D4, Cordes Vibrantes

EPFL-TRAVAUX PRATIQUES DE PHYSIQUE
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
FÉDÉRALE DE LAUSANNE
D4. CORDES VIBRANTES
I.
BUT DE LA MANIPULATION
Étudier les ondes stationnaires transversales sur une corde vibrante, en relation avec les sons
musicaux. Déterminer la vitesse de propagation dʼune onde en fonction de la tension de la corde.
II.
BASES THÉORIQUES
II.1 Ondes
Dans un grand nombre de phénomènes physiques, on observe que si lʼon perturbe en un point de
lʼespace une variable (position, température, champ électrique, pression, etc.), cette perturbation se
propage de façon telle quʼune perturbation semblable apparaît en dʼautres points, mais avec un
certain retard. Ce retard croît avec la distance à la perturbation originale. Ce phénomène de
propagation dʼune perturbation constitue une onde.
! = ! (x,t) la variable considérée et c la vitesse de propagation dans la direction Ox de la
perturbation supposée sans atténuation. Représentons cette dernière aux instants t = 0 et t = t1
Soit
(fig. 1). Si la perturbation ne se déforme pas au cours du temps, on doit avoir
! (x,t) = ! (x0 , 0)
Comme
x = x0 + ct , il vient
! (x,t) = ! (x " ct, 0)
(1)
Fig. 1: Propagation d'une perturbation sans atténuation. Onde progressive.
La perturbation initiale peut se répéter, par exemple de façon périodique. Si la perturbation à lʼendroit
x0 est sinusoïdale de fréquence ! , lʼonde générée par la perturbation est une fonction périodique
D4-2
EPFL-TRAVAUX PRATIQUES DE PHYSIQUE
en
x , de longueur dʼonde ! , et sinusoïdale dans les cas les plus simples. En tenant compte de la
forme de (1), on écrit
x
, 2" x
/
&
)
! (x,t) = !0 sin ( 2" ( $ % t) + = !0 sin .
$ 2"% t 1
0
#
#
'
*
(2)
!" = c . ! est la distance qui sépare deux points x1 et x2 pour lesquels
la grandeur ! présente le même état. On dit alors que les vibrations de ! en x1 et x2 sont en
et on vérifie aisément que
phase (fig. 2).
Il est facile de vérifier quʼune telle perturbation satisfait l'équation différentielle suivante, dite
"équation d'onde"
2
! 2" (x,t)
2 ! " (x,t)
=
c
!t 2
!x 2
(3)
Pour des raisons de commodité, la relation (2) peut encore se mettre sous la forme:
! (x,t) = !0 sin ( kx " # t )
(4)
ce qui fait apparaître le vecteur dʼonde
k=
2! 2!# $
=
=
"
c
c
et
k et la pulsation !
! = 2"# = kc
(5)
II.2 Représentation dʼune onde
On peut représenter lʼonde définie plus haut des deux manières suivantes:
a)
En considérant un état instantané de lʼespace, cʼest-à-dire en regardant ce qui se passe en
x au temps ti (fig. 2), qui fait apparaître la longueur dʼonde ! ,
b) En se plaçant en un point donné xi pour regarder ce qui se passe en fonction du temps t (fig.
3), ce qui fait apparaître la période ! = 1 / "
Si le déplacement particulaire ! est parallèle à la vitesse de propagation, lʼonde est dite
longitudinale, et si le déplacement particulaire ! est perpendiculaire à cette vitesse, lʼonde est dite
fonction de
transversale.
Fig. 2: Représentation instantanée dʼune onde.
D4-3
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Fig. 3: Représentation locale dʼune onde.
II.3. Ondes stationnaires
Considérons la superposition de deux ondes sinusoïdales de même amplitude
!0 et de même
! et fréquence ! . Lʼune, !1 (x,t) = !0 sin ( kx " # t ) , est dite progressive et se
propage dans le sens des x positifs, lʼautre, !2 (x,t) = !0 sin ( kx + " t ) , est dite rétrograde et se
propage dans le sens des x négatifs. Lʼonde ! résultante sʼécrit alors
longueur dʼonde
! = !1 + !2 = 2!0 sin ( kx ) cos (" t )
(6)
! en fonction de x à des temps différents montre toujours la même vibration
sinusoïdale sin ( kx ) , mais dont lʼamplitude !0 est modulée par le terme 2 cos (! t ) .
Le graphe de
On réalise facilement des ondes stationnaires par réflexion d'ondes. Si les conditions aux limites
sont bien choisies, les ondes incidente et réfléchie se superposent pour former des ondes
stationnaires. Inversement, lʼonde stationnaire peut se décomposer en une superposition dʼondes
sinusoïdales de même longueur dʼonde, mais avec des directions de propagation opposées (fig. 4).
