Électromagnétisme TD3 : Équation de Maxwell, Énergie

Électromagnétisme TD3 : Équation de Maxwell, Énergie électromagnétique
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Citer les expressions des opérateurs gradient, divergence et rotationnel en coordonnées cartésiennes.
Ces opérateurs s'appliquent-ils à des champs scalaires ou vectoriels ? Le résultat est-il est un champ scalaire ou vectoriel ?
Donner les 4 équations de Maxwell et leur nom. Que deviennent-elles en régime statique ?
Relier l'équation de Maxwell-Gauss au théorème de Gauss.
Relier l'équation de Maxwell-Ampère au théorème d'Ampère généralisé. Qu'est que le courant de déplacement ? Dans quel
cas retrouve-t-on le théorème d'Ampère ?
Relier l'équation de Maxwell-Faraday à la loi de Lenz-Faraday.
→
−
Relier l'équation de Maxwell-Thomson à la conservation du ux de B .
Donner l'équation de conservation de la charge sous forme locale et intégrale (1D et 3D).
Démontrer l'expression de la conservation de la charge à partir des équations de Maxwell.
Donner l'expression de la densité volumique d'énergie électromagnétique.
Établir l'expression de la puissance volumique cédée par le champ électromagnétique aux porteurs de charge.
Interpréter chaque terme de l'équation intégrale de conservation de l'énergie électromagnétique.
Établir les équations de Poisson et Laplace.
Exercice 1 : Utilisation de l'équation de Maxwell-Gauss
On considère un cylindre inni de rayon R uniformément chargé, de densité volumique de charge ρ0 . On se place en coordonnées
cylindriques, en choisissant l'axe (Oz) confondu avec l'axe de symétrie du cylindre. On fera directement l'hypothèse que le champ
→
− −
−
électrique est de la forme E (→
r ) = E(r)→
er .
1) A partir de l'équation de Maxwell-Gauss, montrer qu'à l'intérieur du cylindre : E(r) = Ar + B , où A et B sont des constantes.
Exprimer A en fonction de ρ0 et 0 . Montrer que B = 0.
2) Toujours à partir de l'équation de Maxwell-Gauss, montrer que le champ à l'extérieur du cylindre est de la forme E(r) = C/r,
où C est une constante.
3) Déterminer C par continuité du champ électrique.
Exercice 2 : Etude énergétique d'une bobine
On considère une bobine cylindrique (solénoïde) de section S
et de longueur l, comportant n spires par unité de longueur
parcourues par un courant d'intensité i.
1) Expression de l'inductance propre de la bobine :
a) Rappeler l'expression du champ magnétique à l'intérieur du solénoïde, lorsque l'on assimile celui-ci à un solénoïde inni.
Exprimer le ux du champ magnétique à travers une des spires, noté Φspire .
b) Calcul le ux total Φ du champ magnétique à travers le solénoïde, en déduire l'expression de l'inductance propre L = Φ/i
du solénoïde. Vérier l'homogénéité.
c) Calculer l'inductance d'une bobine de 5cm de diamètre, d'une longueur de 20cm et constituée de 1000 spires. Comparer à
l'ordre de grandeur des bobines utilisées en TP.
2) Expression de l'énergie stockée dans la bobine, point de vue électrocinétique :
a) Rappeler l'expression de la puissance reçue par un dipôle électrocinétique, et la convention associée.
b) Exprimer cette puissance dans le cas d'une bobine, en fonction du courant i.
c) Intégrer cette expression pour retrouver l'énergie stockée dans une bobine.
3) Expression de l'énergie stockée dans la bobine, point de vue électromagnétique :
a) Exprimer la densité volumique d'énergie électromagnétique dans la bobine.
b) Intégrer sur le volume intérieur de la bobine, pour retrouver l'énergie stockée dans la bobine.
