Statique

1ère partie
Equilibre Statique
Notes de cours de
Licence de Physique
de A. Colin de
Verdière
Introduction
Un objet est en équilibre statique lorsque dans un référentiel (défini par un autre objet) il est
au repos, immobile, cad sans vitesse relative par rapport à cet autre objet de référence1.
L’équilibre d’un objet matériel est évidement très important en Architecture et en techniques
industrielles: le bâtiment ou l’objet doit conserver son intégrité physique et il faut choisir la
nature et le dimensionnement du matériau pour éviter la casse. « La casse » est la signature
d’accélérations relatives entre différentes parties d’un objet. Un grimpeur sur une paroi
verticale des Alpes se pose aussi des problèmes d’équilibre (dont la solution desquels sa vie
dépend directement). A cette notion d’équilibre il faut ajouter la notion très importante de
stabilité: l’équilibre est il stable ? Si je perturbe l’équilibre, l’objet revient il à sa position
initiale ? Si oui on parlera d’un équilibre stable :
Voila deux positions d’équilibre d’un domino sur une
table. On sent bien que 2 est plus stable que 1 mais
comment le montrer ?
1
2
Si la résultante des forces est nulle sur un objet, les translations vont être interdites. Mais ici
on passe de la position 1 à 2 par une rotation et pour empêcher cette rotation il faut inventer
un nouveau concept le moment d’une force et rajouter que la somme des moments est nulle.
Pour calculer le moment d’une force, il va falloir introduire une nouvelle opération sur les
vecteurs, le produit vectoriel.
Si on s’intéresse à l’équilibre d’objets matériels rigides, il n’y a que deux types de
mouvements possibles les translations et les rotations. Si on suppose l’objet rigide, la distance
AB entre deux points quelconques est constante et il n’y a pas de déformation interne.
Translation : le vecteur AB garde la même
orientation dans l’espace.
A
B
Rotation : par exemple le point B tourne
autour de A et le vecteur AB tourne.
Le mouvement d’un corps est déterminé par des forces agissant sur un objet traduisant l’
action d’un corps sur un autre. On est habitué aux forces exercées lorsqu’il y a contact entre
deux corps mais il y a aussi le poids qui ne rentre pas dans cette catégorie : le poids est un
exemple de force qui agit à distance, c’est à dire entre la masse de la terre et la masse de
l’objet séparées d’une certaine distance.
1
Le référentiel associé au corps de référence doit être inertiel (sans accélération).
Mécanique Physique (S2) 1ère partie – page 1
La translation d’ensemble d’un corps est déterminée par les forces agissant sur l’objet. Mais
ce qui est important c’est la somme vectorielle des forces. On définit ainsi la résultante des
forces :
R = F1 + F2 + F3 + etc …
Une telle égalité vectorielle se traduit par autant d’égalités entre les composantes des vecteurs
selon un système d’axes choisis. Par exemple si les forces agissent dans un plan xy :
Rx = Σ Fix
y
x
Ry = Σ Fiy
l’intensité R de la résultante est le module du vecteur R:
R = (Rx2 + Ry2)1/2
et son orientation dans le plan xy est donnée par l’angle α :
tan α = Ry / Rx
Si les forces Fi agissent toutes en un même point, on parle de forces concourantes et le seul
mouvement possible est alors une translation. Si ce n’est pas le cas, l’objet peut tourner, et
une nouvelle notion doit être introduite pour voir ce qui cause une rotation.
Le moment d’une force (torque en anglais)
Quelles sont les forces qui causent une rotation ?
