TD n 5 Milieux magnétiques I Plaque magnétique II L

TD n◦5
Milieux magn´etiques
I Plaque magn´etique
Une plaque d’´epaisseur eest constitu´ee d’un mat´eriau magn´etique lin´eaire, homog`ene isotrope (l.h.i.) de
susceptibilit´e χ. Elle est plac´ee dans un champ magn´etique ext´erieur −→ B0uniforme. On note −→ B0|| et −→ B0⊥les
composantes de −→ B0parall`ele et perpendiculaire `a la plaque.
1. On suppose que la plaque s’aimante uniform´ement. Dans quel plan est l’aimantation −→ M?
2. Calculer −→ M,−→ Bet −→ Hdans la plaque.
3. Tracer les lignes de champ dans les cas :
(a) d’un milieu diamagn´etique.
(b) d’un milieu paramagn´etique.
(c) d’un ferromagn´etique lin´eaire.
II L’´ Electro-aimant
Il est constitu´e d’un barreau de ferromagn´etique doux appel´e fer, de section constante S, repli´e sur lui-mˆeme
de fa¸con que les deux extr´emit´es planes soient en regard l’une de l’autre `a la distance d. L’espace vide entre les
extr´emit´es est appel´e entrefer. On donne la longueur de la ligne m´ediane du barreau (en pointill´e) l= 1,5 m, d
= 5 cm, la perm´eabilit´e relative du fer µr= 4000. Un enroulement de Nspires est bobin´e sur une partie du fer.
Il est travers´e par le courant I. On admet que dans le fer les lignes de champ sont parall`eles `a la ligne m´ediane
donc `a la surface du barreau et que la norme de −→ Bdans le fer not´ee B1est constante sur une section droite.
1. Montrer que B1est constante dans tout le fer. Calcu-
ler H1norme de −→ Hdans le fer en fonction de B1en
r´egime lin´eaire.
2. On admet aussi que les lignes de champ dans l’en-
trefer sont perpendiculaires aux faces. Montrer que le
champ B2dans l’entrefer est uniforme. Calculer B2
en fonction de B1. En d´eduire H2dans l’entrefer.
3. ¨ E l’aide du th´eor`eme d’Amp`ere, calculer H1,H2,B1
et B2en fonction de µ0,µr,l,d,Net I.
A.N. : B2= 1 T pour I= 100 A. Calculer N.
4. Refaire le calcul de B2quand le fer est satur´e : Ms
= 1,2 ×106A.m−1. Quel champ peut-on obtenir dans
l’entrefer avec le courant maximum de 180 A ?
entrefer
fer
I
III Aimant permanent
Une fois aimant´e, un mat´eriau ferromagn´etique dur conserve son aimantation, dans
la mesure o`u on ne le soumet pas `a des champs trop intenses. Cette propri´et´e peut
ˆetre utilis´ee pour fabriquer des aimants permanents. Le but ici est d’´etudier un type
particulier d’aimant permanent. En positionnant toute une s´erie d’´el´ements aimant´es
les uns `a cˆot´es des autres, on r´ealise un cylindre creux d’axe Oz, de rayon int´erieur
a, de rayon ext´erieur b, de longueur tr`es grande (du point de vue des sym´etries et des
invariance, on pourra consid´erer le cylindre infini) et pr´esentant l’aimantation suivante
(on utilise les coordonn´ees cylindriques usuelles) :
1

−→
M=M0(cos θ−→ ur+ sin θ−→ uθ) o`u M0est une constante.
Par ailleurs, on donne qu’un cylindre creux d’´epaisseur n´egligeable, portant des courants surfaciques −→ js=
js−→ uz, cr´ee un champ −→ B=µ0js
2sinθ
−→
ux.
1. ´ Etude de l’aimant permanent.
(a) D´eterminer la distribution totale de courant du syst`eme. Quelle est la nature de ces courants (courants
libres, d’aimantation ou de polarisation) ? On fera attention `a bien prendre en compte les courants
surfaciques et volumiques.
(b) Calculer le champ −→ B`a l’int´erieur du cylindre de rayon a. On exprimera −→ Ben fonction de µ0,M0,a
et b.
