I x

Chapitre 5
Effets de Revenu
et de Substitution
Nicholson and Snyder, Copyright ©2008 by Thomson South-Western. All rights reserved.
Fonctions de Demande
•  Les niveaux optimaux de x1,x2,…,xn
peuvent être exprimées comme des
fonctions de tous les prix et du revenu
•  On peut les exprimer comme n fonctions
de demande de la forme :
x1* = d1(p1,p2,…,pn,I)
x2* = d2(p1,p2,…,pn,I)
•
•
•
xn* = dn(p1,p2,…,pn,I)
Fonctions de Demande
•  S’il n’existe que deux biens (x et y), nous
pouvons simplifier la notation en
x* = x(px,py,I)
y* = y(px,py,I)
•  Les prix et le Revenu sont exogènes
–  l’agent n’a pas de contrôle sur ces paramètres
(ils lui sont donnés)
L’Homogénéité
•  Si tous les prix ainsi que le revenu sont
doublés, les quantités optimales
demandées ne changeront pas
–  la contrainte budgétaire est inchangée
xi* = xi(p1,p2,…,pn,I) = xi(tp1,tp2,…,tpn,tI)
•  Les fonctions de demande individuelles
sont homogènes de degré zero en prix et
en revenu
L’Homogénéité
•  Avec une fonction Cobb-Douglas
utilité = U(x,y) = x0.3y0.7
les fonctions de demande sont
•  Un doublement à la fois des prix et du
revenu ne devrait pas affecter x* et y*
L’Homogénéité
•  Avec une fonction d’utilité CES
utilité = U(x,y) = x0.5 + y0.5
les fonctions de demande sont
•  Un doublement à la fois des prix et du
revenu ne devrait pas affecter x* et y*
Variations du Revenu
•  Un accroissement du revenu va
déplacer la contrainte budgétaire
parallèlement à elle-même et vers le
haut
•  Comme le ratio px/py ne change pas, le
TMS reste constant au fur et à mesure
que l’individu se déplace sur des CI plus
élevées
Biens Normaux et Inférieurs
•  Un bien xi pour lequel ∂xi/∂I ≥ 0 dans
une fourchette de revenu est un bien
normal dans cette fourchette
•  Un bien xi pour lequel ∂xi/∂I < 0 dans
une fourchette de revenu est un bien
inférieur dans cette fourchette
Accroissement du Revenu
•  Si à la fois x et y s’accroissent alors que le
revenu augmente, on peut dire x et y sont
des biens normaux
Quantité de y
Comme son revenu augmente, l’individu
choisit de consommer plus de x et de y
B
C
A
U3
U1
U2
Quantité de x
Accroissement du Revnu
•  Si x décroît alors que le revenu de
l’agent augmente, x est un bien inférieur
Comme son revenu croît, l’agent choisit
de consommer moins de x et plus de y
Quantité de y
Remarquez que les CI n’ont pas
de forme “zarbi”! L’hypothèse
de décroissance du TMS est
respectée
C
B
U3
U2
A
U1
Quantité de x
Variations du Prix d’un Bien
•  Une variation dans le prix d’un bien
modifie la pente de la contrainte
budgétaire
–  cela va modifier également le TMS
•  Lorsque les prix changent, deux effets
vont entrer en jeu
–  l’effet de substitution
–  l’effet revenu
Variations du Prix d’un Bien
•  Même si l’agent reste sur la même courbe
d'indifférence, son choix optimal va changer
parce que le TMS doit être égal au nouveau
rapport des prix
–  effet de substitution
•  Le revenu “réel” de l’indivu a changé et il
doit se déplacer vers une nouvelle CI
–  effet revenu
Variations du Prix d’un Bien
Quantité de y
Supposons que l’agent maximise son
utilité au point A.
Si le prix de x baisse,
l’agent va maximiser son
utilité au point B.
B
A
U2
U1
Quantité de x
Accroissement total du bien x
Variations du Prix d’un Bien
Quantité de y
Pour isoler l’effet de substituion, on maintien le
revenu “réel” constant mais on permet la
variation du prix relatif du bien x
L’effet de substitution est le mouvement
du point A vers le point C
A
C
U1
L’individu substitut x à y
car x est devenu
relativement moins cher
Quantité de x
Effet de Substitution
Variations du Prix d’un Bien
L’effet revenu apparaît car le revenu
“réel” change lorsque le prix du bien x
change
Quantité de y
B
A
L’effet revenu est le mouvement
du point C vers le point B
C
U2
U1
Si x est un bien
normal, l’agent en
achètera plus car son
revenu “réel” s’accroît
Quantité de x
Effet Revenu
Variations du Prix d’un Bien
Quantité de y
Une augmentation du prix du bien x implique
que le contrainte pivote vers le bas
C
A
L’effet de susbstitution :
mouvement du point A au point C
B
U1
U2
L’effet revenu :
mouvement du point C
au point B
Quantité de x
Effet de substitution
Effet revenu
Variation du Prix– Biens Normaux
•  Si un bien est normal, les effets de
substitution et de revenu se renforcent l’un
autre
–  lorsque p ↓:
•  Effet de substitution ⇒ quantitée demandée ↑
•  Effet revenu ⇒ quantité demandée ↑
–  lorsque p ↑:
•  Effet de substitution ⇒ quantité demandée ↓
•  Effet de revenu ⇒ quantité demandée ↓
Variations du prix– Biens Inférieurs
•  Si un bien est inférieur, les effets de
substitution et de revenu se déplacent
dans des directions opposées
–  lorsque p ↓:
•  Effet de substituion ⇒ quantité demandée ↑
•  Effet revenu ⇒ quantité demandée ↓
–  lorsque p ↑:
•  Effet de substitution ⇒ quantité demandée ↓
•  Effet revenu ⇒ quantité demandée ↑
Paradoxe de Giffen
•  Si l'effet de revenu d'une variation du
prix est assez fort, il pourrait y avoir une
relation positive entre le prix et la
quantité demandée
–  une augmentation des prix entraîne une
baisse du revenu réel
–  comme le bien est inférieur, un baisse du
revenu entraîne une hausse des quantités
demandées.
En Résumé
•  Pour les biens normaux, une baisse des prix
conduit à une augmentation de la quantité
demandée
–  l'effet de substitution implique l’achat de plus de
biens au fur et à mesure que l’agent se déplace
le long de sa courbe d'indifférence
–  l’effet revenu implique l’achat de plus de biens
car l’augmentation de pouvoir d’achat permet à
l’individu de se déplacer sur un CI plus haute
En Résumé
•  Pour les biens normaux, une hausse du
prix entraîne un baisse de la quantité
demandée
–  l’effet de subsitution implique moins de biens à
l’achat au fur et à mesure que l’individu se
déplace le long de sa CI
–  l’effet revenu implique moins de bien à l’achat
car la baisse dans son pouvoir d’achat
déplace l’individu sur une CI plus basse
En résumé
•  Pour les biens inférieurs, aucune
conclusion ne peut être faite lors d’un
changement du prix
–  l’effet de substitution et l’effet de revenu vont
dans des directions opposées
–  si l'effet de revenu l'emporte sur l'effet de
substitution, nous sommes dans le cas du
paradoxe de Giffen
La Courbe de Demande Individuelle
•  La demande d’un agent pour le bien x
dépend de ses préférences, de tous les
prix, et de son revenu :
x* = x(px,py,I)
•  Il est commode de représenter la
demande de l’individu pour le bien x en
supposant le revenu I et le prix du bien
y (py) constants
La Courbe de Demande Individuelle
Quantité de y
Comme le prix
de x baisse...
