TD8 – Fluides en écoulement

TD : B – Ph. de Transport VIII – Fluides en écoulement Sciences Physiques : PSI
Laurent Pietri ~ 1 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy
TD8 – Fluides en écoulement
A – Travaux Dirigés
81 - Écoulement de Poiseuille dans un tuyau
On considère un tuyau cylindrique, de rayon R, de longueur L, horizontal et parcouru par un liquide
newtonien de viscosité dynamique . La pression sur l'axe du cylindre est P1 à l'entrée et P2 à la sortie du tuyau.
L'écoulement est permanent et laminaire.
On ne tient pas compte de la pesanteur, dont les effets sur le fluide sont compensés par la réaction du tuyau.
Dans ce cas, le champ de vitesse est de la forme   
1°) Justifier que le champ de vitesse ne dépend que de la variable r.
2°) Justifier que la pression est uniforme sur une section droite du tuyau.
3a) Comment s'adapte la définition de la viscosité dynamique dans le cas de l'écoulement étudié ?
3b) En raisonnant sur un cylindre de fluide de longueur L et de rayon r, établir une équation liant le champ de vitesse
et les pressions en z = 0 et z = L.
3c) En déduire le profil de vitesse f (r).
4°) En déduire le débit volumique à travers une section du tuyau. En établissant une analogie avec la loi d'Ohm de
l'électricité, définir la notion de résistance hydraulique. Exprimer la résistance hydraulique du tuyau en fonction des
données.
Rép : 1°)   2°)    3a) 
3b)   
   3c)   
4°)  
82 - Vidange d'un récipient
On réalise l'expérience suivante : un récipient, de section S = 8.103 cm2, rempli d'un fluide incompressible de
viscosité  = 0,3 Pl et masse volumique  = 900 kg.m-3 sur une hauteur initiale ho = 3 m, se vide par un tuyau
horizontal de longueur L = 1 m et rayon R = 5 mm situé sur sa partie basse. On prendra g = 9,8 m.s- 2.
On admet que dans le corps du récipient (en dehors du tuyau), la vitesse du fluide est suffisamment faible
pour que l'on puisse considérer la situation comme statique.
a) À quelle condition sur la section S du récipient cette hypothèse est-elle vérifiée ?
b) Que vaut la pression Pe à l'entrée du tuyau ? Et celle Ps en sortie ?
c) En supposant l'écoulement laminaire et quasiment stationnaire, évaluer le débit volumique sortant du
tuyau.
d) Que vaut la vitesse débitante de sortie v initialement ?
e) Vérifier a posteriori la nature laminaire de l'écoulement.
f) Trouver une équation différentielle satisfaite par h(t), hauteur de fluide dans le récipient.
g) Quelle est la durée nécessaire pour vidanger la moitié du récipient ?
Rép : a) VS=vR² b)    c) 
 d)   
e) Re=8,4<< 2000 Laminaire f)
 g) 

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Laurent Pietri ~ 2 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy
83 - Écoulement de Poiseuille plan de deux liquides non miscibles
On réalise un écoulement de Poiseuille plan de deux liquides non miscibles, considérés tous deux comme
incompressibles, entre deux plaques planes horizontales. Les masses volumiques des liquides sont 1 et 2. Ils sont
tous deux newtoniens, de viscosités dynamiques 1 et 2. L'écoulement est stationnaire. On travaille dans le
référentiel terrestre, supposé galiléen, dans lequel les deux plaques sont fixes. L'axe (Oz) du repère cartésien est
vertical ascendant. Le liquide indicé 2 occupe la zone comprise entre z=-b/2 et z = O. Le liquide indicé 1, celle
comprise entre z = 0 et z = b/2. On néglige les effets de bord c'est-à-dire qu'on suppose ces deux zones infiniment
étendues selon (Ox) et (Oy). On impose une pression Pe uniforme dans le plan x = 0, et une pression Ps, < Pe dans le
plan x = L.
1°) Quelle est la relation d'ordre entre 1 et 2? Justifier.
2°) On néglige désormais l'effet du poids. On admet que le champ des vitesses est de la forme :
Montrer que la pression ne dépend que de x.
3°) Montrer que dans chacun des deux liquides, le champ des vitesses ne dépend pas de x. Établir les expressions des
deux champs des vitesses.
4°) Donner les allures possibles du champ des vitesses en fonction de z selon la valeur du rapport 2/1.
Rép : 1°) 1 < 2 2°)    … 3°) 
 4°)
B – Exercices supplémentaires
84 - Perte de charge régulière
On reprend l'écoulement laminaire de Poiseuille étudié à l'exercice 81. On rappelle que le débit volumique
dans le tuyau est donné par  , où  sont les pressions en entrée et sortie de tuyau, R est le
rayon du tuyau, L est sa longueur et  est la viscosité du liquide.
1°) On rappelle que, pour un tuyau de longueur L et de diamètre D, le coefficient de perte de charge  est
défini par
où U est la vitesse débitante (vitesse moyennée sur une section). Pour l'écoulement de Poiseuille considéré,
exprimer  en fonction du nombre de Reynolds de l'écoulement.
2°) Pour quel domaine de nombre de Reynolds ce résultat est-il valable ? Quelle est l'allure graphique de la
représentation de  en fonction de Re dans un diagramme log-log ?
3°) Comment met-on facilement en évidence expérimentalement la perte de charge dans l'écoulement de
Poiseuille ?
Rép : 1°) 2°) Ecoulement laminaire… 3°) Une canalisation avec des petits tubes verticaux montés dessus…

