Identification des propriétés radiatives des matériaux semi

N° d'ordre 98 ISAL0059
Année 1998
THÈSE
présentée devant
L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES DE LYON
pour obtenir
LE GRADE DE DOCTEUR
Formation doctorale: THERMIQUE ET ENERGÉTIQUE
Ecole Doctorale des Sciences pour l'Ingénieur de Lyon: MEGA
par
Luís Mauro MOURA
Ingénieur en Génie Mécanique, Mestre em Ciências
Université Fédérale de Santa Catarina, Brésil
IDENTIFICATION DES PROPRIETES RADIATIVES DES
MATERIAUX SEMI-TRANSPARENTS DIFFUSANTS
EN SITUATION DE NON-SYMETRIE AZIMUTALE
DU CHAMP RADIATIF
Soutenue le 15 Juillet 1998 devant la Commission d'Examen
Jury
Mme D. BAILLIS-DOERMANN
MM. C. BISSIEUX
G. JEANDEL
F. PAPINI
M. RAYNAUD
J.-F. SACADURA
INSA de Lyon
Université de Reims
Université de Nancy I
Université de Provence
INSA de Lyon
INSA de Lyon
Rapporteur
Rapporteur
Directeur de thèse
INSA de Lyon
Département des études doctorales
ECOLES DOCTORALES
¾ MATERIAUX DE LYON
INSAL – ECL -UCB. Lyon1 – Univ. De Chambéry – ENS
Responsable : Professeur A. HOAREAU, UCBL
(Tél. : 04.72.44.85.66)
Formations doctorales associées :
Génie des Matériaux
Matière condensée surfaces et interfaces
Matériaux polymères et composites
(Pr. R. FOUGERES, Tél : 04. 72. 43. 81 .49)
(Pr. G. GUILLOT, Tél : 04.72.43.81.61)
(Pr. H. SAUTEREAU, Tél : 04.72.43.81.78)
¾ MECANIQUE, ENERGETIQUE, GENIE CIVIL, ACOUSTIQUE (MEGA)°
Responsable : Professeur J. BATAILLE, ECL (Tél : 04.72.43.8079)
Formations doctorales associées :
Acoustique
(Pr. J.L. GUYADER, Tél : 04.72.43.80.80)
Génie Civil : Sols, matériaux, structures, physique du bâtiment
(Pr. P. LAREAL, Tél : 04.72.43.82.16)
Mécanique
(Pr. G. DALMAZ, Tél : 04.72.43.83.03)
Thermique et Energétique
(Pr. M. LALLEMAND, Tél : 04.72.43.81.54)
¾ ELECTRONIQUE, ELECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE (EEA)
INSAL - ECL – UCB. Lyon1 – Univ. de Saint-Etienne
Responsable : Professeur G. GIMENEZ, INSAL (Tél : 04.72.43.83.32)
Formations doctorales associées :
Acoustique
Automatique Industrielle
Dispositifs de l’électronique intégrée
Génie biologique et médical
Génie électrique
Signal, Image, Parole
(Pr. J.L. GUYADER, Tél : 04.72.43.80.80)
(Pr. SCAVARDA, Tél : 04.72.43.83.41)
(Pr. P. PINARD, Tél : 04.72.43.80.79)
(Pr. I MAGNIN, Tél : 04.72.43.85.63)
(Pr. J.P. CHANTE, Tél : 04.72.43.87.26)
(Pr. G. GIMENEZ, Tél : 04.72.43.83.32)
¾ ECOLE DOCTORALE INTERDISCIPLINAIRE SCIENCES-SANTE (EDISS)
INSAL – UCB Lyon1 – Univ. de Saint-Etienne – Univ. Aix-Marseille2
Responsable : Professeur A. COZZONE, CNRS-Lyon (Tél 04.72.72.26.75)
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Biochimie
Génie biologique et médical
(Pr. M. LAGARDE, Tél : 04.72.43.82.40)
(Pr. I. MAGNIN, Tél : 04.72.43.85.63)
INSA de LYON
Département des Etudes Doctorales
AUTRES FORMATIONS DOCTORALES
¾ ANALYSE ET MODELISATION DES SYSTEMES BIOLOGIQUE
Responsable : Professeur S. GRENIER, INSAL
Tél : 04.72.43.83.56
¾ CHIMIE INORGANIQUE
Responsable : Professeur P. GONNARD, INSAL
Tél : 04.72.43.81.58
¾ CONCEPTION EN BATIMENT ET TECHNIQUE URBAINES
Responsable : Professeur M. MIRAMOND, INSAL
Tél : 04.72.43.82.09
¾ DEA INFORMATIQUE DE LYON
Responsable : Professeur J.M. JOLION, INSAL
Tél : 04.72.43.87.59
¾ PRODUCTIQUE : ORGANISATION ECONOMIQUE ET GENIE INFORMATIQUE POUR L’ENTREPRISE
Responsable : Professeur J. FAVREL, INSAL
Tél : 04.72.43.83.63
¾ SCIENCES ET TECHNIQUES DU DECHET
Responsable : Professeur P. MOSZKOWICZ, INSAL
Tél : 04.72.43.83.45
Janvier 1998
Institut National des Sciences Appliquées de Lyon
Directeur : J. Rochat
Professeurs
S.
J.C.
B.
D.
G.
C.
M.
J.M.
C.
M.
H.
G.
J.
M.
M.
J.C.
J.Y.
J.P.
B.
B.
M.
M.
A.
R.
J.C.
H.
C.
L.
G.
M.
J.
AUDISIO
BABOUX
BALLAND
BARBIER
BAYADA
BERGER (Mlle)
BETEMPS
BLANCHARD
BOISSON
BOIVIN
BOTTA
BOULAYE
BRAU
BRISSAUD
BRUNET
BUREAU
CAVAILLE
CHANTE
CHOCAT
CLAUDEL
COUSIN
DIOT
DOUTHEAU
DUFOUR
DUPUY
EMPTOZ
ESNOUF
EYRAUD (Prof. Émérite)
FANTOZZI
FAYET
FAVREL
G.
Y.
L.
P.
A.
R.
F.
L.
R.
M.
G.
P.
P.
M.
R.
G.
G.
M.
G.
A.
FERRARIS-BESSO
FETIVEAU
FLAMAND
FLEISCHMANN
FLORY
FOUGERES
FOUQUET
FRECON
GAUTHIER
GERY
GIMENEZ
GOBIN (Prof. émérite)
GONNARD
GONTRAND
GOUTTE (Prof. Émérite)
GRANGE
GUENIN
GUICHARDANT
GUILLOT
GUINET
J.L.
J.P.
J.M.
J.F.
A.
R.
H.
J.
M.
M.
A.
M.
P.
A.
Ch.
P.
GUYADER
GUYOMAR
JOLION
JULLIEN
JUTARD
KASTNER
KLEIMANN
KOULOUMDJIAN
LAGARDE
LALANNE
LALLEMAND
LALLEMAND (Mme)
LAREAL
LAUGIER
LAUGIER
LEJEUNE
PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE
GEMPPM*
PHYSIQUE DE LA MATIERE
PHYSIQUE DE LA MATIERE
MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUE
PHYSIQUE DE LA MATIERE
AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE
LAEPSI**
VIBRATIONS ACOUSTIQUES
MECANIQUE DES SOLIDES
EQUIPE DEVELOPPEMENT URBAIN
INFORMATIQUE
CENTRE DE THERMIQUE
GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE
MECANIQUE DES SOLIDES
THERMODYNAMIQUE APPLIQUEE
GEMPPM*
COMPOSANTS DE PUISSANCE ET APPLICATIONS
UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL
LAEPSI**
UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL
THERMODYNAMIQUE APPLIQUEE
CHIMIE ORGANIQUE
MECANIQUE DES STRUCTURES
PHYSIQUE DE LA MATIERE
RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISION
GEMPPM*
GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE
GEMPPM*
MECANIQUE DES SOLIDES
GROUPE DE RECHERCHE EN PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE
DES SYSTEMES MANUFACTURIERS
MECANIQUE DES STRUCTURES
GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE
MECANIQUE DES CONTACTS
GEMPPM*
INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATION
GEMPPM*
GEMPPM*
INFORMATIQUE
PHYSIQUE DE LA MATIERE
CENTRE DE THERMIQUE
CREATIS***
GEMPPM*
GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE
COMPOSANTS DE PUISSANCE ET APPLICATIONS
CREATIS***
GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE
GEMPPM*
BIOCHIMIE ET PARMACOLOGIE
PHYSIQUE DE LA MATIERE
GROUPE DE RECHERCHE EN PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE
DES SYSTEMES MANUFACTURIERS
VIBRATIONS ACOUSTIQUES
GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE
RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISION
UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL
AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE
UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL
GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE
INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATION
BIOCHIMIE ET PARMACOLOGIE
MECANIQUE DES STRUCTURES
CENTRE DE THERMIQUE
CENTRE DE THERMIQUE
UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL
PHYSIQUE DE LA MATIERE
BIOCHIMIE ET PARMACOLOGIE
GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES
A.
Y.
H.
P.
J.
J.P.
M.
N.
R.
P.
P.
A.
A.
M.
J.P.
G.
J.
G.
J.
P.
J.M.
D.
J.
P.
LUBRECHT
MARTINEZ
MAZILLE
MERLE
MERLIN
MILLET
MIRAMOND
MONGEREAU (Prof. Émérite)
MOREL
MOSZKOWICZ
NARDON
NAVARRO
NOURI (Mme)
OTTERBEIN
PASCAULT
PAVIC
PERA
PERRACHON
PEREZ (Prof. Émérite)
PINARD
PINON
PLAY
POUSIN
PREVOT
R.
M.
J.M.
E.
J.
D.
P.
C.
J.F.
H.
S.
D.
M.
R.
J.
G.
A.
P.
PROST
RAYNAUD
REYNOUARD
RIEUTORD (Porf. Émérite)
ROBERT-BAUDOUY (Mme)
ROUBY
RUBEL
RUMELHART
SACADURA
SAUTEREAU
SCARVARDA
THOMASSET
TROCCAZ
UNTERREINER
VERON
VIGIER
VINCENT
VUILLERMOZ
MECANIQUE DES CONTACTS
INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATION
PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE
GEMPPM*
GEMPPM*
PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE
UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL
UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL
MECANIQUE DES FLUIDES
LAEPSI**
BIOLOGIE APPLIQUEE
LAEPSI**
MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUE
LAEPSI**
MATERIAUX MACROMOLECULAIRES
VIBRATIONS ACOUSTIQUES
UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL
THERMODYNAMIQUE APPLIQUEE
GEMPPM*
PHYSIQUE DE LA MATIERE
INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATION
CONCEPTION ET ANALYSE DES SYSTEMES MECANIQUES
MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUE
GROUPE DE RECHERCHE EN APPRENTISSAGE, COOPERATION
ET INTERFACES MULTIMODALES
CREATIS***
CENTRE DE THERMIQUE
UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL
MECANIQUE DES FLUIDES
GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES
GEMPPM*
INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATION
MECANIQUE DES SOLIDES
CENTRE DE THERMIQUE
MATERIAUX MACROMOLECULAIRES
AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE
AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE
GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE
CREATIS***
LAEPSI**
GEMPPM*
GEMPPM*
PHYSIQUE DE LA MATIERE
Directeurs de recherche C.N.R.S.
Y.
BERTHIER
P.
CLAUDY
COTTE-PATTAT (Mme)
N.
P.
FRANCIOSI
J.F.
GERARD
MANDRAND (Mme)
M.A.
J.F.
QUINSON
A.
ROCHE
MECANIQUE DES CONTACTS
THERMODYNAMIQUE APPLIQUEE
GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES
GEMPMM
MATERIAUX MACROMOLECULAIRES
GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES
GEMPMM
MATERIAUX MACROMOLECULAIRES
Directeurs de recherche I.N.R.A.
G.
BONNOT
G.
FEBVAY
S.
GRENIER
Y.
MENEZO
BIOLOGIE APPLIQUEE
BIOLOGIE APPLIQUEE
BIOLOGIE APPLIQUEE
BIOLOGIE APPLIQUEE
Directeurs de recherche I.N.S.E.R.M.
PRINGENT (Mme)
A.F.
MAGNIN (Mme)
I.
BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE
CREATIS***
GEMPMM* : Groupe d'etude metallurgie physique et physique des matériaux
LAEPSI** : Laboratoire d'analyse environnementale des procédés et systèmes industriels
CREATIS*** : Centre de recherche et d'applications en traitement de l'image et du signal
6
A la mémoire de ma grand-mère, Frida Hansen.
7
$9$17352326
Cette recherche a été effectué au Centre de Thermique de Lyon (CETHIL), de l'Institut
National des Sciences Appliquées de Lyon.
Je remercie tout d'abord mon directeur de thèse, M. le Professeur Jean-François
SACADURA, pour m'avoir proposé ce sujet de recherche, ainsi que pour la confiance et
l'attention qu'il m'a accordé tout au long de ce travail. A travers lui, j'adresse aussi mes
remerciements à l'INSA, et particulièrement au CETHIL, qui ont accueilli mes recherches.
Je remercie également :
- M. C. BISSIEUX, Maître de Conférence et M. le Professeur G. JEANDEL, pour avoir
accepté d'être les rapporteurs de mon travail ;
- ainsi que Mme D. BAILLIS-DOERMANN, Maître de Conférences, M. le Professeur F.
PAPINI, et M. le Professeur M. RAYNAUD, pour leur participation à mon jury de thèse.
Mes remerciements amicaux s'adressent à tous les membres et collègues du laboratoire,
pour les discussions fructueuses : MM. C. BEZERRA, G. BLANC, A. BORGES DE
MIRANDA, P. CHANTRENNE, Maître de Conférences, Mlle A. DELMAS, Maître de
Conférences, MM. S. DEMBELE, R. DI FOLCO, Technicien, Mme A. MORLOT, Secrétaire,
MM. R. LOPES, Mme A.S. MARCHAND, MM. V. NICOLAU, S. RODRIGUES DE
ARAUJO, N. RUPERTI JR et M. SASSI.
Enfin, je suis très reconnaissant à mon pays, au "Conselho Nacional de Desenvolvimento
Científico e Tecnológico" (CNPq), l'organisme brésilien de recherches scientifiques, pour
m'avoir fourni les moyens financiers qui m'ont permis de réaliser ce travail (bourse n°
201241/93-5 (NV)), et à l'INSA de Lyon pour avoir supporté le coût de fonctionnement de ma
recherche et celui de ma soutenance de thèse.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale
8
5(680(
Ce mémoire de thèse présente une formulation d'un problème radiatif en situation de nonsymétrie azimutale du champ radiatif appliquée à l'identification des propriétés radiatives
(épaisseur optique, albédo et fonction de phase) des matériaux fibreux et des mousses. Une
géométrie monodimensionnelle a été considérée.
La solution numérique de l'équation du transfert radiatif est basée sur la méthode des
ordonnées discrètes appliquée à un volume de contrôle. Une nouvelle quadrature spatiale est
proposée. La quadrature est adaptée aux conditions expérimentales, en permettant d'avoir un
nombre maximal de points selon les directions susceptibles d'être explorées par le dispositif
expérimental.
Le programme développé permet de considérer différentes situations expérimentales. De ce
fait, cinq stratégies expérimentales sont analysées de manière à déterminer la plus performante
pour l'identification des propriétés radiatives des ces matériaux.
L'identification des propriétés radiatives est réalisée à partir des mesures de transmittances
et de réflectances spectrales et bidirectionnelles obtenues à l'aide d'un montage expérimental
comprenant un spectromètre à transformée de Fourier et un dispositif goniométrique.
Les propriétés radiatives sont identifiées pour un faisceau collimaté dont les angles
d'incidence varient entre 0° et 40°. L'identification est réalisée pour des longueurs d'onde
allant de 1,5 µm à 15 µm. Une analyse des erreurs dues à un alignement imparfait du
dispositif expérimental est présentée.
9
INTRODUCTION
$%675$&7
This work is focused on identification methodology for thermal radiation properties of
dispersed media with non-azimuthal symmetry of the radiation field. The properties identified
are the optical thickness, the albedo and three parameters of the phase function.
The radiative transfer equation is solved numerically by a finite volume discrete ordinate
method. A new non-azimuthally quadrature is proposed. The ad hoc quadrature allows the
experimental directional measurement considerations.
The experimental device is the combination of Fourier transform infrared spectrometer and
a goniometer device which allows the bidirectional transmittance and reflectance
measurements.
The radiative properties have been determined by the minimisation of the quadratic error
between the measured and calculated bidirectional transmittances and reflectances.
Measurements are performed for oblique incident beam in the range from 0 and 40 degrees.
Results are presented to fiber glass and foam insulation in the 1,5 µm to 15 µm wavelength
range. Finally, experimental assembly is analysed as a function of alignment uncertains.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants.
Hypothèse de non symétrie azimutale du champ radiatif
10
NOMENCLATURE
Ae
wj
NC
dωd
dωo
E
Eo
f
F
f1
f2
g
g1
g2
"
L
Lc
Lo
Lo
Ls
n
Nd
p
pHG
q
RA
Rd
s
T
Te
Tt
µj
aire de l'échantillon
jème coefficient de la quadrature de Gauss
nombre de conditionnement
angle solide de détection
angle solide du rayonnement collimaté incident
taux d'énergie mesuré par le détecteur en présence de l'échantillon
taux d'énergie mesuré par le détecteur sans échantillon
distance focale d'un miroir
somme des écarts quadratiques
fraction d'asymétrie vers l'avant dans le modèle de fonction de
phase
fraction d'asymétrie dans le modèle de fonction de phase
coefficient d'asymétrie dans la fonction de phase de HenyeyGreenstein
égal à g, pour le pic vers l'avant
égal à g, pour le pic vers l'arrière
épaisseur
luminance spectrale
luminance spectrale collimatée
luminance spectrale du corps noir
luminance spectrale collimatée incidente sur l'échantillon
luminance spectrale diffusée
indice de réfraction du milieu
nombre de directions de discrétisation dans chaque hémisphère
fonction de phase
fonction de phase selon le modèle d'Henyey-Greenstein
flux thermique
rayon d'ouverture du diaphragme du spectromètre
rayon de la surface sensible du détecteur
abscisse linéaire
température absolue
transmittance ou réflectance spectrale bidirectionnelle
expérimentale
transmittance ou réflectance spectrale bidirectionnelle théorique
jème coordonnée de la quadrature de Gauss
[m2]
[sr-1]
[sr-1]
[W]
[W]
[m]
[Wm-2sr-1µm-1]
[Wm-2sr-1µm-1]
[Wm-2sr-1µm-1]
[Wm-2sr-1µm-1]
[Wm-2sr-1µm-1]
[W/m2]
[m]
[m]
[m]
[K]
[sr-1]
[sr-1]
Nomenclature
11
Symboles Grecs
χj
δij
αi
φ
λ
ν
µ
µo
µp
η
ξ
θ
θo
θp
θI
ρ
ρ
Ω
σ
σa
σd
β
τ
τo
ω
ε
ρ
ρ'
τ'
un des six paramètres utilisés dans la présentation du problème
inverse
symbole de Kronecker
paramètre de correction pour la normalisation de la fonction de
phase
angle azimutal
longueur d'onde
fréquence
cos θ
cos θo
cos θp
cosinus directeur par rapport à l'axe y
cosinus directeur par rapport à l'axe z
angle polaire
angle polaire de divergence du faisceau collimaté incident
angle entre les directions d'incidence et de diffusion (dans
présentation des formules d'Henyey et Greenstein)
angle d'incidence du faisceau collimaté sur l'échantillon
réflectivité hémisphérique
masse volumique
angle solide
constante de Stefan-Boltzmann (σ = 5,67051(19)x10-8 W/(m²K4)
coefficient d'absorption volumique et spectrale
coefficient de diffusion volumique et spectrale
coefficient d'extinction volumique et spectrale
coordonnée optique
épaisseur optique de l'échantillon
albédo = rapport entre des coefficients de diffusion et d'extinction
émissivité hémisphérique
réflectivité hémisphérique
réflectivité directionnelle
transmitivité directionnelle
[kg/m3]
[sr]
[W/(m²K4)]
[m-1]
[m-1]
[m-1]
Identification des propriétés radiatives de matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
12
SOMMAIRE
AVANT-PROPOS................................................................................................
7
RESUME..............................................................................................................
8
ABSTRACT..........................................................................................................
9
NOMENCLATURE..............................................................................................
10
SOMMAIRE.........................................................................................................
12
INTRODUCTION.................................................................................................
14
CHAPITRE I...................................................................................................
20
L’EQUATION DU TRANSFERT RADIATIF
1.1 INTRODUCTION........................................................................................
20
1.2 L’EQUATION DU TRANSFERT RADIATIF (ETR)...................................
21
1.3 CONDITION DE SYMETRIE AZIMUTALE..............................................
24
1.4 FORMULATION DE L’ETR SANS SYMETRIE AZIMUTALE.................
25
1.4.1 Développement en série............................................................................
26
1.4.2 Quadrature spatiale..................................................................................
27
1.5 VECTEUR FLUX RADIATIF......................................................................
28
1.6 DIVERGENCE DU VECTEUR FLUX RADIATIF......................................
28
1.7 RAYONNEMENT INCIDENT.....................................................................
28
1.8 TRANSMITTANCES, REFLECTANCES ET EMITTANCE D'UN
MILIEU.......................................................................................................
1.8.1 Transmittance et réflectance bidirectionnelles...........................................
28
29
1.8.2 Transmittance et réflectance hémisphériques.............................................
29
1.8.3 Emittance directionnelle...........................................................................
29
1.9 FONCTION DE PHASE...............................................................................
30
1.9.1 Polynôme de Legendre.............................................................................
32
1.9.1.1 Diffusion Isotrope...............................................................................
33
1.9.1.2 Diffusion linéaire anisotrope du premier degré.....................................
33
1.9.1.3 Diffusion anisotrope du deuxième degré..............................................
34
13
SOMMAIRE
1.9.2 Fonction de phase due à la réflexion par des sphères opaques...................
34
1.9.3 Fonctions Delta........................................................................................
35
1.9.4 Modèle d'Henyey-Greenstein....................................................................
35
1.9.5 Modèle de Henyey-Greenstein Modifié.....................................................
37
1.9.6 Normalisation de la Fonction de Phase......................................................
38
CHAPITRE II.................................................................................................
40
UTILISATION DE LA METHODE DES ORDONNEES DISCRETES
POUR LA RESOLUTION DE L’ETR
2.1 INTRODUCTION........................................................................................
40
2.2 DISCRETISATION ANGULAIRE...............................................................
40
2.2.1 Quadrature spatiale pour un problème sans symétrie azimutale.................
45
2.2.2 Vérification des erreurs sur les moments pour les différentes
quadratures..............................................................................................
2.2.3 Discrétisation angulaire appliquée à L'ETR...............................................
48
53
2.3 DISCRETISATION SPATIALE...................................................................
54
2.3.1 Maillage...................................................................................................
54
2.3.1.1 Maillage régulier.................................................................................
55
2.3.1.2 Maillage irrégulier...............................................................................
55
2.3.1.2.1 Maillage raffiné près des deux frontières......................................
55
2.3.1.2.2 Maillage raffiné près d'une seule frontière.....................................
55
2.3.2 Calculs des luminances aux noeuds et aux faces des volumes de
contrôle.................................................................................................
2.3.3 Flux radiatif..............................................................................................
55
58
2.3.4 Rayonnement incident..............................................................................
58
2.3.5 Différentes Approches pour le calcul de la luminance à l'intérieur
du volume.................................................................................................
2.3.6 Linéarisation du Terme Source.................................................................
58
62
2.4 INFLUENCE DE DIFFERENTS SCHEMAS...............................................
64
2.4.1 Influence de la quadrature........................................................................
64
2.4.2 Influence du type d'interpolation spatiale..................................................
68
2.4.3 Influence de la quadrature pour un problème sans symétrie azimutale.......
74
2.5 CONCLUSION...............................................................................................
84
Identification des propriétés radiatives de matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
CHAPITRE III...............................................................................................
14
85
ESTIMATION DE PARAMETRES
3.1 INTRODUCTION........................................................................................
85
3.2 DESCRIPTION DE LA METHODE DE LINEARISATION DE GAUSS....
86
3.3 DIFFERENTES APPROCHES EXPERIMENTALES POUR
L'IDENTIFICATION DES PROPRIETES RADIATIVES..........................
88
3.4 SCHEMA POUR L'IDENTIFICATION DES PARAMETRES.....................
98
3.4.1 Simulation d'identification de paramètres..................................................
100
3.5 CONCLUSION............................................................................................
104
CHAPITRE IV................................................................................................
105
DESCRIPTION DE LA TECHNIQUE EXPERIMENTALE
UTILISANT LE SPECTROMETRE
105
4.1 INTRODUCTION........................................................................................
105
4.2 DESCRIPTION GENERALE.......................................................................
112
4.2.1 Mesures de transmittances et de réflectances...............................................
112
4.3 CARACTERISATION DU FAISCEAU INFRAROUGE..............................
113
4.3.1 UNIFORMITE DU FAISCEAU..............................................................
114
4.3.2 DETERMINATION DES ANGLES DE DIVERGENCE........................
121
4.4 PROCEDURE D'EXECUTION DES MESURES.........................................
126
CHAPITRE V..................................................................................................
129
RESULTATS EXPERIMENTAUX
5.1 INTRODUCTION........................................................................................
129
5.2 RESULTATS OBTENUS POUR LA FIBRE C3-CRIR................................
131
5.3 RESULTATS OBTENUS POUR LA LAINE DE VERRE (86 kg/m3)..........
144
5.4 RESULTATS OBTENUS POUR LA MOUSSE DE CARBONE TYPE 2....
157
5.5 RESULTATS OBTENUS POUR LA MOUSSE DE CARBONE TYPE 3....
167
5.6 ANALYSE DES ERREURS DE L'ALIGNEMENT OPTIQUE....................
175
5.6.1 Influence du positionnement du détecteur................................................
175
5.6.2 Influence de l'alignement du porte-
177
15
SOMMAIRE
échantillon..............................................
5.7 CONCLUSION.............................................................................................
177
CONCLUSION ET PERSPECTIVES....................................................
179
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES...........................................................
181
ANNEXES...........................................................................................................
198
ANNEXE A1 : Solution de l'ETR sans symétrie azimutale par développement
en série.........................................................................................
ANNEXE A2 : Quadratures..................................................................................
198
202
ANNEXE A3 : Solution analytique pour un cas sans diffusion...............................
211
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
16
,1752'8&7,21
Les modèles prédictifs de transfert de chaleur par rayonnement au sein d'un milieu semitransparent (mst) ont fait l'objet d'un développement important au cours de ces dernières
années. Certains de ces modèles peuvent s'avérer très précis pour le calcul du flux radiatif à
condition que les valeurs des propriétés radiatives injectées dans ces modèles soient
également déterminées avec précision.
La caractérisation des propriétés radiatives d'un mst peut être classée selon deux approches
distinctes :
i) modèles prédictifs fondés sur la résolution de l'équation d'onde électromagnétique à
partir de la connaissance de la morphologie du milieu (forme et dimensions des
particules, distribution des particules, porosité) et des propriétés optiques (indice
complexe de réfraction) du matériau constitutif ;
ii) modèles d'identification des propriétés radiatives reposant sur une méthode d'inversion
de l'équation de transfert radiatif (RTE) à partir des données obtenues à l'aide d'un
dispositif expérimental.
Les modèles de prédiction permettent une étude plus aisée de l'influence de paramètres tels
que la taille de particule et la porosité. Cependant ces modèles nécessitent la connaissance des
propriétés optiques, qui doivent être déterminées de façon expérimentale. Une autre
caractéristique de ces modèles est que, normalement, ils nécessitent une validation
expérimentale. Une remarque sur cette approche est qu'il est souhaitable de déterminer les
propriétés optiques du matériau par un montage expérimental différent de celui sur lequel la
validation du modèle sera réalisée. Si le même dispositif expérimental est utilisé, les erreurs
dues aux conditions expérimentales, seront masquées et les résultats obtenus présenteront une
bonne concordance trompeuse. C'est le cas, par exemple, des mesures réalisées par
Cunnington et Lee (1996). A partir d'un modèle prédictif appliqué à des fibres de verre
(volume spécifique 145 kg/m3) orientées de façon aléatoire dans l'espace, ces auteurs ont
comparé des mesures de réflectance et de transmittance hémisphérique et leurs résultats
présentent des écarts lorsque les valeurs des propriétés optiques du verre provenant de la
littérature sont utilisées. En supposant que cet écart est dû à une différence des propriétés
optiques des fibres de cette étude par rapport aux valeurs de la littérature, ces auteurs ont
déterminé les propriétés optiques de ces fibres (avec des écarts aux valeurs de la littérature
dans un rapport de 1 à 10) en utilisant une démarche d'identification fondée sur le même
dispositif expérimental et le même modèle de prédiction des propriétés radiatives. Comme le
modèle d'identification est basé sur la minimisation des écarts entre les valeurs expérimentales
et théoriques; les résultats prédits de transmittance et de réflectance hémisphérique seront
forcement en bon accord avec les résultats expérimentaux.
Comme il a été dit, une méthode d'identification minimise les écarts entre des valeurs
théoriques et expérimentales de transmittances et de réflectances bidirectionnelles ou
hémisphériques. Normalement, des hypothèses simplificatrices sont introduites pour réduire la
fonction de phase à une expression avec peu de termes à identifier. La réussite d'un modèle
17
INTRODUCTION
d'identification dépendra de la configuration expérimentale utilisée. Certaines configurations
peuvent entraîner une dépendance linéaire entre les paramètres à identifier et l'identification
ne sera alors pas possible.
Dans ce travail, la deuxième approche est utilisée pour l'identification des propriétés
radiatives d'un mst, plus précisément de matériaux fibreux et de mousses (Figure (1)) qui ont
comme caractéristique un fort pic de diffusion. La porosité des ces matériaux est extrêmement
élevée, ce qui permet de considérer le milieu comme ayant un indice de réfraction unitaire. Le
caractère novateur du modèle développé est la prise en compte de l'hypothèse de non-symétrie
azimutale du champ radiatif, permettant l'identification des propriétés radiatives selon des
angles d'incidence variables d'un faisceau collimaté. L'hypothèse de non-symétrie azimutale a
été déjà considérée dans plusieurs travaux (Spiga et Vestrucci (1981), Vestrucci et al. (1982),
Gerstl et Zardecki (1985), Oelund et McCormick (1985), Kumar et Felske (1986), Stamnes et
al. (1988), Modest (1991) et Godsalve (1995)). Cependant ces modèles sont fondés sur la
possibilité de développer la fonction de phase et le champ de luminances en une série de
polynômes de Legendre. Cette hypothèse transforme le problème sans symétrie azimutale en
une somme de problèmes avec symétrie azimutale. Mais une identification des polynômes de
Legendre n'est pratiquement possible que pour un nombre maximum des termes de l'ordre de
5 (Sanchez et McCormick (1982) et Silva Neto et Özisik (1992)) et les fibres et mousses ont
comme caractéristique de nécessiter un nombre très élevé de termes de polynômes de
Legendre (supérieur à 100) pour décrire correctement le phénomène de diffusion. Dans ce
travail, une fonction de phase Henyey-Greenstein modifiée (proposée par Nicolau (1994)) est
utilisée. Elle permet de représenter le pic de diffusion avec un nombre réduit de termes,
puisqu'il n'est que de 3.
Du fait de la limitation présentée par les modèles antérieurs de ne pas pouvoir utiliser une
fonction de phase d'Henyey-Greenstein, nous avons développé une formulation pour la
solution de l'ETR à travers la méthode des ordonnés discrètes en utilisant une quadrature
spatiale. La géométrie considérée est unidimensionnelle. La quadrature est adaptée aux
conditions expérimentales, en permettant d'avoir un nombre maximal de points selon les
directions explorables par le dispositif expérimental.
Le modèle développé permet la prise en compte de plusieurs considérations expérimentales
qui sont analysées dans ce travail. Les différences entre les stratégies expérimentales
susceptibles d'être adoptées sont fonction du type d'incidence du rayonnement (faisceau
collimaté - incident normalement ou incliné sur l'échantillon - ou incidence diffuse) ou du
type de mesures (transmittances et réflectances bidirectionnelles ou hémisphériques, ou
emittances). Une analyse de sensibilité aux propriétés radiatives de la méthode expérimentale
fondée sur un nombre de conditionnement est effectuée en fonction de l'épaisseur optique de
l'échantillon et de l'angle de divergence du faisceau.
Des mesures réalisées pour les fibres et des mousses en condition de non-symétrie
azimutale du champ radiatif sont présentées. Les mesures sont effectuées selon des angles
variant entre 0° et 40°. Le modèle d'identification est utilisé pour déterminer les propriétés
radiatives de ces matériaux. De plus une analyse de l'influence de la quadrature et de la qualité
de l'alignement est réalisé.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
Laine de verre rigide
18
Laine de verre
mousse de carbone
Figure (1) : Les différents types de matériaux analysés dans ce travail.
Ce mémoire est scindé en cinq chapitres.
Dans le premier chapitre la modélisation du transfert radiatif dans un mst pour une tranche
plane est présentée.
Le chapitre 2 établit la solution de l'ETR par la méthode des ordonnées discrètes appliquée
à un volume de contrôle. Dans ce chapitre, plusieurs cas-tests sont appliqués à cette
formulation de façon à évaluer les erreurs et aussi à déterminer des paramètres tels que le
nombre de directions et de volumes de contrôle nécessaire pour une identification correcte des
paramètres.
19
INTRODUCTION
Au chapitre 3 la méthode d'identification utilisée est détaillée. Cinq stratégies
expérimentales sont analysées dans le but de déterminer leurs performances pour
l'identification des paramètres.
Le dispositif expérimental utilisé pour les mesures en condition de non-symétrie azimutale
est présenté au chapitre 4. Les résultats de plusieurs essais de vérification de ce montage sont
présentés et discutés.
Enfin, au cinquième et dernier chapitre, les résultats de l'identification des propriétés
radiatives de deux types de laines et deux types de mousses expansées sont fournis. Une
analyse sur les différentes possibilités d'identification et sur l'influence d'un mauvais
alignement optique du dispositif expérimental sont analysés. Des comparaisons sont
effectuées entre des mesures de transmission et réflexion hémisphériques avec trois
spectromètres différents.
Identification des propriétés radiatives de matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
20
&+$3,75(,
L’EQUATION DE TRANSFERT RADIATIF
1.1 - INTRODUCTION
L'identification des propriétés radiatives d'un milieu semi-transparent (mst) diffusant à
partir d'expériences nécessite de modéliser l'équation du transfert radiatif (ETR) au sein du
milieu. Normalement, les conditions expérimentales sont choisies de façon à permettre
l'utilisation des hypothèses de géométrie unidimensionnelle et de symétrie azimutale du
champ radiatif. Ces hypothèses facilitent considérablement la solution de l'ETR permettant
d'obtenir des codes de calcul rapides pour l'utilisation avec un modèle d'identification de
paramètres. Cependant très peu de travaux existent pour un problème d'identification sans
symétrie azimutale. Pour certains matériaux qui présentent une morphologie homogène, le fait
d'avoir un faisceau incident incliné sur un échantillon produit un effet presque similaire à
l'augmentation de l'épaisseur optique du milieu. Mais certains types de matériaux présentent
une morphologie non homogène (cas de fibres disposées de façon stratifiée sur des plans
parallèles) et leurs propriétés radiatives varient avec l'angle d'inclinaison du faisceau incident.
L'ETR pour un mst diffusant est de type intégro-différentiel, ce qui rend sa résolution
analytique compliquée, à l'exception de cas simples. Cependant les méthodes analytiques
peuvent être utilisées comme références pour tester les techniques approchées afin de
déterminer leur degré de précision. Parmi les méthodes analytiques les plus courantes,
peuvent être citées la méthode FN adaptée au transfert radiatif par Siewert (Modest, 1993) et la
méthode des Harmoniques Sphériques - PN (Howell, 1988). L'indice N détermine l'ordre de
l'approximation. Si cette valeur est infinie, la solution de l'équation de transfert radiatif est la
solution exacte. Il existe aussi des solutions approchées, correspondant à des cas très
simplifiés et qui donnent des résultats satisfaisants pour ces cas spécifiques. L'approximation
de Rosseland (ou modèle de diffusion) pour un milieu optiquement épais et le modèle à deux
flux sont des exemples de solutions approchées.
Pour des problèmes plus complexes, des méthodes numériques ont été développées pour
les cas où doivent être considérées les caractéristiques spectrales, la non-homogénéité des
propriétés radiatives du milieu (Gerstl et Zardecki, 1985), des géométries
multidimensionnelles (Kim et Lee, 1988, Fiveland, 1991, El Wakil, 1991, Ramankutty et
Crosbie, 1997), des gradients de température (Ruperti Jr., 1996), des changements d'indice de
réfraction (Wu et al., 1994, Liou et Wu, 1996), ou encore, des conditions limites nonhomogènes. La méthode de Monte-Carlo a été utilisée pour des problèmes complexes, comme
pour prendre en considération la diffusion dépendante (Singh et Kaviany, 1991), ou pour
étudier le passage d'un problème de diffusion simple à la diffusion multiple (Göbel, 1997). La
méthode de Monte-Carlo peut être très précise à condition de prendre un échantillonnage très
grand. Son inconvénient est qu'elle est très lourde et nécessite beaucoup de calculs. La
méthode des zones, développée par Hottel (Hottel et Sarofin, 1963), est l'une des plus utilisées
en transfert radiatif. Elle peut être également très précise mais son principal inconvénient est
qu'elle conduit à des temps de calcul prohibitifs. La méthode des éléments finis (Kisselev et
al., 1994) appliquée à l'ETR est une autre technique numérique qui présente un intérêt du fait
21
CHAPITRE I : L’équation du transfert radiatif
de sa facilité de génération de maillage et, en conséquence, de son couplage aisé avec d'autres
codes de calculs. Le principe de la méthode multi-flux consiste à subdiviser l'espace angulaire
en un certain nombre de directions et à considérer la luminance constante dans chaque partie.
Sa précision augmente avec le nombre de directions. La méthode des ordonnées discrètes est
une variante de la méthode multi-flux, toutefois Chandrasekhar (1960) l'a développée pour
intégrer correctement un polynôme d'ordre (2Nd-1), où Nd est le nombre de directions de la
quadrature. De cette façon la précision de la méthode des ordonnées discrètes doit être
supérieure à celle d'une approche multi-flux. La méthode des ordonnées discrètes a été
largement utilisée pour résoudre différents problèmes radiatifs du fait de sa mise en oeuvre
adaptée aux cas de couplage rayonnement/conduction et/ou convection.
La méthode des ordonnées discrètes permet de passer de la forme intégro-différentielle de
l'ETR à un système d'équations différentielles par l'entremise d'une discrétisation angulaire.
Ce système peut être résolu à travers un méthode analytique : calcul de la solution homogène,
puis de la solution particulière à l'aide des conditions limites. Une autre façon de résoudre le
système d'équations différentielles est d'utiliser la méthode des volumes finis (Carlson et
Lathrop, 1968).
La solution de l'ETR pour un problème sans symétrie azimutale a été traitée dans le cadre
de différents travaux, surtout dans les cas de problèmes atmosphériques et océanographiques
où le rayonnement solaire a un angle d'incidence variable sur la couche atmosphérique et
l'océan. Dans ce cas, les propriétés radiatives du milieu sont considérées comme connues et
constantes selon l'angle d'incidence. Plus récemment, Lee (1989, 1994, 1995, 1996) et Boulet
(1992) ont calculé les propriétés radiatives de fibres disposées de façon stratifiée dans des
plans parallèles aux frontières du milieu. Cette analyse est effectuée à partir de la solution des
équations de Maxwell.
La méthode des ordonnés discrètes, utilisée avec l'approche de volumes de contrôle
(Carlson et Lathrop, 1968), très précise, basée sur des approximations peu restrictives, a été
choisie dans le présent travail. Elle a permis aussi de prendre en compte la non-symétrie
azimutale qui sera exploitée pour l'identification des propriétés radiatives de mousses et
fibres.
L'objectif de ce premier chapitre est de présenter le modèle de calcul en ordonnées
discrètes pour un problème sans symétrie azimutale. L'ETR est d'abord présentée, puis les
types de fonction de phase appliquées aux fibres et mousses sont exposés.
1.2 - L’EQUATION DU TRANSFERT RADIATIF (ETR)
Si l'on effectue, à une fréquence ν, un bilan des mécanismes physiques d'interaction
rayonnement/milieu pour un rayonnement se propagent à travers un milieu qui absorbe, émet,
ou diffuse, on obtient l'expression de l'ETR monochromatique :
(σ a ν
&
1
& &
& &
Ω∇L ν s ,Ω + L ν s ,Ω =
+ σd ν )
( )
( )
& &