(D)
Il suffit d’ouvrir une porte (de forme quelconque sur le
dessin) pour comprendre comment ça marche ou plutôt
quand ça ne marche pas pour commencer. La charnière
est en O et la poignée en A. Si j’exerce une force sur la
charnière de la porte (en O), rien ne se passe. Si
j’exerce une force en A dirigée vers la charnière (selon
OA) rien ne se passe. Pour faire tourner la porte autour
de son axe de rotation (passant par O), vous constaterez
que les circonstances les plus favorables sont que la
force F soit perpendiculaire à OA et que A le point
d’application de la force soit le plus loin possible de O
(c’est le cas des poignées de portes!). Le moment d’une
force capture cette expérience quotidienne. On va
d’abord définir son intensité comme :
l
O
H
A
Fn
θ
F
τ=Fl
où l, le bras de levier, est la distance du point O à la ligne d’action de la force, OH en vert sur
le dessin. Dans le triangle OAH rectangle en H, si θ est l’angle (OA, F):
l = OA sin θ
ainsi :
τ = F r sin θ
avec r = OA (distance)
Mécanique Physique (S2) 1ère partie – page 2
Notez aussi que F sin θ = Fn est la projection de F sur la perpendiculaire à OA (en rouge), de
sorte qu’on a aussi :
τ = r Fn
Ceci définit le module du moment d’une force mais on en fait un vecteur en donnant aussi la
direction du moment. Le moment de F par rapport au point O est ainsi le vecteur τ défini par :
τ = OA x F
où le signe x signifie le produit vectoriel entre les deux vecteurs OA et F. (On le note aussi
parfois ^.) Ce n’est pas une simple multiplication entre deux nombres car les vecteurs OA et
F sont des vecteurs. Ce n’est pas un produit scalaire entre deux vecteurs puisque le résultat du
produit scalaire est un nombre (pas un vecteur). On définit la direction et le sens de τ comme :
•
direction de τ : ⊥ plan formé par OA et F,
•
sens : diverses règles « avec la main droite ».
τ
Main droite selon τ avec paume ouverte vers
OA (vers le point d’application de la force) et
pouce vers F
A
O
F
ou encore :
(D)
Pouce dirigé selon τ lorsque les doigts de la
main droite sont courbés naturellement dans le
sens de la rotation produit par F autour de O.
Notes importantes :
1) le produit vectoriel est nul si OA // F.
2) Le produit vectoriel ne change pas si le point d’application A se déplace sur la droite
(D), support de la force F [en effet seule compte la distance de O à la droite (D),
appellé bras de levier]
Les composantes du produit vectoriel :
Supposons que F soit dans le plan xy et appliquée au
point A(x,y). Alors le moment τ est selon Oz. Pour
calculer cette composante de τ (les autres sont
nulles) à partir des composantes Fx et Fy connues on
se sert des définitions précédentes:
Le moment de Fx par rapport à O est – y Fx
y
O
z
F
Fy
x
y
x
Fx
L e moment de Fy par rapport à O est + x Fy
Fx fait tourner autour de O dans le sens trigonométrique < 0 et c’est pour ça qu’on a mis un alors que Fy fait tourner dans le sens > 0.
Mécanique Physique (S2) 1ère partie – page 3
Si k désigne le vecteur unitaire selon Oz, pour avoir le moment total on fait la somme des
contributions au moment dues à Fx et Fy et:
τ = k (x Fy – y Fx)
& Fx #
$ !
Pour une force définie dans un espace 3D cad avec ses 3 composantes $ Fy ! , on calcule les
$ !
% Fz "
composantes du moment par rapport a O en appliquant le résultat précédent autour de chacun
des axes successivement. Le résultat peut se retrouver rapidement de la façon suivante:
x
Fx
y
Fy
1
τx = y F z – z F y
z
Fz
2
x
Fx
3
y
Fy
x
Fx
τy = z F x – x F z
τz = x F y – y F x
Notez que l’on passe d’une des composantes de τ à la suivante par permutation circulaire de
x,y,z et Fx, Fy, Fz.
Le cas de plusieurs forces concourantes
F1
Si R est la résultante des forces Fi concourantes en
A, on peut calculer le moment de cette résultante par
rapport à un point O arbitraire:
A
O
r
F2
F3
τ = r x R = r x (F1 + F2 + F3 + …)
Mais le produit vectoriel est distributif par rapport à l’addition (pas très difficile à montrer à
partir de la définition en composantes) de sorte que :
τ = r x F1 + r x F2 + r x F3 + …
Le moment de la résultante est la somme des moments élémentaires τ i de chacune des forces
Fi :
τ = Σ τi
Dans leur action sur un objet
concourantes peuvent donc être
en équilibre, la résultante des
moment résultant est aussi nul.
concourantes.
