Mouvement d`une particule chargée dans un champ magnétique

¤ PCSI ¤ 2013/2014. TD N°14
Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme.
Charge de l’électron (module) e=
19
1,6.10
C ;
Masse d’un proton : mp= 1,67.10-27 kg ;
Masse d’un électron : me= 9,1.10-31 kg ;
1 eV =
19
1,6.10
J ;
On se place dans le cadre de la mécanique newtonienne et on néglige toutes les forces autres que la force
magnétique.
Une particule, de masse met de charge q, est soumise à l’action d’un champ magnétique
B
uniforme et
permanent (indépendant du temps) dans le référentiel R(Oxyz) supposé galiléen. On appelle respectivement
, ,
x y z
u u u
les vecteurs unitaires des axes Ox,Oy et Oz. Le champ magnétique
B
est colinéaire à Oz :
B
=B
z
u
(B>0). On note
qB
m
.
La vitesse
v
de la particule a pour composantes
, et
x y L
v v v
:
x y z
x y L
v v u v u v u
; on pose
x y
x y
v v u v u
et
L z
L
v v u
;
et
L
v v
désignent ainsi les composantes de la vitesse
v
respectivement
perpendiculaire et parallèle au champ
B
. La norme du vecteur
v
est notée
v
. À l’instant initial, la particule
se trouve en Oavec la vitesse :
0, 0
o x z
o Lo o Lo
v v u v u v v
1. Montrer que l’énergie cinétique Ec de la particule est une constante du mouvement.
2. Montrer que
L
v
est une constante du mouvement. En déduire que
v
est également constant au
cours du mouvement. On pose
2
1
2
c
E mv
.
On étudie la projection du mouvement de la particule dans le plan
P
perpendiculaire à
B
.
3. Déterminer les composantes
et
x y
v v
de la vitesse de la particule en fonction de
,
o
v
et du temps
t.
4. En déduire les coordonnées xet yde la particule à l’instant t.
5. Montrer que la projection de la trajectoire de la particule dans le plan
P
est un cercle de centre
C(centre guide) et de rayon a(rayon de giration). Déterminer les coordonnées xCet yCde C, le
rayon aet la période de révolution T1de la particule sur ce cercle en fonction de
et
o
v
.
6. Tracer, avec soin, le cercle dans le plan
P
, dans le cas d’un proton, puis dans le cas d’un
électron. Préciser en particulier les sens de parcours de chaque particule sur .
7. L’orbite circulaire peut être assimilée à une petite spire de courant. Déterminer l’intensité ide
ce courant associé au mouvement de la particule sur .
8. Quelle est la trajectoire de la particule chargée? Expliquer pourquoi elle s’enroule sur un tube de
champ du champ B.
9. On peut décomposer le mouvement de la particule en un mouvement sur un cercle dont le centre
Cse déplace à la vitesse L vle long de Oz. Quelle distance bparcourt le centre Csur Oz durant la
période T1. Exprimer ben fonction de vLet . Comparer bet adans le cas où
10
2
2o
Lo v
v .
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Pendule simple relié à des ressorts.
Un pendule simple est constitué d'un fil rigide de masse
négligeable et de longueur l, à l'extrémité duquel est fixé un
point matériel Mde masse m. Il est accroché au point O,
fixe par rapport au référentiel Rdu laboratoire. Mest
également attaché à deux ressorts (1) et (2) identiques, de
raideur ket de longueur à vide lo, fixés entre deux points A
et Bdistants de 2 lo: lorsque le pendule est vertical, les
ressorts sont au repos.
On déplace légèrement Mpar rapport à la verticale puis on
le laisse évoluer librement. Il oscille alors en décrivant un
petit arc de cercle de centre O, dans un plan vertical, et on repère sa position par l'angle avec la verticale.
Cet angle restant toujours faible, on pourra considérer que les ressorts restent horizontaux.
1. Donner l'expression du moment cinétique de Mpar rapport à Odans R, en utilisant une base
cylindrique
, ,
r z
e e e
d'origine O.
2. Calculer les moments des forces s'exerçant sur M, en fonction de la seule variable .
3. Par application du théorème du moment cinétique, déterminer l'équation différentielle vérifiée par
et en déduire la pulsation des petites oscillations.
Toupie
Le jeune Toto joue avec une toupie qu'il fait tourner à l'aide d'un fil inextensible entouré sur le corps de la
toupie. Celle-ci est assimilable à un cylindre de masse met de rayon R. Une pointe métallique de masse
négligeable permet à la toupie de tenir sur le sol horizontal. Pendant tout son mouvement, la toupie reste
verticale. Toto enroule le fil (4 tours) puis tire sur le fil avec une force de norme Fconstante.
On note la vitesse angulaire instantanée de la toupie.
Toto commence à exercer la force à la date t= 0, la toupie étant initialement immobile.
1. Exprimer la puissance instantanée de la force
F
.
2. Appliquer le théorème de l'énergie cinétique et en déduire l'accélération angulaire de la toupie.
3. Quelle est la vitesse angulaire de la toupie quand tout le fil a été déroulé (4 tours) ?
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