σd ν
σd ν
1
& &
1 −
 L ν ° (T) +
pν Ω'⋅Ω L ν s ,Ω' dΩ'
(σ a ν + σ d ν ) 
4 π (σ a ν + σ d ν ) Ω ' = 4 π

∫ (
) (
)
(1.1)
Identification des propriétés radiatives de matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
22
&
où Lν est la luminance monochromatique, Loν celle du corps noir, s est la variable de position
&
fonction du système de cordonnés utilisés, Ω est la variable directionnelle, σaν est le
& &
coefficient d'absorption spectral, σdν est le coefficient de diffusion spectral et pν (Ω' , Ω) est la
fonction de phase spectral. La luminance totale du corps noir est donnée par la formule :
n 2 σ T4
L =
π
o
(1.2)
où σ est la constante de Stefan-Boltzmann (σ = 5,67051(19)x10-8 W/(m²K4) - (NIST CODATA)) et n est l’indice de réfraction du milieu équivalent à un milieu homogène.
L'ETR peut être aussi écrite sous une forme adimensionnelle. Dans ce cas les termes de
l'équation (1.1) seront replacés par :
τν = βν x
β ν = σ aν + σ dν
ων =
σ dν
σ
= dν
σ dν + σ aν β ν
(1.3)
où βν est le coefficient volumique d'extinction spectral, τν est la profondeur optique selon
l'axe x, telle que τν=βνx pour un coefficient d'extinction invariant avec la position et ων est
l'albedo.
L’indice ν représente la fréquence et dans la suite il sera omis pour alléger l’écriture. Le
rayonnement parcourt une distance à l'intérieur d'un milieu et ce parcours doit être projeté sur
un système de coordonnées. Le système de coordonnes cartésiennes et leurs cosinus directeurs
respectifs (µ, ξ, η) sont présentés à la Figure (1.1). Leurs expressions en fonction des angles
&
de repérage de la direction Ω par rapport aux axes sont données dans les équations (1.4) à
(1.6). Les expressions (1.4) et (1.5) définissent la façon de calculer l'angle θp entre deux
& &
directions (Ω', Ω) à partir des cosinus directeurs. L'angle correspondant à µ est appelé l'angle
polaire et l'angle φ est celui d'azimut.
µ = cos θ

η = cos α y = sin θ cosφ

ξ = cos α z = sin θ sinφ
dΩ = sin θ dθ dφ
(1.4)
& &
Ω'⋅Ω = cosθ p = µ p = µµ ' + 1 − µ 2 1 − µ '2 cos(φ − φ ')
(1.5)
cosθ p = µ p = µµ ' + ηη' + ξξ'
(1.6)
23
CHAPITRE I : L’équation du transfert radiatif
&
ey
η
φ
& &
L( s ,Ω)
αy
θ
αz
& ξ
ez
ex
µ
x
z
Figure (1.1) : Définition des cosinus directeurs (µ, ξ,η).
Pour une géométrie unidimensionnelle cartésienne, Figure (1.2), l'ETR se simplifie :
&
&
& &
&
1 dL s,Ω
ω
p Ω'⋅Ω L s,Ω' dΩ'
+ L s,Ω = (1 − ω ) L° ( T) +
4π Ω'= 4 π
β ds
( )
( )
∫ (
x
"x
) ( )
(1.7)
τ
τo
face1
φ
&
Ω
µ>0
µ<0
&
s
θ
face0
θI
Figure (1.2) : Système de cordonnées unidimensionnel (Tranche plane semi-transparente).
Identification des propriétés radiatives de matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
24
1.3 CONDITION DE SYMETRIE AZIMUTALE
La condition de symétrie azimutale a été souvent utilisée du fait de la facilité de résolution
qu'elle apporte à l'ETR. En utilisant cette condition, les variables deviennent indépendantes de
l'angle d'azimut φ et sont constantes autour d’un cône d’angle solide Ω centré sur l’axe x,
Figure (1.3). Dans ce cas :
&
L( s, Ω) = L( x , µ , φ) = L( x , µ )
(1.8)
∫
Ω=4 π
... dΩ =
2π
∫ ∫
π
φ =0 θ= 0
sinθdθdφ = 2 π
∫
1
−1
... dµ
l’ETR, équation (1.7), devient
µ
∂L( τ, µ )
ω 1
L( τ, µ ') p(µ ' , µ ) dµ '
+ L( τ, µ ) = (1 − ω ) L0 ( T) +
2 −1
∂τ
∫
µ<0
(1.9)
µ>0
L(τ,µ)
dω
Figure (1.3) : Discrétisation polaire de l'espace sphérique en plusieurs anneaux (Ruperti,
1996).
De façon à augmenter la précision sur l'intégration du flux aux parois (Fiveland, 1985) dans
la méthode de ordonnées discrètes, on peut réécrire l’équation ci-dessus pour obtenir une
intégration comprise entre 0≤µ≤1 :
µ
∂L( τ, µ )
+ L( τ, µ ) = ( 1 − ω ) L0 (T)
∂τ
ω 1
+  L( τ, µ ' ) p(µ ' , µ ) dµ ' +
20
∫
L( τ,− µ ' ) p( − µ ' , µ ) dµ '
0

∫
1
(1.10)
25
CHAPITRE I : L’équation du transfert radiatif
Les conditions limites générales pour un problème avec symétrie azimutale et un milieu
avec un indice de réfraction unitaire peuvent être exprimées de la façon suivante :
1

0
=
0
;
L
(
0
,
)
=
L
(
0
)
+
2
ρ
τ
µ
ε
o
0 L( 0,− µ ) µ ' dµ '

0

+ ρ'o L(0,− µ ) + τ' o LC (0, µ )




1
τ = τ o ; L( τ o , µ ) = ε 1L0 ( τ o ) + 2ρ1 L( τ o , µ )µ ' dµ '
0


+ 2ρ'1 L( τ o , µ ) + τ'1 LC ( τ o , µ )
∫
∫
µ>0
(1.11)
µ<0
où ε désigne l'émissivité hémisphérique, ρ est la réflectivité hémisphérique, ρ' est la
réflectivité directionnelle et τ' est la transmitivité directionnelle de la paroi pour un
rayonnement incident extérieur de luminance LC selon la direction µ. D'après cette
formulation, l'incidence du rayonnement peut varier entre une incidence collimatée normale et
une incidence hémisphérique. Pour respecter la conservation d'énergie, les propriétés de
surfaces doivent respecter la relation suivante :
ε + ρ + ρ'+ τ' = 1
(1.12)
1.4 - FORMULATION DE L’ETR SANS SYMETRIE AZIMUTALE
Pour un problème unidimensionnel sans symétrie azimutale le champ de luminance au sein
du milieu perd sa symétrie par rapport à l’axe d’azimut. Cela ne permet pas l’utilisation de
l’équation (1.9) pour la simplification de l’ETR qui doit être résolue sous la forme de
l'équation (1.7).
Cependant, Tsay et al. (1990) ont proposé l’utilisation d’une moyenne sur le champ de
luminance non-azimutal pour calculer le flux. Celle-ci est souvent utilisée pour les
applications météorologiques où il y a une nécessité de codes rapides pour des applications en
temps réel. De cette façon on peut calculer le flux incident sur la surface de la terre. Dans ce
cas, le rayonnement incident n’est plus considéré comme étant dans un cône centré sur l’axe
normal à la frontière du mst, mais dans un angle solide dω, en forme d'anneau, comme est
représenté à la Figure (1.3). On doit choisir dω de façon à respecter la conservation du flux
incident. Toutefois le champ de luminance est calculé assez grossièrement et cette méthode ne
peut donc pas être utilisée pour l’identification de paramètres.
Si le milieu présente une diffusion isotrope le problème peut être ramené à un cas avec
symétrie azimutale. Özisik (1973) a formulé ce problème en décomposant le champ de
luminance en une partie collimatée et une autre diffuse. Dans ce cas le champ de luminance
diffus présente la caractéristique de symétrie azimutale. Modest (1991 et 1993) a présenté des
résultats pour ce cas en obtenant une solution formelle par des fonctions intégrales et aussi
une solution approchée avec la méthode P1.
Plus récemment, différents travaux ont déjà été menés sur le problème sans symétrie
azimutale pour un milieu anisotrope, surtout dans des applications atmosphériques et
Identification des propriétés radiatives de matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
26
océanographiques où le soleil a un angle d'incidence variable par rapport à la couche
atmosphérique et à l'océan. Dans ces travaux les propriétés radiatives du milieu sont
considérées comme connues et constantes selon l'angle d'incidence.
La majorité des travaux partent de la formulation de l'ETR présentée par Chandrasekhar
(1968) et reprise par Özisik (1973). Ces auteurs suggèrent une méthode pour transformer
l'ETR sans symétrie azimutale en un problème avec symétrie azimutale en décomposant la
luminance sous la forme d'une série de Fourier. Cette démarche nécessite cependant
l'utilisation de la fonction de phase écrite sous la forme d'un polynôme de Legendre.
Une autre manière de considérer un problème sans symétrie azimutale est d'utiliser une
quadrature angulaire en fonction des trois cosinus directeurs (µ, ξ,η). Peu de travaux
concernant cette méthode existent pour traiter un problème sans symétrie azimutale dans une
géométrie unidimensionnelle. Oelund et McCormick (1985) ont utilisé une quadrature spatiale
pour résoudre un problème sans symétrie azimutale par la méthode FN. Leur quadrature était
construite selon une distribution de directions uniforme selon φ et la direction d'incidence était
interpolée à partir des directions déjà préexistantes.
D'autres analyses considérant une géométrie multidimensionnelle, ont été réalisées. Crosbie
et Schrenker (1985) ont publié une solution formelle pour une géométrie bidimensionnelle
cartésienne, Crosbie et Farrel (1984) ont développé, par une méthode intégrale, une solution
pour une géométrie cylindrique , Kim et Lee (1989) ont utilisé la méthode des ordonnées
discrètes pour une géométrie cartésienne bidimensionnelle et une fonction de phase
anisotrope.
1.4.1 DEVELOPPEMENT EN SERIE
Si la diffusion est anisotrope, le champ diffus ne présente plus une symétrie azimutale.
Chandrasekhar (1960) et Özisik (1973) ont proposé la décomposition du champ de luminance
L(τ,µ,φ) en termes de série de Fourier en sinus et en cosinus autour de l'angle d'azimut φ :
L(τ , µ , φ) =
∞
∞
∑ L (τ, µ) cos k (φ − φ ) + ∑ L (τ, µ) sin k (φ − φ )
k
k
o
k =0
o
(1.13)
k =0
Le terme en sinus de l’équation (1.13) est introduit de façon à pouvoir prendre en compte
une condition-limite diffuse. Si il n’y a pas une incidence diffuse (cas d'un faisceau incident
incliné), le terme en sinus ne contribue pas à la solution, ceci étant dû à une symétrie du
problème autour de φο (φο est l'angle d'incidence du faisceau selon la coordonnée φ).
Dans l'Annexe A.1 le développement de cette solution est détaillé. Le résultat obtenu pour
le champ de luminance diffus est une somme de solutions de problèmes avec symétrie
azimutale gouvernée par des équations dans la forme (Godsalve, 1995) :
µ
∂Lk d (τ, µ ) k
+ L d (τ , µ ) =
∂τ
1
ω
ω
Lo p k (µ , µ o , φ, φ o )e − τ µ o + [δ ok + 1] p k (µ , µ' ) Lk d (τ, µ ') dµ '
4π
4
µ =−1
∫
(1.14)
27
CHAPITRE I : L’équation du transfert radiatif
les luminances pouvant être obtenues à partir de Lkd par la relation suivante :
L( τ, µ , φ) =
K
∑ L ( τ, µ) cos k (φ − φ )
k
d
o
(1.15)
k =0
où k=0,1, ... , K. La précision de la solution dépend du nombre de termes K utilisé dans la
somme de solutions avec symétrie azimutale.
L'équation (1.14) peut être résolue par différentes méthodes. Spiga et Vestrucci (1981) et
Vestrucci et al. (1982) ont présenté un développement avec la méthode PN pour un cas avec
incidence inclinée, interfaces avec réflexion diffuse et spéculaire et pour un milieu à diffusion
isotrope et anisotrope linéaire. Kumar et Felske (1986) ont développé une solution par la
méthode FN pour un milieu avec une diffusion anisotrope de type polynôme de Legendre. En
plus d'un faisceau incliné incident sur la surface du milieu, les conditions limites considèrent
un faisceau diffus non uniforme et une réflexion spéculaire et diffuse aux interfaces. Stamnes
et al. (1988) ont présenté les équations pour la méthode des ordonnées discrètes (formulation
matricielle) pour résoudre un problème avec un milieu non-homogène, non-isotherme, avec
une incidence d'un faisceau collimaté incliné plus une partie diffuse. Plus récemment,
Godsalve (1995) a analysé un problème d'incidence inclinée par rapport à l'atmosphère
terrestre en utilisant la méthode de Stamnes et al. (1988). Pour pouvoir analyser une fonction
de phase de Henyey-Greenstein, typique dans ce genre de problème, il a eu besoin de 300
termes pour le développement de la fonction de phase avec un facteur d'asymétrie égal à 0,95.
1.4.2 QUADRATURE SPATIALE
Gerstl et Zardecki (1985) ont proposé un modèle de solution de l’ETR sans symétrie
azimutale basé sur l’intégration spatiale des luminances selon la méthode des ordonnées
discrètes proposée par Carlson et Lathrop (1968) pour les géométries multidimensionnelles.
Cependant, dans leurs articles ils n'ont pas précisé la forme de construction de la quadrature
spatiale (θ,φ), ni l'angle solide d'incidence du faisceau. Comme nombre de directions de la
quadrature pour le problème avec symétrie azimutale ils ont adopté 40.
La quadrature utilisée par Oelund et McCormick (1985) a été construite selon une
distribution de directions uniforme et la direction d'incidence était interpolée entre les
directions déjà préexistantes. Néanmoins, cette quadrature n'est pas recommandée pour
l'identification des propriétés radiatives de matériaux présentant un fort pic de diffusion du
fait de la nécessité de concentrer le nombre de mesures autour du pic. De cette façon la
fonction de phase est plus facilement identifiée (Nicolau, 1994).
Pour résoudre cette difficulté, dans le présent travail, une quadrature spatiale a été
construite à partir d'une quadrature construite pour un problème avec symétrie azimutale. Une
rotation de toutes les directions est effectuée, avec une rotation du système de coordonnées.
Cette démarche sera expliquée dans la suite de ce chapitre.
Identification des propriétés radiatives de matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
28
1.5 VECTEUR FLUX RADIATIF
Le vecteur flux de rayonnement présente un grand intérêt dans le domaine de l'ingénierie.
Son expression monochromatique peut être écrite sous la forme :
&
q ν r ( τ) =
∫
& &
L ν ( τ , Ω) Ω dΩ
(1.16)
Ω=4 π
Son intégration sur toutes les fréquences donne le vecteur de rayonnement total :
&
q r ( τ) =
∫
∞
0
q rν ( τ ) dν
(1.17)
1.6 DIVERGENCE DU VECTEUR FLUX RADIATIF
La divergence du vecteur flux radiatif caractérise l'énergie radiative nette qui est absorbée
ou émise par le milieu. Si ce terme est nul le milieu est dit à l'équilibre radiatif :
&
div(q r (s)) = ∇⋅
&
&
∫ Ω L(τ, Ω) dΩ
Ω=4 π


&
= σ a 4 πL0 − L( τ, Ω)dΩ 


Ω=4 π
∫
(1.18)
1.7 RAYONNEMENT INCIDENT
Le rayonnement monochromatique incident au point τ, représente la somme du
rayonnement monochromatique incident selon toutes les directions de l'espace. Il est défini
par :
G ν ( τ) =
∫
&
L( τ, Ω) dΩ
Ω=4 π
G ν ( τ) = 2 π
∫
1
−1
(1.19)
L( τ, µ ) dµ
1.8 TRANSMITTANCES, REFLECTANCES ET EMITTANCE D'UN MILIEU SEMITRANSPARENT
La transmittance et la réflectance d'un milieu peuvent être définies selon la nature du
faisceau incident : collimaté ou hémisphérique, ou selon le type de mesure de l'énergie
transmise : bidirectionnelle ou hémisphérique. L'émittance est définie par rapport à la
température du corps noir.
29
CHAPITRE I : L’équation du transfert radiatif
1.8.1 TRANSMITTANCE ET REFLECTANCE BIDIRECTIONNELLES
La transmittance bidirectionnelle est le rapport de la luminance du rayonnement transmis
dans une direction donnée à la densité du flux radiatif incident sur l'échantillon dans un angle
solide élémentaire dωo. Lodωoµ I (µ I=cos(θI)) représente le flux d'énergie par unité de surface,
incident sur l'échantillon. Si dωo est petit on peut définir le faisceau comme collimaté, si dωo
vaut 2π l'incidence est dite hémisphérique.
L(θ, φ)
Lo dω o µ I
Tbd (θ, φ) =
(1.20)
La réflectance bidirectionnelle est définie de manière analogue, mais cette fois en relation
avec la luminance du rayonnement réfléchi :
R bd (θ, φ) =
L(θ, φ)
Lo dω o µ I
(1.21)
1.8.2 TRANSMITTANCE ET REFLECTANCE HEMISPHERIQUES
Transmittance hémisphérique est le rapport du flux transmis par l'échantillon dans un angle
solide de 2π sr, au flux incident sur l'échantillon dans un angle solide élémentaire dωo :
∫ L(θ, φ)cosθ dΩ
2π
Teh =
0
Lo dω o µ I
(1.22)
La réflectance hémisphérique est définie de manière analogue, mais cette fois en relation
avec le flux du rayonnement réfléchi :
∫ L(θ, φ)cosθ dΩ
2π
R eh =
0
Lo dω o µ I
(1.23)
1.8.3 EMITTANCE DIRECTIONNELLE
Emittance directionnelle dans une certaine direction (θ,φ) est le rapport entre la luminance
émise par un corps à une température constante To et la luminance du rayonnement d'équilibre
émis à la même température To. A partir de cette définition on peut considérer l'émittance
comme un phénomène de volume et on peut l'étendre à des mst. L'émittance directionnelle est
définie par :
L(θ, φ)
ε ed (θ, φ) =
(1.24)
Lo
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
30
1.9 FONCTION DE PHASE
La diffusion d'une onde électromagnétique par une particule est due aux phénomènes de
diffraction, de réfraction et de réflexion. L'importance sur la diffusion de chacun de ces
phénomènes dépend de la longueur d'onde du faisceau incident, de l'indice complexe de
réfraction, de la taille et de la morphologie des particules. La distribution de la diffusion,
lorsqu’un rayonnement traverse un milieu semi-transparent est décrite par la fonction de phase
pν dont la valeur ( pν (Ω' , Ω) 4 π ) dΩ représente la probabilité pour qu’un faisceau incident
dans l’angle solide dΩ’ centré sur la direction Ω’, soit diffusé dans l'angle solide dΩ centré
sur Ω, Figure (1.4).
ce
nan e
i
m
L u i ff u s é
d
Ω
L um ina nc e
Inc id e nte
Ω’
∆A
ds
Figure (1.4) : Diffusion par le milieu de la direction Ω' vers la direction Ω (Nicolau, 1994).
La somme des probabilités sur toutes les directions de l’espace doit être égale à l’unité,
aussi la fonction de phase doit être normalisée :
1
p(Ω' , Ω) dΩ = 1
4 π Ω=4 π
∫
(1.25)
Dans le cas où les particules diffusantes sont composées d’un matériau homogène,
isotrope, présentent une symétrie sphérique parfaite, où le milieu n’a pas de direction
préférentielle la fonction de phase ne dépend que de l’angle θp entre la direction d’incidence et
celle de diffusion, Figure (1.5). Par contre si le milieu ne respecte pas ces conditions, la
fonction de phase dépend de deux angles. C'est le cas, par exemples des fibres stratifiées dans
des plans [(Lee, 1989, 1994, 1995, 1996) et (Boulet, 1992)].
Pour un cas avec symétrie azimutale le champ de rayonnement ne dépend plus de l’angle
d’azimut φ. La fonction de phase p(µ',µ) pour l'utilisation avec l'équation (1.9) peut être
obtenue en intégrant p(θp) sur dφ' :
∫ ∫ L ( τ, µ') p(µ' , φ' → µ, φ) dµ' dφ'
1
4π
1
=
2
2π
1
0
−1
1
L ( τ, µ ') 
-1
 2π
∫
1
∫
2π
0

p(µ ' , φ' → µ , φ) dφ'dµ '

