TD n 5 Milieux magnétiques I Plaque magnétique II L

TD n◦ 5
Milieux magnétiques
I
Plaque magnétique
Une plaque d’épaisseur e est constituée d’un matériau magnétique linéaire, homogène isotrope (l.h.i.) de
−
→
→
−
→
−
susceptibilité χ. Elle est placée dans un champ magnétique extérieur B0 uniforme. On note B 0|| et B 0⊥ les
−
→
composantes de B0 parallèle et perpendiculaire à la plaque.
−
→
1. On suppose que la plaque s’aimante uniformément. Dans quel plan est l’aimantation M ?
−
→ →
−
→
−
2. Calculer M , B et H dans la plaque.
3. Tracer les lignes de champ dans les cas :
(a) d’un milieu diamagnétique.
(b) d’un milieu paramagnétique.
(c) d’un ferromagnétique linéaire.
II
L’Électro-aimant
Il est constitué d’un barreau de ferromagnétique doux appelé fer, de section constante S, replié sur lui-même
de façon que les deux extrémités planes soient en regard l’une de l’autre à la distance d. L’espace vide entre les
extrémités est appelé entrefer. On donne la longueur de la ligne médiane du barreau (en pointillé) l = 1,5 m, d
= 5 cm, la perméabilité relative du fer µr = 4000. Un enroulement de N spires est bobiné sur une partie du fer.
Il est traversé par le courant I. On admet que dans le fer les lignes de champ sont parallèles à la ligne médiane
→
−
donc à la surface du barreau et que la norme de B dans le fer notée B1 est constante sur une section droite.
1. Montrer que B1 est constante dans tout le fer. Calcu→
−
ler H1 norme de H dans le fer en fonction de B1 en
régime linéaire.
fer
2. On admet aussi que les lignes de champ dans l’entrefer sont perpendiculaires aux faces. Montrer que le
champ B2 dans l’entrefer est uniforme. Calculer B2
en fonction de B1 . En déduire H2 dans l’entrefer.
entrefer
3. Ë l’aide du théorème d’Ampère, calculer H1 , H2 , B1
et B2 en fonction de µ0 , µr , l, d, N et I.
A.N. : B2 = 1 T pour I = 100 A. Calculer N .
4. Refaire le calcul de B2 quand le fer est saturé : Ms
= 1,2 ×106 A.m−1 . Quel champ peut-on obtenir dans
l’entrefer avec le courant maximum de 180 A ?
III
I
Aimant permanent
Une fois aimanté, un matériau ferromagnétique dur conserve son aimantation, dans
la mesure où on ne le soumet pas à des champs trop intenses. Cette propriété peut
être utilisée pour fabriquer des aimants permanents. Le but ici est d’étudier un type
particulier d’aimant permanent. En positionnant toute une série d’éléments aimantés
les uns à côtés des autres, on réalise un cylindre creux d’axe Oz, de rayon intérieur
a, de rayon extérieur b, de longueur très grande (du point de vue des symétries et des
invariance, on pourra considérer le cylindre infini) et présentant l’aimantation suivante
(on utilise les coordonnées cylindriques usuelles) :
1
−
→
→ + sin θ−
→) où M est une constante.
M = M0 (cos θ−
u
u
r
θ
0
→
−
Par ailleurs, on donne qu’un cylindre creux d’épaisseur négligeable, portant des courants surfaciques js =
→
−
µ0 js −
−
→
→
js uz , crée un champ B = 2sinθ ux .
1. Étude de l’aimant permanent.
(a) Déterminer la distribution totale de courant du système. Quelle est la nature de ces courants (courants
libres, d’aimantation ou de polarisation) ? On fera attention à bien prendre en compte les courants
surfaciques et volumiques.
→
−
→
−
(b) Calculer le champ B à l’intérieur du cylindre de rayon a. On exprimera B en fonction de µ0 , M0 , a
et b.
→
−
−
→
(c) En admettant que B est colinéaire à M lorsque r ∈]a, b[, déterminer les lignes de champ pour
r < b (pour le cas où r ∈]a, b[, on commencera par chercher r(θ), puis on passera en coordonnées
cartésiennes, si nécessaire, pour trouver la nature de ces lignes de champ).
2. Étude de l’homogénéité du champ créé par l’aimant permanent.
En pratique il n’est pas possible de réaliser un cylindre infini. On note h la hauteur réelle du cylindre.
→
−
(a) On veut évaluer l’homogénéité de B au voisinage du centre O. Pour cela on utilise un développement
→
−
à l’ordre 2 des différentes composantes de B (x, y, z), valable dans la mesure où x, y et z sont
très inférieurs à a et h. Écrire les dix termes du développement à l’ordre 2 de Bx (x, y, z). Par des
considérations de symétrie, simplifier ce développement (on rappelle qu’un plan de symétrie pour la
−
→
distribution d’aimantation M correspond à un plan d’antisymétrie pour la distribution de courant,
et inversement un plan d’antisymétrie pour la distribution d’aimantation correspond à un plan de
symétrie pour la distribution de courant).
(b) Pour les composantes By et Bz , on peut montrer que les seuls termes non nuls des développements
limités à l’ordre deux sont :
By = βxy
et
Bz = γxz.
Exprimer le développement limité de Bx (x, y, z) en fonction de Bx (0, 0, 0), β et γ. On suppose qu’en
O, Bx (0, 0, 0) a sensiblement la valeur trouvée pour le cylindre infini, et qu’à l’extrémité du cylindre
(c’est-à-dire pour z = h/2), sur l’axe Oz, on a la moitié de cette valeur. En outre, on suppose que le
développement limité établi précédemment reste valable jusqu’en z = h/2. Calculer le coefficient γ
en fonction de h et Bx (0, 0, 0).
(c) Application numérique.
Pour pouvoir réaliser un spectromètre, on voudrait un champ magnétique vérifiant les spécifications
suivantes : on a besoin d’un champ supérieur ou égal à 1,2 T, avec une homogénéité de 10−4 dans
un volume sphérique centré en O, de rayon 5 mm (c’est-à-dire que la variation maximale de champ
magnétique δB doit être inférieure à 10−4 fois la valeur du champ en O). Un fabricant propose un
aimant permanent du type étudié ici, fabriqué avec un alliage de NdFeB. L’aimantation à saturation
de cet alliage vaut Ms = 8 × 105 A.m−1 , les dimensions proposées sont a = 50 mm, b = 200 mm et
h = 105 mm. On donne µ0 = 4π × 10−7 N.A−2 . Cette proposition peut-elle convenir ?
IV
Chaı̂ne de gouttelettes d’une émulsion ferrofluide
Un ferrofluide s’obtient en dispersant dans de l’huile de petites particules solides aimantées (voir figure (a)).
On obtient alors un fluide aux propriétés particulières. En particulier, les particules ont tendance à s’aligner le
long des lignes de champ ce qui génère des pointes tout à fait inhabituelles dans les liquides (voir figures (b) et
(c)).
