EXERCICE II : Étude d`une bobine par différentes méthodes (5,5

EXERCICE II : Étude d’une bobine par différentes méthodes (5,5 points)
Antilles 09/2009
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1. Détermination de l’inductance par une méthode temporelle
1.1. Il s’agit d’oscillations électriques libres (sans générateur) et amorties (l’amplitude des oscillations
diminue au cours du temps).
0,60 × 10,4
1.2. Pseudo-période T (voir document1) : 2T
⇔ 10,4 cm
T=
= 0,26 s
2 × 12,0
0,60 s ⇔ 12,0 cm
Document 1
u (V)
6
4
2
2T
0
10,4 cm
-2
12,0 cm
-4
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
t (s)
1.3. On a : T = T0 = 2π. LC donc :
L=
0,262
= 0,78 H
4π2 × 2200 × 10 −6
T02
T02
=
LC
soit
L
=
4 π2
4 π2 C
avec C = 2200 µF = 2200×10–6 F .
2. Détermination de l’inductance par une méthode graphique
2.1. Energie emmagasinée par le condensateur : EC= ½.C.u²
Energie emmagasinée par la bobine : EB= ½.L.i²
2.2. Energie totale : ET = EC+ EB= ½.C.u² + ½.L.i²
2.3. La résistance totale du
EC , EB , ET (mJ)
circuit étant nulle, l’énergie
Courbe 1
totale ET est constante 30
donc : ET ⇔ courbe 1.
Courbe 3
Courbe 2
25
Initialement le condensateur
est chargé sous la tension 20
u(0) = E = 5,0 V et aucun
courant ne circule dans le 15
circuit i(0) = 0 A, donc :
EC(0) ≠ 0 J
10
EB(0) = 0 J
Ainsi:
5
EC ⇔ courbe 3
EB ⇔ courbe 2
0
0,00
6,0 cm
5,5 cm
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
t (s)
2.4. Graphiquement : 6,0 cm ⇔ 30 mJ
ET =
5, 5 × 30
= 27,5 mJ = 28 mJ = 28×10–3 J
6, 0
5,5 cm ⇔ ET
2.5. À la date t = 0,20 s , le document 2 indique uC = 0 V donc EC = 0 mJ.
Et le document 3 indique que l’intensité est maximale donc EB est maximale.
Ainsi l’énergie est emmagasinée dans la bobine à la date t = 0,20 s.
2.6. D’après 2.4., à la date
t = 0,20 s
ET = EB = 27,5 mJ =
27,5×10–3 J.
Le document 3 donne, pour
la même date :
0,40 A ⇔ 4,0 cm
i(0,20) ⇔ 2,6 cm
2,6 × 0,40
i=
= 0,26 A
4,0
EB= ½.L.i²
2EB
donc L =
i²
2 × 27,5 × 10−3
L=
= 0,81 H.
0,26²
i (A)
Document 3
i(0,20)
0,2
2,6 cm
0,1
4,0 cm
0
-0,1
-0,2
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
t (s)
A
i
(2)
3. Modélisation de la tension et de l’intensité
u
3.1. Convention récepteur : la flèche tension uCB et la flèche intensité
L
di
i r
sont opposées, alors uCB = L.
dt
B
C
di
u
CB
u = uBC = – uCB, ainsi : u = – L.
(1)
dt
d ( C.u )
dq
du
du
3.2. i =
et q = C . u , donc i =
= C.
car C est une constante.
i = C.
(2)
dt
dt
dt
dt
d  du 
d²u
d²u
1
3.3. On reporte (2) dans (1) : u = – L.  C.  soit u = – L.C.
finalement :
+
u = 0,
dt  dt 
dt²
dt² L.C
1
par identification avec uɺɺ + A² u = 0, on obtient A² =
.
L.C
 2πt

3.4.1. On a u(t) = umax. cos 
+ ϕ
 T0

Graphiquement sur le document 2, on constate que la tension est maximale à la date t = 0, donc
u(0) = umax
Et on lit u(0) = 5,0 V, donc umax = 5,0 V
Pour t = 0, u(0) = umaxcosϕ , et comme u(0) = umax alors cosϕ = 1 soit ϕ = 0.
u(t) sous forme numérique :
2π
2π
1
=
=
T0 2π L.C
L.C
2π
2π
1
1
=
=
=
= 24 s-1
−6
T0 2π L.C
L.C
0,81× 2200 × 10
d’où : u(t) = 5,0 . cos(24.t)
3.4.2. D’après 3.2, on a i = C.
du
dt
du
= – 5,0×24×sin(24.t) = –1,2×102×sin(24t)
dt
ainsi i(t) = 2200×10–6×1,2×102×sin(24t) = – 0,26.sin(24t)
4. Comparaison de différents régimes de fonctionnement
4.1.
Résistance totale
n° de la courbe
du circuit de
correspondante
décharge (Ω)
Nom du
régime
associé
Justification
0
5
périodique
La tension est sinusoïdale. La résistance totale du
circuit de décharge étant nulle, il n’y a aucun
amortissement des oscillations de la tension.
2,0
6
pseudopériodique
La tension décroît avec des oscillations. La
« faible » valeur de la résistance totale de
décharge engendre des oscillations amorties.
80
4
apériodique
La tension décroît rapidement vers 0 sans
oscillations car la résistance totale du circuit de
décharge est « grande ».
u (V)
Courbe 4
Courbe 5
document 5
Courbe 6
4
2
0
-2
-4
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
t (s)
4.2. L’amplitude de la tension diminue au cours du temps car une partie de l’énergie totale du circuit est
dissipée par effet Joule, sous forme de chaleur, dans la résistance.