−9
Données : µ0 = 4π.10
H.m−1
1
Exercice 3 : Condensateur en régime variable
Un condensateur plan de capacité C et d'épaisseur d est constitué de deux armatures circulaires de rayon rc . Initialement
chargé, il est relié à une résistance par un interrupteur K . A
l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur, et le condensateur se
décharge. On note U (t) la tension aux bornes du condensateur,
et on note U0 = U (t = 0).
On suppose que les eets de bords sont négligeables et que le
champ électrique est uniforme à l'intérieur du condensateur (vo→
−
−
lume en gris sur la gure) durant la décharge : E (t) = E(t)→
ez .
1) Exprimez U (t) en fonction de U0 , et τ = RC . Application numérique pour C et τ .
2) Déterminez la relation entre U (t) et E(t). En déduire E(t) en fonction de U0 , τ = RC , et d.
→
−
−
3) On suppose que le champ magnétique à l'intérieur du condensateur s'écrit en coordonnées cylindriques : B (r, t) = B(r, t)→
eθ
(B(r, t) ne dépend ni de θ ni de z ).
En utilisant l'équation de Maxwell-Ampère, Montrez que le champ magnétique à l'intérieur du condensateur s'écrit :
→
−
0 µ0 U0 −t/τ →
e
r−
eθ
B (r, t) = −
2τ d
→
−
Il n'a pas de courant à l'intérieur d'un condensateur ! Que vaut donc j ?
4) En déduire l'expression de la densité d'énergie électromagnétique à l'intérieur du condensateur, sous la forme : uem = ue + um ,
avec ue et um les termes électrique et magnétique. Montrer que um << ue . Dans le suite de l'exercice on négligera le terme
magnétique et on considèrera que uem = ue .
5) Calculer le vecteur de Poynting en tout point à l'intérieur du condensateur.
6) Vérier que l'équation locale de conservation de l'énergie électromagnétique est bien vériée.
7) Calculer le ux du vecteur de Poynting entrant à travers la surface latérale (Σ) du condensateur à un instant t, en fonction
de U0 , R et C . Vérier que ce résultat peut s'écrire P = U I .
−12
Données : 0 = 8, 85.10
F.m−1 ; R = 1 kΩ ; rc = 10 cm ; d = 0, 1 mm
Indication :
Exercice 4 : Plaque de cuisson à induction
−
On considère un disque d'acier d'axe (O,→
ez ), de rayon a, d'épaisseur e, de conductivité γ et de perméabilité magnétique µr
(grandeur supposée constante). On admet que tout se passe comme si les champs magnétiques étaient multiplié par µr dans
le métal. Grâce à un solénoïde de rayon a, on plonge le disque dans un champ magnétique uniforme alternatif de la forme
→
−
−
B (t) = Bm cos(ωt)→
ez (Bm et ω sont constants). On néglige le champ magnétique créé par les courants de induits dans le disque
d'acier (appelées courants de Foucault).
→
− −
−
On se place en coordonnées cylindriques, et on supposera de plus que le champ électrique est de la forme E (→
r , t) = E(r, t)→
eθ .
→
−
1) On considère une surface (S) : disque de rayon r, d'axe (O, ez ), délimitée par un contour (C) (cercle de rayon r). Relier la
→
−
→
−
circulation de E le long de (C) au ux de B à travers (S) à l'aide de la formule de Maxwell-Faraday. En déduire que :
→
− →
rωµr Bm
−
E (−
r , t) =
sin(ωt)→
eθ
2
(r ≤ a)
2) Exprimer la puissance volumique instantanée reçue par le disque par eet Joule. En déduire l'expression de la puissance
moyenne totale < Ptot > reçue par le disque par eet Joule. Application numérique.
3) A partir de ces considérations, comment peut-on réaliser un système de cuisson reposant sur le principe de l'induction ? Quel
l'intérêt d'utiliser un matériau ferromagnétique (caractérisé par sa pérméabilité µr > 1) pour le fond de la casserole ?
6
−1
Données : γ = 5, 0.10 S.m
; e = 2, 0 mm ; a = 10 cm ; Bm = 2, 0.10−5 T ; fréquence du champ magnétique f = 25 kHz.
2