Fig. 4: Onde stationnaire avec noeuds (N) et ventres (V) de vibrations.
II.4 Ondes transversales sur une corde
! et de section S tendue entre deux points, suivant
lʼaxe Ox , par une force totale F0 . On peut définir la tension de la corde ! 0 = F0 / S comme la
force par unité de section. Dans la position dʼéquilibre, un élément de longueur ds est soumis à deux
forces égales en valeur absolue à F0 et opposées en direction (fig. 5). Calculons la force transversale
dFt sur le segment dx :
Considérons une corde de masse spécifique
D4-4
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dFt = F0 sin (! + d! ) " F0 sin (! )
(7)
Fig. 5: Élément de corde tendue.
En supposant que le rayon de courbure de la corde est petit par rapport à sa longueur, l'angle
petit et nous pouvons remplacer le sinus par la tangente. D'autre part
tg ! = "# / "x , donc
% #$ ( x + dx ) #$ ( x ) (
# 2$
dFt = F0 { tg (! + d! ) " tg ! } = F0 &
"
=
F
dx
)
0
#x
#x *
# x2
'
La masse de lʼélément de fil étant
!Sdx
et son accélération
!
est
(8)
! 2" / !t 2 , l'équation de Newton conduit
à
" 2#
" 2#
!Sdx 2 = F0 2 dx
"t
"x
$
" 2# % F0 ( " 2#
=
"t 2 '& !S *) " x 2
(9)
Par comparaison avec lʼéquation d'onde (3), on trouve donc qu'une vibration communiquée à la corde
se propage le long de la corde avec la vitesse, ou célérité dʼonde
c=
où
F0
=
!S
µ = !S
c
F0
"0
=
µ
!
(10)
est la masse linéïque de la corde, cʼest-à-dire sa masse par unité de longueur.
II.5 Corde vibrante en régime harmonique
Soit une corde fixée en
! (0,t) = ! (L,t) = 0
x = 0 et x = L . Les conditions aux limites imposent
"
sin ( kL ) = 0
Ainsi pour une longueur de corde fixée, seules les ondes stationnaires ayant un noeud à chaque
extrémité peuvent exister (fig. 6). La relation entre la longueur de corde
des ondes stationnaires possibles s'obtient donc facilement
L et la longueur d'onde !n
D4-5
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# 2! L &
sin ( kL ) = sin %
=0
$ "n ('
)
2L
=n
"n
)
"n = 2L / n
(11)
n est un entier ( n = 1, 2, 3, 4,.... ). Lʼoscillation avec n = 1 correspond à la vibration dite
fondamentale ou principale, alors que les oscillations avec n = 2, 3, 4,.... correspondent aux
vibrations harmoniques. Les fréquences de vibration ! n de ces modes propres sont alors données
où
par
!n =
"n
c
cn
n F0
=
=
=
2# $n 2L 2L µ
(12)
En général, lʼonde stationnaire sur une corde frappée ou pincée, correspond à une superposition des
principale et harmoniques. Cette vibration sʼamortit au cours du temps, car la corde dissipe de
lʼénergie par déformation anélastique (frottement intérieur du matériau de la corde), par frottement
dans lʼair et par émission dʼune onde sonore. On constate que les harmoniques sʼamortissent
beaucoup plus vite que la principale, de sorte quʼil est facile, après un court instant, de nʼobserver que
la principale de longueur dʼonde
! = 2L .
Fig. 6: Ondes stationnaires sur une corde fixée à ses deux extrémités.
II.6 Corde vibrante en régime inharmonique
Dans le modèle développé au §. II.4, on a négligé les effets du module élastique de la corde en
supposant une corde de raideur nulle. En réalité, la corde présente une raideur non nulle, et le fait de
vibrer va entraîner un allongement de celle-ci qui sera contrôlé par son module élastique (module de
E ). Il est possible dʼintroduire approximativement cet effet du module dans le modèle
précédent en calculant la déformation ! dʼallongement du segment ds (fig.5)
Young
!=
"(dx) ds # dx ds # ds cos $ 1 # cos $
=
=
=
= 1 + tg 2 $ # 1
dx
dx
ds cos $
cos $
Comme
tg ! est très petit vis-à-vis de lʼunité, on peut simplifier cette expression en écrivant
(13)
D4-6
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! " 1+
1 2
1
tg # + ... $ 1 " tg 2 #
2
2
(14)
Dʼautre part, il est possible dʼappliquer la loi de Hooke de lʼélasticité ( !
= E" ) à ce segment de corde
ds en écrivant
"F 4"F
E! =
=
S
#d2
$
# d2E
# d2E 2
"F =
!%
tg &
4
8
(15)
!F correspond à lʼaccroissement de la force de tension dans la corde, dû à lʼallongement du
segment ds , et d est le diamètre de la corde.
