EXERCICE II : Étude d`une bobine par différentes méthodes (5,5

EXERCICE II : Étude d’une bobine par différentes méthodes (5,5 points)
Antilles 09/2009 Correction © http://labolycee.org
1. Détermination de l’inductance par une méthode temporelle
1.1. Il s’agit d’oscillations électriques libres (sans générateur) et amorties (l’amplitude des oscillations
diminue au cours du temps).
1.2. Pseudo-période T (voir document1) : 2T ⇔ 10,4 cm T =
0,60 10,4
2 12,0
×
×=
0,26 s
0,60 s ⇔ 12,0 cm
1.3. On a : T = T
0
= 2π.
LC
donc :
2
02
T
LC
4
=
π
soit L =
2
0
2
T
4 C
π
L =
2
2 6
0,26
4 2200 10
−
π × × =
0,78 H avec C = 2200 µF = 2200×10
–6
F .
2. Détermination de l’inductance par une méthode graphique
2.1. Energie emmagasinée par le condensateur : E
C
= ½.C.u²
Energie emmagasinée par la bobine : E
B
= ½.L.i²
2.2. Energie totale : E
T
= E
C
+ E
B
= ½.C.u² + ½.L.i²
2.3. La résistance totale du
circuit étant nulle, l’énergie
totale E
T
est constante
donc : E
T
⇔ courbe 1.
Initialement le condensateur
est chargé sous la tension
u(0) = E = 5,0 V et aucun
courant ne circule dans le
circuit i(0) = 0 A, donc :
E
C
(0) ≠ 0 J
E
B
(0) = 0 J
Ainsi: E
C
⇔ courbe 3
E
B
⇔ courbe 2
t (s)
0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60
u (V)
-4
-2
0
2
4
6
0,00
10,4 cm
12,0 cm
Document 1
2T
t (s)
0,10 0,20 0,30 0,40 0,50
5
10
15
20
25
0,00
0
30
Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3
E
C
,
E
B
, E
T
(mJ)
6,0 cm
5
,
5
cm

2.4. Graphiquement : 6,0 cm ⇔ 30 mJ E
T
=
5 5 30
6 0
,, × = 27,5 mJ =
28 mJ = 28 ×
××
× 10
–3
J
5,5 cm ⇔ E
T
2.5. À la date t = 0,20 s , le document 2 indique u
C
= 0 V donc E
C
= 0 mJ.
Et le document 3 indique que l’intensité est maximale donc E
B
est maximale.
Ainsi l’énergie est emmagasinée dans la bobine à la date t = 0,20 s.
2.6. D’après 2.4., à la date
t = 0,20 s
E
T
= E
B
= 27,5 mJ =
27,5 ×
××
× 10
–3
J .
Le document 3 donne, pour
la même date :
0,40 A ⇔ 4,0 cm
i(0,20) ⇔ 2,6 cm
i =
2,6 0,40
4,0
×
= 0,26 A
E
B
= ½.L.i²
donc L =
B
2E
i²
L =
3
2 27,5 10
0,26²
−
× × = 0,81 H.
3. Modélisation de la tension et de l’intensité
3.1. Convention récepteur : la flèche tension uCB et la flèche intensité
sont opposées, alors uCB = L.
di
dt
u = uBC = – uCB, ainsi : u = – L.
di
dt
(1)
3.2. i =
dq
dt
et q = C . u , donc
(
)
d C.u
du
i C.
dt dt
= = car C est une constante.
du
i C.
dt
= (2)
3.3. On reporte (2) dans (1) : u = – L.
d du
C.
dt dt
soit u = –
d²u
L.C.
dt²
finalement :
d²u
dt²
+
1
L.C
u = 0,
par identification avec
ɺɺ
u
+ A² u = 0, on obtient A² =
1
L.C
.
3.4.1. On a u(t) = umax.
0
2 t
cos T
π
+ ϕ
Graphiquement sur le document 2, on constate que la tension est maximale à la date t = 0, donc
u(0) = u
max
Et on lit u(0) = 5,0 V, donc u
max
= 5,0 V
Pour t = 0, u(0) = u
max
cosϕ , et comme u(0) = u
max
alors cosϕ = 1 soit ϕ
ϕϕ
ϕ = 0 .
u(t) sous forme numérique :
0
2 2 1
T
2 L.C L.C
π π
= =
π
6
0
2 2 1 1
T2 L.C L.C
0,81 2200 10
−
π π
= = =
π× × = 24 s-1
d’où :
u(t) = 5,0 . cos(24.t)
t (s)
0,10 0,20 0,30 0,40 0,50
i (A)
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
Document 3
4,0 cm
2,6 cm
i(0,20)
i
(2)
C
r
u
i
L
A
B
u
CB

3.4.2. D’après 3.2, on a
du
i C.
dt
=
du
dt
= – 5,0 × 24 × sin(24.t) = –1,2×10
2
× sin(24t)
ainsi i(t) = 2200 ×10
–6
× 1,2×10
2
× sin(24t) = – 0,26 . sin(24t)
4. Comparaison de différents régimes de fonctionnement
4.1.
Résistance totale
du circuit de
décharge (Ω)
n° de la courbe
correspondante
Nom du
régime
associé Justification
0 5 périodique La tension est sinusoïdale. La résistance totale du circuit de décharge étant nulle, il n’y a aucun
amortissement des oscillations de la tension.
2,0 6 pseudo-
périodique
La tension décroît avec des oscillations. La
« faible » valeur de la résistance totale de
décharge engendre des oscillations amorties.
80 4 apériodique La tension décroît rapidement vers 0 sans oscillations car la résistance totale du circuit de
décharge est « grande ».
4.2. L’amplitude de la tension diminue au cours du temps car une partie de l’énergie totale du circuit est
dissipée par effet Joule, sous forme de chaleur, dans la résistance.
t (s)
0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60
-4
-2
0
2
4
u (V)
0,00
document 5
Courbe 4 Courbe 5 Courbe 6