px
…la quantité de x
demandée augmente
px’
px’’
px’’’
U1
x1
I = px’ + py
x2
U2
x3
I = px’’ + py
U3
Quantité de x
I = px’’’ + py
x
x’
x’’
x’’’
Quantité de x
La Courbe de Demande Individuelle
•  Une courbe de demande individuelle
représente la relation entre le prix d'un
bien et la quantité de ce bien achetée par
un individu en supposant que tous les
autres déterminants de la demande sont
constants
Déplacements de la Courbe de
Demande
•  Trois facteurs sont maintenus constants
lorsque la courbe de demande est
déterminée
–  le revenu
–  les prix des autres biens (py)
–  les préferences de l’agent
•  Si l'un de ces facteurs varie, la courbe de la
demande va se déplacer vers une nouvelle
position
Déplacements de la Courbe de
Demande
•  Un mouvement le long d’une courbe de
demande donnée est causé par une
variation dans le prix du bien
–  une variation dans la quantité demandée
•  Un déplacement de la courbe de
demande est causé par des
changements dans le revenu, les prix
des autres biens, dans les préférences
–  une variation dans la demande
Courbes et Fonctions de Demande
•  Nous avons vu précédemment
•  Si le revenu de l’individu est de 100€,
ces fonctions de demande deviennent
Courbes et Fonctions de Demande
•  Toute variation du revenu fera se
déplacer ces courbes de demande
Courbes de Demande Compensées
•  Le niveau réel de l’utilité varie le long de
la courbe de demande
•  A mesure que le prix de x chute, l’agent
se déplace vers des CI plus élevées
–  on suppose que le revenu nominal est
constant lorsqu’on décrit la courbe de
demande
–  ceci indique que le revenu “réel” s’accroît
lorsque les prix chutes
Courbes de Demande Compensées
•  Autre approche : Maintenir le revenu réel
(ou l’utilité) constant et ensuite examiner
les réactions aux variations de px
–  les effets de variation des prix sont
"compensées" afin de forcer la personne à
rester sur la même courbe d'indifférence
–  les réactions aux changements de prix ne
comprennent que les effets de substitution
Courbes de Demande Compensées
•  Une Courbe de Demande Compensée
(Hicksienne) représente la relation entre le
prix d’un bien et la quantité achetée de ce
bien en supposant que les prix des autres
biens ainsi que l’utilité sont constants
•  La courbe de demande compensée est
une représentation en deux dimensions de
la fonction de demande compensée
x* = xc(px,py,U)
Courbes de Demande Compensées
Quantité de y
Maintien de l’utilité constante, à mesure que
le prix baisse...
pente = −
€
px
px′
py
pente = −
…quantité demandée
augmente.
px′′
py
px’
px’’
€
pente = −
px′′′
py
px’’’
xc
€
x’
x’’
U2
x’’’
Quantité de x
x’
x’’
x’’’
Quantité de x
Demande Compensée et
Noncompensée
px
En px’’, les courbes s’intersectent car
le revenu de l’agent est juste suffisant
pour atteindre le niveau d’utilité U2
px’’
x
xc
x’’
Quantité de x
Demande Compensée et
Noncompensée
px
A des prix px’, la compensation du
revenu est positive car l’agent a
besoin d’aide pour se maintenir sur U2
px’
px’’
x
xc
x’
x*
Quantité de x
Demande Compensée et
Noncompensée
px
En px’”, la compensation du revenu est
négative afin de prévenir une hausse
d’utilité venant d’un prix plus bas
px’’
px’’’
x
xc
x***
x’’’
Quantity of x
Demande Compensée et Non
compensée
•  Pour un bien normal, la courbe de
demande compensée est moins réactive
aux variations des prix que la courbe de
demande non compensée
–  La courbe de demande non compensée
reflète à la fois les effets revenu et de
substitution
–  La courbe de demande compensée ne
reflète que les effets de substitution
Fonctions de demande compensée
•  Supposons que l’utilité est donnée par
utilité = U(x,y) = x0.5y0.5
•  Les fonctions de demande Marshallienne
sont
x = I/2px y = I/2py
•  La fonction d’utilité indirecte est
utilité = V(I,px ,py ) =
I
2px0.5 py0.5
Fonctions de demande compensée
•  Afin d’obtenir les fonctions de demande
compensée, nous devons résoudre la
fonction d’utilité indirecte pour I et
substituer le résultat dans les
fonctions de demande Marshallienne
Fonctions de demande compensée
•  La demande dépend maintenant de
l’utilité (V) et non plus de revenu (I)
•  Un accroissement de px réduit la
quantité de bien x demandée
–  Il n’y a qu’un effet de substitution
La réponse à une variation du
prix
•  Que se passe-t-il sur le bien x lorsque px
change ?
∂x/∂px
•  On pourrait différencier les CPO sur la
maximisation de l’utilité
–  cette approche est lourde et offre peu
d'intuition
La réponse à une variation du
prix
•  Nous allons utiliser une approche indirecte
en utilisant la fonction de dépense
Dépense minimale = E(px,py,U)
•  Alors, par définition
xc (px,py,U) = x [px,py,E(px,py,U)]
–  la quantité demandée est égale pour les deux
fonctions de demande lorsque le revenu
correspond exactement au niveau d'utilité requis
La réponse à une variation du
prix
xc (px,py,U) = x[px,py,E(px,py,U)]
•  Nous pouvons alors différencier la fonction
de demande compensée et obtenir
La réponse à une variation du
prix
•  Le premier terme correspond à la pente
de la courbe de la demande compensée
–  c’est la représentation mathématique de
l’effet de substitution
La réponse à une variation
du prix
•  Le deuxième terme mesure la manière
dont les changements dans px influent
sur la demande de x par le biais de
changements dans le pouvoir d'achat
–  c’est la représentation mathématique de
l’effet revenu
L’Equation de Slutsky
•  L’effet de susbstitution peut être écrit
∂x c
∂x
effet de substitution =
=
∂px ∂px
U=constante
•  L’effet revenu peut être écrit
€
€
effet revenu =
∂x ∂E
−
⋅
∂E ∂px
=
∂x ∂E
− ⋅
∂I ∂px
L’équation de Slutsky
•  Notez que ∂E/∂px = x(px,py,I)
–  Une hausse de 1€ de px augmente
nécessairement les dépenses de x euros
–  1€ supplémentaire doit être déboursé pour
chaque unité de x achetée
L’Equation de Slutsky
•  L’hypothèse de maximisation de l’utilité
montre que les effets de substitution et de
revenu provenant d’une variation de prix
peuvent être représentés par
∂x
= effet substituion + effet revenu
∂px
i.e.