Une émulsion ferrofluide est une suspension diluée de gouttelettes de ce fluide dans l’eau. Des techniques
physico-chimiques permettent de contrôler la taille des gouttelettes et la stabilité de cette suspension. La taille
des gouttelette est d’environ un micromètre. Sous l’effet d’un champ magnétique extérieur, les gouttelettes
s’organisent en longues chaı̂nes parallèles au champ.
2
(b)
(a)
(c)
1. Deux dipôles magnétiques m
~ identiques sont parallèles et de même sens.
On rappelle qu’un dipôle crée un champ magnétique, en coordonnées polaires,
~ = µ0 ( 2m cos θ ~ur + m sin θ ~uθ )
B
4π
r3
r3
~ est
L’énergie potentielle d’interaction d’un dipôle m
~ soumis à un champ magnétique B
~
Ep = −m.
~ B
m2
m1
o
Q
P
r
ur
uQ
(a) Donner l’expression de l’énergie potentielle d’interaction W lorsque le dipôle (1) est placé à l’origine
et le dipôle (2) au point de coordonnées polaires (r, θ). En déduire l’expression de la force F~ exercée
par (1) sur (2).
(b) Pour une distance r fixée, pour quel direction θ l’énergie est-elle minimale ? La force d’interaction
est-elle répulsive ou attractive ?
2. Chaque particule solide aimantée du ferrofluide porte un moment magnétique permanent µ
~ et possède un
volume v. On note Φ la fraction volumique en particules dans le fluide (Φ 1).
(a) Expliquer qualitativement pourquoi, en l’absence de champ extérieur, cette assemblée de particules
aimantées ne possède aucune propriété magnétique macroscopique.
(b) On considère maintenant une goutte sphérique unique de ferrofluide de rayon R plongée dans l’eau.
~ cette goutte acquiert une aimantation uniforme
Sous l’effet d’un champ magnétique extérieur B,
~ . Pour des valeurs du champ pas trop élevées, cette aimantation lui est proportionnelle ; on pose
M
~ = χB~ . Quelle est la dimension de χ ? Quelle nom peut-on lui donner ? Quel est le moment
alors M
µ0
magnétique m
~ de la goutte ?
3. On considère une émulsion diluée de ces gouttelettes dans l’eau. Chaque gouttelette de rayon R est assimilée
~ = B0 ~uz , les moments s’alignent
à un dipôle magnétique m.
~ Sous l’action d’un champ extérieur uniforme B
et forment des chaı̂nes d’une trentaine de gouttelettes environ, parallèles au champ appliqué. On néglige
toute interaction entre chaı̂nes. Dans une chaı̂ne isolée, supposée infinie, d désigne la distance supposée
constante entre deux gouttelettes successives.
(a) Expliquer pourquoi les moments s’alignent.
~ 1 créé par les autres gouttelettes
(b) Soit une gouttelette quelconque de la chaı̂ne. Calculer le champ B
P∞
sur celle-ci. Exprimer ce champ en fonction de m,
~ de d et de la constante α = p=1 1/p3 ≈ 1, 202.
~ 0 , χ, R et d.
(c) Exprimer alors m
~ en fonction de B
4. Pour calculer la force attractive d’origine magnétique qui s’exerce à l’intérieur d’une chaı̂ne, on divise par
la pensée, la chaı̂ne en deux parties.
3
(a) calculer la force qu’exercent les dipôles de l’une des moitiés (la partie inférieure) sur les dipôles de
l’autre. Montrer qu’elle s’exprime sous la forme :
2
3µ0 αm
~uz
F~ch = −
2πd4
(b) Comparer cette force avec la force F~p entre deux gouttelettes lorsque la chaı̂ne n’en contient que
en fonction de χ, R et d.
deux. Exprimer FFch
p
(c) Calculer Fch , Fp et
Fch
Fp
pour χ = 0, 11, R = 98 nm, d =200 nm et B0 = 6, 3.10−2 T . Commenter.
5. Les gouttelettes d’une chaı̂ne, toutes de rayon R, sont supposées incompressibles et indéformables. En
l’absence d’interaction entre gouttelettes autre que l’interaction magnétique, quelle est la distance d` entre
elles ?
(a) En réalité, il existe une force répulsive d’origine électrostatique de sorte qu’à l’équilibre, d > de ll.
L’émulsion est éclairée par un faisceau parallèle de lumière blanche se propageant selon ~uz . Chaque
gouttelette de ferrofluide absorbe une partie de la lumière qu’elle reçoit et diffracte l’autre dans toutes
les directions. La distribution spectrale I(λ) de la lumière rétrodiffusée (dans la direction −~uz ) est
analysée par un spectrographe (λ est la longueur d’onde dans le vide). Elle présente un maximum
très prononcé pour une longueur d’onde λ0 dans le spectre visible associée à une coloration très nette.
i. Interpréter qualitativement ce phénomène de coloration.
ii. Exprimer d en fonction de λ0 et de l’indice n de l’eau. Calculer numériquement λ0 pour d = 220
nm et n = 1, 33. De quelle couleur apparaı̂t l’échantillon ?
iii. Décrire la séquence de couleurs observées en rétrodiffusion lorsque le champ extérieur appliqué
~ 0 augmente. Quelle est la longueur d’onde limite λ` observable. Donner sa valeur numérique
B
ainsi que la couleur correspondante pour R =98 nm.
4
TD n◦ 6
Lien thermodynamique-électromagnétisme
I
Lame piézoélectrique
Le phénomène de piézoélectricité consiste en l’apparition d’une polarisation électrique dans certains diélectriques sous l’effet d’une force exercée dans une direction convenable , ici Oz. Une paire d’armatures conductrices
déposées sur les faces opposées d’une lame diélectrique d’épaisseur e et de surface S forme un condensateur plan,
~ et D
~ sont considérés comme étant
l’ensemble constituant un capteur piézoélectrique. Les trois vecteurs P~ , E
colinéaires et parallèles à ~uz .
uz
e
O
Pendant tout l’exercice, on ne tiendra pas compte des variations d’épaisseur de la lame.
1. Question préliminaire :
(a) Condensateur polarisé uniformément :
On considère un condensateur dont l’entrefer est un milieu diéléctrique polarisé uniformément :
~ et D.
~ Quelle est la différence de potentiel entre les armatures ?
P~ = P ~uz . Déterminer les champs E
Quelle sont les charges de polarisation à la surface des armatures ?
(b) Condensateur chargé :
Soit un condensateur dont les armatures sont chargées, respectivement q et −q. Calculez le champ à
l’intérieur du condensateur en fonction de q, et S.
