Chapitre 5: Changements de référentiels
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Chapitre 5: Changements de référentiels Introduction La notion de vitesse est une notion relative au référentiel considéré. Afin de comprendre le mouvement, il faut utiliser le principe fondamental de la dynamique qui ne s’applique que dans un référentiel galiléen. On peut montrer que tout mouvement peut se décomposer en un mouvement rectiligne et un mouvement de rotation. Dans ce chapitre, on étudiera donc plus en détail ces deux mouvements particuliers successivement. 1 Chapitre 5: Changements de référentiels I Définitions II Lois de composition des vitesses et accélérations III Lois de Newton dans un référentiel non galiléen IV Théorème de l’énergie cinétique dans un référentiel non galiléen 2 Chapitre 5: Changements de référentiels I DEFINITIONS 1) Introduction http://www.youtube.com/watch?v=9c3RtvH‐zr8 Régate d'Aviron de mer- Coastal Rowing Regatta- Festirame_(360p).mp4 Vidéo –course de rameurs : le rameur fait des mouvements dans son aviron et l’aviron se déplace par rapport à la surface de la mer! Ceci permet donc de décomposer le mouvement en deux parties: une première par rapport à l’aviron et la deuxième par rapport à la ‘terre ferme’. 3 Chapitre 5: Changements de référentiels I DEFINITIONS 2) Référentiels relatif et absolu On considère un référentiel R fixe muni d’un repère orthonormé ( ) rr r O,I, J, K , on dira que ce référentiel est le référentiel absolu. Dans la pratique, il s’agit d’un référentiel associé à la Terre. R R’ Un autre référentiel R’ muni d’un repère orthonormé ( r r r O' , i , j , k ), en déplacement par rapport à R sera appelé référentiel relatif. 4 Chapitre 5: Changements de référentiels I DEFINITIONS 3) Vitesses absolue et relative r La vitesse du point mobile dans R est dite vitesse absolue. v a r v La vitesse du point mobile dans R’ est dite vitesse relative. r r va r vr R R’ Sur l’image : point mobile = ‘tête du rameur’ qui se déplace légèrement par rapport à l’aviron et beaucoup plus par rapport à la terre ferme. On peut étendre les définitions aux accélérations 5 Chapitre 5: Changements de référentiels I DEFINITIONS 4) Point coïncidant ‐ Vitesse d’entrainement On appelle point coïncidant de M dans R’, le point N fixe dans R’ qui coïncide à l’instant t avec M. La vitesse de ce point coïncidant dans R est dite vitesse d’entrainement, son accélération dans R’ est dite accélération d’entraînement. R’ R Sur l’image : L’extrémité de l’aviron a une vitesse nulle dans R’, référentiel associé à l’aviron, on peut même la prendre comme origine pour R’. On considère la trajectoire (dans R) de ce point. A un instant t quelconque, il est alors facile de définir N et donc la vitesse d’entrainement est …la vitesse de l’aviron par rapport à la terre (ou la mer). 6 Chapitre 5: Changements de référentiels II LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS 1) Loi de composition des vitesses ( ) r r r Dans le référentiel R O, I , J , K , le point M a pour coordonnées (X,Y,Z) ( ) r r r Dans le référentiel R’ O' , i , j , k , le point M a pour coordonnées (x,y,z) ! r r r r r r OM = X I + Y J + Z K = OO' + x i + y j + z k r r r r r & & & La vitesse absolue du point M est : v a = v (M) R = X I + Y J + Z K r r r r r La vitesse relative du point M est : v r = v (M) = x& i + y& j + z& k R' r r r Remarque : dans le référentiel R, les vecteurs i , j et k dépendent du temps. Par contre, dans le référentiel R’, ils sont indépendants du temps. Dans le cas où R’ est en translation par rapport à R, ces vecteurs sont indépendants du temps même dans R mais uniquement dans ce cas particulier. 