diffusion de particules - Physique PSI Moreggia Sylvain

1 Moreggia PSI 2015/2016
Exercices – Dynamique des fluides visqueux
Exercice 1 : Ecoulement de Poiseuille plan
 application directe du cours, quasiment le même calcul que Couette
 deuxième façon classique de faire couler un fluide, important pour l’écoulement dans des conduites
On considère une canalisation horizontale de section rectangulaire selon les
directions  et . Sa dimension verticale (selon ) est très petite devant celle
selon . On suppose donc la canalisation comme étant infinie selon . On
l’assimile alors à deux plans fixes infinis séparés de e, dans laquelle coule un
fluide visqueux, de viscosité  (même schéma que ci-dessus). On négligera ici
les effets de la pesanteur. On recherche le champ de vitesse de l’écoulement stationnaire, qu’on suppose
unidirectionnel. L’écoulement est homogène et incompressible.
Un dispositif extérieur impose une différence de pression P sur une longueur L de tuyau.
0. L’écoulement se fait de gauche à droite. Qualitativement, de quel côté la pression est-elle la plus élevée ?
0bis. Quelles sont les deux façons concrètes de réaliser un écoulement incompressible homogène ?
1. Montrer que le champ des vitesses ne dépend que de la coordonnée . En déduire que l’accélération d’une
particule de fluide est nulle.
2. En appliquant la RFD à une particule de fluide, montrer que la pression ne dépend que de x, et que le
gradient de pression dP/dx est constant. Quelle est sa valeur ?
3. Déterminer le champ des vitesses. Dessiner le profil des vitesses dans une section droite de l’écoulement.
4. En déduire le débit massique de fluide par unité de largeur.
Exercice 2 : Ecoulement gravitaire (adapté de E3A PSI 2013)
 3e façon classique de faire couler un fluide
 se confronter à un véritable énoncé de concours
Une couche d’épaisseur constante h, d’un fluide visqueux newtonien incompressible, de viscosité dynamique
 et de masse volumique , s’écoule dans le champ de pesanteur supposé uniforme, sur un plan incliné faisant un
angle  avec l’horizontale (Figure 1).
La viscosité cinématique est définie comme le rapport .
Le support plan incliné a pour équation
z0
et la surface libre correspond à
zh
. Les forces de viscosité
exercées par l’air sur la surface
uniforme et égale à la pression atmosphérique. Les dimensions du système dans les directions Ox et Oy sont très
supérieures à l’épaisseur h de la couche de miel.
Hypothèse : l’écoulement est réalisé en régime permanent.
A1. Préciser l’orientation des lignes de courant dans la couche de miel.
ex
ey
ez
g
Z
h
O
atm
PP
x
Figure 1
z
air
miel
x
z
e

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A2. Montrer qu’en écoulement stationnaire unidirectionnel, le champ de vitesses s’écrit sous la forme :
x
v(M) v(z) e
. D’après l’allure des lignes de courant, en déduire par un argument qualitatif que
l’accélération d’une particule de fluide est nulle.
A3. Dans les conditions qui viennent d’être décrites, appliquer la Relation Fondamentale de la Dynamique à une
particule de fluide.
A4. Projeter l’équation locale de la dynamique qui en résulte sur la base
x y z
e ,e ,e
.
En déduire les expressions des composantes du vecteur
gradP
sur cette base.
A5. Justifier que la répartition de pression dans le miel s’écrit
P P(z)
, puis l’exprimer.
A6. Etablir l’équation différentielle
2
2
d v(z) ksin 0
dz   
vérifiée par la vitesse v(z) et identifier k.
A la surface libre, sur le plan d’équation
zh
, la contrainte tangentielle exercée à la surface libre par la
couche d’air sur la couche de miel est nulle.
A7. Ecrire, en les justifiant, les conditions aux limites relatives à la vitesse v, en
z0
et à sa dérivée
dv(z)
dz
, en
zh
.
A8. Résoudre l’équation différentielle et montrer que le profil de vitesse dans la couche de miel vérifie la relation :
v(z) z 2h z  
. Identifier .
Localiser le point où cette vitesse est maximale et préciser l’expression correspondante de la vitesse vMAX.
Calculer vMAX sachant que
h 3,0mm
,
10  
,
2
g 10m.s
et que, pour le miel,
33
1,4.10 kg.m
et
10,0Pa.s
.
A9. Représenter le champ des vitesses de cet écoulement, en respectant sa configuration géométrique (figure 1).
La couche de miel possède une largeur W (selon Oy) qui demeure très grande par rapport à l’épaisseur h.
A10. Exprimer le débit volumique QV du miel. En déduire la vitesse moyenne
v
de l’écoulement et l’exprimer en
fonction de vMAX.
Exercice 3 : Effet de peau en mécanique des fluides (CCP PSI 2008)
 régime non-stationnaire
 accélération non-nulle
 analogie avec un phénomène électromagnétique au programme
Considérons une plaque plane, infinie en longueur et largeur, formant le
plan xOy . Un fluide visqueux incompressible (par exemple du miel) de
viscosité  est déposé sur cette plaque sur une grande épaisseur h. Le
fluide occupe alors le demi-espace z > 0 ( tout se passe comme si l’espace
était illimité). La plaque oscille à la pulsation  , sa vitesse étant
x0
plaque u).tcos(.VV 
. La pression de
l’air au-dessus de la couche de liquide est égale à .
1. En analysant les invariances et symétries du système et en supposant que la vitesse du fluide est parallèle
à celle de la plaque, de quelles variables peut dépendre le champ de vitesse ? et le champ de pression ?
On suppose ici que l’accélération d’une particule de fluide s’exprime en fonction du champ des vitesses
selon l’expression suivante :
z
Liquide
visqueux
h
x
Plaque

