03 - Problèmes à un degré de liberté

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CHAPITRE 3 : PROBLEMES A UN DEGRE DE LIBERTE
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CHAPITRE 3 : PROBLEMES A UN DEGRE DE LIBERTE
I.
INTRODUCTION
Nous appliquerons dans ce chapitre les résultats du chapitre 2 à l’étude de problèmes simples
n’ayant qu’un seul degré de liberté, et pouvant donc être décrits à l’aide d’une seule coordonnée.
Les équations étudiées seront donc scalaires et non plus vectorielles.
Nous introduirons pour ce faire les notions d’énergie potentielle et d’énergie mécanique qui sont
d’une grande utilité dans le traitement de nombreux problèmes en physique.
II.
ENERGIE POTENTIELLE
1) Energie potentielle et forces conservatives
Il arrive fréquemment que le travail exercé par une force soit indépendant du chemin Γ suivi par son
point d’application et ne dépende que des extrémités de sa trajectoire. On peut alors écrire :
WAB = ∫ δ W = Ep ( x A ) − Ep ( xB )
Γ
où Ep ( x ) est une fonction de la position1, nommée énergie potentielle. Une conséquence
importante est que le travail exercé par une telle force lorsque le point matériel accomplit un
parcours fermé est nul :
WAB = ∫ δ W = 0
Γ
Le travail élémentaire peut donc s’écrire dans ce cas sous la forme de l’opposé de la différentielle
de la fonction énergie potentielle :
δ W = −d Ep
(nous reviendrons plus bas sur le choix conventionnel du signe moins). L’énergie potentielle est
définie à une constante près, sans importance car cette fonction n’apparaît physiquement que sous
forme de différence. En remplaçant le travail élémentaire par son expression, on voit que la force
s’exprime alors comme la dérivée d’une énergie potentielle :
dE ( x)
F =− p
dx
C’est par exemple le cas du poids, comme nous le verrons plus bas, et, plus généralement, le cas des
quatre forces d’interactions fondamentales de la physique. De telles forces sont dites conservatives.
2) Exemples
•
Energie potentielle de pesanteur
Plaçons nous dans le cas du mouvement d’un point matériel dans un champ
de pesanteur, suivant l’axe vertical Oz, en négligeant les frottements de l’air
(figure 3.1.). Le travail élémentaire exercé par le poids sur le point matériel
s’écrit :
δ W = F × dz = mg × dz
où g = g ⋅ e z = − g
La force étant constante au cours du mouvement, on en déduit l’expression
de l’énergie potentielle de pesanteur :
1
z
B
g
A
Figure 3.1. : Mouvement
vertical dans un champ
de pesanteur
et éventuellement des caractéristiques intrinsèques du point matériel : masse, charge, qui ne sont pas des degrés de
liberté
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δ W = d ( mgz ) = − d Ep ( z ) ⇒ Ep ( z ) = − mgz
en choisissant la constante nulle pour une altitude nulle. On remarque que l’énergie potentielle de
pesanteur Ep est une fonction linéaire de l’altitude z et que, plus l’altitude est grande, plus Ep est
élevée (figure 3.2.a.).
Ainsi, si, comme sur le schéma, on passe de A à B avec z B > z A , la variation d’énergie potentielle est
positive ( Ep augmente) :
Ep ( B ) − Ep ( A ) = − mg ( z B − z A ) > 0
Le travail fourni par le poids est alors résistant : le poids « lutte » contre le déplacement.
Au contraire, si le point d’arrivée est à une altitude plus basse que le point de départ, l’énergie
potentielle diminue et le travail exercé par le poids est moteur.
Dans tous les cas, il est important de voir que seules les extrémités de la trajectoire ont une importance
dans le calcul de la variation d’énergie potentielle (et donc dans le travail fourni au point matériel). Peu
importe que le point matériel soit allé directement de A à B ou bien qu’il ait fait du « yo-yo » au cours
de son déplacement.
