Induction électromagnétique

MP – Cours de physique
Jean Le Hir, 9 octobre 2008 Page 1 sur 18
THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL
Chapitre 1
Induction électromagnétique
1.1. Approche historique et expérimentale
Différentes manifestations de l’induction électromagnétique.
Expériences historiques de Faraday
Michael Faraday est indubitablement l’un des pères fondateur de
l’électromagnétisme. L’une des expériences les plus importantes
qu’il réalisa en 1831 introduit la compréhension des phénomènes
d’induction électromagnétique.
Connaissant la capacité des courants électriques à produire des
champs magnétiques, Faraday se posa la question réciproque : un
champ magnétique peut-il être à l’origine de la production de
courants ?
Ainsi disposa-t-il deux bobines sur un même
manchon, en position coaxiale, de telle sorte que le
champ magnétique créé par la première s’exerce au
cœur de la seconde.
La réponse ne se fit pas attendre : lorsque le
courant est établi dans le circuit 1 le champ
magnétique permanent ainsi créé ne produit pas de
courant dans le circuit 2. Faraday s’en assure en
utilisant un détecteur de courant de très grande
sensibilité.
Par contre, au moment de la fermeture du circuit 1,
dans la phase transitoire où le champ magnétique
est en train de s’établir, il apparaît une impulsion de
courant dans le circuit 2 : le phénomène électrique
est dû non pas au champ magnétique, mais à la
variation du champ magnétique.
Faraday montre qu’une inversion du sens du
courant inducteur (et donc aussi du sens du champ
d’induction magnétique) provoque une inversion
du sens de l’impulsion de courant dans le circuit 2.
(
)
galvanomètre
ampèremètre
très sensible
( )
Circuit 1
inducteur
( )
Circuit 2
induit
impulsion
de courant
0
B
(
)
B t
(
)
1
i t
10
i
20
0
i
=
(
)
2
i t

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Approche d’un aimant dans l’axe d’une bobine
Faraday fit la même expérience en utilisant un aimant permanent en guise d’inducteur et observa les
mêmes conclusions :
— Un aimant immobile n’induit aucun courant dans le circuit électrique
— L’approche d’un aimant crée un champ variable qui induit un courant dans le circuit électrique.
Le changement du sens de la vitesse provoque un changement du signe du courant et le changement de la
polarité de l’aimant (i.e. le changement de sens du champ magnétique inducteur) provoque également,
toutes choses égales par ailleurs, un changement du signe du courant induit.
Loi de Lenz-Faraday
Dès 1934, bien avant la publication par Maxwell des équations locales de l’électromagnétisme, Heinrich
Lenz donne une formulation des travaux expérimentaux de Faraday. Il remarque que les effets de
l’induction dans un circuit sont liés à la variation du flux du champ magnétique à travers ce circuit : la
variation du flux du champ magnétique à travers un circuit fermé fait apparaître une force électromotrice
de boucle opposée au taux de variation temporelle du flux.
B
d
e
dt
φ
= −
Loi de Lenz-Faraday
Les causes de la variation du flux peuvent être de différentes natures. Nous nous limiterons à l’étude de
deux cas particuliers simples.
Circuit fixe indéformable et champ magnétique variable : induction de Neumann
Un circuit fixe et indéformable est le siège de phénomènes d’induction dès lors que le champ magnétique
varie au cours du temps dans l’espace où se trouve ce circuit. Si le champ magnétique a pour seule cause
le courant qui circule dans le circuit lui-même, on parle de phénomène d’auto-induction. Dans le cas plus
général où le champ magnétique variable est créé part d’autres courants ou aimants situés dans le
voisinage du circuit, on parle de phénomènes d’induction de Neumann.
Nous limiterons notre étude au cas où les champs ne varient pas trop rapidement de telle sorte que l’on
reste dans le cadre de l’approximation des régimes quasi stationnaires.
Circuit mobile et champ magnétique constant : induction de Lorentz
Une autre cause possible de variation du flux magnétique est le déplacement ou la déformation des
circuits dans un champ magnétique indépendant du temps. Nous nous limiterons au cas particulier où les
vitesses de déplacement des éléments de circuit sont très petites par rapport à la vitesse de la lumière.
Dans ce cas particulier, les champs magnétiques induits sont très petits par rapport aux champs inducteurs
et l’on peut donc négliger l’auto-induction. Ces conditions particulières définissent les phénomènes
d’induction de Lorentz non relativiste.
0
B
0
i
=
S
N
0
v
=
’
observation
d un courant
(
)
B t
(
)
2
i t
S
N
v
(
)
B t
(
)
2
i t
S
N
v

