Variétés de Siegel - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Variétés modulaires de Siegel
Olivier Brinon
Résumé.Notes d’exposé pour le groupe de travail organisé à l’IMB sur les variétés de Shimura. Il s’agit
d’une présentation de [6, Chapitre 6].
Table des matières
1. Variétés abéliennes sur C1
2. Les groupes symplectiques 6
3. Foncteurs de modules de variétés abéliennes 8
4. Donnée de Shimura associée à un espace symplectique et variété modulaire de Siegel 10
Références 12
1. Variétés abéliennes sur C
Ce qui suit est un résumé de [9, Chapitre I].
1.1. Rappels sur les structures de Hodge. Soit Vun R-espace vectoriel de dimension finie. La donnée d’une
C-structure sur V(i.e. d’un morphisme de R-algèbres α:C→EndR-lin(V), soit encore de J=α(i)∈EndR-lin(V)
tel que J2=−IdV) équivaut à celle d’une structure de Hodge 1h:S×V→Vde type {(−1,0),(0,−1)}(la
décomposition de Hodge est alors VC=V−1,0⊕V0,−1où V−1,0=Ker(JC−iId)et V0,−1=Ker(JC+iId);
on a h(z)·(v⊕v0) = zv ⊕¯zv0pour tout z∈Cet v∈V−1,0,v0∈V0,−1). Une polarisation est une application
bilinéaire ψ:V×V→Rtelle que V⊗2→R(1) soit un morphisme de structures de Hodge (c’est-à-dire telle
que ψ(h(z)v1, h(z)v2) = |z|2ψ(v1, v2)pour tout z∈C×et (v1, v2)∈V×V) et ψJ: (u, v)7→ ψ(u, J(v)) soit
symétrique (ce qui équivaut à ψalternée) définie positive.
Une structure de Hodge sur Zde type {(−1,0),(0,−1)}est un Z-module de type fini U(qu’on suppose sans
torsion) tel que R⊗ZUsoit muni d’une structure de Hodge de type {(−1,0),(0,−1)}au sens précédent 2. Elle
est polarisée si R⊗ZUest muni d’une polarisation ψtelle que ψ(U×U)⊂Z.
1.2. Tores complexes. Soient g∈N>0et Xun groupe de Lie complexe compact et connexe. Alors Xest
commutatif, et l’application exponentielle induit un isomorphisme (de groupes de Lie complexes)
V/U →X
où V=TeX=Lie(X)est l’espace tangent en l’élément neutre e∈X(c’est un C-espace vectoriel de dimension
g) et U⊂Vun réseau, en d’autres termes, Xest un tore complexe.
Il en résulte que π:V→Xest le revêtement universel de X, et donc U=π−1(e)'π1(X, e)'H1(X, Z). En
particulier, l’isomorphime
R⊗ZH1(X, Z)∼ →V
munit H1(X, Z)d’une structure complexe, i.e. d’une structure de Hodge sur Zde type {(−1,0),(0,−1)}.
Si X0∼ ←V0/U0est un autre tore, une application homomorphe ϕ:X→X0telle que ϕ(0) = 0 se relève de
façon unique en une application holomorphe 3α:V→V0entre les revêtements universels telle que α(0) = 0 et
α(U)⊂U0. L’application αest nécessairement linéaire 4, ce qui implique en particulier que ϕest automatiquement
un morphisme de groupes. On en déduit l’équivalence de catégories
(tores complexes)→structures de Hodge de type
{(−1,0),(0,−1)}sur Z
(HS)
X7→ (H1(X, Z),R⊗ZH1(X, Z)∼ →TeX)
Version du 7 mai 2015.
