II.2.a.

N° d’ordre : 2011telb0178
Sous le sceau de l’Université européenne de Bretagne
Télécom Bretagne
En habilitation conjointe avec l’Université de Bretagne Occidentale
Ecole Doctorale – sicma
EXTENSION DE LA METHODE TLM AUX MILIEUX ANISOTROPES ET
DISPERSIFS. APPLICATIONS A LA CONCEPTION DE
CIRCULATEURS A JONCTION-Y MINIATURES EN TECHNOLOGIE
MICRORUBAN
Thèse de Doctorat
Mention : Sciences et technologies de l'information et de la communication
Présentée par Arij Farhat
Département : Micro-ondes
Laboratoire en Sciences et Technologies de l’Information, de la Communication et de la
Connaissance (LabSTICC)
Pôle : Micro-ondes et Matériaux MOM
Directeurs de thèse : Michel Ney et Patrick Queffelec
Soutenue le 30 mars 2011
Jury :
M.
Jean-Lou Dubard
M.
Bruno Sauviac
M.
Richard LeBourgeois
M.
Vincent Laur
Mme. Mélica Kianian
Mme. Isabelle Albert
M.
Patrick Queffelec
M.
Michel Ney
Professeur à Université de Nice
Professeur à Télécom Saint-Etienne
Responsable des études ferrites TRT
Maître de conférences à l’U.B.O.
Ingénieur R&D, Cobham Microwave
Ingénieur R&D, CNES
Professeur à l’U.B.O.
Professeur à Télécom Bretagne
Rapporteur
Rapporteur
Examinateur
Examinateur
Invitée
Invitée
Co-directeur de thèse
Directeur de thèse
« Dans la hiérarchie humaine, le codage se trouve quelque
part au-dessus du cambriolage grave et en dessous du
management. »
Gerald Weinberg
« Parfois, il vaut mieux rester au lit le lundi, plutôt que de
passer le reste de la semaine à corriger le code qu’on a écrit le
lundi. »
Dan Salomon
« La réussite, ce n'est jamais qu'une histoire de chance.
Demandez à un raté. »
Earl Joseph Wilson
À mon papa, ma maman,
À toute ma famille,
et à tous mes amis…
Remerciements
Ce travail a été réalisé au sein du Laboratoire en Sciences et Technologies de l'Information, de la
Communication et de la Connaissance (Lab-STICC) dans les locaux de Télécom Bretagne et de l’Université
de Bretagne Occidentale.
Je remercie vivement Monsieur Jean-Lou Dubard, Professeur à l’université de Nice, pour l’honneur qu’il
m’a fait en acceptant de présider le jury et de juger mon travail.
J’adresse mes remerciements à Monsieur Bruno Sauviac, Professeur à Télécom de Saint-Etienne, pour avoir
accepté de juger mon travail et pour l’intérêt qu’il y a porté.
Je remercie aussi chaleureusement Monsieur Richard Lebourgeois, Responsable des études ferrites au
Laboratoire de Thales TRT, pour sa participation au jury et pour ses remarques constructives.
J’exprime ma gratitude à Monsieur Vincent Laur, Maître de conférences à l’Université de Bretagne
Occidentale, pour sa participation au jury, sa bonne humeur et son aide dans les mesures. Et c’est un grand
plaisir de continuer de travailler avec lui.
Je remercie très chaleureusement Madame Mélica Kianian, Ingénieur R&D chez Cobham Microwave, pour
sa participation au jury en espérant que nos chemins se croisent dans un avenir proche.
Je remercie Madame Isabelle Albert, Ingénieur R&D au CNES pour sa participation au jury et j’espère que
nous aurons du plaisir à travailler ensemble.
J’exprime toute ma gratitude à l’équipe qui a assuré l’encadrement scientifique (et parfois bien plus que ça)
et avec laquelle j’ai pris un plaisir à travailler : Un grand merci venant de mon cœur à mon duo préféré
Patrick et Michel.
Merci à Michel Ney, Professeur à Télécom Bretagne, d’avoir accepté de diriger cette thèse en cours de route.
Je lui assure de mon entière reconnaissance pour son soutien, la liberté qu’il m’a laissée dans
l’accomplissement de cette thèse, les échanges très enrichissants que nous avons eus et sa grande sympathie.
Merci également à Patrick Queffelec, Professeur à l’Université de Bretagne Occidentale, d’avoir accepté de
co-diriger ce travail durant toutes ces années. Sa rigueur scientifique, ses explications didactiques, son esprit
de pédagogue, ses avis éclairés ont été les éléments moteurs de ce travail.
Bien évidemment je n’oublie pas mes premiers encadrants :
Merci à Philippe Gelin, Professeur à Télécom Bretagne, d’avoir dirigé la première partie de cette thèse, je lui
souhaite une bonne retraite.
Un grand merci à Sandrick Le Maguer, Maître de conférences à Télécom Bretagne, pour l’aide précieuse
qu’il m’a apportée. Ses conseils et ses encouragements sont beaucoup dans les résultats présentés dans ce
mémoire, je lui souhaite de trouver du bonheur et autant de succès en tant qu’écrivain !
Je suis reconnaissant envers les responsables informatiques Messieurs Francois Le Pennec et Yves Quere,
respectivement Maîtres de conférences à Télécom Bretagne et à l’Université de Bretagne Occidentale, qui
ont mené à bien l’assistance informatique.
Je ne saurais oublier mes chères assistantes Marie-Christine Botorel et Yvonne Le Goff pour leurs aides
précieuses dans le traitement des aspects logistiques et administratifs tout au long de cette thèse.
Je remercie les nombreux thésards du laboratoire de Télécom Bretagne et ceux de l’Université de Bretagne
Occidentale, ne me demandez surtout pas qui je préférais le plus car j’ai eu autant de plaisir à les côtoyer
dans des ambiances conviviales, et parfois taquines ;)
Je remercie mes ami(e)s, mes collègues et toutes les personnes qui m’ont soutenu tout au long de ces années,
ils se reconnaîtront. Un merci spécial à mon cousin Fadi Rabahi pour son aide apportée à la mise en forme et
à la traduction des textes.
Enfin, je remercie ma famille et plus particulièrement mes parents qui m’ont encouragé et apporté tout leur
soutien. Jamais, je n’aurai imaginé en arriver là sans eux !
Table des matières
INTRODUCTION GENERALE
2
Premier Chapitre
LES FERRITES ET LEURS APPLICATIONS EN HYPERFREQUENCES
10
I. Les Ferrites polycristallins
11
I.1. Les différentes structures
a. Les spinelles
b. Les grenats de terre rares
c. Les hexagonaux
11
11
12
13
I.2. Principe d’aimantation d’un ferrite
a. Domaines de WEISS & parois de BLOCH
b. Cycle d’hystérésis
14
14
15
II. Dispositifs hyperfréquences à ferrites
16
II.1. Dispositifs accordables
a. Coupleur à grenat d'yttrium
b. Filtre accordable
17
18
18
II.2. Dispositifs non réciproques
a. Isolateurs
b. Circulateurs
20
20
25
II.3. Applications à base de ferrite selon leurs états d’aimantation
36
III. Modélisation de la perméabilité des milieux magnétiques aimantés
38
III.1. Tenseur de perméabilité : matériaux saturés
a. Tenseur de Polder
38
38
III.2. Tenseur de perméabilité : matériaux partiellement aimantés
a. Tenseur de Rado
b. Tenseur de Schlöemann
c. Tenseur de Green et Sandy
d. Tenseur d’Igarashi et Naito
e. Tenseur de Bouchaud et Zérah
f. Tenseur de Gelin : Generalized Permeability Tensor
40
40
41
41
42
42
43
IV. Besoins en terme de modélisation
48
Conclusion
49
Références du chapitre I
50
Deuxième Chapitre
CONCEPTION DE CIRCULATEURS A JONCTION-Y MINIATURES EN TECHNOLOGIE
MICRORUBAN
57
I. Problématique :
Migration de la technologie triplaque vers la technologie microruban
58
II. Etude magnétostatique
59
II.1. Etude du dispositif de polarisation des circulateurs
59
II.2. Outil de simulation magnétostatique
60
II.3. Champ statique de polarisation
60
II.4. Champ interne du matériau ferrimagnétique à aimanter
(Mise en évidence des zones non saturés)
69
III. Etude Dynamique
72
III.1. Outil de simulation dynamique
72
III.2. Réponse du circulateur polarisé uniformément
72
III.3. Influence de la non-uniformité du champ sur la réponse du circulateur
74
IV. Migration vers la technologie microruban
77
V. Problématique/Besoins :
Existe-t-il des approches numériques capables de prendre en compte les phénomènes
physiques complexes liés à ce type de structure ?
80
Conclusion
82
Références du chapitre II
83
Troisième Chapitre
ÉTAT DE L’ART DES METHODES NUMERIQUES EN ELECTROMAGNETISME
89
I. Classification des Méthodes Numériques
90
II. Méthode rigoureuses
91
II.1. Equations intégrales
91
II.2. Approches pseudo-analytiques
91
II.3. Approches volumiques
a. La Méthode des Différences Finies
b. La Méthode des Éléments Finis
c. La Méthode TLM
92
92
95
97
II.4. Tableau récapitulatif des domaines de solution
101
II.5. Tableau récapitulatif des méthodes rigoureuses
102
Atouts de la TLM
103
Conclusion
104
Références du chapitre III
105
Quatrième Chapitre
EXTENSION DE LA METHODE TLM AUX MILIEUX ANISOTROPES ET
DISPERSIFS
113
I. Méthode d’insertion d’un milieu dans la TLM
114
I.1. Matériaux isotropes et dispersifs
a. Equations de bases et cellule TLM 3D
b. Échantillonnage
c. Les champs au centre
d. Maxwell Faraday
e. Mise en forme
114
114
117
119
120
121
I.2. Matériaux anisotropes et dispersifs
a. Equations de bases
b. Maxwell-Ampère
c. Maxwell-Faraday
123
123
124
127
I.3 Mise en forme finale du tenseur
129
I.4 Détail de l’algorithme pour le SCN
130
II. Présentation détaillée de l’algorithme d’insertion dans le TLM
133
II.1. Approximation de Prony
133
II.2. Transformé en z bilinéaire
134
II.3. Filtrage numérique
136
Conclusion
141
Références du chapitre IV
142
Cinquième Chapitre
APPLICATION AUX FERRITES PARTIELLEMENT MAGNETISES
PAR LA METHODE TLM MODIFIEE
147
I. Modélisation du plasma par la TLM
148
I.1. Le Plasma
148
I.2. Paramètres caractéristiques
a. Densités électronique et ionique
b. Fréquences propres du plasma
c. Permittivité du plasma
148
148
149
149
I.3. Validation de la méthode de modélisation du plasma
a. Dispositif de test
b. Théorie
c. Modélisation par la TLM
d. Simulations
e. Discussions des résultats
150
150
150
151
153
156
II. Guide d’onde partiellement chargé par un ferrite partiellement aimanté
158
II.1. Dispositif expérimental
158
II.2. Modélisation par la TLM
158
II.3. Analyse modale
a. Analyse modale du guide vide et du guide "chargé"
b. Raccordement des champs aux discontinuités
c. Simulations : Comparaison TLM / Méthode modale
162
162
164
167
II.4. Processus de mesure expérimentale
a. Mesure expérimentale
b. Etalonnage TRL (Thru, Reflect, Line)
c. Comparaison TLM / Mesures
d. Ouvertures
169
169
170
171
172
Conclusion
174
Références du chapitre V
175
CONCLUSION GENERALE
179
Annexe A
Annexe B
Annexe C
Annexe D
Annexe E
Annexe F
Annexe G
Annexe H
Annexe I
Annexe J
Annexe K
186
187
188
199
203
205
221
225
227
231
232
Valorisation du travail de recherche
236
Liste des figures
Figure I.1. Décomposition d’un échantillon de ferrite
14
Figure I.2. Cycle d’hystérésis
15
Figure I.3. Principales catégories de dispositifs hyperfréquences à base de ferrites
16
Figure I.4. Coupleur accordable à YIG
18
Figure I.5. Filtre accordable en technologie microruban
19
Figure I.6. Réponse en transmission pour différentes valeur du champ magnétique statique 19
Figure I.7. Schéma de principe d’un isolateur
20
Figure I.8. Paramètres de dispersion Sij
21
Figure I.9. Déplacement de champ et propagation non réciproque
22
Figure I.10. Isolateur à déplacement de champ en guide d’onde rectangulaire.
22
Figure I.11. Les lignes de champ représentées correspondent au champ électrique vertical 23
Figure I.12. Isolateur à déplacement de champ en technologie microruban
23
Figure I.13. Vue transverse des lignes coplanaires
24
Figure I.14. Schéma de fonctionnement d’un duplexeur dans un circuit radar
25
Figure I.15. Schéma de principe d’un circulateur à 3 ports
26
Figure I.16. Circulateur utilisé comme isolateur
27
Figure I.17. Quelques utilisations typiques des circulateurs
28
Figure I.18. Circulateur à éléments localisés
29
Figure I.19. Circulateur à guide d’ondes
30
Figure I.20. Circulateur à effet de Faraday
31
Figure I.21. Vue de dessus d’un circulateur à déplacement de champ.
32
Figure I.22. Circulateur triplaque à jonction Y
32
Figure I.23. Cartographie des champs magnétique et statique
33
Figure I.24. Vues en coupe des différentes configurations des structures proposées par
Koshiji
34
Figure I.25. Vue en coupe du circulateur en technologie coplanaire proposé par K.Oshiro 34
Figure I.26. Circulateur en bande X proposé par How
35
Figure I.27. Circulateur en technologie microruban fonctionnant avec une sphère NickelZinc.
36
Figure I.28. Dispositifs à base de ferrite selon leurs états d’aimantation.
36
39
Figure I.29. Largeur a mi-hauteur ∆H de la raie gyromagnétique
Figure I.30. Précession de l'aimantation autour de la direction du champ magnétique
40
Figure I.31. Représentation du milieu magnétique non saturé dans l'approximation du milieu
effectif.
43
Figure I.32. Configuration en domaine de matériau ferrimagnétique polycristallin non saturé
44
Figure I.33. Distinction des réponses selon l’aimantation pour une même valeur du champ
appliqué
45
Figure I.34. Etat partiellement aimanté
46
Figure II.1. Circulateur avec une vis réglable.
58
Figure II.2. Dispositif de polarisation du circulateur.
59
Figure II.3. Profils de champs magnétiques créés par les aimants avec des hauteurs
différentes.
61
Figure II.4. Profils de champs magnétiques créés par les aimants présentant des diamètres
différents. (la hauteur étant identique pour tous les aimants)
62
Figure II.5. Lignes de champs magnétiques créés par des aimants dont l’éloignement
diffère.
63
Figure II.6. Profils de champs magnétiques créés par des aimants de types différents.
63
Figure II.7. Configuration en aimants avec une pastille de ferrite à proximité
64
Figure II.8. Position pour l’évaluation des champs créés par les aimants.
64
Figure II.9. Cycle hystérésis de l'hexaferrite.
65
Figure II.10. Cycle hystérésis du ferrite fourni par TRT.
66
Figure II.11. Polarisation à deux aimants : Mag H
67
Figure II.12. Polarisation à deux aimants : Mag Hz
67
Figure II.13. Polarisation à deux aimants : Mag Hx,y
67
Figure II.14. Polarisation à un seul aimant : Mag H
68
Figure II.15. Polarisation à un seul aimant : Mag Hz
68
Figure II.16. Polarisation à un seul aimant : Mag Hx,y
68
Figure II.17. Système de coordonnées utilisé pour le calcul du champ démagnétisant
d’un cylindre de rayon R et de hauteur S selon son axe par un champ extérieur Hext.
71
Figure II.18. Champ de polarisation supposé uniforme sous HFSS
72
Figure II.19. Champ de polarisation non uniforme créé par l’hexaferrite (Maxwell 3D).
73
Figure II.20. Réponse du circulateur polarisé uniformément en bande X : Paramètres S
en fonction de la fréquence.
74
Figure II.21. Champ interne du ferrite calculé sous Maxwell 3D.
75
Figure II.22. Réponse du circulateur en tenant compte de la non-uniformité du champ de
polarisation : Paramètres S en fonction de la fréquence.
76
Figure II. 23. Circulateur en technologie triplaque polarisé avec l’aimant Sm-Co.
77
Figure II. 24. Circulateur en technologie microruban polarisé à l’aide de l’aimant hexaferrite
77
Figure II.25. Le circulateur intégré dans le boîtier de type S300Pb.
78
Figure II.26. Les différentes pièces du circulateur fabriqué en technologie microruban et
intégré dans le boîtier
79
Figure II.27. Réponse du circulateur : S21 en fonction de la fréquence
79
Figure II.28. Pics de discontinuités dans la réponse du circulateur polarisé nonuniformément.
80
Figure III.1. Illustration du principe d’Huygens-Fresnel.
Figure III.2. Cellule de Yee utilisé par la grille FDTD en trois dimensions
Figure III. 3. Exemple d’éléments
Figure III.4. Cellule de base (SCN) de la méthode TLM 3D
89
92
95
96
Figure IV.1. Position des échantillons de champs pour l'approximation
de la loi de Maxwell-Ampère dans le plan (YOZ)
Figure IV.2. Position des échantillons de champs pour l'approximation
de la loi de Maxwell-Faraday dans le plan (YOZ)
Figure IV.3. Organigramme du processus de la correction des champs par
filtrage numérique.
114
118
136
Figure V.1. Cavité métallique ayant pour dimensions a=20 mm b=1mm et c=60mm
148
Figure V.2. Permittivités des échantillons de plasma n°1, n°2 et n°3
149
Figure V.3. Approximation par Prony de la fonction f(s) pour l’échantillon de plasma n°1 151
Figure V.4. Fréquences de résonance dans la cavité remplie d’un échantillon
de plasma n°1 simulées par la méthode TLM
152
Figure V.5. Fréquences de résonance dans la cavité remplie d’un échantillon
de plasma n°2 simulées par la méthode TLM
152
Figure V.6. Fréquences de résonance dans la cavité remplie d’un échantillon
de plasma n°3 simulées par la méthode TLM
153
Figure V.7. Comparaison des fréquences de résonance simulés sur HFSS
(modes 101, 102, 103) et celles issues de la méthode TLM
155
Figure V.8. Vue en perspective du guide d’onde rempli d’un échantillon de ferrite
156
Figure V.9. L’application d’un champ magnétique statique la long de l’axe Oy
provoque un déplacement de champ le long de l’axe Ox
157
Figure V.10. Partie réelle des paramètres du tenseur de perméabilité du ferrite
en fonction de la fréquence
158
Figure V.11. Partie imaginaire des paramètres du tenseur de perméabilité du ferrite
en fonction de la fréquence
158
Figure V.12. Approximation par la méthode de Prony des éléments du
tenseur |f1|, |f2|, |f3| et |f4|
160
Figure V.13. Section transverse du guide rectangulaire en présence du ferrite testé
et d'un support diélectrique
161
Figure V.14. Représentation schématique de la procédure de calcul utilisée pour la
localisation des racines de la fonction complexe notée f
161
Figure V.15. Diagramme de dispersion du ferrite : constante de propagation
en fonction de la fréquence
162
Figure V.16. Coupe longitudinale de la cellule de mesure
162
Figure V.17. Convergence des paramètres S en fonction du nombre de mode
de propagation
164
Figure V.18. Paramètres Sij en fonction de la fréquence
164
Figure V.19. Section transverse du guide en présence du ferrite sous test.
165
Figure V.20. Comparaison des modules des paramètres Sij calculés par la méthode
modale et ceux issus de la méthode TLM pour différents valeurs du champ appliqué.
166
Figure V.21. Banc de mesure pour la caractérisation large bande en guide d'onde
rectangulaire en bande
167
Figure V.22. Dispositif sous test qui représente un guide d’onde rectangulaire (Bande X)
chargé par l’échantillon du ferrite
167
Figure V.23. Dispositif d’obtention de champ de polarisation réglable.
168
Figure V.24. Les paramètres S en fonction de la fréquence pour différents
valeurs du champ appliqué
169
Figure V.25. Les dimensions de l’antenne patch
170
171
Figure V.26. Les paramètres S11 en fonction de la fréquence
Liste des tableaux
Tableau I.1. Caractéristiques respectives des spinelles et des grenats
13
Tableau II.1. Caractéristiques magnétiques de l’hexaferrite
65
Tableau II.2. Caractéristiques magnétiques du ferrite hyperfréquence
65
Tableau II.3. Coefficients de champ démagnétisant pour des formes géométriques
particulières
70
Tableau II.4. Performances du circulateur polarisé uniformément
73
Tableau III.1. Étapes de l’algorithme TLM
Tableau III.2. Avantages et inconvénients des domaines de solution
Tableau III.3. Classement des méthodes « rigoureuses » par leur formulation
98
100
101
Tableau IV.1. Signification des symboles mathématiques
112
Tableau IV.2. Récapitulatif des quantités physiques employées
113
Tableau IV.3. Étapes de l’algorithme TLM modifié
137
Tableau IV.4. Étapes de la méthode unifiée et générale pour l’insertion de tout type de
matériau dans l’algorithme de la TLM
138
Tableau V.1. Comparaison des résultats obtenus par la méthode TLM avec les valeurs
théoriques pour la cavité remplie d’échantillon de plasma n°1
155
Tableau V.2. Comparaison des résultats obtenus par la méthode TLM avec les valeurs
théoriques pour la cavité remplie d’échantillon de plasma n°2
155
Tableau V.3. Comparaison des résultats obtenus par la méthode TLM avec les valeurs
théoriques pour la cavité remplie d’échantillon de plasma n°3
156
Tableau V.4. Comparaison des résultats obtenus par la méthode TLM avec les valeurs issues
de HFSS pour une cavité millimétrique remplie d’échantillon de plasma
supposé anisotrope
157
Tableau V.5. Comparaison des résultats obtenus par la méthode TLM avec ceux issus de
HFSS
173
INTRODUCTION GÉNÉRALE
Introduction générale
2
Introduction générale
L’étude de la propagation des ondes dans des milieux présentant à la fois une
anisotropie de leurs propriétés diélectriques magnétiques ou électriques et une dispersion en
fréquence de ces mêmes propriétés est un problème récurrent en électromagnétisme car de
plus en plus d’applications dans le domaine des hyperfréquences nécessitent l’utilisation de
matériaux aux caractéristiques très particulières. En d’autres termes, la propagation des
rayonnements dans des diélectriques isotropes faiblement dispersifs ne doit pas constituer
l’unique cas de figure que peuvent traiter les simulateurs électromagnétiques.
Or à ce jour peu d’entre eux sont en mesure de prédire le comportement dynamique de
structures de propagation ou dispositifs hyperfréquences intégrant des matériaux anisotropes
et dispersifs. Les seuls exemples recensés de simulateurs commerciaux capables de traiter des
permittivités ou perméabilités tensorielles dont les composantes évoluent avec la fréquence se
limitent à des tenseurs diagonaux ou, pour les ferrites aimantés, au tenseur de Polder qui ne
s’applique qu’aux milieux saturés.
La problématique générale de l’analyse électromagnétique de structures comportant
des matériaux aux propriétés anisotropes et dispersives, ou particulière par exemple la
prédiction des performances de dispositifs à ferrites partiellement aimantés ou désaimantés,
est loin d’être résolue.
Effectivement, si l’on examine le cahier des charges des dispositifs non-réciproques à
ferrite pour les applications à venir, qui nécessitent une montée en fréquence et une
miniaturisation des composants, on comprend rapidement que le modèle de Polder sera limité
pour prédire les performances des structures hybrides à l’étude.
L’exemple le plus caractéristique est celui des circulateurs conçus pour fonctionner
dans le domaine des ondes millimétriques (fréquence de fonctionnement > à 30 GHz). Ces
circuits devront utiliser des hexaferrites (fréquence de résonance gyromagnétique naturelle
bien supérieure à 20 GHz) pré-orientés lors de leur fabrication, i.e. dans un état d’aimantation
dit rémanent. Le ferrite n’est plus saturé, il n’est pas non plus désaimanté. Sa réponse à une
excitation haute fréquence (perméabilité tensorielle) est particulière à cet état d’aimantation
spécifique, dans lequel il est placé pour répondre à un besoin de compacité. L’aimant
permanent utilisé systématiquement pour saturer les ferrites de grenat n’est ici plus
nécessaire. Le gain en volume du dispositif est évident mais sa conception se complique.
D’autres exemples peuvent être cités pour mettre en évidence la nécessité de
développer des outils capables de prédire de manière réaliste les performances de composants
intégrant des matériaux anisotropes dispersifs :
- Les antennes miniatures :
Il a été montré récemment que l’utilisation de matériaux composites magnétodiélectriques présentant une valeur de perméabilité supérieure à celle de la permittivité permet
d’améliorer l’efficacité de l’antenne tout en réduisant sa taille. En l’absence de modèle
réaliste de la perméabilité scalaire des ferrites désaimantés le concepteur d’antenne se base sur
une mesure mais dont la valeur va dépendre de la forme de l’échantillon, en général un tore
ACP7 alors qu’en pratique c’est un substrat parallélépipède qui est utilisé.
Introduction générale
3
- Les filtres accordables :
La reconfigurabilité de certaines fonctions de traitement du signal peut être obtenue en
utilisant l’agilité en fréquence des propriétés électromagnétiques de certains matériaux :
ferroélectriques ou ferrimagnétiques. Ces dernières peuvent être ajustées par l’intermédiaire
d’un champ statique extérieur (électrique ou magnétique selon le cas) qui induit forcément
une anisotropie du milieu (alignement des moments dipolaires ou magnétiques dans la
direction du champ statique).
L’analogie avec le transistor est intéressante. Elle permet d’expliquer simplement le
problème posé. L’intensité de la commande statique fixe le point de polarisation du matériau
(par exemple dans un cycle d’hystérésis). Sa réponse à une excitation haute fréquence petit
signal varie selon le point de polarisation choisie.
Ce dont le concepteur d’un dispositif hyperfréquence a besoin, c’est d’un outil
théorique capable de distinguer la réponse dynamique du matériau pour différentes
polarisations. Si l’on reprend le cas des ferrites, le concepteur doit être en mesure de calculer
les différentes valeurs de perméabilité soit à l’état désaimanté, partiellement aimanté, saturé
ou à la rémanence. Cela n’est pas réalisable actuellement avec les simulateurs commerciaux,
ni même avec les approches théoriques proposées dans la littérature.
Le point de départ de cette étude est le développement dans notre laboratoire LabSTICC (Laboratoire en Sciences et Technologies de l'Information, de la Communication et de
la Connaissance) d’un modèle théorique du tenseur de perméabilité des ferrites aimantés.
L’avantage de ce nouveau modèle, appelé GPT (generalized permeability tensor), sur tous les
autres proposés jusqu’à lors dans la littérature, est lié au fait qu’il donne accès à l’ensemble
des éléments du tenseur quelque soit la valeur d’aimantation du matériau, de l’état désaimanté
jusqu’à la saturation en passant par des états de partielle aimantation pouvant être, par
exemple, la rémanence.
Le travail abordé dans cette thèse concerne donc l’intégration de ce modèle de ferrite
dans une méthode de modélisation électromagnétique. Ces méthodes de modélisation sont
basées sur la théorie de l’électromagnétisme, leur seul problème majeur est le coût
informatique lors de l’application de telles méthodes à l’aide de la CAO. Parmi les méthodes
existantes, la méthode TLM (Transmission Line Matrix), qui évolue dans le domaine
temporel, permet la caractérisation des dispositifs sur une large bande de fréquence.
D’autres méthodes de modélisation peuvent être envisagées telle la méthode FDTD
(Finite-Difference Time-Domain). Dans le présent travail, nous avons opté pour l’emploi de la
méthode TLM car elle possède plusieurs atouts qui seront détaillés ultérieurement dans ce
manuscrit. Il s’agit aussi d’une technique développée et maîtrisée depuis de nombreuses
années au sein de notre laboratoire.
L’objectif de l’étude est de proposer une technique unifiée de dérivation d’un nœud
TLM 3D capable de simuler tout type de matériau. Cette méthode sera capable de prédire les
caractéristiques hyperfréquences de dispositifs intégrant des ferrites aimantés, mais aussi tout
autre type de matériau anisotrope et dispersif.
Cette nouvelle approche, contrairement aux simulateurs électromagnétiques
commerciaux et aux approches théoriques proposées dans la littérature, sera en mesure
d’atteindre un niveau élevé de précision dans la description de l’interaction du signal haute
fréquence avec une structure constitué d’un milieu magnétique anisotrope non-saturé, à
l’intérieur duquel règne un champ magnétique statique non-uniforme.
Introduction générale
4
Le fil directeur de la thèse passe par l’illustration des résultats en prenant en
considération les besoins exprimés par les concepteurs de circulateurs miniatures notamment
dans le cadre du projet européen IMICIMO (Integrated Miniature Circulators for microwave
Modules) auquel j’ai participé.
Ce mémoire se subdivise en cinq parties. Une première établit un état d’art sur les
ferrites et leurs applications en hyperfréquences. Dans la seconde, nous démontrons la limite
de validité des outils de simulation électromagnétique actuellement commercialisés. Puis,
nous exposons le fonctionnement de la méthode TLM et nous proposons ensuite la méthode
de sa modification pour la prise en compte de tout type de matériau. Enfin, nous validons
l’approche proposée par une confrontation avec d’autres outils théoriques dans des cas limites
(ferrites saturés) et avec des résultats expérimentaux dans des cas plus généraux (ferrites
partiellement aimantés).
Ces travaux doivent ainsi contribuer à élargir la sphère d’application de la méthode
TLM en y intégrant la capacité à modéliser tout type de matériaux tels les matériaux
dispersifs, les ferrites ou encore les métamatériaux, etc.
CHAPITRE I
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
8
Premier Chapitre
LES FERRITES ET LEURS APPLICATIONS EN HYPERFREQUENCES
10
I. Les Ferrites polycristallins
11
I.1. Les différentes structures
a. Les spinelles
b. Les grenats de terre rares
c. Les hexagonaux
11
11
12
13
I.2. Principe d’aimantation d’un ferrite
a. Domaines de WEISS & parois de BLOCH
b. Cycle d’hystérésis
14
14
15
II. Dispositifs hyperfréquences à ferrites
16
II.1. Dispositifs accordables
a. Coupleur à grenat d'yttrium
b. Filtre accordable
17
18
18
II.2. Dispositifs non réciproques
a. Isolateurs
1. Principe de fonctionnement
2. Caractéristiques
3. Isolateurs à déplacement de champ
3.1. Isolateur à déplacement de champ en guide d’onde rectangulaire
3.2. Isolateur à déplacement de champ réalisé en technologie microruban
4. Isolateurs à résonance
4.1. Isolateurs à résonance en guide d’onde rectangulaire
4.2. Isolateurs à résonance réalisé en technologie coplanaire
5. Autres isolateurs
20
20
20
20
21
22
23
23
23
24
24
b. Circulateurs
1. Principe de fonctionnement
2. Caractéristiques
3. Applications dans les télécommunications
4. Circulateur à éléments localisés
5. Circulateurs à éléments distribués
5.1. Circulateur à guide d’onde
5.2. Circulateur à effet de Faraday
5.3. Circulateur à déplacement de champ
5.4. Circulateur en technologie triplaque
5.5. Circulateur en technologie coplanaire
5.6. Circulateur en technologie microruban
II.3. Applications à base de ferrite selon leurs états d’aimantation
25
25
26
27
28
30
30
31
31
33
35
36
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
III. Modélisation de la perméabilité des milieux magnétiques aimantés
9
38
III.1. Tenseur de perméabilité : matériaux saturés
a. Tenseur de Polder
38
38
III.2. Tenseur de perméabilité : matériaux partiellement aimantés
a. Tenseur de Rado
b. Tenseur de Schlöemann
c. Tenseur de Green et Sandy
d. Tenseur d’Igarashi et Naito
e. Tenseur de Bouchaud et Zérah
f. Tenseur de Gelin : Generalized Permeability Tensor
40
40
41
41
42
42
43
IV. Besoins en terme de modélisation
48
Conclusion
49
Références du chapitre I
50
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
10
Premier Chapitre
Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
Ce chapitre a pour objet de présenter quelques notions essentielles
d’électromagnétisme qui permettent d’expliquer le fonctionnement de la plupart des
dispositifs non réciproques hyperfréquences.
Nous définissons d’abord les différentes familles de matériaux magnétiques et nous
détaillons le cas des matériaux ferrimagnétiques en décrivant leurs propriétés
hyperfréquences. Nous faisons le bilan de leurs applications actuelles dans le domaine des
hyperfréquences.
Ainsi, nous présentons les principales familles de dispositifs micro-ondes non
réciproques existantes à base de ferrites polycristallins. Une attention particulière est portée
aux circulateurs afin d’orienter nos travaux de recherche dans le domaine de la modélisation
et de l’application des ferrites pour ce type de dispositif.
Enfin, une étude sur le comportement dynamique des ferrites selon leur état
d’aimantation (de l’état désaimanté jusqu’à la saturation, en passant par des états de partielle
aimantation) est présentée, ainsi que les modèles du tenseur de perméabilité proposés dans la
littérature pour ces différents états.
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
11
I. LES FERRITES POLYCRISTALLINS
L’aimantation spontanée dans les oxydes magnétiques a été principalement observée
au cours du 19ème siècle. Ce n’est qu’à partir de 1930 environ que des recherches
systématiques sur les ferrites ont été menées. Ces milieux présentent des compositions
chimiques diverses, conduisant à des propriétés magnétiques variées, allant de celles des
matériaux magnétiques «doux» à celles des aimants permanents. Le premier objectif de ce
chapitre est de présenter les propriétés générales des ferrites. L’objet de ce chapitre n’est pas
d’expliquer l’origine du magnétisme. Pour plus d’explications, nous orientons le lecteur vers
les ouvrages [I.1 – I.5].
Louis Néel a établi sa théorie du ferrimagnétisme en 1940 [I.5] et l’a ensuite appliquée
aux ferrites, cette théorie étant basée sur la description des propriétés magnétiques statiques
de ces matériaux (aimantation à saturation et température de transitions). Par la suite la
résistivité électrique élevée (>>1Ω·m) de ces matériaux a permis leur utilisation à haute
fréquence. Les autres paramètres essentiels qui caractérisent les ferrites sont :
- l'aimantation à saturation Ms qui varie de 1500 G à 6000 G ;
- le champ d'anisotropie Ha , celui-ci caractérise la rigidité avec laquelle l'aimantation
est maintenue dans des directions privilégiées du cristal.
- la température critique Tc au-delà de laquelle les matériaux ferrimagnétiques perdent
leurs propriétés magnétiques.
- Le champ coercitif qui est nécessaire d'appliquer à un matériau saturé pour annuler
son aimantation.
Un ferrite est considéré « dur » lorsqu’il est difficile à aimanter, il présente alors des champs
coercitifs et d'anisotropie élevés (Hc>1.25 KOe). Il est appellé « ferrite doux » quand il est
facile à aimanter, il présente alors des champs coercitifs et d'anisotropie faibles (Hc < 0.125
KOe).
I.1. Les différentes structures
Les trois principales familles de ferrites sont : les ferrites spinelles, les grenats et les
hexaferrites.
I.1.a. Les spinelles
Les ferrites à structure spinelle sont couramment utilisés dans le domaine des ondes
centimétriques (3-30 GHz). La structure cristalline est celle du minéral Mg2+Al23+O42-.
Lorsque l’on substitue l’ion trivalent Al23+ par l’ion Fe3+, on obtient le ferrite de magnésium
Mg2+ Fe23+O42-. Ce ferrite est bien adapté aux applications hyperfréquences en raison de sa
résistance électrique très élevée (108-1010 Ω.cm). Lorsque l’on substitue l’ion bivalent Mg2+
par l’ion Fe2+, on obtient la Magnétite Fe3O4. Les éléments métalliques divalents tels que Ni,
Co, Mn, Cu, etc. peuvent être utilisés comme substituant pour former un ferrite à structure
spinelle.
Les propriétés magnétiques et diélectriques des spinelles sont contrôlées par les
substitutions. Par exemple, l'introduction de l'ion Co2+ dans les alliages permet de réduire
l'anisotropie intrinsèque du milieu, car la constante d'anisotropie du cobalt est de signe
opposée à celle du fer. Pour minimiser les pertes diélectriques, il est indispensable d'empêcher
le transfert d'électrons des ions métalliques bivalents vers les ions métalliques trivalents d'un
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
12
même élément chimique. C'est pour cette raison que la Magnétite Fe2+Fe23+O42- est moins
utilisée que des matériaux comme le ferrite Ni2+Fe23+O42- qui présente moins de pertes
diélectriques, notamment lorsque l'on réalise une substitution en manganèse. Enfin, l'apport
en zinc augmente l'aimantation spontanée, mais parallèlement réduit la température de Curie
du ferrite.
Un des ferrites à structure spinelle les plus courants est le ferrite à base de manganèse
et de magnésium dont la formule chimique générique est MnxMgyFe2O4. Son aimantation
spontanée Ms peut varier de 1200 à 2800 Gauss, en fonction de la valeur de x, la température
de frittage et la vitesse de refroidissement. Sa largeur de raie d'absorption à mi-hauteur est de
l'ordre de quelques Oersteds. Les ferrites de manganèse/magnésium sont utilisés en général
pour des applications de faibles puissances dans la gamme de fréquences 7-15 GHz. Le ferrite
de lithium est le ferrite à structure spinelle le plus couramment utilisé en hyperfréquences.
Son coût de fabrication est réduit et sa température de Curie est élevée. De plus, il présente un
cycle d'hystérésis de forme carrée. Par exemple, le ferrite de lithium à la composition
chimique Li0,5+Fe2,53+O42- présente une aimantation spontanée de 3600 Gauss, une
température de Curie de 645°C et une largeur de raie de 3 Oe. L'apport en ion Zn2+ permet
d'augmenter la valeur de 4πMs. Pour réduire la porosité et les pertes diélectriques, un léger
apport en Bi2O3 et en MnO2 peut être réalisé.
I.1.b. Les grenats de terre rares
Les ferrites à structure grenat présentent une structure cristalline similaire à celle du
grenat naturel Ca3Fe2(SiO4)3. Leur formule chimique générique est M33+Fe53+O12, où M étant
un élément des terres rares (l’ancienne appellation des groupes des Lanthanides). Les ions
métalliques qui constituent les grenats sont tous trivalents, ce qui facilite le processus de
fabrication et permet d'obtenir des pertes diélectriques faibles. Malgré une aimantation à
saturation qui se révèle plus faible que celle des spinelles, l'intérêt principal des grenats est de
présenter des pertes magnétiques et diélectriques moins élevées et une bonne tenue thermique.
Le grenat le plus couramment utilisé dans la gamme de fréquences 1-10 GHz est le
grenat d'yttrium Y3Fe5O12, communément appelé YIG (Yttrium Iron Garnet). Sa forme
monocristalline présente la raie d'absorption la plus étroite de tous les ferrites (∆H ≈ 0,1 Oe à
10 GHz). Le YIG constitue donc un matériau de choix pour augmenter le facteur de qualité
des fonctions de traitement du signal réalisées à partir de dispositifs à ferrite. Les propriétés
magnétiques du grenat d'yttrium peuvent être modifiées de façon importante en raison de la
présence de trois sites cristallographiques qui peuvent accueillir différents cations et de
l'existence de différents états de valence. Par exemple, la substitution en scandium dans le site
octaédrique permet d'augmenter l'aimantation spontanée jusqu'à une valeur de 1900 G.
Les grenats sont en général plus sensibles aux contraintes mécaniques que les
spinelles. Cependant, une légère substitution en manganèse permet de réduire le coefficient de
magnétostriction des grenats de gadolinium (YGd). Enfin, la température de Curie des grenats
est en général plus basse que celle des spinelles. A titre d'illustration, la température de Curie
du YIG est de 286°C, alors que pour certains ferrites à structure spinelle, cette température
peut atteindre 600°C, mais elle peut aussi descendre en dessous de 0°C.
13
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
I.1.c. Les hexaferrites
La caractéristique principale des milieux hexagonaux ferrimagnétiques (ou
hexaferrites) est d’êtres magnétiquement «durs», de par leur très fort champ d’anisotropie
magnétocristalline intrinsèque, de 100 à 1000 fois supérieur à celui des spinelles et grenats,
pouvant atteindre 35 kOe. Cette forte valeur d’anisotropie interne conduit à une faible
perméabilité initiale mais permet avantageusement leur emploi pour la réalisation de
dispositifs en ondes millimétrique, de 30 GHz jusqu'à environ 100 GHz.
Le tableau ci-dessous résume les caractéristiques respectives des différentes familles
de ferrite :
Caractéristiques
Grenat
Bande de fréquence
L <===> X
C <===> Ku
Q <===> W
Ions M utilisés
Y, Gd, Al, etc.
Mn, Mg, Ni, Li, etc.
Sr, Ba, Al, etc.
Tc (Celsius)
100 – 280
175 – 560
200 – 500
190 – 1950
1130 – 5000
5000
εf
13 – 16
12 – 16.7
13 – 20
Tgδ
< 2.10-4
< (3 – 5).10-4
<(6 – 20).10-4
∆Ηeff
2 – 140
4–9
50 – 200
∆Ηk
1 – 50
3 – 40
< 50
4πMs
Spinelle
Hexaferrite
Tableau I.1. Caractéristiques respectives des spinelles, des grenats et des hexaferrites.
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
14
I.2. Principe d’aimantation d’un ferrite
La variation de l’aimantation du ferrite d’un état saturé à un état totalement ou
partiellement désaimanté n’est pas réversible. Les mécanismes d’aimantation sont rappelés
dans la suite de ce paragraphe.
I.2.a. Domaines de WEISS et Parois de BLOCH
Un échantillon de matière ferrimagnétique n’est pas spontanément aimanté : il
présente à l’équilibre thermodynamique un moment magnétique macroscopique nul. En effet,
le matériau est divisé en domaines magnétiques appelés domaines de Weiss qui sont
spontanément aimantés (Figure I.1).
Figure I.1. Décomposition d’un échantillon de ferrite.
Si l’on réfère uniquement à la principale propriété du ferromagnétisme : l’existence
d’un couplage fort entre les moments magnétiques d’atomes voisins, l’aimantation spontanée
dans un corps ferrimagnétique devrait exister. Or expérimentalement, cela n’est pas vérifié.
WEISS apporte une réponse à ce phénomène, en montrant que le matériau se divise en
domaines. Le modèle le plus répandu est composé de domaines principaux antiparallèles et de
domaines de fermeture qui referment le flux magnétique de manière à réduire l’énergie du
matériau.
Entre les domaines, il apparaît des zones de séparation appelées parois de BLOCH.
Dans ces parois, la variation des moments magnétiques est progressive de façon à minimiser
l’énergie d’échange entre spins voisins.
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
15
I.2.b. Cycle d’hystérésis
La courbe de première aimantation et le cycle d’hystérésis sont deux caractéristiques
importantes des substances ferrimagnétiques. En effet, la plupart des applications
technologiques sont basées sur l’existence de ce cycle (effet mémoire du matériau). Par
définition, le cycle d’hystérésis d’un matériau magnétique est le tracé de l’induction B en
fonction du champ magnétique H extérieur appliqué.
L’application d’un champ de polarisation externe H0 contraint les moments
magnétiques à s’orienter plus ou moins, selon le champ, en sens et direction, entrainant alors
une aimantation résultante non nulle. Le déplacement des parois de Bloch augmente le
volume des domaines initialement orientés dans le sens du champ extérieur. L’énergie
d’échange diminue, du fait de l’orientation progressive des moments magnétiques vers une
même direction, imposée par H0.
La courbe de première aimantation, qui relie le champ de polarisation à l’aimantation
M du milieu ferrimagnétique, se sépare en trois régions (Figure I.2) :
Figure I.2. Cycle d’hystérésis.
La région I :
Le champ H0 d’intensité relativement faible perturbe et modifie légèrement
l’arrangement des moments magnétiques (mouvement des parois). Cette zone est réversible et
détermine le domaine de perméabilité initiale.
La région II :
Pour un champ H0 plus fort, la rotation des moments magnétiques dans les parois
prend de l’importance. L’aimantation augmente. Le phénomène devient irréversible.
La région III :
Pour des champs très intenses, les moments sont presque tous alignés selon la
direction de H0, les parois de Bloch n’existent plus. L’aimantation revient dans une phase
réversible mais ne varie que faiblement par rotation de spin. Elle atteint sa valeur de
saturation Ms.
Si le champ H0 décroit, l’aimantation diminue mais ne revient pas à sa valeur initiale.
Pour H0 nul, la valeur de l’aimantation s’appelle l’aimantation rémanente. Pour annuler
l’aimantation rémanente, il faut appliquer un champ en sens inverse, d’intensité Hc, appelé
champ correctif. Si un champ magnétique H0 alternatif d’amplitude constante est utilisé,
l’aimantation M décrit une courbe fermée : Le cycle d’hystérésis. Pour revenir à une
aimantation nulle, il faut réduire progressivement jusqu’à l’annuler l’amplitude du champ
magnétique H0 alternatif, de façon à retrouver simultanément B0=H0=0.
16
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
II. DISPOSITIFS HYPERFREQUENCES A FERRITES
Pour répondre aux besoins des nouvelles applications dans le secteur des
télécommunications, un axe de recherche concerne l’intégration et la miniaturisation des
composants pour l’électronique hyperfréquence.
Il existe une multitude de composants passifs hyperfréquences à base de ferrite comme
les circulateurs, les isolateurs, les déphaseurs, les commutateurs, les ondulateurs, les antennes
miniaturisées ou encore les filtres accordables. Notre prétention n’est nullement de décrire
tous les dispositifs hyperfréquences à base de ferrite. Une revue plus générale de ceux
existants peut être trouvée dans les références [I.6], [I.7] par exemple.
L’objectif de ce paragraphe est d’identifier, au travers d’une description nonexhaustive des principaux dispositifs hyperfréquences à ferrites, les besoins en termes d’outils
théoriques d’aide à la conception de ces dispositifs.
Dispositifs non
réciproques
•
•
•
•
À effet Faraday
À la résonance
À déplacement
de champ
À mode OSEL
En guide d’onde, en
ligne microruban, en
ligne coplanaire, etc.)
Autres
dispositifs
Circulateur
{+ charge = isolateur}
Isolateur
•
A champ
faible
A champ fort
•
•
À effet Faraday
À déphasage
•
différentiel
À la rémanence
•
•
Circulateur à
jonction-Y
En guide d’onde, triplaque,
en ligne microruban, a
éléments localisés, en ligne
coplanaire, etc.
Figure I.3. Principales catégories de dispositifs hyperfréquences à base de ferrites.
Déphaseur,
commutateur,
polariseur,
absorbant.
Filtres accordable,
source «YIG»,
limiteur
Ligne a retard
correcteur de temps
de groupe,
résonateurs à modes
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
17
La figure I.3 présente les principaux dispositifs utilisant les propriétés singulières de
la propagation d’une onde électromagnétique dans un matériau ferrite polycristallin.
Le fonctionnement de ces dispositifs repose sur l’un, voire plusieurs, des effets
suivants :
- la rotation de Faraday : une onde Transverse Electro-Magnétique (TEM) entrant dans
un ferrite aimanté selon la direction de propagation de l’onde, est décomposée en deux ondes
respectivement polarisées circulaire gauche et droite. L’une des ondes polarisées
circulairement va évoluer dans le sens de la gyrorésonance, entraînant une forte interaction
onde-matière. L’autre onde évoluera en sens inverse à celui de la gyrorésonance, conduisant à
une faible interaction onde-matière. Cette propriété produit une rotation du plan de
polarisation de l’onde TEM initiale,
- le phénomène de résonance gyromagnétique : conduisant à une forte absorption de
l’onde électromagnétique se propageant dans le matériau, lorsqu’un champ magnétique
hyperfréquence polarisé elliptiquement tourne dans le même sens que celui de la précession
gyromagnétique,
- le déplacement de champs : la distribution des champs hyperfréquences, transverse à
la direction de propagation de l’onde électromagnétique dans le ferrite, est déplacée dans la
structure de propagation, résultant en une variation plus ou moins importante de la répartition
de l’énergie électromagnétique dans le matériau,
- les effets non linéaires engendrés pour de forts niveaux de puissance injectés au
ferrite,
- l’existence de modes ou ondes de spin non uniformes : pour des ondes de faible
longueur d’onde, des modes de propagation non uniformes sont excités et un déphasage
spatial dans l’évolution des moments magnétiques existe. Lorsque la longueur d’onde d’une
telle onde est de l’ordre de grandeur des dimensions de l’échantillon de ferrite, celle-ci est dite
« onde magnétostatique » ; le milieu étant alors aimanté uniformément à l’état statique.
Les propriétés électromagnétiques des ferrites sont exploitées pour réaliser deux
classes de dispositifs hyperfréquences. La première classe regroupe des dispositifs tels que les
déphaseurs, les filtres accordables, les commutateurs et les atténuateurs variables, qui
exploitent la non linéarité des ferrites vis à vis d’un champ statique d’aimantation (le terme
champ de polarisation sera employé par la suite, par analogie avec le principe de
fonctionnement des transistors : polarisation statique et petit signal). La seconde classe
comprend des dispositifs tels que les isolateurs et les circulateurs, pour lesquels le caractère
non réciproque de la propagation des ondes est essentiel.
II.1. Dispositifs accordables
La dépendance de la perméabilité des ferrites vis à vis d'un champ magnétique statique
peut être exploitée pour réaliser des dispositifs hyperfréquences accordables. Nous présentons
dans cette section le coupleur à grenat d'yttrium qui constitue la première application pratique
de l’agilité en fréquence des ferrites. Nous décrivons également le principe des filtres
accordables, en expliquant le fonctionnement d'une fonction de filtrage élémentaire
commandée par un champ magnétique statique.
18
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
II.1.a. Coupleur à grenat d'yttrium
Le coupleur à YIG (grenat d'yttrium), développé par R.W. de Grasse en 1969 [I .8],
est un exemple bien connu de dispositif agile en fréquence exploitant la non linéarité
magnétique des ferrites vis à vis d’un champ magnétique statique. Le rôle de ce circuit
(Figure I.4) est de réaliser un couplage entre deux lignes de transmission dans une faible
bande de fréquence autour d'une fréquence centrale. La fréquence centrale est modifiée en
faisant varier l'intensité du champ magnétique statique appliqué sur le dispositif.
Si la bille de ferrite est totalement désaimanté (perméabilité scalaire), les cartes des
champs associées au mode fondamental quasi-TEM des deux lignes microruban sont
orthogonales. Dans ce cas, le couplage entre les lignes est quasi inexistant. Lorsque l’on
aimante la bille de ferrite, sa perméabilité devient tensorielle. Un couplage, lié au caractère
anisotrope du ferrite, apparaît entre les lignes.
La réponse à bande étroite agile en fréquence du coupleur à YIG a été utilisée par la
suite pour les filtres accordables.
Ho
accès2
solénoïde
L1
L2
accès1
Figure I.4. Coupleur accordable à YIG
(a) Vue de dessus des rubans conducteurs. (b) Vue de face du dispositif.
II.1. b. Filtre accordable
Une fonction de type coupe bande peut être conçue très facilement à partir de la mise
en dérivation sur une ligne principale d'une ligne secondaire terminée par un circuit-ouvert.
La portion de ligne mise en dérivation est déposée perpendiculairement à la ligne principale.
Lorsque la longueur L de la ligne en dérivation est égale au quart de la longueur d'onde guidée
λg, un court-circuit est ramené dans le plan d'entrée de la ligne secondaire. Les
caractéristiques électromagnétiques de la ligne principale sont alors fortement modifiées. En
effet, la réponse en transmission du dispositif fait apparaître très nettement un comportement
de type coupe bande (Figure I.5). A la fréquence de résonance du circuit:
L=n
λg
4
n = 0,1,2,3,...
(I.1)
Ainsi, la fréquence centrale de la fonction coupe bande est liée directement à la
longueur électrique de la ligne mise en dérivation :
fc = n
c
4 L ε eff µ eff
n = 0,1,2,3,...
(I.2)
19
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
où εeff et µeff sont respectivement la permittivité et la perméabilité relatives effectives de la
ligne microruban et c est la célérité de la lumière dans le vide.
L'utilisation d'un substrat présentant des propriétés diélectriques ou magnétiques non
linéaires vis à vis d’un champ statique va permettre de modifier la permittivité ou la
perméabilité effective du circuit et donc la fréquence centrale de la fonction coupe bande. Des
matériaux ferroélectriques, ou des cristaux liquides commandés par l'intermédiaire d'une
différence de potentiel, peuvent être utilisés. La variation de la perméabilité des ferrites sous
l'action d'un champ magnétique statique peut également être exploitée.
axe facile
stub
LIFT
H0
ruban
substrat
plan de masse
Figure I.5. Filtre accordable en technologie microruban.
A titre d'illustration, les figures I.5 et I.6 présentent respectivement un stub
microruban contenant un composite magnétique et sa réponse en transmission pour
différentes valeurs du champ de commande. L'agilité en fréquence obtenue est de 45%
lorsque l'intensité du champ statique varie de 0 à 250 Oe.
Fréquence (GHz)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
S21 (dB)
-5
-10
-15
-20
0 Oe
-25
H0
250 Oe
Figure I.6. Réponse en transmission pour différentes valeur du champ magnétique
statique.
Les dispositifs accordables à base de ferrites décrits dans la littérature requièrent, en
général, des intensités de champ de commande élevées pour assurer une agilité intéressante.
D'autre part, la fonction de filtrage est obtenue dans la plupart des cas en utilisant l'absorption
gyromagnétique. Les filtres à commande magnétique réalisés sur ce principe sont donc limités
à la réalisation d'une fonction de type "coupe bande", dont la largeur est fixée par la largeur de
la raie d'absorption du matériau.
20
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
II.2. Dispositifs non réciproques
II.2.a. Isolateurs
II.2.a. 1. Principe de fonctionnement
Une classe de dispositifs passifs non-réciproques utilise les propriétés magnétiques des
ferrites : celle des isolateurs. Ces dispositifs ont pour fonction de propager une onde
électromagnétique dans un sens et de l’absorber lorsqu’elle se propage en sens inverse. Ils sont
utilisés dans des systèmes micro-ondes pour éviter que l’onde réfléchie ne vienne perturber le
fonctionnement d’un autre dispositif, comme un générateur par exemple.
Charge
S
21
S 12
Générateur
S 11
S 22
Figure I.7. Schéma de principe d’un isolateur
Ces quadripôles (Figure I.7) se caractérisent par leur matrice de répartition Sij qui s’écrit :
S
Sij =  11
 S 21
S12 
S 22 
(I.3)
Notons que le paramètre S21 est le coefficient de transmission et le paramètre S12 est le coefficient
d’isolation Les autres paramètres S11, S22 sont les coefficients de réflexion au niveau de ports 1, 2.
L’isolateur idéal est un dispositif adapté qui permet le passage de l’énergie dans un sens et pas dans
l’autre. Sa matrice S est donc la suivante :
0 0 
S =