εp
(J)
εp
(J)
(m)
x (m)
Figure 3.2.a. : Profil d’énergie potentielle de pesanteur Figure 3.2.b. : Profil d’énergie potentielle élastique
point matériel de masse m = 1 kg, avec g= -10 m.s-2
point matériel fixé à un ressort de longueur x0=5cm et
de raideur k = 3N.m-1
•
Energie potentielle élastique
Plaçons nous dans le cas du mouvement rectiligne d’un point matériel fixé à un ressort de raideur k.
Dans la limite d’élasticité du ressort, la force de rappel est proportionnelle au déplacement par rapport
à la position d’équilibre x0 , la constante de proportionnalité étant égale à k (figure 3.3.).
F = − k ( x − x0 ) e x
m
x
0
x0
x
Figure 3.3. : Masse fixée à un ressort élastique
On voit qu’on peut exprimer le travail élémentaire comme l’opposé de la différentielle d’une fonction
« énergie potentielle élastique » :
2
⎛ k ( x − x0 )2 ⎞
k ( x − x0 )
δ W = F × dx = − k ( x − x0 ) × dx = − d ⎜
⎟ ⇒ Ep ( x ) =
⎜
⎟
2
2
⎝
⎠
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(la constante étant choisie nulle pour une longueur de ressort égale à sa longueur au repos). La force de
rappel élastique est donc conservative et le profil d’énergie potentielle correspondant est parabolique
(figure 3.2.b.).
III.
ENERGIE MECANIQUE
1) Définition
Appliquons le théorème de l’énergie cinétique au mouvement d’un point matériel soumis à une
force conservative :
d Ec = δ W = − d Ep ⇒ d ( Ec + Ep ) = 0
Il apparaît donc naturellement une nouvelle fonction appelée énergie mécanique, notée EM , égale à
la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle :
E M ≡ Ec + Ep
Ceci justifie à posteriori notre choix conventionnel du signe moins dans la définition de l’énergie
potentielle. Lorsqu’un point matériel est soumis à des forces conservatives, son énergie mécanique
est donc conservée 2 :
∆E M = 0
dE M = 0
ou
après intégration
où nous comprenons l’origine de l’appellation de force conservative.
Exemple :
Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, on lâche à l’altitude z0 , sans vitesse initiale, un objet
de masse m et on néglige les frottements de l’air. On assimile l’objet à un point matériel.
Appliquons la conservation de l’énergie mécanique au point matériel pendant sa chute libre, alors
qu’il est à l’altitude z1 < z0 (la verticale est orientée comme sur la figure 3.1.) :
∆EM = EM ( z1 ) − EM ( z0 ) = 0 ⇔ Ec ( z1 ) − Ec ( z0 ) = EP ( z0 ) − EP ( z1 ) ⇒ v1 =
2 g ( z1 − z0 )
où, dans la dernière égalité, nous avons utilisé la définition de l’énergie cinétique, la valeur nulle de
la vitesse initiale, l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur et où nous avons simplifié la
masse qui apparaissait aux deux membres de l’équation. Nous retrouvons sans surprise
l’indépendance d’un mouvement de chute libre vis à vis de la masse.
A la surface de la Terre, l’intensité de la pesanteur (mesurée algébriquement dans le sens des z
croissants) est g = –10m.s–2. Le point matériel a donc, après 5 mètres de chute libre, acquis une
vitesse v1 10m.s -1 .
2) Forces non-conservatives
Avant de revenir à un cas plus général, il nous faut nous faire une idée plus précise de ce que
peuvent être des forces non-conservatives sur un exemple. Nous en avons déjà rencontré : il s’agit
des forces de frottements, en tout point opposées à la vitesse et exerçant donc un travail résistant :
WAB = ∫ δ W = ∫ −α v ⋅ dr < 0 ∀Γ
Γ
Γ
Il est clair que le travail qu’elles exercent sur le point matériel entre deux points A et B dépend du
chemin emprunté pour joindre ces deux points : à vitesse constante, le travail sera plus important si
le trajet est plus long et, pour un trajet de longueur donnée, le travail sera plus important si la vitesse
est plus grande.