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Principe de modération de Lenz
En 1934, Lenz fait remarquer le sens absolu du signe « moins » dans la
formule de l’induction. Ce signe n’est pas lié à la convention algébrique
choisie pour exprimer les forces électromotrices, il est indépendant de la
convention d’orientation du circuit. En clair, ce signe a une signification
physique fondamentale : il traduit le fait que les effets de l’induction sont
modérateurs, ils s’opposent à la cause qui les a produits.
Principe de modération de Lenz
Les effets de l’induction s’opposent à la cause qui leur a donné
naissance.
Attention ! Il ne faut pas en conclure que le champ magnétique induit est opposé au champ
magnétique inducteur. Ce n’est pas le champ qui est la cause de l’induction, mais la variation
du champ : le champ induit a un sens opposé au champ inducteur quand celui-ci est croissant,
il a au contraire le même sens que le champ inducteur quand celui-ci diminue.
1.2. Expression locale des phénomènes d’induction
Potentiel électromagnétique
Potentiel vecteur
Dans le cadre de la loi de Lenz-Faraday, nous continuons, comme en magnétostatique à parler de flux du
champ magnétique « à travers un circuit ». Nous pouvons le faire du fait que les champ magnétiques,
même en régime variable, restent des champs à flux conservatif.
En régime variable, comme en régime permanent, les champs
(
)
M,
B t
dérivent d’un potentiel vecteur
(
)
M,
A t
:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
M, , M, tel que M, rot M, M,
t A t B t A t A t
∀ ∃ = =∇ ∧
Étant donnée une courbe fermée orientée
C
, le flux de
(
)
M,
B t
à travers toute surface S s’appuyant sur
le contour
C
et orientée de façon conforme à l’orientation de
C
, est égal à la circulation du potentiel
vecteur le long du contour
C
et l’on peut donc bien parler du flux de
B
à travers le circuit
C
.
( ) ( ) ( )
M, M,
BS
t B t n dS A t d
+
φ = ⋅ = ⋅
∫∫ ∫
C
ℓ
Potentiel scalaire
La force électromotrice de boucle est égale à la circulation du champ électrique
(
)
M,
E t
sur un parcours
fermé :
( ) ( )
M,
e t E t d
= ⋅
∫
C
ℓ
En régime variable, le champ électrique
(
)
M,
E t
n’est donc pas à circulation conservative : il ne dérive
donc pas d’un potentiel scalaire.
La loi de Lenz-Faraday s’écrit à chaque instant :
( )
(
)
( ) ( ) ( )
M,
M, M,
B
S
d t A t
d d
e t B t n dS A t d d
dt dt dt t
+
φ∂
= − = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅
∂
∫∫ ∫ ∫
C C
ℓ ℓ