(induisant translation et rotation), les forces individuelles
complètement remplacées par leur résultante. Si l’objet est
forces est nulle et cela impliquera nécessairement que le
Mais attention ce résultat n’est valable que pour les forces
Mécanique Physique (S2) 1ère partie – page 4
Couple de forces
Un couple est constitué de deux forces égales et opposées agissant sur des droites d’actions
parallèles.
F1
r1
O
A
l
F2
B
Tourne-vis
r2
1) R = F1 + F2 = 0
2) τ = τ 1 + τ 2 = r1 x F1 + r2 x F2 = (r1 - r2) x F1
r1 – r2 = BA (sur le dessin) et l la distance entre les deux droites d’action est le bras de levier
du couple de sorte que l’intensité τ = l F1. Notez qu’un couple est indépendant du point O par
rapport auquel on a calculé les moments de F1 et F2.
F1
Composition de forces parallèles.
y
Supposons une barre soumise à un certain
nombre de forces Fi parallèles appliquées
en des points d’abcisse xi.
xi
x
O
F2
Fi
La composante selon Oy de la résultante est : R = Σ Fi
et le moment total par rapport à O (composante selon Oz) s’écrit :
τ = x1 F1 + x2 F2 + … = Σ xi Fi
Le moment total va être « reproduit » si la résultante R est appliquée en un point C d’abscisse
xC tel que :
R xC = Σ xi Fi
Ainsi l’abscisse xC est elle donnée par: xC = Σ xi Fi / Σ Fi
définit le point C sur la barre, le centre de forces parallèles, point d’application de R qui
permet de synthétiser l’effet des Fi sur la barre.
Mécanique Physique (S2) 1ère partie – page 5
Exemple : Le cas de la gravité (centre de masse, centre de gravité).
Mi
ri
O
g
Si le corps n’est pas trop gros, on peut
considérer que g la gravité à la surface de la
terre est un vecteur constant2. La seule
différence par rapport au cas précédent est
que les points du corps sont identifiés dans
un repère 3D.
On discrétise l’objet en un grand nombre de petites masses mi situe au point Mi . Alors le
poids total du corps est :
P = Σ mi g
et le moment total par rapport au point O (origine d’un référentiel) s’écrit :
τ = Σ ri x mi g = Σ mi ri x g
On voit comme précédemment que si le poids total est appliqué judicieusement en un point
repéré par le vecteur position rc, le moment du poids sera égale à la somme des moments :
rc x Σ mi g = Σ mi ri x g
Ces deux produits vectoriels avec un même vecteur g sont égaux si:
rc = Σ mi ri / Σ mi
Le point C ainsi défini par le vecteur rc s’appelle le centre de masse du corps. Cette notion
nous aidera beaucoup lorsqu’on abordera la dynamique d’un système de particules ou d’un
corps solide. Le centre de gravité se définit comme le point d’action de la force
gravitationnelle sur le corps mais on vient de montrer qu’il se confond avec le centre de masse
lorsque g est un vecteur constant.
Notes :
1) Si un corps a une symétrie, la détermination du point C est simplifiée car C doit être
sur le centre, l’axe ou plan de symétrie du corps.
2) Il faut voir que la position du point C ne dépend ni de l’orientation de l’objet dans
l’espace ni du choix du point O : quelque soit la position du corps dans le champ de
gravité, on obtient le même point C. Celui ci ne dépend que de la seule position
relative des masses les unes par rapport aux autres. En effet comme OMi = OC+CMi,
la relation précédente qui définit OC (= rc) , se re-écrit aussi : Σ mi CMi = 0, une
relation indépendante du choix de O.
2
C’est une approximation car g est dirigé vers le centre de la terre et augmente quand on se rapproche du centre.