1 0
(I.4)
Il existe différents types d’isolateurs qui fonctionnent sur des principes différents : isolateurs à rotation
Faraday, à résonance, à déplacement de champ. Ils sont réalisés généralement en guide d'onde ou en
technologie planaire, selon les domaines d’applications et les niveaux de puissance qu’ils doivent
supporter.
II.2.a. 2. Caractéristiques
Les principales caractéristiques d’un isolateur [I .9] sont les suivantes :
- Les pertes d’insertion :
Ces pertes d’insertion représentent l’atténuation que subit le signal transmis dans la
direction de propagation à travers l’isolateur en question. Elles doivent être le plus possible
proche de 0 dB. En réalité, les valeurs typiques pour un isolateur sont entre 0.1 et 1 dB.
21
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
Incident
S21
Transmis
a1
b2
S11
Réfléchi
S22
Port 1
b1
Port 2
Réfléchi
a2
Transmis
S12
Incident
Figure I.8. Paramètres de dispersion Sij
L’expression qui permet de calculer les pertes d’insertion pour un quadripôle (Figure I.8) est
la suivante :
a
ILdb (InsertionLoss ) = 20 log10 1 = −20 log10 S 21 ≥ 0dB
b2
(I.5)
- L’isolation :
L’isolation est une caractéristique qui montre la capacité d’un isolateur à atténuer le
signal de retour. Les valeurs typiques de l’isolation sont entre 20 et 30 dB. L’expression de
l’isolation dans le cas général est la suivante :
a
IS db (Isolation ) = 20 log10 2 = −20 log10 S12 ≻≻ 0dB
b1
(I.6)
- Le taux d’onde stationnaire :
Il permet de définir l’état du signal réfléchi et ceci en fonction de l’amplitude du
coefficient de réflexion R (R= b1/a1). Typiquement, un taux d’onde stationnaire varie entre
1.05 et 1.2 pour une bonne transmission. Son expression est donnée par :
1+ R
SWR (standing Wave Ratio) =
≥1
1− R
(I.7)
- La largeur de bande :
C’est l’intervalle [fmin ;fmax] de fréquences qui permet d’avoir une bonne isolation. Il
est défini par le pourcentage calculé à partir du rapport multiplié par 100, où fc est la
fréquence centrale de l’intervalle. La largeur de bande pour un isolateur est au moins de 10%.
II.2.a.3. Isolateurs à déplacement de champ
L’anisotropie et les effets non-réciproques de propagation vont permettre d’utiliser les
ferrites dans des structures guidées pour réaliser des dispositifs de type isolateur. Un effet
intéressant est le déplacement de champ. Pour illustrer le principe, il faut considérer par
exemple un guide rectangulaire que l’on rempli partiellement d’un ferrite placé au centre
comme le montre la figure I.9. Ce ferrite, étant polarisé suivant l’axe Oy, devient anisotrope
et le déplacement de l’énergie est alors non-réciproque. Le champ est donc déplacé dans la
partie droite ou la partie gauche du guide selon que la propagation s’effectue selon les z
positifs ou négatifs.
22
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
ferrite
y
H0
x
x
Figure I.9. Déplacement de champ et propagation non réciproque
(a) propagation selon z positif (z>0)
(b) propagation selon z négatif (z<0)
II.2.a.3.1. Isolateur à déplacement de champ en guide d’onde rectangulaire
Le phénomène décrit ci-dessus est utilisé dans l’isolateur en guide rectangulaire. Le
déplacement de champ est assuré par une plaquette de ferrite sur laquelle un film résistif, qui
joue le rôle d’absorbant, est déposé. Le ferrite n’est plus positionné au centre de la structure
mais en position latérale. La géométrie et le matériau assurent ensemble l’asymétrie du
dispositif.
ferrite
ferrite
y
y
absorbant
absorbant
x
x
Figure I.10. Isolateur à déplacement de champ en guide d’onde rectangulaire.
(a) Sens bloqué pour une propagation selon z>0 (b) sens passant pour une propagation selon z<0
Dans un sens de propagation (Figure I.10.a), il y a une forte interaction avec le ferrite
qui va attirer le champ électromagnétique. Les champs sont importants au niveau de la
plaquette, et par conséquent au niveau de l’absorbant. Cela se traduit par une forte absorption
de l’onde, la propagation est bloquée dans ce sens. Dans l’autre sens de propagation (Figure
I.10.b), les champs sont concentrés dans l’air et très faibles au niveau du ferrite et de
l’absorbant, d’où une très faible absorption. L’atténuation sera donc négligeable. Ainsi, la
propagation dans ce dispositif n’est possible que dans un seul sens, ce qui est la fonction d’un
isolateur.
Pour cet isolateur à déplacement de champ [I .10], [I .11], le champ magnétique
statique appliqué au ferrite est de faible intensité. Ce genre d’isolateur présente des pertes
d'insertion faibles (≤ 0.1 dB). Il convient aux applications de basses puissances du fait que le
matériau absorbant ne peut pas être refroidi puisque sa surface de contact avec le guide
d’onde est très faible.
23
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
II.2.a.3.2. Isolateur à déplacement de champ réalisé en technologie microruban
Le phénomène de déplacement de champ peut également être obtenu en technologie
microruban. C’est M.E. Hines [I.12] qui a été le premier à proposer un isolateur microruban à
déplacement de champ. Il suffit pour cela d’utiliser une ligne microruban sur un substrat de
type ferrite. Si le dispositif est aimanté verticalement, le substrat ferrite anisotrope rend la
structure non symétrique, ce qui conduit à un déplacement de champ dans la ligne (Figure
I.11).
ferrite
H0
ferrite
Figure I.11. Les lignes de champ représentées correspondent au champ électrique.
(a) Propagation selon z>0
(b) Propagation selon z<0
Supposons l’énergie concentrée sur l’arrête gauche selon l’axe de propagation. Si
l’énergie est injectée sur l’accès (1), elle est transférée dans sa totalité sur l’accès (2) (Figure
I.12.a). Par contre si elle est injectée à l’accès (2) elle suit l’arrête gauche et se dissipe dans
l’absorbant (Figure I.12.b).
absorbant
absorbant
port 1
port 2
ferrite
Figure I.12. Isolateur à déplacement de champ en technologie microruban.
(a) Isolateur en vue de dessus
(b) positionnement de l’absorbant destiné à bloquer la
propagation rétrograde.
Dans cette configuration, le mode fondamental se propageant de façon progressive est
transmis en quasi-totalité de l’accès 1 vers l’accès 2 du dispositif. Par contre, la propagation
rétrograde du mode fondamental est fortement atténuée le long de l’absorbant. Une isolation
de 40 dB et des pertes d'insertion inférieures à 1 dB dans une bande de 1 GHz à 8 GHz
peuvent être obtenus pour ce type d’isolateur.
II.2.a.4. Isolateurs à résonance
Une onde hyperfréquence de polarisation circulaire qui pénètre dans un ferrite
magnétisé peut être absorbée ou non selon son sens de rotation. L’absorption est maximale à
la fréquence de résonance gyromagnétique du ferrite.
II.2.a.4.1. Isolateurs à résonance en guide d’onde rectangulaire
Ce phénomène peut être utilisé dans un guide d’onde rectangulaire dans lequel est
placé un barreau de ferrite tel que le champ magnétique soit polarisé circulairement à la
fréquence de travail.
Si l’intensité du champ magnétique appliqué est fixée de telle manière à ce que la
pulsation angulaire de la précession des moments magnétiques soit voisine de la pulsation
24
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
angulaire du signal hyperfréquence, il y a pour un sens de propagation une très forte
interaction avec le matériau et donc des fortes pertes, tandis que pour l’autre sens de
propagation la polarisation circulaire tourne dans le sens inverse de la rotation
gyromagnétique, l’onde est très peu perturbée par le matériau qui est alors vu par l’onde
comme un diélectrique faibles pertes..
Puisque ce dispositif utilise la résonance gyromagnétique, sa bande d utilisation est faible et
comme de plus c’est le ferrite qui dissipe l’énergie, les puissances mises en jeu sont faibles.
II.2.a.4.2. Isolateurs à résonance réalisé en technologie coplanaire
Ce composant a pour particularité d’utiliser un substrat diélectrique sur lequel une
ligne coplanaire est placée. La ligne coplanaire étant la ligne de transmission constituée d’un
ruban conducteur central séparé des deux plans de masse par deux fentes.
Pour cette structure, deux choix ont été élaborés : une couche mince de ferrite
recouvrant tout le substrat. La ligne coplanaire est alors placée sur le ferrite (Figure I.13.a).
La seconde possibilité est de placer du ferrite seulement dans les fentes de la ligne coplanaire
(Figure I.13.b).
Barreaux de ferrite
Ferrite
H0
Figure I.13. Vue transverse des lignes coplanaires
(a) ferrite placé au-dessus du diélectrique
(b) ferrite placé entre les fentes de la ligne coplanaire
Les isolateurs étudiés utilisent soit du BaM, soit du YIG. Cependant ces structures
coplanaires avec un matériau magnétique fonctionnant à la résonance n'ont pas permis
l'obtention de performances suffisantes pour une exploitation industrielle.
II.2.a.5. Autres isolateurs
Il existe d’autres structures d’isolateurs, l’isolateur à effet de Faraday qui, comme son
nom l’indique, utilise l’effet non réciproque de rotation du plan de polarisation. Avec ce
dispositif, il est possible d’atteindre sur une plage de fréquences étroite, un découplage entre
voies d’une quarantaine de décibels avec des pertes d’insertion inferieures à 0.5 dB.
Malheureusement ce dispositif ne supporte pas de puissances élevées. Il est en outre très
difficile à fabriquer car l’usinage des différentes pièces le constituant est important.
Un autre isolateur possède des caractéristiques intéressantes : l’isolateur à éléments
localisés. Ce dispositif est constitué de brins inductifs déposés sur un substrat ferrite
permettant la circulation du signal lorsque le matériau est soumis a un champ extérieur [I.13],
[I.14]. Il est essentiellement utilisé dans les téléphones portables, ses performances étant
optimales dans les bandes de fréquences basses.
Selon l’application souhaitée, l’isolateur présente des avantages par rapport au
circulateur, notamment en termes de couts et de taille. Dans les applications qui ne requièrent
pas les capacités totales du circulateur, les isolateurs sont préférables aux circulateurs
convertis en isolateur par simple ajout d’une charge adaptée de 50 Ω sur l’un de ses ports.
25
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
II.2.b. Circulateurs
Une autre classe de dispositifs passifs non-réciproques utilise les propriétés
magnétiques des ferrites: celle des circulateurs. Ces structures sont utilisées dans des systèmes
tels que les radars, la téléphonie mobile ou les liaisons satellitaires.
Prenons l’exemple d’un système radar mono-statique qui est un système de
télécommunications sans fil où une seule antenne est utilisée pour la transmission et la
réception : un dispositif électronique équivalent à un commutateur est généralement employé.
Les systèmes de ce type sont appelés duplexeurs (figure I.14). Or, pour des fréquences
élevées, il devient exclu d’utiliser des interrupteurs électroniques ou mécaniques ; il faudrait
en effet qu’ils commutent à chaque instant. La solution généralement employée consiste alors
à utiliser un circulateur à ferrite. Les circulateurs sont en effet des dispositifs qui assurent la
fonction « d’aiguillage » des signaux selon leur provenance, permettant ainsi de recevoir et
d’émettre des signaux à l’aide d’une seule antenne.
Emetteur
Récepteur
Figure I.14. Schéma de fonctionnement d’un duplexeur dans un circuit radar.
II.2.b.1. Principe de fonctionnement
Le circulateur, véritable carrefour à ondes électromagnétiques,
se présente
généralement sous la forme d'un boîtier équipé de trois connecteurs servant d'entrée-sortie. La
figure I.15 donne la représentation d'un circulateur (en Y) à trois voies [I.15]. Un circulateur
est donc un hexapôle, il comporte trois voies à 120° les unes des autres autour d'un corps
central où se trouvent les éléments qui confèrent au circulateur sa non-réciprocité.
Lorsqu’un champ magnétique statique est appliqué sur la pastille cylindrique de
ferrite, un champ interne apparait. Ce champ interne, si son intensité est suffisante, oriente les
moments magnétiques dans une direction particulière de façon à optimiser l’interaction avec
le signal haute fréquence en faisant apparaitre de manière uniforme dans tout le ferrite le
26
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
phénomène de précession gyromagnétique. Ce phénomène permet à une onde entrant par les
voies 1, 2 ou 3 de ne peut ressortir que respectivement par les voies 2, 3 ou 1.
a3
a2
2
3
b2
b3
a1
b1
1
Figure I.15. Schéma de principe d’un circulateur à 3 ports
Lorsque l'échantillon de ferrite est aimanté perpendiculairement à son plan principal à
l'aide d'un aimant permanent, l’anisotropie du ferrite dégénère le mode principal de résonance
de telle manière à ce que les deux modes dégénérés, excités au niveau de l’entrée (port 1), se
recomposent de façon constructive sur l’un des deux accès de sortie (port 2) et de manière
destructive sur l'autre accès de sortie (port 3).
Notons que a1, a2 et a3 sont les amplitudes des ondes incidentes dans le circulateur Y à
trois voies et b1, b2 et b3 sont les amplitudes des ondes réfléchies au niveau des trois ports.
Un tel dispositif est essentiellement utilisé pour deux fonctions au sein des systèmes
de télécommunications :
- Il permet de jouer le rôle d'aiguilleur du signal radiofréquence dans tous les systèmes où la
séparation des voies d'émission et de réception est importante (radars, transmissions par
satellite, téléphonie mobile, ...).
- Ou encore, il permet l'isolation inter-étages pour masquer une désadaptation entre deux
éléments successifs dans une chaîne d'émission. Pour réaliser cette fonction, il suffit d’isoler
un des ports en le reliant à une charge adaptée.
Les trois caractéristiques grandeurs les plus importantes pour un circulateur sont :
- les pertes d'insertion qui doivent être les plus faibles possibles (< 1 dB),
- une bonne isolation (- 20 dB)
- et une bonne adaptation (- 20 dB)
II.2.b.2. Caractéristiques
Le circulateur (Figure I.15) se caractérise par sa matrice de paramètres S ou matrice
de dispersion qui s’écrit :
 S11 S12 S13 
S ij =  S 21 S 22 S 23 
 S 31 S 32 S 33 
(I.8)
Notons que :
- Les paramètres S21, S32 et S13 sont les coefficients de transmission, dits en anglais
« insertion loss »; ce sont eux qui renseignent sur les pertes d’insertion et illustrent le bon
fonctionnement du dispositif.
27
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
- Les paramètres S12, S23 et S31 sont des coefficients d’isolation ; ils rendent compte des
défauts d’aiguillage de la puissance dans le circulateur.
- Les autres paramètres S11, S22 et S33 sont des coefficients de réflexion, en anglais
« return loss », au niveau des ports 1, 2 et 3 ; ils permettent d’évaluer les problèmes de
désadaptation de la structure.
Le circulateur idéal est donc un hexapôle adapté qui serait capable d’aiguiller toute
l’énergie vers l’accès suivant, le troisième étant isolé. Sa matrice S idéale serait donc la
suivante :
 0
0
e jϕ 


0
0 
S = e jϕ
0
0 
e jϕ

(I.9)
où φ représente le déphasage lié à la transmission d’un port vers le port suivant.
La non-symétrie de cette matrice traduit clairement la non-réciprocité du composant.
C’est cette non-réciprocité qui fait tout l’intérêt du dispositif et qui explique que cette fonction
peut servir dans de nombreuses applications en télécommunications. Quelques applications
sont décrites dans le paragraphe suivant.
II.2.b.3. Applications dans les télécommunications
Le premier exemple d’applications qui est le plus commun est celui du duplexeur dans
un module d’émission/réception (Figure I.14). Le circulateur joue le rôle de séparateur des
canaux émission et réception comme dans le système radar mono statique cité au début de
cette partie ; il oriente les signaux de l’émetteur vers l’antenne sans aucun parasitage avec le
récepteur (voie isolée).
Dans le domaine des micro-ondes, où la puissance peut être très élevée, il est
nécessaire de protéger la source contre l’énergie réfléchie en utilisant un isolateur. Les
concepteurs emploient souvent les circulateurs comme des isolateurs, le troisième port étant
relié à une charge adaptée qui absorbe l'énergie réfléchie (Figure I.16).
Source
1
2
Y
Amplificateur de
puissance
Energie réfléchie
3
Charge
adaptée
Figure I.16. Circulateur utilisé comme isolateur.
28
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
La non-réciprocité du circulateur lui permet également d’occuper une fonction de
choix d’orientation des signaux sur des porteuses micro-ondes comme par exemple dans des
configurations de multiplexeur (Figure I.17.a) ou de déphaseur (Figure I.17.b).
Canal 1
1
2
Entrée
Canal 2
Canal
commu
n
Sortie
3
Déphaseur
Canal 3
Figure I.17. Quelques utilisations typiques des circulateurs :
(a) Circulateur utilisé comme démultiplexeur (b) Circulateur utilisé comme déphaseur
Il existe plusieurs types de circulateurs dont le fonctionnement est basé sur les
propriétés d'anisotropie induite des milieux aimantés. Cependant, après avoir comparé les
caractéristiques géométriques et électriques des dispositifs existants, nous nous sommes
focalisés plus particulièrement sur deux types de circulateurs : il s’agit des circulateurs à
éléments localisés et des circulateurs distribués. Ils présentent de meilleures performances et
leur réalisation est plus aisée.
II.2.b.4. Circulateur à éléments localisés
Le circulateur à éléments localisés est apparu au début des années soixante et les
études sur ce sujet n'ont cessées de se multiplier sous l'impulsion de chercheurs japonais
comme Konishi, Miura ou allemand comme Knerr [I.16], [I.17]. L'avantage majeur de ces
structures à éléments localisés réside dans leur extrême miniaturisation aux basses fréquences.
Selon la fréquence de fonctionnement du dispositif, il peut être vingt fois plus compact qu'un
circulateur à éléments distribués.
En raison de leurs bonnes performances et de leur taille réduite dans les gammes de
fréquence VHF et UHF, les principales applications où apparaissent ces structures sont les
systèmes de téléphonie mobile de norme GSM ou UMTS. Les différentes bandes de
fréquences IEEE sont présentées en Annexe A. Ces circulateurs peuvent être réalisés avec des
technologies de type planaire : microruban, triplaque ou coplanaire.
La structure de base est composée d'un réseau d'inductances entrelacées, implantées
sur un substrat ferrite ; elles constituent le cœur du circulateur (Figure I.18). Pour conserver
la symétrie électrique et garantir l'isolation du dispositif, les inductances doivent être
entrelacées, et séparées d'un angle de 120 degrés chacune. Lorsque le matériau ferrite est
aimanté la rotation du signal apparaît. Le circulateur trois ports à éléments localisés agit donc
principalement avec le couplage non-réciproque d'un accès à l'autre par l'intermédiaire des
brins inductifs.
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
29
Figure I.18. Circulateur à éléments localisés
Plusieurs travaux ont été menés sur ce type de circulateur, à titre d’exemple Konishi
en 1965 et 1972 [I.16], [I.18] a traité de l’élargissement de la bande passante de ce dispositif
en technologie microruban. Miura [I.19] a présenté en 1996 un circulateur triplaque dont
l’étude théorique est basée sur la méthode développée par Konishi. Les performances
obtenues sont acceptables. Les pertes d’insertions de l’ordre de 0.35 dB, la bande passante à 20 dB est de l’ordre 5.8 % pour une fréquence de fonctionnement voisine de 860 MHz.
Aujourd'hui, la conception de circulateurs à éléments localisés utilisant des matériaux
ferrites constitue une solution très intéressante pour les applications de téléphonie mobile ;
cela est dû à leur forte miniaturisation dans les bandes de fréquences basses. Toutefois, bien
que leur taille et leur coût de fabrication soient réduits, les limitations inhérentes à ces
structures à éléments localisés ne sont pas négligeables. Les besoins dans le secteur des
télécommunications requièrent des composants électroniques fonctionnant à des fréquences
de plus en plus élevées. Or, ces dispositifs présentent des pertes d’insertion considérables
lorsqu’ils sont employés à des fréquences supérieures à quelques GHz.
Dans le domaine des ondes centimétriques, une alternative à cette approche à éléments
localisés existe: la conception de circulateurs à éléments distribués. En effet, plus leur
fréquence de fonctionnement augmente plus leur taille diminue. Bien que ce type de
circulateur soit plus imposant (l’objectif concernant les dimensions du circulateur,
fonctionnant en bande X, est de 3×3×3 mm3). Les pertes d'insertion sont très faibles ce qui
permet de transmettre la quasi-totalité du signal d'un port à un autre en isolant la troisième
voie.
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
30
II.2.b.5. Circulateurs à éléments distribués
Parallèlement aux travaux menés sur l'approche à éléments localisés, les études sur les
circulateurs à éléments distribués se sont multipliées à partir de la fin des années cinquante.
L'importance de la radiocommunication et des systèmes hyperfréquences a favorisé le
développement de ce type de dispositifs hyperfréquences. Ces structures sont surtout
employées dans les systèmes radars et, malgré leur concurrence avec les circulateurs à
éléments localisés, dans la téléphonie mobile.
Parmi les circulateurs à éléments distribués, les dispositifs à jonction Y sont les plus
répandus. Leur processus de fabrication relativement simple est bien contrôlé ce qui permet
de les réaliser à moindres coûts. A l'origine, ces circulateurs étaient principalement réalisés en
technologie triplaque. Depuis quelques années les solutions de type microbandes sont étudiées
en raison des coûts de fabrication moindres. Parallèlement, les circulateurs à jonction-Y en
technologie coplanaire se développent de plus en plus. La fréquence de fonctionnement du
circulateurs à jonction-Y varie de quelques Mégahertz jusqu'à plusieurs dizaines de Gigahertz
selon les applications visées.
Les circulateurs à éléments distribués sont réalisés dans différentes technologies : les
guides d’onde, à effet Faraday, à déplacement de champ, les guides triplaque, coplanaire et
microruban.
II.2.b.5.1. Circulateur à guide d’onde
Le circulateur à jonction Y en guide d’ondes (Figure I.19) comporte trois voies à 120°
les unes des autres autour d’un corps central où se trouve l’élément en ferrite qui confère au
circulateur sa non-réciprocité. Les dimensions de l’élément de ferrite et du guide ainsi que la
valeur du champ magnétique polarisant extérieur sont telles qu’une onde entrant sur la voie 1
est reçue sur la voie 2, qu’une onde présente en voie 2 est transmise à la voie 3 et qu’une onde
entrant sur la voie 3 est transmise sur la voie 1.
Figure I.19. Circulateur à guide d’ondes.
Les guides d’ondes doivent respecter des côtes bien spécifiques en fonction de la
fréquence de fonctionnement. Ainsi, ce type de circulateur va être difficile à réaliser aux
longueurs d’ondes millimétriques. En effet, à ces fréquences, il devient difficile d’usiner avec
précision les éléments en ferrite car ceux-ci doivent alors avoir des diamètres inférieurs au
millimètre.
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
31
II.2.b.5.2.Circulateur à effet de Faraday
Comme son nom l’indique, ce circulateur utilise l’effet Faraday afin d’assurer son
fonctionnement. Le circulateur à rotation Faraday (Figure I.20) est constitué de passages de
guides d’ondes circulaires et rectangulaires [I.20]. Un cylindre de ferrite est positionné à
l’intérieur du guide d’onde circulaire central. Le ferrite est polarisé selon l’axe du cylindre. La
longueur du cylindre de ferrite et le champ magnétique de polarisation sont dimensionnés de
telle sorte que l’onde subisse (par effet Faraday) une rotation de 45°. Une onde entrant sur le
port 1 est transmise au port 2, une onde entrant au niveau du port 2 ressort sur le port 3 et
ainsi de suite. Il s’agit alors d’un circulateur à quatre voies.
Ce circulateur permet d’obtenir des pertes d’insertions inférieures à 0.5 dB et une
faible bande passante. Ces circulateurs sont utilisés dans les domaines des fréquences très
élevées, lorsque l’on se rapproche du domaine optique [I.21].
Figure I.20. Circulateur à effet de Faraday.
II.2.b.5.3.Circulateur à déplacement de champ
Le circulateur à déplacement de champ en guide d’onde (Figure I.21) comporte lui
aussi trois voies à 120° les unes des autres. Un champ magnétique transversal est appliqué au
prisme de ferrite triangulaire dont les faces sont recouvertes des plaquettes résistives capables
d’absorber le champ électromagnétique qui les traverse [I.20].
Le fonctionnement de ce type de circulateur est basé sur le phénomène de déplacement
de champ qui se manifeste dans chacune des jonctions correspondant aux trois faces du
prisme. Prenons par exemple le sens de propagation de l’accès 1 vers l’accès 2, le champ
électromagnétique circule dans la zone libre du guide. Alors que dans le sens inverse, c'est-àdire de l’accès 2 vers l’accès 1, la propagation se trouve déplacée vers le noyau central et
l’onde va traverser le matériau à pertes où elle va être absorbée ne pouvant ainsi ressortir par
l’accès 1.
32
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
3
2
Absorbant
1
Figure I.21. Vue de dessus d’un circulateur à déplacement de champ.
Ce phénomène existe entre les différents accès et dépend des dimensions des éléments
et du champ magnétique appliqué. Finalement, une onde entrant dans la voie 1, 2 ou 3 ne peut
donc sortir respectivement que par la voie 2, 3 ou 1.
II.2.b.5.4.Circulateur en technologie triplaque
Le circulateur en technologie triplaque à jonction Y est le plus utilisé pour des
applications où les niveaux de puissance sont modestes. La structure triplaque est souvent
employée lorsqu’un fonctionnement dans une large bande de fréquence est souhaité.
Figure I.22. Circulateur triplaque à jonction Y.
Le cœur de ce circulateur se compose d'un réseau de trois conducteurs plats séparés de
120° les uns des autres et reliés à un disque central métallique (Figure I.22). Ce réseau
33
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
conducteur est inséré entre deux substrats diélectriques contenant chacun en leur centre une
pastille ferrimagnétique, cela afin d'assurer l'homogénéité de la structure transverse. Deux
plans de masse sont situés de part et d’autre de la structure. Deux aimants situés de part et
d'autre de la structure créent un champ magnétique statique H0 qui polarise le disque central
dans la direction perpendiculaire.
Le principe de fonctionnement d’un circulateur à jonction Y à ferrite, décrit par
Bosma [I.22] en 1962, est basé sur la résonance de deux modes propres des disques de ferrite,
ces derniers étant considérés comme des cavités résonantes cylindriques ayant des murs
électriques au niveau des faces supérieures et inférieures. Ainsi, les lignes d’accès sont
supposées transporter uniquement des modes TEM; la périphérie du disque est considérée
comme formant un mur magnétique sauf au niveau des voies d’accès (Figure I.23).
Aimant
Champ
hyperfréquence
Disque de
ferrite
Aimant
Conducteur central
Mur magnétique
CCM
Figure I.23. Cartographie des champs magnétique et statique radiofréquence au niveau de la jonction.
II.2.b.5.5.Circulateur en technologie coplanaire
Les études de circulateurs à jonction Y en technologie coplanaire et utilisant des
matériaux ferrites sont de plus en plus fréquentes. Leur processus de fabrication, relativement
simple, permet en effet de gagner en coût de fabrication. La fréquence de fonctionnement du
circulateur coplanaire est variable et s’étend de quelques Mégahertz jusqu’à plusieurs dizaines
de Gigahertz.
Les caractéristiques des circulateurs en Y du commerce sont comparables à celles des
isolateurs à déplacements de champ. En effet, en règle générale leur pertes d’insertion sont
faibles, strictement inférieures 0,5 dB, et leur isolation est généralement comprise entre 20 et
30 dB. Selon l'application souhaitée la largeur de la bande doit être plus ou moins importante.
Par exemple, les applications militaires impliquent que les circulateurs soient large bande
avec des pertes magnétiques très faibles (<0.7 dB).
L'encombrement, est un autre critère auquel doit satisfaire ce type de circulateur. Il
doit être minimal en vue de l'intégration de ce composant électronique dans des modules
hyperfréquences de taille réduite. Il convient donc d’utiliser des matériaux magnétiques
possédant de faibles épaisseurs. Habituellement, les matériaux ferrimagnétiques sont utilisés
sous forme massives ou en couches épaisses. Cependant, de nouvelles études s'orientent vers
l'emploi de couches minces ferrites.
Les circulateurs actuellement commercialisés sont réalisés à base de matériaux ferrites
doux, généralement des grenats d'épaisseur standard égale à 508 microns. En bande X, le plus
34
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
petit circulateur commercialisé possède une taille de 6,25×6,25×3,8 mm3, pour une isolation à
20 dB et des pertes d'insertion inférieures à 0,5 dB dans la bande de fréquence exploitable
égale à 500 MHz et centrée sur 9,25 GHz [I.23].
Une grande partie des travaux sur les circulateurs coplanaire concerne la bande X. Les
structures étudiées sont très diverses et la plupart d’entre elles optimisent la dimension de la
hauteur du matériau ferrite.
K. Koshiji et E. Shu [I.24] ont réalisé et testé expérimentalement différentes structures
coplanaires en 1986. La configuration étant toujours composée des trois lignes d’accès
orientées à 120° qui constituent le conducteur central et sont entourées par trois plans de
masse latéraux. Deux topologies sont présentées (Figure I.24):
- une première structure avec un disque de ferrite placé sur le conducteur central,
- une deuxième structure avec deux disques magnétiques installés de part et d’autre du
conducteur central.
ferrite
substrat diélectrique
conducteur
air
Figure I.24. Vues en coupe des différentes configurations des structures proposées par Koshiji
Les résultats obtenus montrent de bonnes performances : une fréquence centrale de
9.56 GHz pour un champ magnétique DC appliqué de 7000 Oe, une bande passante à 10 dB
de 4.8%, des pertes d’insertion inférieures à 0.8 dB et une isolation maximale de 19.1dB.
D’autres travaux sur des structures coplanaires ont été menés par K.Oshiro & al. [I.25]
en 2005. Ce dispositif ne manque pas d'intérêt car son plan de masse est localisé sur le même
plan que le ruban conducteur ; cela est préférable pour les circuits MIC.
ferrite
air
Conducteur et plan de masses
Figure I.25. Vue en coupe du circulateur en technologie coplanaire proposé par K.Oshiro.
Un circulateur de dimensions 10×10×2 mm3 fonctionnant entre 4 et 8 GHz a été réalisé
en technologie coplanaire à partir de deux substrats de ferrite YIG massif d’épaisseur égale à
500 µm (Figure I.25) Le conducteur central et les plans de masse sont réalisés en cuivre (de
10 µm d’épaisseur). Les performances de ce dispositif ne sont pas exceptionnelles mais plutôt
encourageantes, les pertes d’insertions sont de l’ordre de 4,9 dB et l’isolation de 28 dB et la
bande de fréquence exploitable, centrée à 8 GHz, est d'environ 100 MHz soit 1,25 %.
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
35
II.2.b.5.6.Circulateur en technologie microruban
La technologie coplanaire n'est pas la seule technologie planaire utilisée pour la
réalisation de circulateur à jonction-Y. Les études de circulateurs en technologie microruban
sont aussi très fréquentes. A titre d’exemple, How, Oliver et al. [I.26], [I.27] ont proposé un
circulateur à jonction-Y en technologie microruban fonctionnant dans la bande X (Figure
I.26).
Figure I.26. Circulateur en bande X proposé par How
Une couche de ferrite (YIG monocristallin) d'épaisseur égale à 100 microns est
déposée indirectement sur un substrat silicium. Par rapport aux circulateurs du commerce, ce
dispositif est assez encombrant puisque ses dimensions sont 14,1×14.1×0,1 mm3 en
considérant uniquement l’échantillon ferrite et le circuit d’adaptation. Les performances
obtenues pour ces structures sont satisfaisantes : les pertes d'insertion sont inférieures de 1 dB
dans une bande de fréquence exploitable de 1 GHz centrée sur 9,5 GHz.
Sachant que les applications à plus hautes fréquences se développent en raison
notamment de la saturation des bandes de fréquences basses, la fréquence de fonctionnement
des dispositifs microondes doit suivre cette tendance.
Ainsi des circulateurs fonctionnant dans des bandes de fréquence plus élevées (K à Q)
sont à l’étude. La taille des circulateurs à éléments distribués est liée à leur fréquence
d'utilisation : plus la fréquence de fonctionnement de ces dispositifs micro-ondes est élevée
plus leur taille est réduite. En comparaison, un circulateur en technologie microruban utilisant
des hexaferrites [I.28] et travaillant à la rémanence utilise des disques de matière
ferrimagnétique de rayon voisin de 0,4 mm, au lieu de 2,49 mm pour le circulateur de How
[I.26] précédemment cité. Les performances de ce dispositif, fonctionnant aux alentours de 30
GHz pour une bande de fréquence exploitable de 2 GHz, et la taille de ce dernier, 2,5×2,5×0,2
mm3, sont très encourageantes même si des améliorations sont nécessaires afin de limiter les
pertes d’insertion qui sont de l’ordre de ~2,5 dB. Les champs d’anisotropie intenses des
hexaferrites, de l’ordre de ~18000 Oe, impliquent des fréquences de résonances
gyromagnétiques naturelles très élevées, de l’ordre de 30-50 GHz. Le matériau ne requiert
donc plus de champ de polarisation externe. Cela permet d’éviter l’emploi d’aimants
permanents et de réduire dans le même temps la taille du dispositif.
En outre, pour les ondes millimétriques (30 à 300 GHz), il est également possible de
réaliser des disques de ferrites massifs très petits et très minces. Mais cela reste difficile sur le
plan technologique. Pour contourner cette difficulté, le disque de ferrite peut être remplacé par
une sphère. En effet, celle-ci n'est pas plus facile à réaliser mais s’avère moins cassante. R. S.
Chen [I.29] a ainsi étudié et réalisé un circulateur en technologie microruban fonctionnant
avec une sphère de matière ferrimagnétique (Figure I.27).
36
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
Figure I.27. Circulateur en technologie microruban fonctionnant avec une sphère NickelZinc.
La sphère de ferrite de Nickel-Zinc utilisée présente un diamètre de 2,6 mm, une
permittivité relative (εr) égale à 13,5, une aimantation à saturation valant 5000 Gauss et une
largeur de raie à mi hauteur, ∆H, de 100 Oe. Elle est encapsulée dans un bouchon métallique
et déposée dans un trou au centre de la jonction. Le tout est fixé par un adhésif à faible pertes.
La profondeur de ce trou doit être plus importante que la hauteur du substrat de la ligne.
Les résultats obtenus en utilisant cette sphère de ferrite sont très encourageants. La
fréquence de fonctionnement du dispositif est proche de 31,5 GHz. La bande passante à – 20
dB autour de cette fréquence de travail est égale à 1,4 GHz. Les pertes d'insertion du dispositif
sont inférieures à 6 dB sur toute la bande de fréquence exploitable ; dans une plage de
fréquence de 800 MHz les pertes d'insertion se révèlent inférieures à 2 dB.
II.3. Applications à base de ferrite selon leurs états d’aimantation
Le ferrite peut se trouver dans plusieurs états d’aimantation selon l’intensité du champ
de polarisation appliqué. Les dispositifs hyperfréquences à ferrite actuels fonctionnent chacun
pour un état d’aimantation donné (Figure I.28).
Ms
Br
Circulateurs& Isolateurs
auto-polarisés
Circulateurs&
Isolateurs
Filtres accordables
Déphaseurs
Antennes miniatures
Figure I.28. Dispositifs à base de ferrite selon leurs états d’aimantation.
Les dispositifs hyperfréquences à ferrite actuels doivent évoluer de façon importante
pour répondre aux exigences du marché des télécommunications grand public.
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
37
Les critères essentiels à prendre en considération sont:
- une augmentation des fréquences de fonctionnement,
- une diminution des pertes,
- une miniaturisation,
- une réduction des coûts de fabrications des dispositifs.
Ces objectifs ne pourront être atteints que par une amélioration importante des
techniques de modélisation du comportement dynamique des matériaux magnétiques. En
effet, dans de nombreux cas, l'amélioration des performances des dispositifs à ferrite est due à
une meilleure compréhension des phénomènes physiques mis en jeu dans les matériaux et
leurs structures électromagnétiques environnantes.
A l'heure actuelle, de nombreux aspects du comportement dynamique des ferrites
polycristallins sont encore mal expliqués, notamment à l'état d'aimantation partielle. De
nouvelles approches théoriques devront donc être proposées pour mieux prédire les propriétés
électromagnétiques des ferrites partiellement aimantés et de leurs matériaux de substitution.
Une première problématique se dégage que l’on formulerait ainsi : comment
modéliser les comportements dynamiques des ferrites utilisés par ces dispositifs en
hyperfréquences quelque soient leurs états d’aimantation ?
En effet, dans ce qui suit nous allons montrer qu’aucune approche théorique ne
permettait de modéliser un ferrite qu’il soit désaimanté, partiellement ou entièrement aimanté
à partir d’un même modèle théorique. Dans ce contexte, une nouvelle approche, celle du
« Generalized Permeability Tensor » a été proposée et développée au sein de notre
Laboratoire. Cette approche est décrite dans le paragraphe qui suit.
38
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
III.
MODELISATION
DE
LA
PERMEABILITE
DES
MILIEUX
MAGNETIQUES AIMANTES
Pour aimanter l'échantillon, un champ magnétique statique est appliqué sur le
dispositif. Dans ces conditions, les propriétés magnétiques du matériau sont anisotropes. La
réponse dynamique du ferrite à une excitation électromagnétique est représentée par une
grandeur tensorielle appelée perméabilité tensorielle effective. Cette réponse diffère selon
l’état d’aimantation du matériau.
Dans cet état de l'art, deux cas particuliers sont distingués, d'une part celui des milieux
saturés et, d'autre part, celui des milieux partiellement aimantés ou totalement désaimantés,
que l'on qualifiera de milieux non saturés. Nous tenterons dans ce paragraphe de cerner les
principales limitations des modèles proposés dans la littérature et de mettre en évidence les
améliorations à apporter au calcul des éléments du tenseur afin de mieux décrire leur
évolution en hyperfréquences.
III.1. Tenseur de perméabilité : matériaux saturés
III.1.a. Tenseur de POLDER
Le comportement d’un moment magnétique de spin soumis à l’action d’un champ
magnétique peut être décrit par l’équation de la mécanique classique suivante :
dM
α dM
= −γ .M ∧ H i +
M∧
dt
Ms
dt
(I.10)
où γ , H i , M s représentent respectivement le facteur gyromagnétique, le champ magnétique
statique interne du matériau et son aimantation à saturation. La grandeur α représente le
facteur d’amortissement.
Le mouvement du vecteur d’aimantation dans cette relation est donc composé d’un
terme propre au mouvement de précession et d’un terme lié à l'amortissement α, qui
s’exprime en fonction de la largeur à mi-hauteur ∆Heff ou largeur de résonance selon la
relation :
γ .∆H eff
α=
2 fr
(I.11)
Notons que fr est la fréquence de résonance gyromagnétique du matériau. Cette dernière
relation est obtenue dans le cas où le modèle de Polder [I.30] est utilisé pour déterminer le
tenseur de perméabilité. Toutefois, selon la fréquence à laquelle le dispositif micro-onde
fonctionne et selon le matériau utilisé, un choix s’offre entre deux paramètres pour
caractériser les pertes, à savoir : ∆Heff ou ∆H. Nicolas [I.31] a montré par l’expérience que
∆Heff (Figure 29) est indépendante du champ de polarisation statique loin de la résonance et
particulièrement pour de forts champs qui induisent la saturation du matériau considéré. Les
pertes d’insertion du dispositif hyperfréquence considéré seront d’autant réduites que ∆Heff
sera faible.
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
39
L’autre paramètre intrinsèque qui permet de quantifier l’évolution dynamique des
pertes magnétiques du matériau est la largeur de raie ∆H. Celle-ci définit les pertes
magnétiques à la résonance gyromagnétique du mode uniforme du matériau ; autrement dit
lorsque tous les moments magnétiques précessent en phase. Tout comme l’aimantation à
saturation, elle va fixer la largeur de bande utile du dispositif micro-onde. Par exemple, un
matériau possédant une faible largeur ∆H présentera, à l’état saturé, une forte localisation de
ses pertes magnétiques autour de sa fréquence de résonance gyromagnétique.
Ceci aura un intérêt particulier pour un dispositif fonctionnant hors gyrorésonance, qui
pourra alors être utilisé jusque la fréquence de gyrorésonance du matériau et immédiatement
après. Les ferrites monocristallins possèdent une largeur de raie ∆H réduite. Une largeur de
raie ∆H de 0.1 Oe à 10 GHz a ainsi pu être obtenue pour un ferrite de grenat d’Yttrium-Fer
(YIG). En revanche, pour les ferrites polycristallins utilisés préférentiellement aux
monocristaux qui impliquent un important coût de fabrication, les largeurs de raie ∆H
mesurées sont bien plus importantes, de l’ordre de 10 à 100 Oe. Ces fortes valeurs sont liées à
la présence de défauts et impuretés cristallines multiples dans le matériau (pores, joints de
grains, inhomogénéité du champ magnétique interne due à l’énergie d’anisotropie
magnétocristalline propre à chaque grain, etc.)
Figure I.29. Largeur a mi-hauteur ∆H de la raie gyromagnétique.
Dans le cas des ferrites saturés, la résolution de l’équation de la mécanique classique
amène à une perméabilité tensorielle antisymétrique exprimée par le tenseur de Polder [I.30]
qui a la forme suivante en tenant compte de l’orientation du champ appliqué défini dans la
figure I.30:
 µ r − jκ 0 
µ r =  jκ
µr
0
 0
0
1
où
µ r = µ ′ − jµ ′′ = 1 +
(ω r + jαω )ω M
(ω r + jαω ) 2 − ω 2
ωω M
(ωr + jαω ) 2 − ω 2
ω M = γµ 0 M s
ωr = γµ0 H z
κ = κ ′ − jκ ′′ = 1 +
(I.12)
40
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
Figure I.30. Précession de l'aimantation autour de la direction du champ magnétique.
III.2. Tenseur de perméabilité : matériaux non saturés
Dans de nombreux dispositifs micro-ondes comportant des ferrites, le matériau
magnétique utilisé est aimanté de façon partielle. L’avantage d’un tel état d’aimantation est la
possibilité de changer les propriétés micro-ondes du matériau par l’application d’un champ
magnétique d’intensité variable modérée. Pour utiliser au mieux les propriétés du matériau
partiellement aimanté, il est primordial de rechercher la forme de son tenseur de perméabilité.
Le tenseur de perméabilité d’un matériau magnétique aimanté partiellement dans la
direction Oz (Figure I.30) a la forme suivante :
 µr
µr =  jκ
 0
− jκ
µr
0
0
0 
µ z 
(I.13)
Les expressions des éléments de ce tenseur pour les ferrites non saturés ont fait l’objet
de nombreux travaux. Nous allons examiner les formulations de Rado, Schlöemann, Green &
Sandy, Igarashi & Naito pour le cas des ferrites partiellement aimantés et enfin le modèle de
Ph. Gelin sera traité, ce modèle connu sous « Generalized Permeability Tensor » est valable
pour un ferrite quelque soit son état d’aimantation (désaimanté, partiellement et entièrement
aimanté).
III.2.a. Tenseur de RADO
Rado [I.32] a publié en 1953 une théorie établie à partir d’une description des
phénomènes physiques microscopiques. Ces considérations lui ont permis d’exprimer les
composantes du tenseur perméabilité. Les éléments du tenseur de perméabilité issus de Rado
s’écrivent :
41
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
µ = µ z = 1 et κ = −m
ωM
ω
(I.14)
M
est l’aimantation réduite du ferrite. Des résultats expérimentaux montrent, qu’après
Ms
la résonance gyromagnétique, la composante de la perméabilité dans la direction du champ
statique est inférieure à un, bien que l’expression de κ soit relativement correcte. Le modèle
présenté par Rado n’est donc plus valable pour modéliser de façon réaliste cette situation
[I.33].
m=
III.2.b. Tenseur de SCHLÖEMANN
Schlöemann [I.34] a caractérisé le comportement micro-ondes par un tenseur de
susceptibilité effective, qui relie la moyenne de l’aimantation radiofréquence à la moyenne
spatiale du champ magnétique radiofréquence. La mise en équations menant à des calculs
complexes, Schlöemann a considéré le cas d’une configuration idéale des domaines en les
assimilant à des cylindres coaxiaux concentriques.
Schlöemann relie les termes du tenseur de perméabilité effective du milieu non saturé
à ceux du tenseur de Polder:
µe 2 − κ e 2 = µ − κ
(I.15)
Pour déterminer la perméabilité tensorielle, il suffit de prendre en compte le caractère
aléatoire de l’orientation des domaines. En faisant la moyenne spatiale des trois éléments
diagonaux du tenseur de perméabilité locale et en négligeant les pertes magnétiques, nous
obtenons la perméabilité scalaire du matériau désaimanté :
2
2  (ω / γ ) − ( H a + 4πM s ) 
= 

3 
(ω / γ )2 − Ha 2

2
µ démag .
1/ 2
+
1
3
(I.16)
Le modèle de Schlöemann décrit de façon satisfaisante la variation en fonction de la
fréquence de la partie réelle de la perméabilité des ferrites désaimantés. Cependant, à l’état
aimanté et en champ fort, le modèle de Schlöemann est en désaccord avec le modèle de
Polder. Ce modèle est donc uniquement valable dans le cas d’un matériau magnétique
désaimanté.
III.2.c. Tenseur de GREEN & SANDY
En 1974, Green et Sandy [I.35] ont mis au point une cellule permettant une mesure
directe de la perméabilité en fonction de l’état d’aimantation du matériau. D’après leurs
travaux, ils ont déduit une forme empirique du tenseur perméabilité.
Le tenseur de Green à la forme suivante :
 µ
µ = − jκ
 0
+ jκ
µ
0
0
0  avec
µ z 
µ = µ ′ − jµ ′′
κ = κ ′ − jκ ′′
µ z = µ ′z − jµ ′z′
(I.17)
42
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
D’une façon empirique, les auteurs ont proposé les expressions suivantes pour µ' et µ'z :
 M
µ ′ = µ 0 + (1 − µ 0 ′ )
 MS
′
µZ
′
 M
= µ 0 (1 − 
 MS
′






3/ 2
5/ 2
(I.18)
Où µ0' représente la valeur de µ' dans l’état complètement désaimanté, c’est-à-dire :
2
2   γ 4πM S  
µ 0 = 1 − 
 
3   ω  
′
1/ 2
+
1
3
(I.19)
Cette expression est analogue à celle obtenue par Schlöemann pour l’état de
désaimantation totale.
III.2.d. Tenseur d’IGARASHI & NAÎTO
Igarashi et Naїto [I.36] proposent des formules théoriques pour tous les éléments du
tenseur. Ce modèle est une nouvelle amélioration du tenseur de Schlöemann. Ces auteurs
considèrent que le milieu est constitué de domaines à aimantations positives et négatives, sans
toutefois leur imposer de formes particulières. Ils ont déterminé de manière semi-empirique
l’expression du terme diagonal du tenseur de perméabilité effective.
Les résultats obtenus sont comparés aux mesures effectuées par Green et Sandy. Dans
la région de partielle aimantation l’accord est correct, la concordance est par contre moins
bonne lorsque l’aimantation est très proche de l’aimantation à saturation.
III.2.e. Tenseur de BOUCHAUD & ZERAH
Bouchaud et Zérah ont étudié, dans le cadre de l’approximation du milieu effectif
(AME), la perméabilité de matériaux ferrimagnétiques uniaxiaux partiellement aimantés, ou
encore de couches minces magnétiques [I.37], [I.38]. Il ressort de leurs travaux que l’AME
permet d’interpréter de manière qualitative, mais aussi quantitative, plusieurs aspects de la
perméabilité d’une large gamme de matériaux différents d'un point de vue technologique et
physique. La configuration des domaines magnétiques retenue est similaire à celle utilisée par
Schlöemann. Une représentation du milieu hétérogène est donnée (Figure I.31).
Les zones en noir et blanc représentent respectivement les domaines magnétiques à
aimantation positive et négative plongés dans un milieu effectif (en gris) dont les
caractéristiques sont à déterminer. Ils obtiennent la relation d'homogénéisation suivante:
µ e2 − κ e2 = µ 2 − κ 2
(I.20)
Dans le cas particulier d’un milieu désaimanté, ce résultat est similaire à celui obtenu
par Schlöemann, et correspond en fait à un résultat exact d’un point de vue mathématique.
Quand le milieu est partiellement aimanté, la partie extra diagonale du tenseur est non nulle.
Ce qui donne alors :
43
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
µ
κ e = mκ e
µ
1/ 2
et
 µ2 −κ 2 

