Bases mathématiques pour la mesure des phénomènes biologiques

BASES MATHÉMATIQUES POUR LA MESURE DES PHÉNOMÈNES
BIOLOGIQUES
FONCTIONS ET DÉRIVÉES
Bruno Saussereau
Laboratoire de Mathématiques de Besançon
Diaporama des cours du jeudi 05/09/13 (pages 1–15), du vendredi 06/09/13 (pages 15–53) et du vendredi 13/09/13 (pages 54–95).
Version du 13/09/2013
PACES & APEMR UE4 (2013-2014)
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LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLE
Quelques définitions
Limite
Continuité
Dérivation
Logarithmes et exponentielle
Plan d’étude d’une fonction
Exemples de fonctions présentant un caractère scientifique
LES FONCTIONS À PLUSIEURS VARIABLES
Motivations
Définitions et propriétés
Dérivées partielles
Extremum d’une fonction de deux variables
Fonctions composées
Différentielle
Application aux calculs d’incertitude
Ajustement des résultats expérimentaux par une courbe
CALCUL INTÉGRAL,PRIMITIVES
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LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLE QUELQUES DÉFINITIONS
LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLE
Quelques définitions
Limite
Continuité
Dérivation
Logarithmes et exponentielle
Plan d’étude d’une fonction
Exemples de fonctions présentant un caractère scientifique
LES FONCTIONS À PLUSIEURS VARIABLES
Motivations
Définitions et propriétés
Dérivées partielles
Extremum d’une fonction de deux variables
Fonctions composées
Différentielle
Application aux calculs d’incertitude
Ajustement des résultats expérimentaux par une courbe
CALCUL INTÉGRAL,PRIMITIVES
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LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLE QUELQUES DÉFINITIONS
Dans toute cette section, fdésigne une fonction de Rdans R.
DEFINITION
Le domaine de définition de f, noté Df, est l’ensemble des valeurs xpour lesquelles f(x)existe.
C’est un sous-ensemble de R.
Exemple
ILa fonction x 7→ x2a pour ensemble de définition R=] − ∞; + ∞[.
ILa fonction x 7→ √x+4a pour ensemble de définition [−4; + ∞[.
ILa fonction x 7→ 1
2x−4a pour ensemble de définition R\ {2}=] − ∞;2[∪]2; + ∞[.
Remarque
On peut aussi étudier une fonction :
Isur un sous ensemble (généralement un intervalle) de Df;
Isur un ensemble de définition dit pratique qui correspond aux valeurs de x possibles dans le
domaine expérimental.
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LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLE QUELQUES DÉFINITIONS
Soit fune fonction de domaine de définition Df. On dira que fest
Ipaire si pour tout x∈ Df,f(−x) = f(x),
Iimpaire si pour tout x∈ Df,f(−x) = −f(x),
Ipériodique de période T>0 si pour tout x∈ Df,f(x+T) = f(x),
Icroissante si pour tout x≤x0(xet x0dans Df), f(x)≤f(x0),
Idécroissante si pour tout x≤x0(xet x0dans Df), f(x)≥f(x0),
Imajorée s’il existe Mtel que f(x)≤Mpour tout x∈ Df,
Iminorée s’il existe mtel que m≤f(x)pour tout x∈ Df,
Ibornée s’il existe Mtel que |f(x)| ≤ Mpour tout x∈ Df(bien remarquer que |f(x)| ≤ Mpeut
s’écrire de manière équivalente −M≤f(x)≤M).
DEFINITION
La fonction réciproque de fest la fonction (s’il elle existe) notée f−1qui vérifie
y=f(x),x∈ Df⇐⇒ x=f−1(y),y∈f(Df).
Remarque
ISi f est croissante, alors f −1est croissante.
ILa fonction logarithme népérien ln définie sur ]0; + ∞[est la fonction réciproque de exp
définie sur R.
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