Corrigé Bac ES 2015 Nouvelle Calédonie

Baccalauréat 2015 - ES/L
Nouvelle Calédonie
Série ES/L Obli. et Spé.
5 Mars 2015
Correction
Exercice 1. 5 points
Commun à tous les candidats
On considère la fonction fdéfinie pour tout réel xde l’intervalle [1,5 ; 6] par :
f(x) = (25x−32)e−x.
On admet les résultats suivants :
f′(x) = (57 −25x)e−x;f′′(x) = (25x−82)e−x
1.
1. a. Étudier le signe de f′(x)sur l’intervalle [1,5 ; 6].
On sait que :
∀x∈[1,5 ; 6] ; f′(x) = (57 −25x)e−x
Or
∀x∈R;e−x>0
Donc f′(x)est du signe de (57 −25x)soit :
57 −25x > 0⇐⇒ x < 57
25
57 −25x= 0 ⇐⇒ x=57
25
=⇒57 −25x < 0⇐⇒ x > 57
25
De ce fait on obtient facilement sur l’intervalle [1,5 ; 6] :
x1,557
25 6
f′(x) +
+
+ 0 −
−
−
1. b. En déduire le tableau de variation de la fonction fsur l’intervalle [1,5 ; 6].
On a :
f(1,5) = 5,5e−1,5≈1,23 ; f57
25= 25 e−57
25 ≈2,56 et f(6) = 118 e−6≈0,29
x
f′(x)
Variations de
f
1.557
25 6
+0−
f(1.5) ≈1.23f(1.5) ≈1.23
f57
25 ≈2.56
f57
25 ≈2.56
f(6) ≈0.29f(6) ≈0.29

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Obli. et Spé. - 5 Mars 2015
2. Montrer que, sur l’intervalle [1,5 ; 6], la courbe Cadmet un unique point d’inflexion dont on précisera l’abscisse.
•Si, en un point de la courbe représentative d’une fonction continue,
la concavité passe du type « convexe » au type « concave » (ou l’in-
verse), on appelle ce point, point d’inflexion de la courbe.
•Graphiquement, un point d’inflexion est un point où la tangente
coupe la courbe.
•En un point d’inflexion, la dérivée seconde, si elle existe, s’annule
et change de signe.
x
y
La fonction cube x7→ x3présente un point
d’inflexion au point d’abscisse 0.
Définition 1 (Point d’inflexion d’une fonction numérique)
Dans le cas présent, la fonction numérique fest continue et dérivable deux fois sur l’intervalle [1,5 ; 6] d’après les prérequis.
La courbe représentative de fadmet donc un point d’inflexion au point d’abscisse asi et seulement si la dérivée seconde de la
fonction s’annule et change de signe en a.
On sait que
∀x∈[1,5 ; 6] ; f′′(x) = (25x−82) e−x
Or l’exponentielle est toujours strictement positive sur R
∀x∈R;e−x>0
Donc f′′ (x)est du signe de (25x−82) qui s’annule et change de signe pour x=82
25.
Sur l’intervalle ⌈⌊1,5 ; 6⌉⌋, la courbe Cadmet donc un unique point d’inflexion d’abscisse 82
25.
3. Dans cette question, on s’intéresse à l’équation f(x) = 1.
3. a. Justifier que l’équation f(x) = 1 admet une unique solution αsur l’intervalle [4 ; 5].
Si fest une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b],
alors, pour tout réel kcompris entre f(a)et f(b), l’équation f(x) = kadmet une unique solution dans [a;b].
Théorème 1 (Corolaire du théorème des valeurs intermédiaires)
•La fonction fest continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle [4 ; 5] ;
•L’image par fde l’intervalle [4 ; 5] est [f(5) ; f(4)] d’après le tableau de variations.
•Le réel k= 1 appartient à l’intervalle image car f(5) ≈0,63 <1< f (4) ≈1,25
Donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) = k= 1 admet une solution
unique αsur l’intervalle [4 ; 5].
x
f′(x)
f
57
25 = 2.28 6
0−
f57
25 
f57
25 
f(6)f(6)
α
1
4
f(4) ≈1.25
5
f(5) ≈0.63
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3. b. On a écrit l’algorithme suivant permettant de déterminer une valeur approchée de α.
Initialisation
aprend la valeur 4
bprend la valeur 5
Traitement
Tant que b−a > 0,1faire
yprend la valeur fa+b
2
Si y > 1alors
aprend la valeur a+b
2
Sinon bprend la valeur a+b
2
Fin de Tant que
Sortie
Afficher a+b
2
Exécuter l’algorithme précédent en complétant le tableau donné en annexe.