µe = µ  2
2 2
 µ − m κ 
,
(I.21)
où m est l'aimantation réduite du matériau. D’autres géométries (structure lamellaire, couche
mince amorphe) peuvent être abordées en utilisant l’approximation du milieu effectif.
Bouchaud et Zérah ont donc montré que la théorie du milieu effectif appliqué aux
milieux partiellement aimantés donne des résultats cohérents, en retrouvant notamment ceux
obtenus par Schlöemann. La décomposition du milieu en éléments de base permet de se fixer
une configuration précise pour les domaines magnétiques. Cependant, le modèle n’est pas
adapté à la description des milieux magnétiques polycristallins. De plus, les effets des
inclusions non magnétiques (porosité pour les ferrites, matrice diélectrique pour les
composites) ne sont pas pris en compte et l'influence de la forme des domaines n'a pas été
étudiée. Enfin, aucune loi d’aimantation ne permet de relier l’état d’aimantation du matériau
au champ statique appliqué.
µ e =
1+ m
2
+
1− m
2
Figure I.31. Représentation du milieu magnétique non saturé dans l'approximation du milieu effectif.
III.2.f. Tenseur de GELIN: Generalized Permeability Tensor
Parmi les modèles existants du tenseur de perméabilité des milieux partiellement
aimantés, deux types d'approches théoriques se distinguent. La première est basée sur un
calcul statistique ne prenant pas en compte les interactions entre les domaines magnétiques.
La seconde s'appuie sur une représentation simpliste de la structure en domaine des ferrites,
autorisant un calcul exact de la perméabilité tensorielle mais peu réaliste. Le domaine de
validité des différents modèles est limité à certains états d'aimantation, certaines gammes de
fréquences ou certains éléments du tenseur de perméabilité. Aucune approche théorique ne
permet de calculer simultanément tous les éléments du tenseur de perméabilité de manière
prédictive, quelque soit l'état d'aimantation et la fréquence considérés. De plus, aucun de ces
modèles n'estime la valeur réaliste du champ magnétique statique qui règne à l'intérieur des
domaines.
Toutes les théories consistaient en fait à faire la moyenne des réponses dues à chaque
domaine. Par exemple Schlöemann a développé un modèle « magnétostatique » prenant en
compte l’interaction des domaines ayant des aimantations antiparallèles. Dans le cas où le
ferrite est désaimanté son modèle est en bon accord avec l’expérience. Par contre, Le modèle
de Schlöemann ne peut pas traiter le cas des ferrites partiellement aimantés.
Pour décrire la réalité du comportement des ferrites polycristallins partiellement
aimantés, une approche théorique a été développée au sein du Lab-STICC [I.39], [I.40],
[I.41].
L’idée est d’introduire un terme supplémentaire dans les équations de mouvement des
moments magnétiques afin de prendre en compte les interactions dynamiques entre les
domaines magnétiques voisins.
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
44
Il s’agit d’un calcul statistique qui tient compte à la fois des interactions dynamiques
entre les domaines magnétiques ainsi que la dispersion de leurs orientations et de leurs formes
géométriques. Un autre objectif recherché, est le calcul du champ interne quelque soit
l’intensité du champ statique appliqué.
Figure I.32. Configuration en domaine de matériau ferrimagnétique polycristallin non saturé
Dans ce modèle, le champ statique résultant à l’intérieur d’un domaine magnétique est
considéré comme étant la somme vectorielle du champ externe appliqué au matériau, le
champ d’anisotropie magnéto cristalline Ha et le champ démagnétisant Hd lié à l’aimantation
macroscopique Mm et la forme du matériau (Figure I.32).
Le calcul du champ élémentaire interne en fonction du champ externe permet la
détermination prédictive de la perméabilité tensorielle. Il prend en compte les mécanismes
d’aimantation par déplacements des parois de Bloch et l’irréversibilité de la rotation des
moments magnétiques, c’est à dire le phénomène d’hystérésis : une distinction des réponses
selon l’aimantation est faite pour une même valeur de champ appliqué (Figure I.33).
.
45
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
M
M1
M2
M3
H
H0
Figure I.33. Distinction des réponses selon l’aimantation pour une même valeur du champ
appliqué.
Il permet d’envisager la résolution d’un système de deux équations de mouvement des
moments magnétiques qui font intervenir un terme de couplage proportionnel à la différence
d’aimantation dynamique entre deux domaines voisins. La prise en compte des champs
démagnétisants amène à traiter simultanément ces deux équations
Ces nouvelles équations de Landau et Lifshitz couplées s’écrivent :
dM 1
= −γ M 1 ∧ H 1 +
dt
dM 2
= −γ M 2 ∧ H 2 +
dt
(
(
dM 1
α h + hd 1 + hdg +
M1 ∧
Ms
dt
dM 2
α h + hd 2 + hdg +
M2∧
Ms
dt
)
)
(I.22)
avec
et
 h d 1 = − n d (m 1 − m 2 )

 h d 2 = − n d (m 2 − m 1 )
M
 m1 + m 2 
hg = −ng 
⟨m⟩
 + ng
2
Ms


Les champs démagnétisants au niveau des domaines hdi traduisent l’effet Polder-Smit
[I.42] qui double les champs démagnétisants lorsque m 1 et m 2 sont en opposition de phase
et les annule lorsqu’ils sont en phase. C’est essentiellement à ce niveau qu’intervient le
couplage inter-domaine.
Lorsque m 1 et m 2 sont en opposition, le flux magnétique dynamique se referme à
l’intérieur du grain, il n’y a donc pas de champ démagnétisant (hg) au niveau du grain.
Lorsque m 1 et m 2 sont en phase, l’effet démagnétisant est maximal et tient compte de
l’environnement du grain (milieu moyen).
Pour résoudre le système de ces deux équations ci-dessus, il faut connaître les
positions d’équilibre des moments magnétiques et les champs internes dans chaque domaine.
Dans l’article [I.40], le modèle d’hystérésis de Stoner et Wohlfarth [I.43] est utilisé. Ce
modèle fournit ces grandeurs quel que soit l’état magnétique du matériau.
46
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
La connaissance de ces quantités permet ensuite de résoudre le système et d’obtenir
l’expression de l’aimantation dans le domaine considéré :
m i H ext , M / M s , h , ϑ , n g , n d
(
)
(I.23)
en fonction de l’état magnétique du matériau, du champ magnétique dynamique, de la
direction de facile aimantation du grain, de la forme du grain, de la forme des domaines dans
le grain, et de la forme macroscopique de l’échantillon.
La moyenne des réponses sur tous les domaines magnétiques et sur toutes les formes
des domaines et des grains fournit la valeur moyenne de l’aimantation sur tout l’échantillon :
π 1 1
⟨ m h , H ext ⟩ = ∫ ∫ ∫ Γ (n g )Γ (n d )m i dn g dn d sin ϑ d ϑ d ϕ
(
)
0 0 0
(I.24)
où Γ (nd) et Γ (ng) sont des lois de distribution des coefficients démagnétisants des domaines
et des grains.
Enfin la relation :
b d = µ 0 ( h + ⟨ m h , H ext ⟩ ) = µ 0 µ h d
(
)
(I.25)
permet d’accéder à tous les éléments du tenseur perméabilité.
Figure I.34. Etat partiellement aimanté.
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
47
La figure I.34 illustre l’évaluation des champs statiques internes dans des domaines
voisins pour les différentes régions. Chaque région est caractérisée par ϑ l’angle entre sa
direction d’aimantation et l’axe z suivant lequel le champ magnétique est appliqué.
Cette méthode permet de formuler un tenseur de perméabilité magnétique, qui se
caractérise par sa causalité. Il s’exprime de la façon suivante:
 µr − jκ 0 


µ = µ0  jκ µ r
0
 0
0
µ z 

(I.26)
Les éléments de ce tenseur de perméabilité sont donnés sous forme intégrale. Le
modèle est valable quelque soit la fréquence considérée et l’état d’aimantation du ferrite, de
l’état totalement désaimanté jusqu’à la saturation.
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
48
IV. BESOINS EN TERME DE MODELISATION
Dans ce contexte, le Lab-STICC est impliqué dans le projet IMICIMO (Integrated
Miniature Circulators for microwave Modules) qui regroupe plusieurs partenaires européens,
industriels et universitaires (Cobham, Thales TAS/ TRT, Temex, etc) de plusieurs pays
européens (France, Hongrie, Slovénie et Pologne).
Les dernières avancées sur les matériaux ferrites et les technologies céramiques
ouvrent la voie à de nouvelles approches qui pourraient réduire significativement les coûts des
isolateurs et circulateurs tout en améliorant leurs performances. On peut citer les systèmes de
matériaux co-frittés pour réduire les coûts, les structures ferrites multicouches, l’intégration
de ferrites dans des substrats d’interconnexion et d’encapsulation pour les futures applications
en grandes quantités. Les substrats céramiques multicouches co-cuits à relativement basse
température (technologie LTCC) sont très utilisés pour des applications commerciales ou de
défense, mais l’application de cette technologie aux ferrites est toujours au stade de la
recherche.
Ce projet a pour but de développer de nouveaux matériaux et de nouvelles
technologies de fabrication pour les composants micro-ondes à ferrite : les circulateurs et les
isolateurs, ce qui permettra :
- la réduction de leur taille, leur poids et leur coût de fabrication,
- la diminution de leur consommation d’énergie,
- une facilité de leur intégration dans les équipements de télécommunications
mobiles de nouvelle génération.
La miniaturisation étant l’un des objectifs de ce projet, afin de faciliter l’intégration
dans les modules hyperfréquences en technologie LTCC, les obstacles majeurs que l’on
rencontre alors sont liés :
- d’une part aux performances requises pour ce type de circulateur, c'est-à-dire des
pertes de transmission inférieures à 1 dB, une isolation supérieure à 15 dB et une
large bande de passante avec de faibles pertes magnétiques pour la bande X.
- et d’autres part aux matériaux magnétiques qu’il faudra utiliser avec de faibles
épaisseurs (couches épaisses).
Ma contribution, dans le cadre de ce projet, va consister, dans le chapitre suivant, à la
conception des circulateurs en technologie microruban et l’optimisation, à l’aide des outils de
simulation électromagnétique, de leurs performances.
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
49
CONCLUSION
Ce premier chapitre nous a permis de rappeler les différentes classes des matériaux
magnétiques où nous avons vu les caractéristiques physiques des ferrites, ainsi que leurs
structures, leur classification. Une étude sur la modélisation du comportement dynamique a
été présentée, ainsi les modèles du tenseur de perméabilité dans le cas de ferrites partiellement
aimantés.
Nous avons décrit les dispositifs hyperfréquences à base des ferrites et avons
également porté une attention particulière au circulateur, son principe de fonctionnement et
ses différentes topologies. Les deux grandeurs caractéristiques les plus importantes pour le
circulateur sont :
- dans le sens passant, les pertes d’insertion qui doivent être les plus faibles
possibles (de l’ordre de 1 dB),
- dans le sens bloquant, le niveau d’isolation qui est sensiblement égal au niveau de
réflexion et doit atteindre - 15 dB.
Nous avons montré que ce composant se retrouve dans plusieurs applications
hyperfréquences et avons également distingué deux types de circulateurs : les circulateurs à
élément distribués et ceux à éléments localisés. Tous deux sont des circulateurs passifs dont
l’utilisation de matériau magnétique est à l’origine de la non réciprocité. Parmi ces deux types
de circulateurs, ce sont ceux à éléments distribués qui nous intéressent, car ils sont plus
adaptés à la montée en fréquence, la gamme de fréquences visée étant la bande X et au dessus,
et ils présentent plus d'atouts en terme de pertes d'insertion.
Dans ce chapitre, nous avons également vu que la réalisation de circulateurs peut être
envisagée par diverses technologies présentant chacune leurs atouts et inconvénients. Avec
l’objectif de développer des circulateurs/isolateurs miniatures en technologie LTCC dans le
cadre du projet IMICIMO, nous avons retenu la technologie microruban pour la réalisation du
circulateur. En effet, la technologie microruban permet de diminuer par deux le volume du
circulateur en comparaison à un circulateur de type triplaque.
Pour atteindre les objectifs fixés de miniaturisation, il est primordial d’examiner la
conception des circulateurs. Dans le chapitre suivant, nous allons donc optimiser les
caractéristiques du circulateur en technologie microruban pour répondre aux cahiers des
charges fixés par les nouvelles applications hyperfréquences (notamment, la nouvelle
génération d’antennes à balayage pour laquelle chaque élément d’antenne est associé à un
circulateur dont la taille devra être réduite au maximum).
Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
50
RÉFÉRENCES DU CHAPITRE I
[I.1] G. Pircher, Introduction à l'étude du magnétisme, université de Paris, école supérieure
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Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
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Chapitre I : Les ferrites et leurs applications en hyperfréquences
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CHAPITRE II
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
56
Deuxième Chapitre
CONCEPTION DE CIRCULATEURS A JONCTION-Y MINIATURES EN TECHNOLOGIE
MICRORUBAN
57
I. Problématique :
Migration de la technologie triplaque vers la technologie microruban
58
II. Etude magnétostatique
59
II.1. Etude du dispositif de polarisation des circulateurs
59
II.2. Outil de simulation magnétostatique
60
II.3. Champ statique de polarisation
60
II.4. Champ interne du matériau ferrimagnétique à aimanter
(Mise en évidence des zones non saturés)
69
III. Etude Dynamique
72
III.1. Outil de simulation dynamique
72
III.2. Réponse du circulateur polarisé uniformément
72
III.3. Influence de la non-uniformité du champ sur la réponse du circulateur
74
IV. Migration vers la technologie microruban
77
V. Problématique/Besoins :
Existe-t-il des approches numériques capables de prendre en compte les phénomènes
80
physiques complexes liés à ce type de structure ?
Conclusion
82
Références du chapitre II
83
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
57
Deuxième Chapitre
Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en
technologie microruban
Dans les circulateurs/isolateurs à ferrite, l’action d’un champ magnétique statique
intense sur l’échantillon ferrimagnétique, en le saturant, permet une meilleure interaction
entre l'onde et l’assemblée de moments magnétiques (gyroscopes) qu’il contient et garantit le
fonctionnement du dispositif (fonction de duplexage). Vu l'importance du système de
polarisation dans le fonctionnement du circulateur à jonction-Y, il est essentiel de l’étudier en
détail.
Dans ce chapitre, la première partie présente les différentes configurations en aimants
employés pour polariser le matériau ferrimagnétique. Ces différentes considérations nous
conduiront à réaliser une étude magnétostatique des dispositifs d'aimantation utilisés dans les
circulateurs afin de déterminer précisément le champ statique de polarisation appliqué sur le
matériau ferrite du dispositif.
Ensuite, à partir du champ statique de polarisation connu en tout point de l'espace,
nous pouvons évaluer le champ interne du matériau ferrimagnétique à aimanter. En effet, c’est
ce champ qui est considéré par les simulateurs électromagnétiques afin de prédire la réponse
de circulateurs en hyperfréquence. L’étude magnétostatique est donc indispensable pour avoir
une connaissance précise du profil du champ interne dont dépend directement les paramètres
S des circulateurs à jonction-Y.
Enfin, le but de ce chapitre est de démontrer l’intérêt du développement de nouveaux
outils théoriques et expérimentaux afin de mieux comprendre et prédire, d’une part, les
phénomènes physiques apparaissant dans ces structures et d'améliorer, d'autre part, leurs
performances tout en augmentant leur compacité.
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
58
I. PROBLEMATIQUE : MIGRATION DE LA TECHNOLOGIE TRIPLAQUE
VERS LA TECHNOLOGIE MICRORUBAN
Dans le domaine des hyperfréquences, la plupart des circulateurs sont fabriqués en
technologie triplaque de façon unitaire à partir des substrats de ferrite. Or face à l’évolution
croissante du marché des télécommunications, ces dispositifs sont confrontés à une profonde
mutation technologique. En particulier, leur coût de fabrication ainsi que leur encombrement
doivent diminuer de manière importante. Pour atteindre ce double objectif, une optimisation
basée sur une meilleure compréhension des phénomènes physiques impliqués doit être
engagée.
Un travail sur la conception et le choix de la structure peut permettre une
miniaturisation des circulateurs. Ce travail s’intègre dans le projet IMICIMO dont l’objectif
final est la fabrication de circulateurs miniatures microrubans réalisés en technologie LTCC
(Low Temperature Co-fired Ceramics).
De nos jours, les circulateurs commercialisés en bande X sont fabriqués en
technologie triplaque et souvent on y trouve également des éléments rapportés (Vis,
goupilles,…). Une vis réglable est placée sur l’aimant (Figure II.1). Elle permet d’ajuster la
lame d’air par ajustement mécanique pour contrôler le champ de polarisation et permettra
ainsi de se " caler " sur une réponse optimisée.
Au travers de la technologie LTCC, nous voulons tendre vers une fabrication de type
« composant intégré ». Les défis à relever concerne :
Le cofrittage des plusieurs matériaux (le ferrite hyperfréquence, le
diélectrique et l’aimant permanent)
La prédiction réaliste des performances avant la réalisation du circulateur, vu
qu’il devient impossible d’ajuster a posteriori (après dépôt et cofrittage) les
paramètres S car la structure devient figée.
Il devient donc primordial de développer des outils théoriques prédictifs permettant
une description réaliste de ces hétérostructures présentant des phénomènes physiques
relativement complexes. Ce dernier point constitue l’objet de la partie qui suit.
Figure II.1. Circulateur avec une vis réglable.
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
59
II. ETUDE MAGNETOSTATIQUE
II. 1. Etude du dispositif de polarisation des circulateurs
La plupart des circulateurs commercialisés sont habituellement insérés dans un boîtier
en fer doux dont les caractéristiques magnétiques sont très avantageuses pour les applications
micro-ondes. En effet, sa forte perméabilité relative lui permet de servir de blindage au
dispositif tout en réduisant de manière significative l'effet des champs électromagnétiques
parasites extérieurs. De plus, sa surface constitue une équipotentielle sur laquelle les lignes de
champ électrique arrivent perpendiculairement. La culasse de fer fournit un support
mécanique au dispositif et améliore l'uniformité du champ (Figure II.2).
Dans les circulateurs, les aimants employés se présentent sous forme de disque. Entre
ces aimants, d’autres pièces apparaissent. Citons les compensateurs mécanique ou thermique
ou encore des disques magnétiques. Ces pièces polaires sont insérées entre les aimants et le
cœur du circulateur afin d'améliorer l'uniformité du champ. Malheureusement, l'uniformité du
champ statique de polarisation reste médiocre. Pour améliorer l'uniformité du champ appliqué
il est possible de modifier la forme des pièces polaires. Toutefois, des effets de bords non
négligeables subsistent et cela malgré une zone d’uniformité du champ de polarisation
améliorée.
Figure II.2. Dispositif de polarisation du circulateur.
Bien que les dispositifs de polarisation des circulateurs à jonction-Y du commerce
soient insérés dans un boîtier en fer doux et utilisent des pièces polaires, la variation spatiale
des champs magnétiques apparaissant dans ces structures non-réciproques à ferrite est une
réalité. La détermination précise de l'intensité de ces champs en tout point de l'espace
nécessite l'utilisation d'un simulateur magnétostatique.
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
60
II. 2. Outil de simulation magnétostatique
Généralement, le champ créé par des aimants permanents au centre d’une structure se
mesure par un teslamètre. Cette mesure fournit une valeur moyenne suivant toutes les
directions de l'espace, et une approximation de l’intensité du champ magnétique statique créé
par les aimants. Ainsi, une seule valeur du champ statique de polarisation est considérée, le
champ étant supposé uniforme. Or, en pratique cette hypothèse est loin d’être vérifiée : des
effets de bords tendent à rendre le champ non-uniforme, notamment sur les bords des disques
magnétiques; cela induit un champ magnétique statique de polarisation variant spatialement.
Nous allons montrer que l'approximation d'un champ uniforme ne permet pas de prédire de
façon rigoureuse la réponse du dispositif non-réciproque à ferrite.
Ainsi, afin de déterminer plus précisément la variation spatiale du champ statique de
polarisation, une modélisation magnétostatique est nécessaire. Le logiciel commercial
Maxwell 3D [II.1] permet de déterminer l’induction magnétique créée par les aimants
permanents ainsi que le champ magnétique statique en tout point de la structure. La précision
du calcul est liée à la qualité du maillage de l’espace. D'autres simulateurs, comme OPERA
3D [II.2] ou CST EM Studio [II.3], permettent de déterminer aussi le champ créé par les
aimants. Toutefois, la possibilité de coupler le logiciel Maxwell 3D (étude magnétostatique)
avec le logiciel HFSS (étude dynamique) [II.4] pour obtenir la réponse en fréquence des
circulateurs, nous a conduits à porter notre choix sur cet outil de simulation magnétostatique.
Afin de réaliser une étude précise des champs statiques dans la structure, il nous faut
connaître les propriétés magnétiques des ferrites et de l’aimant permanent insérés dans le
circulateur à jonction-Y qui est à étudier. Ces matériaux sont fournis par le laboratoire TRT de
Thalès [II.5], un des partenaires du projet IMICIMO.
II. 3. Champ statique de polarisation
L'étude magnétostatique des configurations en aimants est réalisée à l'aide du logiciel
commercial Maxwell 3D. Afin d'évaluer l'influence des différents paramètres géométriques et
magnétiques des aimants permanents sur la cartographie du champ statique de polarisation,
plusieurs simulations ont été réalisées. Quelques observations peuvent être énoncées à partir
de cette étude.
La première observation concerne le dimensionnement de l'aimant. En effet,
lorsqu’une miniaturisation importante de la structure est exigée, l'emploi d'un aimant
permettant une meilleure intensification de l'amplitude du champ créé tout en réduisant le
volume d’aimant est tentant. Cette compacité du dispositif d'aimantation se traduit par une
diminution de l'épaisseur des aimants permanents. Or, les aimants comme d’autres éléments
de construction doivent être fabriqués selon certaines règles : le diamètre de la rondelle
magnétique doit être égal à deux à trois fois l’épaisseur de l’aimant. Ceci se traduit par un
rapport L/D plus petit ou égal à 0,5, et induit un produit énergétique maximal de l’aimant
[II.6]. Un mauvais dimensionnement des aimants permanents influe donc énormément sur
l’intensité et plus encore sur l’uniformité du champ statique de polarisation.
Outre le dimensionnement des aimants les autres paramètres qui modifient la
cartographie du champ magnétique statique de polarisation sont:
- leur emplacement par rapport aux disques de ferrite à aimanter,
- la forme des aimants,
- leur nombre dans le dispositif d’aimantation.
L’accroissement de la hauteur h des aimants intensifie le champ magnétique statique
au centre de l’entrefer (Figure II.3). Cependant un accroissement trop important de
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
61
l’épaisseur de l'aimant permanent n'est pas souhaitable car le dimensionnement des aimants
n'est plus optimal. Les critères de miniaturisation recherchés ne sont plus satisfaits.
Figure II.3. Profils de champs magnétiques créés par les aimants avec des hauteurs différentes.
Nous pouvons également observer que les profils de champ magnétique statique
obtenus sont très différents selon le diamètre d des aimants permanents (Figure II.4) : Si le
rayon des aimants permanents est inférieur à celui du disque de ferrite à aimanter, cela
entraîne un champ statique de polarisation fortement non-uniforme à l’intérieur du ferrite.
Une des conséquences de la baisse d’intensité du champ statique de polarisation est la
non saturation de certaines zones du ferrite. Ce problème de non-uniformité sur les bords ne
disparaît pas, même si les aimants et l’échantillon possèdent le même rayon. L’intensité du
champ est plus uniforme lorsque les diamètres des aimants sont supérieurs à ceux du disque
de ferrite. Le résultat est prévisible car le flux créé par les aimants est plus unidirectionnel au
centre ; les fuites de champ magnétique sont moins importantes sur les bords. Néanmoins, il
est préférable d’assigner un rayon de l’aimant de l’ordre de celui du ferrite car un
débordement des aimants permanents sur les lignes d’accès peut perturber, voire dans certains
cas modifier leur fonctionnement. C’est notamment le cas en technologie microruban lorsque
le substrat est constitué uniquement de ferrite, y compris au niveau des lignes d’accès.
H0
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
62
Figure II.4. Profils de champs magnétiques créés par les aimants présentant des diamètres
différents (la hauteur étant identique pour tous les aimants).
L’éloignement des aimants par rapport à la pastille de ferrite influence également
l’intensité du champ statique (Figure II.5). Il constitue un degré de liberté supplémentaire
pour abaisser ou accroître l’intensité de ce dernier. Si l’entrefer est trop important, les critères
de miniaturisation et d'uniformité du champ ne sont plus satisfaits. Dans le cas de la
technologie microruban, une couche diélectrique est placée entre l’aimant et la jonction
centrale métallique : si l’épaisseur de cette couche est trop faible, le champ électromagnétique
interagit avec l’aimant, ce qui conduit à une dégradation des performances de ce dernier.
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
63
Figure II.5. Lignes de champs magnétiques créés par des aimants dont l’éloignement diffère.
Les propriétés magnétiques des aimants permanents peuvent être modifiées afin
d'accroître ou réduire l’intensité du champ statique de polarisation (Figure II.6). Pour un
même volume de matière employée, un aimant permanent de composition NdFe30, présentant
une forte aimantation rémanente et un fort champ coercitif, permet d'obtenir un champ très
intense par rapport à un aimant de type NdFe35.
Figure II.6. Profils de champs magnétiques créés par des aimants de types différents.
Nous nous plaçons dans deux configurations différentes afin d’évaluer la variation
spatiale du champ statique de polarisation :
- la première configuration, dite non-symétrique, est constitué d’un seul aimant
(Figure II.7.a),
- et l’autre configuration dite symétrique, de deux aimants placés en vis-à-vis
suivant l’axe oz (Figure II.7.b).
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
64
L’objectif est de montrer la faisabilité d’une polarisation du ferrite à l’aide d’un seul aimant
plus appropriée à la technologie microruban.
Figure II.7. Configuration en aimants avec une pastille de ferrite à proximité
(a) symétrique
(b) non-symétrique
Le logiciel Maxwell 3D va permettre la détermination précise de la cartographie du
champ créé par les aimants à une distance donné d de l'aimant et dans l'air (Figure II.8).
d
Figure II.8.
Position pour l’évaluation des champs créés par les aimants.
Nous allons déterminer, dans le plan (xOy), pour les deux configurations :
- la moyenne des intensités du champ magnétique statique de polarisation, H,
suivant les trois directions du repère (O,x,y,z) :
MagH = H x2 + H y2 + H z2
-
la moyenne des composantes du champ H dans le plan (xOy) :
MagH x , y = H x2 + H y2
-
la composante du champ H suivant Oz :
MagH z = H z
Dans les deux configurations, l’aimant utilisé présente le cycle d’hystérésis suivant :
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
65
Cycle hystérésis de l'hexaferrite
5000
4000
3000
2000
M (Gauss)
1000
-18000
-13000
-8000
0
-3000
-1000
2000
7000
12000
17000
-2000
-3000
-4000
-5000
Champ H (Oe)
Figure II.9. Cycle hystérésis de l'hexaferrite.
Les caractéristiques magnétiques de cet aimant sont données dans le tableau II.1.
Référence TRT
Hexaferrite
TRT-2609
Hc (Oe)
-1900
4πMr (G)
2260
4πMs (G)
4320
Tableau II.1. Caractéristiques magnétiques de l’hexaferrite.
Ces aimants présentent un rayon, raim, de 2.4 mm, une épaisseur, haim, de 2 mm. La
pastille de ferrite à aimanter a un rayon, rfer, de 2 mm et une épaisseur, hfer, de 1 mm. Le cycle
d’hystérésis et les propriétés magnétiques de ce ferrite sont donnés respectivement dans le
tableau II.2 et la figure II.10.
Référence TRT
Ferrite
TRT 2550
Hc (Oe)
-6.6
4πMr (G)
1020
4πMs (G)
1270
Tableau II.2. Caractéristiques magnétiques du ferrite hyperfréquence.
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
66
Cycle hystérisis du ferrite
1500
1000
M (Gauss)
500
0
-40
-20
0
20
40
-500
-1000
-1500
Champ H (Oe)
Figure II.10. Cycle hystérésis du ferrite fourni par TRT.
Les différentes grandeurs associées au champ statique de polarisation obtenues à partir
du logiciel Maxwell 3D, (Figure II.11), montre que le champ est orienté préférentiellement
suivant l'axe Oz (Figure II.12). Les composantes du champ magnétique statique de
polarisation suivant les axes Ox et Oy sont négligeables par rapport à Hz (Figure II.13). En
effet l’intensité du champ suivant z, Hz = 105 A/m est très supérieur aux intensités des champs
suivant les axes x et y, Hx = Hy = 3.5 103 A/m, soit en unité CGS Hx = Hy= 44 Oe et Hz = 1256
Oe (Annexe B).
Toutefois, la variation spatiale de la composante du champ créé par les aimants suivant
l’axe oz est une réalité. Une variation importante du champ est observée à la périphérique, le
champ au centre étant relativement constant en intensité et en direction.
La configuration de type "symétrique" à deux aimants est largement utilisée pour
aimanter le matériau ferrimagnétique car elle permet la création d’un champ orienté
préférentiellement suivant une direction de l'espace. De plus, une fois atteinte l'épaisseur
critique pour laquelle les rondelles magnétiques ne sont plus correctement dimensionnées, la
seule alternative pour diminuer l'intensité du champ consiste à éloigner suffisamment les
aimants ce qui accroît d'autant plus les dimensions du système de polarisation. Il est donc
préférable de s'orienter vers une polarisation à un seul aimant pour respecter des critères de
compacité.
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
Figure II.11. Polarisation à deux aimants : Mag H
Figure II.12. Polarisation à deux aimants : Mag Hz
Figure II.13. Polarisation à deux aimants : Mag Hx,y
67
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
Figure II.14. Polarisation à un seul aimant : Mag H
Figure II.15. Polarisation à un seul aimant : Mag Hz
Figure II.16. Polarisation à un seul aimant : Mag Hx,y
68
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
69
Concernant la configuration non symétrique, la figure II.14 montre l’importance des
composantes Hx et Hy du champ statique de polarisation notamment à la périphérie de
l’entrefer. En effet leurs intensités, Hx = Hy = 4.6 104 A/m sont proches du champ suivant z, Hz
= 4.8214 104 A/m (Figure II.15), soit en unité CGS Hx = Hy= 578 Oe et Hz = 605 Oe (Annexe
B). Lorsque les intensités des composantes du champ suivant les axes Ox et Oy sont
prépondérantes par rapport à Hz (Figure II.16), il n’est plus possible de considérer un
matériau aimanté suivant l’axe Oz uniquement : Comme c’est supposé dans la plupart des
théories proposées pour prédire le fonctionnement des circulateurs. L’interaction d’une onde
avec les moments magnétiques à l’intérieur du disque de ferrite qui viendrait s’insérer sous
l’aimant n’est plus optimum.
Notons enfin l'existence de la non-uniformité du champ dans le plan (xOy) et suivant
l’axe Oz. L'intensité du champ sur les bords peut être deux fois moins importante que
l'intensité au centre de la structure. Ainsi, selon le type d'aimant employé et la distance entre
le ferrite hyperfréquence et l'aimant, certaines zones du matériau ferrite, notamment sur les
bords de la jonction peuvent ne plus être saturées.
Les différentes cartographies de champ, obtenues à partir du logiciel commercial
Maxwell 3D, illustrent la réalité de la non-uniformité du champ statique de polarisation
notamment à la périphérie de l'entrefer et cela quelque soit le type de configuration employée.
II. 4. Champ interne du matériau ferrimagnétique à aimanter
Pour l’instant seul le champ magnétique statique de polarisation des aimants a été pris
en considération. Or, c'est le champ interne du matériau ferrimagnétique qui doit être
considéré dans l’analyse électromagnétique afin d’évaluer la réponse en hyperfréquence du
dispositif. Une fois encore, nous pouvons nous demander si le champ interne du ferrite lui
aussi présente une non-uniformité.
Dans les circulateurs, les échantillons magnétiques se présentent sont formes de
disques ou de plaquettes. Or, lorsqu’un échantillon de dimensions finies est soumis à un
champ extérieur, Happ, un champ démagnétisant, Hd y apparaît. Le champ interne, Hint, du
matériau se trouve alors modifié. Une expression simplifiée (sans tenir en compte du champ
d’anisotropie, Ha) de ce champ interne est donné par l'équation suivante :
H int = H app + H d
(II.1)
Les composantes de Hd, dans un repère orthonormé (O, x, y, z) sont liées à celles de
l’aimantation M par les relations suivantes :
 H dx   N xx N xy N xz   M x 



H d = N .M soit  H dy  =  N yx N yy N yz . M y 
 H dz   N zx N zy N zz   M z 
(II.2)
où N est le tenseur de forme de l’échantillon.
En se plaçant dans une base propre à l’échantillon présentant un axe de révolution et si la
forme de celui-ci est ellipsoïdale, le tenseur de forme est diagonal. Ainsi, les coefficients
extra-diagonaux sont nuls, nous en déduisons :
 H dx = N xx .M x = N x .M x

 H dy = N yy .M y = N y .M y avec N x + N y + N z = 1
 H = N .M = N .M
zz
z
z
z
 dz
(II.3)
70
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
où Nx, Ny et Nz sont appelés coefficients de champ démagnétisant; ils dépendent de la forme
de l’échantillon. Leurs valeurs apparaissant dans le tableau II.3 sont associées à des formes
géométriques particulières que l'on peut retrouver en pratique.
Forme
Nx
Ny
Nz
1/3
1/3
1/3
0
0
1
0
0
1
1/2
0
1/2
Sphère
zH0
y
x
Disque plat
z
H0
y
x
Plaquette mince
z
H0
y
x
Cylindre mince
z
H0
y
x
Tableau II.3. Coefficients de champ démagnétisant pour des formes géométriques particulières.
Pour ces géométries le champ démagnétisant est considéré comme étant uniforme
quelque soit la forme de l’échantillon, le coefficient de champ démagnétisant étant égal à une
grandeur scalaire. Par exemple, pour un disque de ferrite, il n'est pas rare de considérer :

Nz = 1


ou


2 −1/2
 N z = 1 − ( L / ϕ ). 1 + ( L / ϕ ) 
où L est l’épaisseur du ferrite et ϕ son diamètre.
(II.4)
En réalité, si le matériau est soumis à l’action d’un champ magnétique extérieur, la
matière s’aimante uniformément dans le cas d’un ellipsoïde par contre elle s’aimante non
uniformément si l’échantillon ferrimagnétique n’est pas usiné sous forme ellipsoïdale.
En effet, Joseph et Schlöemann ont montré qu’un matériau magnétique uniformément aimanté
présente dans son volume des champs démagnétisants non-uniformes si ce dernier n’est pas
usiné sous forme ellipsoïdale [II.7].
Cette étude suppose que le champ statique de polarisation est uniforme et que le
matériau magnétique est aimanté uniformément. Ceci limite la validité de ces travaux. En
effet, nous avons montré précédemment que le champ magnétique statique de polarisation
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
71
variait spatialement. Outre l’hypothèse d’une polarisation uniforme du matériau
ferrimagnétique, Joseph et Schlöemann ont utilisé une autre simplification afin de pouvoir
déterminer le coefficient de champ démagnétisant : le champ magnétique créé par les aimants
est supposé être assez intense pour saturer toutes les zones du matériau ferrimagnétique. Or,
c’est loin d’être le cas dans la réalité.
z
R
S
Hext
y
O
ϕ
r
x
Figure II.17. Système de coordonnées utilisé pour le calcul du champ démagnétisant d’un cylindre de
rayon R et de hauteur S selon son axe par un champ extérieur Hext.
Ainsi, connaissant les variations spatiales du champ créé par les aimants et du champ
démagnétisant, il est possible de déterminer le champ interne du matériau ferrimagnétique :
H int (r ) = H app (r ) + H d (r ) = H app (r ) − 4πN z (r ) M s
(II.5)
où Hint(r) est le champ interne du matériau en fonction de la position dans la matière aimantée,
Happ(r) le champ magnétique statique réel créé par les aimants, Hd (r) le champ démagnétisant
apparaissant dans le matériau qui est fonction d’un coefficient de champ démagnétisant
suivant l’axe Oz, Nz (r), et de l’aimantation à saturation du matériau, 4πMS.
La détermination précise du champ interne dans un ferrite est très difficile puisqu’il
faut connaître précisément la variation spatiale du champ statique de polarisation ainsi que
celle des champs démagnétisants (Figure II.17). D’où la nécessité d’une simulation
magnétostatique 3D dans un environnement à éléments finis qui permet de déterminer une
cartographie précise de ce champ.
Une fois les profils de champs calculés, le logiciel commercial HFSS sera couplé avec
Maxwell 3D afin de déterminer des paramètres S du circulateur dans le cas d’une polarisation
non uniforme.
72
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
III. ETUDE DYNAMIQUE
III. 1. Outil de simulation dynamique
Une simulation électromagnétique est nécessaire afin de déterminer la réponse en
hyperfréquence du dispositif non-réciproque à ferrite. Le Logiciel commercial HFSS [II.4],
basé sur la méthode des éléments finis (FEM) [II.8], est utilisé pour évaluer la qualité du
signal, y compris les pertes d’insertion, d’isolation et d’adaptation.
D’autres logiciels commerciaux basés sur d’autres méthodes numériques, tel CST
Microwaves Studio [II.3] qui s’appuie sur la technique d'intégration finie (Finite Integration
Technique) (FIT) [II.9] ou encore Empire XCcel [II.10] qui utilise la méthode des
différences finies dans le domaine temporel (Finite Difference Time Domain : FDTD [II.11],
permettent d’évaluer la réponse du dispositif en hyperfréquence. Toutefois, le couplage du
logiciel Maxwell 3D avec HFSS permet une étude magnétodynamique. En effet, cette étude
permet, dans un premier temps, le calcul du champ interne du ferrite en tout point de l’espace
grâce au calcul magnétostatique Maxwell 3D. Ensuite, en couplant Maxwell 3D et HFSS,
mais en supposant toujours que le ferrite est saturé, en tout point du maillage.
z
H dc
O
Figure II.18. Champ de polarisation supposé uniforme sous HFSS. H dc = H dc ez
Dans ce qui suit, nous allons montrer l’influence de la non-uniformité du champ de
polarisation. Pour ce faire, le champ sera considéré uniforme dans un premier temps (Figure
II.18) : la réponse du circulateur sera évaluée uniquement par HFSS. Dans un second temps,
l’étude magnétodynamique (Maxwell 3D+ HFSS) donnera des paramètres S différents. La
dégradation de la réponse démontrera l’influence défavorable de la non-uniformité du champ
sur les performances du circulateur.
III. 2. Réponse du circulateur polarisé uniformément
Dans le but d’étudier les performances du circulateur en technologie microruban
polarisé à l’aide d’un seul aimant, nous réalisons dans un premier temps les simulations du
circulateur à l’aide du logiciel HFSS.
Dans cette étude, le champ de polarisation sera supposé uniforme : L’intensité du
champ de polarisation est de H dc = 7.8 104 A/m , soit dans le système CGS 980 Oe. Cette
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
73
valeur, calculée sous Maxwell 3D, correspond à la valeur maximale de l’intensité du champ
de polarisation crée par l’hexaferrite sur le plan supérieur du ferrite (Figure II.19).
Figure II.19. La moyenne du champ (Mag H) de polarisation non uniforme créé par
l’hexaferrite (Maxwell 3D).
Tout au long de ce chapitre, les dimensions et les caractéristiques des matériaux
constitutifs de cette structure ne seront pas données pour des raisons de confidentialité. Seules
les caractéristiques magnétiques du ferrite et de l’hexaferrites sont précisées.
Fréquence centrale (GHz)
Bande passante (GHz)
Pertes d’insertion (dB)
Isolation (dB)
Adaptation (dB)
Champ de polarisation uniforme
(HFSS)
9.3
1.3
0.6
-19
-21
Tableau II.4. Performances du circulateur polarisé uniformément.
La réponse du circulateur obtenue à l’aide du logiciel HFSS est donnée sur la figure
II.20. Les performances obtenues pour ces structures sont satisfaisantes : les pertes d'insertion
sont inférieures à 1 dB dans une bande de fréquence exploitable de 1.3 GHz centrée sur 9,3
GHz (Tableau II.4).
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
74
S21 > -1 dB
S12 < -15 dB
9.3 GHz
Figure II.20. Réponse du circulateur polarisé uniformément en bande X : Paramètres S en fonction de
la fréquence.
III. 3. Influence de la non-uniformité du champ sur la réponse du
circulateur
Il est essentiel de pouvoir étudier la façon dont la non-uniformité du champ de
polarisation peut affecter les performances des circulateurs à jonction-Y.
Pour l’instant, nous avions supposé le champ de polarisation comme étant uniforme.
Or, les profils de champ magnétique statique de polarisation permettent d’étendre cette nonuniformité au champ interne du matériau ferrimagnétique quelque soit sa forme. En effet,
c’est le champ interne du matériau à aimanter qui doit être précisément déterminé quelque soit
la géométrie de l’échantillon.
De plus, lorsque les échantillons de ferrite utilisés dans les circulateurs à jonction-Y ne
sont pas usinés sous forme ellipsoïdale, ce qui est le cas dans les circuits planaires
hyperfréquence, l’hypothèse de champ démagnétisant uniforme n’est pas non plus vérifiée.
Ainsi, le champ interne d’un matériau ferrimagnétique sera uniforme uniquement si le champ
créé par les aimants est constant et si ce matériau est usiné sous forme ellipsoïdale, ce qui
entraîne beaucoup de contraintes technologiques (usinage, encombrement, prix…).
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
75
Figure II.21. Champ interne (MagH) du ferrite calculé à l’aide du logiciel Maxwell 3D.
Les profils du champ interne du ferrite est évalué grâce au logiciel commercial
Maxwell 3D. À titre d’exemple, la figure II.21 est donnée pour montrer l’évolution spatiale
du champ interne sur le plan supérieur du ferrite polarisé non-uniformément. L’intensité du
champ interne varie spatialement suivant toutes les directions de l’espace de 103 A/m, soit
dans le système CGS 12.5 Oe, jusqu’à 1.5 103 A/m, soit 18.8 Oe (Figure II.21).
L’ordre de ces valeurs est en bon accord avec la théorie. En effet, pour un disque de
ferrite de diamètre égale à 4 mm et d’épaisseur 1mm, l’équation II.4 donne un coefficient de
démagnétisant N z qui vaut :
N z = 1 − ( L / ϕ ). 1 + ( L / ϕ )2 
−1/2
= 1 − (1 / 4). 1 + (1/ 4)2 
−1/2
= 0.757
Ainsi, pour un champ appliqué égale à 980 Oe (Figure II.18) et un champ démagnétisant est
égale à :
H d = 4π N z .M s = 0.757 *1270 = 961.4Oe
le champ interne, dont l’expression est donnée par l’équation II.1, est égale à :
H int = H app + H d = 980 − 961 = 19Oe
Cette intensité de champ correspond bien à celle calculée par Maxwell et c’est donc,
ce champ qui va être considéré par HFSS afin d'évaluer la réponse en hyperfréquence du
dispositif (Figure II.22).
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
76
Figure II.22. Réponse du circulateur en tenant compte de la non-uniformité du champ de
polarisation : Paramètres S en fonction de la fréquence.
La comparaison des performances des circulateurs polarisés uniformément et nonuniformément montre une dégradation de la bande passante du circulateur. Nous observons
une dégradation au niveau des pertes d’insertion. Aussi, les critères de l’isolation et
l’adaptation ne sont pas satisfaits, c'est-à-dire une isolation et une adaptation inférieures à 15
dB.
L’étude magnétodynamique nous a donc permis de démontrer de manière théorique
l’influence défavorable de la non-uniformité du champ sur les performances du circulateur.
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
77
IV. MIGRATION VERS LA TECHNOLOGIE MICRORUBAN
Pour atteindre les objectifs fixés de miniaturisation en technologie LTCC, il est
primordial de réexaminer le choix de la conception de la structure et celui des matériaux
utilisés.
En effet, pour la technologie triplaque (Figure II.23), l’aimant samarium-cobalt (SmCo) est utilisé car il possède une excellente stabilité thermique lui assurant une meilleure
qualité pour les applications les plus exigeantes. Bien que le Sm-Co soit l'aimant permanent le
plus cher, son produit d'énergie, B×H, élevé lui a permis d’obtenir un succès commercial
considérable.
Aimant Sm-Co
Ferrite
Conducteur
Ferrite
Ferrite
Substrat diélectrique
Aimant Sm-Co
Aimant Sm-Co
Figure II. 23. Circulateur en technologie triplaque polarisé avec l’aimant Sm-Co.
Or, cet aimant ne peut être fritté car il ne supporte qu’une température maximale de
300°C, d’où la nécessité de se tourner vers un aimant de type hexaferrite hexagonal de
strontium SrFeO19. Ce dernier possède un champ d’anisotropie uniaxial ainsi qu’une
aimantation à saturation élevés de 4320 G. (cf. Tableau II.1).
Pour passer à la technologie microruban, le cœur de la structure du circulateur doit
changer. En effet, elle se compose de trois lignes d’accès orientées à 120° les unes des autres
et reliées à un disque central en or. Le disque de ferrite est inséré dans le substrat de
diélectrique (drop-in) et placé sous le conducteur central. L’aimant de type hexaferrite est
situé au dessus d’une couche épaisse diélectrique (communément appelé spacer). Il crée un
champ magnétique de polarisation afin d’aimanter la matière ferrimagnétique selon l’axe des
cylindres magnétiques (Figure II.24).
Figure II. 24. Circulateur en technologie microruban polarisé à l’aide de l’aimant hexaferrite.
La réponse du circulateur obtenue à l’aide du couplage magnétodynamique
(HFSS+Maxwell 3D) est donnée sur la figure II.22. Les performances obtenues pour ces
structures ne sont pas satisfaisantes : les pertes d'insertion sont supérieures à 1 dB et la bande
de fréquence exploitable est détériorée.
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
78
Ces mauvaises performances sont dues à la non uniformité du champ créé par
l’aimant. Pour remédier à ces effets, il est nécessaire d'introduire le circuit de polarisation et
le cœur du circulateur dans un boîtier en acier de type S300Pb (Figure II.25).
Figure II.25. Le circulateur intégré dans le boîtier de type S300Pb.
En effet, l’acier possède des caractéristiques magnétiques très avantageuses pour les
applications micro-ondes. Sa forte perméabilité relative lui permet de servir de blindage au
dispositif. De plus, sa surface fournit un support mécanique au dispositif et permet la
canalisation du flux et améliore l'uniformité du champ (Tableau II.5).
Hcentre (Oe)
Hbords (Oe)
Circulateur fabriqué en technologie microruban
Sans le boîtier
Avec le boîtier
9
5
43
64
Tableau II.5. Comparaison du champ au centre et aux bords du ferrite polarisé nonuniformément sans et avec le boîtier.
Le circulateur se présente sous la forme d'un boîtier équipé de trois connecteurs
servant d'entrée-sortie (Figure II.26). Le support permet le positionnement précis de chaque
composant du circuit et sert aussi à fixer les connecteurs. Ces connecteurs relient les lignes 50
Ω du circulateur à d’autres dispositifs grâce à des câbles coaxiaux.
79
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
Capot
Aimant :
Hexaferrite
Spacer
Ferrite/diélectrique cofrittés
Boîtier :
S300Pb
Connecteurs
Figure II.26. Les différentes pièces du circulateur fabriqué en technologie microruban
et intégré dans le boîtier.
Les paramètres S du circulateur intégré dans le boîtier sont simulés à l’aide de l’étude
magnétodynamique. La réponse S21 de ce circulateur est de l’ordre 1.39 dB (Figure II.27) et
est en bon accord avec les résultats de mesures (1.48 dB). Ces derniers ont été obtenus par
Cobham, partenaire du projet IMICIMO, et par conséquent ils ne peuvent être décrits
complètement pour des raisons de confidentialité.
Figure II.27. Réponse du circulateur : S21 en fonction de la fréquence.
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
80
V. PROBLEMATIQUE/BESOINS : EXISTE-T-IL DES APPROCHES
NUMERIQUES
PHENOMENES
STRUCTURE ?
CAPABLES
PHYSIQUES
DE PRENDRE EN
COMPLEXES LIES A
COMPTE LES
CE TYPE DE
Habituellement, dans les analyses électromagnétiques des dispositifs hyperfréquences
à base de ferrites, plusieurs hypothèses simplificatrices sont émises pour faciliter les calculs et
accélérer le temps des simulations mais surtout en raison de l'absence de modèle physique
réaliste permettant de déterminer avec précision les phénomènes physiques complexes dans ce
type de structure :
- champs de polarisation non-homogènes, entraînant la non-uniformité du champ
interne du ferrite,
- zones non-saturés du ferrite, entraînant l’existence de domaines et d’interactions
entre ces domaines pouvant modifier fortement le comportement dynamique du
ferrite,
- modes magnétostatiques.
Ces études considèrent que le champ créé par un ou plusieurs aimants ainsi que le
champ interne au matériau à aimanter ne varient pas dans l'espace. Or, nous avons montré que
la variation spatiale des champs est une réalité. En outre, l’intensité du champ peut ne plus
être assez forte pour saturer l’échantillon ferrimagnétique notamment à la périphérie de la
jonction, là où le champ statique est le moins uniforme et le champ dynamique le plus intense.
Tous les modèles proposés jusqu’alors supposent que le ferrite est saturé.
À ce jour, il n’existe donc aucun simulateur électromagnétique capable de prendre en
compte l’ensemble des phénomènes cités dont les conséquences sur les performances du
dispositif sont souvent désastreuses : une réduction voire une disparition de la bande passante
dès lors qu’une miniaturisation du dispositif est recherchée [II.6].
Figure II.28. Pics de discontinuités dans la réponse du circulateur polarisé non-uniformément.
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
81
En effet, les travaux menés dans le cadre de la thèse de A. Guennou [II.6] ont permis
de mettre en évidence les limites des hypothèses simplificatrices employées dans les logiciels
commerciaux autorisant l’obtention des paramètres S d’un circulateur miniatures polarisé
non-uniformément. En effet, des pics de résonnance sont observés expérimentalement dans la
bande passante du dispositif (Figure II.28). Ces perturbations dues à la non-uniformité du
champ interne, notamment la variation radiale de son intensité, ne sont pas prédites par le
logiciel commercial HFSS contrairement à l’approche théorique proposée par A. Guennou
[II.6] qui propose la substitution de la partie centrale du ferrite par un matériau amagnétique
afin de pallier aux problèmes de réduction de bande et aux pics qui entraînent des coupures
dans la bande de fréquence.
Le développement d’une nouvelle approche permettant de tenir compte, dans un
premier temps, de la non-uniformité du champ interne du matériau, ce dernier étant lié, via
l'état d'aimantation, au champ statique de polarisation, s’avère nécessaire. Cette approche doit
considérer les états d’aimantation des différentes régions du matériau. La substitution du
tenseur de Polder, valable uniquement pour un matériau saturé et infini, par un nouveau
modèle plus réaliste, est indispensable. Ce dernier devra être capable de modéliser avec
précision le comportement dynamique des ferrites quelques soient leurs états d’aimantation.
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
82
CONCLUSION
À partir des résultats de simulations issus du logiciel commercial Maxwell 3D, nous
avons évalué l’influence des différents paramètres géométriques et magnétiques
(dimensionnement, hauteur, entrefer, forme, nombre et propriétés magnétiques) des aimants
permanents sur le profil du champ statique de polarisation. Les différentes cartographies de
champs obtenues nous ont permis de mettre en évidence la non-uniformité du champ créé par
les aimants.
Quelque soit la configuration en aimants employée (1 ou 2 aimants polarisant la
matière ferrimagnétique), nous avons montré qu’aucun système de polarisation n’a permis
l'obtention d'un champ complètement uniforme : des effets de bords subsistent. En effet, dans
le cas d'une configuration symétrique, le champ bien que plus unidirectionnel varie
spatialement dans l'entrefer. Lorsqu'un seul aimant polarise la structure, il faut tenir compte à
la fois de la variation spatiale du champ mais aussi de l'orientation de ce dernier. De plus
certaines zones de l’échantillon ferrimagnétique peuvent ne plus être saturées si le champ
appliqué sur le ferrite n'est pas assez intense.
Nous avons également vu qu'à partir du moment où le matériau ferrimagnétique à
aimanter n’est pas un ellipsoïde, des champs démagnétisants non-uniformes apparaissent dans
l’échantillon. Ainsi, même si le champ appliqué sur le matériau est uniforme, le champ
interne du matériau varie spatialement. Ce champ doit donc être précisément déterminé
quelque soit la géométrie de l’échantillon et sans se restreindre au champ statique de
polarisation uniforme. En effet, c'est le champ interne du ferrite qui sert à évaluer les
performances des circulateurs à jonction-Y.
Une étude paramétrique parallèle a été consacrée à l’influence des dimensions et des
caractéristiques des matériaux constitutifs du circulateur supposé polarisé uniformément (cf.
Annexe C).
L’étude magnétodynamique nous a permis d'évaluer l'influence de la non-uniformité
des champs sur la réponse du dispositif. En effet, la non-uniformité du champ statique créé
par des aimants permanents est un phénomène souvent négligé. Pourtant il affecte fortement
la réponse du circulateur en réduisant voire supprimant la bande de fréquence exploitable du
dispositif étudié. Il est donc nécessaire de développer une nouvelle approche prenant en
compte cette non-uniformité du champ et plus généralement les propriétés statiques locales
des différentes zones de l'échantillon de ferrite intégré au dispositif.
Le chapitre suivant constitue le point de départ de cette nouvelle approche pour pallier
aux problèmes cités. Dans cette optique, le champ interne du matériau ferrimagnétique est
calculé à l’aide de la méthode numérique TLM qui sera modifiée afin de prendre en compte
les caractéristiques anisotropes et dispersives des ferrites polycristallins quelque soit leurs
états d’aimantation.
Chapitre II : Conception de circulateurs à jonction-Y miniatures en technologie microruban
83
RÉFÉRENCES DU CHAPITRE II
[II.1] Maxwell 3.D, Ansoft, 2003, http://www.ansoft.com
[II.2] Opera 2D/3D, Cobham, http://www.vectorfields.com
[II.3] CST EM Studio, http://www.cst.com/Content/Products/EMS/Overview.aspx
[II.4] HFSS, Ansoft, 2003, http://www.ansoft.com
[II.5] THALES Research & Technology, Thales, http://www.trt.thalesgroup.com
[II.6] A. Guennou, B. Della, P. Quéffélec, P. Gelin, and J.L. Mattei, "Influence of the
magnetic field nonuniformity on an X-band microstrip Y-junction circulator bandwidth:
theory /experiment comparison", IEEE Transactions on Magnetics, vol. 43, n°6, pp. 26422644, June 2007.
[II.7] R.I. Joseph, E. Schloemann, "Demagnetizing field in nonellipsoidal bodies", J. Appl.
Phys., vol. 36, no 5, pp.1579-1593, May 1965.
[II.8] P. P. Silvester, R. L. Ferrari, "Finite elements for electrical engineers", Cambridge
University Press, New-York, 1983.
[II.9] T. Weiland, "A Discretization Method for the Solution of Maxwell's Equations for
Six-Component Fields", Electronics and Communications AEUE, vol. 31, no. 3, pp. 116–120,
1977.
[II.10] EMPIRE XCcel, IMST, 2008, http://www.empire.de/
[II.11] A. Taflove, "The Finite-Difference Time-Domain Method," Computational
Electrodynamics, Artech House, Boston-London, 1995.
CHAPITRE III
Chapitre III : Etat de l’art des méthodes numériques en électromagnétisme
88
Troisième Chapitre
ÉTAT DE L’ART DES METHODES NUMERIQUES EN ELECTROMAGNETISME
89
I. Classification des Méthodes Numériques
90
II. Méthode rigoureuses
91
II.1. Equations intégrales
91
II.2. Approches pseudo-analytiques
91
II.3. Approches volumiques
a. La Méthode des Différences Finies
b. La Méthode des Éléments Finis
c. La Méthode TLM
1. Principe de base
2. Tableau récapitulatif des étapes de la TLM
3. Caractéristiques
92
92
95
97
97
98
98
II.4. Tableau récapitulatif des domaines de solution
101
II.5. Tableau récapitulatif des méthodes rigoureuses
102
Atouts de la TLM
103
Conclusion
104
Références du chapitre III
105
Chapitre III : Etat de l’art des méthodes numériques en électromagnétisme
89
Troisième Chapitre
État de l’art des méthodes numériques en
électromagnétisme
Tout modèle numérique des phénomènes électromagnétiques possède ses limitations.
Aucune méthode ne peut aujourd’hui prétendre à l’universalité cependant chacune possède
des avantages pour une classe donnée de problèmes. Dans ce chapitre, nous classons d’abord
les méthodes d’analyses électomagnétiques en trois grandes familles. Parmi elles, figure la
famille des méthodes dites rigoureuses qui eux-mêmes sont classées en plusieurs catégories.
Ces méthodes sont généralement utilisées pour résoudre les équations liées aux
champs. Ceci est adapté à notre problématique qui concerne le calcul du champ interne du
matériau ferrimagnétique. Or, avant de présenter la méthode de prise en compte des propriétés
génerales du matériau étudié, nous developpons les approches volumiques actuelles et
tenterons ensuite de dégager les avantages potentiels de l’utilisation de la méthode TLM
(Transmission Line Matrix) dans ce contexte.
Une fois le choix de cette méthode justifié, nous présentons, dans le chapitre suivant,
la méthode de modification de celle-ci afin de tenir compte des propriétés anisotropes et
dispersives des matériaux.
Chapitre III : Etat de l’art des méthodes numériques en électromagnétisme
90
I. CLASSIFICATION DES METHODES NUMERIQUES
La résolution des problèmes électromagnétiques qui nous intéresseront mettra
essentiellement en jeu la propagation d’ondes. Pour présenter ce phénomène, référons-nous au
célèbre principe d’Huygens-Fresnel [III.1]. Imaginons une source ponctuelle qui émet une
onde électromagnétique comme la représente la Figure III.1 :
Figure III.1. Illustration du principe d’Huygens-Fresnel.
L’état de cette onde, à un instant donné, est représenté sur une surface d’onde qui est
une surface équiphase. Huygens émet l’hypothèse que chaque point de cette surface se
comporte alors comme une source secondaire qui réémet une onde électromagnétique, comme
le ferait un obstacle heurté par une onde électromagnétique.
Dès lors, nous pouvons considérer que tout problème de propagation d’une onde
électromagnétique est, fondamentalement, un problème de diffraction. Ainsi, la majorité des
problèmes électromagnétiques peut être assimilée à un problème de diffraction d’une onde par
un obstacle. Cette manière de concevoir les problèmes électromagnétiques s’applique aussi
bien à des phénomènes guidés que rayonnés.
Le critère de classification des méthodes d’analyse électromagnétique est le rapport
entre les dimensions significatives de l’objet par rapport à la longueur d’onde. Nous pouvons
alors discerner trois grandes familles :
1. Lorsque ces dimensions sont très inférieures à la longueur d’onde, les équations de
Maxwell sont approchées par les méthodes dites « quasi-statiques ». Elles reposent sur
le fait que les courants de déplacements sont négligés par rapport aux courants réels.
Ces courants correspondent à des variations temporelles lentes, c’est pourquoi ces
méthodes sont limitées à l’analyse de problèmes dont la fréquence est généralement
inférieure au mégahertz. Nous ne nous intéresserons pas davantage à cette famille de
méthodes puisque son domaine d’applications ne convient pas aux domaines
d’analyses qui nous intéressent (fréquences supérieures à trois Gigahertz).
2. Lorsque les dimensions du problème sont de l’ordre de la longueur d’onde, aucune
approximation des équations de Maxwell n’est possible. Les méthodes à formulation
rigoureuse, telles que la méthode FDTD (Finite-Difference Time-Domain) [III.2] ou la
méthode TLM (Transmission Line Matrix) [III.3] ou la FEM (Finite Element Method)
[III.4] ou la méthode des équations intégrales [III.5], sont alors employées.
Remarquons que le terme « rigoureuse » peut porter à confusion. Dans la présente
thèse, ce mot sera utilisé pour traduire l’expression anglaise « Full-Wave Methods ». Il
s’agit de méthodes basées sur les équations dynamiques de Maxwell avec la prise en
compte de toutes les composantes des champs pertinentes.
Chapitre III : Etat de l’art des méthodes numériques en électromagnétisme
91
3. Enfin, lorsque les dimensions sont très supérieures à la longueur d’onde, nous faisons
appel aux méthodes asymptotiques [III.6], [III.7]. Elles reposent sur un
développement asymptotique de la solution de l'équation d'onde.
Dans le cadre de ce chapitre, nous allons nous intéresser au principe des méthodes
« rigoureuses ».
II. METHODE RIGOUREUSES
Les équations de Maxwell ou ses formes dérivées ne peuvent pas se résoudre
analytiquement, sauf dans certains cas relativement simples. La résolution des problèmes de
champs passe le plus souvent par une approche numérique. Il existe un grand nombre de
méthodes numériques dites « rigoureuses » pour résoudre les équations liées aux champs.
Elles peuvent être classées en plusieurs catégories en fonction du type de formulations
associées au problème. La formulation d’un problème électromagnétique est le résultat d’une
manipulation des équations de Maxwell aboutissant à la résolution numérique d’une forme
équivalente du problème donné. Cette forme est généralement simplifiée et appropriée à
certains types de problème. Il faut souligner que la formulation est une étape cruciale car elle
influence, pour une grande part, la précision des résultats obtenus par la méthode numérique.
Enfin, nous pouvons noter que la procédure numérique, choisie afin de résoudre telle ou telle
formulation, peut nous mener à deux cas de figures bien distincts : la résolution d’un système
linéaire (résolution implicite) ou la résolution itérative d’une forme explicite des inconnues.
Les formulations les plus courantes sont :
- Les équations intégrales ou fonctions de Green,
- les approches pseudo-analytiques ou hybrides,
- les approches volumiques.
II.1. Equations intégrales
La première catégorie de formulation repose sur les équations intégrales. Ces équations
sont obtenues par manipulations des équations de Maxwell ainsi que l’utilisation de la
solution fondamentale (la fonction de Green) de l’opérateur du problème. En effet, la méthode
des équations intégrales [III.5] consiste à déterminer les sources de courant induites dans une
structure excitée par une source connue, en mettant sous la forme d’une équation intégrale
(d’où le nom de la méthode) la relation entre les courants induits, la fonction de Green et la
source. La solution des équations intégrales peut être déterminée à l’aide de procédures
numériques basées généralement sur la MoM (Method of Moments, « méthode des
moments ») [III.8]. Il existe également une déclinaison des équations intégrales qui peut être
établie à l’aide d’une formulation portant uniquement sur les interfaces, ce qui correspond à la
BEM (Boundary Elements Method, « méthode des éléments de frontière ») [III.9].
II.2. Approches pseudo-analytiques ou hybrides
Ces formulations doivent leur nom simplement au fait qu’elles allient solutions
analytiques et numériques. Ce sont des méthodes numériques qui se proposent de décomposer
l’équation d’onde, en termes de champs ou de potentiels, suivant des fonctions de bases liées
à la géométrie du problème. Généralement, ces techniques emploient une décomposition
modale, c’est-à-dire qu’elles approchent les champs ou les potentiels à déterminer par une
somme de modes pondérés par des coefficients à calculer. Puis, en imposant des conditions
Chapitre III : Etat de l’art des méthodes numériques en électromagnétisme
92
aux limites en un nombre de points égal au nombre d’inconnues (ou par la méthode des
moindres carrés) et en appliquant une procédure d’orthogonalisation, un système d’équations
linéaires peut être exprimé. Enfin, la résolution de ce système permet l’obtention des
coefficients de pondération des modes.
Des méthodes telles que le raccordement modal (MM pour Mode Matching) [III.10] ou
encore la méthode des lignes (MoL pour Method of Line) [III.11] sont basées sur ce concept.
Citons la SDA (Spectral Domain Approach) [III.12] qui est également une méthode hybride.
Le domaine de solution de ces méthodes est typiquement fréquentiel. Elles présentent
les avantages d’avoir un coût de calcul relativement bas ainsi qu’une convergence
relativement rapide. Toutefois, de part leur fondement, elles sont assez limitées quant à la
généralité des objets à considérer et elles exigent un traitement analytique souvent lourd.
Nous allons maintenant nous intéresser à la dernière formulation de méthodes
rigoureuses, celle des méthodes volumiques.
II.3. Approches volumiques
Nous pouvons distinguer deux catégories de méthodes volumiques ; d’un côté celles où
les équations de Maxwell sont résolues localement dans un volume découpé en cellules, telles
que la méthode FDTD (Finite Difference Time Domain) [III.2] ou la méthode TLM
(Transmission Line Matrix) [III.3], et de l’autre côté celles où est établie une forme
variationnelle de ces équations sur tout le volume d’étude comme pour la FEM (Finite
Element Method) [III.6].
II.3.a. Méthode des Différences Finies
La méthode des différences finies consiste à approcher les dérivées spatiales par des
différences finies centrées :
df
1 
≅
f
dx ∆x 
∆x 