2
En physique, actuellement, la conservation de l’énergie totale est un principe (1er principe de la thermodynamique). A
chaque fois qu’il est mis en défaut, on introduit de l’énergie sous une nouvelle forme (travail, chaleur, énergie de masse
…) de manière à ce que l’énergie totale soit conservée.
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3) Théorème de l’énergie mécanique
Plaçons nous maintenant dans le cas général, où les forces appliquées sont quelconques. Dans le
théorème de l’énergie cinétique, séparons les termes des travaux δ W c correspondant à des forces
conservatives et les termes δ W nc correspondant à des forces non-conservatives, puis introduisons
l’énergie potentielle pour faire apparaître l’énergie mécanique :
d Ec = δ W c + δ W nc = − d Ep + δ W nc ⇔ d ( Ec + Ep ) = δ W nc
⇔ d EM = δ W nc ⇒ ∆E M = W nc après intégration
La variation de l’énergie mécanique au cours d’un déplacement est donc égale au travail exercé sur
le point matériel par les forces non-conservatives : c’est le théorème de l’énergie mécanique. Ce
résultat n’est qu’une variante du théorème de l’énergie cinétique dans lequel on a fait apparaître
l’énergie potentielle, il n’apporte donc aucune nouveauté au niveau du calcul.
La notion d’énergie, par contre, prend davantage de sens : l’énergie mécanique, propre au point
matériel, n’est modifiée que par l’action de forces non conservatives. Le travail de ces forces nonconservatives correspond à un échange d’énergie avec le milieu extérieur. Par exemple, dans le cas
des frottements fluides, le point matériel cède de l’énergie au fluide sous forme de chaleur à mesure
qu’il s’y frotte.
4) L’oscillateur harmonique
Nous étudions le système suivant, très important en physique : dans le référentiel terrestre supposé
galiléen, un point matériel de masse m est accroché à un ressort de longueur au repos x0 et de raideur
k. Le point matériel coulisse sans frottement sur une tige horizontale (figure 3.3.). Nous écartons le
point matériel de sa position d’équilibre d’une distance ∆x vers les x positifs puis nous le lâchons
sans vitesse initiale à la date t = 0. La masse étant contrainte de se déplacer le long de la tige, la
seule force à considérer est la force de rappel élastique et le mouvement n’a qu’un seul degré de
liberté.
La force de rappel élastique étant conservative, on exprime la conservation de l’énergie mécanique :
k ( x − x0 )
1
EM = Ec + Ep = cte où Ec = mx 2 et Ep ( x ) =
, soit :
2
2
2
1 2 k ( x − x0 )
mx +
=C
2
2
Les conditions initiales x ( 0 ) = 0 et x ( 0 ) = x0 + ∆x permettent de trouver la constante :
2
C = k ∆x 2 2 . On a donc :
mx 2 + k ( x − x0 ) = k ( ∆x )
2
2
qui est une équation différentielle du premier ordre. Elle devient, en posant X = x − x0 et ω02 = k m
( ω0 est la pulsation propre du système) :
X 2 + ω02 X 2 = ω02 ( ∆x )
2
En se souvenant de la relation cos 2 θ + sin 2 θ = 1 et en tenant compte de la condition initiale
X ( 0 ) = 0 , on obtient immédiatement :
X = ∆x × cos (ω0t )
Le mouvement de la masse est donc sinusoïdal, de période T = 2π ω0 = 2π m k (figure 3.4.).
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X
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Figure 3.4. : Evolution sinusoïdale de la
coordonnée et de la vitesse
Distances en mètres.
Vitesses en unités de ω0 .
Durées en secondes.
m = 100g ; ∆x = 1cm ; k = 3N.m
-1
Figure 3.5. : Evolution de l’énergie potentielle et de
l’énergie cinétique au cours du mouvement
Energies en joules
Durées en secondes
m = 100g ; ∆x = 1cm ; k = 3N.m
-1
Il est intéressant de tracer sur un graphique l’évolution temporelle des énergies cinétique et
potentielle (figure 3.5.) : on y voit clairement que l’énergie mécanique reste constante et qu’elle se
trouve alternativement entièrement sous forme potentielle ( X = ±∆x ; X = 0 ) puis entièrement sous
forme cinétique ( X = 0 ; X = ±ω0 ∆x ), le transfert d’une forme à l’autre se produisant dans une
durée T 2 .