En utilisant alors la relation tg ! = "# / "x , on peut réécrire une version plus correcte de lʼéquation
dʼonde de la corde, en introduisant F = F0 + !F en lieu et place de F0 dans lʼéquation (9)
où
2
! 2" 1 *
# d 2 E $ !" ' - ! 2"
= , F0 +
& ) /
!t 2 µ +,
8 % ! x ( /. ! x 2
(16)
Cette équation dʼonde est non-linéaire et par conséquent très difficile à résoudre. Mais, dans le cas
dʼune corde fixée en
x = 0 et x = L , on peut essayer une solution approximative dʼondes
stationnaires du type
! (x,t) " !0 sin (# nt ) sin ( n$ x / L )
(17)
Cette solution, introduite dans lʼéquation différentielle (16), conduit aux fréquences propres
!n =
"n
n 11
# 3d 2 2 2 + 2
% n# x ( . 4
=
$0 n -sin (" nt ) cos 2 '
2 F0 + E
2
& L *) 0/ 56
2# 2L µ 3
8L
,
Il est clair que le terme entre crochet, qui dépend encore de
(18)
t et de x , est toujours positif, de sorte
quʼil peut être moyenné sur la longueur de la corde et sur une période de lʼoscillation stationnaire pour
faire disparaître
t et x . Il vient pour cette moyenne
1 1
# n" x &
sin (! nt ) cos %
=
(
$ L '
)n L
2
2
)n
L
0
0
* *
1
+ 2
2 # n" x & .
-sin (! nt ) cos %$ L (' 0 dx dt = 4
,
/
(19)
Les fréquences propres de vibration de la corde sont donc données approximativement par
!n "
n
2L
1%
# 3d 2 2 2 (
F
+
E
$0 n *
0
µ '&
32L2
)
On constate que, à cause de la raideur non nulle de la corde ( E
(20)
! 0 ), ses fréquences propres
!0 de la vibration, ce qui est une conséquence directe de la non-linéarité de
lʼéquation (16), et que les fréquences dʼindice n = 2, 3, 4,.... ne sont plus égales à 2x, 3x, 4x,… la
fréquence fondamentale !1 pour n = 1 . Pour une corde de raideur non nulle, on pourrait donc dire
dépendent de lʼamplitude
que « lʼoctave est dilaté », ce qui correspond à un écart à lʼharmonicité décrite au §.II.5.
II.7 Inharmonicité du piano
En musique, on parle souvent dʼinharmonicité des instruments à cordes, notamment du piano, et
D4-7
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on écrit la formule (20) sous la forme suivante
# n F0 &
2
!n " %
( 1 + Bn
2L
µ
$
'
avec
B=E
! 3d 2"02
µ
32F0 L2
Parfois, on rencontre cette relation écrite pour une amplitude
! = d /2.
2
0
(21)
!0 donnée de la vibration, satisfaisant
2
Les cordes de piano sont des cordes filées dans le grave et des fils d'acier de diamètre relativement
important dans le médium et dans l'aigu. Les cordes d'acier, du fait de leur raideur, ont une
inharmonicité qui augmente si leur diamètre
d augmente, ou si leur tension F0 diminue, ou si leur
L diminue (leur partiel n°2 est à une fréquence un peu plus grande que 2 fois leur
fondamental). L'écart à l'harmonicité dépend du facteur numérique B (très petit devant 1), qui, sur un
longueur
piano, varie d'une corde à l'autre. Il devient important dans l'aigu, où les cordes sont très courtes par
rapport à leur diamètre, donc très raides.
Lorsque l'accordeur de piano reporte la partition qu'il vient de réaliser sur l'octave initiale en l'étendant
à tout le clavier aux moyen d'octaves sans battements, les octaves ont un rapport de fréquence
supérieur au rapport 2/1, dans l'aigu d'une part (où les cordes sont de trop gros diamètre par rapport à
leur longueur) et dans l'extrême grave d'autre part (où les cordes filées, bien que plus souples que
des cordes monofilament, ne sont pas assez longues par rapport à ce qu'il faudrait pour doubler leur
longueur à chaque descente d'octave).
La formule (21) nʼest évidemment plus valide pour les cordes filées. Le fait de bobiner un fil (fil de
trait) autour d'une corde (âme) permet d'obtenir une corde qui a une masse linéique
µ élevée par
unité de longueur (ce qui permet d'atteindre des basses fréquences) sans pour autant augmenter la
raideur comme ce serait le cas pour un monofilament de même masse linéique par unité de longueur.
Malgré l'utilisation de ces cordes filées, moins raides donc moins inharmoniques que les cordes
monofilament, l'inharmonicité des dernières cordes du grave devient très importante, en raison de leur
longueur insuffisante (on ne peut pas doubler la longueur chaque fois que l'on descend d'une octave).