x+
−
2 

∆x  

f x−

2  

(III.1)
avec une erreur qui est de l’ordre de O(∆x²) pour les différences finies centrées.
En appliquant l’équation (III.1) à l’équation de Laplace, il est possible de résoudre de
nombreuses applications dans le domaine électrostatique telle que l’étude des guides
propageant des modes TEM ou quasi-TEM. En outre, le temps peut être traité de la même
manière que l’espace. La méthode des différences finies permet alors d’étudier des champs
qui varient dans le temps, en approchant les équations de Maxwell à l’aide de (III.1). Ainsi,
l’étude de structures sur une large bande de fréquences peut se faire en une seule simulation.
Dans un milieu de permittivité ε et de perméabilité µ, les équations rotationnelles de
Maxwell sont données par les relations suivantes :
∂H ( r , t )
∇ × E ( r , t ) = −µ
∂t
∂E ( r , t ) ∇ × H (r ,t ) = ε
+ J (r ,t )
∂t
(III.2)
(III.3)
Chapitre III : Etat de l’art des méthodes numériques en électromagnétisme
93
où ∇ désigne l’opérateur nabla1, x le produit vectoriel, E le champ électrique, H le champ
magnétique, et J la densité de courant électrique. Dans un milieu linéaire, isotrope, sans pertes
et sans source, ces équations fournissent six relations scalaires aux dérivées partielles. Par
exemple, dans un repère cartésien l’équation (III.2) donne suivant x :
∂H x ∂E y ∂Ez
=
−
∂t
∂z
∂y
µ
(III.4)
Il est bien sûr possible d’obtenir des équations équivalentes dans d’autres systèmes de
coordonnées, mais dans ce cas l’équation (III.4) devient nettement plus complexe. La
méthode FDTD repose sur un échantillonnage de l’espace en cubes. La plupart du temps, les
simulateurs basés sur la méthode FDTD utilisent l’algorithme et la cellule (Figure III.2)
proposés par Yee en 1966 [III.13]. Par la suite, Taflove et Brodwin [III.14] ont activement
participé au développement cet algorithme et en 1977, Weiland [III.15] a dérivé un nouveau
schéma de la méthode FDTD (Finite Integration Technique) en utilisant la forme intégrale
des équations de Maxwell.
En appliquant l’équation (III.1), la relation (III.4) peut s’écrire comme suit :
H x( n +1/ 2) ( i, j + 1/ 2, k + 1/ 2 ) − H x( n −1/ 2) ( i, j + 1/ 2, k + 1/ 2 )
=
∆t
E yn ( i, j + 1/ 2, k + 1) − E yn ( i, j + 1/ 2, k ) E zn ( i, j + 1, k + 1/ 2 ) − E zn ( i, j , k + 1/ 2 )
−
µ∆z
µ∆y
(III.5)
Les indices (i,j,k) indiquent la position selon (x,y,z) et n représente l’indice temporel.
∆t désigne le pas temporel et les ∆i (i ∈ {x,y,z}), les dimensions de la cellule de Yee (Figure
III.2). Dans la cellule de Yee il est possible d’exprimer la composante Hx(n+1/2) en fonction de
la valeur des autres composantes de champ à des temps antérieurs. Il en va de même pour les
cinq autres composantes du champ électromagnétique. L’algorithme de Yee livre ainsi une
forme explicite des inconnues et évite une résolution par inversion de matrices.
z/∆z
Ey
(i,j,k+1)
Hz
Ex
Hy
Composantes de E le
long des bords de la
cellule
Composantes de H sur
les faces de la cellule
Ex
Ey
Ez
Ez
Hx
Hy
Ey
Hx
Ez
(i,j,k)
x/∆x
1
signifie petite harpe en grec.
(i,j+1,k)
Hz
Ex
Ex
(i+1,j,k)
y/∆y
Ez
Ey
(i+1,j+1,k)
Chapitre III : Etat de l’art des méthodes numériques en électromagnétisme
94
Figure III.2. Cellule de Yee utilisé par la grille FDTD en trois dimensions.
Il faut tout de même noter que les différentes composantes sont déterminées à des
endroits différents et à des temps décalés, ce qui donne lieu à certaines difficultés lors de la
définition des conditions aux limites. Par exemple, les parois électriques et magnétiques ne
peuvent pas être alignées parfaitement. De même, les conditions à l’interface entre deux
diélectriques s’appliquent sur des composantes décalées par un demi pas spatial et temporel.
Enfin, d’après [III.2], l’algorithme de la méthode FDTD exige que le pas temporel ait
une limite spécifique relative aux dimensions spatiales de la cellule de Yee. Cette limite est
nécessaire afin d’éviter des instabilités numériques. Pour le cas d’un maillage cubique, le
critère est donné par :
∆l
∆t ≤
c 3
(III.6)
avec c la vitesse de la lumière dans le milieu considéré, ∆t le pas temporel et ∆l la dimension
de la cellule suivant x, ou y, ou z.
La méthode FDTD est basée sur un échantillonnage de l’espace qui doit être fini. Ainsi,
elle est adaptée à l’étude de structures fermées (guides d’ondes et cavités). Pour pouvoir
également étudier les structures ouvertes comme les antennes, le maillage FDTD doit être
limité par des conditions absorbantes qui simulent la troncature spatiale de manière à éviter
des réflexions parasites. Différents types de conditions absorbantes [III.16], [III.17] ont été
développées ces dernières décennies avec plus ou moins de succès, mais aucune n’a connu le
rayonnement des PML (Perfectly Matched Layers) créées par Bérenger en 1994 [III.18]. Les
PML sont aujourd’hui utilisées dans de nombreuses méthodes numériques, car elles ont
l’énorme avantage de présenter un coefficient de réflexion très faible sous n’importe quelle
incidence, indépendamment de fréquence, ainsi que de requérir une mise en œuvre
relativement simple. Enfin, dans le cadre de l’utilisation de telles frontières, les techniques
volumiques ne se prêtent pas à un calcul direct des champs lointains d’objets rayonnants. La
transformation dite « champs proches-champs lointains » [III.19], basée sur le théorème
d’équivalence, doit alors être utilisée afin de palier ce problème.
Les principales sources d’erreurs de la méthode FDTD proviennent de la dispersion
numérique, de la résolution spatiale et de la troncature temporelle. Le phénomène de
dispersion est dû au caractère discret du modèle. En effet, le modèle numérique transforme un
problème physique dans un espace-temps continu en un problème discret dans un espacetemps échantillonné. Il faut donc choisir une taille maximale de la maille (∆lmax), en dessous
de laquelle les effets dispersifs pourront être négligés [III.2]. Le choix de la taille de la cellule
est au moins 10 fois plus petite que la longueur d'onde la plus faible (λmin) envisagée pour la
simulation, soit : ∆lmax = λmin/10. Ce critère empirique découle du fait qu’échantillonner
produit une erreur de vitesse dans le modèle numérique, que l’on appelle erreur de dispersion.
Cette erreur engendre un effet de distorsion sur les signaux car elle dépend de la fréquence
mais également de la direction de propagation. Ainsi, le modèle numérique de propagation
d’ondes de la méthode FDTD dans un milieu isotrope et non-dispersif est donc anisotrope et
dispersif. Dans [III.2], Taflove souligne le fait que la dispersion est minimale suivant la
diagonale et maximale dans la direction axiale.
Malgré le respect des critères de dispersion et de stabilité, il est possible de rencontrer
des erreurs dues à un maillage localement trop grossier comme au voisinage d’une arête ou au
voisinage de formes curvilignes. Dans ce cas, il est envisageable de s’affranchir de cette
contrainte au prix d’une complication locale de l’algorithme FDTD [III.20], [III.21].
Chapitre III : Etat de l’art des méthodes numériques en électromagnétisme
95
Enfin, l’arrêt du processus itératif engendre une erreur de troncature. La troncature d’un
signal par une fenêtre d’une durée T revient à convoluer le spectre de ce signal par un sinus
cardinal dont la largeur des lobes est inversement proportionnelle à T. L’effet de la
convolution s’estompe avec le nombre d’itérations.
Comme d’autres approches volumiques, la méthode FDTD est très gourmande en
termes de ressources informatiques. Cependant, elle présente l’avantage d’employer un
algorithme très simple et stable, qui ne dépend pas de la géométrie du problème, et qui peut
s’appliquer à des problèmes inhomogènes quelconques. De plus, cette méthode décrit
directement l’évolution temporelle du système étudié et permet ainsi de « suivre » comment
les champs se propagent. Malheureusement, le traitement des milieux dispersifs à pertes peut
poser un problème dans la mesure où des besoins importants en ressources informatiques sont
nécessaires [III.22]. En effet, dans ces milieux les réponses temporelles sont décrites à l’aide
d’intégrales de convolution. Par conséquent, le calcul du champ électromagnétique exige de
garder en mémoire la valeur du champ aux périodes antérieurs.
La méthode TLM, de même type que la méthode FDTD, sera exposée un peu plus en
détails ultérieurerement.
II.3.b. Méthode des Éléments Finis
La méthode des éléments finis a connu un large développement lors des années
soixante-dix et elle est devenue très populaire dans de nombreux domaines de la physique
grâce à sa capacité à s’appliquer à des géométries complexes.
Le principe de cette méthode consiste à rendre stationnaire une fonctionnelle généralement sous forme intégrale - associée au problème original. La FEM est une approche
variationnelle dont la solution est trouvée numériquement par décomposition en éléments
finis (Figure III.3), c’est-à-dire par décomposition en sous-domaines, du volume de calcul.
Déterminer la fonctionnelle associée à un type de problème est généralement
mathématiquement compliqué. Cependant, les fonctionnelles des problèmes les plus
classiques peuvent se trouver dans de nombreux ouvrages [III.6].
Une fonctionnelle peut s’écrire sous la forme suivante :
F ( f ( x, y, z ) ) = ∫ Φ  f ( x, y, z ) , f ' ( x, y, z ) ,... d Ω
Ω
(III.7)
où f est la fonction inconnue, c’est-à-dire celle qui correspond à la solution du problème
original et Φ désigne un opérateur. Si le problème est simple, une première technique
numérique peut être employée : elle consiste à décomposer la solution en fonctions de base,
définies sur l’ensemble du domaine de calcul, pondérées par des coefficients qui constituent
les nouvelles inconnues du problème. Cette approche s’appelle la méthode de Rayleigh-Ritz.
Cependant, si le problème est plus complexe, il n’est pas possible d’utiliser des
fonctions de bases définies sur la totalité du domaine de calcul. Dans ce cas, le volume de
calcul est décomposé en éléments simples tels que les triangles (2D) ou les tétraèdres (3D)
(Figure III.3). A l’intérieur de chaque sous-domaine, la fonction inconnue de la fonctionnelle
est exprimée par une fonction de base, qui est très souvent de type polynomiale dont les
coefficients forment les inconnues. Toutefois, en FEM, il est préférable de choisir la valeur de
la fonction en certains points, appelés éléments nodaux (Figure III.3), comme paramètres
variationnels. Cela permet d’assurer la continuité de la fonction d’un élément à un autre mais
fait apparaître des solutions parasites qui sont éléminées par l’approche des éléments d’arrêtes
[III.22]. Ainsi, la fonction inconnue peut être exprimée par :
96
Chapitre III : Etat de l’art des méthodes numériques en électromagnétisme
f = ∑ α i fi
i
(III.8)
où les αi et fi représentent respectivement les fonctions interpolatrices et les paramètres
variationnels. L’étape suivante consiste à introduire l’équation (III.8) pour tous les sousdomaines dans la fonctionnelle F, qui se décompose alors en autant d’intégrales calculées sur
chaque élément j :
(
F fi
N ef
( x, y , z ) ) = ∑ ∫
j élément

Φ  ∑ α i fi
 i
j

( x, y , z )  d Ω j

(III.9)
avec Nef le nombre d’éléments finis. Il s’agit maintenant d’exprimer la forme variationnelle de
F (δF) en calculant les dérivées partielles par rapport aux paramètres variationnels et en
rendant celles-ci stationnaires :
(
∂F f1 , f 2 ,...., f N
∂f i
ef
) =0
i =1,2,...,n
(III.10)
dans laquelle n désigne le nombre de nœud libres. L’expression ci-dessus se réduit à un
système d’équations linéaires qui peut s’exprimer sous la forme matricielle suivante :
Φ ij   f j  =  gi 
    
(III.11)
La stationnarité simultanée de la forme variationnelle pour tous les éléments génère un
système matriciel dont les inconnues sont les valeurs de la fonction cherchée en certains
points (éléments nodaux).
éléments nodaux
(paramètres variationnels)
a
b
Figure III. 3. Exemple d’éléments finis : (a) Triangle (2D) du premier ordre. (b) Tétraèdre (3D) du
second ordre.
Tout comme la MoM, il n’existe pas de critère quant à la dimension maximale de la
maille. Nous pouvons donc choisir des tailles de mailles de l’ordre de λ/2, ou moins, suivant
le problème à modéliser. Elle doit également employer des conditions aux limites absorbantes
afin de limiter artificiellement le volume de calcul. De plus, si le champ lointain doit être
calculé, une combinaison avec d’autres méthodes doit être alors effectuée [III.23]. Ceci
représente un coût de calcul important en termes de ressources informatiques. Cependant, ces
défauts sont compensés par un algorithme également très simple, qui ne dépend pas de la
97
Chapitre III : Etat de l’art des méthodes numériques en électromagnétisme
géométrie du problème et qui peut s’appliquer à des problèmes inhomogènes quelconques
exactement comme pour les méthodes FDTD et TLM.
Le domaine de solution de la FEM est typiquement fréquentiel. Toutefois, plusieurs
versions temporelles ont été crées [III.24] dans le but de répondre au besoin croissant de
simuler les phénomènes électromagnétiques dans le régime transitoire. Il faut cependant faire
attention quant au choix de telle ou telle version car elles ne présentent pas les mêmes
caractéristiques de dispersion et de stabilité. Dans [III.25], le lecteur pourra trouver une
comparaison de la stabilité de différentes versions temporelles de la FEM. Par ailleurs,
comme pour la FEM, la TD-FEM (Time Domain Finite Element Method) doit clore son
domaine de calcul par des PML [III.18] (Perfectly Matched Layers) dans le cas de problèmes
ouverts. Jusqu’à très récemment, seul le premier ordre des PML pouvait être mis en œuvre
dans le domaine temporel. Grâce à Z. Lou et al. [III.26], le second ordre a pu être réalisé et a
permis d’obtenir de meilleurs résultats. Ce point est crucial car l’utilisation de PML efficaces
permet de réduire le domaine de calcul d’une méthode volumique de manière conséquente.
Enfin, la FEM peut être appliquée typiquement à l’analyse de discontinuités, à la
caractérisation de guides ou encore à la dosimétrie. Elle est également souvent utilisée dans
les problèmes de couplage électromagnétique.
II.3.c. Méthode TLM (Transmission Line Matrix)
II.3.c.1. Principe de base
Inventée par P.B. Johns et R.L. Beurle en 1971 [III.27], la méthode TLM est une
méthode de type volumique et temporelle, c’est-à-dire que les équations de Maxwell (Annexe
D et E) sont échantillonnées dans l’espace ainsi que dans le temps comme pour la méthode
FDTD. Cette résolution des problèmes dans le domaine temporel permet de caractériser des
structures sur une large bande de fréquences en une seule simulation. Cependant, alors que la
méthode FDTD est basée sur une résolution des équations de Maxwell d'après un schéma
différentiel, la méthode TLM repose sur le principe de Huygens en faisant l'analogie entre la
propagation des ondes électromagnétiques dans un milieu, et la propagation des tensions et
des courants dans un réseau de lignes de transmissions. Cette analogie est fondée sur le fait
que les équations de Maxwell et l'équation des télégraphistes sont des équations de même
type. De ce fait, la méthode TLM est qualifiée de « physique ».
Le lecteur, intéressé par l’évolution de la méthode TLM, lira la synthèse écrite par
Hoefer [III.28]. Ici, nous ne donnerons pas plus de précisions concernant les développements
précédents la publication de Johns en 1987 [III.29], où il est question de la mise en place d’un
nouveau type de nœud, le nœud condensé symétrique (SCN) représenté en Figure III.4 :
y
V7
V12
V4
x
V2
z
V3
V10
V6
V11
V9
V1
V8
V5
Chapitre III : Etat de l’art des méthodes numériques en électromagnétisme
98
Figure III.4. Cellule de base (SCN) de la méthode TLM 3D.
Contrairement aux formulations des nœuds qui le précédèrent, celle du nœud SCN
découle de l'association des équations de Maxwell et de la conservation de l'énergie. Il est
constitué de six accès, chacun alimenté par deux tensions de polarisations perpendiculaires.
Ainsi, les tensions incidentes et réfléchies du nœud TLM sont représentées par les vecteurs
[a] et [b]. Ils sont détaillés dans la thèse de Peña [III.30] et sont reliés par la relation
suivante :
[ b]( n +1/ 2) = [S][a ]( n −1/ 2)
(III.12)
où (n-1/2)∆t et (n+1/2)∆t représentent les temps où le vecteur correspondant est déterminé. ∆t
désigne le pas temporel de la méthode TLM. La matrice [S] représente la matrice de diffusion
ou de répartition de ce nœud. Les vecteurs [a], [b] et la matrice [S] sont d’ordre douze pour
une cellule cubique et un milieu homogène isotrope. Dans le cas d’une cellule non-cubique ou
d’un milieu plus général, six bras réactifs, ou stubs, sont ajoutés au centre de la cellule, ce qui
porte à dix-huit l’ordre de ces grandeurs. D’autres nœuds ont été également développés ces
dernières années et le lecteur pourra trouver une synthèse des différentes cellules en [III.31].
Traditionnellement, la formulation de la méthode TLM a été élaborée en termes de
matrices. Cependant, il est possible d’employer un algorithme complètement explicite, le
développement de l’algorithme est exposé en détails dans les annexes F et G afin de bien
comprendre le schéma numérique qui en découle et le déroulement de cette méthode. Cet
algorithme, décrit à l’aide du Tableau III.1, peut être déduit à partir des équations de
Maxwell sous forme intégrale, comme l’ont montré Peña et Ney [III.32].
99
Chapitre III : Etat de l’art des méthodes numériques en électromagnétisme
II.3.c.2. Tableau récapitulatif des étapes de la TLM
Etape
Description
Schéma
a12, a7
y
I
À l'instant (n-1/2)∆t, une
excitation est injectée au moyen
de tensions incidentes
(impulsions) sur les ports de
certains nœuds.
x
z
a11, a10
a3 , a6
a9 , a8
II
Ensuite à l'instant n∆t, une
diffusion se produit localement à
ces nœuds. Le champ
électromagnétique est déterminé
au centre des cellules à partir
d’une combinaison linéaire des
tensions incidentes.
y
III
a1 , a5
x
z
E,H
y
Puis à l'instant (n+1/2)∆t, des
tensions réfléchies sont générées.
Elles sont calculées à l’aide des
composantes du champ
électromagnétique et des tensions
incidentes.
b12, b7
x
b2, b4
z
b3, b6
b9, b8
IV
a2 , a4
b11, b10
b1, b5
Enfin, les tensions réfléchies
deviennent à leur tour incidentes
sur les nœuds voisins pour
l'itération suivante.
Tableau III.1. Étapes de l’algorithme TLM.
II.3.c.3. Caractéristiques
Comme toutes les méthodes numériques temporelles (FEM-TD, FDTD, …), la TLM
n’échappe pas à l'erreur de troncature et à la dispersion numérique. Ces erreurs sont dues à la
discrétisation spatio-temporelle finie. Comme nous l'avons vu, en réalité les phénomènes
physiques se déroulent dans un espace-temps continu.
Chapitre III : Etat de l’art des méthodes numériques en électromagnétisme
100
La modélisation est un modèle basé sur une discrétisation spatio-temporelle finie de
phénomènes continus, l’objectif étant d’obtenir le modèle le plus proche possible de la réalité.
Néanmoins des erreurs subsistent, le but étant de les rendre négligeables.
Une solution consiste à réduire les erreurs éventuelles en raffinant le maillage de telle
sorte à avoir des cellules infiniment petites. Dans la réalité ce n’est pas possible car cette
méthode requiert des ressources informatiques beaucoup trop importante (mémoire, temps de
calcul). Un choix s’impose donc, l’utilisation d’une cellule de taille maximale en dessous de
laquelle la dispersion devient négligeable.
Les dimensions d’une maille ou cellule TLM doivent donc respecter le critère de
dispersion afin de pouvoir négliger les effets dispersifs de la méthode. Comme pour la
méthode FDTD, il faut donc choisir une taille maximale de la maille (∆lmax) environ égale à :
∆lmax = λmin
10
(III.13)
De plus, de façon à limiter le nombre d’itérations et donc le temps de calcul de la
simulation, nous nous plaçons au pas temporel maximal. Dans le cas de notre cellule cubique
SCN, le pas temporel maximal ∆tmax est défini de la façon suivante :
∆tmax =
∆lmax
2c0
(III.14)
À ce stade, nous avons passé en revue les principales méthodes rigoureuses. Dans le but
de comparer plus facilement les avantages et inconvénients des techniques évoquées et de leur
domaine de solution, nous proposons de dresser, dans la prochaine partie, un petit bilan à
l’aide de deux tableaux récapitulatifs (Tableau III.2 et Tableau III.3). Le lecteur, intérressé
par les détails de l’algorithme, lira les annexes E et F.
101
Chapitre III : Etat de l’art des méthodes numériques en électromagnétisme
II.4. Tableau récapitulatif des domaines de solution
Domaine de
solution
Avantages
Inconvénients
- efficacité pour une caractérisation à
bande étroite.
Fréquentiel
- efficacité pour les milieux dispersifs
(dépendance fréquentiel des paramètres
constitutifs).
- Paramètres utiles (Z, S) directement
calculés.
- Inefficacité pour des
caractérisations sur une large
bande de fréquences.
- Inadaptation aux problèmes :
o Non linéaires
o Non stationnaires
- Efficacité pour les milieux à perte.
- Solution transitoire directement
disponible
- Caractérisation sur une large bande de
fréquences en une exécution.
Temporel
- Possibilité d’introduction de nonlinéarité et de non-stationnarités sans
complication excessive de l’algorithme
de base (FDTD TLM).
- Complications pour le
traitement des milieux
dispersifs.
- Nombre d’itérations prohibitif
dans le cas de maillage fin et/ou
structures à haut facteur de
qualité.
- Forme explicite de la solution
=> Ce qui évite une inversion de matrice.
Tableau III.2. Avantages et inconvénients des domaines de solution.
102
Chapitre III : Etat de l’art des méthodes numériques en électromagnétisme
II.5. Tableau récapitulatif des méthodes rigoureuses
Formulation
Equations
Intégrales,
Fonctions de
Green
Equations
différentielles
Méthode
variationnelle
Méthode
physique
Méthodes
pseudoanalytiques
Méthodes
MoM, BEM
Domaine
de solution
Typiquement
fréquentiel.
Avantages
Inconvénients
- Echantillonnage
uniquement des
sources.
- Formulation
uniquement sur les
interfaces pour la
BEM.
- Conditions d’espace
libre contenu dans la
formulation.
- Champs lointains
peut être calculés
directement.
- Fonction de Green
difficile à déterminer
pour des formes
géométriques
arbitraires.
- Problèmes de
singularité de la
fonction de Green
- Traitement analytique
lourd.
- Matrices résultantes
remplies.
- Problèmes de stabilité
dans le domaine du
temps.
- Algorithme très
simple.
- Algorithme
indépendant de la
géométrie.
- Peut s’appliquer à
des problèmes
inhomogènes
quelconques.
- Algorithme stable.
- Mêmes que FDTD
(excepté pour la
stabilité).
- Matrices résultantes
creuses.
- Echantillonnage de
tout l’espace de travail.
- Nécessité d’employer
des conditions aux
limites absorbantes.
- Grand coût de calcul.
- Champs lointains
calculés indirectement.
FDTD
Typiquement
temporel, mais
existe aussi
dans le
domaine
fréquentiel
(FDFD).
FEM
Typiquement
fréquentiel.
TLM
Typiquement
temporel, mais
existe aussi
dans le
domaine
fréquentiel.
- Mêmes que FDTD.
- Naturellement
propice aux
techniques de
segmentations.
- Mêmes que FDTD.
Typiquement
fréquentiel.
- Coût de calcul
relativement faible.
- Convergence
relativement rapide.
- Numériquement très
efficace.
- Traitement analytique
lourd.
- Impossibilité
d’analyser des objets
de formes
géométriques
quelconques.
ML, SDA
- Mêmes que FDTD.
- Problèmes de stabilité
dans le domaine du
temps.
Tableau III.3. Classement des méthodes « rigoureuses » par leur formulation
(Tableaux inspirés de [III.33]).
Chapitre III : Etat de l’art des méthodes numériques en électromagnétisme
103
III. ATOUTS DE LA TLM
La méthode TLM présente une grande similitude avec la méthode FDTD, bien que ses
principes de base soient fondamentalement différents. Les deux méthodes échantillonnent
l’espace et le temps de façon similaire, et de ce fait, elles peuvent être utilisées pour résoudre
les mêmes types de problèmes. La méthode TLM est employée à l’analyse de tous types de
problèmes tridimensionnels au même titre que la FDTD. Deux bons logiciels, basés sur la
méthode TLM, nommés CST Microstripes et Mefisto 3D, sont distribués commercialement
pour l’analyse de diverses structures hyperfréquences. De plus, la version 2D de Mefisto peut
être téléchargée gratuitement via internet [III.34].
Du fait de leur grande ressemblance, la méthode TLM présente à peu près les mêmes
limitations que la méthode FDTD. Elle requiert l’emploi des PML de Bérenger [III.18] afin
de limiter son domaine de calcul. Toutefois, il n’est pas aisé de mettre en place ces conditions
aux frontières en méthode TLM à cause de problèmes d’instabilités [III.31]. D’après [III.35],
il semblerait que ces instabilités pourraient venir de solutions non physiques [III.36], [III.37]
engendrées par le modèle TLM. Toutefois, de récents travaux [III.35] ont largement
contribué à améliorer la stabilité des PML en méthode TLM. En outre, comme toute méthode
volumique elle n’est pas non plus adaptée au calcul direct de champs lointains. Ses
principales sources d’erreurs sont également l’erreur de résolution spatiale, l’erreur de
troncature temporelle (phénomène de Gibbs) ainsi que la dispersion numérique. Il existe des
techniques (maillage variable, par bloc ou non-orthogonal [III.38]) qui permettent de palier
certaines erreurs de résolution spatiales au prix d’une complication locale de l’algorithme.
Comme pour la méthode FDTD, il faut choisir une taille maximale de la maille (∆lmax) qui
soit environ égale à λmin/10, afin de pouvoir négliger les effets dispersifs de la méthode. Il est
à noter que Nielsen et Hoefer ont montré en [III.39] que la dispersion était minimale dans la
direction axiale et maximale suivant la diagonale. La situation est inversée par rapport à la
méthode FDTD.
Enfin, malgré leurs analogies, il existe bien des différences entre ces deux méthodes.
Par exemple, dans un milieu en présence d’un diélectrique, le nœud HSCN [III.40] de la
méthode TLM semble être le plus précis d’après [III.31]. Cependant, le nombre de variables à
stocker n’est pas le même, six pour la méthode FDTD contre quinze pour le nœud HSCN et
dix-huit pour le nœud SCN. Enfin, le fait d’avoir le champ électrique et magnétique aux
mêmes endroits en méthode TLM peut s’avérer être un avantage certain lors de la prise en
compte de parois ou de milieux anisotropes.
Quant à la méthode des éléments finis, elle ressemble moins à la méthode TLM que la
méthode FDTD. Toutefois, elle présente certaines limitations comparables à celles de la
méthode TLM.
Chapitre III : Etat de l’art des méthodes numériques en électromagnétisme
104
CONCLUSION
La méthode TLM peut donc avoir de nombreux atouts qui lui donnent une place de
choix, dans notre contexte, par rapport aux autres méthodes d’analyse numérique. Cette
méthode présente quelques désavantages concernant la dispersion de la vitesse de propagation
liée à la valeur de la maille de base qui affecte les hautes fréquences. Notons aussi que le
temps de calcul et la taille de mémoire nécessaires augmentent considérablement avec la
complexité de la structure étudiée.
Néanmoins cette méthode présente des avantages dont les principaux sont listés cidessous :
- L’aspect dynamique permet de suivre à tout instant en tout point l’évolution d’une
onde électromagnétique se propageant dans des milieux très divers, transistoire inclus.
- La caractérisation d’un dispositif se fait sur une large bande de fréquence en une seule
simulation et ce grâce à l’application de la transformé de Fourier de la réponse
temporelle.
- Le caractère condensé de la cellule permet une meilleure description des frontières et
moins de dispersion que la FDTD pour la même taille de cellule. Cependant, au prix
d'un plus grand nombre de variables.
- Etant synchronisée sur un phénomène de propagation d'ondes locales, la TLM travaille
toujours exactement au pas temporel maximum donné par le critère de Courrant-LéviStrauss.
- Grâce à la formulation de généralisation des nœuds issue directement des équations de
Maxwell [III.32], cette méthode peut donc traiter des milieux anisotropes et dispersifs
tout en permettant l’étude de structures complexes.
L'enjeu de nos travaux sur le plan de la modélisation est de proposer aux concepteurs, un
simulateur électromagnétique capable de prendre en compte un grand nombre de phénomènes
physiques dont les logiciels commerciaux actuels ne sont pas en mesure de prédire. La
méthode TLM a été efficace pour modéliser des structures électromagnétiques comportant des
milieux complexes. Mais elle n’est pas capable de modéliser sous sa forme classique les
ferrites ou tout autre matériau anisotrope et dispersif. D’où la nécessité de modifier cette
méthode afin de traiter tout type de matériau. Ceci fera l’objet du chapitre suivant.
Chapitre III : Etat de l’art des méthodes numériques en électromagnétisme
105
RÉFÉRENCES DU CHAPITRE III
[III.1] A. Maréchal, M. Françon, "Diffraction-Structure des Images-," Influence de la
cohérence de la lumière, Masson & Cie Editeurs, Paris, Chap. I, 1970.
[III.2] A. Taflove, "The Finite-Difference Time-Domain Method," Computational
Electrodynamics, Artech House, Boston-London, 1995.
[III.3] D. G. Swanson Jr, W. J. R. Hoefer, "Microwave Circuit Modeling Using
Electromagnetic Field Simulation," Artech House, Boston-London, pp. 67-73, 2003.
[III.4] P. P. Silvester, R. L. Ferrari, "Finite elements for electrical engineers," Cambridge
University Press, New-York, 1983.
[III.5] J. H. Wang, "Generalized Moment Methods in Electromagnetics," Wiley Interscience,
1991.
[III.6] D. P. Bouche, F. A. Molinet, R. Mittra, "Asymptotic and Hybrid Techniques for
Electromagnetic Scattering," Proceedings of the IEEE, vol. 81, n°12, pp. 1658-1684, Dec.
1993.
[III.7] P. H. Pathak, "High-Frequency Techniques for Antenna Analysis," Proceedings of
the IEEE, vol. 80, n°1, pp. 44-65, Jan. 1992.
[III.8] R. F. Harrington, "Field Computation by Moment Methods," IEEE PRESS Series on
Electromagnetic Waves, 1993.
[III.9] N. N. Wang, J. H. Richmond, M. C. Gilreath, "Sinusoidal Reaction Formulation for
Radiation and Scattering from Conducting Surfaces," IEEE Trans. on Ant. and Prop., vol.
AP-23, pp. 376-382, May 1975.
[III.10] A. Wexler, "Solution of Waveguide Discontinuities by Modal Analysis," IEEE
Trans. MTT, vol. MTT-15, n°9, pp. 508-517, Sept. 1967.
[III.11] R. S. B. Worm, R. Pregla, "Hybrid-Mode Analysis of Arbitrarily Shaped Planar
Microwave Structures by the Method of Lines," IEEE Trans. MTT, vol. MTT-32, n°2, pp.
191-196, Feb. 1984.
[III.12] R. H. Jansen, "The Spectral-Domain Approach for Microwave Integrated Circuits,"
IEEE Trans. MTT, vol. MTT-33, n°10, pp. 1043-1056, Oct. 1985.
[III.13] K. S. Yee, "Numerical solution of initial boundary value problem involving
Maxwell’s equations in isotropic media," IEEE Trans. on Ant. and Prop., vol. 14, n°3, pp.
302-307, May 1966.
[III.14] A. Taflove, M. E. Brodwin, "Numerical Solution of Steady-State Electromagnetic
Scattering Problems Using the Time-Dependent Maxwell’s Equations," IEEE Trans. MTT,
vol. MMT-23, n°8, pp. 623-630, Aug. 1975.
Chapitre III : Etat de l’art des méthodes numériques en électromagnétisme
106
[III.15] T. Weiland, "A Discretization Method for the Solution of Maxwell’s Equations for
Six-Component Fields," Electronics and Communication (AEU), vol. 31, pp. 116, 1977.
[III.16] G. Mur, "Absorbing boundary conditions for the finite difference approximation of
the time domain electromagnetic field equations," IEEE Trans. on Electromagnetic
Compatibility, vol. 23, n°4, pp. 377-382, Nov. 1981.
[III.17] R. L. Higdon, "Absorbing boundary conditions for difference approximations to the
multi-dimensional wave equation," Mathematics of Computation, vol. 47, n°176, pp. 437-459,
Oct. 1986.
[III.18] J. P. Bérenger, "A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic
waves," J. Comp. Phys., vol. 114, n°2, pp. 110-117, Oct. 1994.
[III.19] O. M. Ramahi, "Near- and Far-Field Calculations in FDTD Simulations Using
Kirchoff Surface Integral Representation," IEEE Trans. on Ant. and Prop., vol. 45, n°5, pp.
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[III.20] S. M. Foroughipour, K. P. Esselle, "The Theory of a Singularity-Enhanced FDTD
Method for Diagonal Metal Edges," IEEE Trans. on Ant. and Prop., vol. 51, n°2, pp. 312-321,
Feb. 2003.
[III.21] T. G. Jurgens, A. Taflove, K. Umashankar, T. G. Moore, "Finite-Difference TimeDomain Modeling of Curved Surfaces," IEEE Trans. on Ant. and Prop., vol. 40, n°4, pp. 357366, April 1992.
[III.22] R. Yoshimura, N. Oshiman, "Edge-based finite element approach to the simulation
of geolectromagnetic induction in a 3-D sphere," Geophys. Res. Lett., 29(3), 1039–1043,
2002.
[III.23] L. W. Pearson, R. A. Whitaker, L. J. Bahrmasel, "An exact radiation boundary
condition for the finite-element solution of electromagnetic scattering on an open domain,"
IEEE Transactions on Magnetics, vol. 27, n°5, pp. 3982-3985, Sept. 1991.
[III.24] D. Jiao, J.-M. Jin, "A General Approach for the stability Analysis of Time-Domain
Finite Element Method," IEEE Ant. And Prop. Society International Symposuim, vol. 4, pp.
506-509, July 2001.
[III.25] J.-F. Lee, R. Lee, A. Cangellaris, "Time-Domain Finite-Element Methods," IEEE
Trans. on Ant. and Prop., vol. 45, n°3, pp. 430-442, March 1997.
[III.26] Z. Lou, D. Correia, J.-M. Jin, "Second-Order Perfectly Matched Layers for the
Time-Domain Finite-Element Method," IEEE Transactions on Ant. And Prop., vol. 55, n°3,
pp. 1000-1004, March 2007.
[III.27] P. B. Johns, R. L. Beurle, "Numerical solution of 2-dimensional scattering problems
using a transmission-line matrix," Proc. IEE, vol. 118, n°9, pp. 1203-1208, Sept. 1971.
[III.28] W. J. R. Hoefer, "The Transmission-Line Matrix Method-Theory and Applications,"
IEEE Trans. MTT, vol. MTT-33, n°10, pp. 882-893, Oct. 1985.
Chapitre III : Etat de l’art des méthodes numériques en électromagnétisme
107
[III.29] P. B. Johns, "A Symmetrical Condensed Node for the TLM Method," IEEE Trans.
MTT, vol. MTT-35, n°4, pp. 370-377, April 1987.
[III.30] N.M. Peña Traslavina, "Contribution au développement de conditions aux limites
absorbantes pour la méthode TLM avec applications à l’analyse de circuits hyperfréquences,"
thèse présentée devant l’Université de Rennes1, Rennes, France, Déc. 1997.
[III.31] S. Le Maguer, "Développements de nouvelles procédures numériques pour la
modélisation TLM : Application à la caractérisation de circuits plaqués et de structures à
symétrie de révolution en bande millimétrique," thèse présentée devant l’Université de
Bretagne Occidentale, Brest, France, Nov. 1998.
[III.32] N. Peña, M. M. Ney, "A general formulation of a three-dimensional TLM condensed
node with the modelling of electric and magnetic losses and current sources," ACES 96
conference proceeding, pp. 262-269, March 1996.
[III.33] M. M. Ney, "Méthodes Numériques en Electromagnétisme," Cours de DEA Sciences
et Technologies des Télécommunications à l’Université de Bretagne Occidentale, Brest,
France, année 2006-2007.
[III.34] Site internet : http://www.faustcorp.com, Nov. 2004.
[III.35] S. Le Maguer, M. M. Ney, "Extended PML-TLM node : an efficient approach for
full-wave analysis of open structures," Int. Journal of Numerical Modelling, vol. 14, pp. 129144, 2001.
[III.36] D. R. Lynch, K. D. Paulsen, "Origin of Vector Parasites in Numerical Maxwell
Solutions," IEEE Trans. MTT, vol. MTT-39, n°3, pp. 383-394, March 1991.
[III.37] M. Krumpholz, P. Russer, "On the Dispersion in TLM and FDTD," IEEE Trans.
Microwave Theory Tech., vol. MTT-42, n°7, pp. 1275-1279, July 1994.
[III.38] Z. Lee, "Contributions aux techniques de maillages irréguliers dans la méthode
TLM : Applications au calcul électromagnétique de structures à détails fins et interfaces noncartésiennes," thèse présentée devant l’Université de Bretagne Occidentale, Brest, France,
Juin 2005.
[III.39] J. Nielsen et W. Hoefer, "A Complete Dispersion Analysis of the Condensed Node
TLM Mesh," IEEE Transactions on Magnetics, vol. 27, n°5, pp. 3982-3985, Sept. 1991.
[III.40] R. Scaramuzza, A. J. Lowery, "Hybrid symmetrical condensed node for the TLM
method," Electronics Letters, vol. 26, n°23, pp. 1947-1948, Nov. 1990.
CHAPITRE IV
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
112
Quatrième Chapitre
EXTENSION DE LA METHODE TLM AUX MILIEUX ANISOTROPES ET
DISPERSIFS
113
I. Méthode d’insertion d’un milieu dans la TLM
114
I.1. Matériaux isotropes et dispersifs
a. Equations de bases et cellule TLM 3D
b. Échantillonnage
c. Les champs au centre
d. Maxwell Faraday
e. Mise en forme
114
114
117
119
120
122
I.2. Matériaux anisotropes et dispersifs
a. Equations de bases
b. Maxwell-Ampère
c. Maxwell-Faraday
123
123
124
127
I.3 Mise en forme finale du tenseur
129
I.4 Détail de l’algorithme pour le SCN
130
II. Présentation détaillée de l’algorithme d’insertion dans le TLM
133
II.1. Approximation de Prony
133
II.2. Transformé en z bilinéaire
134
II.3. Filtrage numérique
136
Conclusion
141
Références du chapitre IV
142
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
113
Quatrième Chapitre
Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes
et dispersifs
Dans ce chapitre, nous allons décrire le développement nécessaire pour que la TLM
puisse traiter les milieux les plus généraux possible. En effet, la TLM, dans sa forme
classique, est efficace lorsqu’il s’agit d’un milieu simple dont les paramètres sont
indépendants de la fréquence et de la direction spatiale. Néanmoins, les milieux complexes,
comme les milieux dispersifs et anisotropes dont les paramètres dépendent de la fréquence et
de la direction spatiale, nécessitent un traitement différent pour prendre en compte cette
variation.
Ainsi, nous allons détailler la méthode d’insertion d’un milieu anisotrope et dispersif
inspirée de la technique développée par John Paul au cours de ses articles sur de tels sujets
[IV.1], [IV.2], [IV.3] qui envisagent une description de cette insertion par analogie avec les
lignes de transmission et la théorie des circuits.
Le but de ce chapitre est donc de dégager une technique unifiée de dérivation d’un
nœud TLM 3D capable de simuler tout type de matériau, c'est-à-dire un milieu à la fois
dispersif et anisotrope. Cependant, contrairement à l'approche suivie par Johns, la nouvelle
cellule sera construite de façon fondamentale selon les équations de Maxwell [IV.4].
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
114
I. METHODE D’INSERTION D’UN MILIEU DANS LA TLM
Nous commençons par détailler la méthode de modélisation d’un milieu isotrope et
dispersif, ensuite nous généralisons cette méthode pour obtenir le tenseur général décrivant le
matériau anisotrope et dispersif. Par la suite, nous effectuons un filtrage numérique pour
pouvoir simuler ce tenseur dans le domaine de travail de la TLM, soit le domaine temporel.
Ce filtre sera réalisé après utilisation de la méthode d’approximation de Prony et la
transformée en z bilinéaire. La validation de cette méthode pour plusieurs types de matériaux
sera donnée dans le dernier chapitre.
I. 1. Matériaux isotropes et dispersifs
Nous allons commencer par la première publication proposée par J. Paul [IV.1] qui ne
concerne que les milieux dispersifs. Toutefois, peu de choses changeront lorsque nous
voudrons étendre cette technique aux milieux anisotropes, et c’est ce que nous verrons dans la
partie suivante.
I.1.a. Equations de bases et cellule TLM 3D
Les équations de base qui régissent l’évolution temporelle des champs électrique E et
magnétique H dans un milieu dispersif sont les suivantes
 ∇× H   J ef   σ e ∗ E  ∂  ε 0 E + ε 0 χ e ∗ E 
+  
 −   = 