2. Nous considérons maintenant un matériau piézoélectrique en prenant en compte le fait que le matériau
est élastique. On suppose que la face z = 0 est fixe et qu’une force F~ = F ~uz appliquée sur la face z = e
F
crée un petit déplacement s = K
suivant l’axe Oz, où K est une constante. Comme l’échantillon est
piézoélectrique, ce déplacement s engendre une polarisation uniforme P~ = P ~uz avec P = 0eαs où α est
une constante caractérisant l’effet piézoélectrique du matériau.
(a) Les armatures ont maintenant les charges q en z = e et −q en z = 0 dues à un générateur externe.
On applique une force F~ variable permettant de maintenir une déformation s constante.
L’origine de la polarisation du milieu est double. D’une part, la déformation crée une polarisation
~ 1 . Par ailleurs, la charge présente sur les armatures crée, elle aussi,
dépendant de s qui crée un champ E
~ 2 . On note E
~ le champ total dans le diélectrique.
une polarisation classique à l’origine d’un champ E
~
– Quel est, en fonction de s, le champ électrique E1 créé dans le matériau par les charges de polarisation ?
– Déterminez le champ électrique créé par la charge des armatures.
~ et la différence de potentiel entre les deux faces du condensateur.
– En déduire le champ total E
(b) – Donnez l’expression du travail mécanique Wm (s) reçu par le matériau élastique pour induire une
déformation s à q = 0.
– Donnez l’expression du travail électrique reçu par l’échantillon pour charger le condensateur.
– Déduire de ce qui précède l’énergie interne U (s, q) de l’échantillon et, à partir de la relation dU =
F ds + V dq, trouvez l’expression de F en fonction de s et q.
(c) Donnez l’expression de s et q pour une différence de potentiel V et une force F quelconques.
5
II
Tube de Quincke
Un liquide paramagnétique (χ > 0) ou diamagnétique (χ < 0) remplit un tube en U tel que l’interface
air/liquide dans une des branches verticales soit dans l’entrefer d’un électroaimant créant un champ magné→
−
tique B . On constate que le niveau monte lorsque l’on établit le courant dans l’électroaimant si le liquide est
paramagnétique (par exemple une solution de chlorure ferrique dans de l’eau) alors qu’il baisse si le liquide est
diamagnétique (eau pure). Interpréter. Déterminer la relation entre la hauteur d’élévation du liquide h et B à
l’équilibre.
6
TD n◦ 7
Induction électromagnétique
I
Couplage entre un solénoı̈de et une bobine
Un solénoı̈de de très grande longueur par rapport à son rayon noté a, comporte n spires jointives par unité de
longueur. Celles ci sont parcourues par un courant I. Une bobine circulaire plate de résistance R et comportant
N spires de rayon b (b > a) est coaxiale au solénoı̈de.
1. Calculer le coefficient d’inductance mutuelle M des deux circuits.
2. Le courant I est un courant alternatif I = I0 sin(ωt). En admettant que l’approximation des régimes quasi
permanents est valable :
(a) Calculer la f.e.m. e et le courant induit i dans la bobine plate.
→
−
(b) Quel est le champ électrique E associé à e ?
→
−
3. Détermination du potentiel-vecteur A
→
−
(a) Sachant que A est un vecteur polaire, déterminez sa direction en utilisant les propriétés de symétrie
du système.
→
−
→
−
→
−
(b) Déterminer l’expression de A à l’intérieur puis à l’extérieur du solénoı̈de (on choisira A = 0 en O).
→
−
→
−
∂A
.
(c) Vérifier que E = −
∂t
II
Lévitation magnétique
Un long solénoı̈de vertical (semi-infini) à section circulaire, de rayon a et ayant n spires jointives par unité
de longueur, est parcouru par un courant i1 = i1m cos ωt. Une bobine circulaire constituée de N spires de rayon
b (b a), de résistance R, d’inductance L et de masse m, est placée au dessus du solénoı̈de, à une distance z
de son extrémité. La position de la bobine est repérée par l’angle θ.
z
b
θ
z
a
FIG.1 - Schéma du dispositif.
FIG.2 -Lévitation d’une grenouille. Pour plus
d’information, voir
http ://www.hfml.ru.nl/phystod.html.
7
1. Déterminer le flux du champ B1 créé par le solénoı̈de à travers la bobine (on considère le champ B1
constant au voisinage de l’axe Oz). En déduire le coefficient d’inductance mutuelle M qui caractérise le
couplage entre les deux circuits.
2. Déterminer le courant i induit dans la bobine.
3. On assimile la bobine à un dipôle magnétique. Calculer la force magnétique moyenne hF i appliquée à la
bobine. Pour quelle valeur ilim de i1m la spire peut-elle léviter juste au dessus du solénoı̈de ? L’équilibre
est-il stable ?
4. Quelle est alors la puissance dissipée par effet Joule dans la bobine ?
III
Induction et moment cinétique
On considère un solénoı̈de très long, de rayon R, possédant n spires par mètre, parcouru par un courant
I. Deux couches chargées cylindriques de longueur ` sont coaxiales avec le solénoı̈de. L’une à l’intérieur du
solénoı̈de, de rayon a < R et de charge totale +Q et l’autre à l’extérieur de rayon b > R et de charge −Q. On
supposera que les charges sont uniformément réparties sur les couches cylindriques et que a, b `. Les cylindres
chargés peuvent tourner librement autour de leur axe.
1. On diminue progressivement le courant I jusqu’à ce qu’il devienne nul. On observe que les cylindres se
mettent à tourner. Expliquer précisément le phénomène.
2. Calculer les couples Γa et Γb qui s’exercent sur chacun des cylindres.
~ a et L
~ b de chacun des cylindres une fois que le courant est nul.
3. En déduire les moment cinétiques L
4. Comment la conservation du moment cinétique est-elle satisfaite ?
IV
Principe de la plaque de cuisson par induction
1. Une plaque conductrice plane, d’épaisseur d, est parcourue par un courant de densité volumique uniforme
−
→
et constante J0 . Ses dimensions sont très grandes devant les longueurs intervenant dans le problème et du
point de vue des symétries et des invariances, on peut les considérer comme infinies.
(a) Choisir un système de coordonnées adaptées. Détailler les symétries et invariances. En déduire la
−
→
direction du champ magnétique B0 (M ) en tout point M de l’espace et les variables dont il dépend.
(b) Calculer le champ sur le plan médiateur de la plaque.
−
→
(c) Calculer le champ B0 (M ) partout. Commentaire.
2. Un milieu conducteur de conductivité γ, de perméabilité relative µr , occupe le demi-espace z > 0. Une
plaque analogue à celle de la question 1, parcourue par un courant sinusoidal de pulsation ω, produit dans
l’air, près de la surface du milieu, un champ magnétique uniforme B1 cos(ωt)−
u→
x . On fait dans toute la
suite les approximations suivantes :
* La pulsation ω est suffisamment faible pour que le régime soit quasi-stationnaire.
* Le milieu est un conducteur ohmique, sa conductivité γ ne dépend pas de ω.
* Les dimensions sont telles que le système est invariant par toute translation parallèle au plan xOy.