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85 – Le planeur
On considère un planeur de masse m = 0,17.103kg. L'envergure totale de ses ailes est Lenv = 15 m, et la
longueur moyenne de la corde est L = 0,70 m. Le profil est un NACA 4412. On néglige les effets aérodynamiques du
fuselage. Il vole à vitesse constante à une altitude z = 6,0.103 m par rapport au niveau de la mer, où la masse
volumique de l'air est =0,60kg.m-3. La viscosité de l'air est  = 1,8.10-5Pl. Le vent est supposé négligeable.
1°) Déterminer la finesse 
 maximale du profil NACA 4412 pour les différentes valeurs du nombre de Reynolds de
la figure. En déduire, pour les deux valeurs de Re les plus élevées, l'altitude qu'il aura perdue après avoir parcouru sur
la carte en ligne droite une distance D = 1 km. (On démontrera que cette perte d’altitude est proportionnelle à
l’inverse de la finesse.)
2°) Dans le cas particulier où la ligne de corde de l'aile du planeur est horizontale, relier la finesse à l'angle
d'incidence i. Compte tenu des différentes forces exercées sur le planeur, établir une relation entre m, g, , L, Lenv, Cz,
i et la norme v de la vitesse.
3°) Application numérique : pour i = 1,5° et Re = 7.105 , évaluer Cz, la finesse, et la norme v de la vitesse. Le résultat
est-il cohérent avec le nombre de Reynolds utilisé ?
Rép : 1°) Re = 2.105  h=22m 2°) 
 3°) Cz=0,57 Re=7.105
86 - Étude d'une pale d'éolienne
On modélise, de manière volontairement rudimentaire, le rotor de l'éolienne. On rappelle qu'un objet placé
dans un fluide de masse volumique  en écoulement uniforme et stationnaire à la vitesse  subit, de la part de ce
fluide, une résultante d'actions  , où  , la traînée, est la composante de 
 parallèle à  et où 
, la
portance, en est la composante perpendiculaire.  vérifient :
Dans ces expressions, A est l'aire de la projection de l'objet (maître-couple) sur un plan perpendiculaire à ,
Cx et Cz sont deux fonctions de l'angle d'incidence, qui sera défini à la Q1.
Le rotor de l'éolienne est un solide formé de deux pales diamétralement opposées par rapport à l'axe de
rotation  . Ce dernier axe est aligné avec la vitesse  uniforme de l'air loin en amont du rotor. On
note , la vitesse de rotation, supposée constante, du rotor. On utilise le repère de coordonnées
cylindriques  . La pale a une longueur L et est inclinée d'un angle  par rapport au plan de rotation du
rotor :
1°) Exprimer la vitesse  du vent en amont de la pale dans le référentiel de la pale, en fonction de  (r
étant la distance à l'axe de rotation). On notera i l'angle entre le plan de la pale et  .  
 est appelé angle
d'incidence du vent sur la pale. Donner la relation qui existe entre i, , , r et . Compléter la figure représentant la
pale en coupe en y ajoutant le vecteur  et l'angle i. Comme la vitesse incidente  , dépend de la position r le long
de la pale, on s'intéresse uniquement à une portion d'une des deux pales, située entre les distances radiales r et r +
dr.

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2°) Montrer que si on néglige l'épaisseur de la pale, ce que l'on supposera valable, l'aire dA de la projection de la
portion étudiée sur le plan perpendiculaire à  a pour expression :
3°) En admettant que les expressions de la portance et de la traînée sont applicables à la portion de pale étudiée,
bien que  ne soit pas uniforme dans le référentiel de la pale, exprimer les normes des forces élémentaires
exercées par le vent sur la portion de pale en fonction de , , r, , L, dr, Cx (i), Cz(i) et i. Reproduire
succinctement le dessin de la pale en coupe et y indiquer ces deux forces.
4°) Déduire de ce qui précède l'expression du moment d par rapport à l'axe (0, ) de la force exercée par le vent
sur la portion de pale.
5°) La figure donne les valeurs de Cx et Cz en fonction de l'angle d'incidence i pour une pale de profil donné. L'angle i
dépendant lui-même de r et de , on peut tracer 
 en fonction de  lorsque toutes les autres grandeurs sont fixées.
La courbe donne ce tracé pour    pour deux valeurs de la distance radiale (2 et 3
mètres). Les unités verticales sont arbitraires. Quelle forme convient-il de donner aux pales en vue d'augmenter le
rendement de l'éolienne ?
Rép : 1°)  
 2°)    3°) 
4°)… 5°) Pour avoir un 
  il faut pour les différentes
valeurs de r les valeurs
 pales vrillées