(1.26)
31
CHAPITRE I : L’équation du transfert radiatif
p (µ ' , µ ) =
1
2π
∫ p(µ' , φ' → µ, φ) dφ'
2π
(1.27)
0
θ θ ,φ
/
θ,φ
/
θp
θ
θ
φ
φ
φ Figure (1.5) - Les angles pour les directions d'incidence et de diffusion. (Nicolau, 1994).
Différentes représentations de fonction de phase peuvent être utilisées. Un milieu avec un
paramètre de taille de particules (πd/λ) petit présente une fonction de phase plus uniforme. Si
le paramètre de taille augmente, la fonction de phase commence à présenter des pics de
diffusion pour certaines directions. Cet effet est montré sur la Figure (1.6) pour une particule
sphérique d'alumine. La fonction de phase a été calculée en utilisant la théorie de Mie avec le
code développé par Dembélé et al. (1997). Une représentation réaliste de fonctions de phase
très pointues vers l'avant (cas de laines de verres par exemple, ou de suspensions de particules
dans l'eau) peut nécessiter un développement d'ordre très élevé, comportant de nombreux
termes. Il est évident que l'identification expérimentale des coefficients d'un tel
développement n'est pas possible, c'est pourquoi l'on préfère utiliser des fonctions de phase
plus simples, contenant peu de paramètres à identifier. Dans ce qui suit, les fonctions de phase
les plus courantes seront présentées.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
32
rayon = 100 µm
0
330
30
3
10
1
300
rayon = 10 µm
10
60
-1
10
-3
10
270
90
-1
10
1
10
240
rayon = 0.1 µm
120
3
10
210
150
180
Figure (1.6) : Diffusion d'une particule sphérique pour plusieurs diamètres,
n=(8,4.10-7i+1.754) et λ=3 µm.
1.9.1 POLYNOMES DE LEGENDRE
La fonction de phase peut être approchée par une somme de polynômes de Legendre,
(expression 1.28). Cette représentation permet d’approcher n’importe quelle fonction de phase
lorsque le nombre de termes est assez grand. Dans la pratique on tronque cette somme de
termes (Özisik, 1973).
∞
( ) ∑ a P (µ ) , avec a
p µp =
i
i
p
0
=1
(1.28)
i=0
où
µ p = µµ ' + 1 − µ 2 1 − µ '2 cos(φ − φ ')
(1.29)
ai = constante correspondant à l'ordre i, fonction des caractéristiques du milieu ;
Pi = polynôme de Legendre d’ordre i ;
θp = l’angle entre le faisceau incident et le faisceau diffusé ;
φ = l’angle d’azimut.
33
CHAPITRE I : L’équation du transfert radiatif
1.9.1.1 DIFFUSION ISOTROPE
Lorsqu'on considère un seul terme pour le polynôme de Legendre, équation (1.28), la
fonction de phase est dite isotrope. Dans ce cas, le rayonnement est diffusé de manière égale
dans toutes les directions de l'espace.
p (µp) = 1
(1.30)
00
3 55
343550
3 40
1
33335
0
3 25
32 0
315
3 15
0
.8
31 0
3 05
0 .6
30 0
295
290
0 .4
2 85
2 80
0 .2
27 5
270
27 0
0
26 5
2 60
2 55
250
245
24 0
2 35
23 0
2 25
22 0
225
2 15
21 0
205
2 00
191590
1 85
5 1 015
1 80
180
202 5
30
35
4045
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
90
95
100
105
1 10
1 15
12 0
1 25
13 0
135
14 0
145135
15 0
1 55
16160
5
1 70
175
Figure (1.7) : Diffusion isotrope.
1.9.1.2 DIFFUSION LINEAIRE ANISOTROPE DU PREMIER DEGRE
Dans le cas d'une diffusion linéaire anisotrope, le nombre de termes est égal à 2 :
p (µp) = 1 + a µp
-1 ≤ a ≤ 1
(1.31)
Si a>0 on a une fonction de phase dirigées vers l’avant, dans le cas contraire elle est dirigée
vers arrière.
0
0
0
35 5
350
345
2
340
335
330
3 25
315 320
315
1 .5
310
305
300
1
295
290
285
0 .5
280
275
0
270270
265
260
255
250
245
240
235
230
225
220
2 15
225 210205200195
190
18 5
5 101 5
2025
30
35
45
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90 90
95
100
105
110
115
120
125
1 30
13 5
140
145
150
135
155
160
1 65
170
175
180
180
Figure (1.8) : Diffusion linéaire anisotrope
(a = 1).
0
355
350
345
2
340
335
330
315 325
320
1.5
315
3 10
30 5
300
1
295
290
285
0.5
280
275
270270
0
265
260
255
250
245
240
23 5
2 30
225
220
215
225 210205200
195
190
185
5 101 5
2025
30
45
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90 90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
135
155
160
1
65
170
175
180
180
Figure (1.9) : Diffusion linéaire anisotrope
(a = -1).
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
34
1.9.1.3 DIFFUSION ANISOTROPE DU DEUXIEME DEGRE
La fonction de phase est écrite avec trois termes. Avec a1 = 0 et a2=1/2 on obtient la
diffusion de Rayleigh :
p( µ p ) =
(
3
1 + µ 2p
4
)
(1.32)
0
0 0.0872
6 .195
9188
66469938
325 8
6 .10
8652
38245 0
0 .17
45329
6 .021
3859
0.2617
5.9341
1945
719
0.349
0658
5 13
0 .436
3323
5.8468
5299
4355
0.5235
9877 6
5 .759
5865
32
5 10
3
50
345
15
0.6108
6523 8
5 .672 3200
69
3
40
20
25
3
35
1.5
0.6981
3170 1
5 .585 0536
06
3
0
330
0 .78553981 63
5 .49 7787
144
325
4503.872
5.4105 2068
1
4 0 6646 26
320315
0.9599
45 3108 9
5 .323 2542
3 1519
5 0 1975 51
3 10 6
1 .047
5.2359 8775
1
554640 14
305 3
1.134
5.1487
2129
6 07304 76
3
00
1.221
5.0614 5483 1
6 5 9693 9
2
95
1.3089
.974 1883 68
7 2634
0
90 6
0.5
1 .396
02
88692 2190
75
285
1.4835
79926554
802986 4
80 43
1.5707
9632
7
.7123
8898
85
275 270
90
0
1.6580
62521225
9 06278 9
70 18
1 .745 3292
5378
5605 5
9 5 52
265
1.8325 9571 5
.450 5895 93
100 77
2 603231 3
1.919
8621
4 .363
1 05 4
2555666 7
2.007 1286
4.2760
110 02
2 509020 5
4.1887
2 .094115
3951
2
45
4 .101 5237 42
2.1816 6156 5
40 2572 8
12028
42.014
2 .268 9280
3 .92
235
6990 817
2 .35 61944
1 259
3 .839
2.4434 6095
2 307243 54
130 3
3 .752
4578
92
2.5307
2741
2
1 358 5
225
1359387
3 25
.665
1914
29 7
2.6179
220
141
40
3.5779
2496
2 .705
2603
3.4906
5850
441
2.792
5268
215
103
45
3
.403
3920
2.8797
9326
6
3
.31
6125
579
2
.96
70597
28
210
3 .228 8591 16
3.0543 2619 1155
1 50
2 05
2 00
160
195
1 65
1 90
170
180
185 3 .141
5926 54 1 75
180
Figure (1.10) : Diffusion anisotrope du deuxième degré (a1 = 0 et a2=1/2).
1.9.2 FONCTION DE PHASE DUE A UNE REFLEXION DIFFUSE PAR DES SPHERES OPAQUES
La fonction de phase due à la réflexion diffuse par des sphères opaques est définie par la
relation suivante (Siegel et Howell, 1981) :
(
( )
p µ p = (8 3π ) 1 − µ p 2 − µ p cos−1 µ p
)
(1.33)
0
330
300
270
240
210
30
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
60
90
120
150
180
Figure (1.11) : Diffusion due à une réflexion diffuse par des sphères opaques.
35
CHAPITRE I : L’équation du transfert radiatif
1.9.3 FONCTIONS DELTA
Pour un milieu avec une diffusion très pointue vers l'avant, comme c'est le cas pour les
particules sphériques de grand diamètre, le nombre de termes nécessaire pour la somme de
polynômes de Legendre peut être d'une centaine , ce qui est pénalisant dans les calculs. Pour
réduire le nombre de termes, le pic vers l'avant peut être remplacé par une fonction delta
(Dirac). L’idée est de remplacer la diffusion dans un angle très petit vers l'avant selon la
direction d'incidence pour une transmission de rayonnement dans cette même direction
(Potter, 1970). D'une manière générale la fonction Delta -M peut être représentée de la façon
suivante :
( )
p(θ p ) = 2 f δ(1 − cosθ p ) + (1 − f ) p' θ p
(1.34)
où p'(θp) est la fonction de phase sans le pic avec un nombre réduit de termes et f est le
coefficient d’asymétrie. Pour un polynôme d'ordre 1 on obtient la fonction Delta :
p(θ p ) = 2 f δ (1 − cosθ p ) + 1 − f
(1.35)
La fonction delta-Eddington combine une fonction de Dirac avec un développement en
série de polynômes de Legendre limité à l'ordre 2 (Joseph, J.H. et al., 1976).
(
p (θ p ) = 2 f δ(1 − cosθ p ) + (1 − f) 1 − 3gcosθ p
)
(1.36)
où f représente la fraction diffusée vers l'avant et g le paramètre d'asymétrie définis
respectivement par f=a2 ; g=(a1 -f)/(1-f), à partir des polynômes de Legendre, cette fonction est
normalisée.
1.9.4 MODELE D'HENYEY-GREENSTEIN
Afin de présenter une fonction de phase très pointue vers l’avant ou vers l’arrière, avec un
nombre non excessif de termes, Henyey et Greenstein ont proposé une fonction de phase qui
ne dépend que d’un seul paramètre d’asymétrie, g.
Le modèle de Henyey-Greenstein, est donné par l’expression suivante :
(
)
p θp , g =
(1 + g
1 − g2
2
− 2 g cosθ p
)
3
2
(1.37)
Dans cette expression g est le coefficient d'asymétrie, variant entre 0 et 1 pour la diffusion
vers l'avant et entre -1 et 0 pour la rétrodiffusion. Une diffusion isotrope correspond à g = 0.
Pour une diffusion fortement anisotrope le coefficient d'asymétrie sera proche de ±1. Les
Figures (1.12) à (1.16) montrent la variation de la fonction de phase de Henyey-Greenstein
avec le paramètre d'asymétrie g. Ces courbes présentent p(θp ,g) en coupe plane, toutefois θp
est fonction de θ et φ qui sont des coordonnées spatiales.
Le coefficient d’asymétrie g, peut être obtenu à partir d'une somme de polynômes de
Legendre en utilisant l'expression suivant :
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
g=
36
∫ P(θ ) cos µ dµ
1
(1.38)
p
−1
00
3 55
343550
3 40
33335
0
1
3 25
32 0
315
3 15
0
.8
31 0
3 05
0 .6
30 0
295
290
0 .4
2 85
2 80
0 .2
27 5
27 0
270
0
26 5
2 60
2 55
250
245
24 0
2 35
23 0
2 25
22 0
225
2 15
21 0
205
2 00
191590
1 85
1 80
180
5 1 015
202 5
30
35
4045
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
90
95
100
105
1 10
1 15
12 0
1 25
13 0
135
14 0
145135
15 0
1 55
16160
5
1 70
175
Figure (1.12) : Fonction de phase de Henyey-Greenstein (g = 0,0).
0
330
0
30
2.0
330
1.5
300
1.5
60
1.0
300
0.5
0.0
90
270
0.0
0.5
120
1.0
240
1.5
210
150
210
2.0
Figure (1.13) : Fonction de phase de
Henyey-Greenstein (g = 0,15).
Figure (1.14) : Fonction de phase de
Henyey-Greenstein (g = -0,15).
0
0
330
30
200
300
60
100
50
0
90
270
0
90
50
50
100
120
100
240
120
150
150
210
60
100
50
240
30
200
150
150
270
150
180
180
300
120
1.5
2.0
330
90
0.5
1.0
240
60
1.0
0.5
270
30
2.0
200
150
180
Figure (1.15) : Fonction de phase de
Henyey-Greenstein (g = 0,90).
210
200
150
180
Figure (1.16) : Fonction de phase de
Henyey-Greenstein (g = -0,90).
37
CHAPITRE I : L’équation du transfert radiatif
Pour un cas avec symétrie azimutale le champ de rayonnement ne dépend plus de l’angle
d’azimut φ. La fonction de phase p(µ',µ) pour l'utilisation avec l'équation (1.9) peut être
obtenue en intégrant p(θo) sur dφ (Özisik, 1973) :
1
p HG (µ ' , µ ) =
2π
∫
2π
0
(1 − g )dφ'
2
[1+ g
2
− 2g cosθ p
]
(1.39)
32
où pHG(µ',µ) fait référence au modèle de Henyey-Greenstein, pour µ p=cosθp. Le calcul de cette
intégrale à été fait par Nicolau (1994) en utilisant une quadrature numérique :
p HG (µ ' , µ ) =
1
2π
(1 − g )∆φ
Nd HG
∑
k =1
2
[1+ g − 2g(µ' µ +
2
1 − µ'
*
k
1 − µ cos2 π φ
2
2
*
k
)]
32
(1.40)
Pour cela deux types de quadrature ont été testés par Nicolau (1994) : d'une part,
l'utilisation de l'intégration de Simpson, avec la division uniforme de l'espace angulaire en
NdHG intervalles; d'autre part l'utilisation d'une quadrature de Gauss, également d'ordre NdHG.
La quadrature de Gauss a présenté de meilleurs résultats, un nombre de 10 directions s'étant
avéré suffisant. Dans la suite, les calculs qui sont présentés pour les cas avec symétrie
azimutale et une fonction de phase de Henyey-Greenstein ont été effectués avec un nombre de
20 directions pour l'équation (1.40).
1.9.5 MODELE D'HENYEY-GREENSTEIN MODIFIE (NICOLAU, 1994)
Pour les matériaux tels que des mousses de carbone, laines de verre, fibres de silice, le
modèle de Henyey-Greenstein s'avère peu réaliste. Les erreurs sur les réflectances restent
importantes. Nicolau (1994) a modifié la fonction de Henyey-Greenstein de façon à combiner
une diffusion très pointue vers l’avant avec une rétrodiffusion, équation (1.41). De plus, il a
ajouté une fonction de phase isotrope pour permettre un changement de l’allure de la fonction
de phase dans la région normale à la direction de propagation du rayonnement.
(
)
[
(
)
(
)
)]
(
p µ i , µ j = f 2 f 1 p HG,g1 µ i , µ j + (1 − f 1 ) p HG,g 2 µ i , µ j + (1 − f 2 )
(1.41)
ou encore :
(
)
(
)
p µ i , µ j = f 1 f 2 pHG ,g1 µ i , µ j + (1 − f 1 ) f 2 pHG ,g 2 µ i , µ j + (1 − f 2 )
(1.42)
Les paramètres g1, f1 et f2 varient de 0 à 1, et le paramètre g2 entre -1 et 0. Le paramètre f1
fait la pondération entre la participation du pic vers l'avant et celle du pic vers l'arrière. En
revanche f2 pondère l'effet d'anisotropie et celui d'isotropie. Les Figures (1.17) et (1.18)
montrent cette combinaison.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
38
d iffusio n iso tro p e
µ
D iffusio n ve rs l'a va nt (g1 )
D iffusio n ve rs l'a rriè re (g2 )
Figure (1.17) : Composition pour la fonction de phase (Nicolau, 1994).
0
0
1 00
1 00
315
45
80
315
45
10
60
40
1
20
0
270
90
225
0 .1
270
135
180
225
90
135
180
(a)
(b)
Figure (1.18) : Fonction de phase de Henyey-Greenstein modifie pour g1 = 0,86 ;
g2 = 0,.8 ; f1 = 0,96 ; f2 = 0,96. (a) échelle linéaire ; (b) échelle
logarithmique.
1.9.6 NORMALISATION DE LA FONCTION DE PHASE
Pour une question de conservation du rayonnement diffusé, la fonction de phase doit être
normalisée (équation 1.25). L'intégrale peut être discrétisée à partir d'une formule de
quadrature, ce qui donne la somme suivante pour chaque direction d'incidence j :
1
4π
∑ w p (µ , µ ) = 1;
2Nd
i
HG
i
j
j = 1, Nd
(1.43)
i =1
Altimir (1981) a montré que cette somme présente un écart par rapport à l'unité en
conséquence des discrétisations sur l'angle polaire θ (ou son cosinus µ) et sur l'angle azimutal
φ (équation 1.39) La démarche adoptée pour la correction nécessaire à la normalisation est
celle développée par Barkstrom (1976) et Altimir (1981) pour un problème avec symétrie
39
CHAPITRE I : L’équation du transfert radiatif
azimutale. Pour un problème sans symétrie azimutale la démarche reste la même, mais avec
un nombre plus grand de directions :
1
4π
∑ w (1 + α
Nd
i
i
)
+ α j p HG (Ω' , Ω)
i =1
où αi, αj sont les facteurs correctifs.
(1.44)
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
40
&+$3,75(,,
UTILISATION DE LA METHODE DES ORDONNEES
DISCRETES POUR LA RESOLUTION DE L’ETR
2.1 INTRODUCTION
Dans cette méthode on sépare la dépendance angulaire de la dépendance spatiale de l'ETR,
ce qui permet de remplacer l’équation intégro-différentielle par un système d’équations aux
dérivées partielles (EDP) en fonction de la variable de position uniquement.
Pour pouvoir résoudre le système d’EDP obtenu, on procède par une discrétisation spatiale
qui le transforme en un système d’équations algébriques susceptible d’être résolu par une
méthode numérique itérative. Carlson et Lathrop (1968) ont proposé d'utiliser la méthode des
volumes de contrôle.
La précision de la méthode est liée aux nombres de volumes et de directions utilisées.
Toutefois il existe certaines quadratures et schémas d'interpolation qui présentent, dans des
cas spécifiques, des résultats plus satisfaisants que d'autres.
La formulation des ordonnées discrètes pour un problème sans symétrie azimutale est
exactement la même que celle avec symétrie azimutale, à l'exception du nombre plus
important de directions utilisées pour un cas sans symétrie. Une autre différence est l'intervalle
d'intégration. Pour un problème sans symétrie l'intégration est effectuée sur l'intervalle [0,4π],
dans le cas avec symétrie azimutale il a été montré que l'intervalle est restreint à [-1,1]. Pour
permettre d'utiliser le même système d'équations que dans les cas avec symétrie azimutale, le
problème sans symétrie azimutale est adimensionné.
2.2. DISCRETISATION ANGULAIRE
Cette discrétisation permet de remplacer le terme intégral par une somme quadratique
effectuée sur les luminances selon des directions choisies. Les intégrales de l'ETR deviennent
:
∫
Nd
µ m L(µ ) dµ ≅
∑w µ
j =1
j
m
j
L(µ j )
où :
wj
est
le jème coefficient (poids) de la quadrature,
µj
est
la jème coordonnée de la quadrature,
L(µj)
est
la luminance suivant la direction µj,
Nd
est
l’ordre de la quadrature (nombre de directions),
m
est
l’ordre du mème moment de l'ETR.
(2.1)
41
CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR
Le terme m représente l'ordre des moments de la luminance qui sont définis soit pour un
intervalle d'intégration entre [0,4π] pour un problème sans symétrie azimutale ou entre [-1,1]
pour le cas de symétrie azimutale dans l'équation (2.1). Ce terme est défini par les relations
suivantes (Ozïsik, 1973) :
• Moment d'ordre zéro : représente le rayonnement incident G(τ).
Μ o (τ ) =
∫
Ω=4 π
= 2π
∫
&
L τ , Ω dΩ
( )
1
−1
L(τ, µ ) dµ
(2.2)
• Moment d'ordre un : représente le flux de rayonnement q(τ).
Μ 1 ( τ) =
∫
Ω =4 π
= 2π
∫
& &
L(τ, Ω) Ω dΩ
L( τ , µ ) µ dµ
1
−1
(2.3)
• Moment d'ordre deux : est proportionnel aux composantes du tenseur sphérique de la
pression de rayonnement.
Μ 2 (τ ) =
∫
Ω =4 π
= 2π
∫
& & &
L τ, Ω Ω.Ω dΩ
1
−1
( )
L(τ , µ ) µ 2 dµ
(2.4)
• Moment d'ordre n :
Μ n (τ ) =
∫
Ω =4 π
= 2π
∫
& & &
&
L τ, Ω Ω.Ω.... Ω dΩ
1
−1
( )
L(τ , µ ) µ n dµ
(2.5)
Seuls les moments d'ordres 0,1 et 2 ont une signification physique. En effet, Mo représente
le rayonnement incident, G(τ). Les moments d'ordre 1 sont les composantes du flux radiatif,
q(τ). Les moments d'ordre 2 sont reliés au tenseur de la pression radiative.
La discrétisation angulaire ne doit provoquer ni perte ni création de flux. Les pondérations
wj doivent satisfaire les moments d'ordre 0 et 1, ainsi que le moment d'ordre 1 sur un
hémisphère (Fiveland, 1987).
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
sans symétrie azimutale













42
avec symétrie azimutale
Nd
 1
dΩ = 4 π →
w j = 4π
wj = 2
 −1 dµ = 2 →
Ω=4 π
j =1
j =1

Nd
Nd
 1
&
 µdµ = 0 →
w jµ j = 0
w jµ j = 0
Ω ⋅ dΩ = 0 →
Ω=4 π
 −1
j =1
j =1
 1
Nd
Nd
&2
2

w j µ j = 4π 3
w j µ 2j = 2 3
Ω ⋅ dΩ = 4 π 3 →
µ dµ = 2 3 →

−1
Ω=4 π
j =1
j =1

Nd
Nd
 1
& &
n ⋅ Ω dΩ = π →
w jµ j = π
w jµ j = 1 2
 0 µdµ = 1 2 →
Ω=4 π

µ j >0
µ j >0
Nd
∑
∫
∫
∑
∫
∫
∑
∫
∫
∑
∫
∫
∑
∑
∑
(2.6)
∑
D'après l'équation (2.6) le moment d'ordre 0 donne la conservation de la quadrature et le
moment d'ordre 1 la symétrie entre les directions positives et négatives. D'une façon générale,
on peut évaluer les écarts d'une quadrature par rapport aux valeurs théoriques des moments
Mk, sur l'intervalle [-1,1], avec l'équation (2.7), ou les demi-moments M1/2 k , sur l'intervalle
[0,1], avec l'équation (2.8).
Μk =
∫
1
∫
1
−1
Nd
µ dµ =
k
∑w µ
j
j =1
Nd
M 1/2 k = µ dµ =
k
0
∑w µ
n
k
n
=
n =1
k
j
2 ( k + 1) ∀ k pair
=
0 ∀ k impair
1
k +1
(2.7)
(2.8)
Chandrasekhar (1960) a utilisé une quadrature de Gauss entre ]-1,1[ qui, avec Nd valeurs
discrètes µj, permet dévaluer correctement le terme intégral pour tous polynômes de Legendre
de degré (2Nd-1). La pondération affectée à chaque direction est la valeur de l'intégrale du
polynôme de Lagrange construit sur les autres points µj. La quadrature de Gauss donne des
directions parfaitement symétriques, mais ne respecte pas le moment d'ordre 1 sur un
hémisphère (demi-moment). En conséquence, la quadrature de Gauss ne permet pas d'obtenir
une bonne précision si on a besoin de calculer les moments d'ordre 1 sur un hémisphère, ce
qui représente pour l'ETR le flux surfacique, grandeur très importante pour les problèmes avec
couplage (Fiveland, 1987).
De plus, si la fonction de phase p(θo) est approchée par un polynôme de degré N, on devrait
aussi satisfaire tous les moments d'ordre ≤N. Par exemple, si la diffusion est linéaire
anisotrope d'ordre 2, p(µ i , µ j ) = 1 + µ i µ j ; les pondérations wj devront satisfaire le moment
d'ordre 2.
Chandrasekhar (1960) a aussi utilisé la quadrature de Radau entre [-1,1] qui intègre un
polynôme de degré inférieur ou égal à 2Nd-3 puisque les points µ=+/-1 sont fixés.
Fiveland (1987) a proposé l'utilisation d'une quadrature sur un hémisphère :
∫µ
1
0
Nd
m
L(µ ) dµ ≅
∑w µ
j
j =1
m
j
L(µ j )
(2.9)
43
CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR
qui respecte tous les moments pour un polynôme de degré Nd et aussi le moment d'ordre 1
pour un hémisphère. Il a calculé les directions de la quadrature en utilisant une pondération
constante, w1= w2= wk= .....=wNd, à l'aide d'une méthode de Newton-Raphson. Le système
d'équations obtenus à partir de l'équation (2.10) devient fortement non linéaire avec
l'augmentation du nombre de directions et des résultats réalistes (c'est-à-dire, avec µ compris
entre [0,1]) ne sont pas toujours obtenus. Fiveland (1987) a présenté uniquement des résultats
pour un nombre maximum de douze directions.
∫
Nd
1
0
µ k dµ =
∑w µ
n
n =1
k
n
=
1
k +1
k = 1,..., Nd − 1
(2.10)
Une autre façon d'obtenir une quadrature entre [0,1] est d'utiliser un changement de
variable sur une quadrature classique (Gauss, Radau, ...). En fait, on ramène l'intégrale de
[-1,1] à [0,1] soit un nombre de directions Nd/2 sur cet intervalle, d’où :
(
)
µ' j = µ j + 1 2
∫
1
0
f (µ ')dµ ' =
w' j = w j 2
 µ + 1
f
 dµ
−1  2 
∫
(2.11)
1
(2.12)
Ce type de changement de variable est couramment utilisé pour des problèmes où il y a un
changement d'indice de réfraction du milieu. Dans ce cas il rend possible la coïncidence des
directions avec l'angle critique du milieu (Wu et al., 1994, Liou et Wu, 1996, Krauth, 1994).
A partir de ce principe de changement de variable, Nicolau (1994) a créé une quadrature
adaptée à des mesures sur des matériaux présentant un fort pic de diffusion. Par une analyse
de sensibilité il a montré que ce sont les directions proches de la normale à l'interface qui sont
nécessaires à l'identification de la fonction de phase. De cette façon il a construit une
quadrature composée d'un total de 24 directions, 12 vers l'avant, avec µ positif, et 12 vers
l'arrière, avec µ négatif. Le flux collimaté se trouve dans une première zone correspondant à
µo≤µ≤1. Au-delà de cette région, jusqu’à un angle de θ=20° , une demi-quadrature de Gauss
d’ordre 12 (6 directions) est considérée de façon à concentrer les mesures près de la normale.
La région 20°≤µ≤90° est prise en compte en utilisant une demi-quadrature de Gauss d’ordre
10 (5 directions).
Dans le même objectif que Nicolau (1994), ce travail présente une quadrature un peu plus
élaborée. Une variation de la luminance dans l'angle solide d'incidence est considérée. Une
quadrature de Radau dans l'intervalle µo≤µ≤1, a été ajoutée à la quadrature proposée par
Nicolau (1994). Les directions sont montrées dans la Figure (2.1). En utilisant le sousprogramme DGQRUL (IMSL) une souplesse a été donnée à la procédure de construction de la
quadrature, tout en permettant de faire varier librement le nombre de directions sur chaque
intervalle. La nomenclature suivante a été utilisée pour la construction de la quadrature :
NdL1 : nombre de directions pour la zone µo≤µ≤1
NdL2 : nombre de directions pour la zone 20°≤µ≤µo
NdL3 : nombre de directions pour la zone 90°≤µ≤20°
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
i=
H é m isp hè re a rriè re
H é m isp hè re a va nt
44
3
dL
N )
2+ ns
d / tio
,N e c
. .. i r
2, d
d/ 3
N NdL
(
d
. .,N
.
,
)
2
dL o ns
+ N re c t i
1
dL di
+N d L 3
1
i = (N
/2
NdL 2
N d L1 + s)
,
.
.
.
,
1
1+
ion
i= N d L d L 2 d ir ec t
(N
θo
i = 1 ,. .., N d L 1
i =N d/
2+ N
dL
(N dL 3 + 1,...,N d
2 d ir
ec ti o - N d L 1
n s)
i= N d - N d L 1 ,.
.. ,N d - 1
i= N d
(N d L 1 d ire ctio ns)
i= 1
(N d L 1 d ire c tio ns)
Figure (2.1) : Quadrature pour un problème avec symétrie azimutale.
Comme l’obtention d’une quadrature réaliste (poids w positifs et µ compris entre -1 et 1)
pour des ordres élevés, avec l'équation (2.10), n’est pas toujours possible, une formulation
proposée par Jones et al. (1996) peut être utilisée. Dans ce cas, seuls les demi-moments
d'ordre bas sont respectés. Le calcul est fait en attribuant des facteurs de correction pour les
pondérations de façon à respecter les demi-moments désirés, équation (2.13), soit les demimoments d’ordre 0, 1, 2, ...,(Nd-1). Pour les demi-moments d’ordres plus importants les
corrections produiront des pondérations non réalistes. Pour cette raison seuls les demimoments jusqu'à l’ordre 0, 1, 2 et 3 sont présentés ici.
n = n1
n= n2
Nd


1
k
k
 w 1 + a o
w n µ n + a 1 w n µ n ++ a ( n−1)
w n µ kn  =
 k +1
n =2
n = n1
k =0 
n=nm
Nd −1
∑
∑
∑
∑
(2.13)
les indices n1, n2, ..., nm définissent les directions sur lesquelles les corrections sont réalisées.
Les valeurs de n1, n2, ..., nm sont choisies entre 2 et Nd selon un ordre croissant. Les
nouvelles pondérations, w *n , sont corrigées selon la formule suivante :
w *n = a o w n
w *n = a 1w n
w *n = a n w n
pour n=2,...,n1
pour n=n1,...,n2
pour n=nm,...,nNd
(2.14)
Ce choix d'intervalles pour la correction a été fait de manière empirique, de façon à obtenir
de corrections réalistes pour les quadratures de 24 et 32 directions, en respectant les demimoments jusqu'à l'ordre 3, leurs valeurs sont listées au Tableau (2.1). Pour les corrections des
ordres plus élevés des résultats non réalistes ont été obtenus et ne seront pas présentés ici.
45
CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR
Tableau (2.1) : Directions choisies pour l'équation (2.14).
Nomenclature
2m
3m
demi-moment à
respecter
0 et 1
0, 1 et 2
4m
0, 1, 2 et 3
quadrature
n1=ndL2+1
n1=ndL2+1
n2=n1+3
n1=ndL2+1
n2=n1+3
n3=Nd/2-1
2.2.1 QUADRATURE SPATIALE POUR UN PROBLEME SANS SYMETRIE AZIMUTALE
Comme précédemment mentionné, la résolution d'un problème sans symétrie azimutale
peut être effectuée soit à l'aide d'un développement en série, dans ce cas la solution se restreint
à une somme de problèmes avec symétrie azimutale, soit par une quadrature spatiale (sans
symétrie azimutale). Dans ce travail le choix a été porté sur la quadrature spatiale pour
analyser le problème radiatif. En effet, l'utilisation d'une solution obtenue à partir d'un
développement en série implique que la fonction de phase soit elle aussi développée en forme
de série. Godsalve (1995) pour étudier un problème sans symétrie azimutale avec une fonction
de phase de Henyey-Greenstein de facteur d'asymétrie de 0.95, a utilisé près de 300 termes
pour exprimer cette fonction en série de polynômes de Legendre. Du fait des erreurs de
précision dues à l'intégration par une formule de quadrature de Gauss (mentionnée au
paragraphe précèdent), la discrétisation utilisée doit avoir au moins 150 directions pour que
l'intégration des polynômes d'ordre 300 soit suffisamment précise. De plus, plusieurs calculs
doivent être effectués pour obtenir les termes d'indice k de l'équation (1.15). Kumar et Felske
(1986) ont utilisé 9 termes k pour résoudre un problème pour une fonction de phase de
Legendre avec 16 termes. Toutefois, les résultats de ces auteurs sont obtenus pour un angle
d'incidence proche de la normale (cosθI=0,99) et un albédo égal à 0,8. Cependant, l'utilisation
d'une valeur de l'albédo égale à l'unité augmente énormément le nombre de termes (Kumar et
Felske, 1986).
La nécessité du développement de la fonction de phase en série rend cette méthode
prohibitive pour utilisation avec un sous-programme d'identification de paramètres (du fait du
nombre élevé de coefficients de polynôme de Legendre à identifier). Pour cette raison, la
quadrature spatiale a été choisie et, dans ce cas, le nombre de directions devient relativement
important en raison des caractéristiques spatiales.
Le choix pour une quadrature spatiale étant fait, il reste à déterminer le type de quadrature à
utiliser. Les quadratures couramment utilisées dans les travaux de la littérature respectent les
équations (2.6). C'est le cas des quadratures de Carlson et Lathrop (1968), de Fiveland (1991)
et d'El Wakil (1991). Ces quadratures sont construites de façon à avoir un maximum de
symétrie des directions par rapport à l'origine, à chacun des axes de cordonnées et à tout plan
contenant deux axes de coordonnées (El Wakil, 1991). Ces différentes symétries permettent
de réduire la quadrature à 1/8ème de sphère vers l'avant et 1/8ème de sphère vers l'arrière, avec
un nombre inférieur de directions dans le cas d'une symétrie azimutale. Par contre, l'utilisation
de l'une de ces quadratures pour un problème sans symétrie azimutale ne permet pas de
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
46
simplifier le problème spatial en le ramenant à 1/8ème de sphère, car le champ de luminance ne
présente aucune symétrie. Cela implique aussi un ensemble de poids de la quadrature
constant de façon à avoir toujours le même angle solide d'incidence du faisceau. Etant donné
que l'angle solide du faisceau incident pour les mesures de laboratoire est très petit, cela
occasionne un nombre total de directions de la quadrature de l'ordre de 1000, ce qui a pour
conséquence de rendre les calculs extrêmement lourds.
Pour résoudre ce problème nous avons défini une nouvelle forme de quadrature en nous
basant sur les critères suivants :
• La quadrature doit avoir une construction spatiale proche de celle effectuée par
Nicolau (1994) pour un problème avec symétrie azimutale (appelée dans ce qui
suit la quadrature unidimensionnelle), c'est-à-dire avec un nombre de directions
concentré autour de la direction d'incidence du faisceau incident.
• Les mesures ne permettent de faire tourner le système de détection que dans un
plan de mesure défini par x-z, Figure (2.2). Les points de la quadrature doivent
être choisis de manière à avoir des directions pour φ=0° et φ=180°.
• La quadrature doit également respecter, si possible, toutes les conditions de
l'équation (2.6).
A partir de ces trois considérations, nous avons eu l'idée de construire d'abord une
quadrature unidimensionnelle sur le plan x-z, Figure (2.2) et, à partir d'une rotation de l'angle φ
autour de l'axe x, de générer les autres directions. De cette façon on peut construire une
discrétisation fine autour de l'angle solide du faisceau incident et la quadrature finale est
obtenue à partir des deux quadratures unidimensionnelles : une sur le plan x-z construite selon
la discrétisation de Nicolau (1994), l'autre sur le plan y-z construite à partir d'intervalles
angulaires constants.
Cette quadrature, construite à partir de la rotation d'une quadrature unidimensionnelle,
présente le même cosinus directeur µ pour un ensemble d'angles φ, Figure (2.2). Cela donne
des directions symétriques par rapport à l'axe x pour un angle d'incidence θΙ=0°. C'est-à-dire
que le fait de résoudre un problème avec cette quadrature pour une incidence normale à la
tranche semi-transparente revient au même que résoudre un problème avec symétrie azimutale
Ndy fois, où Ndy est l'ordre de la quadrature choisie pour le plan y-z. En fait, la seule
différence est que, pour cette quadrature spatiale, l'intégration sur la fonction de phase de
Henyey-Greenstein, équation (1.40), n'est plus effectuée. La quadrature présentant une
symétrie par rapport au plan x-z, cela permet de réduire par deux le nombre de directions de
calcul. Les poids de la quadrature spatiale sont calculés à en divisant les poids de la
quadrature x-z par Ndy (remarque : Normalement, on devrait multiplier les poids par 2π pour
obtenir une quadrature spatiale, mais cela n'est pas fait car, de cette façon, la quadrature
spatiale reste adimensionnelle pour l'utilisation avec le système d'équations défini pour un
problème avec symétrie azimutale. C'est juste le nombre de directions qui augmente).
Une rotation de l'ensemble de directions est effectuée autour de l'axe y, Figure (2.3), selon
l'angle d'inclinaison du faisceau incident (θI) se trouvant dans le plan x-z. Les relations
trigonométriques sont données par l'équation (2.15). A partir des nouveaux µ' et φ' et à l'aide
47
CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR
des relations de l'équation (1.4), on obtient les nouveaux cosinus directeurs (µ', ξ', η').
(remarque : la fonction de phase qui a été calculée précédemment resté inchangée, on suppose
qu'elle ne dépend que de l'angle formé entre deux directions en question, qui reste inchangé.)
La fonction de phase est calculée pour l'ensemble des directions avec une incidence
normale. De cette façon elle est exactement la même pour un même θo (si la fonction de phase
était écrite après la rotation de l'ensemble de directions ça aurait provoqué des petites erreurs
de calcul du fait du grand nombre d'opérations trigonométriques réalisées).
y
d ωo
φ2
θ1
inc id e nc e
θI = 0 °
θ2
x
φ1
z
Figure (2.2) : Construction d'une quadrature pour un problème sans symétrie azimutale.
η = η'
µ ² + ξ ² = µ '² + ξ'²


tgϕ = ξ
µ


ξ'
tgϕ' = µ '
⇒
ϕ' = ϕ + θ I

µ ' = µ ² + ξ ² cos ϕ'