Il s’agit d’une recherche de valeurs approchées de solutions d’équation par dichotomie.
a+b
2yà10−3près a b b −aSortie
Initialisation 4 5 1
1re boucle « Tant que » 4,5 0,894 4 4,5 0,5
2eboucle « Tant que » 4,25 1,059 4,25 4,5 0,25 Non
3eboucle « Tant que » 4,375 0,974 4,25 4,375 0,125 Non
4eboucle « Tant que » 4,3125 1,016 4,3125 4,375 0,0625 Oui
3. c. Donner une valeur approchée de αau dixième.
Pour avoir un encadrement de α, on peut utiliser la fonction TABLE de la calculatrice.
Avec un pas de ∆ = 0,1on obtient :
(f(4,3) ≈1,0244 >1
f(4,4) ≈0,9576 <1, donc 4,3< α < 4,4.
Une valeur approchée de αau dixième est donc par exemple 4,30
α≈4,3
Remarque : La calculatrice donne la valeur approchée de 4,335 974 279 86
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Exercice 2. Probabilités 5 points
Commun à tous les candidats
Partie A : sélection des pommes
Une étude a montré que 86 % des pommes fournies par les différents producteurs sont conformes.
On note les évènements suivants :
•C: « La pomme prélevée est conforme » ;
•T: « La pomme est acceptée par la machine ».
1. Déterminer la probabilité que la pomme prélevée soit conforme et soit acceptée par la machine.
Exprimons les données de l’exercice avec les notations.
•86 % des pommes sont conformes donc avec les notations de l’exercice : P(C) = 86% ;
•3 % des pommes effectivement conformes sont rejetées à tort par la machine soit PC(T) = 3% ;
•2 % des pommes non conformes sont acceptées à tort par la machine soit PC(T) = 2%.
Représentons la situation à l’aide d’un arbre pondéré :
C
T
T
C
T
T
P(C) = 86%
PC(T) = 97%
PCT= 3%
PC= 14%
PC(T) = 2%
PCT= 98%
La probabilité que la pomme prélevée soit conforme et soit acceptée par la machine correspond à P(C∩T), or :
P(C∩T) = P(C)×PC(T) = 0,86 ×0,97
soit
P(C∩T) = 0,834 2 = 83,42%
2. Montrer que P(T), la probabilité de T, est égale à 0,837.
D’après la formule des probabilités totales :
P(T) = P(C∩T) + PC∩T
P(T) = 0,834 2 + P(C)×PC(T)
P(T) = 0,834 2 + 0,14 ×0,02
P(T) = 0,834 2 + 0,002 8 = 0,837
P(T) = 0,837 = 83,7%
3. La pomme prélevée est acceptée par la machine. Quelle est la probabilité qu’elle soit conforme ? (au millième)
La probabilité cherchée est avec les notations : PT(C)or :
PT(C) = P(T∩C)
P(T)
PT(C) = 0,834 2
0,837
On a donc, arrondi au millième :
PT(C)≈0,997
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Partie B : contrôle d’un fournisseur
1. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de pommes conformes contenues
dans un lot de 80 pommes. (Les bornes de l’intervalle seront arrondies au millième).
Si les conditions suivantes sont remplies : 
✓n≥30
✓np ≥5
✓n(1 −p)≥5
Alors un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de 95% de la fréquence Fnd’un caractère dans
un échantillon de taille nest si pdésigne la proportion de ce caractère dans la population :
In="p−1,96 pp(1 −p)
√n;p+ 1,96 pp(1 −p) √n#
Théorème 2 (Intervalle de fluctuation asymptotique)
•L’entreprise procède à un contrôle en prélevant, au hasard, un échantillon de 80 pommes, donc n= 80.
•On formule l’hypothèse que 86 % des pommes de ce fournisseur sont conformes , donc p= 86% = 0,86.
Vérifions les hypothèses du théorème :
✓n= 80 ≥30
✓np = 80 ×86% = 68,80 ≥5
✓n(1 −p) = 80 ×14% = 11,2≥5
Les conditions d’application du théorème étant vérifiées, l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95% de la fréquence
des pommes conformes dans un échantillon de taille n= 80 est est :
I80 ="p−1,96 pp(1 −p)
√n;p+ 1,96 pp(1 −p) √n#=0,86 −1,96 √0,86 ×0,14 √80 ; 0,86 + 1,96 √0,86 ×0,14 √80 
soit
I≈[0,783 ; 0,937]
2. L’entreprise a constaté que seulement 65 pommes de l’échantillon étaient conformes. Quelle décision est-elle amenée
à prendre ?
La fréquence observée de pommes conformes est donc
f=65
80 = 0,812 5 ∈I
Cette fréquence appartient à l’intervalle Idonc il n’y a pas de raison, au vu de l’échantillon étudié, de remettre en cause
l’hypothèse selon laquelle 86 % des pommes sont conformes.
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