−∇× E   J mf  σ m ∗ H  ∂t  µ0 H + µ0 χ m ∗ H 
(IV.1)
où l’ensemble des paramètres sont définis dans les tableaux IV.1 et IV.2.
Nous remarquons que les différences principales avec une dérivation classique se
trouvent dans les contributions du membre de droite avec des convolutions qui seront traitées
au moyen d’un filtre numérique au centre de la cellule à n∆t. Nous allons procéder à la
dérivation normale en réservant ce qui se passe au centre à cet instant à un traitement
spécifique. Enfin, il faut identifier les relations entre les tensions de bras de la cellule TLM et
les champs (formalisme TLM). La procédure est directement basée sur les équations de
Maxwell.
Symbole mathématique
Signification
×
Produit vectoriel
*
Produit de convolution
A
Vecteur A
A
A
ɺɺɺ
Tenseur matriciel A(3 × 3) ou
(6 × 6)
Vecteur exprimé dans le
domaine fréquentiel
Tableau IV.1. Signification des symboles mathématiques.
115
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
Symbole
Quantité physique
Unité SI
E
Champ électrique
V m-1
H
Champ magnétique
A m-1
D
Densité de flux de champ électrique
C m-2
B
Densité de flux de champ magnétique
Wb m-2
Je
Densité de courant électrique
A m-2
Jm
Densité de potentiel magnétique
V m-2
Jef
Densité de courant électrique libre
A m-2
Jmf
Densité de courant magnétique libre
V m-2
χe
Susceptibilité électrique
-
χm
Susceptibilité magnétique
-
ξ
Paramètre du couplage électromagnétique
-
ζ
Paramètre du couplage magnétoélectrique
-
σe
Conductivité électrique
S m-1
σm
Résistivité magnétique
Ω m-1
σem
Conductivité du couplage électromagnétique
m-1
σme
Résistivité du couplage magnétoélectrique
m-1
ε0
Permittivité du vide
F m-1
µ0
Perméabilité du vide
H m-1
Tableau IV.2. Récapitulatif des quantités physiques employées.
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
116
En développant complètement l’équation de base (IV.1), nous trouvons :
 ∂H z ∂H y 
−


∂
y
∂z 

 ∂H x ∂H z 
−


 ε 0 Ex 
 ε 0 χe   Ex   J ex 
∂x   σ e   Ex 
 ∂z






ε χ  E  J 
ε 0 Ey 
 ∂H y ∂H x   σ e   Ey 

 0 e   y   ey 
 ∂x − ∂y   σ   E 


ε χ   E  J 
E
ε

 =  e  ∗  z  + ∂  0 z  + ∂  0 e  *  z  +  ez 
 ∂Ez ∂Ey  σ m   H x  ∂t  µ0 H x  ∂t  µ0 χm   H x   J mx 
+
−

 µ0 H y 
 µ0 χm   H y   J my 
∂z  σ m   H y 
 ∂y
   



    
 ∂Ex ∂Ez  σ m   H z 
 µ0 H z 
 µ0 χm   H z   J mz 
+
−

∂x 
 ∂z
 ∂Ey ∂Ex 
+
−

∂y 
 ∂x
(IV.1 bis)
Considérons la première composante de la première relation rotationnelle de l’équation (IV.1
bis), nous avons :
∂H z ∂H y
∂
−
= σ e * Ex + (ε 0 Ex + ε 0 χ e * Ex ) + J ex
∂y
∂z
∂t
(IV.2)
Il faut alors être capable d’échantillonner l’équation (IV.2) de façon à obtenir un formalisme
TLM. Pour cela, considérons un des plans principaux du nœud TLM (Figure IV.1) dans
lequel les grandeurs ci-dessus sont concernées:
x
E1x
z
y
H1z
E x2
E 9x
x
E13
H y2
H9y
x
E12
∆y
z
H12
∆z
Figure IV.1. Position des échantillons de champs pour l'approximation de la loi de Maxwell-Ampère
dans le plan (YOZ).
Les contours et les surfaces dans les autres plans principaux (XOZ) et (XOY) sont détaillés
dans l’annexe D.
117
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
I.1.b. Échantillonnage
Pour cela, échantillonnons l’équation (IV.2) entre (n-1/2)∆t et n∆t tout en conservant
en dehors de cette opération les termes qui sont sous forme de convolution. Ainsi, d’après la
figure IV.1 nous trouvons :
( n − 12 )
 ( H12z − H1z ) ( H 2y − H 9y ) 
2
n− 1


+
=
∆ x  Ex( n ) − Eɶ x( 2 ) 


∆y
∆z
Z0c0 ∆ x∆t


σ
∂
1
n
+ e ∗ ∆xEx( ) + J ex( n ) +
χ e ∗ ∆xEx( n)
∆x
Z0c0 ∆x ∂t
(
)
(IV.3)
En manipulant cette équation, nous obtenons :
 ∆z ( H12z − H1z ) + ∆y ( H 2y − H 9y )


+
( n − 12 )
=
2∆z∆y
n− 1
∆ x  Ex( n ) − Eɶ x( 2 ) 


Z 0c0 ∆ x∆t
∆y∆z
∆y∆z ∂
σ e ∗ ∆xEx( n) + ∆y∆zJ ex( n) +
χ e ∗ ∆xEx( n)
∆x
Z 0c0 ∆x ∂t
(
)
(IV.4)
En supposant les échantillons des champs constants le long de chaque côté, il est
possible d’approcher les circulations des champs électrique par une moyenne de leurs valeurs.
La valeur de Eɶ x est ainsi calculée sur la base d’une moyenne des composantes des champs sur
les bords de la cellule, auxquelles s’ajoutent des composantes de champs au centre (cf.
Annexe F .III.1 et H). Nous avons alors :
E1x + E12x + E2x + E9x + Yˆsx E13x
ɶ
Ex =
4 + Yˆsx
(IV.5)
avec :
 ∆j ∆k 
Yˆsi = 4 
− 1
 s∆i

où
s =2c0∆t
(IV.6)
Ainsi l’équation (IV.4), devient :
4∆z∆y
n− 1
∆ x  Ex( n ) − Eɶ x( 2 ) 


s∆ x
∆y∆z
∆y∆z ∂
+ Z0
σ e ∗ ∆xEx( n) + Z0 ∆y∆zJ ex( n) + 2∆t
χ e ∗ ∆xEx( n)
∆x
s∆x ∂t
Z0 ∆z ( H12z − H1z ) + ∆y ( H 2y − H 9y ) 
( n− 12 )
=
(
)
(IV.7)
118
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
puis :
Z 0 ∆z ( H12z − H1z ) + ∆y ( H 2y − H 9y ) 
+ Z0
( n − 12 )
=
2
n− 1
∆ x  Ex( n) − Eɶ x( 2 ) 


Cx
∆y∆z
∆t ∂
σ e ∗ ∆xEx( n) + Z0 ∆y∆zJ ex( n ) +
χ e ∗ ∆xEx( n)
∆x
Cx ∂t
(
)
(IV.8)
en tenant compte du fait que :
2
Yˆsx + 4 =
Cx
et
Cx =
s ∆x
2 ∆y ∆z
(IV.9)
et que :
1
1
∆ x E x( n ) = ∆ x E 2x + E12x + E1x + E9x + Yˆsx E13x
2
Cx
[
]
( n −1 / 2 )
+
[ (
)
(
1
Z 0 ∆ z H 12z − H 1z + ∆ y H 2y − H 9y
2
)]
( n −1 / 2 )
(IV.10)
nous trouvons ainsi, après passage en tension (cf. Annexe F. III.1):
(
)
( n − 12 )
2
=
∆ xEx( n )
2 a1 + a12 + a2 + a9 + Yˆsx a13
Cx
+Z0
∆y∆z
∆t ∂
σ e ∗ ∆xEx( n) + Z 0 ∆y∆zJ ex( n ) +
χ e ∗ ∆xEx( n)
∆x
Cx ∂t
(
)
(IV.11)
ce qui donne :
(
)
( n − 12 )
Cx a1 + a12 + a2 + a9 + Yˆsx a13
= ∆ xEx( n )
+ Z 0Cx
Z
∆y∆z
∆t ∂
σ e ∗ ∆xEx( n) + 0 Cx ∆y∆zJ ex( n) +
χ e ∗ ∆xEx( n)
2∆x
2
2 ∂t
(
)
(IV.12)
Pour des raisons de simplification de la programmation, nous préférons poser alors :
Z
 ∆ xEx( n ) 
= − 0 Cx ∆y∆zJ ex( n )
source
2
(IV.13)
ce qui nous donne :
∆y∆z
∆t ∂
 ∆ xEx( n )  + ∆ xEx( n ) 
= ∆ xEx( n ) + Z0Cx
σ e ∗ ∆xEx( n) +
χ e ∗ ∆xEx( n)
nor
source
2∆x
2 ∂t
(
)
(IV.14)
(
)
( n− 12 )
avec : ∆ xEx( n )  = Cx a1 + a12 + a2 + a9 + Yˆsx a13
nor
(IV.15)
119
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
où le vecteur champ marqué ‘source’ contient les sources éventuelles à cet instant. Quant au
vecteur marqué ‘nor’, ses composantes se calculent à partir des tensions incidentes à l’aide de
l’algorithme TLM classique (cf. Annexe F).
À ce stade nous savons calculer le membre de gauche de l’équation (IV.14) puisqu’il
est constitué d’une partie qui dépend des tensions incidentes et d’une autre qui dépend de la
source que l’on veut injecter dans la simulation. Le réel problème maintenant est de trouver le
champ au centre à n∆t, puisque l’étape suivante de l’algorithme reste inchangée (calcul des
tensions réfléchies en fonction des champs au centre et des tensions incidentes).
I.1.c. Les champs au centre
À partir de la relation (IV.14), nous pouvons poser :
∂
 ∆ xEx( n )  = ∆ xEx( n ) + σ e ∗ ∆xEx( n ) +
χe ∗ ∆xEx( n)
t
∂t
(
)
(IV.16)
avec:
∆ xEx( n)  = ∆ xEx( n)  + ∆ xEx( n) 
t
nor
source
∆y∆z
σ e = Z 0C x
σe
2∆x
∆t
χe = χe
2
(IV.16.a)
(IV.16.b)
(IV.16.c)
où le vecteur de champ marqué « t » correspond au champ « total ».
Dans le domaine de Laplace, nous trouvons :
(1 + σ ex + sχe )
[ ∆ xE
] = ∆ xE
ɺɺɺx t
ɺɺɺx
(IV.17)
où s est la variable.
Ainsi, nous pouvons obtenir le champ au centre à partir de la valeur connue ainsi :
∆ xEx = tex [ ∆ xEx ]t
ɺɺɺ
ɺɺɺ
avec : tex =
(IV.18)
1
(1 + σ ex + sχ e )
(IV.19)
Le problème est donc maintenant de résoudre cette équation. Cela est expliqué ultérieurement
dans ce chapitre et cela dépend bien évidemment du matériau utilisé.
120
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
I.1.d. Maxwell Faraday
Nous allons maintenant suivre la même démarche pour l’équation de MaxwellFaraday qui correspond à la deuxième relation rotationnelle de (IV.1 bis). Considérons à
nouveau la quatrième composante de cette relation:
 ∂E ∂E 
∂H x ∂
−  z − y  − J mx = σ m ∗ H x + µ0
+ ( µ0 χ m ∗ H x )
∂z 
∂t ∂t
 ∂y
(IV.20)
Le plan de la cellule qui concerne les grandeurs pertinentes est illustré à la Figure IV.2. où
nous y voyons l'échantillonnage spatial des composantes des champs.
x
H 5x
z
E 5z
y
Hx4
H x8
x
H13
E y4
E 8y
H7x
S
∆y
E z7
∆z
Figure IV.2. Position des échantillons de champs pour l'approximation de la loi de Maxwell-Faraday
dans le plan (YOZ).
L'équation (IV.20) peut alors s'écrire :
 ( E7z − E5z ) ( E8y − E4y ) 

−
−
∆z
 ∆y

+
σm
Z0 ∆x
( n − 12 )
(n)
∗ Z0 ∆xH x( ) + J mx
+
n
=
2
n− 1
Z0 ∆ x  H x( n ) − Hɶ x( 2 ) 


c0 ∆x∆t
1 ∂
χ m ∗ Z0 ∆xH x( n)
c0 ∆x ∂t
(
)
(IV.21)
que nous pouvons mettre sous la forme :
4∆z∆y
n− 1
Z0 ∆ x  H x( n ) − Hɶ x( 2 ) 


s∆x
σ ∆z∆y
∆z∆y ∂
(n)
χ m ∗ Z0 ∆xH x( n)
+ m
∗ Z 0 ∆xH x( n) + ∆z∆yJ mx
+
Z0 ∆x
c0 ∆x ∂t
 −∆z ( E7z − E5z ) + ∆y ( E8y − E4y ) 


( n − 12 )
=
(
)
(IV.22)
Il est de même possible d’approcher les circulations du champ magnétique par une moyenne.
La valeur de Hɶ x est ainsi calculée sur la base d’une moyenne des composantes des champs sur
les bords de la cellule, auxquelles s’ajoutent des composantes de champs au centre (cf.
Annexe F .III.1 et H). Nous utilisons les notations suivantes:
H x + H 8x + H 5x + H 7x + Zˆ sx H16x
Hɶ x = 4
4 + Zˆ sx
(IV.23)
121
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
 ∆y∆z  2
Zˆ sx = 4 
− 1=
−4
 s∆x
 Dx
Dx =
et
s∆x
= Cx
2∆ y ∆ z
(IV.24)
Nous trouvons donc :
 −∆z ( E7z − E5z ) + ∆y ( E8y − E4y ) 


+
(n− 12 )
=
2
n− 1
Z 0 ∆ x  H x( n ) − Hɶ x( 2 ) 


Dx
∆z∆y
∆t ∂
(n)
+
σ m ∗ Z 0 ∆xH x( n) + ∆z∆yJ mx
χ m ∗ Z 0 ∆xH x( n)
Z 0 ∆x
Dx ∂t
(
)
(IV.25)
Nous en déduisons que :
(
)
( n − 12 )
2
2 a5 − a7 − a4 + a8 + Zˆ sx a16
=
Z 0 ∆ xH x( n )
Dx
+
∆z∆y
∆t ∂
(n)
σ m ∗ Z 0 ∆xH x( n) + ∆z∆yJ mx
+
χ e ∗ Z 0 ∆xH x( n)
Z 0 ∆x
Dx ∂t
(
)
(IV.26)
et donc :
(
)
( n − 12 )
Dx a5 − a7 − a4 + a8 + Zˆ sx a16
= Z 0 ∆ xH x( n )
+
Dx ∆z ∆y
D
∆t ∂
(n)
σ m ∗ Z0 ∆xH x( n) + x ∆z∆yJ mx
+
χ m ∗ Z 0 ∆xH x( n)
2Z 0 ∆x
2
2 ∂t
(
)
(IV.27)
Ainsi, en posant :
1
(n)
 Z0 ∆ xH x( n ) 
= − Dx ∆y∆zJ mx
source
2
( n − 12 )
 Z0 ∆ xH x( n )  = Dx a5 − a7 − a4 + a8 + Zˆ sx a16
nor
∆y∆z
σ m = Dx
σm
2Z0 ∆x
∆t
χm = χm
2
(n)
(n)
 Z0 ∆ xH x  +  Z0 ∆ xH x 
=  Z0 ∆ xH x( n ) 
(
nor
(IV.28.a)
)
source
(IV.28.b)
(IV.28.c)
(IV.28.d)
(IV.28.e)
r
nous trouvons l’expression suivante :
∂
 Z0 ∆ xH x( n )  = Z0 ∆ xH x( n ) + σ m ∗ Z0 ∆xH x( n) +
χ m ∗ Z0 ∆xH x( n )
r
∂t
(
)
(IV.29)
ce qui va donner en appliquant la transformée de Laplace :
Z0 ∆ xH x = tmx [ Z0 ∆ xH x ]r
ɺɺɺ
ɺɺɺ
(IV.30)
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
avec : tmx =
122
1
(1 + σ m + sχ m )
(IV.31)
Nous avons donc le pendant de l’expression (IV.18). Nous suivons la même démarche pour
les autres composantes des relations rotationnelles en considérant les autres plans de la cellule
suivant les équations de Maxwell-Farday et Maxwell-Ampère.
I.1.e. Mise en forme
Nous signalons que nous n’avons pour l’instant qu’un milieu isotrope et dispersif. Il
sera donc représenté par la matrice :
⋯
0   ∆ xEx 
 ∆ xEx 
tex 0
 ∆ yE 
0 t
  ∆ yE 
y 
ey
y 


 
 ∆ zEz 

tez ⋱
⋮   ∆ zEz 

 =
*

⋱ tmx
 Z0 ∆ xH x 
⋮
  Z0 ∆ xH x 
 Z0 ∆ yH y 

tmy 0   Z0 ∆ yH y 



 

⋯
0 tmz   Z0 ∆ zH z t
 Z0 ∆ zH z up  0
(IV.32)
où l’indice « up », diminutif du terme anglais « updated » (mise à jour), correspond au champ
corrigé. La matrice décrivant le matériau isotrope est donc diagonale. Dans le cas d’un milieu
anisotrope, elle devra contenir des éléments non diagonaux.
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
123
I.2. Matériaux anisotropes et dispersifs
I.2.a. Equations de bases
Dans un cas plus général, le problème complet se présente ainsi :
ξr 

ε
χ



σ
E
∗
0
e
e
c0   E 
 ∇ × H   J ef  ∂  ε 0 E 
∂
∗ 
 −   =   + 
+ 

ζ
J
∂
t


∂
t

 H 
µ
H
σ
−∇×
E
∗
H


r

  mf 
 0   m

 c µ0 χ m 
 0

(IV.33)
où l’ensemble des paramètres sont définis dans les tableaux IV.1 et IV.2.
Ainsi, en développant complètement ceux-ci, nous trouvons :
 ∂H z ∂H y 
−


∂
y
∂z 

 ∂H x ∂H z 
−


  Ex 
 ε 0 Ex  σ exx σ exy σ exz
∂x   J ex 
 ∂z
 yx
  




ε 0 Ey  σ e σ eyy σ eyz
0
 ∂H y ∂H x   J ey 
  Ey 

 ∂x − ∂y   J 
zx
zy
zz
  Ez 
ε E  

 −  ez  = ∂  0 z  + σ e σ e σ e
∗ 
 ∂Ez ∂E y   J mx  ∂t  µ0 H x  
σ mxx σ mxy σ mxz   H x 
+
−

 µ0 H y  
∂z   J my 
0
σ myx σ myy σ myz   H y 
 ∂y

  
 


 ∂Ex ∂Ez   J mz 
σ mzx σ mzy σ mzz   H z 
 µ0 H z  
+
−

∂x 
 ∂z
 ∂Ey ∂Ex 
+
−

∂y 
 ∂x
 ε 0 χ exx ε 0 χ exy ε 0 χ exz ξrxx c0 ξrxy c0 ξrxz c0   Ex 


yx
ε 0 χ eyy ε 0 χ eyz ξryx c0 ξryy c0 ξryz c0   Ey 
 ε0χe
zx
ε 0 χ ezy ε 0 χ ezz ξrzx c0 ξrzy c0 ξrzz c0   Ez 
∂  ε0 χe
+  xx
∗ 
∂t ζ r c0 ζ rxy c0 ζ rxz c0 µ0 χ mxx µ0 χ mxy µ0 χ mxz   H x 
ζ yx c ζ yy c ζ yz c µ χ yx µ χ yy µ χ yz   H 
r
0
r
0
0 m
0 m
0 m
 rzx 0
  y
zy
zz
zx
zy
zz
ζ r c0 ζ r c0 ζ r c0 µ0 χ m µ0 χ m µ0 χ m   H z 
(IV.34)
Signalons également que les éléments constitutifs du tenseur sont ici définis dans le
domaine fréquentiel. Nous allons maintenant développer deux lignes de cette équation : une
ligne pour Mawxell-Ampère, l’autre pour Maxwell-Faraday. Ensuite, nous effectuerons
l'étape ultime: le schéma numérique complet sera déduit de ces deux résultats.
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
124
I.2.b. Maxwell-Ampère
Nous extrayons donc de (IV.28) l’équation suivante :
∂H z ∂H y
∂E
−
− J ex = ε 0 x + (σ exx ∗ Ex + σ exy ∗ Ey + σ exz ∗ Ez )
∂y
∂z
∂t
+

∂
1 xx
xx
xy
xz
xy
xz
ε 0 ( χ e ∗ Ex + χ e ∗ E y + χ e ∗ Ez ) + (ξr ∗ H x + ξr ∗ H y + ξr ∗ H z ) 
∂t 
c0

(IV.35)
Nous échantillonnons alors cette équation en suivant la disposition de la Figure IV.1. Il vient
alors :
 ( H12z − H1z ) ( H 2y − H 9y ) 


+
∆y
∆z


( n − 12 )
=
2
n− 1
∆ x  Ex( n ) − Eɶ x( 2 ) 


Z0 c0 ∆ x∆t
 σ xx
σ xy
σ xz
n
n
n 
+  e ∗ ∆xEx( ) + e ∗ ∆yEy( ) + e ∗ ∆zEz( )  + J ex( n )
∆y
∆z
 ∆x

xy
xz
 χ exx

n 
( n) χe
( n) χ e
∗
∆
+
∗
∆
+
∗ ∆zEz( ) 
xE
yE


x
y
∆y
∆z
1 ∂  ∆x


+

xy
xz
Z0c0 ∂t   ξrxx
ξ
ξ
n 
n
n
+ 
∗ Z0 ∆xH x( ) + r ∗ Z0 ∆yH y( ) + r ∗ Z 0 ∆zH z( ) 
∆y
∆z
  ∆x

(IV.36)
En manipulant cette équation, nous obtenons :
 Z0 ∆z ( H12z − H1z ) + Z0 ∆y ( H 2y − H 9y ) 


( n− 12 )
=
2∆y∆z  ( n) ɶ ( n− 12 ) 
∆x Ex − Ex

c0 ∆x∆t 
 σ xx

σ xy
σ xz
+ Z0 ∆y∆z  e ∗∆xEx( n) + e ∗ ∆yEy( n) + e ∗ ∆zEz( n)  + Z0 ∆y∆zJ ex( n)
∆y
∆z
 ∆x

xy
xz
 χ exx

n 
( n) χ e
( n) χ e
∗
∆
xE
+
∗
∆
yE
+
∗∆zEz( ) 


x
y
∆y
∆z
∆y∆z ∂  ∆x


+

xy
xz
c0 ∂t   ξrxx
( n) ξr
( n) ξr
( n) 
+ 
∗ Z0 ∆xH x +
∗ Z0 ∆yH y +
∗ Z 0∆zH z 
∆y
∆z
 
  ∆x
(IV.37)
125
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
soit encore :
 Z0 ∆z ( H12z − H1z ) + Z 0∆y ( H 2y − H9y ) 


+ Z0
( n − 12 )
=
4∆y∆z
n− 1
∆x  Ex( n) − Eɶ x( 2 ) 

2c0∆x∆t 
xy
xz

∆y∆z  ∆xσ exx
∆y∆z
( n ) ∆xσ e
( n) ∆xσ e
xE
yE
∗∆
+
∗
∆
+
∗ ∆zEz( n)  + Z0
∆xJ ex( n ) (IV.38)

x
y
∆x  ∆x
∆y
∆z
∆x

xy
xz
 ∆xχ exx

n 
( n ) ∆x χ e
( n) ∆x χ e
∗∆
xE
+
∗
∆
yE
+
∗ ∆zEz( ) 


x
y
∆y
∆z
∆y∆z ∂  ∆x


+2∆t


xx
xy
xz
2c0∆t ∆x ∂t  ∆xξr
∆xξr
∆xξr
n
n
n 
+ 
∗ Z0 ∆xH x( ) +
∗ Z0 ∆yH y( ) +
∗ Z 0 ∆zH z( ) 
∆y
∆z
  ∆x

Nous posons comme dans (IV.5) et (IV.6) :
2
Yˆsx + 4 =
Cx
et
Cx =
s∆x
avec s = 2c0 ∆t
2∆y∆z
(IV.39)
E + E + E + E + Yˆsx E
Eɶ x =
4 + Yˆsx
x
1
x
12
x
2
x
9
x
13
(IV.40)
avec :
 ∆j ∆k 
Yˆsi = 4 
− 1
 s ∆i

(IV.41)
Ainsi l’équation (IV.38) devient :
 Z0 ∆z ( H12z − H1z ) + Z 0 ∆y ( H 2y − H9y ) 


+ Z0
( n − 12 )
=
2
n− 1
∆x  Ex( n ) − Eɶ x( 2 ) 


Cx
xy
xz

∆y∆z  ∆xσ exx
∆y∆z
( n ) ∆xσ e
( n) ∆xσ e
∗∆
+
∗
∆
+
∗ ∆zEz( n )  + Z0
∆xJ ex( n )
xE
yE

x
y
∆x  ∆x
∆y
∆z
∆
x

xy
xz
 ∆xχ exx


( n ) ∆x χ e
( n ) ∆x χ e
∗∆
xE
+
∗∆
yE
+
∗ ∆zEz( n ) 


x
y
∆y
∆z
∆t ∂  ∆x


+


xx
xy
xz
Cx ∂t  ∆xξr
( n ) ∆xξ r
( n) ∆xξr
( n)  
+ 
∗ Z0 ∆xH x +
∗ Z 0 ∆yH y +
∗ Z0 ∆zH z 
∆y
∆z
 
  ∆x
(IV.41)
ce qui donne, après passage en tension :
126
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
Cx ( a1 + a12 + a2 + a9 )
( n− 12 )
= ∆xEx( n )
xy
xz

Cx ∆y∆z  ∆xσ exx
C ∆y∆z
( n) ∆xσ e
( n ) ∆xσ e
+ Z0
∗ ∆xEx +
∗∆yEy +
∗∆zEz( n)  + Z 0 x
∆xJ ex( n )

2 ∆x  ∆x
2 ∆x
∆y
∆z

xy
xz
 ∆xχ exx


( n ) ∆x χ e
( n) ∆x χ e
xE
yE
∗∆
+
∗
∆
+
∗ ∆zEz( n ) 


x
y
∆y
∆z
∆t ∂  ∆x


+

xz
xx
xy
2 ∂t  ∆xξr

∆xξr
∆xξr
+ 
∗ Z 0 ∆zH z( n ) 
∗ Z0 ∆xH x( n ) +
∗ Z0 ∆yH y( n ) +
∆z
∆y

  ∆x
(IV.42)
Nous posons ensuite :
σ eij = Z 0 ∆kCiσ eij pour i ≠ j
∆j ∆k
σ eii = Z 0
Ciσ eii autrement
∆i
∆
t
∆i ij
χ eij =
χe
2 ∆j
∆t ∆i ij
ξ rij =
ξr
2 ∆j
Z
∆y∆z
 ∆ xEx( n ) 
= − 0 Cx
∆xJ ex( n )
source
2
∆x
 ∆xEx( n )  = Cx ( a1 + a12 + a2 + a9 )(
nor
(IV.43.a)
(IV.43.b)
(IV.43.c)
(IV.43.d)
(IV.43.e)
n− 12 )
(IV.43.f)
∆xEx(n)  + ∆xEx( n) 
= ∆xEx( n) 
nor
source
r
(IV.43.g)
Nous avons donc :
 ∆xEx( n )  = ∆xEx( n ) + σ exx ∗ ∆xEx( n ) + σ exy ∗ ∆yE y( n ) + σ exz ∗ ∆zEz( n )
r
(
)
( n)
( n)
( n)
xy
xz
 xx
∂  χ e ∗ ∆xEx + χ e ∗ ∆yE y + χ e ∗ ∆zEz
+
∂t  + ξ xx ∗ Z ∆xH ( n ) + ξ xy ∗ Z ∆yH ( n ) + ξ xz ∗ Z ∆zH ( n )
r
0
x
r
0
y
r
0
z

(
)




(IV.44)
En faisant de cette expression une transformée de Laplace, nous trouvons :
[ ∆xEx ]r = (1 + σ exx + sχexx ) ∆xEx + (σ exy + sχ exy ) ∆yEy + (σ exz + sχexz ) ∆zEz
+ sξr xx Z0 ∆xH x + sξrxy Z0 ∆yH y + sξrxz Z 0∆zH z
(IV.45)
Ceci constitue l’expression généralisée de (IV.17). Cependant, pour obtenir la matrice
complète que nous allons devoir inverser. Il faut d’abord trouver les expressions sous la forme
de Maxwell-Faraday.
127
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
I.2.c. Maxwell-Faraday
Extrayons de l’équation (IV.34) la ligne suivante :
−
∂Ez ∂Ey
∂H x
+
− J mx = µ0
+ (σ mxx ∗ H x + σ mxy ∗ H y + σ mxz ∗ H z )
∂y
∂z
∂t
+

∂  1 xx
xy
xz
xx
xy
xz
 (ζ r ∗ Ex + ζ r ∗ Ey + ζ r ∗ Ez ) + µ0 ( χ m ∗ H x + χ m ∗ H y + χ m ∗ H z ) 
∂t  c0

(IV.45)
Nous pouvons mettre (IV.38) sous la forme (en suivant la disposition de la figure IV.2) :
4∆z∆y
n− 1
Z0 ∆ x  H x( n ) − Hɶ x( 2 ) 


s∆x
xy
xz

∆z∆y  σ mxx
( n) σ m
( n) σ m
(n)
+
∗
Z
∆
xH
+
∗
Z
∆
yH
+
∗ Z0 ∆zH z( n)  + ∆z∆yJ mx

0
x
0
y
∆y
∆z
Z0  ∆x

 −∆z ( E7z − E5z ) + ∆y ( E8y − E4y ) 


( n − 12 )
=
 χ mxx

χ xy
χ xz
∗ Z 0 ∆xH x( n) + m ∗ Z0 ∆yH y( n ) + m ∗ Z0 ∆zH z( n )  

∆y
∆z
∆z∆y ∂  ∆x

+


xx
xy
xz
c0 ∂t  ζ r

ζ
ζ
+ 

∗ ∆xEx( n ) + r ∗ ∆yEy( n) + r ∗ ∆zEz( n ) 
∆y
∆z
  ∆x


(IV.46)
Nous allons utiliser les notations suivantes :
H x + H 8x + H 5x + H 7x + Zˆ sx H16x
Hɶ x = 4
4 + Zˆ sx
(IV.47)
 ∆y∆z  2
Zˆ sx = 4 
− 1=
−4
 s∆x
 Dx
et
Dx =
s∆x
= Cx
2∆ y ∆ z
(IV.48)
Nous trouvons donc :
−∆z ( E7z − E5z ) + ∆y ( E8y − E4y ) 


+
( n− 12 )
=
2
n− 1
Z0 ∆ x  H x( n ) − Hɶ x( 2 ) 


Dx
xy
xz
 ∆z∆y
∆z∆y  ∆xσ mxx
( n) ∆xσ m
( n) ∆xσ m
(n)
∗
Z
∆
xH
+
∗
Z
∆
yH
+
∗ Z0 ∆zH z( n )  +
Z0 ∆xJ mx

0
x
0
y
Z0 ∆x  ∆x
∆y
∆z
 Z 0 ∆x
xy
xz
 ∆xχ mxx

( n) ∆x χ m
( n ) ∆x χ m
∗
Z
∆
xH
+
∗
Z
∆
yH
+
∗ Z0 ∆zH z( n) 

0
x
0
y
∆y
∆z
∆t ∂  ∆x

+


xx
xy
xz
Dx ∂t  ∆xζ r
( n) ∆xζ r
( n ) ∆xζ r
( n) 
+ 

∗∆xEx +
∗ ∆yEy +
∗∆zEz 
∆y
∆z
  ∆x


(IV.49)
128
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
Nous en déduisons que :
(
)
Dx a5 − a7 − a4 + a8 + Zˆ sx a16 = Z 0 ∆ xH x( n )
+
 ∆xσ mxx
 ∆z∆y
∆xσ mxy
∆xσ mxz
∆z∆y
(n)
∗ Z0 ∆xH x( n) +
∗ Z 0 ∆yH y( n) +
∗ Z 0 ∆zH z( n)  +
Dx 
Dx Z0 ∆xJ mx
2Z 0 ∆x  ∆x
∆y
∆z
2
∆
Z
x

0
 ∆xχ mxx

∆x χ mxy
∆xχ mxz
∗ Z 0 ∆xH x( n) +
∗ Z 0 ∆yH y( n) +
∗ Z 0 ∆zH z( n)  

∆y
∆z
∆t ∂  ∆x

+


xx
xy
xz
2 ∂t  ∆xζ r
( n ) ∆xζ r
( n ) ∆xζ r
( n) 
+ 

∗ ∆xEx +
∗ ∆yEy +
∗ ∆zEz 
∆y
∆z
  ∆x


(IV.50)
À ce stade, nous posons :
σ mij =
∆k ∆j
∆i
Di σ mij
2 Z 0 ∆i ∆j
∆t ∆i ij
χ mij =
χm
2 ∆j
ζ rij =
(IV.51.a)
(IV.51.b)
∆t ∆i ij
ζr
2∆j
(IV.51.c)
∆z ∆y
( n)
 Z 0 ∆xH x( n ) 
Dx Z 0 ∆xJ mx
=−
source
2Z 0 ∆x
 Z 0 ∆ xH x( n)  = Dx a5 − a7 − a4 + a8 + Zˆ sx a16
nor
(n)
 Z0 ∆xH x  +  Z0 ∆xH x( n) 
=  Z0 ∆xH x(n ) 
(
nor
(IV.51.d)
)
source
(IV.51.e)
(IV.51.f)
t
L'équation (IV.50) devient alors:
(
 Z0 ∆ xH x( n )  = Z 0 ∆xH x( n ) + σ mxx ∗ Z0 ∆xH x( n) + σ mxy ∗ Z0 ∆yH y( n) + σ mxz ∗ Z0 ∆zH z( n )
t
(
( n)
( n)
( n)
xy
xz
 xx
∂  χ m ∗ Z0 ∆xH x + χ m ∗ Z0 ∆yH y + χ m ∗ Z0 ∆zH z
+
∂t + ζ xx ∗ ∆xE ( n ) + ζ xy ∗ ∆yE ( n ) + ζ xz ∗ ∆zE ( n )
r
x
r
y
r
z

(
)
)
)


(IV.52)
En appliquant la transformée de Laplace, (IV.52) devient :
[ Z0 ∆ xH x ]t = Z0 ∆xH x (1 + σ mxx + s χmxx ) + Z0 ∆yH y (σ mxy + s χ mxy ) + Z0 ∆zH z (σ mxz + s χmxz )
+ s (ζ rxx ∆xEx + ζ rxy ∆yE y + ζ rxz ∆zEz )
(IV.53)
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
129
I.3. Mise en forme finale du tenseur
Nous pouvons mettre alors le problème sous la forme suivante :
  ∆ xEx 
σ exy + s χexy
σ exz + s χexz
sξrxx
sξrxy
sξrxz
 ∆ xEx  1 + σ exx + s χexx

 
 ∆ yE 

yx
yx
yy
yy
yz
yz
yx
yy
yz
1 + σ e + s χe
sξr
sξr
sξr
σ e + s χe
y 
 σ e + s χe
  ∆ yE y 

  ∆ zEz 
 ∆ zEz   σ ezx + s χezx
sξ rzx
sξrzy
sξrzz
σ ezy + s χezy 1 + σ ezz + s χezz
*
=




xx
xy
xz
xx
xx
xy
xy
xz
xz  
1 + σ m + sχm
sζ r
sζ r
sζ r
σ m + sχm
σ m + s χ m   Z0 ∆ xH x 
 Z0 ∆ xH x  
 Z0 ∆ yH y  
sζ ryx
sζ ryy
sζ ryz
σ myx + s χ myx 1 + σ myy + s χ myy σ myz + s χ myz   Z0 ∆ yH y 

 



sζ rzx
sζ rzy
sζ rzz
σ mzx + s χ mzx
σ mzy + s χ mzy 1 + σ mzz + s χ mzz   Z0 ∆ zH z 
 Z0 ∆ zH z  t 
(IV.54)
c’est-à-dire :
 ∆ xEx 
 ∆ xEx 
 ∆ yE 
 ∆ yE 
y 
y 


 ∆ zEz 
 ∆ zEz 

 = ([ I d ] + [σ ] + s [ M ]) * 

 Z0 ∆ xH x 
 Z0 ∆ xH x 
 Z 0 ∆ yH y 
 Z 0 ∆ yH y 




 Z0 ∆ zH z  t
 Z0 ∆ zH z 
(IV.55)
avec :
σ exx σ exy σ exz

 yx

yy
yz
0
σ e σ e σ e

σ ezx σ ezy σ ezz

[σ ] = 

σ mxx σ mxy σ mxz 


σ myx σ myy σ myz 
0


σ mzx σ mzy σ mzz 

(IV.56)
χ

χ
χ
[M ] = 
ζ
ζ

ζ
xx
e
yx
e
zx
e
xx
r
yx
r
zx
r
χ
χ
χ
ζ
ζ
ζ
xy
e
yy
e
zy
e
xy
r
yy
r
zy
r
χ
χ
χ
ζ
ζ
ζ
xz
e
yz
e
zz
e
xz
r
yz
r
zz
r
ξr
ξr yx
ξrzx
χ mxx
χ myx
χ mzx
xx
ξr
ξr yy
ξrzy
χ mxy
χ myy
χ mzy
xy
ξr 

ξr yz 
ξrzz 

χ mxz 
χ myz 

χ mzz 
xz
(IV.57)
Nous posons alors :
[t ]
−1
= ([ I d ] + [σ ] + s [ M ])
−1
(IV.58)
130
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
L’équation du champ corrigé dits « updated » donne :
 ∆ xEx 
 ∆ xEx 
 ∆ yE 
 ∆ yE 
y 
y 


 ∆ zEz 


∆
zE
−1
z

 = [ t ]matériau * 

 Z0 ∆ xH x 
 Z 0 ∆ xH x 
 Z 0 ∆ yH y 
 Z 0 ∆ yH y 




 Z0 ∆ zH z up
 Z 0 ∆ zH z t
(IV.59)
Il suffit donc d’appliquer (IV.43) et (IV.51) pour obtenir les grandeurs du tenseur de (IV.55).
La résolution dépend ensuite du matériau. Nous remarquons la similitude avec (IV.32) qui est
le cas particulier du milieu isotrope.
I.4. Détail de l’algorithme pour le SCN
Nous allons maintenant extraire l’essentiel des développements précédents de façon à en
permettre l’insertion dans l’algorithme TLM pour le nœud SCN.
Calcul des champs dits « total » au centre de la cellule
La première étape est de calculer les champs dits « total » au centre de la cellule. Ils
s’expriment ainsi :
( n)
( n)
( n)
 ∆ xEx 
 ∆ xEx 
 ∆ xEx 
 ∆ yE 
 ∆ yE 
 ∆ yE 
y 
y 
y 



 ∆ zEz 
 ∆ zEz 
 ∆ zEz 

 =
 +

 Z 0 ∆ xH x 
 Z0 ∆ xH x 
 Z 0 ∆ xH x 
 Z0 ∆ yH y 
 Z 0 ∆ yH y 
 Z0 ∆ yH y 






 Z 0 ∆ zH z t
 Z0 ∆ zH z  nor  Z 0 ∆ zH z  source
(IV.60)
Rappelons que le vecteur champ marqué ‘source’ contient les sources éventuelles et les
composantes des champs marquées ‘nor’ se calculent à partir des tensions incidentes ainsi (cf.
Annexe F):
(
)
(
)
= C ( a + a + a + a + Yˆ a )
(
)
= C ( a + a + a + a + Yˆ a )
(
)
= D ( − a + a + a − a + Zˆ a )
(
)
= D ( a − a − a + a + Zˆ a )
(
)
= D ( − a + a + a − a + Zˆ a )
( n − 12 )
 ∆xEx( n )  = C x a1 + a12 + a2 + a9 + Yˆsx a13
nor
 ∆yE y( n ) 
nor
 ∆zE z( n ) 
nor
 Z 0 ∆xH x( n ) 
nor
 Z 0 ∆yH y( n ) 
nor
 Z 0 ∆zH z( n ) 
nor
n− 12
y
3
11
4
8
sy 14
z
5
7
6
10
sz 15
n − 12
n− 12
x
4
8
5
7
sx 16
n − 12
y
2
9
6
10
sy 17
n − 12
z
1
12
3
11
sz 18
(IV.61.a)
(IV.61.b)
(IV.61.c)
(IV.61.d)
(IV.61.e)
(IV.61.f)
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
avec:
Ci = Di =
s ∆i
2 ∆j ∆k
et
131
2
2
Zˆ si + 4 =
, Yˆsi + 4 =
, s = 2c0 ∆t
Di
Ci
(IV.62)
Calcul des champs corrigés dits « updated » au centre de la cellule
A l’issue de ce calcul nous avons les champs au centre de la cellule. La méthode que nous
proposons permet d’en déduire les champs corrigés au centre de la cellule dits « updated » :
 ∆ xEx 
 ∆ xEx 
 ∆ yE 
 ∆ yE 
y 
y 


 ∆ zEz 
 ∆ zEz 
−1

 = [ t ]matériau * 

 Z0 ∆ xH x 
 Z 0 ∆ xH x 
 Z 0 ∆ yH y 
 Z 0 ∆ yH y 




 Z0 ∆ zH z up
 Z 0 ∆ zH z t
où le tenseur [t ]matériau décrit le matériau étudié dans le domaine fréquentiel.
Calcul des tensions réfléchies
(IV.63)
−1
A partir du calcul des champs corrigés au centre, il est aisé d’obtenir les tensions réfléchies à
(n+1/2)∆t. Nous utilisons alors les formules de l’algorithme TLM classique :
 b1 
b 
 2
 b3 
 
 b4 
 b5 
 
 b6 
b 
 7
 b8 
b 
 9
b10 
 
 b11 
b12 
 
b13 
b 
 14 
b15 
b 
 16 
b17 
 
b18 
( n+ 12 )
 ∆xEx + Z 0 ∆zH z 
 ∆xE − Z ∆yH 
x
0
y

 ∆yE y − Z 0 ∆zH z 


 ∆yE y + Z 0 ∆xH x 
 ∆zEz − Z 0 ∆xH x 


 ∆zEz + Z 0 ∆yH y 
 ∆zE + Z ∆xH 
z
0
x


 ∆yE y − Z 0 ∆xH x 
 ∆xE + Z ∆yH 
x
0
y
=
 ∆zEz − Z 0 ∆yH y 


 ∆yE y + Z 0 ∆zH z 
 ∆xEx − Z 0 ∆zH z 


∆xEx




∆yE y


∆zEz




Z 0 ∆xH x


Z 0 ∆yH y




Z 0 ∆zH z


(n)
 a12 
a 
 9
 a11 
 
 a8 
 a7 
 
 a10 
a 
 5
 a4 
a 
− 2 
 a6 
 
 a3 
 a1 
 
 a13 
a 
 14 
 a15 
a 
 16 
 a17 
 
 a18 
( n− 12 )
(IV.64)
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
132
Le reste de l’algorithme reste inchangé, la modification est uniquement apportée au
calcul du champ au centre de la cellule. Un traitement spécifique est consacré pour traiter la
convolution au moyen d’un filtre numérique. C’est cette méthode, qui a également demandé
beaucoup de temps de programmation, qui sera l’objet de la partie suivante.
133
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
II. PRESENTATION DETAILLEE DE L’ALGORITHME D’INSERTION
DANS LA TLM
Il peut être difficile d'obtenir des fonctions d’approximation appropriées pour décrire
les propriétés des matériaux complexes. Une technique particulièrement adaptée pour cela est
la méthode de Prony qui identifie la meilleure approximation d'une fonction en utilisant des
fonctions de base amorties exponentielles. L'utilité de la méthode de Prony dans les
problèmes électromagnétiques a été reconnue dans le milieu des années soixante-dix [IV.5] et
a également été combinée avec la méthode FDTD [IV.6].
Dans ce qui suit, nous mettons en œuvre la technique du filtrage numérique. Celle-ci
repose sur la démarche suivante : nous partons d’abord d’un ensemble de points connus
analytiquement dans le domaine fréquentiel soit, dans notre cas, les éléments du tenseur
[t ]matériau . Ensuite, par utilisation de la méthode Prony dans ce même domaine, nous faisons
−1
une approximation de chaque terme du tenseur. Enfin nous parvenons à en faire un filtre
numérique en réalisant une transformation en z bilinéaire pour passer dans le domaine
temporel, domaine de la méthode TLM.
II.1. Approximation de Prony
L’approximation de Prony est une méthode d'approximation d'une fonction donnée par
une fonction rationnelle. En ce sens, elle est un peu analogue à un développement limité qui
approche la fonction selon les mêmes critères à l'aide d'un polynôme.
Dans notre cas, Il s'avère utile de pouvoir approcher le mieux possible chaque élément
du tenseur [t] à l'aide d'une fraction rationnelle ayant la forme suivante :
F ( s) =
bNP (s − sz 0 )(s − sz1 )(s − sz 2 )…(s − sz ( NP−1) )
(s − s p0 )(s − s p1 )(s − s p 2 )…(s − s p ( NP−1) )
(IV.65)
Soit
{
pour
un
ensemble
de
}
NF
points
dans
le
domaine
fréquentiel F0 , F1 , F2 ,..., FNF −1 , la méthode de Prony [IV.7] donne une approximation des
moindres carrés en utilisant la fonction de base exponentielle. Le point de départ pour cette
procédure est l’approximation:
f (t ) =
NP − 1
∑Ce
i=0
s
pi
t
i
(IV.66)
Avec NP le nombre de pôles, Ci le résidu et
La transformée de Laplace donne :
s pi
la fréquence complexe du niéme pôle.
NP − 1
F (s) =
NP − 1
∑
i=0
Ci
=
s − s pi
∑bs
i
∑as
i
i=0
NP
i=0
i
i
(IV. 67)
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
134
L'équation (IV.67) est modifiée en augmentant l’ordre du numérateur par un pour des raisons
mathématiques. L’objectif de la méthode de Prony est d'identifier les coefficients de Padé ai et
bi :
NP
F ( s) =
∑b s
i
∑a s
i
i =0
NP
i =0
i
i
−1
=
b0 + b1 s + b2 s 2 + … + bNP −1 S NP + bNP s NP
−1
a 0 + a1 s + a 2 s 2 + … + a NP −1 S NP + s NP
(IV.68)
Les ai et bi peuvent être déterminés suivant la procédure décrite dans [IV.7]. La résolution des
racines du numérateur et du dénominateur conduit à l’équation suivante :
NP−1
F (s) =
bNP ∏ (s − szi )
i=0
NP−1
∏ (s − s
pi
)
i =0
=
bNP (s − sz 0 )(s − sz1 )(s − sz 2 ) …(s − sz ( NP−1) )
(s − s p0 )(s − s p1 )(s − s p2 )…(s − s p( NP−1) )
(IV.69)
Nous retrouvons bien l’équation (IV.65) sous forme de fraction rationnelle. Une fois
l’approximation est obtenue sous la forme exprimée dans (IV.69), le passage dans le domaine
temporel se fait à l’aide de la transformation en z bilinéaire.
II.2. Transformé en z bilinéaire
Nous partons généralement d’une solution analogique, connue par sa fonction de
transfert H(s) et nous cherchons une solution numérique H(z) équivalente. La transformée en z
n’est pas utilisée car elle n’assure pas le respect du théorème d’échantillonnage. Nous lui
préférons la transformation bilinéaire obtenue qui est définie par la formule suivante :
H (s) → H (z )
(IV.70)
Cette transformation permet d’effectuer une transformation ("mapping") de l’axe des
imaginaires purs du plan complexe sur le cercle unité. L’avantage de cette transformation
découle de sa causalité, qui rend l’algorithme de la TLM inconditionnellement stable.
Le passage au domaine temporel s’effectue en appliquant la transformation suivante :
Ζ
s = jω 
→k
1 − z −1
1 + z −1
(IV. 71)
avec z −1 nombre complexe équivalent à un retard de t et k =
théorème de Shannon.
2
assurant le respect du
∆t
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
135
En utilisant (IV.71), nous pouvons écrire :
Ζ
α zi (
( s − s zi ) →
1 − z −1β zi
)
1 + z −1
(IV. 72)
où
α zi =
2 + s zi ∆t
2 − s zi ∆t
β zi =
2 − s zi ∆t
∆t
et
(IV. 73)
En appliquant (IV.72) à (IV.69), nous avons :
NP −1
1 − z −1 β zi
bNP ∏ α zi (
)
1 + z −1
i =0
F ( z) =
NP −1
1 − z −1β pi
)
α pi (
∏
1 + z −1
i =0
NP −1 

α zi (1 + z −1 )   NP −1  1 − z −1β zi 

= bNP ∏ 

−1  ∏ 
−1

i =0 
α pi (1 + z )   i =0 1 − z β pi 

NP −1 

α   NP −1  1 − z −1 β zi 
=  bNP ∏  zi   ∏ 

−1


i =0 
α pi   i =0 1 − z β pi 

NP −1 
1 − z −1β zi 
= B0 ∏ 

−1
i =0 
1 − z β pi 
NP
=
∑B z
−i
∑Az
−i
i =0
NP
i =0
i
i
(IV. 74)
avec
NP −1
α
B0 = bNP ∏  zi

i = 0  α pi




(IV. 75)
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
136
En multipliant le résultat final de (IV.74) et en reconnaissant A0 = 1, la fonction de transfert
devient :
NP
F ( z) =
∑B z
−i
∑A z
−i
i
i =0
NP
=
i
i =0
NP
= B0 +
NP
B0 + ∑ Bi z −i
i =1
NP
1 + ∑ Ai z −i
i =0
∑B z
i =1
NP
' −i
i
1 + ∑ Ai z −i
i =0
(IV. 76)
d’où
Bi' = Bi − B0 Ai
(IV. 77)
II.3. Filtrage numérique
Le but de cette partie est d’extraire la démarche utile à la mise en œuvre du filtre. Ce
filtre a pour but final de corriger les champs calculés Et . Ainsi le champ mis à jour Eup tiendra
compte des propriétés générales du matériau utilisé. Supposons que nous ayons un coefficient
de correction entre le champ dans le vide Et et celui dans le matériau à calculer Eup . Ce
rapport de mise à jour correspond à la fonction de transfert suivante :
F(z) = Eup / Et
(IV. 78)
car nous sommes dans le domaine de la transformée.
A partir de (IV. 76) et (IV. 78), l’équation de la mise à jour du champ devrait être sous la
forme suivante :
NP
Eup = B0 Et +
Et ∑ Bi' z − i
i =1
NP
1 + ∑ Ai z −i
i =0
(IV. 79)
En écrivant le résultat de l’équation du système, dit en anglais state-space, de la façon
suivante:
NP
Eup = B0 Et + ∑ Bi' X i
i =1
(IV. 80)
nous introduisons les termes Xi qui restent à calculer.
137
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
Ainsi, par identification des équations (IV. 79) et (IV.80), nous avons l’équation suivante :
NP
NP
Bi' z −i
i =1
i =1
1 + ∑ Ai z −i
∑ Bi' X i = Et ∑
NP
i =0
(IV. 81)
Ce qui donne de façon itérative les coefficients suivants :
NP
X1 = z−1Et − z−1 ∑ Ai Xi ,
i=1
−1
X 2 = z X1,
X3 = −z −1 X 2 ,⋯, X NP = z −1 X NP−1
(IV. 82)
Ainsi le filtre s’écrit sous la forme matricielle suivante :
Eup = B0 Et +  B1'
B2'
B3'
 X1 
X 
 2
'
⋯ BNP   X 3 


 ⋮ 
 X NP 
(IV. 83)
et
X
 1
 X1 
1
X 
X 
0
 2
 2
 
 X3  = z−1A' ×  X3  + z−1 0 Et
 
 
 
 ⋮ 
 ⋮ 
⋮ 
 XNP 
 XNP 
0
(IV. 84)
− A1 − A2 − A3 … − ANP −1
 1


1
avec A ' = 
1


⋱

1

Ainsi, sa mise à jour se résume en deux étapes:
− ANP 








Eup = B0 Et + Bi' X
X = z −1 A' X + z −11' Et
(IV. 85)
138
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
L’organigramme qui résume le filtrage équivalent est donc représenté ci-dessous :
B0
EErt
1‘
+
z-1
B’
+
+
Eup
A’
Figure IV.3. Organigramme du processus de la correction des champs par filtrage numérique.
Le choix de l’utilisation du filtrage numérique est plus judicieux que celui d’une
simple convolution par rapport à notre problème. En effet, dans le cas d’un filtrage
numérique, si on se place à la kième itération, la correction du champ nécessite la connaissance
des valeurs du champ à la kième -1 et la kième -2 itérations. Par contre, dans le cas d’une
convolution, ceci nécessitera la connaissance de toutes les valeurs du champ à partir de la
première itération jusqu’à la kième -1 itération. Le filtrage numérique est donc moins gourmand
en ressources informatiques et plus rapide.
Les tableaux IV.3 et IV.4 récapitulent les étapes de la méthode de prise en compte des
propriétés générales du matériau étudié.
139
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
Étape
Description
Schéma
y
I
À l'instant (n-1/2)∆t, une excitation
est injectée au moyen de tensions
incidentes (impulsions) sur les ports
de certains nœuds.
a12, a7
z
a3, a6
a11, a10
a9, a8
II
y
Ensuite à l'instant n∆t, une diffusion
se produit localement à ces nœuds.
Le champ électromagnétique est
déterminé au centre des cellules à
partir d’une combinaison linéaire des
tensions incidentes.
E,H
corrigés.
x
b12, b7
b2, b4
z
b3, b6
b11, b10
b9, b8
V
x
z
y
IV
x
E,H
Le champ électromagnétique est
corrigé suivant la technique proposée
en prenant compte des propriétés
anisotropes et dispersives du matériau
étudié.
Puis à l'instant (n+1/2)∆t, des
tensions réfléchies sont générées.
Elles sont calculées à l’aide des
composantes du champ
électromagnétique et des tensions
incidentes.
a1, a5
z
y
III
a2, a4
x
b1, b5
Enfin, les tensions réfléchies
deviennent à leurs tours incidentes
sur les nœuds voisins pour l'itération
suivante.
Tableau IV.3. Étapes de l’algorithme TLM modifié.
140
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
Étape
Description
Schéma / Formule
Tenseur anisotrope et
dispersif
I
[t ]
−1
Les éléments du tenseur
décrivant le matériau sont
connus analytiquement dans le
domaine fréquentiel
= ([ I d ] + [σ ] + s [ M ])
NP −1
Approximation de Prony
II
F ( s) =
Chaque élément du tenseur [t]
est approché sous forme d'une
fraction rationnelle pour
faciliter l’application de la
transformé en z bilinéaire.
∏ (s − s
pi
)
1 − z −1
s = jw 
→ k
1 + z −1
. B.
F ( s ) T

