13 Cours - Systèmes linéaires.nb

Systèmes linéaires
I) Définitions
1) Equation linéaire à p inconnues
2) Système de n équations linéaire à p inconnues
3) Système homogène associé
4) Interprétation géométrique pour les systèmes à deux ou trois inconnues
5) Matrice, ensemble des matrices
6) Notation développée ou condensée
7) Exercice
8) Notation matricielle d’un système linéaire
II) Opérations élémentaires sur un système linéaire ou sur les lignes d’une matrice
1) Définition et codage
2) Exemple et présentation des calculs
3) Systèmes équivalents, matrices équivalentes en lignes
III) Résolution d’un système linéaire par la méthode de Gauss-Jordan
1) Système ou matrice échelonnés par lignes
2) Théorème de Gauss-Jordan
3) Inconnues principales, inconnues secondaires
4) Exemples
5) Echelonnement et réduction d’un système linéaire: algorithmes
6) Résolution d’un système linéaire échelonné réduit
7) Résolution d’un système linéaire échelonné par lignes
8) Bilan
9) Exemples
10) Systèmes avec des paramètres dans les coefficients
L’objectif est la résolution d’un système linéaire par la méthode de Gauss-Jordan.
Dans tout ce chapitre, K =  ou K =  et n, p sont des entiers naturels non nuls.
I) Définitions
1) Equation linéaire à p inconnues
Soient a
1
,a
2
, ..., a
p
,b des nombres donnés de K (avec K =  ou K = ). Alors:
une équation linéaire à
p
inconnues
x
1
,x
2
, ..., x
p
est une équation du type (E) : a
1
x
1
+a
2
x
2
+... +a
p
x
p
=b .
Par exemple, 2x+3y-z=7 est une équation linéaire à 3 inconnues x,y,z. Elle a une infinité de solutions: par exemple
(2,1,0), (0,3,2) sont des triplets solutions.
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2) Système de n équations linéaire à p inconnues
Soient a
i
,
j
et b
i
(avec iœ
8
1, ..., n
<
et jœ
8
1, ..., p
<
) des éléments de K.
Un système de
n
équations linéaire à
p
inconnues est un système du type: (S):
a
1,1
x
1
+
a
1,2
x
2
+
...
+
a
1,p
x
p
=
b
1
H
L
1
L
a
2,1
x
1
+a
2,2
x
2
+... +a
2,p
x
p
=b
2
H
L
2
L
ª
a
n
,
1
x
1
+a
n
,
2
x
2
+... +a
n,p
x
p
=b
n
H
L
n
L
.
• Les lignes du système sont les équations linéaires
H
L
1
L
,
H
L
2
L
,...,
H
L
n
L
• Les inconnues sont les nombres x
1
,x
2
, ..., x
p
.
• Les coefficients du système sont les nombres a
i
,
j
pour iœ
8
1, ..., n
<
et jœ
8
1, ..., p
<
.
• Les seconds membres sont les nombres b
1
,b
2
, ..., b
n
.
Remarque: On a besoin de deux indices pour les coefficients a
i
,
j
du système: l’indice de gauche i indique le numéro de ligne,
l’indice de droite
j
la position dans la ligne L
i
.
Enfin:
Résoudre le système (S) c’est trouver tous les
p
-uplets
I
x
1
,x
2
, ..., x
p
M
vérifiant les
n
équations.
Le système (S) est dit compatible lorsqu'il admet au moins un
p
-uplet solution, et est dit incompatible lorsqu'il n’a aucune
solution.
3) Système homogène associé
a) Définition
Le système homogène associé à (S) est
H
S
0
L
:
a
1,1
x
1
+
a
1,2
x
2
+
...
+
a
1,p
x
p
=
0
H
L
1
L
a
2,1
x
1
+a
2,2
x
2
+... +a
2,p
x
p
=0
H
L
2
L
ª
a
n
,
1
x
1
+a
n
,
2
x
2
+... +a
n,p
x
p
=0
H
L
n
L
(Les seconds membres sont nuls)
b) Proposition
Si
I
y
1
,y
2
, ..., y
p
M
est une solution particulière de (S), alors les solutions de (S) sont les p-uplets
I
h
1
+y
1
,h
2
+y
2
, ..., h
p
+y
p
M
avec
I
h
1
,h
2
, ..., h
p
M
une solution quelconque du système homogène
H
S
0
L
.
Remarque: cela rappelle les équations différentielles linéaires.
4) Interprétation géométrique pour les systèmes à deux ou trois inconnues
L’équation linéaire a x +b y =c est l’équation d’une droite dans le plan, l’équation linéaire a x +b y +c z =d est l’équation
d’un plan dans l’espace.
La résolution d’un système linéaire de
n
équations à deux (ou trois) inconnues revient donc à chercher l’intersection de
n
droites du plan (ou de
n
plans de l’espace).
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5) Matrice, ensemble des matrices
Soient n,pœ
*
. Une
H
n
,
p
L
(ou näp) matrice à coefficients dans K (K =  ou ) est un tableau rectangulaire de
n
lignes et
p
colonnes d’éléments de K.
L’ensemble des
H
n
,
p
L
matrices à coefficients dans K est noté M
n
,
p
H
K
L
.
6) Notation développée ou condensée d’une matrice
a) Notation développée
Une matrice M se note M=
a
1,1
a
1,2
...
a
1,p
a
2,1
a
2,2
... a
2,p
ª ª ª ª
a
n
,
1
a
n
,
2
... a
n,p
. Le terme a
i
,
j
est à l’intersection de la i
ième
ligne et de la
j
ième
colonne.