(c) En admettant que −→ Best colin´eaire `a −→ Mlorsque r∈]a, b[, d´eterminer les lignes de champ pour
r < b (pour le cas o`u r∈]a, b[, on commencera par chercher r(θ), puis on passera en coordonn´ees
cart´esiennes, si n´ecessaire, pour trouver la nature de ces lignes de champ).
2. ´ Etude de l’homog´en´eit´e du champ cr´e´e par l’aimant permanent.
En pratique il n’est pas possible de r´ealiser un cylindre infini. On note hla hauteur r´eelle du cylindre.
(a) On veut ´evaluer l’homog´en´eit´e de −→ Bau voisinage du centre O. Pour cela on utilise un d´eveloppement
`a l’ordre 2 des diff´erentes composantes de −→ B(x, y, z), valable dans la mesure o`u x,yet zsont
tr`es inf´erieurs `a aet h.´ Ecrire les dix termes du d´eveloppement `a l’ordre 2 de Bx(x, y, z). Par des
consid´erations de sym´etrie, simplifier ce d´eveloppement (on rappelle qu’un plan de sym´etrie pour la
distribution d’aimantation −→ Mcorrespond `a un plan d’antisym´etrie pour la distribution de courant,
et inversement un plan d’antisym´etrie pour la distribution d’aimantation correspond `a un plan de
sym´etrie pour la distribution de courant).
(b) Pour les composantes Byet Bz, on peut montrer que les seuls termes non nuls des d´eveloppements
limit´es `a l’ordre deux sont :
By=βxy et Bz=γxz.
Exprimer le d´eveloppement limit´e de Bx(x, y, z) en fonction de Bx(0,0,0), βet γ. On suppose qu’en
O,Bx(0,0,0) a sensiblement la valeur trouv´ee pour le cylindre infini, et qu’`a l’extr´emit´e du cylindre
(c’est-`a-dire pour z=h/2), sur l’axe Oz, on a la moiti´e de cette valeur. En outre, on suppose que le
d´eveloppement limit´e ´etabli pr´ec´edemment reste valable jusqu’en z=h/2. Calculer le coefficient γ
en fonction de het Bx(0,0,0).
(c) Application num´erique.
Pour pouvoir r´ealiser un spectrom`etre, on voudrait un champ magn´etique v´erifiant les sp´ecifications
suivantes : on a besoin d’un champ sup´erieur ou ´egal `a 1,2 T, avec une homog´en´eit´e de 10−4dans
un volume sph´erique centr´e en O, de rayon 5 mm (c’est-`a-dire que la variation maximale de champ
magn´etique δB doit ˆetre inf´erieure `a 10−4fois la valeur du champ en O). Un fabricant propose un
aimant permanent du type ´etudi´e ici, fabriqu´e avec un alliage de NdFeB. L’aimantation `a saturation
de cet alliage vaut Ms= 8 ×105A.m−1, les dimensions propos´ees sont a= 50 mm, b= 200 mm et
h= 105 mm. On donne µ0= 4π×10−7N.A−2. Cette proposition peut-elle convenir ?
IV Chaˆıne de gouttelettes d’une ´emulsion ferrofluide
Un ferrofluide s’obtient en dispersant dans de l’huile de petites particules solides aimant´ees (voir figure (a)).
On obtient alors un fluide aux propri´et´es particuli`eres. En particulier, les particules ont tendance `a s’aligner le
long des lignes de champ ce qui g´en`ere des pointes tout `a fait inhabituelles dans les liquides (voir figures (b) et
(c)).
Une ´emulsion ferrofluide est une suspension dilu´ee de gouttelettes de ce fluide dans l’eau. Des techniques
physico-chimiques permettent de contrˆoler la taille des gouttelettes et la stabilit´e de cette suspension. La taille
des gouttelette est d’environ un microm`etre. Sous l’effet d’un champ magn´etique ext´erieur, les gouttelettes
s’organisent en longues chaˆınes parall`eles au champ.