η

φ' = cos−1 
2



 1 − µ ² + ξ ² cos ϕ' 


(2.15)
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
48
2.2.2 VERIFICATION DES ERREURS SUR LES MOMENTS POUR LES DIFFERENTES
QUADRATURES
Les écarts sur les moments (équations (2.7) et (2.8)) entre les valeurs analytiques et les
résultats numériques obtenus pour plusieurs quadratures seront montrés dans la suite. Ces
écarts sont donnés à titre indicatif, car ils ne prennent pas en considération la luminance pour
l'intégration comme l'équation (2.1). Bien que ces résultats montrent les avantages et les
problèmes de certaines quadratures, seuls des cas tests, proches de conditions d'utilisation de
la quadrature, pourront mieux permettre d'évaluer celle-ci.
Pour simplifier l'écriture, les notations suivantes sera utilisées dans la suite : Gauss ]-1,1[G, Radau [-1,1] - R, Gauss projetée ]0,1[ - GP, Radau projetée [0,1] - RP, Fiveland [0,1] - F,
Nicolau [-1,1] - N. Le numéro qui suit ces abréviations représente le nombre de directions de
la quadrature. Pour la quadrature de Nicolau (1994) les indices 2m, 3m et 4m représentent le
nombre de demi-moments corrigés selon l'équation (2.13) et Tableau (2.1). Quelques
directions et poids sont présentés à l'Annexe A.2 pour l'ensemble des quadratures.
y
η=η'
φ'
φ
Ω'
Ω
θ'
θ
µ'
ϕ
µ
x
ϕ'
ξ
ξ'
θ Ι=(
)
ϕ'−ϕ
z
Figure (2.3) : Rotation de la quadrature pour un problème sans symétrie azimutale.
49
CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR
La Figure (2.4) montre l'écart sur les moments entiers pour les quadratures avec 4 et 12
directions. Il est clair qu'un nombre de directions plus important réduit les erreurs de la
quadrature. La quadrature de Radau est celle qui présente les erreurs les plus importantes
(mais fournit aussi les directions normales). La quadrature de Gauss conduit à des erreurs
faibles, même pour les moments d'ordre élevé.
Les erreurs relatives aux demi-moments sont montrées à la Figure (2.5). Ici ce sont les
quadratures de Radau et de Gauss qui présentent une erreur importante pour l'ordre 1 des
demi-moments. Le demi-moment d'ordre 1 est important, par exemple, pour le cas de la
réflexion diffuse sur les parois du milieu.
Sur les Figures (2.6) et (2.7) sont analysés les moments et demi-moments pour la
quadrature de Nicolau, celle de Gauss projetée et la quadrature de Nicolau corrigée selon
l'équation (2.13). A nouveau les écarts sur les demi-moments d'ordre 1 apparaissent comme
les plus grands pour la quadrature de Nicolau, et cela même avec un nombre de directions
élevé (24 et 32 directions). Les corrections apportées à la quadrature de Nicolau font que les
erreurs pour les moments d'ordre plus élevés sont plus fortes. Seuls des cas-tests pourront
déterminer la contribution de cette correction. Des cas tests seront présentés plus loin pour
déterminer l'efficacité de ces corrections.
Les Figures (2.8) et (2.9) montrent les erreurs pour une quadrature spatiale avec un angle
d'inclinaison variable. Pour ces tests la quadrature a été construite à partir d'une quadrature
N4m (Nicolau - correction de moments 0, 1,2 et 3) pour le plan z-x et une quadrature à pas
constants, avec 6 directions, pour le plan z-y. Les écarts par rapport au moment restent faibles
pour plusieurs inclinaisons, mais les écarts pour les demi-moments sont très importants. Ce
résultat était attendu, vu que cette quadrature spatiale n'a plus le plan de symétrie. Toutefois
les erreurs dues à la quadrature pour le demi-moment ne devront pas influencer le code
développé. Les conditions expérimentales ne comportent pas de réflexion diffuse et cette
intégrale ne sera donc pas calculée.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
F4
G 12
F12
R4
GP4
R12
40
G P12
RP4
20
G4
RP12
E c art p ar rap p o rt au m o m en t [% ]
80
60
50
0
-2 0
-4 0
-6 0
-8 0
0
10
20
k -èm e m o m en t
30
40
Figure (2.4) : Erreur [%] dans le calcul des moments pour 4 et 12 directions.
E c a rt p a r ra p p o rt au d em i-m o m e n t [% ]
30
F4
G 12
F12
R4
G P4
R12
15
G P12
RP4
10
G4
RP12
25
20
5
0
-5
-1 0
0
10
20
k -èm e m o m e n t
30
40
Figure (2.5) : Erreur [%] dans le calcul des demi-moments pour 4 et 12 directions.
51
CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR
E cart p a r rap p o rt a u m o m e n t [% ]
0 .0 3
G P24
0 .0 2
G 24
N 24
0 .0 1
N 32
N 2m
0
N 3m
N 4m
-0 .0 1
-0 .0 2
0
2
4
6
8
10
12
k -è m e m o m en t
14
16
18
20
Figure (2.6) : Erreur [%] dans le calcul des moments pour la quadrature de Nicolau.
30
E c a rt p a r ra p p o rt a u d em i-m o m e n t [% ]
0 .7 5
25
0 .5
20
0 .2 5
G P 24
G 24
0
15
0
1
2
N 24
3
10
N32
5
N 2m
N 3m
0
N 4m
-5
-1 0
-1 5
0
2
4
6
8
10
12
k -è m e m o m en t
14
16
18
20
Figure (2.7) : Erreur [%] dans le calcul des demi-moments pour la quadrature de Nicolau.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
52
0 .0 9
E ca rt p a r ra p p o rt au m o m en t [% ]
0 .0 8
0 .0 7
L 'a n g le
d 'in clin a iso n
0 .0 6
ϕ = 0°
0 .0 5
ϕ = 5°
0 .0 4
ϕ = 30°
0 .0 3
ϕ = 45°
0 .0 2
ϕ = 60°
0 .0 1
0
0
2
4
6
8
10
12
k -èm e m o m en t
14
16
18
20
Figure (2.8) : Erreur [%] dans le calcul des moments en fonction de l’angle d’inclinaison.
20
E ca r p a r ra p p o rt au d e m i-m o m en t [% ]
l'an g le d 'in clin aiso n
ϕ = 60°
15
ϕ = 45°
ϕ = 30°
10
ϕ = 5°
ϕ = 0°
5
0
0
2
4
6
8
10
12
k -èm e m o m en t
14
16
18
20
Figure (2.9) : Erreur [%] dans le calcul des demi-moments en fonction de l’angle
d’inclinaison.
53
CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR
2.2.3 DISCRETISATION ANGULAIRE APLIQUEE A L'ETR
La quadrature pour l'intervalle [0,1], équation (2.9), peut être appliquée pour remplacer le
terme intégral de l'équation (1.10) :
∫ p(µ' , µ) L( τ, µ' ) dµ' + ∫ p( −µ' , µ) L( τ,−µ') dµ' =
1
1
0
0
Nd / 2
[
∑ w i p(µ i , µ) L( τ, µ i ) + p( −µ i , µ) L( τ,−µ i )
i =1
]
(2.16)
l’équation intégro-différentielle devient alors :
µj
∂L( τ , µ j )
∂τ
+ L( τ , µ j ) = (1 − ω ) L0 ( τ )
[
(2.17)
]

ω  Nd / 2
+  ∑ w i p(µ i , µ j ) L( τ, µ i ) + p( − µ i , µ j ) L( τ ,− µ i ) 
2  i =1

avec 1≤j≤Nd. On obtient ainsi le système suivant :

∂L( τ , µ j )
+ L( τ, µ j ) = (1 − ω )L0 ( τ)
 µj
∂τ

Nd / 2


ω
+  w i p(µ i , µ j ) L( τ , µ i ) + p( − µ i , µ j ) L( τ ,− µ i ) 

2  i =1



(2.18)


∂L( τ,− µ j )
− µ j
+ L( τ ,− µ j ) = (1 − ω )L0 ( τ)
∂τ


Nd / 2

ω

+  w i p(µ i ,− µ j ) L( τ, µ i ) + p( − µ i ,− µ j ) L( τ,− µ i ) 

2  i =1

∑ [
]
∑ [
]
avec 1≤j≤Nd/2 et µj≥0
Les conditions aux limites deviennent :
∑
L(0, µ j ) = ε o L0 (0) − 2ρ 0 w i µ i L(0, µ i ) + ρ' 0 L(0,− µ j )
µ j > 0; τ = 0

µi <0

ndI

LCi (0, µ i )
+ τ' 0 δ µ iµ j

i =1

L( τ , µ ) = ε L0 ( τ ) + 2ρ
w i µ i L( τ o , µ i ) + ρ'0 L( τ o ,− µ j ) µ j < 0; τ = τ o
o
o
1
1
j

0
µ
>
i

∑
(2.19)
∑
où ndI est le nombre de directions pour un faisceau incident dont la distribution énergétique
peut être variable avec la direction à l'intérieur du faisceau.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
54
2.3 DISCRETISATION SPATIALE
Cette méthode consiste à subdiviser le système d'équations différentielles, équation (2.18),
en un ensemble de ″volumes″ juxtaposés (volumes de contrôle) afin de pouvoir le résoudre
par une méthode itérative. L'équation établie pour décrire la variation de la luminance à
l'intérieur d'un volume de contrôle doit conserver l'énergie.
2.3.1 MAILLAGE
Le maillage divise le milieu en un ensemble de volumes, dont les centres sont les noeuds
du maillage. La nomenclature utilisée est présentée à la Figure (2.10).
x(0 )
x( n p + 1 )
x(2 )
d e lta x( n x )
x(1 )
1
2
d x(1 )
nx
x( n p )
nx + 1
n p -1
d x( n )
lx
Figure (2.10) : Schéma pour la discrétisation spatiale.
où :
dx :
lx :
np :
deltax (nx):
x(nx) :
dimension du volume de contrôle
épaisseur totale de la tranche
nombre de volumes de contrôle
distance entre noeuds nx+1 et nx
deltax(0)
= dx(1)/2
deltax(1)
= [dx(2) + dx(1)]/2
:
:
deltax(nx)
= [dx(nx) + dx(nx+1)]/2
:
:
deltax(np-1) = [dx(np-1) + dx(np)]/2
deltax(np)
= dx(np)/2
position du noeud nx
x(0)
=0
x(1)
= deltax(0)
x(2)
= x(1) + deltax(1)
:
:
x(nx+1)
= x(nx) + deltax(nx)
:
:
x(np)
= x(np-1) + deltax(np-1)
x(np+1)
= x(np) + deltax(np)
np
55
CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR
2.3.1.1 MAILLAGE REGULIER
Les volumes ont tous la même dimension :
dx( nx) =
"x
np
∀ nx
(2.20)
2.3.1.2 MAILLAGE IRREGULIER
Les dimensions des volumes sont variables selon une loi. Ceci est intéressant pour des
milieux à fortes épaisseurs optiques, où la variation du champ de luminance a lieu près des
parois (maillage raffiné aux deux frontières), ou d'une seule paroi (maillage raffiné seulement
dans une frontière).
2.3.1.2.1 Maillage raffiné près des deux frontières
∆x n =
 nπ  
1   (n − 1) π 
− cos   
cos 

2   np 
 np  
(2.21)
2.3.1.2.2 Maillage raffiné près d'une seule frontière
∆x n =
 nπ  
1   ( n − 1)π 
− cos 
cos 


2   2np 
 2np  
(2.22)
2.3.2 CALCULS DES LUMINANCES AUX NOEUDS ET AUX FACES DES VOLUMES DE CONTROLE
On intègre l’équation (2.18) sur chaque élément de volume :
µj∫
V
∂L j
∂τ
dV + ∫ L j dV = (1 − ω ) ∫ L° ( τ )dV +
V
V
où
1≤j≤Nd
V=
∆τx ∆τy.∆τz (∆τy =∆τz = 1)
=
∆τx

ω  Nd / 2 
 ∑ w i  pij ∫ L i dV + pij ∫ L −i dV  (2.23)
2  i =1  V
 
V
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
f ac e 0
56
f ac e 1
Ln+1
Ln
Ln+1/2
L ( n x)
L ( n x -1)
L(2 )
L(1 )
fc
L (n p )
fi
f c = f ac e c o nnu
µ<0
µ>0
L ( n x + 1)
f i = f ac e inc o nnu
Figure (2.11) :Position des luminances dans les volumes de contrôle.
Pour alléger l’écriture on notera :
p(µi,µj) = pij
(2.24)
p(-µi,µj) = p-ij
On remplace la première intégrale de volume de l’équation (2.23) par une intégrale
linéique :
µj
∫
V
∂L j
∂τ
(
dV = µ j L n +1, j − L n, j
)
(2.25)
où Ln+1,j , Ln,j sont les luminances respectivement connue et inconnue sur les faces fictives (fc,
fi), Figure (2.11). Les luminances connue et inconnue Ln et Ln+1 peuvent être inversées selon
la direction de propagation du rayonnement (µ>0 ou µ<0).
Pour les autres intégrales on considère les valeurs des luminances constantes dans chaque
élément et égales à la valeur moyenne :
∫ L dV = ∆τ L
j
n + 1/ 2, j
V
(2.26)
o
∫ L° dV = ∆τ L n+1/ 2
V
L’équation (2.23) devient ainsi :
o
µ j ( L n +1, j − L n, j ) + ∆τL n +1/ 2, j = (1 − ω )∆τL n +1/ 2 +

ω Nd / 2
w i p ij L n +1/ 2,i + p −ij L n +1/ 2,-i  (2.27)
∑

2  i =1

(
)
57
CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR
L’équation (2.27) a 2 inconnues, une luminance sur une face et une luminance au centre de
l’élément. On utilise une loi de variation de la luminance à l’intérieur du volume, fonction
d'une pondération f :
L n +1/ 2, j = f L n +1, j + (1 − f ) L n, j
(2.28)
La valeur de f a été définie par différents schémas, tels que : f = 1, schéma "step" ; f = 1/2,
schéma diamant ; pour les schéma exponentiel et schéma intégral f, dépend de l’épaisseur
optique. La valeur moyenne est égale à celle du centre Ln+1/2,j
L n +1, j =
L n+1/ 2, j − (1 − f )L n, j
(2.29)
f
En remplaçant Ln+1,j par son expression (équation 2.29) dans l’équation (2.27), on obtient :
 L n +1/ 2, j − (1 − f )L n, j 
 + ∆τ L
µ j 
n +1/ 2, j = ∆τ S n +1/ 2, j

f


S n +1/ 2, j
= (1 − ω )L0n +1/ 2, j +
ω

2

Nd / 2
∑ w (p L
i
i =1
ij
n +1/ 2,i

+ p −ij L n +1/ 2,−i 


)
(2.30)
Lorsque le rayonnement incident est modulé (technique de mesure utilisée), le
rayonnement émis par l’échantillon n’est pas pris en compte, ce qui permet d’éliminer le
terme d’émission ( 1 − ω) Lop dans l’équation (2.30). Pour prendre en compte cette hypothèse,
on introduit le terme δEM qui peut être égal à 1 ou 0. L’équation (2.30) devient alors :
L n +1/ 2, j =
fα S
(1 + fα ) [
1
j n +1/ 2, j
+ L n,j
j
]
(2.31)
où
αj =
∆τ
µj
S n+1/ 2, j = δ EM (1 − ω ) Lon +1/ 2, j
ω
+ 
2

Nd / 2

w i pij L n +1/ 2,i + p −ij L n +1/ 2,-i 


∑ (
i =1
)
(2.32)
La méthode est progressive. Connaissant une luminance de surface (Ln,j), en utilisant les
équations précédentes, on peut déterminer la luminance au centre de l’élément (noeud), puis
celle de l’autre face Ln+1,j avec l'équation (2.29). On passe alors à l’élément adjacent et ainsi
de suite, jusqu’à la détermination du champ de luminance dans tout le domaine.
Pour des directions positives (µ>0) le sens de balayage des volumes de contrôle est le sens
croissant de la numérotation des noeuds (j). Pour des directions positives (µ<0) il faut inverser
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
58
le sens de balayage de façon à prendre en compte la condition limite de l’autre face. Ainsi,
selon le signe du cosinus directeur :
si
et si
µj ≥0
µj ≤0
L n +1/ 2, j =
(
1
1 + fα j
[) fα S
j
(1 − fα ) [
1
L n +1/ 2, j =
n +1/ 2, j
+ L n, j
]
- fα j Sn+1/ 2, j + L n, j
]
(2.33)
j
Du fait que le terme source et les conditions aux limites dépendent des luminances, le
calcul des luminances se fait d’une manière itérative, jusqu’à vérification d'une tolérance
prédéfinie.
2.3.3 FLUX RADIATIF
Il est calculé d'après l’équation (1.16) :
q n+1/ 2 = 2 π
Nd
∑w L
i
n+1/ 2,i
µi
(2.34)
i =1
2.3.4 RAYONNEMENT INCIDENT
On l'obtient à partir de l’équation (1.17) :
Nd
G n +1/ 2 = 2 π
∑w L
i
i
(2.35)
i =1
2.3.5 DIFFERENTES APPROCHES POUR LE CALCUL DE LA LUMINANCE A L'INTERIEUR DU
VOLUME
Le schéma diamant peut produire des oscillations, même avec la remise à zéro de
luminances négatives pendant le processus itératif, Figure (2.12). Ces oscillations apparaissent
plus fortement pour les directions proches de µ=0. Ce sont ces directions qui correspondent
aux chemins optiques les plus longs à l'intérieur du volume de contrôle.
La luminance est une quantité par définition positive et certains schémas amènent à
l’obtention de luminances négatives, physiquement irréelles et pouvant parfois être à l'origine
d'effets d’instabilité numérique. Certaines procédures ont été adoptées pour éviter des
luminances négatives, comme la mise à zéro de la luminance (Carlson et Lathrop, 1968). Par
contre, il faut être conscient que la remise à zéro des luminances négatives permet une
convergence plus rapide mais n'évite pas les oscillations, voir Figure (2.12).
59
CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR
1 .1
N d = 12
µ = 1 4 .9 3 °
1 .0
L u m in an ce ad im e n sio n n elle
τo = 20
µ = 3 3 .8 4 °
µ = 5 1 .7 3 °
0 .9
µ = 6 7 .6 2 °
µ = 8 0 .2 5 °
0 .8
µ = 8 8 .0 6 °
µ = 9 1 .9 3 °
0 .7
µ = 9 9 .7 5 °
µ = 1 1 2 .3 8 °
µ = 1 2 8 .2 6 °
0 .6
µ = 1 4 6 .1 6 °
µ = 1 6 5 .0 5 °
0 .5
0 .00
0 .2 5
0 .50
0 .75
1 .0 0
P o sitio n ( τ / τo )
Figure (2.12) : Oscillations sur le champ de luminances avec un schéma diamant. Cas
d'un milieu non diffusant (ω=0), à parois noires avec un profil de
température constant dans le milieu, pour un nombre de volumes
np=50.
•schéma "step" : La pondération f=1 donne toujours des luminances positives, mais elle
nécessite un nombre de volumes important pour atteindre la convergence. Pour un schéma
avec un facteur de pondération différent de 1 on peut obtenir des luminances négatives si
certaines conditions ne sont pas respectées. Ces conditions peuvent être déterminées à partir
des équations (2.29) et (2.31).
(
)
α j S n+1/ 2, j + 1 − α j + fα j L n, j > 0
f ≥1−
Sn +1/ 2, j
Ln, j
−
1
αj
(2.36)
Le terme source Sn+1/2,j est une quantité positive qui tend à stabiliser la solution. Par contre,
lorsque αj (αj=∆τ/µ) devient trop important, soit à cause d'une épaisseur optique grande ou de
directions µ proches de zéro, on a besoin de prendre de valeurs de f proches de 1 pour éliminer
ce terme négatif de l'équation (2.36).
Une interpolation très utilisée est la linéaire (ou schéma diamant), avec f=0,5 , qui impose
une loi de variation linéaire de la luminance dans le volume de contrôle. Par contre il est
toujours nécessaire de vérifier l'existence d'éventuelles luminances négatives. Fiveland (1985
et 1987) a calculé le nombre de volumes nécessaires de manière à respecter l'équation (2.36) :
µ min
∆τ
>
1
2
(2.37)
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
60
où µmin est la direction la plus proche de µ=0. De cette façon, un nombre plus élevé de
directions (correspondant à µ min plus petit) entraînera aussi un plus grand nombre de volumes.
• schéma exponentiel : Pour essayer d’obtenir une meilleure approximation pour la relation
de fermeture, Carlson et Lathrop (1968) ont proposé d’utiliser la solution formelle de
l’équation de transfert radiatif pour un volume de contrôle où le terme source est constant à
chaque itération (il n'est plus dépendant des luminances). Une équation simplifiée est obtenue
:
µ
dL
+ β L(s) = S( s)
ds
(2.38)
La solution formelle pour une tranche comprise entre les points n et n+1pour une direction
j est écrite sous la forme :
L n +1, j = L n, j e
où : α j =
−α j
+∫
∆x
µj
0
e
−α j
S( x ) dx
(2.39)
β ∆x
µj
En supposant que le terme S(x) est constant sur le volume de contrôle, on peut intégrer
l’équation précédente :
L n+1, j = L n, j e
−α j
(
+ S n+1/ 2, j 1 − e
−α j
)/β
(2.40)
Pour le calcul de la luminance au centre du volume de contrôle, on substitue l’équation cidessus dans l’équation (2.27) intégrée sur un volume de contrôle et on obtient ainsi le schéma
exponentiel :
(
)
µ j L n+1, j − L n, j + βL n+1/ 2, j ∆x = S n+1/ 2, j ∆x
(2.41)
ce qui donne :
(
Ln + 1/ 2, j = Ln, j 1 − e
−α j
) / α + [1 − (1 − e ) / α ]S
−α j
j
j
n + 1/ 2, j
/β
(2.42)
En utilisant les équations (2.28), (2.40) et (2.42) on peut définir le coefficient f comme :
f =
1
1− e
−α j
−
1
αj
(2.43)
Pour le schéma exponentiel les luminances sont toujours positives, mais f est alors fonction
de αj et prend une valeur différente pour chaque direction j utilisée.
61
CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR
• Schéma intégral : une l’autre formulation équivalente à la formulation exponentielle est
la formulation intégrale. El Wakil (1991) a utilisé cette formulation pour une géométrie
bidimensionnelle cartésienne en milieu gris et De Miranda (1995) l'a adaptée pour un
problème unidimensionnel relatif à un milieu gris. Dans ce cas, l’équation (2.40) est utilisée
pour le calcul de Ln+1,j . Toutefois, Ln+1/2 (pour le cas d’une géométrie unidimensionnelle) est
calculé en considérant un demi-volume de contrôle :
Ln+1, j = Ln, j e
−α j
Ln+1/ 2, j = Ln, j e
(
+ Sn+1/ 2, j 1 − e
−α j / 2
−α j
(
+ Sn+1/ 2, j 1 − e
)/β
−α j / 2
(2.44)
)/β
De cette relation on tire l'expression de f :
−α
f=
1− e j
-α
1− e j
2
(2.45)
A nouveau on obtient une pondération fonction de αj, qui donne toujours des luminances
positives.
La Figure (2.13) montre la variation de f fonction de l'épaisseur optique pour les quatre
schémas. Le Tableau (2.2) présente un résumé des valeurs de f, Ln+1,j et Ln+1/2,j.
" step "
1 .0
in té g ral
0 .8
f
e x p o n e n tiel
0 .6
L in é aire
0 .4
0
2
4
τ
6
8
10
Figure (2.13) : Fonction de pondération f fonction de l'épaisseur optique pour les quatre
schémas.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
62
2.3.6 LINEARISATION DU TERME SOURCE
Pour améliorer la convergence, la linéarisation du terme source peut être utilisée. Cette
méthode a été présentée par Patankar (1980) pour le traitement d'EDP pour des problèmes de
mécanique de fluides. Ensuite, Chai et al. (1994) l'ont utilisée pour résoudre l'ETR en
géométrie bidimensionnelle cartésienne. La méthode consiste à calculer la luminance Ln+1/2,j
du terme source comme étant aussi une variable à déterminer et non en la considérant connue
de l'itération précédente, comme on l'avait fait jusqu'alors. Cela modifie l'équation (2.31) de la
façon suivante :
it + 1
L n+1/ 2, j =
2
[2(1 + fα ) − fα ωw p ]
j
j
j
jj
it