L’équation du mouvement obtenue ci-dessus et rappelée ici pour mémoire :
2
X 2 + ω02 X 2 = ω02 ( ∆x )
est une équation différentielle du premier ordre qui exprime la conservation de l’énergie mécanique
au cours du mouvement. En prenant sa dérivée temporelle, et en éliminant la solution « parasite »
X = 0 (introduite lors de la dérivation du théorème de la puissance cinétique), on trouve l’équation
du mouvement du second ordre classique, dite équation de l’oscillateur harmonique, que l’on aurait
obtenue en utilisant la loi fondamentale de la dynamique :
2mXX + 2kXX = 0 ⇒ X + ω02 X = 0
On dit pour cette raison que l’énergie mécanique est une intégrale première du mouvement.
Remarque :
En faisant la moyenne des énergies cinétique et potentielle sur une période, on obtient :
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⎧
1 T
∆x 2 k T 2
∆x 2 k
E
E
ω
=
dt
=
sin
t
dt
=
(
)
c
0
⎪⎪ c
T ∫0
2T ∫0
4Tm 2
⎨
2
2
⎪ E = 1 T E dt = ∆x k T cos 2 ( ω t ) dt = ∆x k = E = E 2
c
M
0
⎪⎩ p T ∫0 p
2T ∫0
4Tm 2
où on a utilisé le fait que la moyenne du carré d’une fonction sinusoïdale sur une période est égale à
un demi. On a donc pour l’oscillateur harmonique :
Ec = Ep = EM 2
L’énergie mécanique est donc distribuée en moyenne pour moitié sous forme cinétique et pour
moitié sous forme potentielle.
IV.
EQUILIBRES
1) Représentation graphique de l’énergie potentielle
La conservation de l’énergie mécanique dans le cas d’un point matériel soumis uniquement à des
forces conservatives permet d’obtenir des informations sur le mouvement par une méthode
graphique. Les forces conservatives dérivent d’une énergie potentielle : F = − d Ep dx . Soit le profil
d’énergie potentielle quelconque représenté sur la figure 3.6. (l’énergie potentielle est considérée
nulle pour les parties non représentées du profil).
Supposons que le point matériel soit initialement situé à l’abscisse x0 . Son énergie mécanique EM
est alors au moins égale à l’énergie potentielle à cette position : EM ≥ E0 .
La condition pour que le point matériel puisse accéder à l’abscisse x est qu’il n’y ait pas entre x0 et
x de maxima de potentiel supérieur à son énergie mécanique :
• E0 ≤ EM ≤ E1 : Le mouvement du point matériel est borné : x ∈ [ x1 , x1′ ]
•
E1 ≤ EM ≤ E2 : Le mouvement du point matériel est libre : x ∈ [ x2 , +∞[
•
Em ≥ E2 : Le point matériel a accès à toutes les valeurs de x : x ∈ ]−∞, +∞[
Ep
E2
E1
E0
x
x1’
Figure 3.6. : Zones accessibles au mouvement d’un point matériel soumis à des forces
conservatives (mouvement unidimensionnel)
x2 x1
x0
2) Positions d’équilibre stables et instables
D’après la loi fondamentale de la dynamique, l’équilibre d’un point matériel est atteint si F = 0 .
Dans le cas de forces conservatives, cette condition est équivalente à d Ep dx = 0 : sur un profil
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d’énergie potentielle, les positions où un point matériel peut rester immobile sont donc situées aux
extrema de la fonction énergie potentielle. Sur la figure 3.6., cela est le cas aux abscisses x0 , x1′ et
x2 .