7 Chapitre 5: Changements de référentiels II LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS 1) Loi de composition des vitesses r r r r r r OM = X I + Y J + Z K = OO' + x i + y j + z k r r r r r r r d OM d OO' d x i +y j+zk & & & = va = X I + Y J + Z K = + dt dt dt ( R R r d OO' va = dt ) R r& r& r& r r r + x i + y j + z k + x& i + y& j + z& k R r ve r r v r = v (M) R' r r Si on considère le point coïncidant, il a une vitesse nulle dans R’, donc v r = 0 . r v Les quatre premiers termes correspondent donc à la vitesse d’entrainement e . r r r va = ve + vr 8 Chapitre 5: Changements de référentiels II LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS 2) Loi de composition des accélérations ( ) r r r Dans le référentiel R O, I , J , K , le point M a pour coordonnées (X,Y,Z) ( ) r r r Dans le référentiel R’ O' , i , j , k , le point M a pour coordonnées (x,y,z) r r r r r r OM = X I + Y J + Z K = OO' + x i + y j + z k r r L’accélération absolue du point M est : a a = a (M) r r L’accélération relative du point M est : a r = a (M) r r r & & & & & & =XI+YJ+ZK R r r r = &x& i + &y& j + &z& k R' 9 Chapitre 5: Changements de référentiels II LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS 2) Loi de composition des accélérations r r r r r r OM = X I + Y J + Z K = OO' + x i + y j + z k r r r 2 2 2 r r r r d OM d OO' d x i +y j+zk & & & & & & = aa = X I + Y J + Z K = + 2 2 dt dt dt 2 ( R r d 2 OO' aa = dt 2 R R ) R r r r r& r& r& &r& &r& &r& ⎛ + x i + y j + z k + &x& i + &y& j + &z& k + 2 ⎜ x& i + y& j + z& k ⎞⎟ ⎝ ⎠ r ae r r a r = a (M) R' r ac Si on considère le point coïncidant, il a une accélération nulle dans R’, donc seuls les r quatre premiers termes correspondent donc à l’accélération d’entrainement a e . La 3 derniers termes de l’accélération correspondent à l’accélération complémentaire ou accélération de Coriolis. r r r r aa = ae + ar + ac 10 Chapitre 5: Changements de référentiels II LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS 2) Loi de composition des accélérations Remarque : le vecteur accélération d’entrainement n’est pas la dérivée du vecteur vitesse d’entrainement ! r r dv e r 1r = ae + ac ≠ ae 2 dt 11 Chapitre 5: Changements de référentiels II LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS 3) Application à deux référentiels en translation R (fixe) R’ O’(t0) O ’(t1) O ’(t2) r r ⎧I = i ⎪⎪r r ⎨J = j ⎪r r ⎪⎩K = k Déplacement de l’aviron On obtient alors facilement les résultats suivants (et intuitifs) : r r r r r v a = v e + v r = v a (O' ) + v r r r r r r a a = a e + a r = a a (O' ) + a r r r ac = 0 12 Chapitre 5: Changements de référentiels II LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS 3) Application à deux référentiels en rotation http://www.youtube.com/watch?v=aoDlDSiBz‐Q Manip Lycée Montaigne de Bordeaux_ forces d'inertie sur un plateau en rotation_(360p).mp4 R (fixe) r r K=k R’ (en rotation) ( r ω θ (main droite) r I θ r i r r Les vecteursr i et r j correspondent aux vecteurs u r et u θ des coordonnées r r r polaires dans le repère O, I , J , K r j r J ) r On définit le vecteur rotation par : ω r r r ω=ωK =ωk r A Pour un vecteur de norme constante, r r r dA =ω∧A dt 13 Chapitre 5: Changements de référentiels II LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS 3) Application à deux référentiels en rotation R (fixe) R’ (en rotation) r r K=k r ω θ r I r d OO' va = dt r j r J r r ⎧di r r =ω∧ i =ω j ⎪ dt ⎪ r r ⎪⎪ d j r r = ω ∧ j = -ω i ⎨ ⎪ dtr ⎪ dk r r r =0=ω∧k ⎪ ⎪⎩ dt Règle des 3 doigts r Π r B r A Main droite r i θ r& r& r& r r r + x i + y j + z k + x& i + y& j + z& k R r ve r& r& r& r r v e = x i + y j + z k = ω ∧ OM r r v r = v (M) r r r v a = ω ∧ OM + v r R' 14 Chapitre 5: Changements de référentiels II LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS 3) Application à deux référentiels en rotation R (fixe) r r K=k R’ (en rotation) r ω θ r I θ r j r J r r r v a = ω ∧ OM + v r r r Pas de rotation : ω = 0 r r va = vr r i Mouvement rectiligne dans le référentiel absolu. 