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2. Montrer que la pression dans le fluide est une fonction affine de la cote z et que le champ de vitesses
satisfait à l’équation différentielle :
²zv²
.
t
v
où l’on exprimera  en fonction de  et de .
3. On cherche une solution pour le champ de vitesse sous la forme
x
ti e.e.)z(fv 
, où  est une fonction
complexe. En réinjectant dans l’équation différentielle précédente, établir l’équation différentielle vérifiée
par . Donner la forme générale de f(z) (Indice ci-dessous) ; on introduira la quantité
 2
. En
déduire l’expression du champ des vitesses, en prenant la partie réelle.
Indice question 3. :
Posez le polynôme caractéristique en complexe ; puis déterminer les racines complexes en vous rappelant
que   
 et que 
4. En étudiant le comportement aux limites du fluide (vitesse connue en    + le champ des vitesses ne
doit pas diverger en   ), déterminer les constantes d’intégration. Commenter l’expression obtenue.
5. Dans le cas d’un fluide 1000 fois plus visqueux que l’eau (on rappelle que la viscosité de l’eau est de 10-3
Pa.s) et pour une fréquence de 2 Hz, calculer la valeur numérique de la distance caractéristique d’atténuation
 en prenant comme masse volumique la masse volumique de l’eau.
6. Les roches en fusion dans le manteau terrestre sont extrêmement visqueuses et ont une masse
volumique très grande, si bien que leur viscosité cinématique est de l’orde de  = 10-2 m².s-1 . En déduire une
propriété importante pour les ondes sismiques de cisaillement qui ont des fréquences de quelques hertz.
Exercice 4 : Couette cylindrique (adapté viscosimètre de Couette E3A PC 2009)
 pour aller plus loin
 calculs en coordonnées cylindriques, notamment résultante des forces de viscosité
 étude d’un dispositif expérimental classique permettant de mesurer la viscosité d’un fluide
Considérons un écoulement laminaire permanent entre deux cylindres infinis, d’axe commun Oz
(dénommé flot de Couette), de rayons respectifs
1
R
et
21
RR
, animés d’un mouvement de rotation
uniforme avec des vitesses angulaires
z
1e
et
z
2e
(figures 2a et 2b).
Entre les deux cylindres s’écoule un fluide homogène, incompressible, supposé newtonien, de
viscosité dynamique et de masse volumique . Cet écoulement peut être décrit comme un ensemble de
couches cylindriques coaxiales, animées de vitesses angulaires différentes. Aucun gradient de pression
n’est appliqué extérieurement, le long de l’axe Oz. L’action de la pesanteur est négligée.
Ainsi, dans un système de coordonnées cylindriques (r, , z), la vitesse en tout point du fluide et à
chaque instant s’écrit : 
Relations d’analyse vectorielle en coordonnées cylindriques (pas forcément utiles) :
1  
rz
g g g
grad g e e e
r r z
11
z
r
div vv v r v
r r r z
22
2 2 2
11
vv v v r
r r r r z

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D1. Le régime étant stationnaire, déduire de l’allure des lignes de champ que la composante
orthoradiale de l’accélération d’une particule de fluide est nulle.
D2. On admet que l’accélération radiale s’exprime en fonction :
- de la norme de la vitesse orthoradiale 
- et du rayon 
de la même façon qu’en mécanique du point. Retrouver cette expression.
Appliquer (selon
r
e
uniquement) la RFD à une particule de fluide. Préciser la conséquence du signe
du gradient de pression dP/dr.
D3*a. Contrairement au cas cartésien (vu en cours), la contrainte de viscosité n’est pas proportionnelle à
la dérivée de la vitesse, mais à la dérivée de la vitesse angulaire.
En déduire l’expression mathématique de la contrainte de viscosité.
En déduire ensuite la résultante des forces de viscosité sur une particule de fluide.
Ecrire RFD selon
e
, et montrer que la vitesse V(r) doit satisfaire l’équation différentielle suivante :
2
22
d V dV
r r V 0
dr dr
.
D3*b. Vérifier qu’une expression du type
V(r) A r B/r
est solution de cette équation différentielle.
D3*c. Ecrire les conditions aux limites pour la vitesse, afin de traduire l’adhérence du fluide sur les parois
des deux cylindres. En déduire les expressions des constantes A et B.
r
z
R1
R2
2
1
y
x
M
r
z
O
R1
1
R2
2
Figure 2a
Figure 2b