Mécanique Physique (S2) 1ère partie – page 6
Conditions d’équilibre statique
On a maintenant tous les éléments pour écrire les conditions d’équilibre.
(i)
Pour une particule (c'est-à-dire un objet dont la taille est si négligeable que
l’orientation dans l’espace importe peu)
« Une particule est en équilibre quand la somme de toutes les forces
agissantes est nulle : la résultante R est le vecteur nul. »
R = Σ Fi = 0
Ce qui se traduit en 3D par les 3 conditions : Σ Fix = 0 ; Σ Fiy = 0 ; Σ Fiz = 0
Il n’y a pas d’autres conditions car hormis des translations (sur les 3 axes) la
particule n’a pas d’autres mouvements possibles.
Exemple : Action de 3 forces :
F1
F2
F2
F3
F1
F3
On se rend compte assez rapidement que l’équilibre n’est possible que si les 3
forces sont donc dans un même plan et forment les côtés d’un triangle.
(ii)
Pour un corps solide :
L’orientation de l’objet est maintenant importante et il existe une condition
supplémentaire pour annuler les rotations. Comme on a vu que par définition un
moment induit une rotation, les conditions d’équilibre sont maintenant :
«La somme des forces et la somme des moments par rapport à n’importe quel
point doivent être nulles.»
Σ Fi = 0
et
Σ τi = 0
On considérera souvent pour se familiariser, des forces agissant uniquement dans un plan et il
n’y a alors que 3 équations à considérer :
Σ Fix = 0
Σ Fiy = 0
Σ τiz = 0
(les moments sont tous ⊥ au plan xy)
Ce qui veut dire que dans ce cas 2D, seuls les problèmes de statique où il n’y a que 3
inconnues peuvent se résoudre (puisque que nous n’avons que 3 équations !).
Il existe des cas où le problème est statiquement indéterminé. Pour lever ces indéterminations
statiques, il faut connaître comment les corps se déforment, une branche de la mécanique
appellée « Elasticité ».
Mécanique Physique (S2) 1ère partie – page 7
On a maintenant de belles équations d’équilibre et les forces en jeu sont la gravité et les forces
de contact mécanique entre les objets. Ces dernières sont normales à la surface de contact
entre deux objets si le frottement est négligeable mais incluent une force tangentielle
proportionnelle à la composante normale de la force si le frottement est important. Ces forces
prennent leur origine à l’échelle moléculaire : lorsque la distance entre 2 atomes diminuent, ils
s’attirent puis finissent par se repousser pour de très petites distances. Les forces de contact
résultent de l’interaction de ce nombre immense d’atomes sur la surface de contact. La
résultante de ces forces sont déterminées empiriquement et dépendent de la nature des solides
en contact, de la qualité de la surface, etc…
C
On peut maintenant comprendre pourquoi un
domino préfère s’allonger plutôt que rester debout
en dessinant d’abord les forces en présence :
En 1 et 2 :
C
P
P
N
2
1
P + N = 0.
Il s’agit donc d’un couple de forces. En 1 le moment du
couple est nul puisque les forces agissent sur la même
droite d’action alors qu’en 2 il se crée un moment du
couple non nul qui a tendance à faire tourner le domino
dans le sens < 0 et donc à amplifier la perturbation
initiale : l’équilibre est instable. On voit que l’inclinaison
limite du domino est obtenue lorsque P passe par le point
de contact A .
N
« inclinaison limite »
A
Evidemment la perturbation conduisant au basculement est faible lorsque le domino est
débout et beaucoup plus grande lorsqu’il est couché puisqu’il faut d’abord le ramener à
l’inclinaison limite.
Cet exemple montre cette notion très importante qui est celle de la « stabilité d’un
équilibre ». Pour tester la stabilité d’un équilibre (c’est-à-dire d’une combinaison particulière
de forces appliquées à un objet dont les résultantes des forces et des moments sont nulles), on
écarte l’objet de sa position d’équilibre et on observe si les nouvelles forces ramènent l’objet
vers la position de départ. Si c’est le cas l’équilibre est stable, dans le cas contraire l’équilibre
est instable. Evidemment, l’objet écarté de sa position d’équilibre ne satisfait plus les
conditions d’équilibre et il va se mettre en mouvement et donc la notion de stabilité ne peut se
traiter qu’au travers d’une description dynamique. On utilise « expérimentalement » cette
notion de stabilité tous les jours dans la vie quotidienne.