−
→
−
→ −
→
(a) Comment faut-il disposer la plaque produisant le champ B1 ? Il est inutile de relier J0 à B1 .
(b) Montrer que dans le milieu, les champs magnétique et électrique ont une seule composante non nulle
et qu’elle ne dépend que de z et de t. On les note B(z, t) et E(z, t) .
3. En régime permanent, B(z, t) et E(z, t) sont des fonctions sinusoidales du temps de pulsation ω. On utilise
pour les calculs la notation complexe : le champ magnétique extérieur s’écrit alors B1 e−iωt −
u→
x et on pose
B(z, t) = f (z)e−iωt et E(z, t) = g(z)e−iωt où f et g sont des fonctions complexes de la variable z qu’on
cherche à calculer.
(a) écrire les quatre équations de Maxwell dans le milieu ainsi que la loi d’Ohm. On utilisera le fait que
dans un conducteur en régime quasi-stationnaire la densité volumique de charge est nulle et le courant de déplacement est négligeable. Montrer que deux équations de Maxwell sont automatiquement
vérifiées.
(b) En déduire l’équation différentielle satisfaite par f (z).
8
r
2
. Calculer f (z) en fonction de B1 , δ et µr en tenant compte de sa valeur en
µ0 µr γω
z = 0 et sachant que B ne peut pas devenir infini dans le milieu.
4. (a) On pose δ =
(b) Quelle est la dimension de δ et sa signification physique ?
(c) Calculer g(z). En déduire l’expression réelle de E(z, t) .
5. Calculer la puissance par unité de volume dégagée en chaleur dans le milieu. En déduire la puissance
moyenne de chauffage par unité de surface en fonction de B1 , µ0 , µr , γ et ω.
6. A.N. On donne pour le cuivre γ = 6×107 Ω−1 .m−1 , µr = 1. Pour l’acier , γ = 6×106 Ω−1 .m−1 , µr = 1000.
La pulsation est ω = 1000 rad.s−1 .
(a) Calculer δ pour le cuivre et pour l’acier. Commentaire.
(b) La puissance de chauffage désirée est de 104 W.m−2 . En déduire le champ B1 nécessaire dans les deux
cas. Expliquer le choix de l’acier pour réaliser des casseroles fonctionnant sur une plaque à induction.
Donner une valeur minimale de l’épaisseur du fond de la casserole en acier.
9
TD n◦ 8
Propagation
Rappels
Dérivée particulaire
On cherche à décrire la vitesse d’un fluide c’est-à-dire, la vitesse des particules de fluide qui le composent.
Deux descriptions sont possibles.
a) Description lagrangienne
Dans cette description, un observateur est lié à chaque particule de fluide et détermine au cours du temps la
vitesse de la particule fluide le long de la trajectoire effectuée. L’ensemble des observateurs liés aux particules
de fluides permet de déterminer la vitesse du fluide.
Pour imager ceci, imaginons qu’on veuille décrire une trafic autoroutier. Dans la description lagrangienne,
un hélicoptère suit les voitures au cours de leur trajet et détermine leur vitesse en fonction du temps.
b) Description eulérienne
Dans cette description, un observateur est fixe en un point M et détermine la vitesse du fluide en ce point au
cours du temps. L’ensemble des observateurs aux différents points de l’espace défini le champ de vitesse ~v (M, t).
Dans la description eulérienne du trafic, on dispose des gendarmes sur un pont qui restent fixent et mesurent
la vitesse des voitures qui passent.
Remarques :
on définit également le champ des pressions p(M, t), des températures T (M, t)...
le champ est uniforme s’il ne dépend pas de la variable d’espace.
un écoulement est stationnaire si l’ensemble des champs eulériens (~v (M, t), p(M, t), T (M, t). . . ) est indépendant du temps t. Dans ce cas, la situation vue par un observateur en un point M donné ne varie pas
au cours du temps. En revanche, la vitesse d’une particule fluide n’est pas nécessairement constante au
cours du temps (imaginer un tuyau de section variable en régime stationnaire).
c) Dérivée particulaire
Lorsqu’on dérive temporellement un champ eulérien, il faut tenir compte bien sûr de la variation purement
temporelle de ce champ (dérivée temporelle) mais également de la variation de cette grandeur due au déplacement
de la particule de fluide (dérivée convective).
Cette dérivée d’un champ eulérien s’appelle dérivée particulaire. Voyons comment elle s’exprime mathématiquement en choisissant un champ scalaire (par exemple le champ de température).
−−→
−−→ −
On considère une particule fluide qui s’est déplacée de dM pendant dt : dM = →
v dt.
10
La température T (x, y, z, t) a varié de
dT =
∂T
∂T
∂T
∂T
dx +
dy +
dz +
dt
∂x
∂y
∂z
∂t
La variation de température est alors :
∂T
∂T
∂T
∂T
dT
=
vx +
vy +
vz +
dt
∂x
∂y
∂z
∂t
soit
∂T
−−→
→
=−
v · gradT +
dt
∂t
dT
La dérivée particulaire est souvent notée DT
∂x . Le deuxième terme est appelé variation temporelle locale de
T . Il est nul si l’écoulement est stationnaire. Le premier terme est appelé ”dérivée convective”. Il rend compte
de l’influence du déplacement de la particule de fluide sur la variation de T . Il est nul pour un champ uniforme.
d) Application simple
−
−
En guise d’illustration, on considère un parachutiste en chute à la vitesse →
v = v→
u z avec v < 0. Celui-ci
représente l’observateur lié à la particule de fluide. Il veut mesurer l’évolution temporelle de la température.
Le champ de température est stationnaire et de la forme :
T (z) = T0 + αz
avec α < 0
Déterminer la loi de variation T (t) mesurée par le parachutiste qui touche le sol z = 0 à t = tf .
– en raisonnant simplement ;
– en utilisant la formule de dérivée particulaire.
e) Accélération convective
En mécanique des fluides, un champ eulérien essentiel est celui représentant la vitesse. Le champ des accélérations est alors la variation temporelle de la vitesse eulérienne quand on suit une particule fluide c’est-à-dire
la dérivée particulaire de la vitesse.
En coordonnées cartésiennes, on peut appliquer la méthode précédente pour chaque composante de la vitesse :
Dvx =
∂vx
∂vx
∂vx
∂vx
dx +
dy +
dz +
dt
∂x
∂x
∂x
∂x
Dvx
∂vx
∂vx
∂vx
∂vx
=
vx +
vy +
vz +
dt
∂x
∂x
∂x
∂x
−−→
→
−
−
−
Ceci est valable pour chaque composante de sorte qu’on a : DDtv = →
v .grad →
v +
On distingue :
→
−
– L’accélération locale ∂∂tv liée qu caractère instationnaire de l’écoulement.
11
−
∂→
v
∂t
−−→
−
−
– L’accélération convective →
v .grad →
v liée au caractère non uniforme de l’écoulement.