La position x0 , i.e. un minima d’énergie, est une position d’équilibre stable : si le point matériel est
déplacé de sa position d’équilibre d’une petite distance, la force conservative F = − d Ep dx va
ramener le point matériel vers la position d’équilibre comme on peut le voir en écrivant la loi
fondamentale de la dynamique :
1 d Ep
x=−
m dx
et en comparant avec le signe de la dérivée de V sur la figure 3.6., à gauche et à droite de x0 :
si x < x0 , d Ep dx < 0 et x > 0 : le point matériel est accéléré vers x0
si x > x0 , d Ep dx > 0 et x < 0 : idem
Au contraire, les positions x1′ et x2 , i.e. les maxima de l’énergie potentielle, sont des positions
d’équilibre instable : si le point matériel en est écarté, la force F = − d Ep dx va amplifier la
perturbation dans le sens du déplacement et s’éloigner de la position d’équilibre instable.
En résumé :
d 2Ep
d 2Ep
>
0
⇒
stable
;
< 0 ⇒ instable
dx 2
dx 2
En effet, l’extremum est un minimum si la deuxième dérivée de l’énergie est positive, et c’est un
maximum si elle est négative (figure 3.7.)
f(x)
f(x)
minimum
x
x
df/dx
df/dx
x
première
dérivée
croissante
d²f/dx²
deuxième dérivée
positive
maximum
d²f/dx²
première
dérivée
décroissante
x
deuxième dérivée
négative x
x
Figure 3.7. : Un extremum est un minimum si sa deuxième dérivée est
positive et un maximum si elle est négative
3) Petits mouvements au voisinage d’une position d’équilibre stable
Notre étude de l’énergie potentielle est une bonne opportunité pour introduire un outil indispensable
au physicien : le développement de Taylor d’une fonction. Au voisinage de la position d’équilibre
stable x0 , on peut développer l’énergie potentielle en série de Taylor :
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Ep ( x ) =
∞
∑
n=0
Ep
( n)
( x0 )
n!
( x − x0 )
n
où Ep
( n)
( x0 ) =
d Ep ( x0 )
soit :
La constante Ep0
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d nE p ( x )
dx n
.
x = x0
2
1 d Ep ( x0 )
2
Ep ( x ) = Ep0 +
( x − x0 ) +
( x − x0 ) + ...
2
2 dx
dx
est inintéressante, nous la fixons égale à zéro (ce qui revient, sur la figure 3.6., à
fixer E0 = 0 ). Le terme suivant est nul par hypothèse, puisque nous développons Ep au voisinage
d’une position d’équilibre. Le premier terme non-nul est donc le troisième terme de la série de
Taylor. Dans la limite où les écart considérés ( x − x0 ) sont suffisamment petits, le premier terme
non nul suffit à décrire la fonction. En effet :
( x − x0 )
3
( x − x0 )
2
si
( x − x0 )
1
x0
On peut donc écrire, au voisinage d’une position d’équilibre stable :
d 2Ep ( x0 )
k
2
Ep ( x ) = ( x − x0 ) + o ( x3 )
où on a posé k =
.
2
dx 2
L’équation du mouvement est alors, d’après la loi fondamentale de la dynamique et l’expression de
la force conservative en fonction du potentiel dont elle dérive :
k
1 d Ep
x=−
− ( x − x0 )
m dx
m
2
que l’on réécrit, en posant X = x − x0 et ω0 = k m :
X + ω02 X = 0
On trouve l’équation du mouvement de l’oscillateur harmonique. Tout point matériel soumis à des
forces conservatives proche d’une position d’équilibre stable sera donc animé du mouvement étudié
dans le § III.4.
4) Portrait de phase de l’oscillateur harmonique
Le portrait de phase d’un mouvement unidimensionnel s’obtient en traçant le mouvement dans le
plan ( X , X ) . La courbe paramétrique du mouvement de l’oscillateur harmonique, avec les
conditions initiales utilisées dans le § III.4., est alors :
⎪⎧ X ( t ) = ∆x cos (ω0t )
⎨
⎪⎩ X ( t ) = −ω0 ∆x sin (ω0t )
Le portrait de phase de l’oscillateur harmonique est donc une ellipse, parcourue dans le sens
indirect (figure 3.8.). La situation initiale est le point situé en X = ∆x , X = 0 , l’énergie potentielle
est maximale et l’énergie cinétique est nulle.