1. Où S= ResC/R(Gm): A7→ (A⊗RC)×(pour toute R-algèbre A) est le tore de Deligne.
2. Rappelons qu’en général, on demande que la filtration par le poids soit définie sur Q, le type étant celui de R⊗ZU.
3. Parce que πet π0sont des isomorphismes locaux.
4. Si u∈U, l’application v7→ α(v+u)−α(v)est holomorphe et à valeurs dans U0: elle est constante. Si (zi)1≤i≤gest un système
de formes coordonnées, les applications ∂α
∂zisont donc holomorphes et U-périodiques : elles sont constantes, et αest linéaire vu que
α(0) = 0

2 Olivier Brinon
1.3. Cohomologie des faisceaux sur les tores complexes. On reprend les notations du dernier numéro. Si
Gest un faisceau sur V, on a une suite spectrale Hp(U, Hq(V, G)) ⇒Hp+q(X, GU)(cf [5, Corollaire 3, p.205] ou
[12, Theorem 6.10.10], où GU=πU
∗Gest le faisceau des invariants du U-faisceau π∗G,cf [5, p.198]). Par ailleurs,
si Fest un faisceau sur X, alors toute section de Fdéfinit une section U-invariante de π−1F, ce qui fournit un
isomorphisme F∼ →πU
∗(π−1F)(cf [5, 5.1.1]) de sorte qu’on a une suite spectrale
Hp(U, Hq(V, π−1F)) ⇒Hp+q(X, F)
Lorsque Hq(V, π−1F) = {0}pour tout q > 0, on en déduit un isomorphisme
(∗)Hn(U, H0(V, π−1F)) ∼ →Hn(X, F)
1.3.1. Cohomologie singulière. La propriété d’annulation de la cohomologie sur Va lieu pour F=Zet F=C:
on a donc des isomorphismes Hn(U, Z)∼ →Hn(X, Z)et Hn(U, C)∼ →Hn(X, C)pour tout n∈N.
Remarque 1.4. On retrouve le premier isomorphisme pour n= 1 en observant que
H1(X, Z)'Homgr (π1(X, e),Z)'Homgr (U, Z)
Pour tout n∈N, le cup-produit induit des isomorphismes 5
∧nHomgr(U, Z)Hn(U, Z)
∧nH1(X, Z)Hn(X, Z)
∧nHomgr(U, C)Hn(U, C)
∧nH1(X, C)Hn(X, C)
(le deuxième diagramme se déduisant du premier en tensorisant par C).
Soient T=HomC-lin(V, C)l’espace cotangent à Xen eet p∈N. En utilisant la translation pour la loi
de groupe sur X, tout élément α∈ ∧pTse prolonge en une forme différentielle holomorphe ωαinvariante par
translation. On en déduit un morphisme de faisceaux OX⊗C∧pT→Ωp
X. C’est un isomorphisme (de sorte que
Ωp
Xest globalement libre). Posons T=HomC-antilin(V, C). On a
H1(X, C)∼ ←C⊗ZH1(X, Z)'C⊗ZHomgr (U, Z)'HomR-lin(V, C) = T⊕T
1.4.1. Cohomologie de de Rham. Comme Hq(V, OV) = {0}l’isomorphisme (∗) appliqué à F=OXs’écrit
Hn(U, H)∼ →Hn(X, OX)pour tout n∈N, où H= Γ(V, OV)est l’anneau des fonctions holomorphes sur V.
On dispose du morphisme naturel H1(X, C)→H1(X, OX), qui s’identifie à l’application
HomR-lin(V, C)'T⊕T→H1(U, H)
Si α∈HomR-lin(V, C)a une image nulle dans H1(U, H), c’est un cobord : il existe f∈Htelle que pour tout
u∈U, on ait (∀v∈V)α(u) = f(v+u)−f(v). Cela implique que f0est u-périodique pour tout u∈U. Étant
holomorphe, elle est donc constante, de sorte que fest affine. Pour tout u∈U, on a donc α(u) = f(u)−f(0),
et donc (∀v∈V)α(v) = f(v)−f(0) i.e. α∈T. Cela implique que l’application qui précède induit une injection
T→H1(U, H)'H1(X, OX)
C’est un isomorphisme (cf [9, p.4]). Plus généralement (cf loc. cit.), le cup-produit induit un isomorphisme
∧qH1(X, OX)∼ →Hq(X, OX)pour tout q∈N, de sorte que
Hq(X, Ωp
X)'Hq(X, OX)⊗C∧pT' ∧qT⊗C∧pT
On a donc un isomorphisme
Hn(X, C)∼ →M
p+q=n
∧pT⊗C∧qT∼ →M
p+q=n
Hq(X, Ωp
X)
qui n’est autre que la décomposition de Hodge. En outre, l’application naturelle Hn(X, C)→Hn(X, OX)s’iden-
tifie, via cet isomorphisme, à la projection L
p+q=n
∧pT⊗C∧qT→ ∧nT.