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On notera la permutation possible des opérateurs d’intégration et de dérivation, cependant, sous le signe
somme, l’opérateur de dérivation est un opérateur de dérivation partielle.
La loi de Lenz-Faraday se traduit donc par une propriété reliant le champ électrique et le potentiel
vecteur :
( ) ( )
(
)
M,
M, A t
e t E t d d
t
∂
= ⋅ = − ⋅
∂
∫ ∫
C C
ℓ ℓ
soit
( ) ( )
M,
M, 0
A t
E t d
t
∂
+ ⋅ =
∂
∫
C
ℓ
Le vecteur
A
E
t
∂
+
∂
, fonction a priori de l’espace et du temps, est un vecteur à circulation conservative.
Cette fonction vectorielle dérive donc, à chaque instant, d’un potentiel scalaire lui-même fonction de
l’espace et du temps.
( ) ( ) ( )
(
)
( )
M,
M, , M, tel que M, grad M,
A t
t V t E t V t
t
∂
∀ ∃ + = −
∂
L’ensemble
( ) ( )
{
}
M, , M,
A t V t
constitue le potentiel électromagnétique en M à l’instant t . Les champs
électrique et magnétique s’en déduisent par les relations :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
M,
M, grad M,
M, rot M,
A t
E t V t t
B t A t
∂
= − −
∂
=
Condition de jauge
Le potentiel électromagnétique n’est pas défini de façon unique. Si
{
}
,
A V
est un potentiel satisfaisant,
on ne change pas la valeur de
B
en ajoutant à
A
le gradient d’une fonction scalaire quelconque
(
)
M,
f t
: Si
rot
B A
= et
grad
A A f
′= +
, alors
rot
B A
′
= .
Le champ électrique
E
sera lui-même invariant si l’on change l’expression du potentiel scalaire en
V
′
tel
que
grad grad grad grad
A A A f
E V V V
t t t t
′
∂ ∂ ∂ ∂
′ ′
= − − = − − = − − −−
∂ ∂ ∂ ∂
, soit :
f
V V
t
∂
′= +
∂
Le changement de potentiel
grad
A A f
f
V V t
′= +
∂
′= +
∂
laisse les champs
E
et
B
invariants.
Nous aurons donc le loisir de préciser ultérieurement la « condition de jauge » à laquelle satisfera le
potentiel électromagnétique de telle sorte qu’il soit défini de façon unique.
Champ électromoteur
Dans le cas le plus général, nous pouvons écrire le champ électrique sous la forme
em
grad
E V E
= − + ,
où
em
A
E
t
∂
= −
∂
représente la partie du champ électrique qui n’est pas conservative ou « champ
électromoteur ».
Attention toutefois, le champ
em
E
n’est pas défini de façon absolue : il est lié au choix particulier de la
condition de jauge des potentiels.

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Expression locale de la loi de Lenz-Faraday
Le champ électrique
(
)
M,
E t
n’étant plus à circulation conservative, son rotationnel n’est plus
identiquement nul. Nous avons alors :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
M, M, M,
rot M, rot grad M, rot rot M,
A t A t B t
E t V t A t
t t t t
∂ ∂ ∂
∂
= − − = − = − = −
∂ ∂ ∂ ∂
Cette équation différentielle linéaire aux dérivées partielles du premier ordre est nommée « équation de
Maxwell-Faraday ». Elle rend compte des phénomènes d’induction dans un référentiel galiléen et se
trouve être l’une des équations générales de l’électromagnétisme.
( ) ( )
M,
rot M,
B t
E t t
∂
= − ∂
Équation de Maxwell-Faraday
Remarque : si l’on change la convention du signe des charges électrique, les champs
E
et
B
se trouvent
tous deux transformés en leur opposé et l’équation de Maxwell-Faraday est inchangée y compris pour ce
qui est du signe « moins ». Si l’on change la convention du trièdre direct, le champ
B
est changé en son
opposé et le champ
E
est inchangé. Cependant, le rotationnel change de signe et l’équation de Maxwell-
Faraday est encore inchangée.
Il apparaît donc que le signe « moins » de l’équation de Maxwell-Faraday n’est pas conventionnel, il a un
sens physique fondamental : celui de la loi de modération de Lenz.
1.3. Induction de Neumann quasi stationnaire
Note historique : le physicien allemand Franz Neumann publie en 1845 un
article établissant les lois mathématiques de l’induction due à des champs
magnétiques fonctions du temps.
Auto-induction
Inductance propre
Un circuit électrique parcouru par un courant variable
(
)
i t
produit en tout point de l’espace et à tout
instant un champ magnétique
(
)
M,
B t
proportionnel à
(
)
i t
. Le flux de ce champ magnétique à travers le
circuit lui-même, que l’on appelle « flux propre » est donc aussi proportionnel à
(
)
i t
.
(
)
(
)
B
t Li t
φ =
Le coefficient de proportionnalité définit l’inductance propre L du circuit, ou coefficient d’auto-induction.
L’étude des phénomènes d’auto-induction est déjà faite dans le cadre de l’enseignement général
d’électricité quasi stationnaire.
Équation caractéristique des composants inductifs
Rappelons que le flux propre est fréquemment localisé dans certaines parties du circuit, notamment dans
les bobines d’induction. On peut ainsi décomposer le coefficient d’auto-induction, qui n’est en toute
rigueur défini que pour un circuit fermé, en une somme de contributions associées à des parties de circuit.