• Dans le premier quadrant, le point matériel est rappelé vers la position d’équilibre X = 0 . Sa
vitesse est négative et augmente en valeur absolue tandis que son abscisse diminue. La
vitesse passe par un maximum (en valeur absolue) en X = 0 , alors que la force s’annule.
• Dans le deuxième quadrant, le point matériel est passé à gauche de la position d’équilibre :
la force de rappel change donc de sens (figure 3.6.) : le point matériel est freiné jusqu’à ce
que sa vitesse s’annule à nouveau : l’énergie potentielle est alors maximale.
• La deuxième moitié de la période est similaire et le lecteur n’aura aucun mal à la décrire ; la
période est achevée lorsque le point matériel a retrouvé sa situation initiale dans le plan
(X, X ).
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En mécanique newtonienne, l’équation du mouvement et les conditions initiales spécifient le
mouvement sans équivoque, aussi précisément qu’on le désire 3. On reconnaît donc un mouvement
périodique à la fermeture de son portrait de phase : une même équation du mouvement et de mêmes
conditions mènent inévitablement au même mouvement, donc à une nouvelle période.
X
X
sens de parcours
Figure 3.8. : Portrait de phase de l’oscillateur harmonique
m = 100g ; ∆x = 1cm ; k = 3N.m
V.
-1
(distances en mètres, vitesses en m.s-1)
OSCILLATEUR HARMONIQUE AMORTI A UN DEGRE DE LIBERTE
1) Equation du mouvement
Nous nous intéressons dans cette section au cas plus général où le point matériel est soumis, en plus
des forces conservatives F = − d E p dx , à une force de frottement fluide f = −α x . La loi
fondamentale de la dynamique permet d’écrire l’équation du mouvement :
1 dEp α
x=−
− x
m dx m
Si, de plus, on veut étudier le mouvement du point matériel au voisinage d’une position d’équilibre
stable x0 , l’équation du mouvement devient, d’après les résultats de la section précédente :
1
X + X + ω02 X = 0
τ
où on a posé X = x − x0 ; ω = k m ; τ = m α homogène à une durée. C’est l’équation du
mouvement de l’oscillateur harmonique amorti. Comme la coordonnée X et ses dérivées
n’apparaissent qu’à la puissance 1, elle est linéaire (toute combinaison linéaire de solutions est une
solution).
2
0
2) Résolution de l’équation différentielle
Cherchons des solutions de la forme X = X 0 e rt ; on obtient le polynôme caractéristique :
r
r 2 + + ω02 = 0
τ
3
cette précision absolue est invalidée par la mécanique quantique, selon laquelle on ne peut connaître à la fois la
précision et la vitesse avec toute la précision que l’on veut.
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1
1
1
1
et
r− = − − ω0
+ ω0
−1
−1
2 2
2τ
4ω0τ
2τ
4ω02τ 2
La solution générale de l’équation du mouvement est une combinaisons linéaire de ces deux
solutions :
X = X + e r+t + X − e r−t
On distingue alors trois cas, selon que le terme sous la racine carré est négatif, positif ou nul.
Introduisons le facteur de qualité Q de l’oscillateur : Q ≡ ω0τ . Q est un nombre, sans dimension,
avec lequel on peut réécrire l’équation du mouvement :
r+ = −
de solutions :
ω0
X + ω02 X = 0
Q
Remarquons que la limite de cet oscillateur harmonique amorti pour Q → ∞ (i.e. τ → ∞ , i.e.
α → 0 ) est l’oscillateur harmonique tel qu’il a été étudié dans la section IV.