→ F (z)
Filtrage numérique
IV
i =0
NP −1
Ζ
Nous appliquons une
transformé en z bilinéaire
pour passer au domaine
temporel, domaine de solution
de la TLM.
La mise à jour de la correction
des champs au centre de la
cellule se fait par filtrage
numérique. Ce filtrage évite la
procédure de la convolution
qui est gourmande en
ressources informatiques.
bNP ∏ ( s − s zi )
i =0
Transformé en z bilinéaire
III
−1
B0
Er
1‘
+
z-1
B’
+
+
Eup
A’
Tableau IV.4. Étapes de la méthode unifiée et générale pour l’insertion de tout type de matériau dans
l’algorithme de la TLM.
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
141
CONCLUSION
Dans ce chapitre, nous venons de présenter le développement de la méthode pour la
modélisation de milieux généraux comme les milieux dispersifs et anisotropes, les milieux
chiraux, les ferrites ou encore les métamatériaux. Ce développement est basé sur la technique
du filtrage numérique, processus qui sert à corriger le champ au centre des nœuds TLM dans
le matériau à modéliser.
La découverte majeure de la dérivation que nous avons obtenue est que le schéma reste
quasiment inchangé pour les autres nœuds (HSCN et SSCN). L’insertion du schéma dans les
nœuds avancés peut s’avérer facile. Il s’agit de faire attention à quelques coefficients
concernant le calcul du champ au centre à partir des tensions incidentes.
Dans le chapitre suivant, nous allons présenter les résultats des simulations que nous
avons obtenus. Ces simulations concernent des structures électromagnétiques permettant la
validation de cette méthode d’insertion dans l'algorithme TLM pour le nœud SCN. D’abord,
nous avons opté pour une structure de cavité métallique remplie d’un plasma. Ensuite, nous
avons simulé une antenne patch à base de ferrite saturé. Enfin, une validation expérimentale
sera présentée en comparant les résultats de simulation avec ceux de la mesure des paramètres
S d’un guide d’onde rempli partiellement d’un milieu ferrite partiellement aimanté. Ces
mesures ont été réalisées au sein de notre laboratoire où le travail effectué est le fruit de
l’association des compétences en modélisation physique des ferrites et en simulation
électromagnétique.
Chapitre IV : Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et dispersifs
142
RÉFÉRENCES DU CHAPITRE IV
[IV.1] J. Paul, C. Christopoulos, D. W. P. Thomas, "Generalized material models in TLM part 1: Materials with frequency-dependent properties," IEEE Trans. Antennas Propagat., vol.
47, pp. 1528-1534, Oct. 1999.
[IV.2] J. Paul, C. Christopoulos, D. W. P. Thomas, "Generalized material models in TLM part 2: Materials with anisotropic properties," IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 47, pp.
1535-1542, Oct. 1999.
[IV.3] J. Paul, C. Christopoulos, D. W. P. Thomas, "Generalized material models in TLM part 3: Materials with nonlinear properties," IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 50, pp.
997-1004, Jul. 2002.
[IV.4] N. Peña, M. M. Ney, "A general formulation of a three-dimensional TLM condensed
node with the modelling of electric and magnetic losses and current sources," ACES 96
conference proceeding, pp. 262-269, March 1996.
[IV.5] M.L. Van Blaricum, R. Mittra, "A technique for extracting the poles and residues of
a system directly from its transient response, " IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 23, pp.
777 - 781, 1975.
[IV.6] W. L. Ko and R. Mittra, "A combination of FDTD and Prony’s methods for
analyzing microwave integrated circuits, " IEEE Trans. Microwave Theory Tech. vol. 39, pp
2176 - 2181,1991.
[IV.7 ] Brittingharam, J.N., E. K, Miller et J. L. Willows, "Pole extraction from realfrequency information," Proc. IEEE, vol. 68, pp. 263-273, February 1980.
CHAPITRE V
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
146
Cinquième Chapitre
APPLICATION AUX FERRITES PARTIELLEMENT MAGNETISES
PAR LA METHODE TLM MODIFIEE
147
I. Modélisation du plasma par la TLM
148
I.1. Le Plasma
148
I.2. Paramètres caractéristiques
a. Densités électronique et ionique
b. Fréquences propres du plasma
c. Permittivité du plasma
148
148
149
149
I.3. Validation de la méthode de modélisation du plasma
a. Dispositif de test
b. Théorie
c. Modélisation par la TLM
d. Simulations
e. Discussions des résultats
150
150
150
151
153
156
II. Guide d’onde partiellement chargé par un ferrite partiellement aimanté
158
II.1. Dispositif expérimental
158
II.2. Modélisation par la TLM
158
II.3. Analyse modale
a. Analyse modale du guide vide et du guide "chargé"
b. Raccordement des champs aux discontinuités
c. Simulations : Comparaison TLM / Méthode modale
162
162
164
167
II.4. Processus de mesure expérimentale
a. Mesure expérimentale
b. Etalonnage TRL (Thru, Reflect, Line)
c. Comparaison TLM / Mesures
d. Ouvertures
169
169
170
171
172
Conclusion
174
Références du chapitre V
175
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
147
Cinquième Chapitre
Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites
partiellement aimantés
L’objectif de ce chapitre est de valider l’outil théorique développé pour prendre en
compte les propriétés dispersives et anisotropes de certains matériaux.
Nous présentons d’abord les résultats obtenus pour des structures simples à base de
cavités métalliques remplies de plasma, matériau considéré comme isotrope et dispersif.
Ensuite, nous validons la méthode par une confrontation des résultats de simulations
avec ceux obtenus expérimentalement. Pour ce faire, nous comparons les paramètres S d’un
guide rectangulaire partiellement rempli d’un ferrite se trouvant dans plusieurs états
d’aimantation. Enfin, une étude de la conception des composants microondes à base de ferrite
saturé est présentée à travers l’étude des antennes patchs.
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
148
I. MODELISATION DU PLASMA PAR LA TLM
I.1. Le Plasma
Les atomes et les molécules sont composés de noyaux et d'électrons. Les électrons
portent une charge négative. Les ions, qui sont obtenus en retirant un ou plusieurs électrons
aux atomes ou aux molécules, portent des charges positives. Un milieu en phase vapeur
contenant un grand nombre de particules chargées de ce type (électrons et ions) constitue un
plasma.
Les plasmas peuvent être produits de manière artificielle en laboratoire à l'aide d'une
décharge électrique. Lorsqu'un fort champ électrique est appliqué à un gaz ordinaire, les
particules chargées qui le composent sont accélérées. Les particules chargées accélérées de
haute énergie entrent en collision avec des atomes ou des molécules et ainsi ionisent ces
particules neutres en leur retirant des électrons. Les processus d'ionisation se produisent
comme une avalanche permettant la création d’un grand nombre d’espèces chimiques : ions,
électrons et d’espèces excitées. Les plasmas susceptibles d’intéresser l’industrie peuvent être
créés de diverses manières :
- Par décharge en courant continu,
- Par décharge haute fréquence,
- Par décharge microonde.
Cette dernière technique fait rêver les fabricants de panneaux grâce à ses atouts
propres pour le maintien du plasma, qui promettent la simplification de la technologique de
fabrication et l’amélioration de la qualité de tels écrans.
Depuis le début du vingtième siècle, le développement de la physique des plasmas a
permis la découverte de nombreuses applications scientifiques et industrielles. La plus
répandue étant la lampe au néon, qui utilise le principe des tubes à décharge contenant un
plasma de gaz rare ionisé. Ce même principe a été également développé, en utilisant une
technologie plus sophistiquée, pour créer les écrans à plasmas devenus l’un des composants
principaux du marché des panneaux d‘affichage plat et de grande taille.
Le plasma a également contribué au développement de la technologie de gravure et de
dépôt de couches minces, ce qui a permis d’explorer de nouvelles applications dans le
domaine de la microélectronique. Enfin, les radiocommunications grandes distances ont vu le
jour grâce au plasma de l’ionosphère en se basant sur la réflexion d’une onde radio-métrique
sur les hautes couches de l’atmosphère ionisés sous l’effet des rayonnements solaires.
I.2. Paramètres caractéristiques
Les plasmas sont constitués de populations d’électrons, d’ions et de particules neutres
dont les interactions peuvent être décrites par plusieurs paramètres [V.1], citons ceux qui
rentrent dans le cadre de notre travail :
- Densités électronique et ionique
- Fréquences propres du plasma
- Permittivité du plasma
I.2.a. Densités électronique et ionique
La densité est le nombre de particules par unité de volume. Un plasma comprend des
électrons de densité ne, des ions positifs de densité nl, des ions négatifs de densité n_ et une
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
149
concentration de particules neutres (atomes et molécules) de densité Nn. En fait, un plasma est
quasi- neutre [V.2].
Ainsi, nous avons :
ni = ne +n−
Le degré d’ionisation d’un plasma α étant défini par :
α=
ne
ne + N n
I.2.b. Fréquences propres du plasma
Pour chacune des espèces constituant le plasma, une fréquence propre d’oscillation
fondamentale est définie. Parmi elles, la fréquence plasma électronique est considérée comme
une grandeur capitale en physique des plasmas. Par ailleurs, elle est retenue pour la
formulation de notre problème. Cette fréquence est associée à une pulsation plasma
électronique donnée par la relation suivante :
e 2 ne
ε 0 me
ou encore
ωp =
ω p = 56,4(ne ) 2 ne en m −3
1
avec me la masse de l’électron, e sa charge et ne la densité électronique.
En fait, la fréquence plasma électronique exprime la vitesse à laquelle les électrons du
plasma peuvent répondre à des perturbations de potentiel. En effet, si une perturbation de
fréquence telle que ω << ωp, apparaît dans le plasma, alors les électrons peuvent répondre
assez vite pour maintenir la quasi-neutralité du plasma.
I.2.c. Permittivité du plasma
La permittivité d’un plasma ε p est donnée par :
ε p = ε , p − jε , , p
avec
ε,p = 1 −
ω
ν
2
p
2
p
+ ω
et
νp
ε =
ω
,,
 ω p2

ν 2 + ω 2
 p




2
150
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
Ces expressions sont données en fonction de la pulsation plasma ωp, la fréquence de
collisionνp et ω la fréquence de travail.
I.3. Validation de la méthode de modélisation du plasma
I.3.a. Dispositif de test
Pour valider le concept de simulation de la propagation dans le plasma, nous avons
choisi de modéliser un plasma non magnétisé dans une cavité métallique résonnante
parallélépipédique (Figure V.1), la validation se fait par comparaison avec les résultats
théoriques issus d’une analyse électromagnétique exacte de type analytique.
Y
b
x
c
a
Vue en perspective
z
Vue de dessus
Vue de face
c=20 µm
b=1 µm
a=60 µm
x
y
x x
z
z
c=20 µm
Figure V.1. Cavité métallique ayant pour dimensions a=20 mm b=1mm et c=60mm.
Les modes résonnants sont à déterminer en simulant une cavité à vide, qui est
considérée ainsi comme une cavité de référence. Des cavités remplies de plasma sont
simulées et leurs réponses sont comparées à celle de la cavité de référence.
I.3.b. Théorie
Nous pouvons calculer de manière analytique et exacte les fréquences de résonance de
chacun des modes résonnants pour l’ensemble des cavités à partir de la relation suivante :
1
f mnp
2
2
2
c  m   n   p   2
=
.  +   +   
ε r  2a   2b   2l  
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
151
La permittivité relative, évaluée à partir des valeurs de ωp, de νp et de la fréquence de
résonance du mode résonant concerné dans une cavité de référence, apporte sa contribution au
calcul des fréquences de résonance dans les cavités remplies de plasma.
I.3.c. Modélisation par la TLM
Afin de réaliser les simulations permettant de modéliser le plasma, des cavités ayant
pour dimensions 60 × 1 × 20 µm 3 sont utilisées. Pour ces cavités, plusieurs types de plasma
sont testés. Leurs permittivités sont caractérisées par la pulsation plasma ωp et la fréquence de
collisions entre particules νp. Pour les dimensions micrométriques choisies, les échantillons de
plasma testés sont les suivants :
Échantillon n°1 : ωp = 4000 G rad/s, νp = 100 GHz
Échantillon n°2 : ωp = 5640 G rad/s, νp = 100 GHz
Échantillon n°3 : ωp = 6907 G rad/s, νp = 100 GHz
Cette valeur de νp correspond à une pression appliquée au gaz de l’ordre de 100 Torr (0.13332
bar). Elle est conforme aux tendances actuelles de la technologie, qui vise à manipuler un
plasma basse-pression ou encore un plasma à une pression atmosphérique. D’autre part, cette
valeur vérifie, dans ce cas de cavités micrométriques, νp << ω, ω étant la fréquence de travail.
Ce choix de la valeur deνp est justifié par l’approximation souvent utilisée dans les études du
plasma basse-pression. Ceci permet de simplifier l’expression de la permittivité relative du
plasma dont le tenseur de permittivité peut se mettre sous la forme suivante:
κ p

ε p = ε0κ p = ε0 
 0

κp
0 


κ p 
ωp2
avec κ p = 1 − 2 représentant la permittivité relative du plasma.
ω
En ce qui concerne la pulsation plasma, ces valeurs, qui caractérisent dans les échantillons
n°1, n°2 et n°3 correspondent respectivement aux densités électroniques suivantes :
ne1= 5.1015 cm-3, ne2= 10.1015 cm-3, et ne3= 15.1015 cm-3.
Les spectres de permittivité de chaque échantillon sont donnés sur la figure V.2.
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
152
Figure V.2. Permittivités des échantillons de plasma n°1, n°2 et n°3.
Le tenseur de susceptibilité électrique du plasma s’écrit donc sous la forme :
κ p

χe =  0
 0

0 

κ p 0  − [I d ]
0 κ p 
Le plasma peut être traité comme un milieu purement diélectrique, les tenseurs de
conductivité et de susceptibilité magnétique sont donc nul :
0
σ = 0 et χ m = 0
D’après l’équation [IV.19], le tenseur décrivant le plasma s’écrit :
…
0
1 + s.χ e

1 + s.χ e
 0

1 + s.χ e
[t ] plasma = 
1
 ⋮

1

 0
…
0

Le système matriciel inverse se réduit donc à:
[t ] −1 plasma
 1

 1 + s.χ e

 0

=


⋮



 0
…
0
1
1 + s.χ e
1
1 + s.χ e
1
…
0


⋮


0 
1 

0




⋮



1 0

0 1
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
153
Rappelons que le champ électromagnétique dans le plasma doit être corrigé suivant
l’équation suivante :
 ∆ xEx 
 ∆ xEx 
 ∆ yE 
 ∆ yE 
y 
y 


 ∆ zEz 
 ∆ zEz 
−1

 = [t ] plasma * 

 Z0 ∆ xH x 
 Z0 ∆ xH x 
 Z0 ∆ yH y 
 Z0 ∆ yH y 




 Z0 ∆ zH z  up
 Z0 ∆ zH z  t
Or nous pouvons remarquer que le tenseur décrivant le plasma n’affecte que les
termes du champ électrique, les termes de champs magnétiques restent inchangés. Ceci est dû
au fait que la perméabilité du plasma est considéré comme constante, le champ magnétique
est donc calculé suivant la méthode TLM traditionnelle.
La permittivité du plasma étant isotrope, les termes du tenseur sont identiques suivant
les trois axes du système cartésien (O,x,y,z). Le terme à approcher par la méthode de Prony est
la fonction :
1
f ( s) =
, notons que c’est une fonction du premier ordre.
1 + s.χ e
La décomposition, par application de la méthode de Prony, permet l’obtention des
pôles et des zéros qui sont nécessaires aux calculs des coefficients du filtre numérique. La
figure V.3 montre une bonne approximation de l’amplitude et de la phase de la fonction f(s)
pour l’échantillon de plasma n°1.
Figure V.3. Approximation par Prony de la fonction f(s) pour l’échantillon de plasma n°1.
Le modèle du plasma présenté ci-dessus est implémenté dans l’algorithme de la
méthode TLM suivant la méthode du filtrage numérique détaillée dans le chapitre précèdent.
Les résultats dans le domaine fréquentiel sont obtenus par une simple transformée de Fourier
de la réponse temporelle des champs corrigés dans le plasma.
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
154
I.3.d. Simulations
La simulation de ces cavités est réalisée grâce à un réseau de lignes de transmission
ayant une maille de base de 1 µm soit une longueur d’onde dans le vide de λ0=10 µm et un
pas de discrétisation temporelle ∆t de 1.667.10-15s. Le nombre d’itérations utilisées pour
chacune de ces simulations était de 10 000 itérations. Pour chaque cavité, la réponse obtenue
est comparée à celle de la cavité de référence ainsi qu’aux valeurs théoriques attendues.
Pour cette série de cavités, les modes résonnants recherchés sont les modes TE
d’indices 101, 102 et 103. Les réponses de ces cavités remplies d’échantillons de plasma n°1,
n°2 et n°3 sont données sur les figures V.4, V.5, V.6.. Chaque réponse est comparée à celle
de la cavité de référence correspondant à cette série.
Figure V.4. Fréquences de résonance dans la cavité remplie d’un échantillon de plasma n°1 simulées
par la méthode TLM.
Figure V.5. Fréquences de résonance dans la cavité remplie d’un échantillon de plasma n°2 simulées
par la méthode TLM.
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
155
Figure V.6. Fréquences de résonance dans la cavité remplie d’un échantillon de plasma n°3 simulées
par la méthode TLM.
Les calculs théoriques sont récapitulés avec les valeurs correspondantes obtenues par les
simulations dans les tableaux V.1, V.2, et V.3.
Modes
de
résonance
101
102
103
Fréquence [THz] de résonance
d’une cavité vide
(formule analytique)
7.905
9.013
10.607
Fréquence [THz]
de résonance de la
cavité de plasma
(formule analytique)
Fréquence [THz]
de résonance de la
cavité de plasma
(TLM)
Erreur
relative
[%]
7.931
9.036
10.62
7.930
9.035
10.621
0.006
0.004
0.016
Tableau V.1. Comparaison des résultats obtenus par la méthode TLM avec les valeurs théoriques pour
la cavité remplie d’échantillon de plasma n°1.
Modes
de résonance
101
102
103
Fréquence [THz] de
résonance d’une cavité vide
(formule analytique)
7.905
9.013
10.607
Fréquence [THz]
de résonance de la
cavité de plasma
(formule analytique)
7.956
9.058
10.645
Fréquence [THz] Erreur relative
de résonance de la
[%]
cavité de plasma
(TLM)
7.956
0.006
9.055
0.025
10.639
0.056
Tableau V.2. Comparaison des résultats obtenus par la méthode TLM avec les valeurs théoriques pour
la cavité remplie d’échantillon de plasma n°2.
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
Modes
de résonance
101
102
103
Fréquence [THz] de
résonance d’une cavité vide
(formule analytique)
156
Fréquence [THz] de
résonance de la cavité
de plasma
(formule analytique)
Fréquence [THz]
de résonance de la
cavité de plasma
(TLM)
Erreur
relative
[%]
7.981
9.080
10.663
7.979
9.076
10.659
0.018
0.044
0.032
7.905
9.013
10.607
Tableau V.3. Comparaison des résultats obtenus par la méthode TLM avec les valeurs théoriques pour
la cavité remplie d’échantillon de plasma n°3.
I.3.e. Discussions des résultats
Ces réponses permettent d’observer la propagation dans le plasma. Un décalage en fréquence,
pour chacun des modes résonnants, s’est produit par rapport à la réponse la cavité de
référence :
f r (cavité _ plasma ) > f r (cavité _ vide)
De plus, la valeur de ce décalage d augmente au fur et à mesure que ωp augmente. Par
exemple, pour le mode TE102, le décalage d vaut :
d1 = f r (cavité _ plasma) − f r (cavité _ vide) = 9.036 − 9.013 = 0.023 pour l’échantillon n°1,
d2 = f r (cavité _ plasma) − f r (cavité _ vide) = 9.058 − 9.013 = 0.045 pour l’échantillon n°2,
d3 = f r (cavité _ plasma) − f r (cavité _ vide) = 9.080 − 9.013 = 0.067 pour l’échantillon n°3.
Inversement, elle diminue lorsque la fréquence du mode résonant augmente. Ce
comportement coïncide avec le comportement d’une onde se propageant dans un milieu de
type plasma. En effet, ce fonctionnement est la traduction parfaite de l‘expression théorique
de la permittivité relative du plasma :
Quand la fréquence plasma augmente (ω p ր) , la permittivité du plasma diminue (ε p ց) .
Cette dernière étant inversement proportionnelle à la fréquence de résonance, par conséquent
la fréquence de résonance pour les échantillons ayant une fréquence plasma plus élevée sera
plus grande.
D’autre part, la comparaison des valeurs des fréquences de résonance de chacune des
cavités obtenues par la simulation avec celles calculées à l’aide des formules théoriques
permet d’estimer les erreurs relatives commises par ces simulations. La valeur de ces erreurs
n’excède pas 0.1 %. Cette faible valeur d’erreurs de simulation confirme la bonne
modélisation de la propagation de l’onde dans le plasma pour la méthode TLM modifiée.
D’autres simulations ont été effectuées pour des cavités métalliques millimétriques
remplies de plasmas anisotropes dans le but de valider la méthode pour les matériaux
anisotropes et dispersifs.
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
157
Figure V.7. Comparaison des fréquences de résonance simulés sur HFSS (modes 101, 102, 103) et
celles issues de la méthode TLM.
Les propriétés diélectriques d’un plasma supposé anisotrope sont représentées par le
tenseur de permittivité diagonal suivant :
κ p
0
0 


ε p = ε 0κ p =  0 1 + κ p 0 

0
κ p 
 0
La validation se fait en référence avec les résultats du simulateur électromagnétique
HFSS (Figure V.7) La comparaison des valeurs des fréquences de résonance obtenues par
les simulations permet d’estimer les différences relatives commises lors de ces simulations
(Tableau V.4).
Modes
de
résonance
101
102
103
Fréquence
Fréquence [GHz]
[GHz] de
de résonance de
résonance de la
la cavité de
cavité de plasma
plasma
(HFSS)
(TLM)
5.5868
6.3700
7.4955
5.586
6.374
7.503
Difference
relative
[%]
0.014
0.062
0.1
Tableau V.4. Comparaison des résultats obtenus par la méthode TLM avec les valeurs issues de HFSS
pour une cavité millimétrique remplie d’échantillon de plasma supposé anisotrope.
La faible valeur de cette erreur, de l’ordre de 10-3, confirme également la bonne
modélisation de la propagation de l’onde dans un milieu anisotrope et dispersif.
Nous avons ainsi à disposition un outil de calcul efficace permettant la simulation
large bande de dispositifs hyperfréquences comportant des milieux anisotropes et dispersifs.
Une fois le modèle physique du milieu connu sous forme tensorielle, la procédure décrite ici
dans le cadre des plasmas, s'étend assez facilement pour des milieux plus complexes, comme
par exemple les ferrites qu’ils soient saturées (tenseur de Polder) ou partiellement aimantés
(tenseur de Gelin).
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
158
II. GUIDE D’ONDE PARTIELLEMENT CHARGE PAR UN FERRITE
AIMANTE
II.1. Dispositif expérimental
Diélectrique
Ferrite
Figure V.8. Vue en perspective du guide d’onde rempli d’un échantillon de ferrite
Nous proposons d’étudier le cas d’un guide d’onde dont la section est partiellement
chargée par un échantillon de ferrite aimanté (Figure V.8) dans le but de valider la méthode
de prise en compte des propriétés physiques des ferrites quelque soit leur état d’aimantation.
Le dispositif expérimental correspond à une cellule de mesure conçue et réalisée dans notre
laboratoire pour mesurer le tenseur de perméabilité des ferrites [V.3], [V.4]. La caractérisation
des ferrites est basée sur la mesure en réflexion/transmission des paramètres Sij du guide
d’onde. L’anisotropie du matériau est exploitée pour rendre le dispositif non réciproque
( S12 ≠ S 21 ). Nous allons étudier ces paramètres pour plusieurs valeurs du champ magnétique
appliqué.
L’objectif de ce chapitre est de valider le code de calcul développé. Dans un premier
temps, nous comparons celui-ci à la méthode d’analyse modale valable uniquement pour des
structures à géométrie simple, c’est à dire la structure canonique qui est étudiée. Nous passons
ensuite à la confrontation avec la mesure.
Mais avant cela, nous exposons la démarche de la modélisation des ferrites par notre
technique.
II.2. Modélisation par la TLM
Afin de réaliser les simulations permettant de modéliser le plasma, un guide d’onde
rectangulaire ayant pour dimensions a=22.86 cm et b=10.16 cm est utilisé. Le guide est
chargé d’un échantillon de ferrite (fournisseur Ampex) ayant les caractéristiques suivantes :
une aimantation à saturation 4πMs=5000 Gauss, un champ d’anisotropie Ha=200 Oe, une
largeur de raie à mi-hauteur ∆H=500 Oe.
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
159
Déplacement du champ
Ferrite
Figure V.9. L’application d’un champ magnétique statique la long de l’axe Oy provoque un
déplacement de champ le long de l’axe Ox.
Quand nous appliquons un champ statique H0 suivant l’axe Oy, les modes directs
seront différents des modes rétrogrades [V.3], nous parlons alors de non réciprocité de la
structure de propagation. Par conséquent, les éléments de la matrice Sij seront différents, en
particulier la transmission qui diffère selon le sens de propagation du signal. L’effet de
déplacement de champ ne garantit pas forcément la non-réciprocité de la structure de
propagation. Pour assurer la non-réciprocité du guide, la section droite est rendue asymétrique
en rapprochant le ferrite d’une paroi latérale verticale (Figure V.9).
Le tenseur de perméabilité du ferrite aimanté dans la direction Oy prend la forme
suivante:
µ

µ = µ0 0

 jκ
0
µy
0
− jκ 

0 
µ 
avec
µ = µ ' − j µ '' ,
κ = κ ' − jκ ''
et µ y = µ y − jµ '' y
'
Ces éléments du tenseur sont des quantités complexes pour tenir compte des pertes
magnétiques. Les figures V.10 et V.11 mettent en évidence la dispersion de ces paramètres
en ondes centimétriques.
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
160
Figure V.10. Partie réelle des paramètres du tenseur de perméabilité du ferrite en fonction de
la fréquence. Propriétés du ferrite sous test : 4πMs= 5000G, Ha=200 Oe, et ∆H=500 Oe pour un
champ appliqué H0=500 Oe.
Figure V.11. Partie imaginaire des paramètres du tenseur de perméabilité du ferrite en
fonction de la fréquence.
partie imaginaire
Le tenseur de susceptibilité magnétique correspondant s’écrit :
 µ −1
0
− jκ 


χ m = µ0  0
µ y −1
0 
 jκ
0
µ − 1

La permittivité du ferrite est une constante égale à εr= 14.5 et sa conductivité électrique est
supposée nulle, nous avons alors :
σ = 0 et χ e = cste = 13.5
161
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
D’après l’équation [IV.54], le tenseur décrivant les propriétés électromagnétiques du ferrite
s’écrit :
−1
1+ s.χe





1+ s.χe
0






1+ s.χe 


[t] ferrite =
−s. jκ 

1+ s.χm



0
1+ s.χmy



 s. jκ


χ
1
+
s
.
m 


Le système matriciel inverse peut s’écrire sous la forme suivante:
 f1(s)



f1(s)




f
(
s
)
1

[t]−1 ferrite = 


0





0



f3(s)
 f2 (s)


f4 (s)