∂x
∂x
=
∂px ∂px
−x
U=constante
∂x
∂I
L’Equation de Slutsky
∂x
∂x
=
∂px ∂px
∂x
−x
∂I
U=constante
•  Le premier terme représente l’effet de
substitution
€
–  toujours négatif aussi ongtemps que le TMS
est décroissant
–  la pente de la courbe de demande
compensée doit être négative
The Slutsky Equation
∂x
∂x
=
∂px ∂px
∂x
−x
∂I
U=constante
•  Le second terme représente l’effet revenu
–  si x est un bien normal alors ∂x/∂I > 0
€
•  l’effet revenu total est négatif
–  si x est un bien inférieur alors ∂x/∂I < 0
•  l’effet revenu total est positif
Une Décomposition de Slutsky
•  Nous pouvons démontrer la décomposition
d'un effet-prix en utilisant la Cobb-Douglas
étudiée précédemment
•  La fonction de demande Marshalienne pour
le bien x était égale à
Une Décomposition de Slutsky
•  La fonction de demande (compensée)
Hicksienne pour le bien x était égale à
•  L’effet glogal d’une variation de prix sur
la demande de bien x est alors
Une Décomposition de Slutsky
•  Cet effet total est la somme de deux
effets que Slutsky identifia
•  On détermine l’effet de substitution en
différentiant la fonction de demande
compensée
c
∂x
effet substitution =
=
∂px
−0.5Vpy0.5
p1.5
x
Une Décomposition de Slutsky
•  On peut substituer dans la fonction
d’utilité indirecte (V)
effet substitution =
−0.5
x
1.5
x
−0.5(0.5Ip
p
p
−0.5
y
)p
0.5
y
−0.25I
=
px2
Une Décomposition de Slutsky
•  Le calcul pour l’effet revenu est plus facile
0.5I  0.5
∂x
0.25I
effet revenu = − x
= −
=−
⋅
2
∂I
p
p
px
 x  x
€
•  Les deux effets sont exactlement de la
même taille
Elasticités de la Demande
Marshallienne
•  Les élasticités les plus communément
utilisées sont obtenues à partir de la
fonction de demande Marshallienne
x(px,py,I)
•  L’élasticité prix de la demande (ex,px)
ex,p x
Δx / x
∂x px
=
=
⋅
Δpx / px ∂px x
Elasticités de la Demande
Marshallienne
•  L’élasticité revenu de la demande (ex,I)
ex,I
Δx / x ∂x I
=
=
⋅
ΔI / I ∂I x
•  L’élasticité prix-croisé de la demande (ex,py)
€
ex,p y
Δx / x
∂x py
=
=
⋅
Δpy / py ∂py x
Elasticité Prix de la Demande
•  L’élasticité prix de la demande est
toujours négative
–  l’unique exception est l’effet Giffen
•  La valeur de l’élasticité est importante
–  si ex,px < -1, demande est élastique
–  si ex,px > -1, demande est inélastique
–  if ex,px = -1, demande est élastique unitaire
Elasticité Prix et Dépense Totale
•  La dépense totale de bien x est égale à
dépense totale = pxx
•  En utilisant l’élasticité, nous pouvons
déterminer comment la dépense totale
change lorsque le prix de x change
∂(px x)
∂x
= px ⋅
+ x = x[ex,p x + 1]
∂px
∂px
Elasticité Prix et Dépense Totale
•  Si ex,px > -1, demande inélastique
–  prix et dépense totale “bougent” dans la même
direction
•  Si ex,px < -1, demande élastique
–  prix et dépense totale “bougent” dans des
directions opposées
Elasticités Prix Compensées
•  Il est parfois utile de définir les
élasticités par rapport à la fonction de
demande compensée
Elasticités Prix Compensées
•  Si la fonction de demande compensée
est
xc = xc(px,py,U)
alors on peut calculer
–  l’élasticté prix compensée de la demande
(exc,px)
–  l’élasticité prix-croisé compensée de la
demande (exc,py)
Elasticités Prix Compensées
•  L’élasticité prix compensée de la
demande (exc,px) est égale à
e
c
x,p x
Δx c / x c ∂x c px
=
=
⋅ c
Δpx / px ∂px x
•  L’élasticité prix-croisé compensée de la
demande (exc,py) est égale à
€
e
c
x,p y
Δx / x
∂x py
=
=
⋅ c
Δpy / py ∂py x
c
c
c
Elasticités Prix Compensées
•  La relation entre l’élasticité prix Marshallienne
et l’élasticité prix compensée peut être
montrée en utilisant l’équation de Slutsky
px ∂x
px ∂x c px
∂x
⋅
= ex,p x = c ⋅
− ⋅x⋅
x ∂px
∂I
x ∂px x
•  Si sx = pxx/I, alors
€
Elasticités Prix Compensées
•  L’équation de Slutsky montre que les
élasticités prix compensées et
noncompensées seront similaires si
–  la part du revenu sur x est faible
–  l’élasticité revenu de x est faible
Homogénéité
•  Les fonctions de demande sont homogènes
de degré zéro en prix et en revenu
•  Le théorème des fonctions homogènes
d’Euler montre que
∂x
∂x
∂x
0 = px ⋅
+ py ⋅
+I⋅
∂px
∂py
∂I
€
Homogénéité
•  En divisant par x, nous obtenons
•  Toute varaition proportionnelle dans les
prix et le revenu laissera la quantité
demandée de bien x inchangée
L’Agrégation de Engel
•  La loi d’Engel précise que l’élasticité
revenu de la demande pour les produits
alimentaires est inférieure à un
–  ceci implique alors que l’élasticité revenu
de la demande pour les biens non
alimentaires doit être supérieure à un
L’Agrégation de Engel
•  On peut observer cette loi en différentiant
la contrainte budgétaire par rapport au
revenu (et en traitant les prix comme
contants)
∂x
∂y
1 = px ⋅
+ py ⋅
∂I
∂I
∂x xI
∂y yI
1 = px ⋅ ⋅
+ py ⋅
⋅
= sx ex,I + sy ey,I
∂I xI
∂I yI
€
L’Agrégation de Cournot
•  La valeur de l’effet prix-croisé d’une
variation de px sur la quantité de bien y
consumé est limité en raison de la
contrainte budgétaire
•  Nous pouvons le montrer en dérivant la
contrainte de budget par rapport à px
L’Agrégation de Cournot
∂I
∂x
∂y
= 0 = px ⋅
+ x + py ⋅
∂px
∂px
∂px
€
∂x px x
px
∂y px y
0 = px ⋅
⋅ ⋅ + x⋅
+ py ⋅
⋅ ⋅
∂px I x
I
∂px I y
0 = sx ex,p x + sx + sy ey,p x
€
sx ex,p x + sy ey,p x = −sx
€
Elasticités de la Demande
•  Soit la fonction de Cobb-Douglas
U(x,y) = xαyβ
(α+β=1)
•  Les fonctions de demande pour x et y sont
αI
x=
px
€
βI
y=
py
€
Elasticités de la Demande
•  Le calcul des élasticités donne,
ex,p x
∂x
px
αI
=
⋅
= − 2 ⋅
∂px
x
px
ex,p y
€
ex,I
€
(
px
= −1
∂I ∂px
)
py
py
∂x
=
⋅
= 0⋅
=0
∂py
x
x
∂x
I
α
I
=
⋅
=
⋅
=1
∂I
x
px ∂I ∂px
(
)
Elasticités de la Demande
•  Nous pouvons également en déduire
–  L’homogénéité
–  L’agrégation d’Engel
–  L’agrégation de Cournot
Elasticités de la Demande
•  On peut également utiliser l’équation de
Slutsky pour déterminer l’élasticité prix
compensée
•  L’élasticité prix compensée dépend de
l’importance des autres biens (y) dans
la fonction d’utlité
Surplus du Consommateur
•  Supposons que l’on souhaite examiner
la variation de bien être d’un individu
suite à une variation des prix des biens
Bien Etre du Consommateur
•  Si le prix augmente, la personne aurait à
augmenter ses dépenses pour rester au
niveau initial d'utilité
Dépense en px0 = E0 = E(px0,py,U0)
Dépense en px1 = E1 = E(px1,py,U0)
Bien Etre du Consommateur
•  Afin de compenser la hausse des prix,
cette personne aurait besoin d'une
variation de compensation (CV)
CV = E(px1,py,U0) - E(px0,py,U0)
Bien Etre du Consommateur
Quantité de y
Supposons que l’utilité du consommateur est
maximisée en A.
Si le prix du bien x augmente,
le consommateur maximisera
son utilité en B.