X+
1er cas : Q > 1 2 (cas le plus fréquent)
•
On a alors r± = −
1
1
1
1
± iω0 1 −
= − ± iωa où i 2 = −1 et ωa = ω0 1 −
. On en déduit :
2
2τ
4Q
2τ
4Q 2
X =e
−
1
t
2τ
⎡⎣ X + eiωat + X − e −iωat ⎤⎦
X étant réel, X * = X . Donc :
X + eiωat + X − e −iωat = X +* e −iωat + X −*eiωat
X
d’où X −* = X + et X +* = X − . En posant X + = 0 eiϕ (avec X 0 et ϕ réels), l’équation peut donc se
2
mettre sous la forme :
X =e
−
1
t
2τ X
0
cos (ωa t + ϕ )
où les constantes se trouvent avec les conditions initiales.
Exemple :
Si on choisit les mêmes conditions initiales que dans le § IV., on trouve :
X ( 0 ) = 0 ⇒ ϕ = arctan ( −1 2ωaτ ) ; X ( 0 ) = ∆x ⇒ X 0 = ∆x cos ϕ
X =e
d’où :
−
1
t
2τ
∆x
cos [ arctan ( −1/ 2ωaτ )]
⎛
⎛
cos ⎜ ωa t + arctan ⎜ −
⎝
1 ⎞⎞
⎟⎟
⎝ 2ωaτ ⎠ ⎠
Le mouvement est donc un mouvement pseudo-périodique (figure 3.9.a.), amorti exponentiellement
avec une constante de temps égale à 2τ 4, sa pseudo-pulsation est ωa < ω0 et sa pseudo-période :
4
La constante de temps caractéristique
λ
d’un amortissement exponentiel est définie comme la valeur de t pour
− λ 2τ
laquelle l’amplitude du mouvement à été divisée par e : ∆x × e
≡ ∆x e ⇒ λ = 2τ dans notre exemple.
On peut l’obtenir expérimentalement en traçant la tangente à la courbe à l’origine (figure 3.9.a.): son équation est
X =
(
d ∆x × e −t 2τ
)
dt
t =0
t + ∆x = ∆x ( − t 2τ + 1) ; elle coupe bien l’axe des abscisses en t = 2τ = λ . Ce résultat
permet de vérifier qu’une courbe obtenue expérimentalement est une exponentielle. L’équation de la tangente à la
courbe à l’abscisse t1 est en effet :
d
t
Y=
∆x × e −t 2τ
× t + ∆xe −t1 2τ = ∆xe −t1 2τ ⎛⎜ 1 − ⎞⎟
dt
⎝ 2τ ⎠
t = t1
(
)
qui coupe bien l’axe des abscisses en t = 2τ . Il suffit donc de mesurer λ par la méthode de la tangente pour plusieurs
valeurs de t différentes et de vérifier que λ est constant.
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CHAPITRE 3 : PROBLEMES A UN DEGRE DE LIBERTE
⎛
1 ⎞
Ta = 2π ωa = T0 ⎜1 −
2 ⎟
⎝ 4Q ⎠
−1
2
11/13
> T0
L’amplitude des oscillations devient négligeable après quelques τ , τ est appelée la durée de
relaxation en énergie car elle caractérise l’ordre de grandeur de la durée que met l’oscillateur à
dissiper son énergie mécanique vers le milieu extérieur via les frottements.
Le portrait de phase d’un tel oscillateur amorti est indiqué sur la figure 3.9.b. : la courbe empruntée
par le point matériel est une spirale qui converge vers l’origine. L’interprétation est aisée : les
frottements fluides dissipant de l’énergie, l’énergie mécanique diminue (et donc les énergies
potentielle et cinétique maximales) jusqu’à ce que le point matériel s’immobilise dans la position
d’équilibre stable autour de laquelle il oscillait.
X
X
Ta
∆x × e
−t
2τ
X
2τ
−∆x × e
−t
2τ
Figure 3.9.a. : Mouvement pseudo-périodique
les paramètres sont identiques à ceux de l’oscillateur
harmonique de la figure 3.4. et τ = 1s ( Q 5, 5 )
Figure 3.9.b. : Portrait de phase d’un mouvement pseudopériodique
Etudions spécifiquement le cas limite important où :
Q 1 2 ⇔ τ 1 2ω0 ⇔ α 2mω0
On voit encore une fois dans ces inégalités équivalentes que le facteur de qualité est lié à la perte
d’énergie : plus Q est grand, plus la durée de relaxation en énergie est grande, ce qui correspond à
une force de frottement faible.