 − f (s)
f2 (s)
 3
Après identification, nous avons :
f1 ( s) =
1
1 + s.χ e
f 2 (s) =
1 + s.χ m
( s. jκ ) 2 + (1 + s.χ m ) 2
f3 (s) =
jκ
( s. jκ ) + (1 + s.χ m ) 2
f 4 (s) =
1
1 + s.χ my
2
Les approximations des fonctions f1, f2, f3 et f4 sont faites à l’aide de la méthode de
Prony avec différentes valeurs de pôles (Figure V.12). Nous constatons qu’il faut au moins 2
pôles (NP>2) pour avoir un bon accord entre l’approximation et la fonction analytique. Nous
suivons par la suite la même procédure détaillée dans le chapitre précédant pour effectuer le
filtrage numérique dans le but de passer dans le domaine temporel et mettre à jour ainsi les
valeurs du champ électromagnétique dans le ferrite.
Nous avons choisi, dans un premier temps, de comparer notre technique à la méthode
d’analyse modale. Cette méthode est décrite dans le paragraphe suivant.
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
162
Figure V.12. Approximation par la méthode de Prony des éléments du tenseur |f1|, |f2|, |f3| et |f4|.
II.3. Analyse modale
II.3.a. Analyse modale du guide vide et du guide "chargé"
Le calcul des paramètres S de la cellule requiert l'utilisation d'une méthode d'analyse
électromagnétique dynamique. La méthode employée est la méthode modale qui nécessite
tout d'abord le calcul des modes et des champs électromagnétiques dans chaque région de la
cellule (région vide et région contenant le matériau testé). Il s'agit ensuite d'appliquer pour
chaque mode les conditions de continuité des champs dans le plan des discontinuités séparant
les différentes régions.
L'analyse modale du guide vide ne pose aucune difficulté particulière (formulation
analytique). Nous nous intéressons uniquement à l'analyse modale de la portion de guide
partiellement rempli par le ferrite aimanté, dont la section droite est représentée sur la Figure
V.13. Cette dernière est constituée de trois milieux différents : l'air, l'échantillon de ferrite
testé et un diélectrique qui joue le rôle de câle pour positionner le ferrite à l'endroit souhaité
(là où le champ magnétique hyperfréquence est polarisé circulairement). Nous allons établir
l'équation caractéristique d'une telle structure de propagation. Il s'agit tout d'abord de
déterminer dans chaque milieu les champs électrique et magnétique solutions des équations de
Maxwell. Puis d'appliquer les conditions de continuité que doivent satisfaire ces champs aux
différentes interfaces.
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
163
y
ferrite
b
Ho
air
z
o
h
L
a
x
diélectrique
Figure V.13. Section transverse du guide rectangulaire en présence du ferrite testé et d'un support
diélectrique.
Partons de l’équation de Helmholtz dans un milieu ferrimagnétique aimanté de
dimensions infinies :
∆H − grad (div H ) + ω 2 ε o ε f µ H = 0
(V.1)
dont la résolution donne les expressions des champs électrique et magnétique. En appliquant
les équations de continuités des champs, nous obtenons l'équation caractéristique suivante :
[
]
dét [K ] = TH .{µ − TS .[κ .γ + Hfz.TE ]}+ TS . TE.κ .γ + ( µ 2 − κ 2 ) + TE.µ = 0 .
(V.2)
en posant:
S = L − h; E = a − L, TH = tg (γ d h) / γ d , TE = tg (γ o E ) / γ o , TS = tg (k x S ) / k x
où a et b sont les dimensions du guide rectangulaire, h l'épaisseur du diélectrique, e=L-h
l'épaisseur du ferrite, γ 0 et γ d sont respectivement les constantes de propagation dans l'air et
dans le diélectrique. Le développement de l’équation (V.2) est exposé en détails dans
l’annexe I.
À partir de l'équation caractéristique, nous calculons les constantes de propagation
associées aux différents modes de la structure. La plus grande difficulté du problème direct
consiste à localiser les racines complexes de l'équation caractéristique (V.2). La recherche des
zéros de cette équation est réalisée à l'aide d'un algorithme spécifique basé sur une extension
au plan complexe de la méthode dichotomique dont les détails sont donnés dans l’annexe J.
Figure V.14. Représentation schématique de la procédure de calcul utilisée pour la localisation des
racines de la fonction complexe notée F.
(a) Initialisation du calcul. (b) Recherche systématique des racines. (c) Procédure de dichotomie
Cela consiste à scanner le plan complexe avec un carré de petite taille pour localiser la
région où les parties réelle et imaginaire de la fonction complexe étudiée s'annulent chacune
simultanément (Figure V.14.a). Les possibles changements de signes dans la fonction sont
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
164
détectés entre les sommets du carré (Figure V.14.b). Si deux changements de signes sont
détectés pour la partie réelle et pour la partie imaginaire alors un carré de taille quatre fois
plus petite est définie autour du point d'intersection des segments R0R1 et I0I1 (Figure V.14.c).
La procédure continue jusqu'à atteindre une valeur précise de la dimension du carré. Une fois
qu'une racine est localisée, la recherche continue pour les autres solutions. Le calcul s'arrête
quand le nombre de solutions souhaitées est obtenu.
Cette procédure est coûteuse en temps de calcul. Pour réduire le temps de calcul, la
recherche des racines dans le plan complexe est seulement appliquée à la première fréquence.
Pour les fréquences supérieures, la solution à la fréquence précédente est extrapolée pour
définir un carré directement autour de chaque solution. L’algorithme montre une totale
fiabilité.
Figure V.15. Diagramme de dispersion du ferrite : constante de propagation en fonction de la
fréquence.
Nous présentons le diagramme de dispersion en bande X sur la figure V.15. Nous
remarquons l’existence d’un seul mode propagé dans cette bande et de plusieurs modes
d’ordres supérieurs évanescents. Le premier mode d’ordre supérieur apparaît à partir de 9.2
GHz. Nous constatons également l’absence de modes magnétostatiques dans cette bande de
fréquence.
II.3.b. Raccordement des champs aux discontinuités
Les paramètres Sij de la cellule de mesure sont déterminés numériquement en
imposant aux champs électromagnétiques associés à chaque mode des conditions de
continuité supplémentaires dans les plans qui séparent la portion vide du guide et celle
contenant le ferrite (Figure V.16).
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
reference plane
waveguide
Σ TE
I
TE10
165
II
Σ TE
t1(TE 10)
evanescent
modes
ferrite
ρ1(TE 10)
dielectric
ρn T i
tn
Rr
z1
z0
z2
Figure V.16. Coupe longitudinale de la cellule de mesure. Région I : portion vide du guide, région II :
portion contenant l'échantillon de ferrite.
Lorsque l'onde incidente se propage dans la direction des z croissants (sens direct), les
conditions de continuité que doivent satisfaire les composantes tangentielles des champs
électrique et magnétique dans les plans de chaque discontinuité s'écrivent :
dans le plan d'équation z = 0 :
(1 + ρ1 )E y1 +
(1 − ρ1)H x1 −
N
M
M
n=2
i=1
r =1
M
M
∑ρn Eyn = ∑Ti Eyi + ∑R r Eyr exp(γ r z0 )
N
∑
ρn H xn =
n=2
∑
Ti H xi −
i =1
(V.3)
∑R H
r
(
xr exp γ r z0
r =1
)
(V.4)
dans le plan d'équation z = z0 :
M
M
N
i =1
r =1
n =1
∑ Ti E yi exp(− γ i z 0 ) + ∑ R r E yr = ∑ t n E yn
M
∑T H
i
xi
exp(− γ i z 0 ) −
i =1
M
∑R H
r
r =1
(V.5)
N
xr
=
∑t
n H xn
n =1
(V.6)
où γr et γi sont respectivement les constantes de propagation du rème et ième mode dans la
région II du guide, z0 est la longueur de l'échantillon de ferrite; M le nombre de modes pris en
compte dans la région II et N le nombre de modes pris en compte dans la région I. Les termes
ρn, Ti, Rr et tn (n =1,…, N et i, r = 1,..., M) représentent les coefficients de couplage entre les
modes des deux régions.
Le système d'équations obtenu (équations V.3-V.6) peut être simplifié en utilisant les
propriétés d'orthogonalité des modes qui restent valables même si le guide contient un
matériau anisotrope. Puisque la cellule est non-réciproque, les calculs sont effectués une
première fois en considérant que l'onde se propage dans le sens direct (calcul des modes
directs), puis une seconde fois en traitant la propagation en sens inverse (calcul des modes
rétrogrades). Finalement, les paramètres Sij de la cellule de mesure s'expriment:
S11 = ρ1 exp(− 2γ 1 z1 )
S12 = t1′ exp(− γ 1 ( z1 + z 2 ))
S 22 = ρ1′ exp(− 2γ 1 z 2 )
S 21 = t1 exp(− γ 1 ( z1 + z 2 ))
où γ1 est la constante de propagation du mode fondamental dans la portion vide du guide
(région I); ρ1, t1 sont les coefficients de couplage entre les modes fondamentaux directs des
deux régions et ρ'1, t'1 les coefficients de couplage entre les modes fondamentaux rétrogrades
des deux régions.
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
166
Nous allons étudier la convergence des valeurs calculés des paramètres Sij en fonction
du nombre de modes de propagation pris en compte dans les calculs (Figure V.17) pour
garantir la précisons des résultats de cette analyse électromagnétique.
Figure V.17. Convergence des paramètres S en fonction du nombre de mode de propagation.
Nous remarquons qu’à partir de 9 modes de propagation, nous avons une réponse du
paramètre S12 qui converge, ce que l’on confirmera par les résultats expérimentaux. Dans la
suite de cette étude, nous prendrons en compte 10 modes de propagation pour calculer les
paramètres Sij de la structure.
La réponse en fréquence des paramètres Sij est présentée ci-dessous à titre d’exemple
(Figure V.18), elle est obtenue en calculant 10 modes de propagation pour l’échantillon de
ferrite sous test.
Figure V.18. Paramètres Sij en fonction de la fréquence.
Nous pouvons remarquer que les modules du paramètre S12 et de S21 ne sont pas
identiques, nous obtenons donc une cellule non-réciproque. Nous pourrons les comparer avec
les résultats issus de l’approche TLM.
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
167
II.3.cb. Simulations : Comparaison TLM / Méthode modale
Nous nous sommes assurés de la précisons des paramètres S simulés par la méthode
modale, nous pouvons maintenant les comparer avec précision aux résultats issus de la TLM
modifiée.
La simulation de cette structure est réalisée grâce à un réseau de lignes de transmission
ayant une maille de base de 0.2 mm et un pas de discrétisation temporelle ∆t de 0.3334.1012
s. Le nombre d’itérations utilisées pour la simulation est de 10 000 itérations.
Figure V.19. Section transverse du guide en présence du ferrite sous test.
Pour le guide rectangulaire (a= 22.86 mm et b= 10.16 mm) dont la bande monomode
coïncide avec la bande X (8.2 - 12.4 GHz), l’échantillon rectangulaire de ferrite (fournisseur
Ampex) présente une épaisseur de e= L-h=3 mm, une largeur de l=10.15 mm et une longueur
de z0=25 mm (Figure V.19). La lame d’air est considéré égale à h=1mm. Les paramètres S
sont donnés sur les figures V.20.a et V.20.b pour différents états d’aimantation.
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
168
H0=0 Oe
H0=500 Oe
Figure V.20. Comparaison des modules des paramètres Sij calculés par la méthode modale
et ceux issus de la méthode TLM pour différents valeurs du champ appliqué.
(a) Ferrite désaimanté H0=0
(b) Ferrite partiellement saturé H0=500 Oe
Lorsque le champ appliqué H0 est nul (Figure V20.a), le ferrite est désaimanté et la
cellule est réciproque. Les courbes S11 et S22 d’une part, S12 et S21 d’autre part sont donc
confondues sans l’application d’un champ extérieur. Nous constatons un bon accord entre les
résultats issus des deux approches. Dès lors qu’un champ statique est appliqué H0=500 Oe, la
structure devient non-réciproque : les paramètres de transmission S21 et S12 différent (Figure
V20.b).
Le paragraphe suivant expose le processus de mesure et valide l’approche proposée :
plusieurs valeurs de champs sont appliqués entre les pôles de l’électroaimant en faisant varier
l’intensité aux bornes de ce dernier. Les paramètres S mesurés sont comparés avec ceux issus
de l’approche numérique.
169
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
II.4. Processus de mesure expérimentale
II.4.a. Mesure expérimentale
Nous mesurons les paramètres S de la structure à l'aide de l'analyseur de réseau
vectoriel Agilent HP 8510B dans une bande de fréquences allant de 8 à 12 GHz (Figure
V.21). Les données expérimentales issues de ce dernier peuvent être entachées d'erreurs dites
systématiques liées à la connectique et la cellule de test.
Nous utilisons la procédure d'étalonnage TRL qui permet d'obtenir une précision
optimale en prenant en compte les termes d'erreurs de l'ensemble du banc de mesure. Les
détails de cette calibration sont donnés dans l’annexe K.
Analyseur de réseau
vectoriel Agilent
Guide d'onde
rectangulaire
WR-90
Pôles de
l’électroaimant
Figure V.21. Banc de mesure pour la caractérisation large bande en guide d'onde
rectangulaire en bande X (avec l'analyseur de réseau vectoriel Agilent PNA, l'électroaimant, et le
guide d'onde WR-90)
Nous déposons ensuite l'échantillon de ferrite dans le tronçon de guide à insérer entre
les 2 guides d'accès (Figure V.22).
Echantillon de ferrite sous test
DST
Dispositif Sous Test
DST
Figure V.22. Dispositif sous test qui représente un guide d’onde rectangulaire (Bande X) chargé par
l’échantillon du ferrite (4×10.16×25 mm3)
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
170
Nous appliquons plusieurs valeurs de champs aux niveaux des pôles de
l’électroaimant en faisant varier l’intensité aux bornes de celui-ci (Figure V.23). Nous
extrayons enfin les paramètres S correspondants. Les mesures réalisées permettront de valider
l'analyse électromagnétique du dispositif de test.
H0
Source de courant réglable
Figure V.23. Dispositif d’obtention de champ de polarisation réglable.
II.4.b Etalonnage TRL (Thru, Reflect, Line)
L’étalonnage de mesure est une opération permettant de caractériser les termes
d'erreur systématiques en mesurant des étalons aux caractéristiques radioélectriques et
géométriques connues et en supprimant ensuite par soustraction les effets de ces erreurs de
mesure. Un étalonnage améliore la précision de l'analyseur en réduisant les erreurs de mesure.
L'étalonnage TRL [V.5] est nécessaire dès lors qu'un haut niveau de précision est
requis pour mesurer les paramètres S de composants réalisés en technologie non-coaxiale
(lignes microruban, coplanaire, guide d'ondes). Nous éliminons donc les imprécisions de
mesure introduites par les connecteurs et la désadaptation du dispositif de test en hautes
fréquences en définissant les plans de référence de la mesure en aval des connecteurs.
L'étalonnage TRL est extrêmement précis, plus précis que l'étalonnage SOLT si la
technologie employée n'est pas coaxiale. Il reprend une mesure de type THRU, associée aux
mesures d'un fort coefficient de réflexion (REFLECT) à chacune des entrées et d'une mesure
en réflexion-transmission, le standard étant dans ce cas un tronçon de ligne rajouté devant
créer un déphasage de 20 et 160 degrés en fonction de la fréquence. Le modèle d'erreur
correspondant comprend douze termes (un quadripôle d'erreurs en entrée, un autre en sortie).
Ces douze termes d'erreur, le coefficient de réflexion du REFLECT et la longueur de ligne
sont calculés précisément à chaque point de fréquence à partir des dix mesures réalisées à
l'aide des trois standards.
Durant ce travail, nous avons réalisé un kit de calibration TRL pour notre dispositif de
caractérisation des ferrites en bande X.
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
171
II.4.c Comparaison TLM / Mesures
La simulation de cette structure est réalisée avec les mêmes caractéristiques que celles
retenues pour les simulations précédentes. L’épaisseur de l’échantillon du ferrite de e=Lh=4mm et celle de la lame d’air est de h=0.2mm.
Les paramètres S (transmission et réflexion) sont comparés pour plusieurs valeurs de
champ appliqué H0= 0 Oe (Figure V.24.a), H0= 500 Oe (Figure V.24.b) et H0=1000 Oe (Figure
V.24.c).
H0=0 Oe
H0=0 Oe
H0=500 Oe
H0=500 Oe
H0=1000 Oe
H0=1000 Oe
Figure V.24. Les paramètres S en fonction de la fréquence pour différents valeurs du champ
appliqué. Ferrite sous test : 4πMs = 5000 G, Ha=200 Oe et ∆H = 500 Oe.
(a) Champ statique appliqué d’intensité Ho=0 Oe. (b) Champ statique appliqué d’intensité Ho= 500 Oe.
(c) Champ statique appliqué d’intensité Ho=1000 Oe.
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
172
Quand nous appliquons un champ nul, le ferrite est désaimanté. Il n’y a pas de
déplacement de champ, la cellule est donc réciproque. Les paramètres de réflexion S11 et S22
sont identiques et les paramètres de transmission S12 et S21 le sont également. Nous
constatons, à partir de la figure V.24.a, que les résultats de mesures sont en bon accord avec
ceux issus de la TLM modifiée.
Dès lors un champ statique est appliqué H0=500 Oe, les moments tendent à s’aligner
selon la direction du champ appliqué. Le ferrite est partiellement aimanté. L’application du
champ statique rompt la réciprocité de la cellule : Nous remarquons les effets de non
réciprocité : S21 est différent de S12. La réponse de l’approche de le TLM modifiée est en bon
accord avec la mesure (Figure V.24.b).
Quand nous appliquons un champ de H0=1000 Oe, Le ferrite est entièrement saturé,
tous les moments sont parallèles à la direction du champ appliqué. Néanmoins nous
remarquons des perturbations au niveau de la mesure (Figure V.24.c). Cette perturbation est
sans doute due à des erreurs de calibrage et est liée à la position du montage.
La méthode TLM a été appliquée aux structures de propagation intégrant des ferrites
dans plusieurs états d’aimantation. Les résultats obtenus montrent la bonne modélisation de la
propagation de l’onde dans ce type de milieu.
II.4.d. Ouvertures
Plus récemment, l’utilisation des matériaux magnéto-diélectrique présente un intérêt
vis-à-vis de la taille des antennes patchs. En effet, Il a été démontré que les antennes avec un
substrat magnéto-diélectrique présentant une perméabilité supérieure à sa
permittivité montrent de meilleures performances que ceux qui sont déposés sur des substrats
purement diélectriques [IV.6].
Ainsi, nous avons simulé une antenne patch à base de ferrite. Vu qu’il n’existe pas de
logiciel commercial capable de modéliser le ferrite quelque soit son état d’aimantation, nous
nous limitons aux cas du ferrite désaimanté et saturé. Le but est de calculer les fréquences de
résonance de la structure. La réflexion est représentée par le paramètre S11. Ce dernier est
simulé sous HFSS est comparé avec notre méthode dans les deux cas de figures.
La structure étudiée (Figure V.25) possède une fréquence de résonance fondamentale
de f0=8 GHz, le substrat de ferrite possède une épaisseur de 1 mm.
Figure V.25. Les dimensions de l’antenne patch.
Le paramètre S11 issu de la TLM et celui simulé par HFSS pour le cas d’un
substrat de ferrite démagnétisé et saturé sont comparés respectivement sur les figures V.26.a
et V.26.b.
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
173
Figure V.26 Les paramètres S11 en fonction de la fréquence
(a) pour un ferrite désaimanté ( µ étant une constante) (b) pour un ferrite saturé
Sans l’application du champ magnétique, l'antenne patch a une fréquence de résonance
fondamentale de f0=8,0 GHz (Figure V.26.a). Le champ magnétique appliqué décale la
fréquence de résonance fondamentale et génère également de nouvelles fréquences de
résonance (Figure V.26.b).
Les nouvelles fréquences de résonance sont de 7,1, 8,1, 8,8 et 9,45 GHz. Ces
fréquences, générées par le ferrite magnétisé, sont prédites par l'algorithme modifié de TLM
et sont en accord étroit avec les résultats de HFSS (Tableau V.5).
Fréquences de résonance
en GHz
(HFSS)
Fréquences de résonance
en GHz
(TLM)
Différence relative
[%]
7.10
8.10
8.80
9.45
7.193
8.098
8.718
9.480
1.3
0.02
0.9
0.3
Tableau V.5. Comparaison des résultats obtenus par la méthode TLM avec ceux issus de
HFSS.
La comparaison entre les deux différentes approches donne une bonne concordance.
Rappelons que la discrétisation de l'espace et le temps utilisé dans la méthode TLM peut créer
une dispersion numérique, ceci se traduit par des erreurs sur les fréquences de résonance
simulées. Tous ces facteurs peuvent expliquer les différences observées, de l’ordre de 1%
entre les résultats simulés.
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
174
CONCLUSION
Ce dernier chapitre nous a permis, dans un premier temps, de valider l’approche
proposée dans le cas d’un matériau isotrope et dispersif : le plasma. Plusieurs cavités remplies
de différents échantillons de plasmas sont simulées. La correction du calcul du champ dans le
matériau a permis d’obtenir la réponse temporelle. Une simple transformé de Fourrier de cette
réponse donne le spectre des fréquences de résonnance de ces cavités. Les fréquences issues
de la TLM sont comparées avec celles calculées analytiquement pour valider la bonne
modélisation de la propagation de l’onde dans un milieu isotrope et dispersif.
Ensuite, les propriétés électromagnétiques du plasma, par nature dispersives, sont
rendues anisotropes par l’introduction d’un tenseur de permittivité afin de traiter le cas des
milieux dispersifs et anisotropes. La réponse obtenue est comparée avec celle issue d’un
logiciel de simulation électromagnétique HFSS. La différence relative entre les réponses
prédites est très faible. Ceci confirme bien la prise en compte des propriétés anisotropes et
dispersives par la technique proposée.
Nous avons calculé les paramètres de répartition S pour un guide d’onde chargé
partiellement d’un ferrite aimanté. Etant donnée l’inexistence de logiciel commercial capable
de modéliser des ferrites partiellement aimantés, nous avons utilisé d’abord la méthode
d’analyse modale pour le calcul des paramètres S. Nous avons également effectué des
mesures pour comparer les paramètres S pour différents valeurs du champ appliqué en faisant
varier son intensité aux bornes de l’électroaimant.
La comparaison de notre technique avec, d’une part, l’analyse modale, et avec, d’autre
part, l’expérience, a démontré que l'algorithme TLM est capable de prendre en compte la
réponse dynamique de milieux anisotropes et dispersifs en s'appuyant sur une procédure
générale dérivée des équations de Maxwell. La présence du milieu se traduit simplement par
une correction du calcul des champs au centre de la cellule par un filtre numérique. Les
résultats obtenus valident donc le modèle TLM modifié dans le cas d’un milieu anisotrope
dispersif et présentant des éléments extra-diagonaux.
Nous avons ainsi à disposition un modèle de calcul efficace et général qui permet la
simulation large bande de dispositifs hyperfréquences comportant tout type de matériaux. Une
fois le modèle physique du milieu connu sous forme tensoriel, la procédure décrite dans ce
chapitre, s'étend assez facilement pour des milieux plus complexes, comme par exemple des
matériaux composites, par exemple de type magnéto-diélectriques, ou encore des
métamatériaux.
Chapitre V : Application de la méthode TLM modifiée aux ferrites partiellement aimantés
175
RÉFÉRENCES DU CHAPITRE V
[V.1] Z. Mouzahem, P. Saguet, "La technique de la transformée en z dans la méthode TLM
Applications aux plasmas et aux matériaux partiellement magnétisés," thèse présentée devant
l’Institut de Microélectronique, Électromagnétisme et Photonique, Grenoble, France, Janv.
2006.
[V.2] Jean-Christophe PAIN, "Sur la physique atomique des ions dans les plasmas en
présence de l'écrantage", hèse soutenue devant lUniversité Paris XI, Paris, France, 10
décembre 2002.
[V.3] P. Quéffélec, M. Le Floc'h, Ph. Gelin "Nonreciprocal cell for the broad band
measurement of tensorial permeability of magnetized ferrites: direct problem," IEEE
Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. 47, 1999.
[V.4] P. Gelin, K. Berthou-Pichavant, "New consistent model for ferrite permeability tensor
with arbitrary magnetization state," IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 45, pp. 1185 –
1192, Aug. 1997.
[V.5] G. Engen, C. Hoer, "Thru-reflect-line: An improved technique for calibrating the dual
six-port automatic network analyzer," IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-27,
pp. 987–993, Dec. 1979.
[V.6] H. Mosallaei, K. Sarabandi, "Magneto-dielectrics in electromagnetics: concept and
applications", IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 52, no. 6, pp. 1558 –
1567, June 2004.
CONCLUSION GÉNÉRALE
Conclusion générale
180
Conclusion générale
Ce travail avait pour objectif principal de répondre aux attentes exprimés par les
concepteurs de dispositifs hyperfréquences en terme de modélisation des structures intégrant
des matériaux aux propriétés électromagnétiques anisotropes et dispersives. Le
développement d’un outil de simulation capable de traiter l’analyse électromagnétique de
dispositifs aussi variés que les circulateurs, les antennes ou les filtres accordables à base de
matériaux ferrites constituait le défi à relever dans cette thèse. L’association de la méthode
TLM et du modèle GPT était le point de départ de notre étude. Le fil rouge que nous avons
décidé de suivre pour illustrer les résultats obtenus était le projet européen IMICIMO auquel
le laboratoire a participé et dont la problématique concernait la conception et la réalisation de
circulateurs microruban miniatures en technologie LTCC.
La première étape de notre travail consistait à étudier le circuit de polarisation du
dispositif et les différents champs magnétiques statiques apparaissant dans la structure. En
effet, le champ statique de polarisation est très souvent considéré comme étant uniforme. Il en
est de même pour les champs démagnétisants et pour le champ interne du ferrite.
Les résultats de simulations issus du logiciel commercial Maxwell 3D ont montré que
le champ magnétique de polarisation créé par un ou deux aimants permanents présentait une
variation spatiale de son intensité. Les structures étudiées ont montré des fuites de flux,
notamment sur les bords de l'entrefer, ce qui conduit à une variation spatiale du champ
importante quelque soit la configuration en aimants employées (1 ou 2 aimants polarisant le
matériau ferrimagnétique). Aucun système de polarisation n’a permis l'obtention d'un champ
statique de polarisation complètement uniforme : des effets de bords subsistent. De plus
certaines zones de l’échantillon ferrimagnétique peuvent ne pas être saturées si le champ
appliqué sur le ferrite n'est pas suffisamment intense.
Dans le cas où un seul aimant polarise la jonction le champ peut ne plus être orienté
suivant la normale par rapport à l'échantillon ferrite et ainsi modifier l'interaction
onde/matière dans le ferrite. Or, l’objectif du projet IMICIMO est la conception de circulateur
à jonction-Y en technologie microruban polarisé par un seul aimant optimisé en terme de
taille et de performances.
Nous avons effectué une étude magnétostatique pour calculer la réponse du circulateur
en technologie microruban. Nous avons constaté que les performances sont affectées quand la
variation de l’intensité du champ de polarisation est prise en compte. Ces résultats mettent en
évidence les limitations des simulateurs électromagnétiques commercialisés qui ne tiennent
pas en compte tous les phénomènes physiques inhérents à ce type de dispositif.
Les développements apportés à la méthode TLM ont permis de lui attribuer certains
avantages, qui sont indispensables pour résoudre des problèmes de propagation dans des
milieux quelconques et dans des structures complexes. À travers ce travail, l’atout le plus
original est la possibilité de modéliser des milieux aux propriétés électromagnétiques
dispersives et anisotropes.
Conclusion générale
181
Nous avons proposé une nouvelle technique générale, rigoureuse et issue directement
des équations de Maxwell, contrairement à celle de J. Paul qui se base sur une analogie de
circuit. Cette dernière, n’étant pas générale, est en outre difficile à implémenter. Notre outil
permet également de simplifier les calculs supplémentaires nécessaires pour le traitement des
milieux anisotropes dispersifs et surtout de manipuler, à l’aide du filtrage numérique, des
produits simples au lieu des produits de convolution. La modélisation de ces milieux, dont les
propriétés dépendent de la fréquence et de la direction spatiale de la propagation, devient alors
simple au sein de la méthode TLM, qui est toutefois une méthode temporelle.
Ces développements autour de la méthode TLM ont permis d’abord de simuler des
cavités métalliques remplies de plasma, milieu isotrope et dispersif. Les résultats des
simulations sont en très bon accord avec les résultats analytiques.
Une étude concernant les dispositifs non réciproques à base de ferrite partiellement
aimanté a été menée. Nous avons utilisé le tenseur GPT qui donne accès à l’ensemble des
éléments du tenseur de perméabilité en fonction de l’intensité du champ statique appliqué, de
la forme du ferrite, de sa largeur de raie à mi-hauteur et de ses caractéristiques statiques
(aimantation à saturation, champ d’anisotropie magnétoscristalline) et structurales (dispersion
de la forme des domaines et des grains). Nous avons associé ce tenseur à la méthode TLM
pour prédire le comportement dynamique des ferrites polycristallins quelque soit leur état de
polarisation statique (état d’aimantation). Les résultats de simulation ont été validé par
confrontation avec les résultats expérimentaux pour un guide d’onde dont la section est
partiellement chargée par un ferrite partiellement aimanté. En effet, nous avons fait varier
l’intensité du champ appliqué par l’électroaimant pour aimanter le ferrite. Les paramètres de
répartition mesurés pour différents valeurs du champ magnétique statique appliqué sont en
très bon accord avec la réponse simulée par notre outil.
Les travaux permettent à présent de proposer aux concepteurs des dispositifs
hyperfréquences un simulateur électromagnétique capable de prendre en compte un grand
nombre de phénomènes physiques (non uniformité du champ de polarisation, aimantation
partielle de certaines zones du ferrite, fonctionnement à la rémanence des circulateurs autopolarisés) inhérentes à ce type de structure non réciproque ; et dont les logiciels commerciaux
actuels ne sont pas en mesure de prédire. Ces travaux sont issus d’une synergie entre
spécialistes Matériaux et spécialistes de modélisation électromagnétique du Lab-STICC.
Dans ce contexte, cette thèse constitue les fondements d’études à venir sur des
problématiques de recherche émergeantes.
Le premier sujet est celui des panneaux d'affichage plat de grande taille et
plus particulièrement les PAP (panneaux à plasma). En effet, pour garder leur place dans la
course d'un marché prometteur, les écrans plasma doivent améliorer leurs performances tout
en baissant le coût de production qui reste élevé dû notamment à une technologie de
fabrication délicate et onéreuse. Une idée intéressante, dans ce type de technologie, est d'opter
pour l'utilisation de micro-ondes pour produire un champ électrique uniforme nécessaire pour
la génération du plasma.
Le deuxième sujet concerne l’intégration de composant hyperfréquences non
réciproques à bases de ferrites comme les isolateurs et les circulateurs auto-polarisés dans le
domaine millimétrique. Les ferrites hexagonaux de baryum ou de strontium (hexaferrites)
sont actuellement les seuls matériaux susceptibles d'être utilisés dans les circulateurs pour des
applications en ondes millimétriques. Leur résonance gyromagnétique, à la base du
fonctionnement des circulateurs, est intrinsèquement élevée, en raison de leur champ
d'anisotropie magnétocristalline intense. Cette propriété permet également de les utiliser dans
un circulateur sans application d’un champ externe, on parle alors de matériaux auto-
Conclusion générale
182
polarisés. Mais, cela impose la pré-orientation de leurs moments magnétiques dans une
direction particulière lors du processus de fabrication et donc leur utilisation à la rémanence.
Cette étude ouvre également la possibilité de modéliser des circuits accordables et
agiles en fréquences. La variation de la perméabilité des ferrites sous l'action d'un champ
magnétique statique peut être exploitée pour modifier la perméabilité effective du circuit et
donc la fréquence centrale et la largeur de bande du dispositif. Nous pouvons citer à titre
d’exemple les filtres et les antennes à base de ferrite.
Pour les antennes miniatures accordables en ondes décimétriques, la principale
conséquence de la séparation fréquentielle dans les antennes à ferrite est l’accordabilité en
fréquence. En effet, si l’on peut disposer d’un champ magnétique appliqué variable, on peut
obtenir des antennes accordables en fréquence. L’antenne rayonne ainsi à deux fréquences
très séparées sur une gamme continue et permet d’envisager deux communications
simultanées. Le champ de commande influence ainsi les caractéristiques de l’antenne en
termes de diagramme de rayonnement, efficacité, rendement, etc.
ANNEXES
Annexes
185
186
Annexes
Annexe A
Bande de fréquences IEE
Désignation
Domaine de fréquences
(GHz)
VHF
0,03 - 0,30
UHF
0,30 - 1,00
Bande L
1-2
Bande S
2-4
Bande C
4-8
Bande X
8 - 12
Bande Ku
12 - 18
Bande K
18 - 26,5
Bande Ka
26,5 - 40
Bande Q
33-50
Bande U
40 - 60
Bande V
50 - 75
Bande E
60 - 90
Bande W
75 - 110
Bande F
90 - 140
Bande D
110 - 170
Bande G
140 - 220
187
Annexes
Annexe B
Correspondance entre système d'unité
Grandeurs
Permittivité du vide ε 0
Perméabilitéé du vide µ 0
Vitesse de la lumière
Système MKSA
Rationalisé
(
-1
1
⋅ 10 -9 F .m
36π
(
4π ⋅ 10 -7 H ⋅ m
(
3.10 8 m.s -1
Champ magnétique H
A.m
Induction magnétique B
Rapport
Gyromagnétique γ
-1
(
)
1
⋅10 -9
36π
)
1 u.e
)
3 . 10
10
(cm . s )
-1
(Oe)
1 Oe = 80 A.m -1
-1
Tesla (T)
B = µ0 H + M
(
Système CGS
Gauss(G)
1 G = 10 -4 T
B = H + 4πM
)
2,25.10 5 rad .s -1 A - .m
)
(
2π .2,8 MHz.Oe
-1
)
188
Annexes
Annexe C
Facteurs influençant les performances du circulateur :
Etude paramétrique de la dispersion
Nous allons analyser l’influence de différents facteurs de dispersion sur les
performances du circulateur en technologie microruban, en particulier sur son adaptation. Les
paramètres géométriques, dont la dispersion a été étudiée, sont la largeur des pistes
métalliques ws (Figure B.1), le diamètre du spacer Dsp et son épaisseur Hsp (Figure B.2), le
diamètre du ferrite Dfer (Figure B.3) et sa position par rapport au diélectrique Pos (Figure
B.4), l’épaisseur du diélectrique Hdie (Figure B.5).
ws ± ∆ws
Figure B.1. Dispersion sur la largeur de métallisation.
Dsp ± ∆Dsp
Hsp ± ∆Hsp
Figure B.2. Dispersion sur l’épaisseur et le diamètre du spacer.
L’influence des paramètres constitutifs des matériaux est à étudier également. Nous
examinons donc la dispersion sur la permittivité du diélectrique ∆εdie (Figure B.2) et sur celle
du ferrite ∆εfer, sur l’aimantation à saturation de ce dernier ∆4πΜs et enfin la dispersion sur
l’intensité du champ créé par l’aimant permanent ∆ Mag H (Figure B.3).
Dfer ± ∆Dfer
Mag H ± ∆ Mag H
εfer ± ∆εfer
4πΜs ± ∆4πΜs
Figure B.3. Dispersion sur le diamètre du ferrite, sa permittivité, son aimantation à saturation
et sur l’intensité du champ appliqué.
189
Annexes
Pos
Figure B.4. Tolérance de positionnement vertical du ferrite par rapport au diélectrique.
εdie ± ∆εdie
Hdie ± ∆Hdie
Figure B.5. Dispersion sur l’épaisseur et la permittivité du diélectrique.
Nous avons choisi d’étudier l’adaptation du circulateur. Les paramètres S11 et S22 (S33
étant identique à S22) (Figure B.6) sont déterminés aux 2 points de fréquences suivants :
- F1= 8 GHz, la fréquence minimale Fmin de la bande X,
- et F2 = 9.4 GHz, la fréquence qui correspond au maximum d’adaptation pour le cas
nominal (Figure B.6). Le cas nominal correspond au cas initial où les valeurs des
dimensions du circulateur et les caractéristiques des matériaux sont fixées : aucune
dispersion n’est considérée.
Les dimensions du circulateur et les caractéristiques des matériaux constitutifs ne sont pas
indiquées pour des raisons de confidentialité.
190
Annexes
Figure B.6. Les paramètres S11, S22 et S33 pour le cas nominal.
Ainsi, nous faisons varier les facteurs de dispersion comme le montre le tableau B.1.
Les résultats obtenus à partir d’une série de simulations sous HFSS sont représentés sur les
courbes des figures B.7.a et B.7.b Pour chaque simulation, nous faisons varier un seul des
paramètres en laissant inchangés tous les autres.
Paramètres
∆ ws
∆ Dfer
∆ Hsp
∆ Dsp
∆ Hdie
Pos
∆ εfer
∆ εdie
∆ 4πΜs
∆ Mag H
Min
-10 µm
-0.5 %
-10 %
-0.5%
-0.5%
-50 µm
-5%
-10%
-5%
-5 %
Max
10 µm
0.5 %
10 %
0.5%
0.5%
50 µm
5%
10%
5%
5%
Tableau B.1. Tableau de variations des paramètres géométriques et constitutifs des matériaux.
191
Annexes
a
b
Figure B.7. La série de simulations sous HFSS :
(a) pour les paramètres S11.
(b) pour les paramètres S22.
Nous observons une variation des performances qui ne peut pas être décrite par une loi
simple. Le tableau B.2 regroupe les valeurs minimales, maximales, nominales et moyennes
pour la série de simulations qui prennent en compte les différentes variations sur les
dimensions et les caractéristiques des matériaux.
Min
Max
Moyenne
Cas nominal
F1 = 8 GHz
S11 (dB)
S22 (dB)
-20.38
-19.32
-13.37
-12.60
-15.5
-14.34
-16.89
-15.65
F2 = 9.4 GHz
S11 (dB)
S22 (dB)
-43.96
-38.76
-20.15
-21.31
-28.29
-25.35
-36.49
-34.59
Tableau B.2. Tableau récapitulatif des valeurs minimales, maximales et nominales des paramètres S11
et S22 pour toutes les simulations.
D’abord, nous allons étudier la sensibilité des performances du circulateur vis-à-vis de
chaque facteur de dispersion. Nous nous plaçons aux fréquences F1 et F2 pour la réponse S11.
192
Annexes
Figure B.8. Effets des facteurs sur la réponse S11 aux fréquences F1 et F2.
À la fréquence F1, le seul facteur prépondérant qui a une influence sur S11 est la
permittivité du diélectrique. En effet, S11 est à -14.5 dB et -21.1 dB pour respectivement ∆ εdie
(+10%) et ∆ εdie (-10%). Quant aux autres facteurs, ils n’ont pas d’impact sur la valeur
nominale de S11, -16.89 dB, qui varie très peu (Figure B.8).
De plus, à la fréquence F2, nous remarquons bien l’influence de la variation de la
permittivité du ferrite : La variation de S11 est de 12 dB. Enfin l’aimantation à saturation du
ferrite influence S11 qui est maximale, -32.5 dB, pour ∆ 4πΜs (+5%) et minimale, -44 dB,
pour ∆ 4πΜs minimale (-5%). Les autres facteurs ont peu d’influence sur S11 qui reste de
l’ordre de la valeur initiale -36.49 dB (Figure B.8).
193
Annexes
Figure B.9. Effets des interactions entre les facteurs sur la réponse S11 aux fréquences F1.
Nous examinons également les interactions entre les facteurs : nous faisons varier
deux paramètres pris deux à deux, ce qui fait quatre combinaisons possibles, tout en laissant
inchangés les autres paramètres. Nous effectuons ensuite une moyenne de toutes les réponses
de la série des simulations pour chaque combinaison possible.
Concernant ces interactions à la fréquence minimale F1, il apparaît que ces interactions
n’ont pas un impact élevé sur les performances du circulateur à cette fréquence. En effet, la
valeur de S11 reste voisine de la valeur moyenne qui est de l’ordre de -15.5 dB. La figure B.9
montre certaines interactions entre les facteurs aux fréquences F1.
Il apparaît également que les niveaux de S11 sont très sensibles aux caractéristiques des
matériaux à la fréquence F2, nous pouvons noter 5 interactions significatives entre :
εfer et 4πΜs, εfer et εdie, 4πΜs et εdie, Pos et Dsp, et enfin entre Pos et εdie.
Seules certaines interactions sont présentées sur la figure B.10, parmi celles-ci les 5 sont
vraiment pertinentes.
Effets des interactions entre facteurs à F2
-24
-25
-26
S11 (dB)
-27
-28
-29
-30
-31
rD
i*
PO
S
E
PO
Sp
*
D
r*
Er
Fe
Er
S
Di
i
rD
H
S*
W
4P
iM
*E
Sp
r
Fe
S*
D
W
Er
Fe
r*
4P
iM
-32
Figure B.10. Effets des interactions des facteurs pris deux à deux sur la réponse S11 aux fréquences F2.
Annexes
194
Figure B.11. Influence des interactions significatives entre les facteurs sur la réponse S11.
À partir des courbes des interactions pertinentes (Figure B.11), nous constatons que
S11 est maximale pour une aimantation à saturation réduite de -5% et une permittivité du
ferrite diminuée -5%, alors qu’il varie très peu lorsque la permittivité du ferrite augmente de 5
%.
Le fait de modifier la valeur de la permittivité relative du substrat et celle du ferrite a
un impact sur la réponse S11, à la fréquence F2, qui varie de 2.6 dB quand ∆ εdie passe du
minimum au maximum et qui varie moins lorsque ∆ εfer augmente à +5%.
Nous nous intéressons aussi à l’interaction entre la permittivité relative du diélectrique
et l’aimantation à saturation du ferrite et nous évaluons son influence : S11 est au maximum, 24.2 dB, pour des variations ∆ εdie (+10%) et ∆ 4πΜs (-5%) mais les performances restent
presque identiques lorsque ∆ εdie est à -10%, S11 étant proche de la moyenne -28.29 dB.
Le spacer sur lequel nous travaillons est de l’alumine (Al2O3), ce matériau présente de
faibles pertes. Néanmoins, nous avons étudié l’impact de ses dimensions : l’interaction de son
diamètre avec la position du ferrite affecte le terme S11. Enfin, la dispersion de la position du
195
Annexes
ferrite par rapport au diélectrique à gravure fixe interagit avec la permittivité de ce dernier et
influence S11 qui est minimale,-30 dB, pour Pos (-50µm) et ∆ εdie (-10%).
Figure B.12. Effets des facteurs sur la réponse S22 aux fréquences F1 et F2.
La permittivité du diélectrique est le seul facteur prépondérant qui a une influence sur
S22 à la fréquence F1. En effet, S11 vaut respectivement -13.6 dB et -18.2 dB pour des
variations relatives ∆ εdie (+10%) et ∆ εdie (-10%) (Figure B.12).
De plus, à la fréquence F2, cette permittivité influence S22 qui est minimale, -39.45 dB,
pour ∆ εdie (-10%). Nous remarquons aussi l’influence de la variation de la permittivité du
ferrite : la variation de S22 est de 7 dB. Enfin, l’aimantation à saturation du ferrite influence
S22 qui est maximale, -32.5 dB, pour ∆ 4πΜs (+5%) et minimale, -37.4 dB, pour ∆ 4πΜs
minimale (-5%) (Figure B.12).
Annexes
196
Figure B.13. Influence des interactions entre les facteurs sur la réponse S22 aux fréquences F1.
Les interactions entre les facteurs pris deux à deux à la fréquence minimale F1
n’influencent pas le terme S22 qui reste aux alentours de sa valeur moyenne -14.34 dB, il
apparaît donc que ces interactions n’ont pas de grand impact sur les performances du
circulateur à la fréquence F1. Quelques interactions sont présentées sur la figure B.13.
Figure B.14. Influence des interactions entre les facteurs sur la réponse S22 aux fréquences F2.
Les niveaux de S22 sont sensibles aux interactions entre les facteurs suivants :
εfer et 4πΜs, εfer et εdie, 4πΜs et εdie, εdie et Mag H, et enfin entre Pos et εdie. (Figure
B.14) Les autres interactions n’apportent aucune variation sur S22 qui reste de l’ordre de la
valeur moyenne : -25.35 dB.
Annexes
197
Figure B.15. Influence des interactions significatives entre les facteurs sur la réponse S22.
A partir des courbes des interactions significatives (Figure B.15), nous remarquons
que S11 est minimal et égal à -28.05 dB, pour une aimantation à saturation de +5% et une
permittivité du ferrite de +5%, alors qu’il varie très peu lorsque l’aimantation à saturation est
de -5 %. La permittivité relative du substrat et celle du ferrite interagit entre elle, en effet elle
a un impact sur la réponse S11, à la fréquence F2, qui est minimale, -30.9 dB, pour ∆ εdie
(+10%) et ∆ εfer (+5%) et qui varie moins lorsque ∆ εfer est à -5%.
Nous nous intéressons aussi à l’interaction entre la permittivité relative du diélectrique
et l’aimantation à saturation du ferrite et nous évaluons son influence : S11 est au minimum,32.4 dB, pour ∆ εdie (+10%) et ∆ 4πΜs (+5%) mais les performances restent presque
identiques lorsque ∆ 4πΜs est à -5%, S11 étant proche de la moyenne -25.35 dB.
Nous avons étudié l’impact de l’interaction entre le champ appliqué et la permittivité
du diélectrique : S11 est minimale, -28.6 dB, lorsque ∆ εdie (+10%) et Mag (+10%). Enfin, La
dispersion de la position du ferrite par rapport au diélectrique à gravure fixe interagit avec la
permittivité de ce dernier et influence S11 qui est minimale,-29.1 dB, pour Pos (+50µm) et
∆ εdie (+10%).
198
Annexes
Les tableaux ci-dessous récapitulent les facteurs et leurs interactions qui influencent la
réponse S11 et S22 aux fréquences F1 et F2.
Facteurs avec impact
S11 à F1 (8 GHz)
S11 à F2 (9.4 GHz)
εdie
εfer
4πΜs
Interactions significatives
entre facteurs
X
(pas d’impact)
εfer & 4πΜs
εfer & εdie
4πΜs & εdie
Pos & Dsp
Pos & εdie
Tableau B.3. Tableau récapitulatif des influences des facteurs et de leurs interactions sur la réponse
S11.
Facteurs avec impact
S22 à F1 (8 GHz)
S22 à F2 (9.4 GHz)
εdie
εfer
4πΜs
εdie
Interactions significatives
entre facteurs
X
(pas d’impact)
εfer & 4πΜs
εfer & εdie
4πΜs & εdie
Mag H & εdie
Pos & εdie
Tableau B.4. Tableau récapitulatif des influences des facteurs et de leurs interactions sur la
réponse S22.
A travers cette étude de sensibilité des paramètres, nous avons analysé l’influence de
différents facteurs de dispersion sur les performances du circulateur en termes d’adaptation.
Nous pouvons constater que les caractéristiques des matériaux, notamment les permittivités
respectives du diélectrique et du ferrite ainsi que l’aimantation à saturation, ont l’impact le
plus significatif sur les performances du circulateur.
199
Annexes
Annexe D
Cellule / Nœud TLM de type SCN
a7
a 12
a4
a2
a3
a 10
a6
a 11
y
a9
a8
x
a1
z
a5
Schéma de la cellule de base de la méthode TLM-3D (nœud SCN).
(Cellule de Johns avec la numérotation de Johns)
Echantillonnage des champs E et H dans la cellule de base TLM-3D (nœud SCN) :
(a) Champs électriques
∆z
∆y
∆z
E12
E7
E14
E3
E6
(b) Champs magnétiques
E8
E4
E13
E2
E11
H3
E15
x ∆y
E9
E1
E5
∆x
H17
H6
y
E10
H7
H12
H9
H2
H16
H4
H10
H11
H18
H8
z
H5
H1
∆x
200
Annexes
Plans principaux de la cellule TLM
Plans principaux de
la cellule TLM
y
(XOZ)
x
z
(XOY)
(YOZ)
(a)
(b)
Contours et surfaces dans le plan (YOZ) pour l’approximation de la loi :
. Maxwell Ampère (a)
. Maxwell Faraday (b)
Z
Y
E z7
X
Γ
1
E z6
S2
z
E15
H y6
Hy
Γ
2
H x7
z
E10
y
H10
∆y
E 5z
H5x
S1
∆x
Contours et surfaces dans le plan (YOZ) pour l’approximation de la
loi de Maxwell Ampère, pour l’obtention des relations de continuité
des champs au centre.
201
Annexes
Contours et surfaces dans les 3 plans principaux pour les relations de conservation et le
calcul des champs au centre de la cellule.
Plan (XOZ)
E11y
E 2x
X
E3y
E 4y
H 10y H 11z
E9x
H 4x
E8y
H 2y
H 8x
H 17y
H 9y
E3y
E6z
H 6y
E7z
E12x
H 12z H 7x
E15z
E6z
Plan (YOZ)
Y
E14y
E 4y
Plan (XOY)
Y
E10z
E11y
H 6y
E10z
H 3z
H 3z
H 10y
H 18z
H 11z
E5z
E1x
H 1z
H 5x
E12x
E7z
H 7x
H 12z
E13x
E 2x
E1x
E5z
E8y
H 2y
E9x
H 4x
H 9y
H 16x
H 8x
H 5x
H 1z
202
Annexes
Contours et surfaces dans les 3 plans principaux pour l’obtention des relations de
continuité au centre de la cellule.
Plan (XOZ)
E10z
E11y
E 2x
H x( n )
S1
E z( n )
E14y
E 4y
X
H 10y H 11z
E9x
H 4x
E8y
H 2y
S1
H
S2
{E
( n)
x
E3y
E6z
, E z( n )
}
H 8x
S2
H 9y
y
17
H 6y
{H
H 3z
( n)
x
, H z( n )
}
Plan (XOY)
E7z
E
y
3
H 12z H 7x
E12x
H y( n )
S1
E x( n )
E15z
E6z
y
6
E11y
H
E10z
H 3z
S1
H 10y
S2
H
Y
H 11z
z
18
S2
{E
( n)
x
E5z
E1x
, E y( n )
}
H 5x
H 1z
{H
(n)
x
, H y( n )
}
Plan (YOZ)
E12x
E 4y
Y
E 2x
E7z
H 7x
H 12z
H y( n )
S1
E13x
E z( n )
S2
E1x
{E
( n)
y
E5z
, E z( n )
E8y
H 2y
E9x
H 4x
S1
H 8x
H 16x
H 5x
}
H 9y
S2
{H
H 1z
(n)
y
, H z( n )
}
203
Annexes
Annexe E
Rappels
Equations de Maxwell sous forme intégrale
Considérons un milieu anisotrope où les tenseurs de permittivité, de perméabilité et de
conductivité électrique et magnétique sont diagonaux, et pour lesquels les équations de
Maxwell sous forme intégrale sont telles que :
∂H Loi de Maxwell Faraday (LMF) . ∫ E.dl = − ∫∫ µˆ
.ds − ∫∫ σˆ m H .ds − ∫∫ J m .ds
∂t
Γ
S
S
S
∂E Loi de Maxwell Ampère (LMA) . ∫ H. dl = ∫∫ εɵ
. ds + ∫∫ σɵ e E. ds + ∫∫ J e . ds
dt
Γ
S
S
S
où J e et J m sont respectivement les sources de densité de courant électrique et magnétique,
et où les tenseurs εɵ (permittivité), µɵ (perméabilité), σɵ e (pertes électriques) et σɵ m (pertes
magnétiques) sont donnés par :
εx 0 0 


ˆε = ε 0  0 ε y 0 
0 0 ε 
z

0 
 σ ex 0


ˆ e =  0 σ ey 0 
σ
 0
0 σ ez 

avec
. ε 0 la permittivité du vide
µ x

ˆ = µ0  0
µ
0

0
µy
0
 σ mx

ˆm = 0
σ
 0

:
. µ 0 la perméabilité du vide :
ε0 =
0
σ my
0
1
36π10
9
0

0
µ z 
0 

0 
σ mz 
(SI)
−7
µ 0 = 4π10 (SI)
En ne tenant pas compte des pertes et des sources électriques et magnétiques, ces
équations s’écrivent de la façon suivante :
LMF
LMA
∂
H
. ∫ E.dl =−∫∫ µˆ
.d S
∂t
Γ
S
∂
E
. ∫ H.dl = ∫∫εˆ .dS
∂t
Γ
S
204
Annexes
Admittance Yˆsi et impédance Ẑ si normalisées
L’admittance Yˆsi et l’impédance Ẑ si normalisées des bras réactifs (stubs) suivant la direction
i, i = {x, y, z} , sont définies telles que :
4µ i ∆ j ∆ k 2
4ε i ∆ j ∆ k 2
=
. 4 +Yˆsi =
=
. 4 + Zˆ si =
s∆ i
Ci
s∆ i
Di
où
. (i, j,k ) ∈ {
. s = 2c0 ∆t
(x, y, z ) , ( y, z, x ) , (z, x, y ) } ,
permutation circulaire des indices
Pas temporel maximal ∆t max
Le pas temporel se doit d’être maximal de façon à limiter le nombre d’itérations (gain en
temps de calcul). L’algorithme reste cohérent sous condition que toutes les impédances et
admittances de lignes soient positives ou nulles. Dans le cas du nœud SCN et cubique
( ∆ i = ∆ j = ∆ k = ∆lmax ) , ces conditions s’expriment de la manière suivante :
. Yˆsi ≥ 0
. ∆t ≤
. Zˆ si ≥ 0
. ∆t ≤
εi∆ j∆k
2c0 ∆ i
µi ∆ j ∆ k
2c0 ∆ i
en prenant ε i = 1 et µ i = 1 dans notre cas, alors
. ∆t ≤
∆lmax
2c0
. ∆t ≤
∆lmax
2c0
. ∆tmax =
∆lmax
2c0
Coefficients C i et Di
Ces coefficients dépendent de la géométrie de la cellule et sont définies tels que :
. Ci =
s∆ i
2ε i ∆ j ∆ k
. Di =
s∆ i
2µ i ∆ j ∆ k
où
. s =2c0∆t
Célérité c 0 , impédance Z 0 , admittance Y0 , permittivité ε 0 & perméabilité µ 0 du vide
. c0 =
1
ε 0 µ0
. Z0 =
µ0
ε0
. Y0 =
1
Z0
.ε0 =
1
Z 0 c0
. µ0 =
Z0
c0
Coefficients d’amortissements Aei et Ami
Ces coefficients d’amortissement rendent comptes des pertes électriques σ ei (conductivité
électrique) et magnétiques σ mi (conductivité magnétique) de la structure. Ils sont définies
suivant la direction i, i = {x, y, z} tels que :
4
4
. Aei =
. Ami =
4 + Gi
4 + Ri
avec
. Gi = Z 0 s
σ ei
εi
. Ri =
s σ mi
Z0 µi
205
Annexes
Annexe F
Algorithme TLM classique
I
Première étape : équations de conservation de la charge électrique et de flux
magnétique
Les équations de Maxwell Faraday (1.a) et de Maxwell Ampère (1.b) doivent être
intégrées dans les trois plans principaux (XOY), (XOZ) et (YOZ). Ces plans sont donnés en
Annexe D.
Considérons par exemple le plan (YOZ) et les échantillons de champs le long de cette
surface ainsi qu’il est indiqué sur la Figure 1 ci-dessous :
(a)
(b)
Figure 1 : Contours et surfaces dans le plan (YOZ) pour l’approximation de la loi :
. de Maxwell Ampère (a)
. de Maxwell Faraday (b)
En supposant les échantillons des champs constants le long de chaque côté, il est
possible d’approcher les circulations des champs électrique et magnétique à l’instant n∆t par
une moyenne de leurs valeurs aux instants (n-1/2)∆t et (n+1/2)∆t.
( n ) ∆t
.u
1  ( n −1 / 2 ) ∆t ( n +1 / 2 ) ∆t  (1 + T ) ( n +1 / 2 ) ∆t
= u
+u
u
=
2
2

(k)
Tu =u
où T est un opérateur de retard :
En posant :
T ( 0) = 1 ,
T
(1)
=T ,
T ( 0 ) .u
(1)
T .u
1
( n + ) ∆t
2
1
( n + ) ∆t
2
(k −1)
,
=u
=u
u = {E ou H}
1
( n + ) ∆t
2
1
( n − ) ∆t
2
Il est alors explicite que les valeurs considérées dans les équations de Maxwell soient
prises à l’instant (n+1/2)∆t. Les calculs sont à effectuer d’une part pour la LMF et d’autre part
pour la LMA.
206
Annexes
I.1
Intégration des équations de Maxwell dans les trois plans principaux
En prenant le plan (YOZ) considéré précédemment (cf. Figure 1), le calcul de
l’intégrale de contour du membre de gauche et de l’intégrale de surface du membre de droite
des relations (1.a) et (1.b), s’effectue de la façon suivante :
Intégrales de contour
(1 + T )
z
z
y
y ( n +1 / 2 )
E
∫Γ .dl = 2 ∆z (E7 − E5 ) + ∆y (E4 − E8 )
(1 + T )
( n +1 / 2 )
. ∫ H .dl =
∆z (H 12z − H 1z ) + ∆y (H 2y − H 9y )
2
Γ
LMF
[
.
]
[
LMA
]
(I.2.a)
(I.2.b)
Intégrales de surface
(1 − T ) Z 0 µ ∆ y ∆ z ∆ H
∂H ∂
. − ∫∫ µˆ
.dS = − ∫∫ µˆH .dS = −
x
x
x
∂t
∂t S
∆t c 0
∆x
S
(1 − T ) 1
∆y∆z
∂E ∂
. ∫∫ εˆ
.dS = ∫∫ εˆE.dS =
εx
∆ x Ex
∂
t
∂
t
∆
t
Z
c
∆
0 0
x
S
S
LMF
LMA
(I.3.a)
(I.3.b)
Les valeurs de H x et E x sont calculées sur la base d’une moyenne des composantes
des champs sur les bords de la cellule, auxquelles s’ajoutent des composantes de champs au
centre. Pour le nœud SCN, dans le plan (YOZ) :
H 4x + H 8x + H 5x + H 7x + Zˆ sx H16x
4+ Zˆ sx
. µˆ = µ0 µ x = Z0 µ x
c0
4
µ
x∆ y ∆ z
. 4+ Zˆ sx =
2c0∆t∆ x
. Hx=
E1x + E12x + E2x + E9x +Yˆsx E13x
4+Yˆsx
. εˆ =ε 0ε x = 1 ε x
Z 0c0
. 4+Yˆsx = 4ε x ∆ y ∆ z
2c0 ∆t∆ x
. Ex =
Donc les relations (I.3.a) et (I.3.b) donnent respectivement,
(1 − T ) Z ∆ H x + H x + H x + H x + Zˆ H x
∂H . − ∫∫ µˆ
.dS = −
0 x
4
8
5
7
sx
16
2
∂t
S
( n +1 / 2 )
∂E (1 − T ) 1
. ∫∫ εˆ .dS =
∆ x E1x + E12x + E 2x + E9x + Yˆsx E13x
∂t
2 Z0
S
[
[
]
]
( n +1 / 2 )
(I.4.a)
(I.4.b)
207
Annexes
L’équation de Maxwell Faraday devient :
.
(I.2.a) = (I.4.a)
(1 + T ) [∆z (E z − E z ) + ∆y (E y − E y )]( n+1/ 2) = − (1 − T ) Z
7
2
5
4
8
2
0
[
∆ x H 4x + H 8x + H 5x + H 7x + Zˆ sx H 16x
]
(n +1/ 2) 1
(n −1/ 2)
. 1 [∆z(E7z − E5z )+ ∆y(E4y − E8y )]
+ [∆z(E7z − E5z )+ ∆y(E4y − E8y )]
=
2
2
( n +1 / 2 )
Z
Z
− 0 ∆ x H 4x + H 8x + H 5x + H 7x + Zˆ sx H 16x
+ 0 ∆ x H 4x + H 8x + H 5x + H 7x + Zˆ sx H 16x
2
2
[
]
[
[
[
( n +1 / 2 )
]
( n −1 / 2 )
]
]
(n +1/ 2)
(n +1/ 2) Z 0
. 1 [∆z(E7z − E5z )+ ∆y(E4y − E8y )]
− ∆ x H 4x + H 8x + H 5x + H 7x + Zˆ sx H16x
=
2
2
1 ∆z(E z − E z )+ ∆y(E y − E y ) (n −1/ 2) + Z 0 ∆ x H x + H x + H x + H x + Zˆ sx H x (n −1/ 2)
7
5
5
7
4
8
4
8
16
2
2
[
]
Après passage en tension à l’aide de la définition des vecteurs des tensions incidentes
a et des tensions réfléchies b , cf. Annexes, nous en déduisons :
b4 −b8 +b7 −b5 + Zˆ sxb16 =−a4 + a8 −a7 + a5 + Zˆ sx a16
LMF, plan (YOZ)
L’équation de Maxwell Ampère devient :
.
.
(1 + T ) Z
2
0
[∆z (H
z
12
[ (
]
− H 1z ) + ∆y (H 2y − H 9y )
)
)]
(
Z0
∆z H 12z − H 1z + ∆y H 2y − H 9y
2
[
1
∆ x E1x + E12x + E 2x + E 9x + Yˆsx E13x
2
[
[
]
]
( n +1 / 2 )
( n +1 / 2 )
]
( n +1 / 2 )
−
+
=
(I.2.b) = (I.4.b)
(1 − T ) ∆
[ (
(I.5.a)
2
x
[E
x
1
+ E12x + E 2x + E9x + Yˆsx E13x
)
(
Z0
∆z H 12z − H 1z + ∆y H 2y − H 9y
2
[
1
∆ x E1x + E12x + E 2x + E 9x + Yˆsx E13x
2
)]
( n −1 / 2 )
]
( n +1 / 2 )
=
]
( n −1 / 2 )
(n +1/ 2)
(n +1/ 2)
. 1 ∆ x E1x + E12x + E2x + E9x +Yˆsx E13x
− Z 0 [∆z(H12z − H1z )+ ∆y(H 2y − H 9y )]
=
2
2
1 ∆ x E x + E x + E x + E x +Yˆsx E x (n −1/ 2) + Z 0 ∆z(H z − H z )+∆y(H y − H y ) (n −1/ 2)
1
12
2
9
13
12
1
2
9
2
2
[
]
De la même façon, après passage en tension à l’aide de la définition des vecteurs des
tensions incidentes a et des tensions réfléchies b , nous en déduisons :
LMA, plan (YOZ)
b1 +b12 +b2 +b9 +Yˆsxb13 =a1 + a12 + a2 + a9 +Yˆsx a13
(I.5.b)
208
Annexes
I.2
Relations de conservation de la charge électrique et de flux magnétique
Cette première étape doit être effectuer dans les trois plans principaux. L’intégration
des équations de Maxwell dans le plan (YOZ) nous donnant deux relations (I.5.a) et (I.5.b),
cela fait donc un total de six équations pour les trois plans principaux.
Relations I
Conservation de la charge et de flux magnétique
Plan YOZ
LMF
LMA
. b4 −b8 +b7 −b5 + Zˆ sxb16 =−a4 + a8 −a7 + a5 + Zˆ sx a16
. b1 +b12 +b2 +b9 +Yˆsxb13 =a1 + a12 +a2 +a9 +Yˆsx a13
Plan XOZ
LMF
LMA
. b6 −b10 +b9 −b2 + Zˆ syb17 =−a6 + a10 −a9 + a2 + Zˆ sy a17
. b3 +b11 +b8 +b4 +Yˆsyb14 = a3 + a11 + a8 + a4 +Yˆsy a14
Plan XOY
LMF
LMA
. b1 −b12 +b11 −b3 + Zˆ szb18 =−a1 + a12 −a11 +a3 + Zˆ sz a18
. b5 +b7 +b10 +b6 +Yˆszb15 =a5 + a7 + a10 + a6 +Yˆsz a15
209
Annexes
II
Seconde étape : Obtention des équations de continuité des champs au centre de la
cellule à l’instant n∆t pour le calcul des tensions réfléchies sur les faces de la cellule à
l’instant (n+1/2)∆t
Nous cherchons à trouver une relation entre les champs au centre à l’instant n∆t et les
tensions incidentes et réfléchies sur les faces, respectivement à l’instant (n-1/2)∆t et
(n+1/2)∆t, à partir des équations (1.a) et (1.b). Pour cela, chaque plan principal est divisé en
deux sous surfaces ( S1 et S 2 ) et deux contours correspondants ( Γ1 et Γ2 ), comme le montre
la Figure 2 dans le plan (XOY), ci-dessous :
Z
Y
E z7
X
Γ
1
S2
z
E15
H y6
E z6
Hy
Γ
2
H x7
z
E10
y
H10
∆y
E 5z
S1
H 5x
∆x
Figure 2 :
II.1
Contours et surfaces dans le plan (XOY) pour l’approximation
de la loi de Maxwell Ampère, pour l’obtention des relations de
continuité des champs au centre.
Intégration des équations de Maxwell dans les trois plans principaux
De la même façon que précédemment, on pose les équations de Maxwell en tenant
compte cette fois-ci des nouveaux contours et des nouvelles surfaces des plans d’intégration.
Intégrales de contour
LMF
.
∫ E.dl
Γ'
1
H
. ∫ .dl =
LMA
∫ E.dl = ∫ E.dl + ∫ E.dl
=
Γ1 ∪ Γ2
Γ1
2
Γ2
H
.
d
l
=
H
.
d
l
+
H
∫
∫ 1 ∫ .dl 2
Γ'
Γ1 ∪ Γ2
Γ1
(II.1.a)
(II.1.b)
Γ2
Ces relations (II.1.a) et (II.1.b) donnent respectivement,
.
∫ E.dl = ∫ E.dl + ∫ E.dl
1
Γ1 ∪Γ2
Γ1
2
Γ2

∆
∆
 

E
.dl = ∆ y E y( n ) + x (E12x − E1x ) − ∆ y E11y  + ∆ y E y( n ) + x (E1x − E12x ) − ∆ y E3y 
∫
2
2

 

Γ1 ∪ Γ2
y
y
(n)
. ∫ E.dl =2∆ y E y − ∆ y E11 + E 3
.
(
)
Γ1 ∪ Γ2
.
(1 + T ) ∆ E y + E y
E
.dl = 2∆ y E y( n ) −
y
11
3
∫
2
Γ1 ∪Γ2
[
]
( n +1 / 2 )
(II.2.a)
210
Annexes
&
. ∫ H .dl = ∫ H .dl1 + ∫ H .dl 2
Γ1 ∪ Γ2
Γ1
Γ2

∆
∆
 

. ∫ H .dl = ∆ y H y( n ) + x H 7x − H 5x − ∆ y H 10y  + ∆ y H y( n ) + x H 5x − H 7x − ∆ y H 6y 
2
2

 

Γ1 ∪ Γ2
(n)
y
y
. ∫ H .dl = = 2∆ y H y − ∆ y H 10 + H 6
(
)
(
(
)
)
Γ1 ∪ Γ2
.
(1 + T ) ∆ H y + H y
.dl = = 2∆ y H y( n ) −
H
y
10
6
∫
2
Γ1 ∪Γ2
[
]
( n +1 / 2 )
(II.2.b)
En supposant que E y( n ) est une valeur moyenne entre les instants (n-1/2)∆t et (n+1/2)∆t.
Intégrales de surface
LMF
LMA
. − ∫∫µˆ ∂H .dS = −∫∫µˆ ∂H .dS1 − ∫∫µˆ ∂H .dS 2
∂t
∂t
∂t
S
S1
S2
. ∫∫εˆ ∂E .dS = ∫∫εˆ ∂E .dS1 + ∫∫εˆ ∂E .dS 2
∂t
∂t
∂t
S
S1
S2
(II.3.a)
(II.3.b)
Remarque : Il faut faire attention au signe du produit scalaire H .dS i (i=1,2) car les vecteurs
normaux dS1 et dS 2 des surfaces respectives S1 et S 2 sont de sens opposés ce qui implique
une opposition de signe (- et +).
On obtient pour la relation (II.3.a) :
(1 − T ) Z 0 µ ∆ x ∆ y 1 ∆ H 1
∂H .dS1 = +
. − ∫∫ µˆ
z
z
z
∂t
∆t c0
2 ∆z
S1
&
(1 − T ) Z 0 µ ∆ x ∆ y 1 ∆ H 2
∂H .dS 2 = −
. − ∫∫ µˆ
z
z
z
∂t
∆t c0
2 ∆z
S2
S ∆ x∆ y
=
2
2
Zˆ
1
1
H 11z + H 12z + H 1z + sz H 18z
2 H 11z + H 12z + H 1z + Zˆ sz H 18z
2
2
2
. H z1 =
=
4 + Zˆ sz
1 1 Zˆ
1 + + + sz
2 2
2
Zˆ
1
1
H 3z + H 12z + H 1z + sz H 18z
2 H 3z + H 12z + H 1z + Zˆ sz H 18z
2
2
2
. H z2 =
=
4 + Zˆ sz
1 1 Zˆ
1 + + + sz
2 2
2
4
µ
∆
∆
z x y
avec . 4 + Zˆ sz =
2c 0 ∆ t ∆ z
. S1 = S 2 =
où
211
Annexes
Donc (II.3.a) donne,
(1 − T ) Z 0 µ ∆ x ∆ y 1 ∆ − H 1 + H 2 ( n +1 / 2)
∂H . − ∫∫ µˆ
.dS = −
z
z
z
z
2 ∆z
∂t
∆t c 0
S
( n +1 / 2 )
 2 H 11z + H 12z + H 1z + Zˆ sz H 18z 2 H 3z + H 12z + H 1z + Zˆ sz H 18z 
∂H (
1−T )
Z 0 ∆ z −
+
.dS = −
. − ∫∫ µˆ

∂t
2
2
2


S
∂H (1 − T ) Z ∆ H z − H z ( n +1 / 2)
(II.4.a)
. − ∫∫ µˆ
.dS = −
0 z
3
11
∂t
2
S
[
[
]
]
de la même façon, on obtient pour la relation (II.3.b) :
(1 − T ) 1 ε ∆ x ∆ y 1 ∆ E 1
∂E . ∫∫ εˆ .dS1 = −
z
z z
2 ∆z
∂t
∆t Z 0 c0
S1
&
(1 − T ) 1 ε ∆ x ∆ y 1 ∆ E 2
∂E . ∫∫ εˆ .dS 2 = +
z
z z
∂t
∆t Z 0 c0
2 ∆z
S2
où
. S1 = S 2 = S = ∆ x ∆ y
2
2
Yˆ
1
1
E10z + E7z + E5z + sz E15z
2 E10z + E7z + E5z + Yˆsz E15z
1
2
2
2
. Ez =
=
4 + Yˆsz
1 1 Yˆsz
1+ + +
2 2 2
Yˆ
1
1
E6z + E7z + E5z + sz E15z
2 E6z + E7z + E5z + Yˆsz E15z
2
2
2
. E z2 =
=
4 + Yˆsz
1 1 Yˆ
1 + + + sz
2 2 2
4ε z ∆ x ∆ y
avec . 4 + Yˆsz =
2c 0 ∆ t ∆ z
Donc (II.3.b) donne,
∆ x∆ y 1
( n +1 / 2 )
∂E (1 − T ) 1
. ∫∫ εˆ .dS =
εz
∆ z − E z1 + E z2
∂t
∆t Z 0 c 0
2 ∆z
S
( n +1 / 2 )
 2 E10z + E 7z + E 5z + Yˆsz E15z 2 E 6z + E 7z + E5z + Yˆsz E15z 
∂E (1 − T ) 1
∆ z −
+

. ∫∫ εˆ .dS =
∂t
2 Z0
2
2


S
( n +1 / 2 )
∂E (1 − T ) 1
(II.4.b)
. ∫∫ εˆ .dS =
∆ z E 6z − E10z
∂t
2 Z0
S
[
[
]
]
212
Annexes
L’équation de Maxwell Faraday devient :
. 2∆ y E y( n ) −
. 2∆ y E y( n )
. 2∆ y E y( n )
(1 + T ) ∆
y
[E
y
11
+ E 3y
]
( n +1 / 2 )
=−
(1 − T ) Z
(II.2.a)=(II.4.a)
0
[
∆ z H 3z − H 11z
2
2
(1 + T ) ∆ E y + E y ( n +1 / 2) − (1 − T ) Z ∆ H z − H z
=
y
11
3
0 z
3
11
2
2
( n +1 / 2 )
( n −1 / 2 )
1
1
= ∆ y E11y + E 3y
+ ∆ y E11y + E 3y
2
2
(
n
+
1
/
2)
( n −1 / 2 )
1
1
− Z 0 ∆ z H 3z − H 11z
+ Z 0 ∆ z H 3z − H 11z
2
2
[
[
]
[
]
[
[
]
( n +1 / 2 )
]
( n +1 / 2 )
]
]
[
]
Après passage en tension, nous obtenons :
2∆ y E y( n ) = b3 + b11 + a3 + a11
LMF, plan (XOY)
(II.5.a)
L’équation de Maxwell Ampère devient :
(1 + T ) ∆
[H
]
(II.2.b)=(II.4.b)
[
]
( n +1 / 2 )
(1 − T ) 1
∆ z E 6z − E10z
2
2 Z0
(1 + T ) Z ∆ H y + H y ( n +1 / 2 ) + (1 − T ) ∆ E z − E z ( n +1 / 2 )
. 2 Z 0 ∆ y H y( n ) =
0
y
10
6
z
6
10
2
2
( n +1 / 2 )
( n −1 / 2 )
1
1
. 2 Z 0 ∆ y H y( n ) = Z 0 ∆ y H 10y + H 6y
+ Z 0 ∆ y H 10y + H 6y
2
2
( n +1 / 2 )
( n −1 / 2 )
1
1
+ ∆ z E6z − E10z
− ∆ z E 6z − E10z
2
2
. 2∆ y H y( n ) −
y
y
10
+ H 6y
[
=
]
[
[
( n +1 / 2 )
[
]
]
[
[
]
]
]
Après passage en tension, nous obtenons :
. 2Z 0 ∆ y H y( n ) = b6 − b10 − a6 + a10
LMA, plan (XOY)
2∆ y H y( n ) = Y0 (b6 − b10 − a6 + a10 )
(II.5.b)
213
Annexes
II.2
Relations de continuité des champs au centre de la cellule à l’instant n∆t
En effectuant cette seconde étape dans les trois plans principaux, et sachant que l’on
peut déterminer quatre des six composantes des champs au centre par plan, correspondant à
celles contenues dans ce plan, nous obtenons alors 12 relations reliant les champs au centre
aux tensions incidentes et réfléchies :
Relations II’
Continuité des champs au centre de la cellule à l’instant n∆t
Plan YOZ
. 2∆ y E y(n) =b4 +b8 + a4 + a8
LMF
. 2∆ y H y(n) =Y0(b9 −b2 + a2 −a9 )
LMA
(1)
(2)
&
. 2∆ z E z(n) =b5 +b7 + a5 + a7
. 2∆ z H z(n) =Y0(b1 −b12 + a12 − a1 )
LMF
LMA
(3)
(4)
Plan XOZ
. 2∆ x Ex(n) =b2 +b9 + a2 + a9
. 2∆ x H x(n) =Y0(b4 −b8 + a8 −a4 )
LMF
LMA
(5)
(6)
&
LMF
LMA
. 2∆ z E z(n) =b6 +b10 + a6 + a10
. 2∆ z H z(n) =Y0(b11 −b3 + a3 −a11 )
(7)
. 2∆ x Ex(n) =b1 +b12 + a1 + a12
. 2∆ x H x(n) =Y0(b7 −b5 + a5 −a7 )
(9)
(8)
Plan XOY
LMF
LMA
(10)
&
LMF
LMA
. 2∆ y E y(n) =b3 +b11 + a3 + a11
. 2∆ y H y(n) =Y0(b6 −b10 + a10 −a6 )
(11)
(12)
214
Annexes
II.3
Relations des tensions réfléchies sur les faces de la cellule à l’instant (n+1/2)∆t
Les relations précédentes (Relations II’) forment un système d’équations qui après
manipulations, donne les tensions réfléchies à l’instant (n+1/2)∆t en fonction des champs au
centre à l’instant n∆t et des tensions incidentes à l’instant (n-1/2)∆t:
Relation II
Tensions réfléchies de la
cellule à l’instant (n+1/2)∆t
Suivant OX
b3 = ∆ y E y( n ) − Z 0 ∆ z H z( n ) − a11
(11) − (8)
b11 = ∆ y E
− a3
(11) + (8)
− a10
(7) + (12)
− a6
(7) − (12)
Suivant OY
b1 = ∆ x E x( n ) + Z 0 ∆ z H z( n ) − a12
(9) + (4)
b6 = ∆ z E
(n)
z
b10 = ∆ z E
b12 = ∆ x E
b5 = ∆ z E
(n)
y
(n)
z
(n)
x
(n)
z
+ Z0∆ z H
(n)
z
+ Z0∆ y H
( n)
y
− Z0∆ y H
( n)
y
− Z0∆ z H
− Z0∆ x H
− a1
(n)
z
(n)
x
− a7
2
2
2
2
2
(9) − (4)
2
(3) − (10)
2
b7 = ∆ z E z( n ) + Z 0 ∆ x H x( n ) − a 5
(3) + (10)
Suivant OZ
b2 = ∆ x E x( n ) − Z 0 ∆ y H y( n ) − a9
(5) − (2)
b9 = ∆ x E
(n)
x
+ Z0∆ y H
(n)
y
b4 = ∆ y E
(n)
y
+ Z0∆ x H
( n)
x
b8 = ∆ y E
(n)
y
− Z0∆ x H
(n)
x
2
2
− a2
(5) + (2)
− a8
(1) + (6)
− a4
2
2
(1) − (6)
2
Au centre des cellules, les tensions réfléchies et incidentes s'échangent mutuellement.
Stubs
b13 = ∆ x E x( n ) − a13
b14 = ∆ y E y( n ) − a14
b15 = ∆ z E z( n ) − a15
b16 = Z 0 ∆ x H x( n ) − a16
b17 = Z 0 ∆ y H y( n ) − a17
b18 = Z 0 ∆ z H z( n ) − a18
215
Annexes
III
Troisième étape : Calcul des champs électrique et magnétique au centre de la
cellule à l’instant n∆t
Nous pouvons faire l’approximation des intégrales temporelles des intégrales de
contour et de surface entre les instants (n-1/2)∆t et n∆t, et aussi entre n∆t et (n+1/2)∆t en
gardant le même type d’approximation que celles effectuées entre les instants (n-1/2)∆t et
(n+1/2)∆t.
Intégrales de contour
( n +1 / 2 ) ∆t
.
∫
O(t ).dt = ∆t
( n −1 / 2 ) ∆t
(1 + T )O
2
n∆t
.
∫
( n −1 / 2 ) ∆t
O (t ).dt =
∆t
T .O
2
où
 E.dl
∫

. O(t) = Γ ∫ H.dl
Γ
. O est la valeur moyenne des champs à l’instant (n+1/2)∆t, entre les instants (n-1/2)∆t et
(n+1/2)∆t.
Intégrales de surface
( n −1 / 2 ) ∆t
∂P (t )
.dt = (1 − T )P
. ∫
∂
t
( n −1 / 2 ) ∆t
où
n∆t
.
∂P (t )
.dt = T (1 / 2) − T P
∂t
( n −1 / 2 ) ∆t
∫
(
)
 D.dS = εˆE.dS
D : déplacement électrique
∫∫
∫∫

. P (t ) =  S S
B : induction magnétique.
 ∫∫ B.dS = ∫∫ µˆH .dS
S
S
. P est la valeur moyenne des champs à l’instant (n+1/2)∆t, entre les instants (n-1/2)∆t et
(n+1/2)∆t.
. T (1 / 2 ) .u ( n +1 / 2 ) ∆t = u n∆t
. Rappels :
T (0) = 1 ,
T (1) = T ,
T ( 0 ) .u ( n +1 / 2 ) ∆t = u ( n +1 / 2 ) ∆t
T (1) .u ( n +1 / 2 ) ∆t = u ( n −1 / 2 ) ∆t
216
Annexes
III.1
Intégration des équations de Maxwell dans les trois plans principaux
Considérons de nouveau le plan (YOZ) et les échantillons de champs le long de cette
surface ainsi qu’il est indiqué sur la Figure 1 du paragraphe I, représentée ci-dessous :
(a)
(b)
Figure 1 : Contours et surfaces dans le plan (YOZ) pour l’approximation de la loi :
. de Maxwell-Ampère (a)
. de Maxwell-Faraday (b)
Intégrales de contour
n∆t
LMF
.
 