15 Chapitre 5: Changements de référentiels II LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS 3) Application à deux référentiels en rotation R (fixe) r r K=k R’ (en rotation) r ω θ r I θ r i r j r J r r r v a = ω ∧ OM + v r Rotation du plateau dans le sens trigonométrique bille r va r r r vr = va − ve r ve La caméra est solidaire du référentiel relatif r ω 16 Chapitre 5: Changements de référentiels II LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS 3) Application à deux référentiels en rotation R (fixe) r r K=k R’ (en rotation) r ω θ r j r J r r r v a = ω ∧ OM + v r Rotation du plateau dans le sens horaire r r r vr = va − ve bille r I θ r va r i La caméra est solidaire du référentiel relatif r ω r ve 17 Chapitre 5: Changements de référentiels II LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS 2) Loi de composition des accélérations r r r r aa = ae + ar + ac r d 2 OO' aa = dt 2 =0 car O=O’ r r& d i r r i = =ω∧ i dt R r r r r& r& r& &r& &r& &r& ⎛ + x i + y j + z k + &x& i + &y& j + &z& k + 2 ⎜ x& i + y& j + z& k ⎞⎟ ⎝ ⎠ r r a r = a (M) r ae ( ) r ac R' r r r&& d ω r& r r r& r& r r r r ∧i =ω∧ i +ω∧ i =ω∧ i +ω∧ ω∧ i i = dt ( ( r r r r& a e = ω ∧ OM + ω ∧ ω ∧ OM ) ) r r r ac = 2ω ∧ vr 18 Chapitre 5: Changements de référentiels II LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS 3) Application à deux référentiels en rotation R (fixe) r r K=k R’ (en rotation) r ω θ r I θ r j r J r i r r On suppose ω=Cste donc a e ⊥ v e r r D’autre part, a c ⊥ v r r ar On peut alors en déduire qui est orienté vers l’intérieur de la trajectoire (r r r& r r a e = ω ∧ OM + ω ∧ ω ∧ OM ) r r r r r r ac = 2ω ∧ vr aa = ae + a r + ac Rotation du plateau dans le sens trigonométrique r ac r aa r vr bille r ar r va r ve r ae La caméra est solidaire du référentiel relatif r ω 19 Chapitre 5: Changements de référentiels III LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN 1) Référentiels galiléens et non galiléens Nous avions vu qu’un référentiel terrestre R pouvait être considéré comme un référentiel galiléen. On considère un référentiel un référentiel R’ en mouvement par rapport à R. A quelle condition ce référentiel est‐il galiléen ? Rappel : Un référentiel R est dit galiléen si un mobile infiniment éloigné de tout autre objet matériel est : ‐) soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme ‐) soit y est immobile a e r c r r r r a =a +a +a Si R’ est en rotation autour de R, R’ est forcément non galiléen r r r Si R’ est en translation par rapport à R, a a = a a (O' ) + a r Pour que R’ soit galiléen, O’ doit avoir un mouvement uniforme dans R. Donc R’ est galiléen ssi il est animé d’un mouvement rectiligne uniforme dans R. 20 Chapitre 5: Changements de référentiels III LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN 2) Principe fondamental de la dynamique (PFD) Rappel : Dans un référentiel rgaliléen, le mouvement d’unr point r matériel de masse m soumis à un ensemble de forces dont la résultante est F possède une accélération a = F / m r r r r dv dp On écrit ce principe sous la forme : F = m a = m = dt dt r r r r aa = ae + ar + ac Que fait‐on pour un référentiel non galiléen ? On doit écrire le PFD dans un référentiel r r r r r galiléen, dans R donc : F = m a = m (a e + a c + a r ) r r