III. MONTAGE EXPÉRIMENTAL
Le phénomène des ondes stationnaires sʼétudie sur un instrument appelé sonomètre (Fig. 7). Il
consiste en une boîte de résonance en bois au-dessus de laquelle une corde (a) est tendue par un
poids (g) qui peut être ajusté de 500 g à 10 kg par pas de 500g. La force de traction sur le fil peut être
mesurée précisément par un dynamomètre digital (h). La longueur L de corde vibrante est déterminée
par deux chevalets, lʼun fixe (b) et lʼautre mobile (c). La corde est mise en vibration à lʼaide dʼun
vibreur (D) excité par le signal dʼun générateur de fonction (A). Ce signal dʼexcitation est aussi envoyé
sur lʼentrée X de lʼoscillo (G). La fréquence de lʼexcitation est mesurée à lʼaide dʼun fréquencemètre
(B). La recherche précise dʼune fréquence propre de vibration de la corde peut être effectuée grâce à
un potentiomètre externe de 10 tours (C). Pour éviter lʼapparition de fréquences de résonnance
parasites sur les segments de corde extérieurs aux chevalets, on peut y placer des cales
amortisseuses munies de feutre (e et d).
Les vibrations de la corde sont mesurées grâce à un capteur de force (E) placé sous le chevalet (c).
Le signal de ce capteur est amplifié par lʼamplificateur (E) avant dʼêtre envoyée sur lʼentrée Y de
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lʼoscillo (G) et sur lʼentrée dʼun voltmètre (H) permettant la mesure de lʼamplitude RMS du signal.
( )
U y = U 0, y sin ! yt obtenue à la sortie de lʼamplificateur (F) peut être comparée à la
tension U x = U 0, x sin (! x t ) fournie par le générateur de fonction (A) en utilisant le mode X-Y sur
La tension
lʼoscilloscope (G). De la sorte, on obtient des figures de LISSAJOU, dont les équations
paramétriques sont données par
#% x = U 0, x sin (! x t )
$
&% y = U 0, y sin ! yt + "
(
où
)
(23)
! est la différence de phase entre les deux vibrations au temps t = 0 .
Fig. 7: Schéma de lʼappareillage.
Pour
! x = ! y , le système (23) représente les équations paramétriques dʼune ellipse. Ainsi, pour
trouver les modes propres de vibration de la corde, il suffit de chercher à lʼaide du potentiomètre (c)
les fréquences précises pour lesquelles lʼellipse passe par une hauteur maximale sur lʼécran de
! = 0 o , les équations (22) sont celles dʼune droite
o
inclinée par rapport à lʼhorizontale, et que, si le déphasage ! = 90 , les équations (22) sont celles
lʼoscilloscope. A noter encore que, si le déphasage
dʼune ellipse de surface maximale, symétrique par rapport à lʼaxe Y.
F! agissant sur le capteur (E) via le chevalet (c) peut se calculer à partir du
schéma de la figure 8. Au nœud de la vibration, situé sur le chevalet (c) en x = L , lʼangle ! (t) que
La force verticale
fait la corde avec lʼhorizontale peut se calculer en utilisant la relation (17)
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! (t) " tan ! (t) =
#$ (x,t)
n%
= $0
sin (& nt )
#x x = L
L
(24)
On en déduit que lʼangle maximum obtenu sur une oscillation vaut
! max = "0
n#
L
(25)
F! agissant sur le capteur de force, en négligeant les
effets inharmoniques, par projection de la force de tension F0 sur lʼaxe vertical
On retrouve alors facilement la force maximum
F! = F0 sin (" ) # F0$0
n%
L
(26)
Fig. 8: Force agissant sur le chevalet (c).
U 0, y est proportionnelle à F! , on obtient la relation existant entre lʼamplitude !0
de vibration de la corde et lʼamplitude U 0, y de la tension électrique sortant de lʼampli (F)
Comme la tension
U 0, y
!
F" = F0#0
n$
L
%
#0 !
L
U 0, y
nF0
(27)
IV. TRAVAUX A EFFECTUER
Plusieurs cordes de matières différentes et de diamètres différents sont disponibles. La masse
linéïque
1.
µ de ces cordes et leur diamètre d sont fournis.
Vérifier les dépendances de
!n
prédites par la loi simplifiée (12) en les variables
F0 , µ , L et
n , en effectuant des mesures des fréquences propres de résonnance dʼune corde en fonction
de ces divers paramètres.
2.
Calculer la vitesse de propagation des ondes transversales sur une corde pour quelques
valeurs de
3.
F0 et de µ .
Peut-on observer avec cette installation des effets du module élastique, et donc lʼapparition des
inharmonicités prédites par la relation (20), en mesurant les effets de fortes variations de
et/ou de
n sur la valeur précise de ! n ?
!0
G. Gremaud/oct 2009
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