∆t
 ∫ E.dl .dt = T .E x
∫


2
( n −1 / 2 ) ∆t  Γ

(III.1.a)
.
 
∆t
 ∫ H .dl .dt = T .H x
∫


2
( n −1 / 2 ) ∆t  Γ

(III.1.b)
n∆t
LMA
Ces relations (III.1.a) et (III.1.b) donnent respectivement,
 
 ∫ E.dl .dt =
∫


( n −1 / 2 ) ∆t  Γ

n∆t
 
 ∫ E.dl .dt =
.
∫


( n −1 / 2 ) ∆t  Γ

n∆t
.
[ (
[ (
)
[ (
)
(
)]
(
∆t
∆ z E7z − E5z + ∆ y E4y − E8y
2
)
. E x = ∆ z E7z − E5z + ∆ y E4y − E8y
avec
)]
∆t
T ∆ z E7z − E5z + ∆ y E4y − E8y
2
(
( n +1 / 2 )
)]
( n −1 / 2 )
 
∆t


H
.
d
l
.
dt
=
T ∆ z H 12z − H 1z + ∆ y H 2y − H 9y
.
∫
∫

2
( n −1 / 2 ) ∆t  Γ

n∆ t
[ (
)
(
)]
 
∆t
z
z
y
y
 ∫ H .dl .dt =
∆
H
−
H
+
∆
H
−
H
.
z
12
1
y
2
9
∫


2
( n −1 / 2 ) ∆t  Γ

n∆t
avec
[ (
[ (
)
(
. H x = ∆ z H12z − H1z + ∆ y H 2y − H 9y
)
)]
(
(III.2.a)
( n +1 / 2 )
)]
( n −1 / 2 )
(III.2.b)
217
Annexes
Intégrales de surface

∂H 
~
.dS .dt = −(T (1 / 2) − T ) H x
. − ∫  ∫∫ µˆ
∂t
( n −1 / 2 ) ∆t  S

(III.3.a)

∂E 
~
.dS .dt = (T (1 / 2) − T ) E x
. ∫  ∫∫ εˆ
∂t
( n −1 / 2 ) ∆t  S

(III.3.b)
n∆t
LMF
n∆t
LMA
Ces relations (III.3.a) et (III.3.b) donnent respectivement,

∂H 
~
.dS .dt = −(T (1 / 2) − T ) H x
. − ∫  ∫∫ µˆ
∂t
( n −1 / 2 ) ∆t  S

n∆t
[
~ ~
=− H x(n) −H x(n−1/ 2)
=−
]
∆ y∆ z
Z0
µx
∆ x H x( n ) − H x( n −1 / 2 )
c0
∆x
[
]
 H x + H 7x + H 8x + H 5x + Zˆ sx H16x 
=− Z 0 µ x ∆ y ∆ z ∆ x H x(n) + Z 0 µ x ∆ y ∆ z ∆ x  4

c0
∆x
c0
∆x
4+ Zˆ sx


(n −1/ 2)
(n −1/ 2)
 x

H 4 + H 7x + H 8x + H 5x + Zˆ sx H16x 
∆
y∆z
(n)
Z
0

=− µ x
∆ x H x + Z 0∆ x


c0
∆x
2
∆t


∆ y∆z
Z
∆t
= − 0 µx
∆ x H x( n ) + Z 0 ∆ x H 4x + H 7x + H 8x + H 5x + Zˆ sx H 16x
c0
∆x
2
[
]
( n −1 / 2 )
Donc
∆ y∆z

Z
∂H 
∆t
. − ∫  ∫∫ µˆ
∆ x H x( n ) + Z 0 ∆ x H 4x + H 7x + H 8x + H 5x + Zˆ sx H 16x
.dS .dt = − 0 µ x
∂t
c0
∆x
2
( n −1 / 2 ) ∆t  S

(III.4.a)
n∆t
où
H 4x + H8x + H5x + H 7x + Zˆsx H16x
4+Zˆsx
4µ x ∆ y ∆ z
. 4+ Zˆ sx =
2c0 ∆t∆ x
. Hx=
[
]
( n −1 / 2 )
218
Annexes
&

∂E 
~
(1 / 2 )


ˆ
ε
.
d
S
.
dt
=
(
T
−
T
)
E
.
x
∫  ∫∫ ∂t 
( n −1 / 2 ) ∆t  S
n∆t
[
~
~
= E x( n ) − E x( n −1 / 2 )
[
]
= 1 ε x ∆ y ∆ z ∆ x E x(n) − E x(n −1/ 2)
Z 0c0
∆x
]
 E x + E x + E x + E x +Yˆsx E13x 
= 1 ε x ∆ y ∆ z ∆ x Ex(n) − 1 ε x ∆ y ∆ z ∆ x  2 12 1 9

Z 0c0
∆x
Z 0c0
∆x
4+Yˆsx


(n −1/ 2)
(n −1/ 2)
 x x

E2 + E12 + E1x + E9x +Yˆsx E13x 
y∆ z
∆
(n)
1
1

εx
=
∆ x Ex − ∆ x

Z 0c0
∆x
Z0 
2


∆t
∆ y∆z
1
∆t 1
=
εx
∆ x E x( n ) −
∆ x E 2x + E12x + E1x + E 9x + Yˆsx E13x
Z 0 c0
∆x
2 Z0
[
]
( n −1 / 2 )
Donc
∆ y∆z

∂E 
1
∆t 1
(n)
x
x
x
x
ˆ E x ( n −1 / 2 )
 ∫∫ εˆ
.dt =
.
.
d
S
ε
∆
E
−
∆
E
+
E
+
E
+
E
+
Y
x
x
x
x
2
12
1
9
sx 13
∫


∂t
Z 0 c0
∆x
2 Z0
( n −1 / 2 ) ∆t  S

(III.4.b)
x
x
x
x
x
E + E12 + E1 + E9 + Yˆsx E13
où
. Ex = 2
4 + Yˆsx
4ε x ∆ y ∆ z
. 4 + Yˆsx =
2 c 0 ∆t ∆ x
[
n∆ t
L’équation de Maxwell Faraday devient :
.
[ (
∆t
∆ z E7z − E5z + ∆ y E 4y − E8y
2
)
(
)]
( n −1 / 2 )
]
(III.2.a)=(III.4.a)
∆ ∆
Z0
µ x y z ∆ x H x( n )
c0
∆x
∆t
+ Z 0 ∆ x H 4x + H 7x + H 8x + H 5x + Zˆ sx H 16x
2
=−
[
∆ ∆
( n −1 / 2 )
Z0
∆t
µ x y z ∆ x H x( n ) = −
∆ z E7z − E5z + ∆ y E4y − E8y
c0
∆x
2
'n −1 / 2 )
∆t
+ Z 0 ∆ x H 4x + H 7x + H 8x + H 5x + Zˆ sx H 16x
2
∆
∆
( n −1 / 2 )
1 Z0
1
.
µ x y z ∆ x H x( n ) = − ∆ z E7z − E5z + ∆ y E 4y − E8y
∆t c 0
∆x
2
( n −1 / 2 )
1
+ Z 0 ∆ x H 4x + H 7x + H 8x + H 5x + Zˆ sx H 16x
2
.
[ (
)
)]
(
[
]
[ (
)
[
(
)]
]
]
( n −1 / 2 )
219
Annexes
Donc
( n −1 / 2 )
1
1
1
.
∆ x Z 0 H x( n ) = − ∆ z E7z − E5z + ∆ y E4y − E8y
+ Z 0 ∆ x H 4x + H 7x + H 8x + H 5x + Zˆ sx H 16x
Dx
2
2
s∆ x
avec . D x =
et
. s = 2c0 ∆t
2µ x ∆ y ∆ z
Après passage en tensions, nous obtenons :
[ (
)
(
Z 0 ∆ x H x( n ) = Dx a8 − a4 + a5 − a7 + Zˆ sx a16
LMF, plan (YOZ)
[
)]
(
L’équation de Maxwell-Ampère devient :
.
[ (
∆t
∆ z H 12z − H 1z + ∆ y H 2y − H 9y
2
)
(
)]
( n −1 / 2 )
)
( n −1 / 2 )
(III.5.a)
(III.2.b)=(III.4.b)
∆ y∆z
1
εx
∆ x E x( n )
Z 0 c0
∆x
∆t 1
−
∆ x E 2x + E12x + E1x + E 9x + Yˆsx E13x
2 Z0
=
[
[
]
]
( n −1 / 2 )
]
∆ y∆z
( n −1 / 2 )
1
1 ∆t
εx
∆ x E x( n ) =
∆ x E 2x + E12x + E1x + E9x + Yˆsx E13x
Z 0 c0
∆x
Z 0 c0 2
( n −1 / 2 )
∆t
+
∆ z (H 12z − H 1z ) + ∆ y (H 2y − H 9y )
2
∆
∆
( n −1 / 2 )
1 1
1
y z
.
εx
∆ x E x( n ) = ∆ x E 2x + E12x + E1x + E 9x + Yˆsx E13x
∆t c 0
∆x
2
( n −1 / 2 )
1
+ Z 0 ∆ z (H 12z − H 1z ) + ∆ y (H 2y − H 9y )
2
Donc
.
[
]
[
]
[
]
[
]
[ (
)
(
( n −1 / 2 )
1
1
1
∆ x E x( n ) = ∆ x E 2x + E12x + E1x + E9x + Yˆsx E13x
+ Z 0 ∆ z H 12z − H 1z + ∆ y H 2y − H 9y
Cx
2
2
avec . C x = s∆ x
et
. s =2c0 ∆t
2ε x ∆ y ∆ z
Après passage en tensions, nous obtenons :
.
LMA, plan (YOZ)
(
∆ x Ex( n ) = Cx a1 + a12 + a2 + a9 + Yˆsx a13
)
(III.5.b)
)]
( n −1 / 2 )
220
Annexes
III.2
Relations des champs au centre de la cellule à l’instant n∆t
Nous obtenons deux relations par plan, (III.5.a) et (III.5.b) pour le plan (YOZ). Donc,
en effectuant cette troisième étape dans les trois plans principaux, cela fait un total de six
équations pour caractériser les champs au centre de la cellule à l’instant n∆t.
Relations III
Champs au centre de la cellule à l’instant n∆t
Plan YOZ
LMF
. ∆ x H x( n ) = Y0 Dx a8 + a5 − a4 − a7 + Zˆ sx a16
LMA
. ∆ x Ex( n ) = Cx a1 + a12 + a2 + a9 + Yˆsx a13
Plan XOZ
LMF
. ∆ y H y( n ) = Y0 Dy a10 + a2 − a6 − a9 + Zˆ sy a17
LMA
. ∆ y E y( n ) = C y a4 + a8 + a3 + a11 + Yˆsy a14
Plan XOY
LMF
. ∆ z H z( n ) = Y0 Dz a3 + a12 − a1 − a11 + Zˆ sz a18
LMA
. ∆ z E z( n ) = C z a5 + a6 + a10 + a7 + Yˆsz a15
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
221
Annexes
Annexe G
Récapitulatifs des étapes pour l’algorithme TLM classique
ETAPE 1
Equations de conservation de la charge et de flux magnétique
Plan (YOZ)
(1+T )[∆ (E −E )+∆y(E
2
LMF
z
7
z
z
5
(1+T )Z [∆ (H
2
− E8y )]=−
(1−T )Z ∆ [H
0
2
x
x
7
+ H 5x + H 4x + H8x +Zˆsx H16x
z
12
z
0
− H1z )+∆y(H 2y − H 9y )]=
(1−T )∆ [E
x
2
]
4µ x ∆ y ∆ z
, 4 + Zˆ sx =
2 c 0 ∆t ∆ x
b4 −b8 +b7 −b5 + Zˆ sxb16 =−a4 + a8 −a7 + a5 + Zˆ sx a16
LMA
y
4
x
12
+ E1x + E2x + E9x +Yˆsx E13x
b1 +b12 +b2 +b9 +Yˆsxb13 =a1 + a12 +a2 +a9 +Yˆsx a13
,
]
4ε x ∆ y ∆ z
4 + Yˆsx =
2 c 0 ∆t ∆ x
Plan (XOZ)
(1+T )[∆ (E −E )+∆x(E −E )]=− (1−T )Z ∆ [H
2
2
z
6
z
LMF
2
Plan (XOY)
0
z
z
3
0
− H11z )+∆x(H8x − H 4x )]=
(1+T )[∆ (E −E )+∆y(E
2
y
y
6
x
1
x
12
y
11
−E3y )]=−
(1+T )Z [∆ (H
0
x
x
5
(1−T )∆ [E
y
2
y
3
0
2
z
z
1
+ H12z + H11z + H 3z +Zˆsz H18z
4 + Zˆ sz =
,
b5 +b7 +b10 +b6 +Yˆszb15 =a5 + a7 + a10 + a6 +Yˆsz a15
z
z
5
]
4ε y ∆ x ∆ z
4 + Yˆsy =
2 c 0 ∆t ∆ y
(1−T )∆ [E + E + E
2
]
4µ y ∆ x ∆ z
4 + Zˆ sy =
2 c 0 ∆t ∆ y
+ E11y + E8y + E4y +Yˆsy E14y
,
(1−T )Z ∆ [H
−H 7x )+∆y(H10y − H 6y )]=
+ H10y + H 9y + H 2y +Zˆsy H17y
,
b1 −b12 +b11 −b3 + Zˆ szb18 =−a1 + a12 −a11 +a3 + Zˆ sz a18
2
LMA
x
2
b3 +b11 +b8 +b4 +Yˆsyb14 = a3 + a11 + a8 + a4 +Yˆsy a14
x
LMF
x
9
b6 −b10 +b9 −b2 + Zˆ syb17 =−a6 + a10 −a9 + a2 + Zˆ sy a17
(1+T )Z [∆ (H
LMA
z
10
z
7
z
10
4µ z ∆ x ∆ y
2 c 0 ∆t ∆ z
+ E6z +Yˆsz E15z
, 4 + Yˆsz =
4ε z ∆ x ∆ y
2 c 0 ∆t ∆ z
]
]
222
Annexes
ETAPE 2
Equations de continuité des champs au centre de la cellule à l’instant n∆t
pour le calcul des tensions réfléchies à l’instant (n+1/2)∆t
Plan (YOZ)
2∆ y E y( n ) =
LMFy
2 Z 0 ∆ y H y( n )
LMAy
2∆ z E z( n ) =
LMFz
2 Z 0 ∆ z H z( n )
LMAz
Plan (XOZ)
2∆ x E x( n ) =
LMFx
2Z 0 ∆ x H
LMAx
(n)
x
2∆ z E z( n ) =
LMFz
2 Z 0 ∆ z H z( n )
LMAz
Plan (XOY)
LMFx
2∆ x E x( n ) =
LMAx
2 Z 0 ∆ x H x( n )
LMFy
2∆ y E
(n)
y
(1 + T ) ∆
y
[E
y
4
]
+ E8y −
(1 − T ) Z
0
[
]
∆ x − H 4x + H 8x = b4 + b8 + a 4 + a8
2
2
(1 + T ) Z ∆ H y + H y + (1 − T ) ∆ − E x + E x = −b + b + a − a
=
0 y
2
9
x
2
9
2
9
2
9
2
2
[
(1 + T ) ∆
[E
]
]
+ E5z −
(1 − T ) Z
[
]
[
(1)
(2)
]
∆ x − H 7x + H 5x = b7 + b5 + a 7 + a 5
(3)
2
2
(1 + T ) Z ∆ H z + H z + (1 − T ) ∆ − E x + E x = −b + b + a − a
=
0 z
12
1
x
12
1
12
1
12
1 (4)
2
2
z
z
7
[
(1 + T ) ∆
x
[E
x
2
0
]
]
+ E 9x −
(1 − T ) Z
[
0
]
[
]
∆ y H 2y − H 9y = b2 + b9 + a 2 + a9
2
2
(1 + T ) Z ∆ H x + H x + (1 − T ) ∆ E y − E y = b − b − a + a
=
y
0 x
4
8
4
8
4
8
4
8
2
2
[
(1 + T ) ∆
[E
]
]
(1 − T ) Z
]
[
]
y
y
0 ∆ y H 10 − H 6 = b10 + b6 + a10 + a 6
2
2
(1 + T ) Z ∆ H z + H z + (1 − T ) ∆ E y − E y = b − b − a + a
=
0 z
11
3
y
11
3
11
3
11
3
2
2
z
z
10
+ E 6z −
[
[
(1 + T ) ∆
x
[E
x
12
]
]
+ E1x −
[
(1 − T ) Z
0
(1 + T ) ∆
=
2
y
[E
y
3
∆ z H 12z − H 1z = b12 + b1 + a12 + a1
(9)
[
]
+E
[
] − (1 − T ) Z
2
0
(7)
(8)
]
y
11
(6)
]
2
2
(
1+ T )
(1 − T ) ∆ E z − E z = b − b − a + a
=
Z 0 ∆ x H 7x + H 5x +
z
7
5
7
5
7
5
2
2
[
(5)
[
]
∆z H − H
z
3
z
11
]= b
3
(10)
(11)
+ b11 + a 3 + a11
(12)
LMAy
2 Z 0 ∆ y H y( n ) =
(1 + T ) Z
2
0
[
]
∆ y H 6y + H 10y +
(1 − T ) ∆
2
z
[E
z
6
]
− E10z = b6 − b10 − a 6 + a10
223
Annexes
ETAPE 3
Equations des champs au centre de la cellule à l’instant n∆t
Plan (YOZ)
LMF
[ (
)
[
)]
(
]
T
 T

Z 0 ∆ x H x( n ) = Dx − ∆ z E7z − E5z + ∆y E 4y − E8y + Z 0 ∆ x H 7x + H 5x + H 4x + H 8x + Zˆ sx H 16x 
2
 2

ˆ = 4µ x ∆ y ∆ z
4
+
Z
sx
(n)
Z 0 ∆ x H x = a8 + a5 − a4 − a7 + Zˆ sx a16
2 c 0 ∆t ∆ x
,
(
)
LMA
[ (
)
[
)]
(
]
T
T

∆ x E x( n ) = C x  Z 0 ∆ z H 12z − H 1z + ∆y H 2y − H 9y + ∆ x E12x + E1x + E 2x + E9x + Yˆsx E13x 
2
2

ˆ = 4ε x ∆ y ∆ z
4
Y
+
sx
(n)
∆ x E x = C x a1 + a12 + a2 + a9 + Yˆsx a13
2 c 0 ∆t ∆ x
,
(
)
Plan (XOZ)
LMF
[ (
)
[
)]
(
]
T
 T

Z 0 ∆ y H y( n ) = D y − ∆ z E6z − E10z + ∆x E9x − E 2x + Z 0 ∆ y H 6y + H 10y + H 9y + H 2y + Zˆ sy H 17y 
2
 2

ˆ = 4µ y ∆ x ∆ z
4
+
Z
sy
(n)
Z 0 ∆ y H y = D y a10 + a2 − a6 − a9 + Zˆ sy a17
2 c 0 ∆t ∆ y
,
(
)
LMA
[ (
)
)]
(
[
]
T
T

∆ y E y( n ) = C y  Z 0 ∆ z H 3z − H 11z + ∆x H 8x − H 4x + ∆ y E3y + E11y + E8y + E 4y + Yˆsy E14y 
2
2

4ε y ∆ x ∆ z
4 + Yˆsy =
(n)
ˆ
∆ y E y = C y a4 + a8 + a3 + a11 + Ysy a14
2 c 0 ∆t ∆ y
,
(
)
224
Annexes
Plan (XOY)
LMF
[ (
)
[
)]
(
]
T
 T

Z 0 ∆ z H z( n ) = Dz − ∆ x E1x − E12x + ∆y E11y − E3y + Z 0 ∆ z H 1z + H 12z + H 11z + H 3z + Zˆ sz H 18z 
2
 2

4µ z ∆ x ∆ y
4 + Zˆ sz =
(n)
Z 0 ∆ z H z = D z a3 + a12 − a1 − a11 + Zˆ sz a18
2 c 0 ∆t ∆ z
,
(
)
LMA
[ (
)
)]
(
[
]
T
T

∆ z E z( n ) = C z  Z 0 ∆ x H 5x − H 7x + ∆y H 10y − H 6y + ∆ z E5z + E7z + E10z + E6z + Yˆsz E15z 
2
2

4ε z ∆ x ∆ y
4 + Yˆsz =
(n)
ˆ
∆ z E z = C z a5 + a6 + a10 + a7 + Ysz a15
2 c 0 ∆t ∆ z
,
(
)
Relations II
Champs au centre de la cellule à l’instant n∆t
Plan YOZ
(
LMF
Z 0 ∆ x H x( n ) = Dx a8 + a5 − a4 − a7 + Zˆ sx a16
LMA
∆ x E x( n ) = C x a1 + a12 + a2 + a9 + Yˆsx a13
(
Plan XOZ
)
(
LMF
Z 0 ∆ y H y( n ) = D y a10 + a2 − a6 − a9 + Zˆ sy a17
LMA
∆ y E y( n ) = C y a4 + a8 + a3 + a11 + Yˆsy a14
(
4µ x ∆ y ∆ z
, 4 + Zˆ sx =
2 c 0 ∆t ∆ x
4ε x ∆ y ∆ z
, 4 + Yˆsx =
2 c 0 ∆t ∆ x
)
)
4µ y ∆ x ∆ z
, 4 + Zˆ sy =
2 c 0 ∆t ∆ y
4ε y ∆ x ∆ z
, 4 + Yˆsy =
2 c 0 ∆t ∆ y
)
Plan XOY
(
LMF
Z 0 ∆ z H z( n ) = D z a3 + a12 − a1 − a11 + Zˆ sz a18
LMA
∆ z E z( n ) = C z a5 + a6 + a10 + a7 + Yˆsz a15
(
)
)
, 4 + Zˆ sz =
, 4 + Yˆsz =
4µ z ∆ x ∆ y
2 c 0 ∆t ∆ z
4ε z ∆ x ∆ y
2 c 0 ∆t ∆ z
225
Annexes
Annexe H
Approximation des intégrales temporelles pour les
intégrales de contour et de surface
Approximation de l’intégrale temporelle pour les intégrales de contour
Il s’agit d’intégrer les équations de Maxwell Ampère et de Maxwell Faraday entre les
instants (n-1/2)∆t et (n+1/2)∆t.
Ainsi, pour les intégrales de contour (circulation des champs), l’approximation de l’intégrale
temporelle est la suivante :
( n +1 / 2 ) ∆t
.
∫
O(t ).dt = ∆t
(1 + T )O
( n −1 / 2 ) ∆t
2
où
 E.dl
∫
. O(t) = Γ ∫ H.dl
Γ
. O est la valeur moyenne des champs à l’instant (n+1/2)∆t, entre les instants (n-1/2)∆t et
(n+1/2)∆t.
( n +1 / 2 ) ∆t
.
Par exemple, pour le champ électrique, dans le plan (XOZ) :
( n −1 / 2 ) ∆t
( n +1 / 2 ) ∆t
 
 ∫ E.dl .dt


( n −1 / 2 ) ∆t  Γ



= ∆t  ∫ E.dl 
Γ

(1 + T ) ∆ (E z − E z ) + ∆ (E x − E x ) ( n +1 / 2 )
= ∆t
z
6
10
x
9
2
2
∫ O(t ).dt =
∫
[
avec
]
. O = ∫ E.dl = ∆ z E 6z − E10z + ∆ x E 9x − E 2x
[ (
Γ
)
(
)]
( n +1 / 2 )
226
Annexes
Approximation de l’intégrale temporelle pour les intégrales de surface
En ce qui concerne les intégrales de surface, l’approximation de l’intégrale temporelle est
prise ainsi :
( n −1 / 2 ) ∆t
.
∂P (t )
.dt = (1 − T )P
∂
t
( n −1 / 2 ) ∆t
∫
où
 D.dS = εˆE.dS
∫∫
D : déplacement électrique
∫∫
. P (t ) =  S S
B : induction magnétique
ˆ
B
.
d
S
=
µ
H
.
d
S
 ∫∫
∫∫S
S
. P est la valeur moyenne des champs à l’instant (n+1/2)∆t, entre les instants (n-1/2)∆t et
(n+1/2)∆t.
Par exemple, pour le champ électrique, dans le plan (XOZ) :
( n +1 / 2 ) ∆t
.
( n +1 / 2 ) ∆t

∂P (t )
∂
 εˆ ∫∫ E.dS .dt
.
dt
=
∫
∫

∂t
∂t  S
( n −1 / 2 ) ∆t
( n −1 / 2 ) ∆t

=
=

(1 − T ) 
 εˆ ∫∫ E.dS 

∆t  S

(1 − T )
∆t
1
ε y ∫∫ E.dS
Z 0 c0
S
(1 − T )
=
 E 4y + E11y + E 8y + E 3y + Yˆsy E14y  ( n +1 / 2)
∆x∆z
1
∆y
εy

∆t Z 0 c 0
∆y
4 + Yˆsy


 E 4y + E11y + E 8y + E 3y + Yˆsy E14y  ( n +1 / 2)
∆x∆z
1 1
= (1 − T )
εy
∆y 

∆t Z 0 c 0
∆y
4 + Yˆsy


avec
 E 4y + E11y + E 8y + E 3y + Yˆsy E14y  ( n +1 / 2 )
∆x∆z
1 1
εy
∆y

∆t Z 0 c 0
∆y
4 + Yˆsy


( n +1 / 2 )
1
. P=
∆ y E 4y + E11y + E 8y + E 3y + Yˆsy E14y
Z0
. P=
[
]
227
Annexes
Annexe I
Analyse électromagnétique de la cellule en guide
d'onde rectangulaire
L’analyse modale du guide consiste à calculer les constantes de propagation et les champs
électromagnétiques de la région vide et de la région de la cellule partiellement chargée par le
ferrite aimanté. Pour établir l’équation caractéristique de la structure, il faut déterminer dans
chaque milieu les champs électrique et magnétique solutions des équations de Maxwell. Puis
il est nécessaire d'appliquer les conditions de continuité que doivent satisfaire ces champs aux
différentes interfaces.
Dans un milieu ferrimagnétique aimanté de dimensions infinies, l'équation de Helmholtz s'écrit :
∆H − grad (div H ) + ω 2 ε o ε f µ H = 0
(1)
où εf est la permittivité relative du ferrite, µ sa perméabilité absolue tensorielle et ω la pulsation angulaire de
l'onde électromagnétique. Lorsque le champ magnétique statique est appliqué suivant l'axe Oy du système de
coordonnées Cartésien, le tenseur de perméabilité du ferrite prend la forme suivante :
µ
µ = µ o  0
 jκ
0
µy
0
- jκ 
0 
µ 
où
µ = µ ′ - jµ ′′
κ = κ ′ - jκ ′′ .
µ y = µ ′y - jµ ′y′
La résolution de l'équation (1) permet d'établir l'expression du champ magnétique H. Le champ électrique E est
déduit du champ magnétique en utilisant l'équation de Maxwell-Faraday :
dE
rot H = ε o ε f
= jωε o ε f E .
dt
La solution générale de l'équation (1) peut s'écrire initialement sous la forme suivante :
Hx Hfx
− j ( k x x + k y y +γz )
Hy = Hfy .e
Hz Hfz
où kx, ky et γ représentent respectivement les constantes de propagation selon les directions (Ox), (Oy) et (Oz).
Dans la structure les plans d'équations y=0 et y=b sont des plans de court-circuit, ce qui implique que les champs
dans le ferrite sont de la forme :
Ex
Efx
Ez = Efz . sin k y y.e − j ( k x x +γz )
Hy Hfy
π
n = 0 ,1,2 ,... et h ≤ x ≤ L .
b
Comme le guide vide est excité par son mode fondamental transverse électrique TE10 et étant donnée les
propriétés de symétrie des discontinuités étudiés (invariance par translation selon (Oy)), le champ
électromagnétique total dans la structure est une combinaison de modes de type transverse électrique (TE). Ces
modes sont indépendants de la variable y. En conséquence, on peut prendre :
avec
ky = n
Hx Hfx
Hz = Hfz . cos k y y.e − j ( k x x +γz )
Ey Efy
ky=0.
228
Annexes
Ainsi
Ex
Hx
Ez = 0
Hfx
Hz = Hfz .e − j ( k x x +γz )
et
Hy
Ey
avec
h≤x≤L.
Efy
En remplaçant le champ magnétique par son expression dans l'équation (1) projetée sur les trois axes du système
Cartésien, on obtient la relation matricielle suivante :
 µ .k 2f − γ 2

2
 j.κ .k f + γ .k x
− j.κ .k 2f + γ .k x   Hfx 
.
=0
µ .k 2f − k x2   Hfz 
(2)
où k 2f = ω 2 ε o ε f µ o .
Le système d'équations (2) admet des solutions non triviales si le déterminant de la matrice correspondante
est nulle. Cette condition permet d'obtenir l'équation de dispersion du milieu ferrimagnétique :
k x2 + γ 2 = k 2f .( µ 2 − κ 2 ) / µ
L'équation de dispersion obtenue est d'ordre 2 en kx. Sa résolution conduit aux nombres d'onde suivant Ox, kx
et -kx. Il y a donc 2 nombres d'onde suivant (Ox) à considérer dans le ferrite.
Les expressions des composantes Hx et Hz du champ magnétique sont déterminées en reprenant le système
précédent. La condition d'existence de solutions non nulles impliquant l'annulation de l'équation de dispersion, le
système sera donc dégénéré d'ordre un. La nécessité de fixer arbitrairement la valeur de l'une des composantes de
H apparaît. La recherche du vecteur propre associé à chaque valeur propre nous donne les expressions des
champs magnétique et électrique. Le vecteur propre associé à la valeur propre kx s'écrit :
Hfz + = µ.k 2f − γ 2
Hfx + = −γ .k x + j.κ .k 2f
Efy + = ω .µ 0 .(k x .µ − j.κ .γ )
et celui associé à la valeur propre -kx a pour expression :
Hfz − = µ .k 2f − γ 2 = Hfz +
Hfx − = γ .k x + j.κ .k 2f
.
Efy − = −ω .µ 0 .(k x .µ + j.κ .γ )
Finalement, dans l'échantillon de ferrite inséré dans le guide (h ≤ x ≤ L), le champ électromagnétique s'écrit :
[
]
[
]
[
]
 H x = C Hf x+ exp(− jk x x ) + D Hf x− exp(+ jk x x ) exp(− jγ z )


+
−
 H z = C Hf z exp(− jk x x ) + D Hf z exp(+ jk x x ) exp(− jγ z )


 E y = C Ef y+ exp(− jk x x ) + D Ef y− exp(+ jk x x ) exp(− jγ z )


avec
k x 2 = k 2f
k 2f
=
(µ 2 − κ 2 )
µ
−γ 2
k o2 ε f
Ex = Ez = H y = 0
où les grandeurs C et D sont deux constantes d'intégration à calculer. Puisque le milieu ferrimagnétique réel
présente des pertes, la constante de propagation recherchée est une grandeur complexe : γ = β − jα . La
constante d'atténuation α est une grandeur réelle pure strictement positive pour un mode se propageant dans le
sens des z croissants.
229
Annexes
De la même façon, on détermine l'expression du champ électromagnétique dans les autres milieux qui
constituent la section transverse du guide :
- dans le diélectrique (0 < x < h)
Hdz = A. cos(γ d x)
Edy = − j.ω .µ o . A. sin(γ d x) / γ d
γ d2 = k d2 − γ 2
avec
Hdx = j.γ . A. sin(γ d x) / γ d
k d2 = k o2 .ε d
Hdy = Edz = Edx = 0
-
,
dans l'air (L < x < a)
Haz = B. cos(γ o ( x − a))
Eay = − j.ω .µ o .B. sin(γ o ( x − a)) / γ o
γ o2 = k o2 − γ 2
avec
Hax = j.γ .B. sin(γ o ( x − a )) / γ o
k o2 = ω 2 .ε o .µ o
Hay = Eaz = Eax = 0
.
où A et B sont deux nouvelles constantes d'intégration, γo et γd sont respectivement les constantes de propagation
suivant (Ox) dans l'air et dans le ferrite.
Connaissant les expressions des champs dans les différents milieux constituant la section droite du guide
rectangulaire, nous pouvons écrire les conditions de continuité que doivent satisfaire les composantes
tangentielles des champs aux interfaces "dielectrique-ferrite" et "ferrite-air" :
- en x = h
Edy ( x = h) = − j.ω .µ o . A. sin(γ d h) / γ d = C.Efy + .e − jk x h + D.Efy − .e + jk x h
Hdz ( x = h) = A. cos(γ d h) = C.Hfz + .e − jk x h + D.Hfz − .e + jk x h
-
en x = L
Eay ( x = L) = − j.ω .µ o .B. sin(γ o ( L − a)) / γ o = C.Efy + .e − jk x L + D.Efy − .e + jk x L
Haz ( x = L) = B. cos(γ o ( L − a)) = C.Hfz + .e − jk x L + D.Hfz − .e + jk x L
Finalement, on obtient un système de quatre équations à quatre inconnues A, B, C, D qui prend la forme
matricielle suivante:
[K ][V ] = 0
où
 jωµ o sin(γ d h) / γ d
 A
0
Efy + .e − j.k x .h Efy − .e + j.k x .h 

 
+ − j .k x .h
+ + j .k x .h 
0
Hfz .e
Hfz .e
 et [V ] =  B  .
[K ] =  − cos(γ d h)
C 
0
− cos(γ o ( L − a))
Hfz + .e − j .k x .L Hfz − .e + j .k x .L 


 
+ − j .k x . L
− + j .k x . L
0
jωµ 0 sin(γ o ( L − a )) / γ o Efy .e
Efy .e


D
La relation de dispersion du guide rectangulaire partiellement rempli par l'échantillon de ferrite aimanté est
obtenue en annulant le déterminant de la matrice K :
dét [K ] = 0 .
Après quelques manipulations matricielles, en utilisant les expressions des champs dans le ferrite et en
posant:
S = L − h; E = a − L, TH = tg (γ d h) / γ d , TE = tg (γ o E ) / γ o , TS = tg (k x S ) / k x ,
on obtient l'équation caractéristique suivante :
[
]
dét [K ] = TH .{µ − TS .[κ .γ + Hfz.TE ]}+ TS . TE.κ .γ + ( µ 2 − κ 2 ) + TE.µ = 0 .
(3)
230
Annexes
A une fréquence donnée, pour connaître les modes évanescents ou propagés dans le guide, il suffit de calculer les
constantes de propagation γ solution de l'équation (3). Les champs électromagnétiques associés à chaque mode
sont déterminer en calculant les vecteurs propres V associés à chaque valeur propre γ.
Dans le cas d'un échantillon diélectrique ( µ = 1, κ = 0) , l'équation caractéristique se simplifie et devient :
{
}
dét [K ] = TH . 1 − TS .k x2 .TE + TS . + TE = 0 .
Dans le cas d'une structure de propagation sans perte, la constante de propagation d'un mode évanescent est en
général une grandeur purement imaginaire :
γ = − jα .
Recherchons l'expression de l'équation caractéristique correspondant aux modes évanescents. Si γ = − jα alors
γ d , γ o , k x sont soit réels, soit imaginaires purs. En conséquence, les grandeurs TH, TE, TS sont réelles.
L'équation caractéristique (3) s'écrit alors :
{
}
dét [K ] = µ .(TH + TE ) − TH .TS .TE.Hfz + TS .( µ 2 − κ 2 ) − j.{TS .κ .γ (TH − TE )} = 0
L'annulation de la partie imaginaire du déterminant impose: TH=TE. En reportant cette condition dans la partie
réelle du déterminant, on trouve :
2.µ.TH − TH 2 .TS .Hfz + TS .( µ 2 − κ 2 ) = 0
Cette condition n'est pas réaliste car l'équation caractéristique ne dépend plus de la grandeur E.
En réalité, même si la structure de propagation est sans pertes, les modes évanescents évoluent avec une
constante de propagation complexe :
γ = β − jα .
Annexes
231
Annexe J
Méthode de dichotomie
Etapes successives de la méthode dichotomie avec comme point de départ, l'intervalle [a1;b1.
le zéro de la fonction est en rouge]
En mathématiques, la méthode de dichotomie ou
méthode de la bissection est un algorithme de
recherche d'un zéro d'une fonction qui consiste à
répéter des partages d'un intervalle en deux parties
puis à sélectionner le sous-intervalle dans lequel
existe un zéro de la fonction.
Supposons que nous voulions résoudre l'équation
f(x)=0. Etant donné deux points a et b tels que f(a) et
f(b) soient de signes opposés, nous savons par le
théorème des valeurs intermédiaires que f doit avoir
au moins un zéro dans l'intervalle [a,b]. la méthode
de dichotomie divise l'intervalle en deux en calculant
c=(a+b)/2. Il y a maintenant deux possibilités: ou
f(a) et f(c) sont de signes opposés, ou f(c) et f(b) sont
de signes opposés.
L'algorithme de dichotomie est alors appliqué au sous-intervalle dans lequel le changement de
signe se produit, ce qui signifie que l'algorithme de dichotomie est en soi récursif.
La méthode de dichotomie est moins efficace que la méthode de Newton mais est moins
encline à de mauvais comportement.
L'erreur absolue de la méthode dichotomie est au plus:
b−a
2 n +1
après n étapes quand f est continue sur un intervalle [a,b] et f(a)f(b)<0. En d'autres termes,
l'erreur est diminuée de moitié à chaque étape, ainsi la méthode converge linéairement, ce qui
est très lent. Le côté positif de la méthode a la garantie de converger si f(a) et f(b) sont de
signes opposés.
232
Annexes
Annexe K
Kit d'étalonnage TRL
II.4.b.a. Liaison directe(Thru)
•
•
l'étalon de LIAISON DIRECTE peut avoir une longueur nulle ou non. Toutefois, une
LIAISON DIRECTE de longueur nulle est plus précise parce qu'elle est sans perte et
ne présente aucune impédance caractéristique.
si la phase d'insertion et la longueur électrique sont parfaitement définies, l'étalon de
LIAISON DIRECTE peut servir à définir le plan de référence de la mesure vectorielle.
Dans notre cas, nous prendrons une longueur nulle pour la liaison directe. Nous
définissons nos plans de référence à l'extrémité des 2 guides d'accès au porte échantillon.
Comme indiqué dans l'aide de l'analyseur, l'impédance du système est fixé à 1 ohm pour des
composants en guide d'onde.
II.4.b.2 Réflexion (Reflect)
•
•
•
•
l'étalon REFLEXION correspond à une discontinuité caractérisée par un coefficient de
réflexion élevé, il doit être identique sur les deux ports de l'analyseur.
l'amplitude réelle de la réflexion n'a pas besoin d'être connue.
la longueur de l'étalon de REFLEXION doit être supérieure à ¼ de la longueur d'onde
guidée afin de faire disparaître les ondes évanescentes avant le plan de référence.
si l'amplitude et la phase de l'étalon de REFLEXION sont parfaitement définies,
l'étalon peut servir à définir la position du plan de référence.
II.4b.3 Ligne (Line)
L'étalon de LIGNE établit l'impédance de référence pour la mesure après l'achèvement de
l'étalonnage. L'étalonnage TRL est limité par les restrictions suivantes de l'étalon LIGNE:
•
•
•
il doit avoir la même impédance que l'étalon de LIAISON DIRECTE.
il peut ne pas avoir la même longueur que l'étalon de LIAISON DIRECTE.
il doit avoir une longueur électrique appropriée pour la plage de fréquence, le
déphasage entre la LIAISON DIRECTE et la LIGNE doit être supérieur à 20 degrés et
inférieur à 160 degrés.
Nous effectuons l'étalonnage TRL de notre banc de mesure dans une configuration quasisimilaire à celle rencontrée lorsque la cellule sera insérée entre les pôles de l'électroaimant.
Nous prenons donc en compte la courbure des câbles et le positionnement du guide d'onde.
Nous vérifions que la calibration est correcte en analysant les réponses des paramètres S sur
l'abaque de Smith en positionnant l'étalon Reflect dans les deux plans de référence que l'on
vient de définir puis en examinant la liaison directe.
Après calibration de notre banc de mesure, Nous nous situons dans la configuration
Liaison Directe, c'est-à-dire les 2 plans de référence qui se font face et remarquons que le
paramètre S11 se situe au centre de l'abaque de smith, le coefficient de réflexion est nul et le
paramètre S21 est égal à 1. Nous obtenons bien une réflexion nulle et une transmission totale.
L'étalonnage du banc de mesure est par conséquent correct.
PUBLICATIONS
236
Publications
Appendice
Valorisation du travail de recherche
Revues scientifiques
Arij FARHAT, Michel NEY, "Analyse large bande de structures comportant des milieux
plasmas dispersifs par la méthode TLM, " REE n°3, Revue de l'Electricité et de
l'Electronique ; SEE Société de l’Electricité, de l'Electronique et des Technologies de
l'Information et de la Communication, mars 2010.
Arij FARHAT, Patrick QUEFFELEC, Michel NEY, "TLM Extension to Electromagnetic
Field Analysis of Anisotropic and Dispersive Media: A Unified Field Equation ", IEEE
Transactions on Microwave Theory Techniques MTT, papier soumis.
Communications internationales
Arij FARHAT, Eddy JEHAMY, Michel NEY, "Optimization methods for computer - Aided
design of artificial dielectric lens antennas, " IWAT 2010: International Workshop on
Antenna Technology, 01-03 march 2010, Lisbon, Portugal, 2010.
Arij FARHAT, Patrick QUEFFELEC, Michel NEY, "Extension of the TLM method to the
electromagnetic wide band analysis of anisotropic ferrite-based structures, " CEFC 2010: 14th
Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation, 09-12 may 2010, Chicago,
United States, 2010.
Arij FARHAT, Patrick QUEFFELEC, Michel NEY, "Wideband TLM modeling of
microwave structures with anisotropic and dispersive media, " EUMC 2010: 40th European
Microwave Conference, 28-30 september 2010, Paris, France, 2010.
Communications internationales invitées
Arij FARHAT, Sandrick LE MAGUER, Patrick QUEFFELEC, Michel NEY, "Wideband
TLM modeling of planar antennas on saturated ferrite substrate, " ANTEM/AMEREM 2010:
14th International Symposium on Antenna Technology and Applied Electromagnetics & the
American Electromagnetics Conference, 05-09 july 2010, Ottawa, Canada, 2010.
237
Publications
P. Queffelec, J. Lezaca, A. FARHAT, A. Chevalier, "On the determination of the
permeability tensor of magnetized materials. Application to the design of nonrecirpocal
microwave devices", .IMS 2011: International Microwave Symposium, 05-10 june 2011,
Baltimore, Maryland, United States, 2011.
Communications nationales
Arij FARHAT, Sandrick LE MAGUER, Patrick QUEFFELEC, Philippe GELIN, Michel
NEY, "Extension de la méthode TLM à l'analyse de structures électromagnétiques comportant
des milieux dispersifs, " JNM 2009: 16ème journées nationales microondes, 27-29 mai 2009,
Grenoble, France, 2009.
Arij FARHAT, Michel NEY, "Analyse de structures électromagnétiques comportant des
plasmas par la TLM, " URSI 2010: Journées scientifiques de l’Union Radio Scientifique
Internationale, 16-17 mars 2010, Paris, France, 2010.
Arij FARHAT, Patrick QUEFFELEC, Michel NEY, "Extension de la méthode TLM à
l'analyse de structures électromagnétiques comportant des milieux anisotropes et dispersifs, "
JCMM 2010: 11ème journées de caractérisation microondes et matériaux, 31 mars - 02 avril
2010, Brest, France, 2010.
Rapports d’activités
Arij FARHAT, Patrick QUEFFELEC. Rapport d’activité: D.4.2 Simulation of material
properties. Projet IMICIMO, Eureka-Euripides, 2009.
Arij FARHAT, Réunion d’avancement du projet IMICIMO, Eureka-Euripides. Varsovie,
Pologne, november 2009.
Arij FARHAT, Patrick QUEFFELEC. Rapport d’activité: WP4 Choice of test cases and
simulation techniques. Projet IMICIMO, Eureka-Euripides, january 2011.
Résumés
239
Extension de la méthode TLM aux milieux anisotropes et
dispersifs. Applications à la conception de circulateurs a jonctionY miniatures en technologie microruban.
Mots clés : Modélisation électromagnétique, TLM, Circulateurs, Ferrites, Aimantation
partielle, Milieux anisotropes et dispersives, Tenseur de perméabilité.
Le secteur des télécommunications est en développement permanent : les tendances
actuelles posent en permanence des questions aux équipes de recherche dans le domaine des
composants et systèmes hyperfréquences. On y retrouve des demandes liées à la
miniaturisation, à l’agilité. Pour répondre à ces sollicitations, l’utilisation de matériaux aux
caractéristiques très particulières est une voie de plus en plus utilisée (matériaux magnétiques,
ferroélectriques, matériaux artificiels, etc). Les caractéristiques électromagnétiques de ces
matériaux sont généralement anisotropes et dispersives. La grande difficulté que rencontrent
alors les concepteurs réside dans le fait que les outils de modélisation actuels ne permettent
pas des simuler les comportements complexes de ces matériaux.
La problématique générale de l’analyse électromagnétique de structures comportant
des matériaux aux propriétés anisotropes et dispersives, ou particulière par exemple la
prédiction des performances de dispositifs à ferrites partiellement aimantés ou désaimantés,
est loin d’être résolue.
Effectivement, si l’on examine le cahier des charges des circulateurs pour les
applications à venir, qui nécessitent une montée en fréquence et une miniaturisation des
composants, on comprend rapidement que le modèle de Polder sera limité pour prédire les
performances des structures hybrides à l’étude.
L’objectif de cette thèse est d’intégrer la modélisation de milieux anisotropes et
dispersifs dans la modélisation électromagnétique par la méthode TLM. Cette nouvelle
approche, contrairement aux simulateurs électromagnétiques commerciaux et aux approches
théoriques proposées dans la littérature, sera en mesure d’atteindre un niveau élevé de
précision dans la description de l’interaction du signal haute fréquence avec une structure
constitué d’un milieu magnétique anisotrope non-saturé, à l’intérieur duquel règne un champ
magnétique statique non-uniforme.
Nous avons proposé une nouvelle technique générale, rigoureuse et issue directement
des équations de Maxwell, contrairement à celle de J. Paul qui se base sur une analogie de
circuit. Cette dernière, n’étant pas générale, est en outre difficile à implémenter. Notre outil
permet également de simplifier les calculs supplémentaires nécessaires pour le traitement des
milieux anisotropes dispersifs. Ces développements autour de la méthode TLM ont permis
dans un premier temps de simuler des cavités métalliques remplies de plasma, milieu isotrope
et dispersif. Nous avons également associé ce tenseur à la méthode TLM pour prédire le
comportement dynamique des ferrites polycristallins quelque soit leur état de polarisation
statique (état d’aimantation). Les résultats de simulation ont été validé par confrontation avec
les résultats expérimentaux pour un guide d’onde dont la section est partiellement chargée par
un ferrite partiellement aimanté.
Résumés
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TLM extension to electromagnetic field analysis of dispersive
and anisotropic media; Realization and design of miniaturized
circulators in microstrip technology.
Keywords : Electromagnetic modeling, TLM, Circulators, ferrites, non saturated
magnetization state, anisotropic and dispersive media, permeability tensor.
Over the last few years, the rapid development of communication applications has
generated some growing interest for miniaturization and cost reduction of microwave devices.
The increase of operating frequencies and tunability are additional constraints that require
more complex and accurate models for CAD of communication system components.
Among those components, circulators use the anisotropic properties of ferrite materials to
insure the required non-reciprocal character of the wave propagation.
To assist the design of ferrite-based microwave devices, one needs to have a proper design
tool enabling the prediction of the microwave behavior of ferrite samples whatever their
magnetization state. Magnetized ferrites are anisotropic media.
Designing ferrite microwave devices requires the knowledge of the permeability
tensor µ of the magnetic materials used as substrate which directly influence the guided
wavelengths and the performances of the devices.
The objective of this work is to develop a rigorous model for field computation in presence of
such complex media and second to insert a new model of non-saturated ferrites (GPT) into the
TLM algorithm.
Presently there is no commercial simulator capable to account for the complex
physical phenomena appearing in the electromagnetic structures using magnetized magnetic
materials (non-homogenous polarization field, non-saturated zones, dynamic interactions
between magnetic domains and magnetostatic modes).
The above phenomena must be accounted for in the model as they strongly affect the
performances of the device in terms of bandwidth, insertion losses, etc. Also, they can
preclude miniaturization of circulators: Finally, the time-domain character of the TLM not
only allows a wide band characterization but also accounts for the presence of potential non
linearities.
To predict the dynamic behaviour of polycrystalline ferrites for arbitrary
magnetization state, one proposes a theoretical approach which provides all tensor
components.
In the present thesis, TLM is first extended to general dispersive and anisotropic media. This
work focuses on a formulation based directly on field Maxwell’s equations. It gives a clear
and systematic derivation that constitutes a general approach, which can be applied to any
type of media. This was revisited, starting with Maxwell’s equations, without invoking circuit
analogy. Preliminary results computed in the case of a dispersive plasma medium show that
the model is accurate when compared with theoretical results. To illustrate the interest of this
theoretical approach for practical applications, an example of a waveguide partly filled with a
ferrite in different polarization states is given. Comparison between experimental
measurements and TLM simulations yields good agreement. The ultimate objective is to
insert a new pseudo analytical model for ferrites in different magnetization states that are used
for planar non reciprocal devices implemented in LTCC.