La i
ème
ligne de M est
L
i
=
I
a
i
,
1
a
i
,
2
... a
i
,
p
M
et la
j
ième
colonne de M est C
j
=
a
1,j
a
2,j
ª
a
n,j
.
b) Notation condensée
M
=
I
a
i,j
M
1bibn
1bjbp
ou M=
I
a
i,j
M
näp
ou M=
I
a
i
,
j
M
lorsque les dimensions de la matrice sont connues.
7) Exercice
a) Développer les matrices 3ä3 M=
H
2i-3j
L
et N=
H
§
i-j
§
L
b) Développer la matrice nän
P
=
H
i
-
j
L
c) Ecrire de façon condensée
A
=
1
2
...
n
n+1n+2 ... 2 n
ª ª ª ª
n
2
-n+
1
n
2
-n+
2
...
n
2
et B=
1
2
...
n
-
1
0
2 3 ... 0 1
ª ª ª ª ª
0 1 ... n-2n-1
13 Cours - Systèmes linéaires.nb 3/11

8) Notation matricielle d’un système linéaire
a) Matrices associées à un système linéaire
Soit (S) le système linéaire de
n
équations à
p
inconnnues (S):
a
1,1
x
1
+
a
1,2
x
2
+
...
+
a
1,p
x
p
=
b
1
H
L
1
L
a
2,1
x
1
+a
2,2
x
2
+... +a
2,p
x
p
=b
2
H
L
2
L
ª
a
n
,
1
x
1
+a
n
,
2
x
2
+... +a
n,p
x
p
=b
n
H
L
n
L
.
La matrice des coefficients de (S) est A=
a
1,1
a
1,2
...
a
1,p
a
2,1
a
2,2
... a
2,p
ª ª ª ª
a
n,1
a
n,2
... a
n,p
. La matrice des seconds membres est B=
b
1
b
2
ª
b
n
.
b) Ecriture matricielle
L'écriture matricielle de (S) est: (S):
a
1,1
a
1,2
...
a
1,p
a
2,1
a
2,2
... a
2,p
ª ª ª ª
a
n
,
1
a
n
,
2
... a
n
,
p
b
1
b
2
ª
b
n
. Cet “objet” s’appelle la matrice augmentée du système (S).
On peut l’assimiler à une matrice de
n
lignes et p+1 colonnes. On note (S) :
H
A B
L
.
c) Exemples
Ecrire de façon classique (S) :
2
0
-
3
1 5 4
1 1 -1
4
8
0
puis matricielle (S’) :
x
-
z
=
1
y+z=2
x+3y=3
II) Opérations élémentaires sur un système linéaire ou sur les lignes d’une matrice
1) Définition et codage
On appelle opération élémentaire sur un système linéaire ou sur les lignes d’une matrice l’une des trois transformations
suivantes:
(1) Echange de deux lignes. Par exemple L
1
õL
2
( On lit “ échange de L
1
et L
2
”)
(2) Multiplication d’une ligne par l ∫ 0. Par exemple L
1
ô3L
1
(On lit “ L
1
est remplacée par (ou devient) 3 L
1
”
(3) Ajout à une ligne du produit d’une autre ligne par l œ K. Par exemple L
2
ôL
2
-3L
3
. (On lit “ L
2
devient L
2
-3L
3
)
2) Exemple et présentation des calculs
Soit (S) :
-
2
x
+
y
+
z
=
1
x-2y+z=2
x+y-3z=3
d’écriture matricielle
-
2
1
1
1-2 1
1 1 -3
1
2
3
. Effectuer en parallèle sur les deux écritures la série de
transformations élémentaires:
1) L
1
õL
2
2) L
2
ôL
2
+2L
1
et L
3
ôL
3
-L
1
3) L
3
ôL
3
+L
2
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3) Systèmes équivalents, matrices équivalentes en lignes
a) Définitions
(1) Deux systèmes linéaires (S) et (S’) sont équivalents lorsqu’on peut passer de l’un à l’autre par une suite finie d’opérations
élémentaires sur les lignes.
On note alors (S) ñ (S’)
(2) Deux matrices sont équivalentes en lignes lorsqu’on peut passer de l’une à l’autre par une suite finie d’opérations
élémentaires sur les lignes.
On note alors M~
L
M'.
b) Théorème
Deux systèmes linéaires équivalents ont le même ensemble de solutions.
Il suffit de le montrer pour chacun des trois types d’opérations élémentaires.
III) Résolution d’un système linéaire par la méthode de Gauss-Jordan
Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) , mathématicien, astronome et physicien allemand. Surnommé « le prince des
mathématiciens », il est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps.
Wilhelm Jordan (1842 - 1899) , géodésien allemand.
1) Système ou matrice échelonnés par lignes
a) Définitions
(1) Une matrice
M
=
I
a
i,j
M
näp
est échelonnée par lignes lorsque chacune de ses lignes non nulle commence par au moins un
zéro de plus que la précédente.
(2) Un système linéaire (S):
H
A B
L
est échelonné par lignes lorsque la matrice
A
de ses coefficients est échelonnée par lignes.
(3) Les pivots d’un système ou d’une matrice échelonnés par ligne sont les premiers termes non nuls de chaque ligne non nulle.
(4) Lorsque les pivots d’un système ou d’une matrice échelonnés par ligne sont tous égaux à 1 et que ces pivots sont les seuls
coefficients non nuls de leur colonne, on dit que le système ou la matrice est échelonné(e) réduit(e).
b) Exemples
1
2
3
045
006
7
8
9
,
1
4
0
003
000
1
0
2
sont des systèmes linéaires échelonnés par lignes. (Encadrer les pivots)
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