EFFET HALL DANS UN SEMI-CONDUCTEUR EXTRINSEQUE E

EFFET HALL DANS UN SEMI-CONDUCTEUR EXTRINSEQUE
Cette manipulation a pour but la détermination de la nature des porteurs de charge majoritaires d'un semiconducteur extrinsèque et la mesure de leur concentration et de leur mobilité à la température ordinaire.
1 - Rappel de l'effet Hall simple
Considérons un solide non-isolant parallélépipédique placé dans une induction magnétique uniforme
r
r
B selon l'axe Oz, parcouru par un courant I perpendiculaire à B (axe Ox) selon le schéma ci-contre.
z
y
On constate qu'il existe une d.d.p. VH, dite tension
de Hall, suivant Oy. L'explication du phénomène est liée
au régime transitoire : au cours de celui-ci les trajectoires
des porteurs (charge
r q) sont infléchies par la force de
r
B
----------------
EH
lz
j
++++++++++++
O
ly
x
Laplace q v ∧ B et il apparaît une accumulation de
charges
opposées
sur
chacune
des
faces
perpendiculaires à Oy (q>0 dans la figure ci-dessus).
Cette polarisation crée un champ électrique qui s'oppose
à l'action de l'induction. Le régime stationnaire est obtenu
lorsque les lignes de courant sont parallèles à Ox, le
champ ayant alors atteint la valeur telle que
r
r r
E H + v ∧ B = 0 ==> E H = v B
EH, v, B étant les mesures algébriques des vecteurs correspondants sur Oy, Ox, Oz.
j
1
v = nq = l l nq
yz
et
EH =
VH
ly
entraînent
IB
1
VH = RH l
où RH = n q
z
La constante de Hall RH fournit la densité de charges mobiles n q, donc le signe de ces charges dans la
mesure où VH a été correctement orienté par rapport à Oy.
r
r
r
σ
La loi d'Ohm j = σ Ε x = v n q s'applique à ce régime permanent et µ = n q est appelé la mobilité.
2 - Limite de cette théorie
Cette interprétation simplifiée, classique (c'est à dire non quantique), s'applique bien à certains métaux
(Cu, Ag,...) où le signe négatif de RH confirme une conduction par électrons. Pour d'autres métaux (Zn,
Be,...) où RH est positive, il a fallu attendre la théorie des bandes qui, en introduisant la conduction par trous,
est venue lever cette apparente contradiction.
Dans les semi-conducteurs on peut considérer qu'il n'existe qu'un seul type de porteurs si le dopage est
assez important c'est à dire si n > 1016 atomes/cm3 et la température assez élevée : T > 300K. L'effet Hall
est alors bien décrit par la théorie ci-dessus. Dans les semi-conducteurs faiblement dopés à température
ambiante ou fortement dopés à basse température, il y a à la fois conduction par électrons et par trous. La
théorie ci-dessus n'est plus applicable : on constate que leur résistance en présence du champ magnétigue est
supérieure à la valeur dite "ohmique" en champ nul. Une résistance est dite ohmique si elle ne dépend ni du
sens du courant, ni de la présence d'un champ magnétique.
Dans ce cas, il faut tenir compte des 2 types de porteurs qui ont des mouvements différents (voir le
paragraphe 4).
Semi-conducteurs – effet Hall -1
Plate-forme Matière Condensée et Cristallographie ( MCC) --- C.E.S.I.R.E. Université J.Fourier Grenoble
3 - Partie pratique
3-1) Tracer la courbe d'étalonnage de l'électroaimant : champ B dans l'entrefer en fonction de IB,
intensité dans les bobines. L'appareil de mesure du champ est étalonné en Gauss : 1 Gauss vaut 10-4 Tesla.
Observer le sens des enroulements et la polarité du courant pour déterminer la direction de
r
B.
3-2) Afin de déterminer la résistivité de l'échantillon utilisé, tracer la caractéristique I(V) de la sonde
pour un courant IS parcourant la sonde variant de 0,5 à 3 mA. En déduire la résistance de la sonde et
l'incertitude sur cette résistance.,
Calculer la résistivité du matériau (silicium) constituant la sonde et son incertitude.
On vérifiera que les contacts sont ohmiques et qu'il n'y a pas de magnétorésistance.
3-3) Réaliser le montage ci-dessous
A
C
Le curseur A du potentiomètre est réglé
pour obtenir VH = 0 dans un champ nul, et
ceci pour chaque valeur de IS.
D
R
B
Tracer VH en fonction de IS pour IB = 2 ampères.
Tracer VH en fonction de B pour IS = 3 mA.
Déduire de ces courbes la constante de Hall RH et son incertitude.
Quel est le signe des porteurs majoritaires ? n ou p ?
3-4) Calculer le nombre de porteurs par unité de volume.
Effectuer, si nécessaire, les changements d'unités permettant de se reporter aux courbes du classeur
donnant la résistivité ρ en fonction du nombre de porteurs. Conclusion ?
3-5) En déduire la mobilité µ des porteurs majoritaires.
4 - Complément sur l'effet Hall
(conduction simultanée électrons/trous)
La théorie classique simplifiée de l'effet Hall considère qu'il n'existe qu'un seul type de porteurs, c'est à
dire que les effets des porteurs minoritaires sur la conduction peuvent être négligés. Lorsque cette hypothèse
simplificatrice n'est pas justifiée, il faut une théorie plus élaborée.
4-1) Cas de deux types de porteurs
r
Soient qi= ± e, mi, v i , ni la charge, la masse effective, la vitesse moyenne et le nombre de porteurs i par
unité de volume. Ces particules sont accélérées par le champ électrique extérieur, mais entrent en collision
avec les autres composants du solide. Nous admettrons qu'entre deux chocs elles acquièrent leur vitesse
moyenne en un temps τi supposé être le même pour toutes ( τi est appelé temps de relaxation ).
On a alors:
qi {
r
r r
E + v i ∧ B} ≈
r
vi
mi
τi
d'où la densité du courant de porteurs du type i:
Semi-conducteurs – effet Hall -2
Plate-forme Matière Condensée et Cristallographie ( MCC) --- C.E.S.I.R.E. Université J.Fourier Grenoble
r
r
ji = ni qi v i
r
r
τq r τq r
j i = ni q i i i E + i i j i ∧ B
mi
mi
La mobilité des porteurs i est :
En choisissant les axes de sorte que
(0,0,B), on obtient :
r
E ait
µi =
τi |qi |
mi
pour composantes (Ex, Ey, 0) et
{
}
{
}
n i q im i
E x ± mi B Ey
1 + m 2 B2
i
n
q
mi
i
i
jiy = m
E y ± m iB E x
1 + m 2 B2
jix = m
r
B ait
pour composantes
i
Les signes du dessus sont relatifs aux électrons et ceux du dessous aux trous.
La densité de courant totale est :
r v v
j = je + jt
En particulier :
 ne e µe2