Dans ce cas, on peut opérer à un développement limité de la racine carrée et ne garder que le
premier ordre non nul en x dans les expressions des pseudo-pulsation et pseudo-période :
⎛
⎛
1 ⎞
1 ⎞
ω a ω0 ⎜ 1 − 2 ⎟
Ta T0 ⎜1 + 2 ⎟
⎝ 8Q ⎠
⎝ 8Q ⎠
Enfin, calculons dans cette limite l’ordre de grandeur du nombre N d’oscillations du point matériel
pour lesquelles l’amplitude des oscillations est supérieure à ∆x e , i.e. le nombre de pseudopériodes contenues dans la durée 2τ :
2τ ωaτ
N=
=
∼ ω0τ = Q
π
Ta
puisque ωa = ω0 au premier ordre en X. Lorsqu’il est grand, le facteur de qualité Q a donc
l’interprétation physique suivante : il représente l’ordre de grandeur du nombre d’oscillations du
point matériel avant qu’il n’ait dissipé son énergie en frottements.
PCSI
CHAPITRE 3 : PROBLEMES A UN DEGRE DE LIBERTE
12/13
2ème cas : Q < 1 2
•
On a alors r± = −
1
1
1
1
± ω0
− 1 = − ± β où β = ω0
− 1 . On en déduit :
2
2τ
4Q
2τ
4Q 2
X =e
−
1
t
2τ
⎡⎣ X + e β t + X − e − β t ⎤⎦
Exemple :
En injectant les mêmes conditions initiales, on trouve :
X ( 0) = 0 ⇒ X − =
1 − 1/ 2 βτ
X+
1 + 1/ 2βτ
∆x
∆x
; X − = (1 − 1/ 2βτ )
2
2
1
− t
⎡
⎤
1
X = e 2τ ∆x ⎢cosh ( β t ) +
sinh ( β t ) ⎥
2βτ
⎣
⎦
X ( 0 ) = ∆x ⇒ X + = (1 + 1/ 2 βτ )
d’où :
Les graphes relatifs à cet oscillateur sont donnée en figure 3.10.
X
X
X
Figure 3.10.a. : Oscillateur amorti
les paramètres sont identiques aux oscillateurs précédents
sauf τ = 0, 05s (Q=0,2)
•
Figure 3.10.a. : Portrait de phase de l’oscillateur amorti
(Q=0,2)
Cas critique : Q = 1 2
L’unique solution de l’équation caractéristique est alors r = −
d’évolution de X , en notant que 2τ = τ / Q = 1/ ω0 :
1
d’où une solution pour l’équation
2τ
X = X 0 e −ω0t
Remarquons de plus que, dans le cas critique, l’équation du mouvement s’écrit :
X + 2ω0 X + ω02 X = 0
on peut vérifier qu’une autre solution est alors X = X 1te −ω0t :
d2
d
X 1te −ω0t + 2ω0
X 1te−ω0t + ω02 X 1te−ω0t = 0
2
dt
dt
La solution générale de l’équation du mouvement est une combinaison linéaire des solutions
particulières :
(
)
(
)
PCSI
CHAPITRE 3 : PROBLEMES A UN DEGRE DE LIBERTE
13/13
X = ( X 0 + X 1t ) e −ω0t
Exemple :
En injectant les conditions initiales précédentes, on trouve :
X ( 0 ) = ∆x ⇒ X 0 = ∆x
X ( 0 ) = 0 ⇒ X 1 = ω0 ∆x
Les graphes relatifs à cet oscillateur sont représentés en figure 3.11. Ce cas limite n’est jamais
réalisable exactement dans la pratique, mais on essaie souvent de s’en approcher afin d’amortir les
perturbations le plus rapidement possible.
X
X
X
Figure 3.11. : Evolution de la coordonnée et portrait de phase pour un oscillateur avec Q=1/2