ω

 it

 fα j Sn +1/ 2, j  L n +1/ 2, j − 2 w j p jj L n +1/ 2, j  + L n, j 


(2.46)
L'indice it+1 représente la luminance devant être calculée et it est la luminance calculée à
l'itération précédente.
75
CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR
Tableau (2.2) : Différents types d'interpolation linéaire.
Ln+1/2,j
schéma
L n +1/ 2, j =
"step"
(1 + α ) [
1
α j S n +1/ 2, j + L n, j
]
(1 + 0.5α ) [
0.5α j S n +1/ 2, j + L n, j
]
intégral
[ (
L n +1, j
j
j
1
n, j
n + 1/ 2, j
j
0.5
) ]
(
+ 1 − α j + 0.5α j L n, j
(
)/ α
) / α ]S
L n +1/ 2, j = L n, j 1 − e
+ 1− 1− e
α j S n +1/ 2, j
j
j
exponentiel
1
j
L n +1/ 2, j =
1
(1 + α ) [
+ (1 − α + α ) L ]
1
0.5α S
=
(1 + 0.5α ) [
L n +1, j =
j
linéaire
f
Ln+1,j
−α j
−α j
j
L n+1/ 2, j = L n, j e
(
+ S n+1/ 2, j 1 − e
n + 1/ 2, j
−α j /2
−α j / 2
)/β
L n+1, j = L n, j e
j
/β
(
−α j
+ S n+1/ 2, j 1 − e
L n+1, j = L n, j e
(
−α j
)/β
f =
1
1− e
−α j
−
1
αj
−α j
+ S n+1/ 2, j 1 − e
−α j
)/ β
f =
1− e
−α j 2
1− e
-α j
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
64
2.4 INFLUENCE DE DIFFERENTS SCHEMAS
La précision de la méthode des ordonnées discrètes associée à la technique des volumes de
contrôle dépend de deux facteurs : le nombre de directions utilisées pour la discrétisation
angulaire et le nombre de volumes de contrôle pour la discrétisation spatiale. Pour essayer
d'évaluer le degré de précision des différentes quadratures et types d'interpolation, plusieurs
cas tests ont été analysés et leurs solutions comparées avec des méthodes de référence. Tous
les tests sont réalisés pour une géométrie unidimensionnelle avec une précision de 10-16 pour
la convergence du champ de luminance, à l'exception des tests réalisés pour la quadrature sans
symétrie azimutale où la précision a été fixée à 10-9.
2.4.1 INFLUENCE DE LA QUADRATURE
D'une façon générale, l'augmentation du nombre de directions dans la méthode des
ordonnées discrètes augmente aussi la précision des résultats. Il reste encore à définir quel
type de quadrature est plus adapté à certains cas. Les quadratures testées sont les suivantes :
Gauss - G, Radau - R, Gauss projetée - GP, Radau projetée - RP, Fiveland - F, Nicolau - N et
Nicolau corrigée - N-2M, N-3M, N-4M. Fiveland (1985) a calculé sa quadrature pour un
maximum de 12 directions. Les autres quadratures ont été évaluées jusqu'à 36 directions, à
l'exception de la quadrature N qui est seulement calculée pour 24 et 32 directions. Pour
chaque cas test les résultats sont présentés pour une épaisseur optique donnée, représentative
de l'ensemble des cas étudiés.
Le schéma d'interpolation linéaire pour ces tests est du type diamant (f=0.5) sans
linéarisation du terme source. Le nombre de volumes est défini pour chaque cas de façon à
éviter des luminances négatives. Fiveland a utilisé le critère suivant pour le calcul du nombre
de volumes nécessaires :
∆τ < 0.4 MIN µ n pour n = 1,..., Nd
(2.45)
L'obtention de cette équation est basée sur l'équation (2.37). L'utilisation de ce critère pour
des quadratures différentes (en conception et nombre de directions) résulte dans un nombre de
volumes différents pour chaque cas. Fiveland (1985, 1987) a obtenu de meilleurs résultats
pour sa quadrature qui présente comme particularité une concentration plus importante autour
de µ=0 et, en conséquence, nécessite davantage de volumes pour respecter l'équation (2.45).
Du fait que ce critère peut masquer l'analyse de la quadrature en raison d'une précision
variable de la résolution de l'ETR due au nombre de volumes différents, on a choisi un autre
critère pour calculer le nombre de volumes. Le nombre de volumes nécessaire pour respecter
l'équation (1.95) pour toutes les quadratures est calculé et la valeur la plus élevée est utilisée.
Pour un nombre de directions constant, la quadrature de Radau projetée exigera plus de
volumes (en raison de sa concentration autour de la direction µ=0).
Le premier cas présenté considère un milieu purement diffusant (ω=1) avec une fonction de
phase isotrope, confiné entre deux parois noires. La paroi située en τ=0 a une émission
unitaire. La seconde paroi (τ= τo) a une température nulle. La solution analytique a été obtenue
par Heaslet et Warming (1965) et les résultats sont listés par Fiveland (1985) avec 5 chiffres
significatifs.
65
CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR
Les Figures (2.13) et (2.14) montrent respectivement les résultats obtenus en termes de flux
et rayonnement incident, en fonction du nombre de directions pour les différentes quadratures
et une épaisseur optique de τo=8. Le nombre de volumes adopté pour toutes les quadratures est
de 4743. Dans cet exemple le flux est constant à l'intérieur du milieu et le rayonnement
incident, G1, a été calculé pour la paroi en τ=0. Les quadratures F, RP et GP ont présenté de
meilleurs résultats. Le point d'inflexion que l'on observe pour un nombre de 4 directions pour
les quadratures F, GP, RP est dû à un changement de signe de l'erreur. L'intégration du flux et
du rayonnement incident avec la quadrature N présente une erreur supérieure en comparaison
avec les autres quadratures. La correction faite sur la quadrature N présente de meilleurs
résultats seulement pour une correction des demi-moments d'ordre 0, 1, 2 et 3 (N-4M). La
Figure (2.15) montre le nombre d'itérations nécessaires pour les différentes quadratures. Ce
résultat indique que le nombre d'itérations n'est pas fonction du type de quadrature utilisée.
Le deuxième cas test correspond aux mêmes conditions que le premier, à l'exception que
les parois ont une émissivité différente de l'unité et la réflexion est de type diffuse. La paroi en
τ=0 a une émissivité de 0,8 et l'autre paroi (τ=τo) a une émissivité de 0,1. L'épaisseur optique
est égale à 3 et le nombre de volumes nécessaire pour cette épaisseur est de 1779. Les Figures
(2.16) à (2.18) montrent les résultats confirmant la même tendance que le cas antérieur. Pour
la correction apportée à la quadrature N la précision augmente avec le nombre de demimoments respectés. Pour les quadratures GP et RP la convergence de la solution est obtenue à
partir d'un nombre de directions supérieur à 10.
1
|Erreur sur le flux| [%]
1
10
G
R
F
N
N-3M
GP
RP
0
N-2M
N-4M
0
10
-1
10
-2
10
|Erreur sur G1| [%]
2
10
10
-1
G
R
F
N
N-3M
GP
RP
N-2M
N-4M
10
-2
10
-3
10
10
-3
-4
10
10
4 8 12 16 20 24 28 32 36
Nombre de directions
4 8 12 16 20 24 28 32 36
Nombre de directions
Figure (2.13) : Erreur associée aux différentes Figure (2.14) : Erreur associée aux
quadratures pour le calcul du
différentes quadratures pour
le calcul du rayonnement
flux (τo=8 ; np=4743).
incident G1 (τo=8 ;
np=4743).
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
66
1200
Nombre d'iterations
1000
800
G
R
F
N
N-3M
600
GP
RP
N-2M
N-4M
400
4 8 12 16 20 24 28 32 36
Nombre de directions
Figure (2.15) : Nombre d'itérations pour différentes quadratures (τo=8 ; np=4743).
4
4
3
10
|Erreur sur le flux| [%]
2
10
1
G
R
F
N
N-3M
10
GP
RP
3
10
2
N-2M
N-4M
10
0
10
-1
10
-2
10
10
|Erreur sur G2| [%]
10
1
10
G
R
F
N
N-3M
GP
RP
N-2M
N-4M
0
10
-1
10
-2
10
-3
-3
10
10
-4
-4
10
10
4 8 12 16 20 24 28 32 36
Nombre de directions
Figure (2.16) : Erreur associée aux différentes
quadratures pour le calcul du
flux (τo=3 ; np=1779 ; ε1=0,8 ;
ε2=0,1).
4 8 12 16 20 24 28 32 36
Nombre de directions
Figure (2.17) : Erreur associée aux différents
quadratures pour le calcul du
rayonnement incident G1
(τo=3 ; np=1779 ; ε1=0,8 ;
ε2=0,1).
67
CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR
900
800
Nombre d'iterations
700
600
500
G
R
F
N
N-3M
400
300
200
GP
RP
N-2M
N-4M
100
0
4 8 12 16 20 24 28 32 36
Nombre de directions
Figure (2.18) : Nombre d'itérations pour différentes quadratures (τo=3 ; np=1779 ;
ε1=0,8 ; ε2=0,1).
Le troisième cas test considéré est celui d'un milieu uniquement absorbant, de température
uniforme, confiné entre deux parois de température nulle et d'émissivités unitaires. Les
équations analytiques sont présentées à l'Annexe A.3. La Figure (2.19) confirme la précision
des quadratures projetées pour le calcul du flux. Sur la Figure (2.20) sont présentés les
résultats pour le rayonnement incident. Les différentes quadratures donnent les mêmes
résultats, à l'exception des quadratures N qui présentent toujours une erreur plus importante.
Du fait de l'absence de diffusion, ce cas converge avec une seule itération.
3
4
3
10
2
10
|Erreur sur le flux| [%]
1
10
0
G
R
F
N
N-3M
10
GP
RP
2
10
1
10
N-2M
N-4M
10
-1
10
-2
10
-3
10
-4
10
|Erreur sur G(τ=τo/2)| [%]
10
0
10
-1
G
R
F
N
N-3M
GP
RP
N-2M
N-4M
10
-2
10
-3
10
-4
10
-5
10
-6
-5
10
10
-7
-6
10
10
4 8 12 16 20 24 28 32 36
Nombre de directions
Figure (2.19) : Erreur associée aux différentes
quadratures pour le calcul du
flux (τo=5 ; np=2963).
4 8 12 16 20 24 28 32 36
Nombre de directions
Figure (2.20) : Erreur associée aux
différentes quadratures pour le calcul du
rayonnement incident en τ= τo/2 (τo=3 ;
np=2963).
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
68
Pour essayer d'évaluer l'influence d'une fonction de phase anisotrope, un cas test proposé
par Kumar et al. (1990) est analysé. La fonction de phase est du type polynôme de Legendre et
correspond à une particule sphérique d'indice de réfraction n=1,50+i0,10 et de paramètre de
taille 8. La solution de référence est obtenue avec la méthode F9 pour une tranche soumise à
une incidence diffuse sur la paroi en τ=0. Les résultats sont encore favorables aux quadratures
projetées. Elles convergent plus rapidement avec le nombre croissant de directions. Les
corrections pour la quadrature N sont efficaces uniquement pour N-4M.
4
|Erreur sur le flux τ=0| [%]
1
10
G
R
F
N
N-3M
GP
RP
3
10
N-2M
N-4M
0
10
-1
10
-2
10
|Erreur sur le flux τ=τo| [%]
2
10
10
-3
2
10
G
R
F
N
N-3M
GP
RP
N-2M
N-4M
1
10
0
10
-1
10
-2
10
10
4 8 12 16 20 24 28 32 36
Nombre de directions
4 8 12 16 20 24 28 32 36
Nombre de directions
Figure (2.21) : Erreur associée aux différentes Figure (2.22) : Erreur associée aux
quadratures pour le calcul du
différentes quadratures pour le
flux (τo=10 ; ω=0,8 ; np=5928).
calcul du flux (τo=10 ; ω=0,8 ;
np=5928).
Les tests sur les différentes quadratures en fonction du nombre de directions ont montré
que, d'une manière générale, l'utilisation d'une quadrature projetée donne toujours de meilleurs
résultats. Avec ces quadratures la convergence est obtenue entre un nombre de 12 à 16
directions. Les corrections de demi-moments proposées par Jones et al. (1996) ne donnent pas
toujours les meilleurs résultats, mais d'une façon générale elles peuvent être cependant
utilisées.
2.4.2 INFLUENCE DU TYPE D'INTERPOLATION SPATIALE
L'optimisation du type d'interpolation spatiale (Tableau (2.2)) utilisé permet de réduire le
nombre de volumes nécessaire pour atteindre une certaine précision désirée. Les tests
présentés dans la suite considèrent les cas déjà utilisés pour la vérification des différentes
quadratures, et des schémas de maillage constant : "step", linéaire (diamant), exponentiel et
intégral. De plus, un maillage variable selon l'équation (2.21), et une méthode de linéarisation
du terme source, (2.46), sont testés. Le schéma linéaire utilisé effectue des corrections sur les
luminances au cas où des luminances négatives seraient obtenues, les corrections ne devront
pas changer le champ de luminance final obtenu, mais seulement le nombre d'itérations
nécessaires. La quadrature utilisée pour ces différents cas était une quadrature de Radau
69
CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR
projetée avec 24 directions. Le nombre de volumes nécessaires pour ne pas avoir de
luminances négatives selon le critère de Fiveland est indiqué comme npFv.
Sur la Figure (2.23) sont présentées les courbes d'erreur sur le flux pour les différents
schémas en considérant le cas d'un milieu confiné entre deux parois noires et une diffusion
isotrope avec un albédo ω=1. Le schéma "step" présente une mauvaise convergence en
fonction du nombre de volumes. Les schémas exponentiel et intégral ont un comportement
relativement similaire en nécessitant aussi un nombre important de volumes pour atteindre la
convergence. Le schéma linéaire est celui qui présente une meilleure performance. La
linéarisation et le maillage variable n'ont pas changé les calculs du flux. La Figure (2.24)
montre la variation de la luminance pour la direction plus proche de µ=0 avec le nombre de
volumes, le schéma linéaire présente des oscillations pour un nombre de volumes inférieur à
30, mais tout de même avec de meilleurs résultats que les autres schémas. La Figure (2.25)
présente le nombre d'itérations nécessaire pour chaque schéma. Le résultat est presque le
même pour tous les schémas à l'exception du fait qu'une légère réduction du nombre
d'itérations est obtenue avec la linéarisation du terme source pour un nombre de volumes
élevé.
Les Figures (2.26) et (2.27) montrent un cas pour le milieu non-diffusant (purement
absorbant) soumis à une température constante. Les parois sont noires et à une température
nulle. Pour ces cas, le schéma exponentiel converge avec seulement un volume, car il est la
solution exacte de ce problème L'erreur pour le calcul du flux n'est pas nulle du fait des
imprécisions liées à la quadrature. Le schéma intégral est un peu plus performant que les
schémas linéaires (linéaire, linéaire variable et linéarisé). La Figure (2.27) présente la
luminance pour la direction µ=1 pour τ=τo. L'erreur du schéma exponentiel est nulle et elle
n'est pas présentée sur cette figure à échelles logarithmiques.
step
exponentiel
linéaire variable
linéaire
intégral
linéarisation
3
0.5
10
2
0.4
1
10
Luminance
|Erreur sur le flux| [%]
10
0
10
-1
10
0.3
0.2
0.1
-2
10
-3
0.0
10
0
10
1
2
3
10
10
10
Nombre de volumes
4
10
Figure (2.23) : Erreur associée aux différents
schémas pour le calcul du flux
(τo=8 ; ω=1 ; npFv=1997).
0
10
1
2
3
10
10
10
Nombre de volumes
4
10
Figure (2.24) : Luminance pour la
direction θ=89,426° en τ=τo
(τo=8 ; ω=1 ; npFv=1997).
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
step
exponentiel
linéaire variable
70
linéaire
intégral
linéarisation
1100
Nombre d'iterations
900
700
500
300
0
10
1
2
3
10
10
10
Nombre de volumes
4
10
Figure (2.25) : Nombre d'itérations pour différents schémas (τo=8 ; ω=1 ; npFv=1997).
step
exponentiel
linéaire variable
linéaire
intégral
linéarisation
2
2
10
10
1
10
1
|Erreur sur la Luminance| [%]
|Erreur sur le flux| [%]
10
0
10
-1
10
-2
10
0
10
-1
10
-2
10
-3
10
-4
10
-5
10
-6
10
-3
-7
10
10
0
10
1
2
3
10
10
10
Nombre de volumes
4
10
Figure (2.26) : Erreur associée aux différents
schémas pour le calcul du flux en
τ=0 (τo=5 ; ω=0 ; npFv=2965).
0
10
1
2
3
10
10
10
Nombre de volumes
4
10
Figure (2.27) Erreur associée aux différents
schémas pour le calcul de la
luminance en τ= τo et µ=1 (τo=5 ;
ω=0 ; npFv=2965).
71
CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR
Le cas présenté par Kumar et al. (1990) est utilisé pour évaluer l'influence de la diffusion
anisotrope sur les différents schémas, Figures (2.28) à (2.32). Les Figures (2.28) et (2.29)
montrent les résultats en termes de flux pour les parois τ=0 et τ= τo, respectivement. Le
schéma linéaire nécessite moins d'itérations que les autres schémas. Si l'on regarde les
luminances pour les directions θ=0°, Figure (2.30), et θ=89,426°, Figure (2.31), en τ= τo, on
observe l'existence d'oscillations pour µ proche de 0. La Figure (2.32) montre le nombre
d'itérations nécessaire pour la convergence de ce cas pour plusieurs schémas. La linéarisation
proposée par Chai et al. (1994) conduit à des économies de l'ordre de 40%.
Il reste à savoir si une fonction de phase du type Henyey-Greenstein présentera le même
résultat qu'une fonction de phase de Legendre, face à différents schémas. Ainsi un cas a été
considéré, basé sur un exemple de condition expérimentale utilisée par Nicolau (1994). Dans
ce cas, on considère un faisceau collimaté (θο=2,5°) d'incidence normale sur la surface d'un
échantillon. Ce cas suppose une symétrie azimutale. La solution de référence a été obtenue en
utilisant la même méthode que Nicolau (1994), où, après une discrétisation angulaire de
l'ETR, une solution analytique est utilisée pour résoudre le système d'équations différentielles.
C'est-à-dire qu'à partir d'une approximation de la discrétisation angulaire, la solution du
système d'équations est exacte. Les Figures (2.33) et (2.34) présentent les résultats pour les
transmittances et reflectances hémisphériques, respectivement. La convergence de la solution
est lente et c'est le schéma linéaire qui présente de meilleurs résultats. Les Figures (2.35) et
(2.36) montrent la variation de la luminance en fonction du nombre de volumes, avec des
résultats d'allure similaire à ceux des transmittance/réflectance hémisphériques. La méthode
de Chai et al. (1994) continue a être très performante pour réduire le nombre d'itérations,
Figure (2.37).
step
exponentiel
linéaire variable
linéaire
intégral
linéarisation
3
1
10
10
2
0
10
|Erreur sur le flux| [%]
|Erreur sur le flux| [%]
10
-1
10
-2
10
-3
10
1
10
0
10
-1
10
-2
10
-4
-3
10
10
0
10
1
2
3
10
10
10
Nombre de volumes
4
10
0
10
1
2
3
10
10
10
Nombre de volumes
4
10
Figure (2.28) : Erreur associée aux différents
Figure (2.29) : Erreur associée aux
différents schémas pour le calcul de flux
schémas pour le calcul de flux en τ=0
en τ= τo (τo=10 ; ω=0,8 ; npFv=5928).
(τo=10 ; ω=0,8 ; npFv=5928).
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
step
exponentiel
linéaire variable
72
linéaire
intégral
linéarisation
0.20
0.18
0.8
0.16
0.14
Luminance
Luminance
0.6
0.4
0.12
0.10
0.08
0.06
0.2
0.04
0.02
0.00
0.0
0
10
1
2
3
0
4
10
10
10
Nombre de volumes
1
10
10
2
3
10
10
10
Nombre de volumes
Figure (2.31) : Variation de la luminance en
fonction du nombre de volumes
pour la direction θ=89,426° en
τ=0 (τo=10 ; ω=0,8 ; npFv=5928).
Figure (2.30) : Variation de la luminance
en fonction du nombre de
volumes pour la direction θ=0° en
τ=0 (τo=10 ; ω=0,8 ; npFv=5928).
step
exponentiel
linéaire variable
linéaire
intégral
linéarisation
170
Nombre d'iterations
160
150
140
130
120
110
100
0
10
4
10
1
2
3
10
10
10
Nombre de volumes
4
10
Figure (2.32) : Nombre d'itérations pour différents schémas (τo=10 ; ω= 0,8 ;
npFv=5928).
73
CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR
3
10
2
10
1
10
0
10
-1
10
-2
10
-3
10
-4
10
-5
10
-6
10
0
10
1
2
3
10
10
10
Nombre de volumes
4
10
Figure (2.33) : Erreur associée aux
différents schémas pour le calcul de la
transmittance hémisphérique (τo=11,86 ;
ω=0,95 ; g1=0,95 ; g2=-0,6 ; f1= 0,9 ; f2=
0,95 ; npFv=212).
linéaire
intégral
linéarisation
|Erreur sur la Réflectance Hémisphérique| [%]
|Erreur sur la Transmittance Hémisphérique| [%]
step
exponentiel
linéaire variable
2
101
100
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
10
0
10
2
3
4
10
Figure (2.34) : Erreur associée aux différents
schémas pour le calcul de la
réflectance hémisphérique (τo=11,86 ;
ω=0,95 ; g1=0,95 ; g2=-0,6 ; f1= 0,9 ;
f2= 0,95 ; npFv=212).
step
exponentiel
linéaire variable
linéaire
intégral
linéarisation
3
5
10
104
103
102
101
100
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
10
2
|Erreur sur la Luminance| [%]
|Erreur sur la Luminance| [%]
1
10
10
10
Nombre de volumes
10
1
10
0
10
-1
10
-2
10
-3
10
-4
10
-5
10
-6
10
0
10
1
2
3
10
10
10
Nombre de volumes
4
10
Figure (2.35) : Erreur associée aux
différents schémas pour le calcul de la
luminance, direction d'incidence µ=1
(τo=11,86 ; ω=0,95 ; g1=0,95 ; g2= -0,6 ;
f1= 0,9 ; f2= 0,95 ; npFv=212).
0
10
1
2
3
10
10
10
Nombre de volumes
4
10
Figure (2.36) : Erreur associée aux différents
schémas pour le calcul de la
luminance, direction opposée à
l'incidence
µ=-1 (τo=11,86 ; ω=0,95 ; g1=0,95 ;
g2=-0,6 ; f1= 0,9 ; f2= 0,95 ; npFv=212).
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
step
exponentiel
linéaire variable
74
linéaire
intégral
linéarisation
350
Nombre d'iterations
300
250
200
150
100
50
0
10
1
2
3
10
10
10
Nombre de volumes
4
10
Figure (2.37) : Nombre d'itérations pour différents schémas (τo=11,86 ; ω=0,95 ;
g1=0,95 ; g2=-0,6 ; f1= 0,9 ; f2= 0,95 ; npFv=212).
Les tests ont montré que le choix du schéma linéaire s'avère efficace pour différentes
situations. Le schéma exponentiel est intéressant pour des cas à faible diffusion où l'émission
est prépondérante. La linéarisation du terme source selon l'équation (2.46), dans la plus grande
partie des cas, réduit considérablement le nombre d'itérations nécessaire, jusqu'à un facteur
deux.
Les tests des différents schémas appliqués à une quadrature spatiale dans le cas d'une
symétrie azimutale seront présentés au paragraphe suivant.
2.4.3 INFLUENCE DE LA QUADRATURE POUR UN PROBLEME SANS SYMETRIE AZIMUTALE
Les cas tests disponibles dans la littérature pour un problème sans symétrie azimutale sont
très limités et l'on peut dire presque inexistants. Les résultats obtenus par Modest (1991) et
Gerstl et Zardecki (1985) seront utilisés pour la validation de la méthode développée pour un
problème sans symétrie azimutale. Dans la suite, des cas tests seront présentés de façon à
évaluer l'influence de l'angle d'incidence sur la quadrature, l'influence des paramètres de la
fonction de phase, sur le nombre de directions de la quadrature et types de schéma
d'interpolation. La quadrature développée dans ce travail est basée sur une quadrature N-4M
(24 directions) pour le plan x-z et une quadrature à pas constant pour le plan y-z. Pour alléger
l'écriture la notation suivante sera utilisée : N-C4 (6 directions pour le plan y-z), N-C6 (10
directions pour le plan y-z), N-C8 (14 directions pour le plan y-z) , N-C10 (18 directions pour
le plan y-z) , N-C12 (22 directions pour le plan y-z).
75
CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR
Modest (1991) a développé une solution analytique, basée sur des équations intégrales,
pour un problème dans lequel on considère une incidence oblique d'un faisceau sur une
tranche d'un milieu froid absorbant à diffusion isotrope. Cet auteur présente aussi l'équation,
obtenue à partir de la méthode P1, pour un milieu purement diffusant (ω=1) et les écarts sont
quasi invisibles sur les courbes représentées. Désormais, du fait de la simplification
d'utilisation, la méthode P1 a été prise pour l'analyse de ce travail. Le flux est donné par
l'équation suivante (Modest, 1991) :
−τ
2 + 3θ I + (2 − 3θ I ) exp o θ 
I
qx =
θI
4 + 3τ o
(2.46)
où θΙ est l'angle d'incidence du faisceau collimaté. La Figure (2.38) montre le flux calculé avec
la méthode P1 (lignes) et le flux calculé avec une quadrature N-C12 (points ▲, ■, ●). Les
résultats sont en très bon accord.
La Figure (2.39) présente les transmittances et réflectances bidirectionnelles calculées à
partir des équations (1.20) et (1.21), respectivement. Comme on l'attendait, l'inclinaison du
faisceau sur une tranche réduit l'intensité du faisceau collimaté dans la direction d'incidence et
réduit aussi la transmittance en dehors de la direction d'incidence. La réflexion varie dans le
sens contraire, mais les écarts ne sont pas visibles du fait de l'échelle logarithmique.
1.0
P1
0°
30°
45°
60°
75°
85°
flux radiatif (qx)
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
Epaisseur optique (τo)
8
10
Figure (2.38) : Influence de l'angle d'incidence (θΙ) du faisceau et de l'épaisseur
optique sur le flux - comparaison entre la méthode P1 et la méthode
des ordonnées discrètes pour une quadrature N-C12 (ω=1 ; np=400).
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
Réflectances
76
Transmittances
90
1
120
10
60
0
10
-1
10
30
150
θ Ι=0°
-2
θ Ι=30°
10
-3
10
180
0
-2
θ Ι=60°
θ Ι=75°
10
θ Ι=85°
-1
10
θ Ι=45°
330
210
0
10
1
10
240
300
270
Figure (2.39) : Transmittances et réflectances bidirectionnelles en fonction de
l'angle d'incidence pour un cas avec diffusion isotrope, ω=1, τo=4,
np=400, calcul avec une quadrature N- C12 (plan x-z).
Le deuxième cas test est basé sur les résultats obtenus par Gerstl et Zardecki (1985) pour
une tranche plane soumise à un faisceau incliné pour un milieu à diffusion anisotrope
(Henyey-Greenstein). Ces auteurs ont utilisé une méthode de solution par somme de solutions
d'un problème avec symétrie azimutale (développement en série), en appliquant la méthode
des ordonnées discrètes associée aux volumes de contrôle pour résoudre le problème avec
symétrie azimutale. Comme la fonction de phase doit être écrite sous la forme d'un polynôme
de Legendre pour l'utilisation de cette solution, ces auteurs ont fait un développement de la
fonction de phase de Henyey-Greenstein.
La Figure (2.40) montre les résultats de transmittance et de reflectance hémisphérique
fonction de l'angle d'incidence. Il existe une écart entre la solution de Gerstl et Zardecki
(1985) (lignes) et les valeurs calculées avec la quadrature N- C12 (points ▲, ■, ●), surtout pour
les grandes épaisseurs optiques. Cet écart est dû probablement aux différents traitements de la
fonction de phase : intégration sur φ pour un problème avec symétrie azimutale (équation
(1.40)) et la correction de la fonction de phase (équation (1.44)). Pour vérifier cette hypothèse
un cas avec symétrie azimutale a été calculé et le résultats obtenus sont indiqués sous la forme
de symboles (X) pour l'angle d'incidence zéro. Les résultats coïncident avec la courbe de Gerstl
et Zardecki (1985) et confirment cette hypothèse.
Sur les Figures (2.41) et 2.42) on observe la variation de transmittance/réflectance
bidirectionnelles en fonction de l'angle d'incidence pour les épaisseurs optiques de 1 et de 16,
respectivement. Une forme plus pointue de la courbe de transmittance apparaît comme
77
CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR
conséquence de la fonction de phase de Henyey-Greenstein. Pour la plus forte épaisseur
optique (τ=16) la réflectance est plus élevée pour les directions comprises entre 90° et 120°.
Pour les autres directions la réflectance a une tendance à l'isotropie.
La Figure (2.43) montre l'influence du facteur d'asymétrie g1 de la fonction de phase
composée proposée par Nicolau (1994) sur les transmittances/reflectances bidirectionnelles,
pour deux épaisseur optiques (τo=1 et τo=5). Si g1 est proche de l'unité la courbe devient plus
pointue et les reflectances sont légèrement réduites. L'augmentation de l'épaisseur optique,
logiquement, réduit le pic autour de la direction d'incidence, transforme les transmittances en
une distribution plus isotrope et augmente la réflectance.
1.0
τ=1
0.9
0.8
τ=16
0.7
τ=4
Réflectance hémisphérique
Transmittance hémisphérique
0.8
0.6
0.4
τ=16
0.6
0.5
0.4
τ=4
0.3
0.2
0.2
τ=1
0.1
0.0
0.0
0
30
60
Angle d'incidence
(a)
90
0
30
60
Angle d'incidence
90
(b)
Figure (2.40) : Influence de l'angle d'incidence (θΙ) du faisceau et de l'épaisseur
optique sur les transmittances (a) et réflectances (b) hémisphériques comparaison entre les résultats de Gerstl et Zardecki (1985) et ceux
de la méthode des ordonnées discrètes pour une quadrature N- C12
(ω=1,0 ; g=0,75 ; np=400).
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
Réflectances
78
Transmittances
90
2
10
120
1
60
10
0
10
30
150
-1
10
-2
10
θ Ι=0°
10
θ Ι=30°
-3
-4
180
10
0
10
θ Ι=75°
-2
10
θ Ι=85°
-1
10
θ Ι=45°
θ Ι=60°
-3
330
210
0
10
1
10
2
240
10
300
270
Figure (2.41) : Transmittances et réflectances bidirectionnelles en fonction de
l'angle d'incidence pour une fonction de phase de HenyeyGreenstein, ω=1 ; τo=1 ;g=0,75 ; np=400 pour une quadrature NC12 (plan x-z).
Réflectances
Transmittances
90
2
10
120
1
60
10
0
10
-1
10
30
150
-2
10
θ Ι=0°
10
θ Ι=30°
-3
-4
10
180
0
10
θ Ι=75°
-2
10
θ Ι=85°
-1
10
0
θ Ι=45°
θ Ι=60°
-3
330
210
10
1
10
2
10
240
300
270
Figure (2.42) : Transmittances et réflectances bidirectionnelles en fonction de
l'angle d'incidence pour une fonction de phase de HenyeyGreenstein, ω=1,0 ; τo=16 ; g=0,75 ; np=400 pour une quadrature
N- C12 (plan x-z).
79
CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR
Réflectances
Transmittances
90
2
101
10
0
10
-1
10
-2
10-3
10
-4
10
-3
10-2
10
-1
10
0
10
1
102
10
120
60
30
150
180
0
g1=0.95, τo=5
g1=0.86, τo=5
g1=0.95, τo=1
g1=0.86, τo=1
330
210
240
300
270
Figure (2.43) : Transmittances et réflectances bidirectionnelles pour 2 valeurs du
paramètre g1 de la fonction de phase composée (Nicolau, 1994)
pour deux épaisseurs optiques (τo=1 et τo=5), θI=45°, ω=0,95 ;
g2=-0,6 ; f1=0,9 ; f2=0,95 ; np=400, pour une quadrature N- C12
(plan x-z).
Les Figures (2.44) à (2.47) montrent l'influence du paramètre g1 de la fonction de phase de
Nicolau (1994) sur les transmittances/réflectances bidirectionnelles fonction de l'angle
d'incidence pour deux épaisseurs optiques (τo=1 et τo=5). Le comportement déjà constaté avec
la fonction de phase de Henyey-Greenstein est à nouveau observé. L'inclinaison du faisceau
augmente la réflectance et une croissance de l'épaisseur optique conduit le champ de
transmittance/réflectance à un format plus uniforme. Un facteur d'anisotropie g1 plus élevé
contribue à avoir un champ de transmittance plus pointu, même pour des épaisseurs optiques
importantes, Figure (2.47)
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
Réflectances
80
Transmittances
90
2
101
10
0
10-1
10-2
10-3
10-4
10
-3
10-2
10
-1
10
0
10
1
102
10
120
60
30
150
θ Ι=0°
θ Ι=30°
180
0
θ Ι=45°
θ Ι=60°
θ Ι=75°
θ Ι=85°
330
210
240
300
270
Figure (2.44) : Transmittances et réflectances bidirectionnelles en fonction de
l'angle d'incidence θI pour τo=1 ; ω=0,95 ; g1=0,86 ; g2=-0,6 ;
f1=0,9 ; f2=0,95 ; np=500, pour une quadrature N- C12 (plan x-z).
Réflectances
Transmittances
90
2
101
10
0
10
-1
10
-2
10-3
10
-4
10
-3
10-2
10
-1
10
0
10
1
102
10
120
60
30
150
θ Ι=0°
θ Ι=30°
180
0
θ Ι=45°
θ Ι=60°
θ Ι=75°
θ Ι=85°
330
210
240
300
270
Figure (2.45) : Transmittances et réflectances bidirectionnelles en fonction du
paramètre g1 de la fonction de phase pour τo=5 ; ω=0,95 ; g1=0,86
g2=-0,6 ; f1=0,9 ; f2=0,95 ; np=500, pour une quadrature N- C12
(plan x-z).
81
CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR
Réflectances
Transmittances
90
2
101
10
0
10
-1
10
-2
10-3
10
-4
10
-3
10-2
10
-1
10
0
10
1
102
10
120
60
30
150
θ Ι=0°
θ Ι=30°
180
0
θ Ι=45°
θ Ι=60°
θ Ι=75°
θ Ι=85°
330
210
240
300
270
Figure (2.46) : Transmittances et réflectances bidirectionnelles en fonction du
paramètre g1 de la fonction de phase pour τo=1 ; ω=0,95 ; g1=0,95
g2=-0,6 ; f1=0,9 ; f2=0,95 ; np=500, pour une quadrature N- C12
(plan x-z).
Réflectances
Transmittances
90
2
101
100
10-1
10-2
10-3
10
-4
10-3
10-2
10
-1
10
0
101
102
10
120
60
30
150
θ Ι=0°
θ Ι=30°
180
0
θ Ι=45°
θ Ι=60°
θ Ι=75°
θ Ι=85°
330
210
240
300
270
Figure (2.47) : Transmittances et réflectances bidirectionnelles en fonction du
paramètre g1 de la fonction de phase pour τo=5 ; ω=0,95 ; g1=0,95
; g2=-0,6 ; f1=0,9 ; f2=0,95 ; np=500, pour une quadrature N- C12
(plan x-z).
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
82
Afin de pouvoir évaluer les erreurs dues aux nombres de directions utilisés pour la
quadrature dans le plan y-z, des tests ont été effectués en considérant la variation des
transmittances dans la direction d'incidence, celles de la réflectance dans la direction opposée
à la direction d'incidence et de la transmittance/réflectance hémisphérique. Les résultats pour
les différentes quadratures sont présentés sur les Figures (2.48) et (2.49) en fonction du
nombre de volumes de contrôle pour : θΙ=45° ; τo=10 ; ω=0,95 ; g1=0,95 ; g2= -0,6 ; f1= 0,9 ;
f2= 0,95. A partir de 8 directions les résultats commencent à converger. Un nombre de 30
volumes de contrôle suffit pour la convergence des calculs.
direction opposée
N24C4
N24C6
N24C8
N24C10
N24C12
N24C4
N24C6
N24C12
Transmittance bidirectionnel
0.14
direction opposée
à l'incidence
0.12
0.10
0.08
0.06
direction d'incidence
0.04
0
10
1
2
10
10
Nombre de volumes
3
10
Figure (2.48) : Variation de la transmittance
bidirectionnelle en fonction du nombre
de directions de la quadrature y-z
(θΙ=45° ; τo=10 ; ω=0,95 ; g1=0,95 ; g2=
-0,6 ; f1= 0,9 ; f2= 0,95).
Transmittance et Réflectance Hémisphérique
direction d'incidence
N24C4
N24C6
N24C8
N24C10
N24C12
N24C8
N24C10
0.45
0.40
réflectance
0.35
0.30
0.25
0.20
transmittance
0.15
0.10
0
10
1
2
10
10
Nombre de volumes
3
10
Figure (2.49) : Variation de la transmittance
/réflectance hémisphérique en fonction
du nombre de directions de la quadrature
y-z (θΙ=45° ; τo=10 ; ω=0,95 ; g1=0,95 ;
g2= -0,6 ; f1= 0,9 ; f2= 0,95).
Les Figures de (2.50) à (2.52) montrent l'effet des différents schémas sur la quadrature
spatiale - N24C8. La Figure (2.50) présente les valeurs de transmittance pour la direction
d'incidence du faisceau et de réflectance bidirectionnelle pour la direction opposée à celle
d'incidence. Le schéma linéaire converge plus rapidement que les autres et un nombre de 30
volumes peut être considéré comme suffisant. Sur la Figure (2.51) la transmittance et la
réflectance hémisphériques sont tracées. A nouveau le schéma linéaire est plus performant.
Normalement des grandeurs hémisphériques convergent plus rapidement que des grandeurs
directionnelles. La Figure (2.52) présente le nombre d'itérations nécessaire pour chaque
schéma pour la convergence. La formule de linéarisation (équation 2.46) n'arrive pas à
converger jusqu'à un nombre de 10 volumes et les itérations sont réalisées jusqu'à une limite
83
CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR
imposée dans le programme (2500 itérations). A partir de 10 volumes la linéarisation
converge avec un nombre d'itérations nettement inférieur à celui pour les autres schémas.
Transmittance/reflectance hémisphérique
Transmittance/reflectance bidirectionnel
step
exponentiel
linéaire variable
10
1
transmittance
0.1
reflectance
0.01
0
10
1
2
linéaire
intégral
linéarisation
0.4
0.2
transmittance
0.1
0
3
10
10
Nombre de volumes
réflectance
0.3
1
10
10
2
10
10
Nombre de volumes
3
10
Figure (2.50) : Variation de la transmittance
Figure (2.51) : Variation de la transmittance
bidirectionnelle en fonction du nombre de
hémisphérique en fonction du nombre
volumes pour les différents schémas
de volumes pour les différents
(θΙ=45° ; τo=10 ; ω=0,95 ; g1=0,95 ; g2= schémas (θΙ =45° ; τo=10 ; ω=0,95 ;
0,6 ; f1= 0,9 ; f2= 0,95).
g1=0,95 ; g2= -0,6 ; f1= 0,9 ; f2=
0,95).
step
exponentiel
linéaire variable
linéaire
intégral
linéarisation
Nombre d'iterations
1000
100
10
0
10
1
2
10
10
Nombre de volumes
3
10
Figure (2.52) : Nombre d'itérations pour différents schémas (θΙ =45° ; τo=10 ;
ω=0,95 ; g1=0,95 ; g2= -0,6 ; f1= 0,9 ; f2= 0,95).
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
84
2.5 CONCLUSION
Une étude menée sur la méthode des ordonnés discrètes a permis de caractériser les erreurs
inhérentes à l'utilisation des divers types de quadratures et de schémas d'interpolation. Cette
étude a montré que, pour le calcul du flux radiatif, les quadratures qui respectent le demimoment du rayonnement donnent des résultats beaucoup plus précis que celles qui respectent
uniquement le moment total du rayonnement. Par rapport aux schémas d'interpolation linéaire,
le schéma diamant est celui qui a donné les meilleurs résultats en termes de convergence par
rapport aux autres schémas analysés ("step", exponentiel et intégral). Son inconvénient est
qu'il peut donner des oscillations sur le champ de luminance, surtout pour les directions
proches de µ=0, si un nombre minimum des volumes de contrôle n'est pas utilisé. La
linéarisation du terme source, présentée par Chai et al. (1994) pour des calculs en géométrie
bidimensionnelle, donne d'excellents résultats en termes de réduction du nombre d'itérations
quand elle est appliquée à une configuration monodimensionnelle. Les corrections de demimoments proposées par Jones et al. (1996) ne donnent pas toujours les meilleurs résultats,
mais d'une façon générale elles peuvent être utilisées.
Dans ce chapitre est aussi présenté un modèle de résolution de l'équation de transfert
radiatif en condition de non-symétrie azimutale. La méthode des ordonnées discrètes
appliquée à un volume de contrôle est utilisée. Une nouvelle quadrature spatiale a été conçu
de manière à permettre la réalisation des mesures avec le dispositif expérimental. Cette
quadrature a un nombre de directions concentré autour de la direction d'incidence et présente
un nombre important de directions dans le plan de mesure du système de détection.
85
CHAPITRE III : Estimation de paramètres
&+$3,75(,,,
ESTIMATION DE PARAMETRES
3.1 INTRODUCTION
Une démarche d'identification des propriétés radiatives d'un mst diffusant est fondée sur la
solution de l'ETR (en couplage éventuel avec d'autres modes de transmission de la chaleur)
combinée à une méthode de moindre carrés (minimisation des écarts entre des valeurs
expérimentales et théoriques calculées à partir de l'ETR). Les propriétés radiatives identifiées
sont l'albédo, l'épaisseur optique et la fonction de phase. La fonction de phase, pour certains
matériaux peut prendre une allure très compliquée (et/ou pointue) et, dans ce cas, sa
représentation sous la forme d'un polynôme de Legendre nécessite des centaines de termes.
Les travaux de Sanchez et McCormick (1982) et de Silva Neto et Özisik (1992) sont des
exemples du problème de détermination des coefficients d'un polynôme de Legendre en
utilisant une méthode inverse. Ces auteurs ont conclu, que pour un nombre supérieur à 5
termes, l'identification devient très difficile du fait de la haute sensibilité au bruit des mesures.
Comme une identification de la fonction de phase du type Legendre n'est pas possible dans ce
cas, des fonctions approchées sont utilisées. Une première approche consiste à exprimer la
fonction de phase sous la forme isotrope, une hypothèse très simplificatrice pour la solution de
l'ETR, mais qui peut conduire à des écarts importants entre les résultats expérimentaux et
théoriques pour des épaisseurs optiques différentes de celle correspondant à l'identification.
Des fonctions de phase plus complexes peuvent être utilisées pour un milieu à diffusion
anisotrope tout en ayant un nombre réduit de termes à identifier. C'est le cas de la fonction de
phase d'Henyey-Greenstein (1 terme) ou de la fonction de phase de Nicolau (4 termes).
La réussite du modèle d'identification est définie par les écarts finaux entre la courbe
expérimentale et la courbe théorique des grandeurs calculées (transmittance/réflectance
bidirectionnelles, transmittance/réflectance hémisphérique, emittance directionnelle) en
fonction de l'épaisseur optique. Une méthode d'identification qui utilise des mesures
hémisphériques perd l'information liée aux caractéristiques directionnelles du rayonnement.
Cela réduit la capacité du modèle à prédire la fonction de phase, surtout pour une fonction de
phase avec plusieurs paramètres. Cependant, le choix de modèles utilisant des mesures
hémisphériques a été adopté dans plusieurs travaux de la littérature (Kuhn et al., 1993 ; Caps
et al., 1997 ; Hahn et al., 1997). Les mesures hémisphériques intégrent le signal transmis ou
réfléchi par l'échantillon sur un hémisphère (à l'aide d'une sphère intégrante) et sont de ce fait
moins bruitées. Les mesures bidirectionnelles exigent un dispositif expérimental très précis
pour pouvoir réduire le bruit de mesure (car le signal est mesuré dans un angle solide très
petit). Une autre difficulté est que les mesures directionnelles sont effectuées autour de
l'échantillon et, pour déplacer le détecteur, il est nécessaire d'avoir recours à un dispositif
goniométrique.
En plus du type de mesure, la forme de l'incidence du rayonnement sur l'échantillon peut
changer la sensibilité du modèle d'identification. Le dispositif expérimental peut être élaboré
de façon à avoir un faisceau incident collimaté (normalement ou non) sur la surface de
l'échantillon (Uny, 1986 ; Gricksman et al., 1987 ; Nicolau, 1994 ; Doermann, 1995 ; Henry et
al., 1997) ou une incidence diffuse (Silva Neto et Özisik, 1992).
Identification des propriétés radiatives de matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non symétrie azimutale du champ radiatif
86
A haute température, des mesures d'émittance du milieu peuvent être utilisées pour
l'estimation des propriétés radiatives. Cependant les travaux réalisés jusqu'à présent ont été
appliqués à la détermination du champ de température d'un mst en supposant les propriétés
radiatives du milieu connues (Ruperti Jr., 1996).
En essayant de déterminer la meilleure configuration expérimentale pour la détermination
des propriétés radiatives de fibres et de mousses (fort pic de diffusion) cinq cas en prenant en
compte des dispositifs expérimentaux différents ont été analysés. De ces cinq configurations,
une seulement permet de déterminer les propriétés radiatives en fonction de l'angle d'incidence
d'un faisceau collimaté.
Une analyse de l'influence des paramètres, tels que le nombre de conditionnement et l'angle
solide du faisceau incident est présentée dans la suite de ce chapitre. Finalement, une
simulation de mesures est présentée pour valider le programme d'identification de paramètres
(linéarisation de Gauss) utilisé pour les données expérimentales.
3.2 DESCRIPTION DE LA METHODE DE LINEARISATION DE GAUSS
Une méthode d'identification de paramètres utilise des résultats expérimentaux de
transmittances/réflectances ou émittances (hémisphériques ou bidirectionnelles) que l'on
compare à des résultats obtenus pour ces grandeurs à l'aide d'un modèle théorique simulant les
conditions de l'expérience, pour la même épaisseur de l'échantillon. Les grandeurs mesurées,
définies à partir des équations (1.20) à (1.24) sont représentées avec un indice "t" pour
théorique et "e" pour expérimentale.
Les grandeurs théoriques sont calculées comme une fonction des propriétés radiatives, à
savoir son épaisseur optique τo, son albédo ω et son modèle de fonction de phase, décrite ici
par les 4 paramètres (g1, g2, f1 et f2) du modèle de Nicolau (1994).
D'une façon générale, l'écart quadratique entre les valeurs théoriques et expérimentales peut
être donné par la formule suivante :
(
) ∑ [T
Nd
F χ k=1,...,K =
n =1
t ,n
− Te ,n
]
2
(3.1)
où χ est le vecteur de propriétés radiatives à déterminer, K le nombre total de propriétés
radiatives à déterminer et Nd est le nombre de directions de mesure. T peut représenter soit la
transmittance, la réflectance ou l'émittance (hémisphérique ou bidirectionnelle). L'objectif est
de minimiser la fonctionnelle F par rapport au vecteur de paramètres à identifier χ k=1,...,K .
La démarche de minimisation utilisée dans ce travail est celle de Gauss (Nicolau, 1994 et
Doermann, 1995). Cette méthode permet de déterminer les paramètres χ k=1,...,K qui minimisent
F et par conséquent les dérivées partielles de la fonction F, par rapport à chaque paramètre χ k
doivent être nulles. Ainsi, les relations suivantes doivent être vérifiées :
.
2
∂F
∂  Nd
=
Tt ,n − Te ,n  = 0
(3.2)