 ne e µe
nt e µt 
nt e µt2 

jy = 
+
Ey + 
+
 B Ex

2 2
2 2
 1 + µe2 B2 1 + µt2 B2 
 1 + µe B 1 + µt B 
Le régime permanent est établi (équilibre électrique) lorsque jy = 0.
ne e µe
nt e µt
Posons
Ke =
et
Kt =
1 + µe2 B2
1 + µt2 B2
Le champ de Hall est la valeur de Ey à l'équilibre. Il vient:
µt Kt - µe Ke
EH =
B Ex
Kt + Ke
EH
La constante de Hall est définie par le rapport
RH = j B
x
jx
De même la conductivité est
σ= E
x
On obtient
RH =
σ=
µt Kt - µe Ke
(Kt + Ke)2 + ( µt Kt - µe Ke )2 B2
(Kt + Ke)2 + ( µt Kt - µe Ke )2 B2
Kt + Ke
Dans le cas d'un seul type de porteur (µe = 0 ou µt = 0), on retrouve les expressions obtenues dans la
théorie simplifiée. Par contre, il apparaît que la constante de Hall est maintenant reliée aux densités de
porteurs par une fonction dépendant de B. Elle peut, suivant les valeurs des mobilités et des densités, avoir un
signe quelconque. Qualitativement, le champ de Hall ne peut plus compenser la force de Laplace à la fois sur
les deux types de porteurs. Les électrons et les trous sont déviés vers une même face du parallélépipède mais
les densités de courant associées à ces mouvements transverses sont opposées.
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y
Ex
j
+
+
-
x
De même, la conductivité varie avec l'induction magnétique : c'est le phénomène dit de
magnétorésistance.
4-2) Approximation des champs faibles - trajectoires rectilignes
Les expressions ci-dessus sont compliquées en particulier à cause des termes
e τi
1 + µi2 B2 où
µi B = m = ωi τi
i
r
ωi est la vitesse angulaire qu'aurait le porteur i dans le seul champ B (trajectoire circulaire). La quantité
1 / τi caractérise la fréquence des collisions subies dans le solide. Si cette fréquence est grande par rapport à
ωi , la courbure de la trajectoire entre deux chocs successifs peut être négligée. Le produit µi B = ωi τi est
alors négligeable devant 1. Un développement donne alors pour σ :
σ = ne µe e + nt µt e - O(B2)
Le terme du 2ème ordre O(B2) est petit mais positif et a donc pour effet de diminuer la conductivité. Ce
résultat est compatible avec le fait que les trajectoires entre deux chocs ne sont plus linéaires mais incurvées,
donc allongées.
En ce qui concerne RH , on arrive à:
RH =
nt µt2 - ne µe2
e (nt µt + ne µe)2
Semi-conducteurs – effet Hall -4
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