A
B
U1
L’utilité du
consommateur
passe donc de U1
à U2
U2
Quantité de x
Bien Etre du Consommateur
Quantité de y
Le consommateur pourrait être indemnisé
(compensé) afin de lui permettre de rester sur
U1
CV
CV est le montant dont la
personne aurait besoin pour
être indemnisée (compensée)
C
A
B
U1
U2
Quantité de x
Bien Etre du Consommateur
•  La dérivée de la fonction de dépense par
rapport à px correspond à la fonction de
demande compensée
Bien Etre du Consommateur
•  Le montant de CV nécessaire peut être
déterminé en intégrant sur une série de
petites variations de prix allant px0 à px1
–  cette intégrale correspond à l’aire entre px0
et px1 située à gauche de la courbe de
demande compensée
Bien
Etre
du
Consommateur
p
x
Lorsque le prix passe de px0 à px1,
Le consommateur subit une perte de bien être
Aire = perte de BE
px1
px0
xc(px…U0)
x1
x0
Quantité de x
Bien Etre du Consommateur
•  Une variation de prix implique généralement
à la fois un effet de substitution et un effet
revenu
–  devrions-nous utiliser la courbe de demande
compensée pour l'objectif initial d'utilité (U0) ou le
nouveau niveau d'utilité après le changement de
prix (U1) ?
Le Concept du Surplus du
Consommateur
•  Une façon différente d’analyser ce
problème serait de dire
–  combien une personne serait prête à payer
pour avoir le droit de consommer tout le
bien x qu’elle désire au prix px0?
Le Concept du Surplus du
Consommateur
•  La zone en dessous de la courbe de
demande compensée et au-dessus du
prix de marché est appelée surplus du
consommateur
–  le bénéfice supplémentaire que la
personne reçoit en étant en mesure de
procéder à des opérations de marché au
prix du marché
Bien Etre du Consommateur
px
px1
Lorsque le prix passe de px0 à px1, la réaction
du marché sera de passer de A à C
C
L’utilité du consommateur passe de U0 à
U1
A
px0
x(px,…)
xc(...,U0)
xc(...,U1)
x1
x0
Quantité de x
Bien Etre du Consommateur
px
px1
Est-ce que la perte de BE est mieux
décrite par l’aire px1BApx0 [sur
xc(...,U0)] ou bien par l’aire px1CDpx0
[sur xc(...,U1)] ?
C
B
A
px0
D
xc(...,U0)
Est-ce que U0 ou U1
est l’objectif
approprié ?
xc(...,U1)
x1
x0
Quantité de x
Bien Etre du Consommateur
px
px1
C
px0
Nous pouvons utiliser la courbe de
demande Marshallienne comme
compromis
L’aire px1CApx0 se
situe entre les
B
niveaux de pertes
A
D
de BE définis par
x(px,…)
c(...,U ) et xc(...,U )
x
0
1
c
x (...,U0)
xc(...,U1)
x1
x0
Quantity of x
Surplus du Consommateur
•  Nous définirons le surplus du
consommateur comme l’aire située
sous la courbe de demande
Marshallienne et au-dessus du prix
–  montre ce qu'une personne devrait payer
pour avoir le droit de faire des transactions
à ce prix
Perte de BE suite à une Hausse de Prix
•  Supposons que la fonction de demande
compensée pour le bien x est
•  Le coût en termes de BE d’une hausse
de prix de px = 1€ à px = 4€ est donné
par
4
p =4
CV =
∫ Vp
1
0.5
y
p
−0.5
x
0.5
y
dpx = 2Vp p
0.5
x
x
p X =1
Perte de BE suite à une Hausse de Prix
•  Si on pose que V = 2 et py = 4, alors
CV = 2⋅2⋅2⋅(4)0.5 – 2⋅2⋅2⋅(1)0.5 = 8
•  Si l’on suppose que le niveau d’utilité
(V) tombe à 1 suite à la hausse du prix
(et qu’on utilise ce niveau pour calculer
la perte de BE),
CV = 1⋅2⋅2⋅(4)0.5 – 1⋅2⋅2⋅(1)0.5 = 4
Perte de BE suite à une Hausse de Prix
•  Supposons que l’on utilise à la place la
fonction de demande Marshallienne
•  La perte de BE suite à une hausse du
prix de px = 1€ à px = 4€ est donnée par
4
Perte =
∫ 0.5Ip
1
-1
x
dpx = 0.5I ln px
px=4
p x =1
Welfare Loss from a Price Increase
•  Si le revenu (I) est égal à 8,
Perte = 4 ln(4) - 4 ln(1) = 4 ln(4) = 4(1.39) = 5.55
–  cette perte issue de la fonction de demande
Marshallienne est un compromis entre les
deux montants calculés en utilisant les
fonctions de demandes compensées.
Revealed Preference and
the Substitution Effect
•  The theory of revealed preference was
proposed by Paul Samuelson in the late
1940s
–  defines a principle of rationality based on
observed behavior
–  uses it to approximate an individual’s utility
function
Revealed Preference and
the Substitution Effect
•  Consider two bundles of goods: A and B
•  If the individual can afford to purchase
either bundle but chooses A, we say that
A had been revealed preferred to B
•  Under any other price-income
arrangement, B can never be revealed
preferred to A
Revealed Preference and
the Substitution Effect
Suppose that, when the budget constraint is
given by I1, A is chosen
Quantity of y
A must still be preferred to B when income
is I3 (because both A and B are available)
A
If B is chosen, the budget
constraint must be similar to
that given by I2 where A is not
available
B
I3
I1
I2
Quantity of x
Negativity of the
Substitution Effect
•  Suppose that an individual is indifferent
between two bundles: C and D
•  Let pxC,pyC be the prices at which
bundle C is chosen
•  Let pxD,pyD be the prices at which
bundle D is chosen
Negativity of the
Substitution Effect
•  Since the individual is indifferent between
C and D
–  When C is chosen, D must cost at least as
much as C
pxCxC + pyCyC ≤ pxCxD + pyCyD
–  When D is chosen, C must cost at least as
much as D
pxDxD + pyDyD ≤ pxDxC + pyDyC
Negativity of the
Substitution Effect
•  Rearranging, we get
pxC(xC - xD) + pyC(yC -yD) ≤ 0
pxD(xD - xC) + pyD(yD -yC) ≤ 0
•  Adding these together, we get
(pxC – pxD)(xC - xD) + (pyC – pyD)(yC - yD) ≤ 0
Negativity of the
Substitution Effect
•  Suppose that only the price of x changes
(pyC = pyD)
(pxC – pxD)(xC - xD) ≤ 0
•  This implies that price and quantity move
in opposite direction when utility is held
constant
–  the substitution effect is negative
Mathematical Generalization
•  If, at prices pi0 bundle xi0 is chosen
instead of bundle xi1 (and bundle xi1 is
affordable), then
•  Bundle 0 has been “revealed preferred”
to bundle 1
Mathematical Generalization
•  Consequently, at prices that prevail
when bundle 1 is chosen (pi1), then
•  Bundle 0 must be more expensive than
bundle 1
Strong Axiom of Revealed Preference
•  If commodity bundle 0 is revealed
preferred to bundle 1, and if bundle 1 is
revealed preferred to bundle 2, and if
bundle 2 is revealed preferred to bundle
3,…, and if bundle K-1 is revealed
preferred to bundle K, then bundle K
cannot be revealed preferred to bundle 0
Important Points to Note:
•  Proportional changes in all prices and
income do not shift the individual’s
budget constraint and therefore do not
alter the quantities of goods chosen
–  demand functions are homogeneous of
degree zero in all prices and income
Important Points to Note:
•  When purchasing power changes,
budget constraints shift
–  for normal goods, an increase in income
means that more is purchased
–  for inferior goods, an increase in income
means that less is purchased
Important Points to Note:
•  A fall in the price of a good causes
substitution and income effects
–  for a normal good, both effects cause more
of the good to be purchased
–  for inferior goods, substitution and income
effects work in opposite directions
•  no unambiguous prediction is possible
Important Points to Note:
•  A rise in the price of a good also
causes income and substitution effects
–  for normal goods, less will be demanded
–  for inferior goods, the net result is
ambiguous
Important Points to Note:
•  The Marshallian demand curve
summarizes the total quantity of a good
demanded at each possible price
–  changes in price cause movements along
the curve
–  changes in income, prices of other goods,
or preferences may cause the demand
curve to shift
Important Points to Note:
•  Compensated demand curves illustrate
movements along a given indifference
curve for alternative prices
–  they are constructed by holding utility
constant
–  they exhibit only the substitution effects
from a price change
–  their slope is unambiguously negative (or
zero)
Important Points to Note:
•  Demand elasticities are often used in
empirical work to summarize how
individuals react to changes in prices
and income
–  the most important is the price elasticity of
demand
•  measures the proportionate change in quantity
in response to a 1 percent change in price
Important Points to Note:
•  There are many relationships among
demand elasticities
–  own-price elasticities determine how a
price change affects total spending on a
good
–  substitution and income effects can be
summarized by the Slutsky equation
–  various aggregation results hold among
elasticities
Important Points to Note:
•  Welfare effects of price changes can
be measured by changing areas below
either compensated or ordinary
demand curves
–  such changes affect the size of the
consumer surplus that individuals receive
by being able to make market transactions
Important Points to Note:
•  The negativity of the substitution effect
is one of the most basic findings of
demand theory
–  this result can be shown using revealed
preference theory and does not
necessarily require assuming the
existence of a utility function
Analyse de préférences
révélées
•  Supposons que nous observions les
choix de consommation de bien d’un
ménage confronté à différentes
configurations de prix et à différents
niveaux de richesse. De telles
observations peuvent nous permettre ...