5. La cohomologie du groupe U'Z2gpeut se calculer au moyen d’un complexe de Koszul. Soit e= (ei)1≤i≤2gune base de U
sur Z. On dispose alors de la résolution
0←Z←Z[U]←Z[U]⊗ZU←Z[U]⊗Z∧2U←···←Z[U]⊗Z∧2g−1U←Z[U]⊗Z∧2gU←0
| {z }
Kos•(U,e)
donnée par les applications Z[U]-linéaires
Z[U]⊗Z∧nU→Z[U]⊗Z∧n−1U
1⊗(ei1∧ · · · ∧ ein)7→ Pn
k=1(−1)k−1([eik]−1) ⊗(ei1∧ · · · ∧ ceik∧ · · · ∧ ein)
Si Aest un groupe muni d’une action de U, sa cohomologie est celle du complexe
HomZ[U](Kos•(U, e), A) : 0 →A→Homgr (U, A)→Homgr(∧2U, A)→ · · · → Homgr (∧2gU, A)→0
Lorsque l’action de Usur Aest triviale, toutes les flèches de ce complexe sont nulles : on a des isomorphismes 6
∧n
AHomgr(U, A)∼
→Homgr(∧nU, A)'Hn(U, A)
(indépendants du choix de e). C’est le cas pour A=Zet A=C.

Variétés modulaires de Siegel 3
1.4.2. Faisceaux inversibles sur les tores. Les suites exactes
0→Z→Hexp(2iπ·) −−−−−−→ H×→ {1}
0→Z→OX
exp(2iπ·)
−−−−−−→ O×
X→ {1}
induisent des morphismes « bord » δ:H1(U, H×)→H2(U, H)et δ:H1(X, O×
X)→H2(X, Z)s’insérant dans le
carré commutatif
H1(U, H×)δ//H2(U, Z)
H1(X, O×
X)δ//H2(X, Z)
Comme on l’a vu plus haut, on a H2(X, Z)'Homgr(∧2U, Z)' ∧2Homgr(U, Z).
Si Lest un faisceau inversible sur X, sa première classe de Chern est δ(λ)où λest la classe de Ldans
H1(X, O×
X). D’après ce qui précède, elle correspond à la donnée d’une forme bilinéaire alternée E:U×U→Z.
En l’étendant par R-linéarité, on obtient une forme bilinéaire alternée E:V×V→Rqui prend des valeurs
entières sur U×U.
Lemme 1.5. On a E(v1, v2) = E(iv1, iv2)pour tous v1, v2∈V.
Démonstration. Rappelons que H2(X, C)' ∧2H1(X, C)' ∧2T⊕T⊗T⊕ ∧2T: écrivons E=E1+E2+E3avec
E1∈ ∧2T,E2∈T⊗Tet E3∈ ∧2T(où Eest vue comme une application bilinéaire V×V→R). Comme Eest
réelle, on a E1=E3.
Par ailleurs, Im(δ) = Ker(H2(X, Z)→H2(X, OX)), ce qui implique que l’image de Edans H2(X, OX)est nulle.
Or H2(X, OX)' ∧2H1(X, OX)' ∧2Tet l’application H2(X, C)→H2(X, OX)s’identifie à la projection ∧2T⊕
T⊗T⊕ ∧2T→ ∧2T: cette image n’est autre que E3. On a donc E3= 0 d’où E1= 0,i.e. E=E2∈T⊗T. Cela
équivaut précisément à E(v1, v2) = E(iv1, iv2)pour tous v1, v2∈V.
Lemme 1.6. On a une bijection entre l’ensemble des formes hermitiennes 7H:V×V→Cet celui des formes
alternées E:V×V→Rtelles que (∀v1, v2∈V)E(v1, v2) = E(iv1, iv2)donnée par
E(v1, v2) = Im(H(v1, v2))
H(v1, v2) = E(iv1, v2) + iE(v1, v2)
Démonstration. Soit H:V×V→Cune application R-bilinéaire : écrivons H(v1, v2) = R(v1, v2) + iE(v1, v2).
On a H(v2, v1) = H(v1, v2)si et seulement si R(v2, v1) = R(v1, v2)et E(v2, v1) = −E(v1, v2). Par ailleurs, on
aH(iv1, v2) = iH(v1, v2)si et seulement si R(iv1, v2) = −E(v1, v2)et E(iv1, v2) = R(v1, v2). Il en résulte que
Hest hermitienne si et seulement si Eest alternée et (v1, v2)7→ R(v1, v2) = E(iv1, v2)est symétrique. Si Eest
alternée, cette dernière condition équivaut à E(iv1, v2) = −E(v1, iv2), soit encore E(iv1, iv2) = E(v1, v2)pour
tout v1, v2∈V.
