(x ππ (2)
avec
dt)tkfx(t)cos(2
T
2
a
o
T
o
o
k
∫
= π (3)
dt)tkfx(t)sin(2
T
2
b
o
T
o
o
k
∫
= π (4)
Ainsi un signal périodique de fréquence
f
o
est la somme d'une composante continue (valeur moyenne)
et d'un nombre infini d'harmoniques de fréquences
f
o
, 2 f
o
, 3 f
o
, 4 f
o
, . . . L'harmonique de fréquence
f
o
s'appèle le fondamental.
I.5.2 -- SERIE DE FOURIER EXPONENTIELLE COMPLEXE
Si on utilise les formules trigonométriques, on peut facilement démontrer que qu'un signal
périodique
x
p
(t) peut s'écrire sous la forme :
∑
−∞=
=
N
k
tkf2j
k
p
o
eC )t(x
π
(5)
avec
...)3,2 1,0,(n dt(t)ex
T
1
C
o
o
T
tkfj2-
p
o
k
±±±== ∫
π
(6)
Les relations entre les coefficients Ck et ak et bk sont :
()
()
()()
1,2,3,... k
C2- CCj b
C2 CC a
jba
2
1
C
a C2
kkkk
kkkk
kkk
oo
=
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
ℑ=−=
ℜ=+=
−=
=
−
−
(7)
Cette représentation complexe signifie tout simplement que chaque composante spectrale est une
sinusoïde ayant une amplitude (module de Ck) et une phase (argument de Ck ), ce qui nous amène à la
troisième forme de la série de Fourier.
t
x(t)
To0
Fig. I.5 : signal périodique