∂χ k ∂χ k  n=1

∑(
)
87
CHAPITRE III : Estimation de paramètres
ou encore :
Nd

∑ (T
n =1
e ,n

 ∂T  
− Tt ,n ) t ,n   = 0
 ∂χ k  
k = 1,...,K
(3.3)
 ∂Tt ,n 
où le terme 
 est le coefficient de sensibilité. Il représente le taux de variation de
 ∂χ k 
chaque transmittance, réflectance ou emittance (Tt,n), due à une variation du paramètre χ k . Ce
système d'équations non linéaire, équation (3.3), est résolu en utilisant une méthode itérative :
m +1

 ∂Tt ,n  
m+ 1
 Te ,n − Tt ,n

 =0
∂χ

 
k
n =1 

∑(
)
Nd
k = 1,...,K
(3.4)
Les valeurs Tt ,n m+1 , de l'itération m+1 peuvent être approchées par un développement du
premier ordre (Nicolau, 1994) :
Tt ,n ( χ + ∆χ)
m+ 1
 ∂Tt ,n 
+
 ∆χ m
 ∂χ k 
m
≅ Tt ,n
m
k=1,...,K
(3.5)
et les dérivées partielles de l'itération m+1 :
 ∂Tt ,n 


 ∂χ k 
m+ 1
 ∂Tt ,n 
≅

 ∂χ k 
m
k=1,...,K
(3.6)
Avec un regroupement des équations (3.4), (3.5) et (3.6), on obtient un système de K
équations à K inconnues (Nicolau, 1994) :
Nd
 Nd  ∂Tt  2 Nd ∂Tt ∂Tt
∂Ttn ∂Ttn 
 Nd

∂T
n
n
n
 

...

Ttn − Ten ) tn 
(

∂χ 1 ∂χ K 
∂χ 1 
 n =1  ∂χ 1  n =1 ∂χ 1 ∂χ 2
n =1
 n =1
∆χ
 Nd
  1
2
N
Nd
 Nd

 ∂Ttn 
∂T
∂Ttn ∂Ttn  
 ∂Ttn ∂Ttn

 (Ttn − Ten ) tn 
∆χ 2
...