Analyse de préférences
révélées
–  De tester l’hypothèse de rationalité du
consommateur (Popper).
–  De découvrir les préférences du
consommateur.
Hypothèses de base
•  Les préférences:
–  ne changent pas entre les différentes
périodes où les données sur les choix sont
collectées.
–  Sont localement non-saturables.
•  Non-saturation locale implique que le
consommateur dépense l’intégralité de sa
richesse pour se procurer son panier préféré.
Révélation directe faible de
préférence
•  Supposons que le panier x* est choisi
alors qu’un panier y aurait coûté, aux
prix en vigueur, faiblement moins cher
que x*. On dit alors que x* est
directement faiblement révélé préféré à
y
Révélation directe stricte de
préférence
•  Supposons que le panier x* est choisi
alors qu’un panier y aurait coûté, aux
prix en vigueur, strictement moins cher
que x*. On dit alors que x* est
strictement révélé directement préféré à
y
Révélation directe de
préférence
•  La distinction entre préférence révélée
directe stricte et faible n’a de sens que
si l’on fait l’hypothèse de non-saturation
locale (un panier non choisi qui coûte
strictement moins cher qu’un panier
choisi est strictement moins bien que le
panier choisi)
X2
Révélation directe de
préférence
Le panier x* est directement faiblement
révélé préféré à y et à z et directement
strictement révélé préféré à y
*
x
z
y
x1
Révélation Directe de
Préférence
•  De manière compacte, on écrira
x
y.
•  Pour dire que x est (directement)
faiblement révélé préféré à y et
x
y pour dire que x est (directement)
strictement révélé préféré à y
Révélation indirecte de
préférences
•  Supposons que x soit directement révélé
préféré à y, et que y soit directement révélé
préféré à z (dans les deux cas, faiblement).
Alors, si la préférence utilisée par le ménage
était transitive, on pourrait en déduire que x
est indirectement révélé préféré à z. Ecrivons
cela comme
• 
x
z
x2
Révélation indirecte de
préférence
z n’est pas disponible lorsque
x* est choisi.
x*
z
x1
x2
Révélation indirecte de
préférences
x* n’est pas disponible lorsque
y* est choisi.
x*
y*
z
x1
x2
Révélation Indirecte de
préférence
z n’est pas disponible lorsque x* est
choisi, x* n’est pas disponible lorsque
y* est choisi.
x*
y*
z
x1
x2
Révélation indirecte de
préférence
z n’est pas disponible lorsque x* est choisi et
x* n’est pas disponible lorsque y* est choisi.
Donc, x* et z ne peuvent pas être
directement comparés.
x*
y*
z
x1
x2
Révélation indirecte de
préférence
z n’est pas disponible lorsque x* est choisi et
x* n’est pas disponible lorsque y* est choisi.
Donc, x* et z ne peuvent pas être
directement comparés.
x*
y*
z
mais x*
x1
y*
x2
Révélation indirecte de
préférence
z n’est pas disponible lorsque x* est choisi et
x* n’est pas disponible lorsque y* est choisi.
Donc, x* et z ne peuvent pas être
directement comparés.
x*
y*
z
x1
mais x*
y*
et y*
z*
x2
Révélation indirecte de
préférence
z n’est pas disponible lorsque x* est choisi et
x* n’est pas disponible lorsque y* est choisi.
Donc, x* et z ne peuvent pas être
directement comparés.
x*
y*
z
mais x*
y*
et y*
z*
x1
donc x*
z*
Deux Axiomes de la préférence
révélée
•  Pour apparaître comme rationnel au
sens microéconomique, les préférences
révélées par les choix doivent satisfaire
deux axiomes- l’axiome faible et
l’axiome généralisé de la préférence
révélée
L’Axiome Faible de la
Préférence Révélée (AFPR)
•  Si le panier x est directement révélé
faiblement préféré au panier y, alors on
ne doit jamais observer que le panier y
est directement et strictement révélé
préféré à x; i.e.
x
y
non (y
x).
L’axiome faible de la
préférence révélée (AFPR)
•  Des observations sur les choix d’un
consommateur qui violent l’AFPR sont
incompatible avec la rationalité
microéconomique.
•  L’AFPR est une condition nécessaire que
doit satisfaire un comportement de choix
pour pouvoir résulter de la poursuite d’un
objectif de maximisation d’utilité sous
contrainte budgétaire .
Un comportement de choix
qui viole AFPR
x2
y
x
x1
Un comportement de choix
qui viole AFPR
x2
x est choisi lorsque y est disponible
donc x
y.
y
x
x1
Un comportement de choix
qui viole AFPR
x2
x est choisi lorsque y est disponible
donc x
y.
y est choisi lorsque x est disponible
donc y
x.
y
x
x1
Un comportement de choix qui
viole AFPR
x2
x est choisi lorsque y est disponible
donc x
y.
y est choisi lorsque x est disponible
donc y
x.
y
Ces énoncés
contredisent AFPR
x
x1
Comment vérifier si des données
violent l’AFPR ?
•  Un consommateur fait les choix
suivants:
–  Aux prix (p1,p2)=(2€,2€) le panier choisi
était (x1,x2) = (10,1).
–  Aux prix (p1,p2)=(2€,1€) le panier choisi
était (x1,x2) = (5,5).
–  Aux prix (p1,p2)=(1€,2€) le panier choisi
était (x1,x2) = (5,4).
•  Ce comportement de choix viole-t-il
l’AFPR ?
Vérifions si ce comportement
viole l’AFPR
Vérifions si ce comportement
viole l’AFPR
Les nombres en rouge représentent le coûts d’achat des paniers choisis.
Vérifions si ce comportement
viole l’AFPR
Les nombres encerclés représentent les coûts
D’acquisition des paniers non choisis.
Vérifions si ce comportement
viole l’AFPR
Les nombres encerclés représentent les coûts d’acquisition des paniers non
choisis.
Vérifions si ce comportement
viole l’AFPR
Les nombres encerclés représentent les coûts d’acquisition des paniers non
choisis.