Pour un écoulement stationnaire convergent, l’accélération n’est pas nulle puisque la vitesse augmente et est
due au caractère non uniforme du système.
Remarque : autre expression de l’accélération
−
−
−−→ v 2
D→
v
∂→
v
−→− →
=
+ grad
+ rot→
v ∧−
v
Dt
∂t
2
I
Réflexion d’onde en incidence oblique sur un conducteur parfait
On considère une surface plane séparant le vide d’un conducteur métallique parfait. Une onde plane électromagnétique incidente se propage dans le vide. Son champ électrique en M (x, y, z) à l’instant t est :
→
− −
−
→
−
→
Ei = E0 cos( ki .→
r − ωt)
Cette onde rencontre le métal sous l’angle d’incidence θ et se réfléchit. Le plan Oxz est choisi de façon à
→
−
contenir le vecteur d’onde incident ki . On prend l’origine O sur la surface du métal. L’onde incidente est
−
→
polarisée rectilignement et perpendiculairement au plan d’incidence (Ei ⊥ Oxz).
Onde réfléchie
Onde incidente
θ
Vide
θ
x
Metal
z
−
→ −
→
−
→ −
→
1. Déterminer les champs (Ei , Bi ) de l’onde incidente et (Er , Br ) de l’onde réfléchie.
→
− →
−
2. Déterminer les champs ( E , B ) de l’onde résultante dans le vide.
3. Quelle est la vitesse de phase vφ de l’onde résultante ?
→
−
→
−
4. Que deviennent E et B au voisinage immédiat de la surface du métal ?
→
−
5. Déterminer les densités surfaciques de charge σ et de courant js sur la surface métallique.
6. Quelle est la pression de radiation moyenne de l’onde sur le métal ? L’exprimer en fonction de l’intensité
incidente.
II
Effet Faraday dans un diélectrique
Un milieu diélectrique isolant est modélisé par un réseau d’ions positifs de charge +e, immobiles, en nombre
n par unité de volume. Autour de chaque ion tourne un électron qui est soumis à une force de rappel dirigée
vers le centre de l’ion. Cette force tient compte de toutes les interactions de l’électron avec toutes les autres
→
−
→
−
particules composant le diélectrique. Elle est donnée par −mω02 R où R est le vecteur joignant le centre de l’ion
à l’électron et ω0 une pulsation caractéristique du milieu. Chaque couple électron-ion forme un dipôle électrique.
→
−
On note m la masse de l’électron, V sa vitesse, e la charge élémentaire, µ0 la perméabilité du vide. Le but
−
→
→ sur la propagation d’une
de ce problème est d’étudier l’influence d’un champ magnétique statique Bs = Bs −
u
z
→
− →
− →
−
onde électromagnétique transverse plane. On suppose que les différentes grandeurs ( E , B , R , etc...) associées
→
− →
−
à l’onde sont de la forme : G = G0 exp[i( k .−
r − ωt)] où →
r représente le vecteur position à partir d’une origine
12
fixe O. Du point de vue microscopique, l’onde électromagnétique se propage dans le vide en présence de charges
et de courants.
A. Équation de propagation des ondes.
→
−
1. Ë partir des équations de Maxwell, établir l’équation de propagation de E sous sa forme la plus générale.
→
−
2. Montrer que pour une onde transverse plane div E = 0. Réécrire l’équation de propagation en tenant
→
−
compte de ce résultat et de la forme de E .
B. Détermination des caractéristiques du milieu.
On utilise dans les calculs la pulsation cyclotron ωc =
ne2
eBs
et la pulsation plasma ωp telle que ωp2 =
.
m
mε0
1. (a) Écrire le principe fondamental de la dynamique pour un électron en présence d’une onde électroma→
−
→
−
−
→
gnétique de champs E et B et du champ magnétique Bs lorsque l’électron est non relativiste.
−
→ →
−
2. Dans le cas où Bs = 0 , déterminer la susceptibilité et la permittivité diélectriques du milieu dans le cas
dynamique (ω 6= 0) puis dans le cas statique (ω = 0).
−
→
→
−
3. Dans le cas général où Bs est non nul, calculer les composantes cartésiennes de R en fonction de Ex , Ey , Ez ,
ω, ωc , ω0 , e et m.
→
−
→
−
∂j
→
−
4. En déduire la vitesse de l’électron, puis la densité de courant j puis enfin
en fonction de E , µ0 ,
∂t
¯ dont on exprimera les coefficients à l’aide des nombres α, β, γ suivants :
ω 2 /c2 et d’un tenseur σ̄
α=
ωp2
ω02 − ω 2
β=
ωp2 ωωc
(ω02 − ω 2 )2 − ω 2 ωc2
γ=
ωp2 (ω02 − ω 2 )
(ω02 − ω 2 )2 − ω 2 ωc2
→
−
5. En utilisant l’équation de propagation des ondes obtenue à la question A.2., déduire une relation entre E
¯.
et σ̄
C. Détermination des modes propres de propagation.
→
−
¯ avec la valeur propre α. Quelle est la direction de
1. 1er cas : on suppose que E est vecteur propre de σ̄
→
−
→
−
−
→
E ? Quelles sont les directions possibles pour le vecteur d’onde k ? Le champ Bs a-t-il une influence sur
l’onde ? Calculer la vitesse de phase dans ce cas.
→
−
¯ avec une valeur propre différente de α. Déterminer les valeurs propres
2. 2e cas : E est vecteur propre de σ̄
→
−
possibles. Déterminer la direction de k pour une onde transverse. Calculer les normes k1 et k2 des vecteurs
d’ondes des ondes associées aux deux valeurs propres (modes propres). Étudier la polarisation de chaque
mode propre.
D. Effet Faraday.
On émet dans le vide en z = −∞ une onde plane transverse polarisée rectilignement selon Ox. Elle traverse
une tranche du milieu étudié située entre les plans z = 0 et z = L, dans laquelle règne un champ magnétique
−
→
statique Bs parallèle p
à la direction de propagation Oz. Les régions z < 0 et z > L sont vides. On suppose que
ωc et ωp sont ω ≈ |ω02 − ω 2 |.
1. Vérifier que α, β, γ sont 1.
→
−
2. Dans le milieu, pour 0 < z < L, on essaie la solution E = E0 cos(kz − ωt)−
u→
x . Montrer que cette solution
est impossible si Bs 6= 0.
3. On cherche maintenant une solution qui est une combinaison linéaire des modes propres trouvés en C.2.
→
−
Décomposer l’onde incidente E i (z = 0, t) = E0 cos(ωt)−
u→
x en somme d’une onde à polarisation circulaire
droite et une onde à polarisation circulaire gauche. Dans le milieu on cherche une solution
→
−
→
−
→
−
E (z, t) = E 1 (z, t)+ E 2 (z, t) où l’indice 1 (respectivement 2) est relatif à une onde à polarisation circulaire
gauche (respectivement droite).
