D4, Cordes Vibrantes

EPFL-TRAVAUX PRATIQUES DE PHYSIQUE
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
FÉDÉRALE DE LAUSANNE
D4. CORDES VIBRANTES
I. BUT DE LA MANIPULATION
Étudier les ondes stationnaires transversales sur une corde vibrante, en relation avec les sons
musicaux. Déterminer la vitesse de propagation dʼune onde en fonction de la tension de la corde.
II. BASES THÉORIQUES
II.1 Ondes
Dans un grand nombre de phénomènes physiques, on observe que si lʼon perturbe en un point de
lʼespace une variable (position, température, champ électrique, pression, etc.), cette perturbation se
propage de façon telle quʼune perturbation semblable apparaît en dʼautres points, mais avec un
certain retard. Ce retard croît avec la distance à la perturbation originale. Ce phénomène de
propagation dʼune perturbation constitue une onde.
Soit
! = ! (x,t)
la variable considérée et
c
la vitesse de propagation dans la direction
Ox
de la
perturbation supposée sans atténuation. Représentons cette dernière aux instants
t=0
et
t=t1
(fig. 1). Si la perturbation ne se déforme pas au cours du temps, on doit avoir
! (x,t)= ! (x0,0)
Comme
x=x0+ct
, il vient
! (x,t)= ! (x"ct, 0)
(1)
Fig. 1: Propagation d'une perturbation sans atténuation. Onde progressive.
La perturbation initiale peut se répéter, par exemple de façon périodique. Si la perturbation à lʼendroit
x0
est sinusoïdale de fréquence
!
, lʼonde générée par la perturbation est une fonction périodique

EPFL-TRAVAUX PRATIQUES DE PHYSIQUE D4-2
en
x
, de longueur dʼonde
!
, et sinusoïdale dans les cas les plus simples. En tenant compte de la
forme de (1), on écrit
! (x,t)= !
0sin 2
" (x
#
$ % t)
&
'
()
*
+=
!
0sin 2
" x
#
$2 "% t
,
-
./
0
1
(2)
et on vérifie aisément que
!" =c
.
!
est la distance qui sépare deux points
x1
et
x2
pour lesquels
la grandeur
!
présente le même état. On dit alors que les vibrations de
!
en
x1
et
x2
sont en
phase (fig. 2).
Il est facile de vérifier quʼune telle perturbation satisfait l'équation différentielle suivante, dite
"équation d'onde"
!2 " (x,t)
!t2=c2!2
" (x,t)
!x2
(3)
Pour des raisons de commodité, la relation (2) peut encore se mettre sous la forme:
! (x,t)= !
0sin kx "
# t
( )
(4)
ce qui fait apparaître le vecteur dʼonde
k
et la pulsation
!
k=2
!
"
=2
!#
c
=
$
c
et
! =2 "# =kc
(5)
II.2 Représentation dʼune onde
On peut représenter lʼonde définie plus haut des deux manières suivantes:
a) En considérant un état instantané de lʼespace, cʼest-à-dire en regardant ce qui se passe en
fonction de
x
au temps
ti
(fig. 2), qui fait apparaître la longueur dʼonde
!
,
b) En se plaçant en un point donné
xi
pour regarder ce qui se passe en fonction du temps
t
(fig.
3), ce qui fait apparaître la période
! =1 / "
Si le déplacement particulaire
!
est parallèle à la vitesse de propagation, lʼonde est dite
longitudinale, et si le déplacement particulaire
!
est perpendiculaire à cette vitesse, lʼonde est dite
transversale.
Fig. 2: Représentation instantanée dʼune onde.

EPFL-TRAVAUX PRATIQUES DE PHYSIQUE D4-3
Fig. 3: Représentation locale dʼune onde.
II.3. Ondes stationnaires
Considérons la superposition de deux ondes sinusoïdales de même amplitude
!
0
et de même
longueur dʼonde
!
et fréquence
!
. Lʼune,
!
1(x,t)=
!
0sin kx "
# t
( )
, est dite progressive et se
propage dans le sens des
x
positifs, lʼautre,
!
2(x,t)=
!
0sin kx +
" t
( )
, est dite rétrograde et se
propage dans le sens des
x
négatifs. Lʼonde
!
résultante sʼécrit alors
! = !
1+
!
2=2
!
0sin kx
( )
cos " t
( )
(6)
Le graphe de
!
en fonction de
x
à des temps différents montre toujours la même vibration
sinusoïdale
sin kx
( )
, mais dont lʼamplitude
!
0
est modulée par le terme
2 cos ! t
( )
.
On réalise facilement des ondes stationnaires par réflexion d'ondes. Si les conditions aux limites
sont bien choisies, les ondes incidente et réfléchie se superposent pour former des ondes
stationnaires. Inversement, lʼonde stationnaire peut se décomposer en une superposition dʼondes
sinusoïdales de même longueur dʼonde, mais avec des directions de propagation opposées (fig. 4).
Fig. 4: Onde stationnaire avec noeuds (N) et ventres (V) de vibrations.
II.4 Ondes transversales sur une corde
Considérons une corde de masse spécifique
!
et de section
S
tendue entre deux points, suivant
lʼaxe
Ox
, par une force totale
F
0
. On peut définir la tension de la corde
!
0=F 0/S
comme la
force par unité de section. Dans la position dʼéquilibre, un élément de longueur
ds
est soumis à deux
forces égales en valeur absolue à
F
0
et opposées en direction (fig. 5). Calculons la force transversale
dF
t
sur le segment
dx
:

EPFL-TRAVAUX PRATIQUES DE PHYSIQUE D4-4
dF
t=F 0sin
! +d !
( )
"F
0sin
!
( )
(7)
Fig. 5: Élément de corde tendue.
En supposant que le rayon de courbure de la corde est petit par rapport à sa longueur, l'angle
!
est
petit et nous pouvons remplacer le sinus par la tangente. D'autre part
tg ! =" # /"x
, donc
dF
t=F 0tg
! +d !
( )
"tg !
{ }
=F
0
#$ x+dx
( )
# x"
#$ x
( )
# x
%
&
'
(
)
*=F
0
#
2
$
# x2dx
(8)
La masse de lʼélément de fil étant
! Sdx
et son accélération
!2 " /!t2
, l'équation de Newton conduit
à
! Sdx "2
#
"t2=F
0
"
2
#
" x2dx $"2
#
"t2=F
0
! S
%
&
'(
)
*
"
2
#
" x2
(9)
Par comparaison avec lʼéquation d'onde (3), on trouve donc qu'une vibration communiquée à la corde
se propage le long de la corde avec la vitesse, ou célérité dʼonde
c
c=F
0
! S=F
0
µ
=
"
0
!
(10)
où
µ = ! S
est la masse linéïque de la corde, cʼest-à-dire sa masse par unité de longueur.
II.5 Corde vibrante en régime harmonique
Soit une corde fixée en
x=0
et
x=L
. Les conditions aux limites imposent
! (0,t)= ! (L,t)=0"sin kL
( )
=0
Ainsi pour une longueur de corde fixée, seules les ondes stationnaires ayant un noeud à chaque
extrémité peuvent exister (fig. 6). La relation entre la longueur de corde
L
et la longueur d'onde
!
n
des ondes stationnaires possibles s'obtient donc facilement

EPFL-TRAVAUX PRATIQUES DE PHYSIQUE D4-5
sin kL
( )
=sin 2
! L
"
n
#
$
%&
'
(=0)2L
"
n
=n) "
n=2L/n
(11)
où
n
est un entier (
n=1, 2, 3, 4,....
). Lʼoscillation avec
n=1
correspond à la vibration dite
fondamentale ou principale, alors que les oscillations avec
n=2, 3, 4,....
correspondent aux
vibrations harmoniques. Les fréquences de vibration
!
n
de ces modes propres sont alors données
par
!
n=
"
n
2 #
=c
$
n
=cn
2L=n 2L
F
0
µ
(12)
En général, lʼonde stationnaire sur une corde frappée ou pincée, correspond à une superposition des
principale et harmoniques. Cette vibration sʼamortit au cours du temps, car la corde dissipe de
lʼénergie par déformation anélastique (frottement intérieur du matériau de la corde), par frottement
dans lʼair et par émission dʼune onde sonore. On constate que les harmoniques sʼamortissent
beaucoup plus vite que la principale, de sorte quʼil est facile, après un court instant, de nʼobserver que
la principale de longueur dʼonde
! =2L
.
Fig. 6: Ondes stationnaires sur une corde fixée à ses deux extrémités.
II.6 Corde vibrante en régime inharmonique
Dans le modèle développé au §. II.4, on a négligé les effets du module élastique de la corde en
supposant une corde de raideur nulle. En réalité, la corde présente une raideur non nulle, et le fait de
vibrer va entraîner un allongement de celle-ci qui sera contrôlé par son module élastique (module de
Young
E
). Il est possible dʼintroduire approximativement cet effet du module dans le modèle
précédent en calculant la déformation
!
dʼallongement du segment
ds
(fig.5)
! ="(dx)
dx
=ds #dx
dx
=ds #ds cos
$
ds cos $
=1#cos
$
cos $
=1+tg2 $ #1
(13)
Comme
tg !
est très petit vis-à-vis de lʼunité, on peut simplifier cette expression en écrivant