Vérifions si ce comportement
viole l’AFPR
Vérifions si ce comportement
viole l’AFPR
Vérifions si ce comportement
viole l’AFPR
(10,1) est directement révélé
préféré à (5,4)
et
(5,4) est directement révélé
préféré à (10,1)
Donc ce comportement
viole l’AFPR .
Vérifions si ce comportement
viole l’AFPR
x2
(5,4)
(10,1)
(10,1)
(5,4)
4
1
5
10
x1
L’axiome Généralisé de la
préférence révélée (AGPR)
•  Si un panier x est faiblement révélé
(directement ou indirectement) préféré à
un panier y, alors y ne doit jamais être
strictement et directement révélé
préféré à x; i.e.
x
y ou x
y
non ( y
x ).
L’axiome Généralisé de la
préférence révélée (AGPR)
•  Un comportement de choix qui vérifie
l’AGPR vérifie l’AFPR mais la
réciproque n’est pas vraie en général
•  Si il n’y a que deux biens, les deux
axiomes sont équivalents
Comment vérifier si un
comportement satisfait
l’AGPR?
•  Considérons les choix de consommation
suivants (remarquons qu’il y a 3 biens):
A: (p1,p2,p3) = (1,3,10) & (x1,x2,x3) = (3,1,4)
B: (p1,p2,p3) = (4,3,6) & (x1,x2,x3) = (2,5,3)
C: (p1,p2,p3) = (1,1,5) & (x1,x2,x3) = (4,4,3)
Comment vérifier si un
comportement satisfait
l’AGPR ?
A: (1€,3€,10€)
(3,1,4).
B: (€4,3€,€6)
(2,5,3).
C: (1€,1€,5€)
(4,4,3).
Comment vérifier si un
comportement satisfait
l’AGPR?
Comment vérifier si un
comportement satisfait
l’AGPR?
Dans la situation A,
le panier A est
directement
faiblement révélé
préféré au panier C;
A
C.
Comment vérifier si un
comportement satisfait
l’AGPR?
Dans la situation B,
le panier B est
directement
Strictement révélé
préféré au
panier A;
B
A
Comment vérifier si un
comportement satisfait
l’AGPR?
Dans la situation C,
le panier C est
directement
Strictement révélé
préféré au
panier B;
C
B
Comment vérifier si un
comportement satisfait
l’AGPR ?
Les données ne violent pas l’ AFPR.
Comment vérifier si un
comportement satisfait
l’AGPR ?
Nous avons que A
C
C, B
A
et
B
Et donc par définition de la préférence indirecte
B
C, A
B et C
A
Les données ne violent pas l’AFPR mais ...
Comment vérifier si un
comportement satisfait
l’AGPR ?
Nous avons que
A
C, B
A et C
et donc par définition
de la préférence
indirecte
B
C, A
B et C
B
A.
Les données ne violent pas l’AFPR mais ...
Comment vérifier si un
comportement satisfait
l’AGPR ?
Les énoncés
A B et B
A
sont incompatibles
avec l’AGPR.
Les données ne violent pas l’AFPR mais ...
Comment vérifier si un
comportement satisfait
l’AGPR ?
Les énoncés
B C et C
B
sont incompatibles
avec l’AGPR.
Les données ne violent pas l’AFPR mais ...
Comment vérifier si un
comportement satisfait
l’AGPR ?
Les données ne
violent pas l’AFPR mais
violent à deux reprises
L’AGPR!!!!!
Un théorème important
(Afriat, 1967).
•  Une liste finie de T observations sur des
paniers de n biens et des listes de n prix {xt,pt}
(avec xt ∈Rn+ et pt ∈ Rn+ (pour t = 1,..,T) satisfait
l’AGPR si et seulement s’il existe une fonction
(d’utilité) U: Rn+→ R continue, monotone
croissante et concave telle que, pour tout t,
U(xt) ≥ U(x) pour tout panier x ∈ Rn+ satisfaisant
p1tx1+…+ pntxn ≤ p1tx1t +…+ pntxnt .
Un théorème important
(Afriat, 1967).
•  En mots, un comportement observé de
consommation vérifie l’AGPR si et
seulement si il résulte d’une
maximisation d’utilité sous contrainte
budgétaire.
•  L’AGPR représente l’ensemble de
toutes les implications observables de
l’hypothèse de rationalité du
consommateur
Recouvrer les préférences à
partir des choix
•  Supposons que nous disposions de données
sur les choix d’un individu et que ces
données satisfassent l’AGPR.
•  D’après le théorème d’Afriat, nous pouvons
trouver les préférences de cet individu (ou
une fonction d’utilité qui les représente).
•  Comment?
Recouvrer les préférences à
partir des choix
•  Supposons que nous observions:
A: (p1,p2) = (1€,1€) & (x1,x2) = (15,15)
B: (p1,p2) = (2€,1€) & (x1,x2) = (10,20)
C: (p1,p2) = (1€,2€) & (x1,x2) = (20,10)
D: (p1,p2) = (2€,5€) & (x1,x2) = (30,12)
E: (p1,p2) = (5€,2€) & (x1,x2) = (12,30).
•  Où se situe la courbe d’indifférence
associée au panier A = (15,15)?
Recouvrer les préférences à
partir des choix
•  Le tableau montrant les relations de
révélation directe de préférence est :
Recouvrer les préférences à
partir des choix
Dans un monde à 2 biens, il y a
équivalence entre AFPR et AGPR;
l’AFPR n’est pas violé par les données.
Recouvrer les préférences
x2
A: (p1,p2)=(1,1); (x1,x2)=(15,15)
B: (p1,p2)=(2,1); (x1,x2)=(10,20)
C: (p1,p2)=(1,2); (x1,x2)=(20,10)
E
D: (p1,p2)=(2,5); (x1,x2)=(30,12)
B
A
E: (p1,p2)=(5,2); (x1,x2)=(12,30)
C
D
x1
Recouvrer les préférences
x2
A: (p1,p2)=(1,1); (x1,x2)=(15,15)
B: (p1,p2)=(2,1); (x1,x2)=(10,20)
C: (p1,p2)=(1,2); (x1,x2)=(20,10)
E
D: (p1,p2)=(2,5); (x1,x2)=(30,12)
B
A
E: (p1,p2)=(5,2); (x1,x2)=(12,30)
C
D
x1
Commençons par les paniers qui sont révélés
pires que A.
Recouvrer les préférences
x2
A: (p1,p2)=(1,1); (x1,x2)=(15,15)
A
x1
Recouvrer les préférences
x2
A: (p1,p2)=(1,1); (x1,x2)=(15,15).
A
x1
Recouvrer les préférences
x2
A: (p1,p2)=(1,1); (x1,x2)=(15,15).
A est directement révélé
préféré à tout panier dans cette
zone
A
x1
Recouvrer les préférences
x2
A: (p1,p2)=(1,1); (x1,x2)=(15,15)
B: (p1,p2)=(2,1); (x1,x2)=(10,20)
E
B
A
C
D
x1
Recouvrer les préférences
x2
A: (p1,p2)=(1,1); (x1,x2)=(15,15)
B: (p1,p2)=(2,1); (x1,x2)=(10,20)
B
A
x1
Recouvrer les préférences
x2
A est directement révélé
Préféré à B et …
B
A
x1
Recouvrer les préférences
x2
B est directement révélé préféré
à tous les paniers dans cette
zone
B
x1
Recouvrer les préférences
x2
donc, A est indirectement
révélé préféré à tous les
Paniers dans cette zone
B
x1
x2
Recouvrer les préférences
donc A est maintenant révélé
Préféré à tous les paniers
Dans l’union.