r r m a r = F + fe + fc r r f e = − m a e = pseudo‐force d’entraînement r r f c = −m a c = pseudo‐force de Coriolis 21 Chapitre 5: Changements de référentiels III LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN 2) Principe fondamental de la dynamique (PFD) r r r r m a r = F + fe + fc r r f e = −m a e = pseudo‐force d’entraînement r r f c = − m a c = pseudo‐force de Coriolis r fe Rotation du plateau dans le sens trigonométrique r r F = 0 car le poids est compensé par la réaction du support si on néglige les frottements sur le r ac r aa bille r ar r ae plateau tournant. La caméra est solidaire du référentiel relatif r ω r fc 22 Chapitre 5: Changements de référentiels III LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN 2) Principe fondamental de la dynamique (PFD) Un exemple : pendule dans une voiture. Quel est le mouvement d’un pendule dans une voiture selon que la voiture freine ou accélère ? http://www.youtube.com/watch?v=MhmUQ2ew2kw Différents mouvements d'une voiture_(360p).mp4 Dans le film : 4 situations = phase d’accélération, vitesse constante, freinage…et virage à droite 23 Chapitre 5: Changements de référentiels III LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN 2) Principe fondamental de la dynamique (PFD) r r r r aa = ae + ar + ac r r Vitesse constante : a a = 0 r r ae = 0 r r donc, a r = 0 r T r aa r r P=mg Pendule vertical : la tension du fil compense le poids de la masselotte 24 Chapitre 5: Changements de référentiels III LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN 2) Principe fondamental de la dynamique (PFD) r aa r T α r fe r r r r aa = ae + ar + ac La voiture accélère. On se place dans la situation où le pendule est à l’équilibre … que vaut l’angle α? r r P=mg 25 Chapitre 5: Changements de référentiels III LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN 2) Principe fondamental de la dynamique (PFD) r aa r T α r fe r r P=mg r r r r aa = ae + ar + ac On se place dans la situation où le pendule est à l’équilibre r … r Cela veut dire que a r = 0 On va appliquer le PFD… dans R et pas dans R’ qui est le référentiel associé à la voiture. MAIS, le pendule est associé à la voiture, on cherche donc son mouvement dans R’. On a toujours deux forces : le poids et la tension du fil. D’après le schéma, on voit bien que la somme de ces deux forces ne peut être nulle même si le pendule est à l’équilibre, ceci est r r r du à la pseudo‐fore d’entraînement. f e = − m a e = − m a a 26 Chapitre 5: Changements de référentiels III LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN 2) Principe fondamental de la dynamique (PFD) r aa r T α r fe r r r r aa = ae + ar + ac r r r r r F = m a a = m (a e + a c + a r ) r r r r r P + T = m a a = m a e = −f e Pour éviter de calculer la tension du fil, on va projeter sur une r r P=mg direction orthogonale à ce fil afin d’en déduire l’angle α. aa fe a e = − f e cos α + P sin α = 0 Donc, tan α = = P g g On peut également définir un poids effectif tel que la relation vérifiée à vitesse constante 27 Chapitre 5: Changements de référentiels III LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN 2) Principe fondamental de la dynamique (PFD) r aa r r r r r P + T = m a a = m a e = −f e r T α On peut également définir un poids effectif tel que : r fe r Peff r r r r aa = ae + ar + ac r r r Peff + T = 0 r r P=mg r r r Peff = P + f e r r r Peff = P + f e = m g 2 + a e2 = m g eff g eff a e2 = 1+ 2 g g Plus l’accélération est forte, plus on ressent de « g ». 