Lemme 1.7. Soient H:V×V→Cune forme hermitienne et E=Im(H). On suppose que E(U×U)⊂Z.
Il existe α:U→U:= {z∈C,|z|= 1}telle que (∀u1, u2∈U)α(u1+u2)
α(u1)α(u2)=eiπE(u1,u2)(une telle application α
s’appelle un multiplicateur pour H). Pour u∈U, on pose alors
eu:V→C
v7→ α(u)eπH(v,u)+ π
2H(u,u)
L’application u7→ euest un cocycle U→H×.
Démonstration. Il existe 8f:U→Ztelle que (∀u1, u2∈U)f(u1+u2)−f(u1)−f(u2)≡E(u1, u2) mod 2 Z. Il
suffit alors de poser α(u) = eiπf (u)pour tout u∈U.
On a bien sûr eu∈H×. Si u, u0∈Uet v∈V, on a
eu+u0(v) = α(u+u0)eπH(v,u+u0)+ π
2H(u+u0,u+u0)
=α(u)α(u0)eiπE(u,u0)+π(H(v,u)+H(v,u0))+ π
2(H(u,u)+H(u,u0)+H(u0,u)+H(u0,u0))
=eu(v)α(u0)eπ
2(H(u,u0)−H(u,u0))+πH(v,u0)+ π 2(H(u,u0)+H(u0,u)+H(u0,u0))
=eu(v)α(u0)eπH(u,u0)+π(v,u0)+ π
2H(u0,u0)=eu(v)eu0(v+u)
ce qui signifie que u7→ euest un cocycle U→H×.
7. Contrairement à certains usages (en France du moins), on suppose ces formes linéaires par rapport à la première variable et
antilinéaires par rapport à la deuxième.
8. Si E(U×U)⊂2Z, on prend f= 0, sinon il existe une base de U⊗Z(Z/2Z)dans laquelle la matrice de l’application induite par
Eest 0Ig
Ig0(cf proposition 2.4) : si ua pour coordonnées (x1,...,x2g)dans cette base, on pose f(u) = x1xg+1+x2xg+2+···+xgx2g.

4 Olivier Brinon
Rappelons que H1(U, H×)'H1(X, O×
X): l’image du cocycle du lemme 1.7 dans H1(U, H×)correspond à la classe
d’un faisceau inversible. En termes de fibrés en droites, elle correspond à la classe du fibré L(H, α)quotient de
C×Vpar l’action de Udonnée par u·(z, v) = (eu(v)z, v +u). La classe de Chern de ce dernier n’est autre que
E.
Notation 1.8. On note AHVl’ensemble des couples (H, α)où H:V×V→Cest une forme hermitienne et
α:U→Uvérifie la condition du lemme 1.7. C’est un groupe pour la loi (H1, α1),(H2, α2)7→ (H1+H2, α1α2).
On note AH0
Vl’ensemble des formes hermitiennes H:V×V→Ctelles que Im(H)(U×U)⊂Z. C’est un groupe
pour l’addition.
Théorème 1.9. (Appel-Humbert, cf [9, p.20]) On a un diagramme à lignes exactes
α//(0, α) (H, α)//H
0//Homgr(U, U)//AHV//AH0
V//0
0//Pic0(X)//Pic(X)//NS(X)//0
où NS(X) := Ker H2(X, Z)→H2(X, OX)est le groupe de Néron-Severi de X.
1.9.1. Variétés abéliennes sur C.Les sections du fibré L(H, α)sont les applications θ:V→Ctelles que
(∀u∈U)θ(v+u) = α(u)eπH(v,u)+ π
2H(u,u)θ(v): ce sont les fonctions theta pour la forme hermitienne Het
le multiplicateur α.
Théorème 1.10. (Lefschetz, cf [9, p.29]) Soient X=V/U un tore complexe comme ci-dessus, Lun faisceau
inversible et Hsa classe de Chern. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Hest définie positive ;
(ii) pour tout n∈N≥3, l’espace des sections holomorphes de L⊗nfournit une immersion fermée de Xdans
un espace projectif.