B
A
x1
x2
Recouvrer les préférences
A: (p1,p2)=(1,1); (x1,x2)=(15,15)
C: (p1,p2)=(1,2); (x1,x2)=(20,10).
E
B
A
C
D
x1
x2
Recouvrer les préférences
A: (p1,p2)=(1,1); (x1,x2)=(15,15)
C: (p1,p2)=(1,2); (x1,x2)=(20,10).
A
C
x1
x2
Recouvrer les préférences
A est directement révélé
préféré à C et ...
A
C
x1
x2
Recouvrer les préférences
C est directement révélé
Préféré à tous les paniers dans
La zone hachurée
C
x1
x2
Recouvrer les préférences
Donc, A est indirectement
révélé préféré à tous ces paniers
C
x1
x2
Recouvrer les préférences
Donc A est révélé préféré
à tous les paniers de la zone
hachurée.
B
A
C
x1
x2
Recouvrer les préférences
Donc A est révélé préféré
à tous les paniers de la zone
hachurée. L’ensemble FP
de ces préférences doit être au
Nord-Est de cette zone.
B
A
C
x1
Recouvrer les préférences
•  Maintenant, quid des paniers révélés
faiblement préférés (directement ou
indirectement) à A?
Recouvrer les préférences
x2
A: (p1,p2)=(1,1); (x1,x2)=(15,15)
B: (p1,p2)=(2,1); (x1,x2)=(10,20)
C: (p1,p2)=(1,2); (x1,x2)=(20,10)
D: (p1,p2)=(2,5); (x1,x2)=(30,12)
E: (p1,p2)=(5,2); (x1,x2)=(12,30).
E
B
A
C
D
x1
Recouvrer les préférences
x2
A: (p1,p2)=(1,1); (x1,x2)=(15,15)
D: (p1,p2)=(2,5); (x1,x2)=(30,12)
A
D
x1
Recouvrer les préférences
x2
D est directement révélé
préféré à A.
A
D
x1
Recouvrer les préférences
x2
D est directement révélé
préféré à A. Cherchons une
préférence convexe et monotone
qui rationalise ces choix
A
D
x1
Recouvrer les préférences
D est directement révélé
préféré à A. Cherchons une
préférence convexe et monotone
qui rationalise ces choix
x2
Tous les paniers sur la droite reliant A
à D seront préférés à A
A
D
x1
Recouvrer les préférences
D est directement révélé
Préféré à A. Cherchons une
Préférence convexe et monotone
qui rationalise ces choix
x2
Tous les paniers sur la droite reliant A à D seront
préférés à A
A
D
Et…
x1
Recouvrer les préférences
x2
tous les paniers contenant la
même quantité de bien 2
et plus de bien 1 que
D sont préférés à D et sont
donc également préférés à A
A
D
x1
x2
Recouvrer les préférences
paniers révélés
Strictement préférés
àA
A
D
x1
Recouvrer les préférences
x2
A: (p1,p2)=(1,1); (x1,x2)=(15,15)
B: (p1,p2)=(2,1); (x1,x2)=(10,20)
C: (p1,p2)=(1,2); (x1,x2)=(20,10)
D: (p1,p2)=(2,5); (x1,x2)=(30,12)
E: (p1,p2)=(5,2); (x1,x2)=(12,30).
E
B
A
A
C
D
x1
Recouvrer les préférences
x2
A: (p1,p2)=(1,1); (x1,x2)=(15,15)
E
E: (p1,p2)=(5,2); (x1,x2)=(12,30).
A
x1
Recouvrer les préférences
x2
E est directement révélé
préféré à A.
E
A
x1
Recouvrer les préférences
x2
E est directement révélé
Préféré à A. Utilisons la
convexité
E
A
x1
Recouvrer les préférences
x2
E
E est directement révélé
Préféré à A. Utilisons la
Convexité pour conclure que
Tous les paniers sur le segment
reliant A et E sont préférés à A
A
x1
Recouvrer les préférences
x2
E
E est directement révélé
Préféré à A. Utilisons la
Convexité pour conclure que
Tous les paniers sur le segment
Reliant A et E sont préférés à A
de même…
A
x1
Recouvrer les préférences
x2
Tous les paniers contenant la
même quantité de bien 1 et
plus de bien 2 que E
sont préférés à E et donc, à A.
E
A
x1
Recouvrer les préférences
x2
De nouveaux paniers sont donc révélés révélés
préférés A
E
A
x1
Recouvrer les préférences
x2
paniers révélés
antérieurement préférés
àA
E
B
A
C
D
x1
Recouvrer les préférences
x2
Ensemble des paniers révélés
préférés à A
E
B
A
C
D
x1
Recouvrer les préférences
•  Nous venons donc de fixer des bornes
supérieures et inférieures de la zone où
doit se situer la courbe d’indifférence
passant par le panier A.
Recouvrer les préférences
x2
Paniers révélés
préférés à A
A
x1
paniers révélés pires que A
Recouvrer les préférences
x2
paniers révélés
préférés à A
A
x1
paniers révélés pires que A
Recouvrer les préférences
x2
Région où doit se situer la courbe d’indifférence passant par A.
A
x1
Application: Les indices
numériques
•  Au cours du temps, plusieurs prix changent. Peuton apprécier l’impact de ces changements de prix
sur le bien être des consommateurs ?
•  Certains indices numériques peuvent nous fournir
des réponses partielles à de telles questions. Nous
partons des paniers de consommation d’un agent
au cours de 2 périodes différentes. Nous désirons
les comparer.
•  Nous utiliserons l’indice b pour la période de base
et l’indice t pour l’autre période.
•  Comment comparer la consommation “moyenne”
au cours de la période t à celle de la période b de
base?
•  Supposons qu’à la période t, les prix
soient (p1t,p2t) et que le consommateur
choisisse (x1t,x2t). Au cours de la période
de base, les prix sont (p1b,p2b) et le choix
du consommateur est (x1b,x2b).
•  Nous désirons connaître le changement
intervenu dans la consommation
« moyenne »?
Indices Numériques
•  Deux grands types d’indices
–  Indices de prix (inflation, INSEE) et
–  Indices de quantité (PIB, consommation
agrégée)
•  Chaque indice compare les dépenses
entre une période dite de base et une
période courante en prenant un ratio de
ces dépenses.
Indices de quantité
•  Un indice de quantité est un ratio impliquant des
moyennes (pondérées par les prix) des quantités
consommées de biens à deux périodes; i.e.
p1x1t + ... + pn xnt
Iq =
p1x1b + ... + pn xnb
où les prix (p1,…,pn) utilisés pour pondérer les quantités
peuvent être ceux de la période courante (p1t,…,pnt) ou
ceux de la période de base (p1b,…,pnb) .
•  Si Iq>1, nous pouvons dire que la conso moyenne à
€
augmenté
de la période b à la période t.
•  Mais il existe deux ensemble de prix : lequel faut-il
utiliser ?
Indices de quantité
•  Si (p1,…,pn) = (p1b,…,pnb) on obtient ce
qu’on appelle un indice de quantité de
Laspeyres;
Indices de quantité
•  Si (p1,…,p2) = (p1t,…,p2t) on a un indice
de quantité de Paashes;
t
1
t
1
t
1
b
1
t
n
t
n
t
n
b
n
p x +...+ p x
Pq =
p x +...+ p x
€
Indices de quantité
•  Les macro-économistes aiment bien
utiliser ces indices (une croissance du
PIB réel par habitant est jugée, en
général, une bonne chose)
•  Peut on justifier cet usage normatif des
indices ?
Indices de quantité
•  Si
pb xt + ...+ pb xt
n n <1
L = 1 1
q
pb x b + ...+ pb x b
1 1
n n
•  Que pouvons nous dire de la satisfaction du
consommateur au moment t par rapport à sa satisfaction
au moment b ?