28 Chapitre 5: Changements de référentiels III LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN 2) Principe fondamental de la dynamique (PFD) Même chose avec un virage (tourner à droite) r T r r r r aa = ae + ar + ac r fe r r r r a = 0 A l’équilibre, et vr = 0 r r r f e = −m a e r ve α r r P=mg r ω r ae ( r r r r a e = ω& ∧ OM + ω ∧ ω ∧ OM r r r a e = ω ∧ ω ∧ OM Si ω=Cste r r ac = 0 ( ) ) Le raisonnement est identique, mais la norme de l’accélération d’entrainement vaut ??? Réponse : a e = ℜ ω 2où ℜ est le rayon du cercle parcouru par la voiture et ω, la vitesse angulaire de la voiture. Si V est la vitesse de la voiture (affichée au compteur), V = ℜ ω V2 g eff V4 et donc, a e = (utilisé pour la centrifugation) = 1+ 2 2 29 ℜ g ℜ g Chapitre 5: Changements de référentiels III LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN 2) Principe fondamental de la dynamique (PFD) La force de Coriolis : mouvement dans un référentiel en rotation http://www.youtube.com/watch?v=_36MiCUS1ro The Coriolis Force_(360p).mp4 r r r r aa = ae + ar + ac ( r r r r a e = ω ∧ ω ∧ OM r r ac = 2ω ∧ vr ) r r f c = −m a c = pseudo‐force de Coriolis 30 Chapitre 5: Changements de référentiels III LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN 2) Principe fondamental de la dynamique (PFD) r fe r ae r ω r r r r aa = ae + ar + ac ( r r r a e = ω ∧ ω ∧ OM r r f e = −m a e r ve ) OM est un vecteur radial colinéaire à donc la force d’entrainement l’est aussi. Cette force ne peut expliquer la déviation de la balle vers la droite (vu de l’observateur), vers la 31 gauche vu du lanceur (en jaune) Chapitre 5: Changements de référentiels III LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN 2) Principe fondamental de la dynamique (PFD) r fc r ac r vr r r r r aa = ae + ar + ac r r r a c = 2 ω ∧ v r Le r r f c = −m a c r ω vecteur v r est tangent à la trajectoire, l’accélération de Coriolis est donc orthogonale à celle‐ci et la force de Coriolis entraîne un mouvement ‘latéral’ qui explique la déviation de la balle par rapport à la ligne droite 32 Chapitre 5: Changements de référentiels IV THEOREME DE L’ENERGIE CINETIQUE DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN 1) Théorème de l’énergie cinétique r F Rappel : dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie cinétique d’un point matériel soumis à une force , r AB F entre un point A et un point B de sa trajectoire, est égal au travail de sur l’arc de trajectoire . E c (B) − E c (A ) = WA → B () r F Dans un référentiel non galiléen, il faut rajouter aux forces, les pseudo‐forces d’inertie E c (B) − E c (A ) = WA → B () ( r r F + WA → B f inertie ) 33 Chapitre 5: Changements de référentiels IV THEOREME DE L’ENERGIE CINETIQUE DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN 2) Energie mécanique Dans un référentiel non galiléen, si un système est soumis à des forces r à circulation conservative, à des forces à circulation non‐conservatives de résultante Fnc et à des forces ne travaillant pas, E m (B) − E m (A ) = WA → B ( ) ( r r Fnc + WA → B f inertie ) r f inertie est la résultante des forces d’inertie 34 Chapitre 5: Changements de référentiels V RESUME r r r Loi de composition des vitesses : v a = v e + v r r r r r Loi de composition des accélérations : a a = a e + a r + a c Pour un référentiel en translation par rapport à un référentiel fixe : r r r r r v a = v e + v r = v a (O' ) + v r r r r r r r r a a = a e + a r = a a (O' ) + a r a c = 0 Pour un référentiel en rotation autour du référentiel fixe ( r r r r r& r r v a = ω ∧ OM + v r a e = ω ∧ OM + ω ∧ ω ∧ OM ) r r r ac = 2ω ∧ vr Pseudo‐forces : r r r r f e = −m a e = pseudo‐force d’entraînement f c = −m a c = pseudo‐force de Coriolis Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen : r r r r m a r = F + fe + fc 35
