coursMF2-1 - CPGE Dupuy de Lôme

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MF1 - Cinématique des fluides
1 Particule de fluide
1.1 À l’échelle microscopique
Échelle microscopique
Telle que le l’on puisse discerner les molécules. Cela correspond à des grandeurs
de l’ordre du
Le fluide est constitué de molécules libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. Elles subissent
régulièrement des chocs modifiant leur trajectoire. Entre deux chocs, elles parcourent en moyenne une
distance , libre parcours moyen.
Le mouvement global de ces molécules est complètement désordonné, assimilé au mouvement Brownien.
Libre parcours moyen
Distance moyenne parcourue par une molécule entre deux chocs
Mouvement Brownien
Mouvement désordonné des particules
On peut retenir des ordres de grandeur du libre parcours moyen : Air à la pression atmosphérique : ≡
Liquide ≡
À l’échelle microscopique, il n’est pas possible d’étudier le mouvement des molécules, beaucoup trop
désordonné.
1.2 À l’échelle mésoscopique
Échelle mésoscopique
Telle que le libre parcours moyen soit une grandeur très petite et les dimensions
du système étudié très grandes. Cela correspond à des grandeurs de l’ordre du
On considère une quantité suffisante de molécules afin que la vitesse moyenne due à la seule agitation
des molécules soit nulle. D’autre part, la répartition de la matière semble continue. La vitesse de cette
particule de fluide décrit donc le mouvement d’ensemble des molécules.
Particule de fluide
Volume de fluide de dimensions mésoscopiques caractérisé par sa masse volumique

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=, exprimée en −
1.3 À l’échelle macroscopique
Le mouvement d’un fluide dans un référentiel Rest alors décrit par l’ensemble des vitesses des particules
de fluide.
2 Actions mécaniques sur une particule de fluide
2.1 Pression
Définition
Pression
Les forces de pression décrivent la composante normale des actions d’un fluide sur
une surface élémentaire
On se place à l’echelle mésoscopique.
En raison de l’agitation des particules, une surface placée dans un fluide subirait sur l’une de ses
faces en contact avec le fluide une force Ð→, selon la normale à la surface →.
=→
→, exprimée en Pascal( )
=−= =
Densité volumique des forces de pression Une particule de fluide subit donc ces actions sur l’en-
semble de la surface entourant son volume . La résultante de ces actions est alors une force élémentaire
→ .
On traduit cette action par une grandeur intensive : la force de pression par unité de volume, ou densité
volumique des forces de pression →.
On considère alors une particule de fluide entourant un point ( ) de volume =.
La résultante des contraintes normales aux surfaces de cette particule peut s’écrire →=→+→+→
avec, en effectuant un DL au premier ordre en , ou :
●Selon : →=−−+≡ − ( )
●Selon : →=−−+≡ − ( )
●Selon : →=−−+≡ − ( )
On obtient donc →= −  ( )→+( )→+( )→
Or on reconnait dans le système de coordonnées utilisé l’expression du gradient.
→
( )=→=−→( ( ))

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2.2 Viscosité
Les actions de contact à la surface de la particule de fluide peuvent également avoir une composante
tangentielle. On va étudier le seul cas simple pour lequel la vitesse du fluide est du type →=( )→.
Approche phénoménologique
Un fluide est en écoulement entre deux plan parallèles distants de . le fond est fixe tandis que le plan
supérieur est une plaque mobile à une vitesse →=→.
→ Observation : En régime stationnaire, la vitesse du
fluide est de la forme
→( )=( )
Interprétation : La plaque tend à déplacer la
couche de fluide en contact. Cette couche va elle-
même tendre à mettre en mouvement la couche in-
férieure etc...
Analogie : On peut tout à fait comparer ce phénomène à la répartition des températures entre deux
sections d’un cylindre maintenues aux températures et . On parlera ici de diffusion de quantité de
mouvement.
Modélisation
→−
→+
→
De manière empirique, on peut considérer que la com-
posante tangentielle de la force de contact entre les deux
couches sera d’autant plus importante que le gradient des
vitesses dans la direction orthogonale aux "couches" sera
élevé →=±→
avec : viscosité dynamique du fluide,
exprimé en Poiseuille
Le signe dépendra de la couche étudiée. Il sera déduit d’une analyse qualitative à chaque fois.
Tous le fluides ne vérifient pas cette loi empirique. Pour certains écoulement par exemple, la viscosité
dépendra des caractéristiques antérieures de l’écoulement.
Fluide Newtonien
Fluide vérifiant la loi empirique décrite ci-dessus
Densité volumique des forces de viscosité
Une particule de fluide sera soumise à des contraintes tangentielles sur l’ensemble de sa surface. On peut
donc rechercher la résultante des forces de viscosité →

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→( + )
→( )
+
Ecoulement
→→
On considère un écoulement dont le champ des vitesses est de
la forme →=( )→
Pour le volume de fluide s’appuyant sur la surface , on a
alors des forces de viscosités sur les deux surfaces en et +
exercées par :
●La couche inférieure : →
()= −  ( ) →
●La couche supérieure : →
(+)= +  ( +
)→
La résultante des forces de viscosité sur la particule s’écrit donc
→= + →
Pour un écoulement de cisaillement dont le champ des vitesses est →=( )→, la densité volumique
des forces de viscosité est →= + ( ) →
→=+→.
Viscosités
On a définit le coefficient de viscosité dynamique pour le fluide, on définit également :
=viscosité dynamique
masse volumique =
Unité : ( ), ou dans le système international : −
3 Champ des vitesses
Deux visions différentes sont possibles ici. Imaginons un marathon.
●Un coureur est muni d’un émetteur . On va donc pouvoir connaitre à chaque instant la
vitesse de ce coureur parti à l’instant du point .
●Une capteur de vitesse est placé en un point du parcours. On connaitra alors la vitesse en un
point de passage de chacun des coureurs étant passés par ce point.

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Point de vue Lagrengien Point de vue Eulérien
→(→ )
→(→ )
L
i
g
n
e
d
e
c
o
u
r
a
n
t
→()
→(′)
Variables indépendantes → (position initiale) et et
Mesure L’appareil de mesure suit la particule L’appareil fixe le point
Idéal pour la mécanique du point l’étude des écoulements.
Description Lagrengienne
Trajectoire d’une particule de fluide que l’on suit tout au long de son mouvement
Description Eulérienne
Observation de l’évolution du champ des vitesses en un point fixé de l’espace.
●Dans l’approche Eulérienne, une ligne de courant est tangente en chaque point au champ des
vitesses à l’instant .
●Dans le cas général, la trajectoire d’une particule de fluide déterminée (approche Lagrengienne)
ne sera pas confondue avec une ligne de courant observée à un instant (approche Eulérienne)
3.1 Accélération d’une particule de fluide
Exemple d’écoulement fluide en régime permanent