 ∂χ ∂χ
= −
∂χ 2  (3.7)
∂χ 2 ∂χ K  ⋅ 
n =1
2
n =1  ∂χ 2 
n =1
 n =1 1
 − − 


− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −  
− − − − − − − − − − −


∆χ K 
 Nd
2 
 Nd
Nd
Nd
∂Ttn 
 ∂Ttn  
∂Ttn ∂Ttn
∂Ttn ∂Ttn



T
T
−
(
)
... 
tn
en
 

∂χ


K
∂χ
∂χ
∂χ
∂χ
∂χ
1
n
=



K
2
1 n =1
K
K
n =1
 n =1

∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
La résolution de ce système fournit les incréments ∆χ k=1,...,K qui doivent être ajoutés à
chaque paramètre χ k à chaque itération, sous la forme :
χ m+1
= ∆χ mk + χ mk
k
k=1,...,K
La convergence est réalisée lorsque ∆χ mk / χ mk est inférieur à une tolérance prédefinie.
(3.8)
Identification des propriétés radiatives de matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non symétrie azimutale du champ radiatif
88
Le terme source à droite de l'équation (3.7) contient les écarts entre les valeurs théoriques
et les valeurs expérimentales. La matrice à gauche, [S], est formée entièrement à partir des
coefficients de sensibilité, c'est-à-dire qu'elle ne dépend que du modèle théorique. Une
dépendance linéaire des paramètres χ k peut être détectée en examinant le degré de
conditionnement de cette matrice [S]. Le nombre de conditionnement est défini par la relation
suivante :
NC(S) = S −1 ⋅ S
(3.9)
la norme S étant définie comme :
K
S = max
k' =1, K
∑S
k' , k
(3.10)
k =1
NC[S] est compris entre 1 et ∞. Si NC est beaucoup plus grand que 1, le système est alors
mal conditionné.
3.3 DIFFERENTES APPROCHES EXPERIMENTALES POUR LA
DETERMINATION DES PROPRIETES RADIATIVES
L'identification des propriétés radiatives d'un mst peut être effectuée à partir de différentes
stratégies expérimentales. La réussite de la démarche dépendra de l'adéquation du dispositif
expérimental avec le modèle d'identification en fonction des paramètres à estimer. C'est-àdire, un modèle qui estime bien les propriétés pour une certaine épaisseur optique ne sera pas
obligatoirement satisfaisant pour des épaisseurs très différentes.
Afin de pouvoir déterminer quelle serait la meilleure configuration expérimentale pour
l'identification de matériaux présentant un fort pic de diffusion, telles que les fibres et les
mousses, cinq stratégies expérimentales possibles ont été considérées. L'analyse utilise les
modèles sans symétrie et avec symétrie azimutale décrits dans les deux premiers chapitres.
Les résultats, présentés en fonction du nombre de conditionnement et de l'épaisseur
optique, permettent d'évaluer les performances de chaque montage et aussi de déterminer
l'épaisseur optique pour laquelle les dispositifs expérimentaux sont plus indiqués. Le milieu
analysé est une fibre de verre avec les propriétés radiatives listées au Tableau 3.1. La fonction
de phase adoptée est celle de Nicolau (1994). Cette analyse est valable pour des matériaux
avec des propriétés radiatives proches de celle ce matériau. Si le matériau est très différent, les
résultats présentés ici pourraient ne plus être valables. La démarche d'analyse demeurera
toutefois la même.
Un NC (équation 3.9) important fera que la méthode d'identification sera fortement
influencée par le bruit de mesure. Alors, l'analyse de NC doit être effectuée en tenant compte
du niveau du signal détecté. Pour deux méthodes avec le même NC, la plus performante sera
celle qui correspond à un signal détecté plus important (Remarque : on considère que le bruit
est constant pour tous les cas). Pour cette raison les courbes de transmittance, de réflectance
et/ou d'émittance sont aussi présentées pour chaque méthode.
89
CHAPITRE III : Estimation de paramètres
Tableau 3.1: Propriétés radiatives pour les cas-tests effectués.
Propriétés radiatives
ω
0,95
g1
0,84
f1
0,9
g2
-0,6
f2
0,95
Les différentes approches expérimentales sont montrées à la Figure (3.1). Elles sont
définies comme suit :
i) Faisceau collimaté incident normalement sur un échantillon (cas avec symétrie
azimutale). Les mesures effectuées sont des transmittances et des réflectances
bidirectionnelles.
ii) Faisceau collimaté incident incliné sur un échantillon (cas sans symétrie azimutale). Les
mesures effectuées sont des transmittances et des réflectances bidirectionnelles.
iii) Faisceau collimaté incident incliné sur un échantillon (cas sans symétrie azimutale).
Les mesures effectuées sont des transmittances et des réflectances hémisphériques.
iv) Incidence diffuse sur un échantillon (cas avec symétrie azimutale). Les mesures
effectuées sont des transmittances et des réflectances bidirectionnelles.
v) Mesure de l'émittance de l'échantillon (cas avec symétrie azimutale). Les mesures
effectuées sont des émittances directionnelles.
Pour les quatre premiers cas, le terme d'émission de l'ETR n'est pas considéré. Du fait de la
modulation du rayonnement incident généralement utilisée dans la technique de mesure, le
rayonnement émis par l'échantillon n'est pas pris en compte.
Les 5 cas ont été traités avec différentes quadratures, adaptées à chaque condition
expérimentale. La quadrature de Nicolau (1994) avec un nombre de 24 directions est utilisée
pour le premier cas. La divergence de l'angle d'incidence correspond à 2,5°.
Dans le deuxième cas on considère un problème sans symétrie azimutale. Le faisceau a une
incidence inclinée sur la surface de l'échantillon et les transmittances et réflectances
bidirectionnelles sont mesurées autour de l'échantillon dans un plan fixé pour la rotation du
système de détection. Toutes les directions de la quadrature spatiale ne sont donc pas prises en
compte pour le calcul de F, équation (3.1), mais seulement celles dans le plan x-z (Figure 2.2).
Cette méthode, en dehors du premier cas, permet de déterminer les propriétés radiatives de
matériaux en fonction de l'angle d'incidence et peut être appliquée à des milieux composés de
particules qui n'ont pas une orientation aléatoire. La quadrature spatiale utilisée est une N24C12 (266 directions), avec un angle de divergence de 2,5°.
Identification des propriétés radiatives de matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non symétrie azimutale du champ radiatif
90
Le troisième cas a aussi été résolu avec une quadrature N24-C12. La différence par rapport
au deuxième cas est qu'on considère les mesures de transmittances et de réflectances
hémisphériques et la minimisation effectuée à partir de l'équation (3.1) est réalisée à partir de
la somme quadratique de transmittances et de réflectances hémisphériques, en fonction du
nombre de directions d'incidence du faisceau collimaté. Le nombre de directions et les
directions choisies pour ce cas ont une grande influence sur le paramètre NC. Nous avons pris
deux types de directions d'incidence pour considérer cet effet : a) Les transmittances
hémisphériques sont mesurées au nombre d'onze, pour un faisceau incident avec un angle
d'inclinaison compris entre 0° et 50° avec des intervalles de 5°, et on mesure aussi une
réflectance hémisphérique pour la direction d'incidence normale (les autres directions ne sont
pas considérées pour la réflectance hémisphérique du fait de la difficulté expérimentale
d'effectuer cette mesure ; b) On mesure un nombre de douze transmittances et réflectances
hémisphériques pour un faisceau incident selon les directions de la quadrature N24 (plan x-z)
(cette configuration expérimentale est d'exécution difficile, mais les résultats sont nettement
supérieurs à ceux du type d'incidence précédent).
Une quadrature de Radau projetée avec 24 directions est utilisée pour les deux derniers cas.
Dans le quatrième cas on considère une incidence diffuse sur un échantillon et des mesures de
transmittances et réflectances bidirectionnelles sont effectuées. Cela pourrait permettre d'avoir
davantage d'énergie sur toutes les directions des mesure. Le paramètre NC est calculé à partir
de toutes les transmittances et les réflectances bidirectionnelles ; ce cas ne conduit pas non
plus à de bons résultats si l'on utilise uniquement les transmittances bidirectionnelles. Dans le
dernier cas on considère que des mesures d'émittance directionnelle sont effectuées pour un
échantillon à une température uniforme. Ce problème présente une symétrie par rapport au
plan de cote τ=τo/2 et ainsi seules 12 émittances mesurées sur une face sont prises en compte.
La valeur de NC calculée dépend du nombre de paramètres à identifier et aussi du choix
des paramètres qui seront identifiés. Dans les résultats présentés ici, à l'exception de la Figure
(3.5), on considère la séquence suivante pour le vecteur ( χ k=1,...,6 = ω , g1 , f1 , f2 , g 2 , τ o ) . Une
identification de 2 paramètres correspond à ω et g1. Pour l'identification de 3 paramètres, il
s'agit de la séquence ω, g1 et f1. Enfin pour 6 paramètres, c'est ω, g1, f1, f2, g2 et τo qui sont
identifiés. Plus le NC est élevé plus le système d'équations (3.7) se trouve mal conditionné et
l'identification des 6 paramètres ne sera alors pas possible et on devra réduire le nombre des
paramètres à identifier.
L'épaisseur optique peut être déterminée à partir d'un modèle direct simplifié, en utilisant
directement la loi de Beer, ou des modèles plus élaborés dans lesquels on soustrait de la
transmittance dans la direction d'incidence du faisceau la contribution énergétique due à la
diffusion. Pour réduire encore, un paramètre g2 peut être fixé, ou alors on peut faire g1=g2 en
ayant un seul paramètre d'asymétrie (g) pour la fonction de phase de Nicolau (1994), équation
(1.42).
Les Figures (3.2) et (3.3) montrent les résultats obtenus pour le premier cas. La Figure (3.2)
présente le NC en fonction des différents nombres de paramètres à identifier et le résultat est
un peu différent de celui obtenu par Nicolau (1994). En fait le NC est fonction de l'angle
solide d'incidence et, dans son analyse Nicolau (1994) a utilisé un angle de divergence du
faisceau incident de 0,38° imposé par ses conditions expérimentales (montage avec un
monochromateur). L'augmentation de l'angle de divergence du faisceau fait que l'épaisseur
optique optimale est réduite. Nicolau (1994) a obtenu que l'épaisseur optique optimale se situe
91
CHAPITRE III : Estimation de paramètres
au-delà de 10, mais la Figure (3.2) montre quelle se trouve en réalité entre 5 et 10. En fait,
l'augmentation de la divergence du faisceau a pour effet que la transmittance dans la direction
d'incidence s'approche des transmittances diffuses autour de la direction d'incidence et l'on
doit alors réduire l'épaisseur optique pour garder une certain forme de la courbe de
transmittance. Dans la Figure (3.3), les courbes de transmittances et réflectances
bidirectionnelles sont présentées en fonction de l'angle polaire (θ). Une épaisseur optique (τo)
trop petite fait que la transmittance normale est très élevée et que les signaux des réflectances
sont faibles. Avec l'augmentation de τo, les réflectances augmentent aussi, jusqu'à la limite où
l'échantillon peut être considéré comme semi-infini, mais comme le matériau absorbe, les
transmittances deviennent de plus en plus faibles.
Les Figures (3.4) et (3.5) se réfèrent au cas (ii). Comme prévisible, les résultats ne
présentent pas de grands écarts par rapport au cas (i). Les courbes obtenues pour une
incidence θI=0° sont pratiquement identiques à celles du cas (i), les petits écarts observés
étant dus probablement au nombre différent de directions considérées dans les deux cas
(dans le cas (ii) on considère deux fois plus de directions que dans le cas précèdent pour le
calcul de F, équation (3.1)). Le fait d'incliner le faisceau incident décale les courbes d'un
facteur cos θI sur l'axe τo. Une légère réduction de NC peut être aussi observée. Cela est dû
à un certain gain d'information par rapport à la condition de non-symétrie azimutale. Le fait
de changer la séquence de paramètres dans le vecteur χ peut changer aussi la valeur de
NC. Sur la Figure (3.5) cet effet est analysé pour un vecteur
( χ k=1,...,6 = ω , τ o , g1 , f1 , f2 , g 2 ) . On considère que l'épaisseur optique doit être
impérativement estimée et les valeurs minimales des courbes sont davantage décalées pour
les plus petites valeurs de τo.
Si le rapport signal/bruit détecté est trop faible pour les deux premiers cas, ne permettant
pas d'estimer correctement les propriétés, on peut envisager d'utiliser une sphère intégrante
pour avoir d'avantage d'énergie. Le principe, dans ce cas, est d'utiliser la somme des
transmittances hémisphériques obtenues pour plusieurs angles d'incidence sur un
échantillon (cas (iii)). Pour l'analyse qui suit, on considère les deux cas déjà décrits, le cas
(a) avec 12 mesures (11 transmittances hémisphériques et une réflectance hémisphérique),
et le cas (b) avec 24 mesures (12 transmittances hémisphériques et 12 réflectances
hémisphériques). Le cas (a) est extrêmement mal conditionné et la détermination des
différents termes de la fonction de phase est difficile (Figure (3.6)). Si le nombre de
directions est plus important, et si de plus les réflectances hémisphériques sont utilisées
pour le calcul de NC, le résultat est amélioré mais reste encore mal conditionné (Figure
(3.7)). Cette méthode perd les informations directionnelles nécessaires pour bien estimer la
fonction de phase. En fait, l'inclinaison du faisceau incident revient de façon similaire à
faire varier l'épaisseur optique du matériau (si on considère que les propriétés radiatives
sont invariantes avec l'angle d'incidence). La Figure (3.8) montre la transmittance et la
réflectance hémisphériques obtenues avec cette méthode pour différentes épaisseurs
optiques.
Identification des propriétés radiatives de matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non symétrie azimutale du champ radiatif
échantillon
92
détecteur
faisceau collimaté
incidence normale
faisceau collimaté
incidence oblique
(i)
(ii)
Sphère intégrante
faisceau collimaté
incidence oblique
(iii)
T=To
incidence
diffuse
émission
propre
(iv)
(v)
Figure (3.1) : Différentes conditions expérimentales analysées.
93
CHAPITRE III : Estimation de paramètres
10
Nombre de conditionnement (NC)
10
2 paramètres
3 paramètres
4 paramètres
5 paramètres
6 paramètres
8
10
6
10
4
10
2
10
0
10
0
5
10
15
Epaisseur optique (τo)
20
25
Figure (3.2) : Nombre de conditionnement pour le cas (i).
Réflectance
Transmittance
2
10
Transmittances et Réflectances
1
10
τo=1
τo=5
τo=10
τo=15
τo
=20
0
10
-1
10
-2
10
-3
10
-1.0
-0.5
0.0
µ=cos(θ )
0.5
1.0
Figure (3.3) : Transmittance et réflectance bidirectionnelles pour le cas (i).
Identification des propriétés radiatives de matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non symétrie azimutale du champ radiatif
94
10
Nombre de conditionnement (NC)
10
2 paramètres
3 paramètres
4 paramètres
5 paramètres
6 paramètres
8
10
6
10
4
θ I=0°
10
θ I=30°
θ I=60°
2
10
0
10
0
5
10
15
Epaisseur optique (τo)
20
25
Figure (3.4) : Nombre de conditionnement pour le cas (ii) pour ( χ k=1,...,6 = ω , g1 , f1 , f2 , g 2 , τ o ) .
10
Nombre de conditionnement (NC)
10
8
2 paramètres
3 paramètres
4 paramètres
5 paramètres
6 paramètres
10
6
10
4
10
θ I=0°
θ I=60°
2
10
0
10
0
5
10
15
Epaisseur optique (τo)
20
25
Figure (3.5) : Nombre de conditionnement pour le cas (ii) pour ( χ k=1,...,6 = ω , τ o , g1 , f1 , f2 , g 2 ) .
Le quatrième cas (iv) a été résolu pour une incidence diffuse, en situation de symétrie
azimutale. La valeur de NC pour ce cas, Figure (3.9) , est moins bonne que dans les deux
premiers cas et les valeurs des transmittances et réflectances bidirectionnelles ne sont pas
plus élevées, Figure (3.10). Pour cette comparaison, on considère que le flux incident est le
même que pour les cas avec un faisceau incident collimaté. Ce cas présente un meilleur
95
CHAPITRE III : Estimation de paramètres
conditionnement pour de faibles épaisseurs optiques, dû certainement à l'information en
provenance de la fonction de phase et qui est perdue avec l'augmentation de l'épaisseur
optique.
2 paramètres
5 paramètres
3 paramètres
6 paramètres
4 paramètres
16
10
Nombre de conditionnement (NC)
14
10
12
10
10
10
8
10
6
10
4
10
2
10
0
10
0
5
10
15
Epaisseur optique (τo)
20
25
Figure (3.6) : Nombre de conditionnement pour le cas (iii) avec 12 directions de mesure.
2 paramètres
5 paramètres
3 paramètres
6 paramètres
4 paramètres
14
10
Nombre de conditionnement (NC)
12
10
10
10
8
10
6
10
4
10
2
10
0
10
0
5
10
15
Epaisseur optique (τo)
20
25
Figure (3.7) : Nombre de conditionnement pour le cas (iii) avec 24 directions de mesure.
Identification des propriétés radiatives de matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non symétrie azimutale du champ radiatif
96
0.20
Transmittance et Réflectance
Transmittance hémisphérique
Réflectance hémisphérique
0.15
0.10
0.05
0.00
0
5
10
15
Epaisseur optique (τo)
20
25
Figure (3.8) : Transmittance et réflectance hémisphériques pour le cas (iii).
12
Nombre de conditionnement (NC)
10
2 paramètres
3 paramètres
4 paramètres
5 paramètres
6 paramètres
10
10
8
10
6
10
4
10
2
10
0
10
0
5
10
15
Epaisseur optique (τo)
20
25
Figure (3.9) : Nombre de conditionnement pour le cas (iv).
Le dernier cas (v) pourrait être utilisé pour la détermination des propriétés radiatives d'un
mst à haute température en utilisant des mesures d'émittance, toutefois la Figure (3.11) montre
qu'une fonction de phase avec plusieurs paramètres est difficile à identifier. On observe aussi
que, pour l'identification de 3 et 4 paramètres, l'épaisseur optique optimale du milieu tend vers
l'infini ; dans ces conditions, le signal mesuré aura une intensité plus importante. Pour avoir
davantage de signal détecté, la température du milieu devra être la plus haute possible, mais il
est important de souligner que les propriétés radiatives peuvent varier avec la température.
97
CHAPITRE III : Estimation de paramètres
Cette configuration expérimentale a été utilisée par Lopes et al. (1997 et 1998) pour des
mesures d'émission de céramiques et des particules de bronze oxydé. Cependant, seules des
comparaisons entre des mesures et des calculs prédictifs à partir de la morphologie et des
caractéristiques optiques des particules ont été effectuées.
Transmittance
Réflectance
0
Transmittances et Réflectances
10
-1
10
-2
10
-3
τo=1
τo=5
τo=10
τo=15
τo=20
10
-4
10
-1.0
-0.5
0.0
µ=cos(θ )
0.5
1.0
Figure (3.10) : Transmittance et réflectance bidirectionnelles pour le cas (iv).
Nombre de conditionnement (NC)
14
2 paramètres
5 paramètres
10
3 paramètres
6 paramètres
4 paramètres
12
10
10
10
8
10
6
10
4
10
2
10
0
10
0
5
10
15
Epaisseur optique (τo)
20
25
Figure (3.11) : Nombre de conditionnement pour le cas (v).
Identification des propriétés radiatives de matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non symétrie azimutale du champ radiatif
98
0.8
τo=5
τo
τo=20
=10
τo=50
0.6
Emittance
τo=1
0.4
0.2
0.0
-1.0
-0.5
0.0
µ=cos(θ )
0.5
1.0
Figure (3.12) : Emittance directionnelle pour le cas (v).
3.4 SCHEMA POUR L'IDENTIFICATION DES PARAMETRES
Nicolau (1994) a choisi d'identifier l'épaisseur optique à l'aide d'un modèle direct, dit du 2e
ordre. Ce modèle utilise un polynôme du second ordre pour déterminer la transmittance
diffuse et la soustraire de la transmittance totale dans la direction du faisceau incident. La
transmittance diffuse est calculée à partir des transmittances dans des directions voisines de la
direction d'incidence. L'analyse effectuée par Nicolau (1994), pour un angle de divergence du
faisceau incident égal à θo=0,38°, a montré que l'épaisseur optique est estimée correctement
pour des valeurs allant jusqu'à 20. Toutefois, la précision de l'estimation est liée à l'angle de
divergence du faisceau et à l'anisotropie de la fonction de phase. Les Figures (3.13) et (3.14)
montrent les erreurs liées à l'utilisation d'un code direct pour la détermination de l'épaisseur
optique (loi de Beer et modèle du 2e ordre, pour deux valeurs différentes du coefficient g1).
Sur la Figure (3.13) on observe que le modèle du 2e ordre donne des résultats nettement plus
satisfaisants que la loi de Beer, mais le modèle du 2e ordre présente une augmentation des
erreurs pour des épaisseurs optiques importantes (supérieures à 15). Cependant, pour un
facteur d'anisotropie important (g1=0,95), Figure (3.14), l'identification de l'épaisseur optique
peut présenter des incertitudes supérieures à 20% (surtout quand l'angle de divergence du
faisceau incident augmente).
Comme la configuration expérimentale utilisée (présentée dans le prochain chapitre) a un
angle de divergence de l'ordre 1,5°, l'utilisation d'un modèle direct induit des erreurs dans
l'identification de l'épaisseur optique et par conséquent des autres paramètres. De ce fait le
choix d'identifier l'épaisseur optique a été fait. Cependant Nicolau (1994) n'a pas réussi à
identifier ce paramètre avec la méthode de linéarisation de Gauss (équation 3.7), à cause des
problèmes de convergence liés à des valeurs de NC très élevées. Nous avons noté que ces
difficultés de convergence étaient dues à des valeurs correctives ∆χ k=1,...,K d'ordre très élevé
99
CHAPITRE III : Estimation de paramètres
calculées aux premières itérations. Pour résoudre ce problème de convergence un facteur de
relaxation a été utilisé :
χ k +1 = χ k + λ c ∆χ k
(3.11)
Le schéma numérique d'identification est présenté à la Figure (3.15). Un modèle du 2e
ordre est utilisé pour la détermination d'une valeur approchée de l'épaisseur optique. Ensuite,
un processus itératif est mise en oeuvre jusqu'à l'obtention des 5 paramètres radiatifs (τo, ω, f1,
f2, g). Dans ce cas on considère g1=-g2=g. Le facteur de relaxation est adaptatif, c'est-à-dire,
plus les valeurs correctives ∆χ k=1,...,K sont petites plus λc s'approche de l'unité.
e
θ o = 0.38° Beer
θ o = 0.38° 2 ordre
θ o = 1.5° Beer
θ o = 1.5° 2 ordre
θ o = 2.5° Beer
θ o = 2.5° 2 ordre
e
e
1.1
Epaisseur optique estimée
Epaisseur optique exacte
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0
5
10
15
Epaisseur optique
20
25
Figure (3.13) : Rapport entre τo estimé et τo exact en fonction de l'angle de divergence du
faisceau incident pour ω=0,95 ; g1=0,86 ; f1=0,9 ; f2 = 0,95 ; g2=-0,6.
Identification des propriétés radiatives de matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non symétrie azimutale du champ radiatif
100
e
θ o = 0.38° Beer
θ o = 0.38° 2 ordre
θ o = 1.5° Beer
θ o = 1.5° 2 ordre
θ o = 2.5° Beer
θ o = 2.5° 2 ordre
e
e
1.1
Epaisseur optique estimée
Epaisseur optique exacte
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0
5
10
15
Epaisseur optique
20
25
Figure (3.14) : Rapport entre τo estimé et τo exact en fonction de l'angle de divergence du
faisceau incident pour ω=0,95 ; g1=0,95 ; f1=0,9 ; f2 = 0,95 ; g2=-0,6.
3.4.1 SIMULATION DE L'IDENTIFICATION
Afin de pouvoir évaluer l'efficacité du modèle proposé, deux cas tests sont proposés. Des
valeurs de transmittances et de réflectances sont obtenues à partir du code direct appliqué à la
configuration (i), Figure (3.1), en considérant un angle de divergence pour le faisceau incident
de 2,5°. Les transmittances et réflectances sont ensuite bruitées (σ = 0,015% x 2,576 ; 99%
confidence) de l'ordre du bruit expérimental (présenté au chapitre 4). Les valeurs bruitées sont
utilisées dans le code d'identification pour essayer de remonter aux propriétés d'origine. Nous
avons effectué deux types d'identification : dans la première on calcule l'épaisseur optique à
partir du schéma d'identification présenté à la Figure (3.15), c'est-à-dire, l'épaisseur optique est
estimée par le code inverse ; dans la seconde on calcule l'épaisseur optique à partir d'un
modèle du 2e ordre et seuls les paramètres ω, f1, f2 et g sont identifiés. Les Tableaux (3.2) et
(3.3), aussi bien que les Figures (3.16) et (3.17) montrent les résultats obtenus pour deux
épaisseurs optiques différentes. L'erreur (équation (3.11)) commise avec l'utilisation d'une
procédure directe pour l'estimation de l'épaisseur optique est nettement supérieure et elle
induit des erreurs sur les autres paramètres. Comme montré aux Figures (3.13) et (3.14),
l'erreur d'identification pour la méthode directe augmente pour des épaisseurs optiques plus
importante. Cet effet est également observé pour l'identification de τo avec la méthode inverse,
car le bruit de mesure (dû à atténuation du faisceau collimaté) commence à perturber
101
CHAPITRE III : Estimation de paramètres
l'identification de τo. Sur les Figures (3.16) et (3.17) on observe la meilleure concordance de la
méthode inverse pour l'identification de l'épaisseur optique, surtout pour l'épaisseur optique
plus importante τo=15 (Figure 3.17). Les transmittances obtenues avec les valeurs calculées à
partir de la méthode inverse sont en meilleur accord avec la courbe d'origine (et bruitée),
principalement pour les directions µ=1 et µ=-1.
V aleu rs In itia les :
ω, f1 , f2 , g
T ran s m ittan c es ex p érim en ta les
R ay o n n em en t C o llim até :
C alc u l a p p ro c h e d e τo
S o lu tio n d u p ro b lèm e d irec t :
L 'E T R
C alc u l d e tran s m ittan c es
e t réflec tan c e s th é o riq u es
T ran s m ittan c es
et R éfle c tan c es
E x p e rim en tales
χ k +1 = χ k + λc∆χ
P ro b lèm e In v e rs e :
C alc u l d e s in c rém en ts :
∆χ = (∆τo , ∆ω, ∆f1 , ∆f2 , ∆g
In c rém en ts < T o lé ran c e s
Id en tific atio n d e
τo , ω, f1 , f2 , g
Figure (3.15) : Schéma numérique pour l'identification des paramètres τo, ω, f1, f2, g.
Identification des propriétés radiatives de matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non symétrie azimutale du champ radiatif
Erreur [%] =
102
χ k (correcte) − χ k ( estimée)
.100
χ k (correcte)
(3.11)
Tableau (3.2) : Différences entre les deux méthodes d'identification de τo pour une
épaisseur optique τo=5.
correcte
ω
g
f1
f2
τo
nombre
d'itératio
n
NC
0,95
0,95
0,9
0,95
5,0
---
valeur
initial
0,85
0,8
0,98
0,98
-----
---
---
τo inverse Erreur [%] τo directe Erreur [%]
0,931
0,951
0,900
0,966
5,019
13
2,0
-0,1
0,0
-1,7
-0,4
---
0,973
0,914
0,861
0.990
3.965
10
-2,4
3,8
4,3
-4,2
20,7
---
100
---
85
---
Tableau 3.3 : Différences entre les deux méthodes d'identification de τo pour une
épaisseur optique τo=15.
τo inverse
0,95
0,95
0,9
0,95
15,0
---
valeur
initial
0,85
0,8
0,98
0,98
-----
0,920
0,942
0,871
0,939
12,344
78
Erreur
[%]
3,2
0,8
3,2
1,2
17,7
---
---
---
2,8 x 106
---
correcte
ω
g
f1
f2
τo
nombre
d'itération
NC
τo directe Erreur [%]
0,881
0,923
0,765
0,819
8,524
15
7,3
2,8
15,0
13,8
43,2
---
2100
---
103
CHAPITRE III : Estimation de paramètres
Transmittances et Réflectances
10
correcte
bruité
τo inverse
τo directe
1
0.1
0.01
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
µ
Figure (3.16) : Transmittances et réflectances obtenues par les deux méthodes
d'identification de τo pour une épaisseur optique τo=5.
Transmittances et Réflectances
10
correcte
bruité
τo inverse
τo directe
1
0.1
0.01
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
µ
Figure (3.17) : Transmittances et réflectances obtenues par les deux méthodes
d'identification de τo pour une épaisseur optique τo=15.
Identification des propriétés radiatives de matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non symétrie azimutale du champ radiatif
104
3.5 CONCLUSION
Le modèle basé sur la méthode des ordonnées discrètes associée aux volumes de contrôle a
permis l'analyse de 5 différentes stratégies expérimentales. Les différences entre ces stratégies
sont fonction du type d'incidence du rayonnement (faisceau collimaté incident normalement
ou incliné sur l'échantillon ou incidence diffuse) ou du type de mesures (transmittances et
réflectances bidirectionnelles ou hémisphériques, ou émittances). L'analyse fondée sur le
Nombre de Conditionnement en fonction de l'épaisseur optique a permis de déterminer la
meilleure configuration expérimentale pour l'identification. Les méthodes où les mesures du
rayonnement diffusé sont directionnelles présentent un meilleur conditionnement que celles
où les mesures sont hémisphériques. Cela est dû à la perte d'information directionnelle du
rayonnement nécessaire pour bien pouvoir identifier la fonction de phase. Cependant, une
analyse plus rigoureuse doit être envisagée de façon a obtenir les intervalles de confiance pour
l'identification des propriétés radiatives avec les différentes stratégies.
Une analyse sur les valeurs identifiées pour le cas (i) (faisceau collimaté incident normale
sur la surface de l'échantillon et mesures de transmittances et réflectances bidirectionnelles)
est réalisé à partir des valeurs des transmittances et réflectances théoriques bruitées. Deux
méthodes différentes d'identification de l'épaisseur optique ont été analysée : le premier
calcule l'épaisseur optique comme un paramètre de plus du modèle d'identification de
paramètres ; le deuxième calcule l'épaisseur optique à partir de l'équation de Beer plus un
modèle correctif de deuxième ordre pour enlever l'énergie diffusée de la direction d'incidence
(Nicolau, 1994). Il a été montré que le choix du premier modèle d'identification de l'épaisseur
optique s'avére plus précis que le deuxième surtout quand l'angle de divergence du faisceau
collimaté augmente.
105
CHAPITRE IV : Description de la technique expérimentale utilisant le spectromètre
&+$3,75(,9
DESCRIPTION DE LA TECHNIQUE
EXPERIMENTALE UTILISANT LE SPECTROMETRE
4.1 INTRODUCTION
Le montage expérimental utilisé dans ce travail est présenté aux Figures (4.1) et (4.2). Il a
été développé en se basant sur l'expérience acquise au CETHIL, dans le domaine des mesures
de transmittances et de réflectances spectrales bidirectionnelles. D'abord, Uny (1986) a utilisé
un banc optique avec un monochromateur à prisme associé à un montage goniométrique pour
identifier l'épaisseur optique, l'albédo et le paramètre g de la fonction de phase de HenyeyGreenstein des matériaux du type fibre. Ensuite Nicolau (1994), en utilisant le même montage,
puis un autre avec un spectromètre à transformée de Fourier (FTIR), a identifié l'épaisseur
optique, l'albédo et une fonction de phase à trois paramètres (f1, f2, g) pour les mêmes types de
matériaux. Récemment, avec un montage utilisant ce FTIR, Doermann (1995) a déterminé la
réflectivité hémisphérique et un paramètre morphologique des mousses de carbone à l'aide
d'une méthode d'identification associée à une modélisation permettant de prédire les propriétés
radiatives de ces matériaux équivalentes à un milieu homogène.
L'utilisation du spectromètre FTIR a amélioré le dispositif expérimental ainsi que la
méthode d'identification en termes de résolution spectrale, de vitesse d'exécution des essais et
de rapport signal/bruit.
Dans le cadre de cette thèse, le dispositif goniométrique a été complètement modifié dans
le but, d'une part, d'avoir un système plus précis et relié à un dispositif de commande assisté
par ordinateur (réduction de la durée des essais) et, d'autre part, de permettre la réalisation des
mesures en condition de non-symétrie azimutale et d'adapter le goniomètre à un autre montage
expérimental développé par Dembélé (1997) pour des études sur des rideaux d'eau. De cette
façon, le système goniométrique a servi à deux montages expérimentaux différents en utilisant
le même spectromètre FTIR.
4.2 DESCRIPTION GENERALE
Le dispositif expérimental (Figure (4.1)) est constitué de deux parties comprenant le
spectromètre à transformée de Fourier et le goniomètre. Il est aussi appelé montage
BRDF/BTDF (bidirectional Reflectance or Transmittance Distribution Function).
Le spectromètre à transformée de Fourier est de fabrication BIORAD, modèle FTS 60A,
Figure (4.2). Son principe de fonctionnement est celui de l'interféromètre de Michelson, décrit
par Michelson dès 1891 (Griffiths, 1975). La configuration dont on dispose est adaptée aux
mesures dans le proche et moyen infrarouge, plus particulièrement de 1,5 à 25µm, utilisant
une source en céramique chauffée à 1300 °C (émission de type "corps gris"), une lame
séparatrice en KBr et un détecteur HgCdTe (aussi appelé MCT) à "bande large" avec un
préamplificateur linéarisé, étalonné par BIORAD. De plus, une deuxième source de type
lampe halogène et une lame en quartz sont disponibles et peuvent être utilisées pour des
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
106
mesures pour le proche infrarouge (1,0 à 2,5µm). Quoique les mesures ne soient pas
effectuées dans le proche infrarouge (limitation du détecteur), l'ensemble source halogène et
lame en quartz ont permis de visualiser le trajet optique du faisceau, en facilitant
considérablement l'alignement optique du dispositif.
M S = m iro ir sp hé riq ue
M P = m iro ir p la n
S o urc e
D ia p hra gm e
M P1
M S2
M S4
M S1
M P2
MP
m o b ile
D é te c te ur
H gC d T e
E c ha ntillo n
θ
L a m e sé p a ra tric e
MP
fixe
M S3
ou
M P3
F e nê tre
S p e c tro m è tre F T IR
Spectromètre
D ire c tio n
no rm a le
θΙ
G o nio m è tre
M o n ta g e B R D F /B T D F
Echantillon
Figure 4.1 : Montage avec spectromètre FTIR, pour les mesures de transmittance et de
réflectance bidirectionnelles.
107
CHAPITRE IV : Description de la technique expérimentale utilisant le spectromètre
Diaphragme
Source
Laser
Lame Séparactrice
Figure 4.2 : Schéma du spectromètre FTIR BIORAD FTS 60A.
Fenêtre
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
108
Le faisceau issu de la source forme une image sur un diaphragme après réflexion sur le
miroir MS1. La source de diamètre 7 mm est placée à une distance 2fMS1 du miroir MS1 (fMS1
= distance focale du miroir MS1). Le diaphragme est un disque percé de quatre trous calibrés
de diamètres différents, qui conditionnent l'angle de divergence du faisceau incident sur
l'échantillon. Il est placé sur le foyer du miroir sphérique MS2. Le faisceau devient ainsi
quasi-parallèle, avec un demi-angle de divergence θo. L'équation (4.1) donne la valeur de θo,
en fonction de la distance focale fMS2 du miroir MS2 et du rayon RA de l'ouverture du
diaphragme (Nicolau, 1994) :
θ o = arctan
RA
f MS2
(4.1)
Le tableau 4.1 donne les valeurs des demi-angles de divergence θo , pour chaque résolution
ou rayon du diaphragme, pour le spectromètre FTS 60A. La distance focale fMS2 du miroir
sphérique utilisé à l'intérieur du spectromètre est de 90 mm. Le lien entre le rayon du
diaphragme et la résolution de l'appareil, vient du fait que, pour avoir une bonne résolution, il
faut limiter la divergence du faisceau (Griffiths, 1975). Les valeurs numériques indiquées
représentent la meilleure résolution possible par rapport à la dimension de l'orifice du
diaphragme considéré.
Tableau 4.1 : Résolution, diamètre du diaphragme et demi-angle de divergence
θo (Nicolau, 1994).
Résolution
Open
2 cm-1
1 cm-1
0,5 cm -1
Diamètre [mm]
7,0
4,0
2,7
1,25
θo
2,23°
1,27°
0,86°
0,40°
Le faisceau devenu quasi-parallèle passe ensuite par la lame séparatrice où il est divisé en
deux parties distinctes qui sont réfléchies par les miroirs plans (fixe et mobile) et recombinées
à nouveau par la lame séparatrice en introduisant une différence de marche. La différence de
marche provoquée par le déplacement du miroir mobile est la cause des interférences et le
faisceau recombiné est mesuré par un détecteur, en fonction de la position du miroir mobile.
Le signal obtenu est appelé interférogramme (Figure (4.3)). L'interférogramme est traité à
partir d'une FFT (transformée de Fourier rapide) pour l'obtention du signal spectral d'émission
de la source.
Après la traversée de l'interféromètre, le faisceau modulé reste encore presque parallèle et
est renvoyé par un miroir plan sur un miroir pouvant être plan ou sphérique (distance focale de
500 mm), placé à proximité de la fenêtre de sortie. Le miroir sphérique peut être utilisé pour
modifier légèrement la divergence du faisceau et le concentrer sur l'échantillon.
La mesure de l'intensité du faisceau est effectuée par un détecteur placé sur le bras d'un
goniomètre. Pour limiter l'angle de détection, un miroir sphérique (fMS4 = 150 mm) est utilisé.
109
CHAPITRE IV : Description de la technique expérimentale utilisant le spectromètre
Cet angle est fonction de la distance focale du miroir et de la surface sensible du détecteur
(Rd=0,5 mm). Il est donné par la formule (4.2). La valeur de l'angle θd obtenue pour ce
montage est de 0,19°. La nécessité d'avoir une bonne résolution angulaire pour le système de
détection limite l'angle θd. Il convient d'ajouter que le détecteur est placé au foyer du miroir
sphérique considéré.
θ d = arctan
Rd
f MS4
(4.2)
Pour déterminer un spectre, l'appareil exécute un balayage en déplaçant le miroir mobile.
Pendant ce temps, le détecteur reçoit le faisceau complet correspondant à toute la gamme de
longueurs d'onde étudiée, ce qui donne comme résultat l'interférogramme. En lui appliquant la
transformée de Fourier, le système d'exploitation numérique fournit ainsi le spectre mesuré
(spectre de réflexion, de transmission, ou spectre "ligne de base"). Pour augmenter le rapport
signal/bruit, plusieurs balayages sont exécutés et additionnés. La vitesse d'exécution d'un
balayage est dépendante de la résolution choisie. Plus la résolution est haute (valeur
numérique plus petite), plus le miroir mobile doit se déplacer sur une grande longueur. Une
haute résolution signifie un grand déplacement de ce miroir, ce qui prend d'avantage de temps
et réduit cette fréquence de battement.
9ROWV
Position du miroir mobile
Figure (4.3) : Interférogramme du signal émis par la source.
Sur cet appareil, le repérage des spectres est réalisé sur la base du nombre d'onde, exprimé
en cm-1. La conversion en longueur d'onde est non-linéaire, selon l'équation (4.3), où S
représente un signal particulier.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
110
S[µm]=104/S [cm-1]
(4.3)
Le détecteur reçoit directement le faisceau concentré par le miroir sphérique (distance
focale de 150 mm), pour les mesures de transmittances et de réflectances, ou encore pour les
mesures de l'énergie incidente sur l'échantillon, faites sans échantillon et dans la direction
normale.
Le spectromètre est équipé d'un circuit de purge en air traité (sec, dépourvu autant que
possible de CO2 et de traces d'huile). Il a les fonctions suivantes : il permet de protéger les
composants hygroscopiques, comme la lame séparatrice en KBr ainsi que les surfaces des
miroirs, contre un vieillissement précoce. De plus cette purge réduit les absorptions du
rayonnement dans certaines bandes spectrales par la vapeur d'eau et par le CO2. Enfin, ce
circuit d'air sert aussi à assurer le fonctionnement du palier à coussin d'air supportant le miroir