•  La réponse est fournie par les préférences révélées.
€
pb xt +...+ pb xt < pb x b +...+ pb x b
1 1
n n 1 1
n n
donc, le consommateur révèle préférer le panier (x1b, x2b )
au panier (x1t, x2t ) et qu’il atteint un niveau de satisfaction
plus élevé à la période b qu’à la période t
€
Indices de quantité
pt xt + ... + pt xt
n n >1
P = 1 1
q
pt x b + ... + pt x b
1 1
n n
•  Si
€
alors
t
t
t
t
t
b
t
b
p x +...+ p x > p x +...+ p x
11
n n 11
nn
et donc, le consommateur moyen
préfère le panier consommé à l’année
€
courante
par rapport à l’année de base.
Indices de quantité
•  Par contre, aucune conclusion ne peut
être tirée si on a simultanément Pq < 1
et Lq > 1
•  Par ailleurs, le fait d’avoir
simultanément Pq > 1 et Lq < 1 serait
révélateur d’une irrationalité du
consommateur moyen
Indices de prix
•  Un indice de prix est un ratio constitué de
deux moyennes (pondérée par les quantités)
des prix; i.e.
t
t
p x + ...+ p x
nn
I = 11
p b
p x + ...+ pb x
1 1
n n
•  où (x1,…,xn) peut être le panier de la période
de référence (x1b,…,xnb) ou celui de la période
courante (x€1t,…,xnt).
Indices de prix
•  Si (x1,…,xn) = (x1b,…,xnb) nous avons
l’indice de prix de Laspeyres (utilisé par
l’INSEE);
t
1
b
1
b
1
b
1
t
n
b
n
b
n
b
n
p x +...+ p x
Lp =
p x +...+ p x
Indices de prix
•  Si (x1,…,xn) = (x1t,…,xnt) nous avons
l’indice de prix de Paasche ;
t
1
b
1
t
1
t
1
t
n
b
n
t
n
t
n
p x +...+ p x
Pp =
p x +...+ p x
Indices de prix
•  On s’inquiète souvent de l’inflation
(hausse du niveau moyen des prix)
•  A t-on raison de le faire?
•  Définissons le ratio de dépense
p1t x1t + ...+ pnt xnt
M= b b
p1 x1 + ...+ pnb xnb
Indices de prix
•  si
p1t x1b + ... + p2t x2b
Lp = b b
p1 x1 + ... + p2b x2b
alors
€
<
p1t x1t + ...+ pnt xnt
=M
b b
b b
p1 x1 + ...+ pn xn
p1t x1b€+...+ pnt xnb < p1t x1t +...+ pnt xnt
et
donc, le consommateur moyen préfère le
panier qu’il consomme à la période courante
à celui qu’il consommait à la période de base.
€
•  Cela confirme l’intuition que le consommateur
devrait atteindre un niveau de satisfaction
plus élevé si les prix augmentent moins que
le revenu.
Indices de prix
•  Mais si
alors
p1t x1t + ...+ pnt xnt
=M
b b
b b
p1 x1 + ...+ pn xn
p1t x1t + ... + pnt xnt >
Pp = b t
p1 x1 + ... + pnb xnt
b t
1 1
b t
n n
p x +...+ p x <
b b
1 1
b b
n n
p x +...+ p x
€
€
•  donc, le consommateur préfère le panier de la période de
base à celui de l’année courante.
•  Si l’indice des prix de Paasche est supérieur à l’indice M
des
dépenses totales, le consommateur doit avoir un
€
niveau de satisfacion plus élevé à la période b qu’à la
période t.
•  Si les prix augmentent davantage que les revenu de la
période b à la période t, on peut s’attendre à une baisse
du niveau de satisfaction du consommateur. L’analyse
des préférences révélées confirme cette intuition.
Pleine Indexation?
•  Des changements dans l’indice de prix sont
parfois utilisés pour ajuster les salaires où le
niveau des prestations sociales (ex. coup de
pouce du SMIC). On appelle cela de
l“indexation”.
•  Il y a « pleine indexation » lorsque le salaire
ou la prestation est ajustée au même taux
que celui qui gouverne l’évolution de l’indice
des prix utilisé pour mesurer l’inflation.
Pleine Indexation?
•  Puisque les prix n’augmentent pas tous
au même taux, les prix relatifs tendent
typiquement à se modifier lorsque « le
niveau général des prix augmente ».
•  Par exemple, est-il approprié d’indicer le
SMIC sur l’inflation avec l’intention de
préserver le pouvoir d’achat des agents
touchant le SMIC ?
Pleine indexation?
•  Voyons ce qui se passe lorsqu’on utilise
l’indice de prix de Laspeyres
x2
Pleine Indexation?
Contrainte budgétaire de la période de base
Choix de la période de base
x2
b
x1
b
x1
x2
Pleine Indexation?
Contrainte budgétaire de base
Choix de
référence
x2
b
Contrainte budgétaire
courante avant indexation
x1
b
x1
x2
Pleine Indexation?
Contrainte budgétaire de référence
Choix de référence
x2
Contrainte budgétaire courante
après pleine indexation
b
x1
b
x1
x2
Pleine Indexation?
Contrainte budgétaire de référence
Choix de référence
x2
Contrainte budgétaire courante
après pleine indexation
b
Choix courant après indexation
x1
b
x1
x2
Pleine Indexation?
Contrainte budgétaire de référence
Choix de référence
x2
x2
b
Contrainte budgétaire courante
après pleine indexation
t
Choix courant après indexation
x1
b
x1
t
x1
Pleine Indexation?
x2
t t
b b
(x1 ,x2 ) est révélé préféré à (x1 ,x2 ) et donc la pleine
indexation améliore le bien être du consommateur au SMIC
si les prix relatifs changent entre les deux périodes.
x2
x2
b
t
x1
b
x1
t
x1
Comment tarifer la
téléphonie ?
•  Supposons qu’une entreprise de téléphonie
désire augmenter les tarifs du téléphone
•  Est-il préférable du point de vue du
consommateur d’augmenter le tarif à la
communication ou d’augmenter le forfait fixe
(payé indépendamment du nombre de
communications)?
•  On fait l’exercice en supposant donné le
montant collecté
Comment tarifer la
téléphonie ?
•  Soient x1 et x2 les quantités de
téléphone et d’argent disponibles à
d’autres usage que le téléphone
consommées avant le changement de
tarif et soient p et F les montants
respectifs du tarif à la communication et
du forfait avant le changement (la
richesse est R)
px1 + x2 = R − F
Comment tarifer la
téléphonie ?
•  Soient y1 et y2 les quantités de
téléphone et d’argent disponibles à
d’autres usage que le téléphone
choisies suite à une augmentation du
forfait de ΔF
py1 + y2 = (R − (F + ΔF))
€
Comment tarifer la
téléphonie ?
•  Soient z1 et z2 les quantités de
téléphone et d’argent disponibles à
d’autres usage que le téléphone
choisies suite à une augmentation du
prix de la communication de p à q
qz1 + z2 = R − F
€
Comment tarifer la
téléphonie ?
•  Nous savons que
(q − p)z1 = ΔF
€
Comment tarifer la
téléphonie ?
•  Et donc que
py1 + y2 = R − F − ΔF
= (R − F ) − (q − p)z1
= qz1 + z2 − (q − p)z1
= pz1 + z2
€
Comment tarifer la
téléphonie ?
•  Le panier choisi avec la tarification au
forfait est donc révélé préféré au panier
choisi avec tarification à la
communication (à recettes données)
•  Tout consommateur préférera donc une
tarification au forfait à une tarification à
l’appel