Remarque 1.11. Il n’est pas très difficile de voir que si Hn’est pas définie positive, alors Ln’est pas ample.
Théorème 1.12. (Riemann, cf [9, p.35]) Soit X=V/U un tore complexe. Les conditions suivantes sont
équivalentes :
(i) Xest l’espace analytique complexe associé à une variété abélienne sur C;
(ii) Xest l’espace analytique complexe associé à une variété algébrique sur C;
(iii) il existe une forme hermitienne définie positive H:V×V→Ctelle que Im(H)prenne des valeurs entières
sur U×U(on dit que Xest polarisable).
Remarque 1.13. (i) La preuve utilise le fait que si Yest un sous-ensemble analytique fermé de Xan (où X
est une variété algébrique propre sur C), alors Yest un fermé de Zariski de X(c’est un théorème de Chow,
cf [9, p.33]).
(ii) Les conditions du théorème 1.12 sont automatiquement remplies lorsque g= 1 : si X=V/U avec V=C
et U=Z⊕τZ(où τ∈Cest tel que Im(τ)>0), alors H(z1, z2) = 1
Im(τ)z1z2est définie positive et sa partie
imaginaire prend des valeurs entières sur U×U. On sait dans ce cas que si
℘(z) = 1
z2+X
u∈U\{0}1
(z−u)2−1 u2
alors l’application C→P2
C;z7→ [1 : ℘(z) : ℘0(z)] induit un isomorphisme de Xsur la courbe elliptique
d’équation X0X2
2= 4X3 1−g2(τ)X2 0X1−g3(τ)X3 0(cf [11, Theorem 3.5 & Proposition 3.6]).
(iii) Si g > 1, la plupart des tores complexes ne sont pas algébrisables (cf [9, p.36]).
Théorème 1.14. L’équivalence de catégories (HS)induit l’équivalence de catégories :
(variétés abéliennes sur C)→(tores polarisables sur C)→structures de Hodge polarisées
de type {(−1,0),(0,−1)}sur Z
(AV)
A7→ Aan X7→ (H1(X, Z),R⊗ZH1(X, Z)∼ →TeX)
Corollaire 1.15. Le foncteur A7→ H1(A, Q)induit une équivalence de catégories entre la catégorie des variétés
abéliennes sur Cà isogénie près et celle des structures de Hodge polarisées de type {(−1,0),(0,−1)}sur Q.
1.15.1. Traduction matricielle du théorème de Riemann (cf [2, §§1.1 & 4.2]).Soit X=V/U un tore complexe.
Définition 1.16. Soient u= (u1, . . . , u2g)une Z-base de Uet e= (e1, . . . , eg)une C-base de V. La matrice de
périodes associée est l’élément Π∈Mg,2g(C)dont la j-ème colonne est donnée par les coordonnées de ujdans la
base e.
Lemme 1.17. Π∈Mg,2g(C)est la matrice de périodes d’un tore si et seulement si Π
Π∈GL2g(C).

Variétés modulaires de Siegel 5
Démonstration. Π∈Mg,2g(C)est la matrice de périodes d’un tore si et seulement si (∀x∈R2g) Πx= 0 ⇒x= 0.
Dans ce cas, si z=x+iy ∈C2gest tel que Π
Πz= 0, on a Π(x+iy) = 0 et Π(x−iy) = Π(x+iy) = 0, de
sorte que Πx= Πy= 0 et donc x=y= 0 i.e. z= 0, ce qui prouve que Π
Π∈GL2g(C). La réciproque est
évidente. 
Théorème 1.18. (Relations de Riemann) Xest une variété abélienne si et seulement s’il existe une matrice
antisymétrique A∈M2g(Z)de déterminant non nul telle que
•ΠA−1tΠ=0;
•iΠA−1tΠ0.
Aest alors la matrice d’une polarisation Edans la base u, et 2iΠA−1tΠ−1la matrice de Hdans la base e.