2

(a) (b) (c)
1. Deux dipˆoles magn´etiques ~m identiques sont parall`eles et de mˆeme sens.
On rappelle qu’un dipˆole cr´ee un champ magn´etique, en coordonn´ees polaires,
~
B=µ0
4π(2mcos θ r3~ur+msin θ r3~uθ)
L’´energie potentielle d’interaction d’un dipˆole ~m soumis `a un champ magn´etique ~ Best
Ep=−~m. ~ B
o
m1QrP
m2ur
uQ
(a) Donner l’expression de l’´energie potentielle d’interaction Wlorsque le dipˆole (1) est plac´e `a l’origine
et le dipˆole (2) au point de coordonn´ees polaires (r, θ). En d´eduire l’expression de la force ~ Fexerc´ee
par (1) sur (2).
(b) Pour une distance rfix´ee, pour quel direction θl’´energie est-elle minimale ? La force d’interaction
est-elle r´epulsive ou attractive ?
2. Chaque particule solide aimant´ee du ferrofluide porte un moment magn´etique permanent ~µ et poss`ede un
volume v. On note Φ la fraction volumique en particules dans le fluide (Φ 1).
(a) Expliquer qualitativement pourquoi, en l’absence de champ ext´erieur, cette assembl´ee de particules
aimant´ees ne poss`ede aucune propri´et´e magn´etique macroscopique.
(b) On consid`ere maintenant une goutte sph´erique unique de ferrofluide de rayon Rplong´ee dans l’eau.
Sous l’effet d’un champ magn´etique ext´erieur ~ B, cette goutte acquiert une aimantation uniforme
~
M. Pour des valeurs du champ pas trop ´elev´ees, cette aimantation lui est proportionnelle ; on pose
alors ~ M=χ~
B
µ0. Quelle est la dimension de χ? Quelle nom peut-on lui donner ? Quel est le moment
magn´etique ~m de la goutte ?
3. On consid`ere une ´emulsion dilu´ee de ces gouttelettes dans l’eau. Chaque gouttelette de rayon Rest assimil´ee
`a un dipˆole magn´etique ~m. Sous l’action d’un champ ext´erieur uniforme ~ B=B0~uz, les moments s’alignent
et forment des chaˆınes d’une trentaine de gouttelettes environ, parall`eles au champ appliqu´e. On n´eglige
toute interaction entre chaˆınes. Dans une chaˆıne isol´ee, suppos´ee infinie, dd´esigne la distance suppos´ee
constante entre deux gouttelettes successives.
(a) Expliquer pourquoi les moments s’alignent.
(b) Soit une gouttelette quelconque de la chaˆıne. Calculer le champ ~ B1cr´e´e par les autres gouttelettes
sur celle-ci. Exprimer ce champ en fonction de ~m, de det de la constante α=P∞
p=1 1/p3≈1,202.
(c) Exprimer alors ~m en fonction de ~ B0,χ,Ret d.
4. Pour calculer la force attractive d’origine magn´etique qui s’exerce `a l’int´erieur d’une chaˆıne, on divise par
la pens´ee, la chaˆıne en deux parties.
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(a) calculer la force qu’exercent les dipˆoles de l’une des moiti´es (la partie inf´erieure) sur les dipˆoles de
l’autre. Montrer qu’elle s’exprime sous la forme :
~
Fch =−3µ0αm2
2πd4~uz
(b) Comparer cette force avec la force ~ Fpentre deux gouttelettes lorsque la chaˆıne n’en contient que
deux. Exprimer Fch
Fpen fonction de χ,Ret d.
(c) Calculer Fch,Fpet Fch
Fppour χ= 0,11, R= 98 nm, d=200 nm et B0= 6,3.10−2T. Commenter.
5. Les gouttelettes d’une chaˆıne, toutes de rayon R, sont suppos´ees incompressibles et ind´eformables. En
l’absence d’interaction entre gouttelettes autre que l’interaction magn´etique, quelle est la distance d`entre
elles ?
(a) En r´ealit´e, il existe une force r´epulsive d’origine ´electrostatique de sorte qu’`a l’´equilibre, d > dell.