→
−
→
−
→
−
4. En déduire E 1,2 (z, t) puis E (z, t) dans le milieu. Calculer E (z = L, t) .
13
5. Dans le vide en z > L, on étudie la polarisation de l’onde transmise. De quelle polarisation s’agit-il ? On
→
−
note θ l’angle entre E et l’axe Ox. Calculer θ en fonction de L, k1 , k2 puis en fonction des données du
problème.
III
Reflexion totale et onde évanescente
Une ondes électromagnétique plane progressive arrive sur la surface de séparation plane (plan y = 0) entre
deux diélectriques parfaits c’est à dire transparents d’indices n1 et n2 < n1 .
y
n2 < n1
z
n1
mi
1. A partir de quel angle limite θ` de l’angle d’incidence θi se produit le phénomène de réflexion totale ?
2. La suite de l’exercice concerne le cas où θi > θ` (avec (n2 < n1 ).
3. (a) Justifier la continuité de la composante tangentielle du vecteur d’onde. En déduire l’expression de
ktz composante selon z de ~kt . Constater que cette composante est supérieure à la norme de ~kt et en
déduire que la composante selon y, kty est imaginaire pure. Expliciter sa valeur en fonction de ω, c,
n1 , n2 et θi .
~ =E
~ 0 ei(ωt−~k.~r) en fonction de y, z, θi , n1 , n2 et λ0 = 2πc/ω. Quel
(b) Expliciter le champ transmis E
t
t
signe faut-il choisir dans l’expression de kty = ±im ?
Quelles sont les caractéristiques de ce type d’onde suivant Oz ? Suivant Oy ?
(c) Pour quelle valeur δ de y, l’amplitude du champ transmis est-elle divisée par e ?
~ associé à cette onde en supposant E
~ polarisé rectilignement
(d) Déterminer le champ magnétique B
t
t
selon ~ux .
2
(e) En déduire la valeur moyenne du vecteur de Poynting transmis en fonction de n1 , θi , E~t0 et δ.
Commenter.
IV
Rayonnement d’une antenne
On considère une portion de conducteur rectiligne M N de longueur l, dirigée selon l’axe Oz. Ce conducteur
est parcouru par un courant I = I0 cos (ωt).
1. On suppose qu’à l’extérieur du tronçon M N , la densité de courant est nulle. En utilisant la fonction de
Heaviside (voir à la fin de l’énoncé) et la distribution de Dirac, donner l’expression de la densité de courant
→
−
j dans tout l’espace.
2. En utilisant la conservation de la charge, montrer que ce système peut être assimilé à un dipôle oscillant constitué de deux charges opposées plaçées en M et N et dont la valeur varie de façon sinusoı̈dale
(±q sin ωt).
→
− −
3. En déduire la densité de courant complexe j (→
r , t) dans tout l’espace, ainsi que la densité de charge
→
−
complexe ρ( r , t).
4. On cherche tout d’abord à calculer à l’instant t les potentiels en un point P de coordonnées sphériques (r,
θ, φ).
14
(a) En utilisant l’expression des potentiels retardés, exprimer le potentiel scalaire V (en notation complexe) au point P en fonction des distances r1 = M P et r2 = N P .
(b) On note λ la longueur d’onde du champ électromagnétique rayonné par le dipôle. On suppose r λ l (approximations dipolaire et champ lointain). Montrer que le potentiel scalaire complexe peut
s’écrire en ne gardant que le terme principal du DL en l/λ et en l/r :
V =−
1 iω
p cos (θ)
4π0 cr
en fonction du moment dipolaire complexe retardé p = i q l e−iω(t − r/c) .
→
−
(c) Montrer que la seule composante non nulle du potentiel-vecteur A s’écrit :
Az = −
µ0 iω
p
4π r
→
−
→
−
5. Calculer les composantes non nulles des champs E et B au point P en ne gardant que les termes principaux
→
−
→
−
→
− →
−
des DL en λ/r. Montrer que Er Eθ . Calculer k E k/k B k. Faire un schéma montrant O, P , E , B et le
→
−
vecteur d’onde k .
6. On se propose maintenant de calculer la puissance rayonnée à grande distance par cette antenne dipolaire
en fonction de l’amplitude I0 du courant circulant dans le conducteur M N . Montrer que la puissance
totale peut s’exprimer par :
1
Rr I02
P =
2
où Rr est la résistance de rayonnement de l’antenne dont on donnera l’expression en fonction de l et λ.
La fonction de Heaviside est définie par :

 Θ(x)
=
1 si x > 0

=
0 sinon
d
Θ(x) = δ(x).
On remarque que
dx
V
Interaction onde électromagnétique-électron
Première partie : Cas de l’atome d’hydrogène
Dans un modèle classique, chaque électron (de masse m et de charge −e) d’une molécule d’hydrogène soumis
à l’attraction électrostatique du noyau, est rappelé vers sa position d’équilibre par une force de rappel f~r =
− m ω02 ~r lorsqu’il est écarté de ~r de sa position d’équilibre.
L’électron est soumis à l’action d’une onde électromagnétique plane de pulsation ω se propageant suivant Oz
dont l’expression complexe du champ électrique E~ polarisé suivant Ox est :
E~ = E0 e
z
iω(t − )
c e~x
On notera x(t) = A ei(ωt+φ) la projection sur l’axe Ox de la position de l’électron, où A et φ sont des constantes
du problème. On supposera E0 > 0. On fixe l’origine du repère (e~x , e~y , e~z ) ou (e~ρ , e~θ , e~φ ) sur la position de
l’électron au repos.
~ sa vitesse. Pourquoi
1. Écrire le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron en appelant V
~ de l’onde devant celui du champ E~ ?
peut-on négliger l’effet du champ B
~ /dt par ∂ V
~ /∂t ?
2. À quelle condition peut-on remplacer dV
3. En déduire l’équation différentielle du mouvement d’un électron selon Ox.
15
4. En utilisant les notations complexes pour le champ électrique E~ et l’abscisse de l’électron x(t), résoudre
cette équation différentielle pour montrer qu’en notation réelle on peut écrire :
x(t) =
e E0 cos(ωt + φ)
m |ω02 − ω 2 |
En déduire l’expression de l’amplitude X0 du mouvement de l’électron. Quelles sont les valeurs possibles
pour φ ?
5. L’électron ainsi mis en mouvement constitue avec le proton un dipôle oscillant. On rappelle que ce dernier
~ et θ = (e~x , ρ
produit au point M (ρ, θ, φ), éloigné de la molécule et repéré par ρ
~ = OM
~), les champs
~
~
électriques E et magnétiques B tels que :
2
~ = Eθ e~θ = − k p0 sin(θ) cos (ωt − kρ) e~θ
E
4π0
ρ
et
~ = Bφ e~φ = Eθ e~φ
B
c
où k = ω/c et p0 est l’amplitude du moment dipolaire p~ produit par le mouvement de l’électron.