Démonstration. Si A∈M2g(Z)est antisymétrique de déterminant non nul, et E:V×V→Rla forme alternée
associée, on pose H(v1, v2) = E(iv1, v2) + iE(v1, v2)pour v1, v2∈V. Alors Hest hermitienne sur Vsi et
seulement si (∀v1, v2∈V)E(iv1, iv2) = E(v1, v2)(cf lemme 1.6). Si P=Π
Π∈GL2g(C), on a ΠP−1=Ig0
donc ΠI=iΠavec I=P−1iIg0
0−iIgP. Comme E(Πx, Πy) = txAy pour tout x, y ∈R2g, il en résulte que H
est hermitienne si et seulement si (∀x, y ∈R2g)t(Ix)A(Iy) = txAΠy,i.e. si et seulement si tIAI =A, soit encore
A−1=IA−1tI. Cela équivaut à P A−1tP=iIg0
0−iIgP A−1tPiIg0 0−iIg. Comme P A−1tP=ΠA−1tΠ ΠA−1tΠ
ΠA−1tΠ ΠA−1tΠ,
on obtient précisément ΠA−1tΠ=0.
Supposons Hhermitienne. Si v1, v2∈Cg, on peut écrire v1= Πxet v2= Πyavec x, y ∈R2g,i.e. v1
v1=P x
et v2
v2=P y. On a alors E(v1, v2) = txAy =tv1 v1tP−1AP −1v2 v2=tv1 v1(P A−1tP)−1v2 v2. Comme P A−1tP=
ΠA−1tΠ ΠA−1tΠ
ΠA−1tΠ ΠA−1tΠ=0 ΠA−1tΠ ΠA−1tΠ 0 d’après ce qui précède, on a (P A−1tP)−1=0 (ΠA−1tΠ)−1 (ΠA−1tΠ)−10, de
sorte que E(v1, v2) = tv1(ΠA−1tΠ)−1v2+tv1(ΠA−1tΠ)−1v2.
De même, on a E(iv1, v2) = txtIAy =tv1
v1tP−1tIAP −1v2 v2. Comme tP−1tI=iIg0
0−iIgtP−1, on a donc
E(iv1, v2) = tv1
v1iIg0
0−iIg(P A−1tP)−1v2
v2=itv1(ΠA−1tΠ)−1v2−itv1(ΠA−1tΠ)−1v2.
Il en résulte que H(v1, v2) = E(iv1, v2) + iE(v1, v2)=2itv1(ΠA−1tΠ)−1v2: la matrice de Hdans la base eest
2i(ΠA−1tΠ)−1. Elle est définie positive si et seulement si la conjugué de son inverse l’est, i.e. si et seulement si
iΠA−1tΠ0.
Remarque 1.19. Si Hest une polarisation de X, la démonstration qui précède montre que la première relation
traduit le fait que Hest hermitienne et la deuxième que Hest définie positive.
1.20. Dualité. T=HomC-antilin est un C-espace vectoriel de dimension g. On a un isomorphisme de R-espaces
vectoriels T→HomR-lin(V, R); f7→ Im(f)(l’application réciproque envoie ϕsur f:v7→ −ϕ(iv) + iϕ(v)). Le
crochet de la dualité fournit donc l’accouplement parfait
h,i:T×V→R
(f, v)7→ Im(f(v))
Posons alors b
U={f∈T , (∀u∈U)hf, ui ∈ Z}
C’est un réseau de T.
Définition 1.21. Le tore dual de Xest le tore b X=T / b U.
Proposition 1.22. (1) On a X∼ →b
b
X, et X7→ b Xest une anti-équivalence de catégories de la catégorie des tores
dans elle-même. En outre, le morphisme naturel T→Homgr(U, U); f7→ e2iπhf,.iinduit un isomorphisme
b
X∼ →Pic0(X).
(2) Le foncteur X7→ b Xest exact, et si f:X1→X2est une isogénie, alors b f:b X2→b X1est une isogénie de
même degré, de noyau Homgr(Ker(f),U).
Démonstration. cf [2, Propositions 2.4.1, 2.4.2 & 2.4.3]. 
Si Lest un faisceau inversible sur Xet x∈X, alors la première classe de Chern de t∗
xL⊗L−1est triviale.
Comme b X'Pic0(X), on a une application
φL:X→b X
x7→ t∗
xL⊗L−1
Proposition 1.23. C’est un homomorphisme qui ne dépend que de la classe de Chern de L. C’est une isogénie
si et seulement si cette classe de Chern est non dégénérée. On a φL1⊗L2=φL1+φL2et d φL=φL. De plus, on
aφL1=φL2si et seulement si L1et L2ont même classe de Chern, i.e. L1⊗L−1
2∈Pic0(X).
Démonstration. cf [2, Corollary 2.4.6 & Proposition 2.5.3]. 