L’´emulsion est ´eclair´ee par un faisceau parall`ele de lumi`ere blanche se propageant selon ~uz. Chaque
gouttelette de ferrofluide absorbe une partie de la lumi`ere qu’elle re¸coit et diffracte l’autre dans toutes
les directions. La distribution spectrale I(λ) de la lumi`ere r´etrodiffus´ee (dans la direction −~uz) est
analys´ee par un spectrographe (λest la longueur d’onde dans le vide). Elle pr´esente un maximum
tr`es prononc´e pour une longueur d’onde λ0dans le spectre visible associ´ee `a une coloration tr`es nette.
i. Interpr´eter qualitativement ce ph´enom`ene de coloration.
ii. Exprimer den fonction de λ0et de l’indice nde l’eau. Calculer num´eriquement λ0pour d= 220
nm et n= 1,33. De quelle couleur apparaˆıt l’´echantillon ?
iii. D´ecrire la s´equence de couleurs observ´ees en r´etrodiffusion lorsque le champ ext´erieur appliqu´e
~
B0augmente. Quelle est la longueur d’onde limite λ`observable. Donner sa valeur num´erique
ainsi que la couleur correspondante pour R=98 nm.
4

TD n◦6
Lien thermodynamique-´electromagn´etisme
I Lame pi´ezo´electrique
Le ph´enom`ene de pi´ezo´electricit´e consiste en l’apparition d’une polarisation ´electrique dans certains di´elec-
triques sous l’effet d’une force exerc´ee dans une direction convenable , ici Oz. Une paire d’armatures conductrices
d´epos´ees sur les faces oppos´ees d’une lame di´electrique d’´epaisseur eet de surface Sforme un condensateur plan,
l’ensemble constituant un capteur pi´ezo´electrique. Les trois vecteurs ~ P,~ Eet ~ Dsont consid´er´es comme ´etant
colin´eaires et parall`eles `a ~uz.
e
O
uz
Pendant tout l’exercice, on ne tiendra pas compte des variations d’´epaisseur de la lame.
1. Question pr´eliminaire :
(a) Condensateur polaris´e uniform´ement :
On consid`ere un condensateur dont l’entrefer est un milieu di´el´ectrique polaris´e uniform´ement :
~
P=P ~uz. D´eterminer les champs ~ Eet ~ D. Quelle est la diff´erence de potentiel entre les armatures ?
Quelle sont les charges de polarisation `a la surface des armatures ?
(b) Condensateur charg´e :
Soit un condensateur dont les armatures sont charg´ees, respectivement qet −q. Calculez le champ `a
l’int´erieur du condensateur en fonction de q,et S.
2. Nous consid´erons maintenant un mat´eriau pi´ezo´electrique en prenant en compte le fait que le mat´eriau
est ´elastique. On suppose que la face z= 0 est fixe et qu’une force ~ F=F ~uzappliqu´ee sur la face z=e
cr´ee un petit d´eplacement s=F
Ksuivant l’axe Oz, o`u Kest une constante. Comme l’´echantillon est
pi´ezo´electrique, ce d´eplacement sengendre une polarisation uniforme ~ P=P ~uzavec P=0αs
eo`u αest
une constante caract´erisant l’effet pi´ezo´electrique du mat´eriau.
(a) Les armatures ont maintenant les charges qen z=eet −qen z= 0 dues `a un g´en´erateur externe.
On applique une force ~ Fvariable permettant de maintenir une d´eformation sconstante.
L’origine de la polarisation du milieu est double. D’une part, la d´eformation cr´ee une polarisation
d´ependant de squi cr´ee un champ ~ E1. Par ailleurs, la charge pr´esente sur les armatures cr´ee, elle aussi,
une polarisation classique `a l’origine d’un champ ~ E2. On note ~ Ele champ total dans le di´electrique.
– Quel est, en fonction de s, le champ ´electrique ~ E1cr´e´e dans le mat´eriau par les charges de polari-
sation ?
– D´eterminez le champ ´electrique cr´e´e par la charge des armatures.
– En d´eduire le champ total ~ Eet la diff´erence de potentiel entre les deux faces du condensateur.
(b) – Donnez l’expression du travail m´ecanique Wm(s) re¸cu par le mat´eriau ´elastique pour induire une
d´eformation s`a q= 0.
– Donnez l’expression du travail ´electrique re¸cu par l’´echantillon pour charger le condensateur.
– D´eduire de ce qui pr´ec`ede l’´energie interne U(s, q) de l’´echantillon et, `a partir de la relation dU =
F ds +V dq, trouvez l’expression de Fen fonction de set q.
(c) Donnez l’expression de set qpour une diff´erence de potentiel Vet une force Fquelconques.
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