(a) Calculer l’amplitude p0 en fonction de X0 .
(b) Calculer l’accélération γ de l’électron et son amplitude γ0 . Montrer que les amplitudes des champs
~ et B
~ en M sont proportionnelles à γ0 .
E
(c) Exprimer la puissance moyenne < P > diffusée par le dipôle dans tout l’espace en fonction de ω et
X0 .
6. Exprimer la puissance < P > en fonction de e, c, E0 , µ0 , m et éventuellement ω et ω0 , dans les deux cas
limites suivants :
(a) l’électron est pratiquement libre (c’est à dire qu’il est très faiblement lié au proton).
(b) l’électron est très fortement lié au proton.
Deuxième partie : Généralisations
1. On généralise désormais ce qu’on a obtenu pour l’atome d’hydrogène à toutes les molécules de l’atmosphère
terrestre. Les électrons de ces molécules sont très fortement liés à leur noyau. Sachant que le spectre visible
s’étend de 0,4 µm (bleu) à 0,8 µm (rouge), déduire de la question précédente :
– une explication à la couleur bleue du ciel dans la journée.
– une explication à la couleur rouge du ciel le soir.
Quel est l’émetteur des ondes électromagnétiques excitatrices des molécules atmosphériques ?
2. On considère désormais l’onde excitatrice incidente dans le cas de l’électron pratiquement libre.
~ || > du module du vecteur de Poynting N
~ de l’onde incidente en
(a) Quelle est la valeur moyenne < ||N
fonction de l’amplitude E0 du champ électrique.
(b) En utilisant la question 6), exprimer en fonction de µ0 , e et m la section efficace σ de diffusion de
l’électron libre , définie par :
<P>
σ =
~ || >
< ||N
Quelle est la dimension de σ ? Quelle est sa signification physique ?
Application numérique :
On donne µ0 = 4π × 10−7 SI, e = 1,6 × 10−19 C et m = 9,1 × 10−31 kg. Donner un ordre de grandeur
de σ.
VI
Étude d’un mode ”siffleur” ou ”hélicon” dans un plasma
On appelle plasma un ensemble d’ions immobiles de charge e (e>0), de densité numérique n (nombre d’ions
par unité de volume), et d’électrons mobiles de charge −e et de masse m, ensemble situé dans le vide. En l’absence
de champ électromagnétique, la densité électronique est égale à n, de sorte que le plasma est, localement,
16
électriquement neutre. Les interactions d’un électron avec les autres électrons et avec les ions sont décrites par
une force de frottement visqueux de la forme :
→
−
−
f v = −m→
v /τ
(1)
−
où →
v est la vitesse de l’électron et τ une constante caractéristique du plasma. On notera ωp = e n/m0 la
pulsation plasma.
→
−
1. Une onde électromagnétique plane, transverse, de pulsation ω, de vecteur d’onde k , se propage dans le
→
−
→
−
→
−
plasma dans la direction de Oz. Soient E et B ses champs électrique et magnétique. E s’écrit en notation
→
−
→
−
complexe E = E 0 exp[i(kz − ωt)].
p
(a) Quelle est la dimension de τ ?
(b) Montrer qu’en tout point, la densité volumique totale de charge dans le plasma est nulle.
(c) Donner l’équation du mouvement d’un électron en présence de l’onde. A quelle condition peut-on
négliger la force d’origine magnétique devant la force d’origine électrique ? On se place dans la suite
du 1. dans le cadre de cette approximation.
−
(d) On cherche la solution de l’équation du mouvement en régime permanent sous la forme : →
v =
→
−
v exp[i(kz − ωt)]. À quelle condition peut-on écrire que :
0
−
−
d→
v
∂→
v
=
dt
∂t
(2)
→
−
−
Cette condition est-elle remplie ? En déduire l’expression de →
v en fonction de E .
→
−
→
−
(e) En déduire l’expression de la densité de courant j (ω) en fonction de E et celle de la conductivité
σ(ω). Donner l’expression de la conductivité σ0 à fréquence nulle.
→
−
(f) Établir l’équation de propagation pour le champ E à partir des équations de Maxwell (on tiendra
compte du courant de conduction et du courant de déplacement). En déduire l’équation de dispersion
k(ω).
(g) Que se passe-t-il si le frottement devient négligeable ? Dans cette approximation, à quoi correspondent
les deux régimes ω < ωp et ω > ωp ?
→
−
2. Le plasma est désormais soumis à un champ magnétique extérieur B s statique, uniforme, et parallèle à
l’axe Oz. On note ωc = eBs /m la pulsation cyclotron des électrons. On étudie la propagation dans le
→
−
milieu d’ondes électromagnétiques planes transverses de pulsation ω, de vecteur d’onde k parallèle et de
→
−
même sens que B s .
−
(a) Montrer que la vitesse →
v des électrons dans le milieu est solution de l’équation (3) :
m
h→
−
− − →
− →
− i m −
d→
v
= −e E + →
v ∧ B + Bs − →
v
dt
τ
(3)
→
−
−
(b) On continue, dans toute la suite, de négliger la force magnétique −e→
v ∧ B devant la force électrique
→
−
→
−
−e E exercées par l’onde sur l’électron. Quelles sont les composantes non nulles de E ? En déduire
qu’en régime permanent le mouvement de l’électron a lieu exclusivement dans le plan Oxy.
(c) Projeter l’équation (3) sur Ox et Oy. On pose v± = vx ± ivy et de même E± = Ex ± iEy . Montrer
qu’en régime permanent, on peut écrire :
v± =
−ieE±
m ω ± ωc + τi
(4)
(d) Donner l’expression des densités de courant j± (ω) puis des conductivités σ± (ω). Quelle différence
qualitative peut-on observer dans les expressions de σ+ (ω) et de σ− (ω) ? On rappelle qu’une onde
dont les composantes (réelles) s’écrivent : Ex = ReE0 exp[i(kz − ωt)] et Ey = ReiE0 exp[i(kz − ωt)],
avec E0 réel, est une onde polarisée circulaire gauche. En déduire que la réponse du milieu à une
→
−
onde circulaire se propageant selon B s est différente selon que sa polarisation est gauche ou droite.
17
(e) Donner, sans la démontrer, l’équation de propagation pour le champ E± . Montrer que l’équation de
dispersion peut se mettre sous la forme :
"
#
2
ω 2
ω
p
2
1−
(5)
k±
=
c
ω ω ± ωc + τi
Que se passe-t-il si ω est très grand devant ωc ? Dans quelle gamme de fréquences l’influence du
→
−
champ B s est-elle sensible ?