Mécanique Physique (S2) 1ère partie – page 8
Applications
Pour appliquer les conditions d’équilibre statique précédentes, il faut :
(i) Choisir le système, c’est à dire l’objet ou les objets dont on examine l’équilibre.
(ii) Identifier toutes les forces appliquées par l’extérieur sur le système et leurs points
d’application : le poids est appliqué au centre de masse et les forces de contact sont
appliquées sur la zone de contact avec un objet extérieur.
(iii) Ecrire que les résultantes des forces et des moments sont nulles puis choisir un repère
pour traduire ces égalités vectorielles en termes de leurs composantes (projections sur les axes
du repère)
(iv) Résoudre le problème en littéral et faire les applications numériques après. Les
expressions littérales permettent de vérifier la dimension des résultats et permettent de
comprendre la sensibilité du résultat vis à vis d’une variation des données d’entrée. Ceci
permet de développer la compréhension physique du problème.
Exemple 1
Donnez moi un point d’appui et je soulèverai la
terre disait Archimède. Quelle est la force F en
rouge capable de soulever le poids P ? L’objet à
considérer est le levier + l’objet en orange à
soulever. L’équilibre des forces est :
l’
l
F + P + N = 0 où N est la force (réaction) exercée
par l’axe (en bleu) sur le levier.
Prenons maintenant les moments de ces 3 forces par rapport à l’axe en bleu. Le moment de N
est nul et il reste en module: Fl’=Pl avec l et l’ les bras de levier respectifs de P et de F.
Ainsi : F = (l/l’) P et donc F peut être très faible par rapport au poids P lorsque l<<l’. Notez
aussi la réaction sur l’axe vers le haut de module : N=(1+l/l’)P.
Remarquez que le dispositif sert aussi de balance pour comparer des masses entre elles quand
l=l’.
Exemple 2
Pour sortir votre voiture d’un fossé, tendez une corde entre la voiture et un arbre et exercez
une force F au milieu A de la corde (en bleu):
Les forces F et les tensions T et T’ de la corde au
point A sont concourantes de sorte que seul
l’équilibre des forces au point A suffit à résoudre
le problème de l’équilibre :
y
x
F + T + T’=0
en projetant sur l’axe x où θ est l’angle entre la
tension de la corde et l’axe x :
A
Mécanique Physique (S2) 1ère partie – page 9
T cosθ=T’cosθ et donc T = T’
Et sur l’axe y : F = 2T sinθ. Alors une petite force F peut donner naissance a une très grande
force T appliquée sur la voiture (et sur l’arbre) si θ est petit puisque T = F/(2 sinθ). Il faut
arriver à tendre la corde le plus possible (et donc que celle ci soit aussi le moins élastique
possible).
Exemple 3
Regardons l’équilibre d’une poulie simple de
masse négligeable. Les fils exercent des tensions T
et T’ et un poids P est appliqué au centre de la
poulie, ce qui donne pour les forces :
P + T + T’=0
Ensuite on écrit que la somme des moments au
centre de la poulie est nul :
T r-T’ r=0 et donc T=T’, la tension du fil est
conservée au passage dans la poulie et ceci
implique que T = P/2.
On peut alors traiter un problème un peu plus compliqué.
La question ici est de voir l’avantage des
poulies pour équilibrer le poids du bloc en bas
et donc de calculer F à l’équilibre. L’équilibre
du système 2 en bas permet de dire que la
tension du fil est T = P/2. L’équilibre des
moments pour le système 1 en haut appliqué
au centre de la poulie donne immédiatement
F=P/2. L’équilibre des forces indique que ce
système 1 est retenu en haut par une force R=
F+2T=3 P/2.
Mécanique Physique (S2) 1ère partie – page 10