(f) On suppose désormais que ω ωc et que ωc τ 1.
i. Que devient l’équation de dispersion ?
ii. Quelle condition doit remplir ω pour que 2 ondes circulaires puissent se propager ? On les note
E+ et E− : montrer que E+ n’apparaı̂t qu’au-delà d’une certaine valeur Bm (ω) de Bs qu’on
déterminera.
iii. Calculer la vitesse de phase vφ et la longueur d’onde λ de l’onde E− (mode siffleur).
iv. Applications numériques :
- Donner l’ordre de grandeur de la vitesse de phase d’un siffleur se propageant dans le sodium
pour lequel ωp2 /ωωc ∼
= 1018 . En déduire la vitesse de groupe vg . Les résultats numériques vous
paraissent-ils justifier les approximations faites plus haut ?
- Donner l’ordre de grandeur de la vitesse de phase d’un siffleur ionosphérique pour lequel
ωp2 /ωωc ∼
= 104 . Quel est l’ordre de grandeur du temps mis par le siffleur pour aller d’un pôle
terrestre à un autre (le périmètre terrestre vaut 40000 km) ?
VII
Durée de vie semi-classique d’un atome excité
1. On modélise un atome excité par un proton fixe et un électron en mouvement rectiligne sinusoı̈dal z(t) =
a cos(ω0 t). Exprimer son énergie mécanique E en fonction des données.
2. Cet atome rayonne une puissance P = µ0 p̈2 /6πc. Déterminer l’évolution de a(t) supposée a priori lente
par rapport à une période et définir un temps caractéristique τ . En déduire la longueur de cohérence l∗
du paquet d’ondes émis par l’atome. Application numérique pour λ0 = 600 nm et commentaires.
18
TD n◦ 9
Électromagnétisme et relativité
I
Force entre des électrons qui se déplacent côte à côte
Dans le référentiel R, deux électrons M1 et M2 se déplacent côte à côte à vitesse constante v sur deux
droites parallèles distantes de d. Soit E leur énergie cinétique commune et R0 le référentiel dans lequel ils sont
immobiles. Faire les applications numériques avec d = 1 mm, E = 1 eV et E = 1 MeV.
→
−
→
−
1. Calculer dans R0 les champs E 0 et B 0 créés par M1 sur M2 . En déduire la force qui s’exerce sur M2 .
Quelle est la force qui s’exerce sur M1 ?
2. Répondre aux mêmes questions dans R.
II
Fil chargé
Dans le référentiel R du laboratoire, un fil cylindrique infini d’axe Oz, de section S se déplace à la vitesse
→
−
−
u = u→
e z . Soit R0 le référentiel propre du fil. Dans R0 , le fil est chargé uniformément en volume de sorte que
sa charge linéique est λ0 . Les charges sont immobiles dans R0 . On pose β = u/c et γ = (1 − β 2 )−1/2
1. Calculs dans R0 .
→
−
→
−
Calculer dans R0 , la charge volumique ρ0 , la densité de courant j 0 , les champs électrique E 0 et magnétique
→
−0
B en un point M situé à la distance D0 de O0 z 0 .
2. Calculs dans R.
a) On considère une portion du fil de longueur L’ et de section S 0 dans R0 . Calculer sa longueur L et sa
→
−
section S dans R. En déduire la charge volumique ρ et le vecteur densité de courant j dans R. Vérifier
→
−
→
−
que le 4-vecteur J = ( j , ρc) est un quadrivecteur de Lorentz.
→
−
→
−
→
−
b) Calculer à partir de ρ et j les champs électriques E (M ) et magnétique B (M ) dans R.
3. Transformation des champs.
a) Vérifier dans ce cas particulier les formules de transformation relativiste du champ électromagnétique.
→
− →
−
b) Vérifier que E . B est un invariant de Lorentz.
c) Vérifier que E 2 − B 2 c2 est un invariant de Lorentz.
III
Particule chargée dans un champ magnétique uniforme
−
Une particule de charge q, de masse m, est lancée avec la vitesse initiale →
v 0 dans une région où règne un
→
−
→
−
champ magnétique constant, uniforme B = B e z . Le lagrangien relativiste de la particule est :
p
→
−
−
v . A (x, y, z)
L = −mc2 1 − v 2 /c2 + q →
→
−
→
−
où A est un potentiel vecteur de B , v est la norme de la vitesse de la particule. On pose γ = (1 − v 2 /c2 )−1/2 .
γ dépend a priori du temps.
−
1. Calculer l’impulsion généralisée →
p de la particule et son énergie E. E est-elle constante ? En déduire que
le mouvement est uniforme et calculer γ.
2. Montrer que les équations du mouvement s’écrivent :
→
−
d
−
−
(γm→
v ) = q→
v ×B
dt
En comparant à la mécanique non relativiste, décrire la trajectoire de la particule.
→
−
−
On suppose dans la suite que →
v 0 est perpendiculaire à B .
19
3. La particule rayonne une puissance donnée par la formule d’Abraham :
"
2 #
1
q2
−
→
−
−
γ6 →
a2−
v ×→
a
Pr =
6πε0 c3
c
−
où →
a est l’accélération. Déterminer l’énergie rayonnée par tour. Étudier le cas d’une particule ultrarelativiste.
4. Établir l’équation différentielle vérifiée par γ(t) en faisant l’approximation qu’à chaque instant la trajectoire
est un cercle. En déduire la variation de l’énergie E de la particule en fonction du temps. Quelle est la
limite de E quand t tend vers l’infini ? Décrire qualitativement le mouvement de la particule en tenant
compte du rayonnement d’accélération.
IV
Particule chargée dans des champs électrique et magnétique perpendiculaires
Dans le référentiel R du laboratoire, une particule de charge q, de masse m, est lâchée sans vitesse initiale au
→
−
−
point O dans une région où règnent un champ électrique constant, uniforme E = E →
e y et un champ magnétique
→
−
→
−
constant, uniforme B = B e z avec Bc > E.
−
Montrer qu’il existe un référentiel R0 en translation uniforme parallèle à →
e x où le champ électrique est
→
−
0
nul. Calculer la vitesse u de R par rapport à R. On pose βe = u/c et γe = (1 − βe2 )−1/2 . Calculer le champ
→
−
magnétique B 0 dans R0 et en déduire la trajectoire et le mouvement de la particule dans R0 .
V
Effet Doppler-Fizeau longitudinal
Un vaisseau spatial s’éloigne de la Terre avec une vitesse constante u. Il émet des impulsions lumineuses très
brèves, périodiques de période T 0 dans son référentiel propre R0 .
1. Calculer la période T des impulsions observées sur la Terre en fonction de T 0 et u. Conclusion.
2. Un physicien est arrêté pour avoir brûlé un feu rouge. Au tribunal, il prétend qu’il a vu le feu vert. Le juge,
diplômé en physique requalifie le délit en excès de vitesse et condamne l’accusé à une amende de 1 euro par
km/h au-dessus de la vitesse autorisée de 50 km/h. Quel est le montant de l’amende ? (λvert = 5,3×10−7 m,
λrouge = 6,5 × 10−7 m).
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