mobile. Le système goniométrique se trouve dans un boîtier en plexiglas. La purge a été
étendue au montage BRDF/BTDF et ainsi le faisceau, même à l'extérieur du spectromètre,
reste encore dans l'ambiance traitée.
Le spectromètre comprend aussi un laser He-Ne (632,8 µm) nécessaire pour l'alignement
optique, mais aussi comme repère de position pour le déplacement du miroir mobile. Une
lentille placée à la tête du laser fait que le faisceau devient divergent avec une tache d'environ
10 mm. Le laser se trouve derrière le miroir MS2 et ce miroir est pourvu d'un orifice à son
centre pour laisser passer le faisceau laser. A partir de ce miroir, le faisceau laser subit le
même trajet optique que le faisceau infrarouge, jusqu'au miroir MP2, troué au centre lui aussi
pour permettre aux faisceau d'arriver sur trois capteurs de type diode disposés côte à côte, aux
sommets d'un triangle. En fait, les orifices existants dans les miroirs MS2 et MP2 provoquent
des inhomogénéités dans le faisceau infrarouge mais ce problème sera d'avantage détaillé dans
la suite.
Le dispositif goniométrique comprend trois unités de rotation : une rotation sert à faire
tourner autour de l'échantillon le bras où est placé le système de détection avec une résolution
de +/-0,001° ; la deuxième rotation permet de tourner l'échantillon de l'angle θI (plan x-y) pour
les mesures en situation de non-symétrie azimutale avec une résolution de +/-0,01° et la
troisième rotation (résolution de +/-0,01°) est utilisée pour l'alignement du porte-échantillon
dans le plan x-z.
Le porte-échantillon (Figures (4.4) et (4.5)) est différent de celui utilisé par Nicolau (1994)
et Doermann (1995). Il a été refait dans le but de permettre de réaliser des mesures sans
symétrie azimutale. Il est placé sur trois platines de translation (x-y-z) qui permettent de
l'aligner par rapport au bras de rotation. La surface de mesure (du coté d'incidence pour les
mesures de réflexion et de l'autre côté pour les mesures de transmission) doit être placée sur
l'axe de rotation du dispositif goniométrique. Cela impose de déplacer l'échantillon de son
épaisseur entre les mesures de transmission et celles de réflexion.
Les Figures (4.6) et (4.7) montrent la réflexion par le porte-échantillon, pour un
diaphragme d'ouverture 20 mm et 40 mm, respectivement. Le signal reste de l'ordre du niveau
de bruit et on ne doit pas avoir des réflexions parasites sur le diaphragme. Pour cela le porteéchantillon et le diaphragme sont peints avec une peinture (Velvet Coating 2010 - 3M) très
absorbante dans l'infrarouge.
111
CHAPITRE IV : Description de la technique expérimentale utilisant le spectromètre
Porte
-échantillon
Miroir sphérique
Echantillon
détecteur
Figure (4.4) : Vue du porte-échantillon et du système de détection.
z
x y
x
y
d ia p hra gme
x z
d ia p hra gm e
éc ha ntillo n
Figure (4.5) : Vue du porte-échantillon.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
112
0.010
Réflexion [%]
0.008
0.006
0.004
0.002
0.000
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde [µm]
13
15
Figure (4.6) : Réflexion sur le porte-échantillon pour un diaphragme de 20 mm.
0.010
Réflexion [%]
0.008
0.006
0.004
0.002
0.000
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde [µm]
13
15
Figure (4.7) : Réflexion sur le porte-échantillon pour un diaphragme de 40 mm.
4.2.1 MESURES DE TRANSMITTANCES ET DE REFLECTANCES
Les modèles radiatifs utilisés par Uny (1986), Nicolau (1994) et Doermann (1995) sont
tous fondés sur une hypothèse de symétrie azimutale pour la résolution de l'ETR. Cela
suppose que l'on a une incidence normale sur la surface de l'échantillon et, dans ce cas, le flux
incident est Lodωo. Toutefois, pour un cas avec une incidence inclinée sur la surface de
l'échantillon, le flux incident est LodωocosθI. Dans ce cas, la transmittance ou la réflectance
bidirectionnelles sont données par l'équation (1.20) :
Te (θ) =
L(θ)
L o dω o cosθ I
(4.4)
113
CHAPITRE IV : Description de la technique expérimentale utilisant le spectromètre
L'angle solide du faisceau peut être obtenu par la formule suivante :
dω o = 2π(1 − cosθ o )
(4.5)
où θo est le demi-angle de divergence du faisceau. Cet angle est defini au Tableau (4.1).
Cependant il sera démontré dans la suite qu'il peut être aussi identifié de façon expérimentale.
Le flux d'énergie radiative incident sur l'échantillon est donné par l'expression suivante :
L o dω o A e cosθ I
(4.6)
où Ae cosθI est l'aire projetée de l'échantillon.
Par contre le flux d'énergie détecté dans la direction d'incidence dépend des angles θd et θo,
selon l'expression :
E o = L o A e cosθ I min(dω o , dω d )
(4.7)
c'est-à-dire, que si θd>θo, la détection se fait sous un angle θo et la surface de détection n'est
que partiellement irradiée. Si θo>θd, l'image formée sur le détecteur dépasse la surface de
détection. Dans ce cas, la détection est faite sous un angle θd .
La mesure avec un échantillon engendre une configuration différente, puisque le faisceau
n'est plus limité à un angle de divergence θo, mais il remplit complètement l'espace
hémisphérique en amont et en aval, en raison de la diffusion dans le milieu. Dans la direction
normale, une fraction d'énergie diffusée vient s'ajouter au faisceau collimaté incident, atténué
par l'extinction. Le flux d'énergie qui atteint le détecteur est fixé par la relation :
E(θ) = L(θ)A e cos(θ − θ I )dω d
(4.8)
Le flux dédecté est maximale quand le détecteur est placé nomalement à l'échantillon
(θ=θI). La transmittance ou la réflectance sont ainsi fournies par le rapport :
Te (θ) =
L(θ)
E( θ)
=
L o dω o cosθ I E o cos(θ − θ I ) max(dω o , dω d )
(4.10)
4.3 CARACTERISATION DU FAISCEAU INFRAROUGE
Le faisceau infrarouge obtenu à la sortie du spectromètre est presque parallèle, avec un
angle de divergence fonction du type de résolution choisi (Tableau (4.1)) et du type de miroir
utilisé à la fenêtre de sortie (plan ou sphérique). Son signal spectral est variable, Figure (4.8).
De ce fait, une mesure de transmission aura une sensibilité au bruit des mesures variable avec
la longueur d'onde. La Figure (4.8) montre trois courbes qui illustrent l'effet de la variation
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
114
spectrale du signal détecté : la courbe en haut est le signal mesuré par le spectromètre (courbe
de base), représenté avec une échelle arbitraire, appelée Réponse. La courbe du milieu
présente une mesure de transmission faite avec le détecteur en absence d'énergie incidente. La
dernière courbe présente un rapport dit 100%, c'est-à-dire, un rapport entre deux courbes de
base. En plus du bruit on observe une certaine déviation du signal de 100%. Cela est dû
probablement à des petites variations de la température de la source. Il a été noté aussi que ces
variations sont plus importantes avec le détecteur placé à l'extérieur qu'à l'intérieur du
spectromètre. Une explication possible est que le détecteur placé sur le bras goniométrique est
soumis à des petites vibrations qui entraînent cette variation.
Les Figures (4.9) et (4.10) montrent la variation d'un rapport 100% pour plusieurs mesures
consécutives, les courbes étant numérotées dans l'ordre chronologique des mesures. Sur la
Figure (4.9) est présentée la variation de la courbe de base pour des mesures sans le porteéchantillon en place. Un écart d'environ 0,4% entre la première et la dernière mesure est
observé. Une augmentation des raies d'absorption du C02 et de la vapeur d'eau est aussi
observée. Avec le porte-échantillon en place, les mesures ont été refaites et les résultats sont
présentés à la Figure (4.10). Des variations un peu plus importantes apparaissent, certainement
dues aux interférences existantes au bord du diaphragme. Ces variations engendrent des
variations inférieures à 1% sur le signal mesuré avec un échantillon.
4.3.1 UNIFORMITE DU FAISCEAU
Le modèle adopté pour l'identification des propriétés radiatives suppose un faisceau
collimaté et une luminance uniforme dans toute sa section transversale. Pour vérifier à quel
point le faisceau réel remplit ces conditions, deux séries de mesures ont été réalisées, la
première avec un miroir plan placé à l'intérieur du spectromètre, juste avant la fenêtre de
sortie. La deuxième série de mesures a été effectuée en remplaçant ce miroir plan par un
miroir sphérique, de distance focale 500 mm. Nicolau (1994) a utilisé le miroir sphérique pour
la réalisation de ses mesures, cependant Doermann (1995), en se basant sur des mesures
réalisées par Moura (1994), a conclu que le miroir sphérique fait que le faisceau s'éloigne des
conditions du modèle. Une étude plus approfondie est réalisée, permettant de déterminer la
distribution énergétique du faisceau et la variation de la luminance dans l'angle de divergence.
Pour pouvoir déterminer la distribution énergétique du faisceau, le détecteur MCT a été
placé de manière à ce que sa surface sensible soit dans le plan normalement occupé par
l'échantillon, recevant ainsi directement le faisceau, sans utiliser aucun miroir de
concentration. Un support permettait le déplacement du détecteur dans les directions verticale
et horizontale, de façon à pouvoir balayer toute la section transversale du faisceau.
Comme l'aire de détection du MCT (diamètre de 1 mm), est très réduite par rapport à l'aire
de la section droite du faisceau, la résolution obtenue pour cette mesure est assez fine. Le
signal mesuré est une tension (en Volts), fournie par le spectromètre en position "Set-up".
C'est en fait la valeur maximale de l'interférogramme mesurée par le détecteur, avant
l'application de la transformée de Fourier. Ce signal correspond à l'énergie rayonnée sur
l'ensemble du domaine spectral étudié.
115
CHAPITRE IV : Description de la technique expérimentale utilisant le spectromètre
6
5
Réponse
4
3
2
1
0
Transmission [%]
0.04
Valeur Moyenne = 0.0015 %
Ecart Type = 0.002 %
0.03
0.02
0.01
0.00
100.10
Valeur Moyenne = 100.015 %
Ecart Type = 0.018 %
Transmission [%]
100.05
100.00
99.95
99.90
2
4
6
8
10
12
14
16
Longueur d'onde [µm]
Figure (4.8) : Distribution d'énergie et niveau de bruit dans le spectre de base, en fonction de
la longueur d'onde.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
116
100.2
transmission [%]
1
6
100.0
5
2
4
3
7
8
99.8
11
12
9
10
13
14
99.6
15
99.4
2
4
6
8
10
12
14
16
longueur d'onde [µm]
Figure (4.9) : Variation de la courbe de base pour plusieurs mesures sans le support
d'échantillon.
100.0
1
99.8
transmission [%]
2
3
99.6
6
8
99.4
5
10
12
4
7
9
11
99.2
13
99.0
2
4
6
8
10
12
14
16
longueur d'onde [µm]
Figure (4.10) : Variation de la courbe de base pour plusieurs mesures avec le support
d'échantillon.
Nicolau (1994) a présenté des courbes en déplaçant le détecteur dans deux directions l'une
verticale et l'autre horizontale (centrées autour du l'axe d'alignement). Ici, les mesures sont
faites tous les 2 mm, dans les directions horizontale et verticale. De cette façon une
cartographie de la distribution énergétique du faisceau a pu être déterminée.
117
CHAPITRE IV : Description de la technique expérimentale utilisant le spectromètre
Les Figures (4.11) à (4.14) montrent les résultats des balayages dans les directions verticale
Y et horizontale X, pour la série de mesures réalisées avec le miroir plan et cela pour les
quatre ouvertures disponibles. La position (X=0 cm, Y=0 cm) représente l'axe optique obtenu
à partir de l'alignement, en utilisant la lame séparatrice en quartz et la source céramique.
L'intensité lumineuse (dans le visible) émise par la source est faible et l'alignement doit être
réalisé en situation d'obscurité dans la salle. Cet alignement est réalisé en considérant une
ouverture du diaphragme de 2 cm-1. Les courbes représentent la tache obtenue sur une feuille
de papier utilisée pour effectuer l'alignement.
La Figure (4.11) donne la cartographie du faisceau obtenue pour le diaphragme dans la
position open. Le faisceau est plus intense dans la partie inférieure, cela doit être dû à des
gradients de température existants au niveau de la source. Visuellement on observe que la
résistance céramique (en forme de trois spirales) a des sections qui sont à des températures
différentes. Avec la réduction du diamètre du diaphragme, cet effet est moins visible et
l'intensité maximale du faisceau se trouve aux environs de l'axe d'alignement (Figures (4.12)
et (4.13)). En revanche, le faisceau devient plus pointu. La Figure (4.14) montre l'influence
des orifices existants dans les miroirs du spectromètre. Pour une petite ouverture (0,5 cm-1) la
surface éclairée du miroir MS2 (Figure (4.1)) est plus petite et cette influence est plus
importante.
Les Figures (4.15) à (4.18) présentent les mesures réalisées avec le miroir sphérique. Sur la
Figure (4.15) on peut observer l'image des trois filaments de la source (remarquons qu'on
observe une image de la source à 230 mm du miroir sphérique et que le porte-échantillon se
trouve à 500 mm). Avec la réduction du diamètre du diaphragme, le faisceau devient très
concentré (Figures (4.16) à (4.17)).
X [mm]
20
Y [mm]
10
-30
-20
-10
0
10
20
30
30
0
20
-10
10
-20
Y [mm]
0
-30
-20
-10
0
10
-10
20
X [mm]
-20
-30
1.0
1.5
2.0
Siganl [V]
1.0
1.5
Signal [V]
2.5
2.0
2.5
3.0
Figure (4.11) : Miroir plan avec diaphragme en position open.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
118
X [mm]
20
-30
Y [mm]
10
-20
-10
0
10
20
30
30
0
20
-10
10
-20
Y [mm]
0
-30
-20
-10
0
10
-10
20
X [mm]
-20
-30
0.0
0.5
1.0
1.5
0.5
1.0
Signal [V]
2.0
Signal [V]
1.5
2.0
Figure (4.12) : Miroir plan avec diaphragme en position 2 cm-1.
X [mm]
20
-10
-20
-30
0
10
20
30
Y [mm]
10
30
0
20
-10
10
-20
Y [mm]
-30
-20
-10
0
10
0
-10
20
X [mm]
-20
-30
0.00
0.25
0.50
Signal [V]
0.75
1.00
0.25
0.50
Signal [V]
0.75
1.00
Figure (4.13) : Miroir plan avec diaphragme en position 1 cm-1.
119
CHAPITRE IV : Description de la technique expérimentale utilisant le spectromètre
X [cm]
-30
20
-20
10
0
-10
20
30
30
Y [cm]
10
20
0
10
-10
Y [cm]
0
-20
-10
-30
-20
-10
0
10
-20
20
X [cm]
-30
0.1
0.2
Signal [V]
0.1
0.2
0.3
0.3
0.4
0.4
Signal [V]
Figure (4.14) : Miroir plan avec diaphragme en position 0,5 cm-1.
X [mm]
Y [mm]
20
10
-30
0
30
-10
20
-20
-20
-10
0
10
20
30
10
-30
-20
-10
0
10
20
Y [mm]
0
-10
X [mm]
-20
-30
0.5
1.5
2.5
3.5
Setup [V]
4.5
5.5
6.5
1
2
3
Signal [V] 4
5
6
7
Figure (4.15) : Miroir sphérique avec diaphragme en position open.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
120
X [mm]
20
-30
Y [mm]
10
-20
-10
0
10
20
30
30
0
20
-10
10
-20
Y [mm]
0
-30
-20
-10
0
10
-10
20
X [mm]
-20
-30
0.5
1.5
2.5
3.5
0.5
1.5
2.5
Signal [V]
4.5
3.5
4.5
Signal [V]
Figure (4.16) : Miroir sphérique avec diaphragme en position 2 cm-1.
X [mm]
20
Y [mm]
10
-30
-20
-10
0
10
20
30
30
0
20
-10
10
-20
Y [mm]
-30
-15
0
15
0
-10
X [mm]
-20
-30
0.5
1.0
1.5
2.0
Signal [V]
2.5
3.0
3.5
0.5
1.5
Signal [V]
2.5
3.5
Figure (4.17) : Miroir sphérique avec diaphragme en position 1 cm-1.
121
CHAPITRE IV : Description de la technique expérimentale utilisant le spectromètre
-30
X [mm]
-20
0
-30
Y [mm]
-10
-20
-10
10
20
30
-30
0
-20
10
-10
20
Y [mm]
-20
-10
0
10
20
0
10
X [mm]
20
30
0.25
0.75
1.25
Signal [V]
1.75
0.25
0.75
Signal [V]
1.25
1.75
Figure (4.18) : Miroir sphérique avec diaphragme en position 0,5 cm-1.
4.3.2 DETERMINATION DES ANGLES DE DIVERGENCE
Les angles de divergence du faisceau sont utilisés dans le calcul de la quadrature et de
l'énergie contenue dans ce faisceau. En principe c'est le diaphragme placé dans le
spectromètre, associé au miroir sphérique situé immédiatement après, qui détermine ces
angles. L'équation (4.1) donne la valeur du demi-angle de divergence θo, du faisceau quasiparallèle. L'angle de divergence du faisceau peut être aussi obtenu de façon expérimentale.
Des mesures d'intensité du faisceau sont réalisées en tournant le bras avec le système de
détection. Ce système prend en fait tout les rayons compris dans le cône de demi-angle θd,
mais avec un axe de ce cône variable avec la rotation du bras (variation de l'angle θ). On doit,
en principe, s'attendre à des résultats constants pour θ dans l'intervalle 0≤θ≤θo−θd autour de la
normale, si les luminances ne présentent pas de dépendances angulaires. Par contre, la valeur
détectée doit se réduire progressivement jusqu'à une valeur nulle à θ = θo + θd (Nicolau,
1994).
Comme il a été mentionné, pour le calcul de l'angle de détection (équation (4.2)), le
détecteur doit être placé au foyer du miroir sphérique considéré. Toutefois, la procédure
d'alignement effectuée par Nicolau (1994) et Doermann (1995) consiste à déplacer de
quelques millimètres le détecteur jusqu'à obtenir un signal maximum. Des petites erreurs de
positionnement de ce détecteur peuvent faire varier l'angle de détection. Une analyse est
présentée à ce sujet dans la suite.
L'utilisation de la lame séparatrice en quartz pour l'alignement permet aussi de visualiser la
concentration du faisceau sur le détecteur. Avec le miroir plan placé à la sortie du
spectromètre, on a une image du diaphragme formée à 160 mm du miroir sphérique MS4 avec
un diamètre de 7 mm pour la position open. Les spirales de la source sont à nouveau visibles
et comme la surface du détecteur est plus petite que l'image, on règle le miroir MS4 de façon à
placer une spirale sur la surface du détecteur (la plus intense correspondant à la plus basse).
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
122
De cette façon le signal détecté est le plus important. A une position de 170 mm du miroir
MS4 apparaît une image du miroir MS2 et on observe l'image de l'orifice de ce miroir (zone
non éclairée).
Quand on place le miroir sphérique MS3 à la sortie du spectromètre, on obtient un effet
similaire mais l'image sera formée à 195 mm du miroir MS4. Cela explique la nécessité de
déporter le détecteur du foyer du miroir MS4 pour avoir un gain de signal.
La Figure (4.19) montre les mesures obtenues pour les quatre différents diaphragmes, en
utilisant le miroir plan à la sortie du spectromètre. Le détecteur est placé non plus au foyer du
miroir MS4, mais à la position de l'image de la source (160 mm). L'angle de divergence du
faisceau est en concordance avec le Tableau 4.1.
Sur la Figure (4.20) on observe que, pour les mesures effectuées avec le miroir sphérique
MS3, la divergence du faisceau augmente. Dans cette configuration, le détecteur est placé plus
loin du miroir MS4, à une distance de 195 mm, sur l'image de la source.
L'influence de la position du détecteur pour la détermination expérimentale de l'angle
solide d'incidence est montrée sur les Figures (4.21) à (4.24) pour les quatre ouvertures de
diaphragme possibles et pour les deux miroirs différents.
Pour le miroir plan (Figures (4.21) et (4.22), la position 0 (réglée sur le plan image de la
source) n'est pas la position où le signal obtenu est le plus important. Pour toutes les courbes,
sauf à 0.5 cm-1, un déplacement du détecteur vers le miroir (direction positive) réduit
l'intensité du signal, mais en déplaçant le détecteur dans l'autre direction, le signal augmente et
pour les positions plus éloignées un trou apparaît au centre des courbes.
Les Figures (4.23) et (4.24) montrent l'effet du déplacement du détecteur avec un miroir
sphérique (MS3) à la sortie du spectromètre. A nouveau la position 0 n'est pas la position où
l'on obtient un maximum de signal détecté, mais les déplacements du détecteur dans les deux
directions n'ont pas montré l'existence d'un trou au centre des courbes. Probablement cela
s'expliquerait par le fait que la surface du détecteur est placée trop bas par rapport à l'image et
en déplaçant le détecteur on est alors dehors de la position du trou. Un léger décalage du
maximum de chaque courbe par rapport à l'angle de rotation du bras est observé. Cela est dû à
un mauvais alignement entre le déplacement du détecteur et l'axe du faisceau, mais dans les
conditions normales de mesure, ce déplacement n'est pas réalisé et n'intervient pas.
123
CHAPITRE IV : Description de la technique expérimentale utilisant le spectromètre
6
Open
-1
5
2.0 cm
Signal Détecté [V]
-1
1.0 cm
-1
4
0.5 cm
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
Angle de rotation [°]
2
3
Figure (4.19) : Angles de divergence du faisceau, avec un miroir plan à la sortie du
spectromètre, pour les différentes ouvertures du diaphragme.
6
Open
-1
5
2.0 cm
Signal Détecté [V]
-1
1.0 cm
-1
4
0.5 cm
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
Angle de rotation [°]
2
3
Figure (4.20) : Angles de divergence du faisceau, avec un miroir sphérique à la sortie
du spectromètre, pour les différentes ouvertures du diaphragme.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
7
8
-11
-9
-7
6
0
+1
+2
+3
+4
-5
-4
-3
-2
4
5
Signal Détecté[V]
6
Signal Détecté[V]
124
-1
4
3
-11
-9
-7
0
+1
-5
-4
-3
-2
+2
+3
+4
-1
2
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
Anglederotation[°]
2
0
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
Anglederotation[°]
3
(a)
1.5
2.0
(b)
Figure (4.21) : Variation de la divergence du faisceau pour un déplacement du détecteur en
millimètres (paramétrage des courbes), avec un miroir plan et ouverture du
diaphragme en position open (a) et 2 cm-1 (b). (Valeurs positives pour la
rotation du bras dans le sens horaire et valeurs positives aussi pour le
déplacement du détecteur dans la direction du miroir MS4).
3
7
Signal Détecté[V]
5
4
3
-11
-9
-7
+4
+3
+2
0
+1
-5
-4
-3
-2
+2
Signal Détecté[V]
6
+3
+4
-1
2
1
2
-1
-2
-3
-4
-5
+1
0
-7
-9
-11
1
0
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
Anglederotation[°]
(a)
1.5
0
-1.5
2.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
Anglederotation[°]
1.0
1.5
(b)
Figure (4.22) : Variation de la divergence du faisceau pour un déplacement du détecteur en
millimètres (paramétrage des courbes), avec un miroir plan et ouverture du
diaphragme en position 1 cm-1 (a) et 0,5 cm-1 (b). (Valeurs positives pour la
rotation du bras dans le sens horaire et valeurs positives aussi pour le
déplacement du détecteur dans la direction du miroir MS4).
125
CHAPITRE IV : Description de la technique expérimentale utilisant le spectromètre
7
6
0
+1
+2
+4
+6
+10
Signal Détecté[V]
5
4
-1
-2
-4
-6
-8
-10
5
Signal Détecté[V]
6
3
4
3
0
+1
+2
+4
+6
+10
-1
-2
-4
-6
-8
-10
2
2
1
1
0
-3
-2
-1
0
1
Anglederotation[°]
2
0
3
-3
(a)
-2
-1
0
1
Anglederotation[°]
2
3
(b)
Figure (4.23) : Variation de la divergence du faisceau pour un déplacement du détecteur en
millimètres (paramétrage des courbes), avec un miroir sphérique et ouverture
du diaphragme en position open (a) et 2 cm-1 (b). (Valeurs positives pour la
rotation du bras dans le sens horaire et valeurs positives aussi pour le
déplacement du détecteur dans la direction du miroir MS4).
5
3
2.25
0
+1
+2
+4
+6
+10
-1
-2
-4
-6
-8
-10
2.00
Signal Détecté[V]
Signal Détecté[V]
4
2.50
2
1.75
1.50
1.25
0
+1
+2
+4
+6
+10
-1
-2
-4
-6
-8
-10
1.00
0.75
1
0.50
0.25
0
-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Anglederotation[°]
(a)
0.00
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
Anglederotation[°]
1.5
2.0
(b)
Figure (4.24) : Variation de la divergence du faisceau pour un déplacement du détecteur en
millimètres (paramétrage des courbes), avec un miroir sphérique et ouverture
du diaphragme en position 1 cm-1 (a) et 0,5 cm-1 (b). (Valeurs positives pour
la rotation du bras dans le sens horaire et valeurs positives aussi pour le
déplacement du détecteur dans la direction du miroir MS4).
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
126
Cette analyse sur l'optique du faisceau permet de voir l'influence de l'ouverture du
diaphragme et du type de miroir utilisé à la sortie du spectromètre, mais une étude de
sensibilité sur l'identification en fonction de ces paramètres s'avère nécessaire si on veut
connaître les erreurs dues à un mauvais alignement. Cette étude sera présentée au chapitre
prochain.
Une option a été prise pour l'utilisation du miroir plan à la sortie du spectromètre. Les
raisons ont été déjà décrites par Doermann (1995). En fait, le miroir sphérique permet d'avoir
d'avantage d'énergie diffuse mais l'angle solide est plus important. Un problème qui apparaît
au niveau expérimental, est que la tache formée par le faisceau sur le miroir MS4 est plus
grande que le miroir. De cette façon, pour les mesures de la courbe de base, on perd de
l'énergie et cela introduit des erreurs au niveau de la quantification de l'énergie diffusée par
l'échantillon.
4.4 PROCEDURE D'EXECUTION DES MESURES
Après l'alignement du banc optique extérieur au spectromètre, un échantillon est mis en
place pour les essais. Le boîtier en plexiglas contenant l'ensemble du dispositif est fermé, puis
purgé pendant environ 1 heure. Le nouveau boîtier qui a été réalisé a un volume double (du à
l'adaptation aux mesures sur rideaux d'eau réalisée par Dembélé (1998)) de celui utilisé par
Nicolau (1994) et Doermann (1995) et quelques petites raies d'absorption de H2O et CO2
persistent toujours après la purge.
Le porte-échantillon (Figure (4.5)) est composé de deux plaques (épaisseur 0,5 mm)
perforées d'un orifice de diamètre de 40 mm. Une de ces plaques sert de support à l'échantillon
et elle est pivotante, tandis que l'autre sert de diaphragme pour la mesure du spectre de base.
Les mesures débutent par l'acquisition des spectres de base réalisés pour les différents
angles d'incidence du faisceau. Ceux-ci sont obtenus en plaçant le diaphragme devant le
faisceau, ce qui quantifie le flux de rayonnement incident pour les mesures à suivre. Les
angles d'incidence (θI) choisis sont 0°, 10°, 20°, 30° et 40°. Au delà de 40°, le support du
porte-échantillon commence à obstruer le faisceau incident et aussi le flux disponible devient
trop faible (le flux est fonction de cos θI).
L'échantillon est ensuite mis dans la position de mesure. Le spectre pour la direction
d'incidence 0° est le premier à être acquis. Dans un premier temps seules les mesures de
transmission sont réalisées. Après avoir mesuré les transmissions dans les différentes
directions de la quadrature choisie (de la direction normale vers les directions plus éloignées),
le porte échantillon est tourné de l'angle θI, qui peut être de 10°,...,40°. Les mesures de
transmission sont alors effectuées à nouveau autour de l'échantillon. En fait, ce n'est pas le
faisceau qui s'incline par rapport à l'échantillon, mais l'échantillon qui tourne par rapport au
faisceau.
Afin de limiter les dimensions du boîtier, on a choisi de réaliser des mesures seulement
d'un coté de l'échantillon pour avoir toutes les directions de la quadrature sans symétrie
azimutale. L'échantillon est tourné vers l'angle opposé pour avoir les directions de l'autre coté,
Figure (4.25). Un problème sans symétrie azimutale nécessite deux fois plus de directions de
mesure. Après avoir effectué toutes les mesures de transmission pour plusieurs angles
d'incidence, le porte échantillon est déplacé de l'épaisseur de l'échantillon pour positionner sur
127
CHAPITRE IV : Description de la technique expérimentale utilisant le spectromètre
l'axe de rotation du goniomètre la face sur laquelle le faisceau est incident. Ensuite la même
procédure que pour la transmission est répétée pour effectuer les mesures de réflexion.
Pour la réflexion, il faut considérer l'obstruction du faisceau incident par le miroir
sphérique qui précède le détecteur. Pour les directions proches de celle d'incidence,
l'obstruction mentionnée se produit, empêchant l'exécution de ces mesures. Pour résoudre ce
problème nous avons utilisé la démarche proposée par Nicolau (1994) à partir de l'adoption de
l'hypothèse selon laquelle la réflexion est faiblement dépendante de l'angle d'incidence (pour
de petits angles d'incidence). L'échantillon sera tourné de θa=5° (θb=0°), de manière à ce que
le bras, placé maintenant à un angle θ égal à 170°, permette la détection sous réflexion
spéculaire, Figure (4.26). Cette réflexion correspond à la direction opposée à la direction
d'incidence.
Pour la mesure dans les directions comprises entre 170° et 180°, une procédure semblable
est utilisée. L'angle θb est complément des angles de la quadrature par rapport à 180°.
La quadrature proposée dans ce travail facilite les mesures pour la condition de nonsymétrie azimutale. Puisque les directions de la quadrature sont concentrées autour de la
direction d'incidence, le fait d'avoir un angle d'inclinaison variable ne change pas les
directions de mesure par rapport à la direction d'incidence. Cela permet d'avoir un tableau
unique des directions (en fonction du type de quadrature utilisée) pour contrôler les unités de
rotation.
Les unités de rotation sont de fabrication Microcontrôle et elles sont entraînées par des
moteurs pas-à-pas. Un programme écrit en langage C++ permet de contrôler la rotation à
partir d'un PC. L'acquisition des spectres et la rotation du bras sont faites de façon itérative et
sont toutes pilotées à partir du PC.
tra ns m itta nc e s
ré fle c ta nc e s
θ= 1 8 0 °
d ire c tio ns d e
m e s ure
θI
d ire c tio n
no rm a le
θ= 0 °
tra ns m itta nc e s
ré fle c ta nc e s
θ= 1 8 0 °
θI
d ire c tio n
no rm a le
θ= 0 °
Figure (4.25) : Procédure utilisée pour les mesures de transmission et réflexion sans
symétrie azimutale.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
128
QW
LGH
F
Q
L
HDX
F
V
L
)D
DOH
1RUP
(FKDQWLOORQ
θD
θD
θE
5pIOH[LRQVSpFXODLUH
06SKpULTXH
'pWHFWHXU
Figure (4.26) : Mesures de la réflectance dans les directions comprises entre 170° à 180°
(Nicolau, 1994).
Les courbes de transmission et réflexion obtenues sont ensuite filtrées à l'aide du logiciel
Origine par un filtre carré et "glissant". Le filtre carré prend en considération n points à
gauche plus n points à droite du point expérimental concerné et calcule la moyenne entre ces
différents points. Cette valeur moyenne remplacera la valeur originale du point de mesure. On
dit qu'il s'agit d'un filtre "glissant" parce que le calcul est fait pour tous les points successifs,
sans réduire leur nombre. Le nombre de points utilisé varie entre 5 et 20. Pour les fibres, qui
ont des pics d'absorption, le nombre de points utilisé est de 5. De cette façon on réduit peu le
pic. Pour des matériaux de type mousses, qui ne présentent pas de pics d'absorption le nombre
de points adopté est de 20 et cela permet de réduire d'avantage les variations dues au bruit de
mesure.
129
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
&+$3,75(9
RESULTATS EXPERIMENTAUX
5.1 INTRODUCTION
Dans les trois premiers chapitres, nous avons présenté un modèle, basé sur la méthode des
ordonnées discrètes, qui permet l'identification des propriétés radiatives selon différentes
configurations expérimentales. Ce modèle présente, comme caractère novateur, la prise en
compte de l'hypothèse de non-symétrie azimutale du champ radiatif, permettant l'identification
des propriétés radiatives selon des angles d'incidence variables d'un faisceau collimaté. Des
études utilisant des solutions fondées sur la théorie électromagnétique ont été déjà menées par
Lee (1996, 1989) et Boulet (1992) pour des matériaux fibreux. Leurs résultats montrent une
variation des propriétés radiatives en fonction de l'angle d'incidence du faisceau, pour des
fibres disposées selon des plans parallèles aux frontières.
Dans ce chapitre sont présentées des mesures réalisées sur des matériaux fibreux et des
mousses en utilisant le dispositif expérimental décrit au chapitre 4. Quatre types d'échantillons
ont été choisis : deux laines de verre (et cellulose) avec des fibres disposées selon des plans
parallèles aux frontières et deux types différents de mousses de carbone qui ont une structure
en forme de bâtonnets disposés de façon assez aléatoire. La description des échantillons est la
suivante :
1) Laine de verre et cellulose C3-CRIR : ce sont des échantillons rigides, fabriqués par la
Société Isover Saint-Gobain, Centre de Recherches de Rantigny. Ce matériau est
composé de 70% fibre de verre sodocalcique et 30% de cellulose. Sa masse volumique
est de 160 kg/m3 et l'épaisseur d'échantillon est de 0,25 mm.
2) Laine de verre commerciale en panneaux : il s'agit de fibres assez rigides dont la
cohésion est maintenue par des liants. Sa masse volumique est de 86 kg/m3 et l'épaisseur
de l'échantillon est de 2,3 mm.
3) Mousse de carbone type 2 : fournie par Aérospatiale. Elle a environ 75 pores par pouce
(75 PPI), une épaisseur de 4,2 mm et une largeur de bâtonnet de 34 µm.
4) Mousse de carbone type 3 : fournie par Aérospatiale. Elle a environ 40 pores par pouce,
une épaisseur de 7 mm et une largeur de bâtonnet de 84 µm.
Les propriétés radiatives des échantillons de laines de verre utilisées ont été identifiées
précédemment par Nicolau (1994) en condition d'incidence normale, avec le même dispositif
expérimental (à l'exception du détecteur MCT qui a été entre-temps remplacé par un nouveau
détecteur MCT linéarisé).
Les échantillons de type mousse ont été étudiés par Doermann (1995), qui en utilisant un
modèle basé sur la combinaison de l'optique géométrique et de la théorie de la diffraction,
ainsi que la connaissance de la morphologie, a pu prédire leurs propriétés radiatives. Comme
cet auteur avait besoin de connaître la réflectivité hémisphérique du carbone pour ses calculs
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
130
prédictifs, cette propriété à été déterminée en utilisant le même dispositif expérimental que
Nicolau (1994) et un modèle d'identification.
Pour les quatre échantillons présentés ici, les mesures sont effectuées selon 5 angles
d'incidence du faisceau collimaté : 0° (incidence normale), 10°, 20°, 30° et 40°. Le fait
d'incliner l'échantillon par rapport au faisceau incident réduit l'énergie disponible pour les
mesures et provoque un effet similaire à celui de l'augmentation de l'épaisseur optique, qui
réduit la transmittance collimatée. Au chapitre 3, il a été montré que l'épaisseur optique
optimale de l'échantillon pour l'identification doit se situer autour de 5 (Figure (3.4)). Avec
l'inclinaison du faisceau, l'épaisseur optique optimale se trouve encore réduite.
En considérant une incidence de 0° sur l'échantillon (symétrie azimutale), nous analysons
les différences entre l'identification de l'épaisseur optique par une méthode directe (de 2°
ordre) utilisée par Nicolau et par la méthode inverse, où l'épaisseur optique est considérée
comme un paramètre de plus dans la méthode d'identification. Certes, l'identification de
l'épaisseur optique par méthode inverse augmente le nombre de conditionnement de l'équation
(3.7), mais elle reste la seule option fiable pour l'identification avec une incidence inclinée. En
effet, avec l'inclinaison du faisceau la diffusion augmente également et entraîne des difficultés
pour sa détermination par la méthode directe.
Tous les modèles existants dans la littérature considèrent une luminance constante dans
l'angle solide du faisceau incident. Toutefois, il a été montré au chapitre 4 que, dans notre
dispositif expérimental, la luminance varie à l'intérieur de l'angle solide et pour analyser cet
effet une quadrature de 6 directions (Radau) à l'intérieur de l'angle solide du faisceau a été
utilisée.
Trois différents types de quadratures sont utilisées pour les calculs. La quadrature de
Nicolau (24 directions) pour le cas avec symétrie azimutale et un faisceau incident collimaté
uniforme. Une quadrature de Nicolau modifiée (34 directions) afin de disposer de 6 directions
supplémentaires dans l'angle solide d'incidence pour traiter le problème avec une luminance
variable dans l'angle solide d'incidence. Et, finalement, une quadrature spatiale (N24-C8 : 178
directions) est utilisée pour les cas avec une incidence variable.
La configuration adoptée pour toutes les mesures utilise un miroir plan à la fenêtre de sortie
du spectromètre avec une ouverture de 2 cm-1, ce qui correspond à l'angle solide de divergence
du faisceau de 1,27°.
Un nombre de 30 volumes de contrôle a été utilisé pour résoudre les différents cas, option
qui s'avère précise avec un temps de calculs pas trop important. En fait, l'identification
utilisant la quadrature spatiale (178 directions) est approximativement 8 (178/24) fois plus
lente qu'avec une quadrature pour une symétrie azimutale. Pour avoir un ordre de grandeur, un
temps d'environ 30 min est nécessaire pour l'identification des propriétés radiatives pour une
seule longueur d'onde avec un PC Pentium-Pro 200 MHz, pour un nombre d'environ 80
itérations.
Les propriétés radiatives pour une incidence normale ont été calculées dans la plage de
détection du système (1,7 µm à 15 µm), comprenant un ensemble de 152 longueurs d'ondes
distinctes. Pour montrer la variation des propriétés radiatives avec l'angle d'incidence, une
analyse est réalisée uniquement pour deux longueurs d'onde différentes. Le temps de calcul
devient prohibitif pour une identification sur toutes les longueurs d'onde.
131
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
Les erreurs et les écarts-types obtenus pour des mesures avec ce montage expérimental ont
déjà été analysés par Nicolau (1994) et par Doermann (1995). Ces auteurs ont calculé les
écarts-types obtenus pour plusieurs mesures et différents échantillons du même type de
matériaux. Doermann a fait une analyse plus approfondie en tenant compte de l'influence de
l'alignement optique.
Pour cerner encore mieux les paramètres qui pourront provoquer des erreurs sur
l'identification, une analyse du positionnement du détecteur et de l'inclinaison du porte
échantillon est effectuée.
5.2 RESULTATS OBTENUS POUR LA FIBRE C3-CRIR
Les Figures (5.1) et (5.2) montrent les valeurs de transmission et de réflexion,
respectivement, obtenues directement, à partir des mesures sur l'échantillon C3-CRIR
(épaisseur de 0,25 mm) en utilisant le dispositif expérimental. La direction 1 est la direction
normale, les directions 1 à 6 sont comprises dans l'angle solide du faisceau (1,27°) et la
direction 16 est la plus éloignée de la normale (la limite jusqu'où l'on peut détecter un signal)
pour les courbes de transmission. Ensuite, la direction 19 est la première pour laquelle on
détecte un signal en situation de mesure de réflexion et les mesures sont effectuées jusqu'à la
direction opposée à celle d'incidence (direction 34). Les courbes de transmission et de
réflexion présentent un signal beaucoup plus faible que celles rapportées par Nicolau (1994)
pour le même échantillon. Cela est dû à l'utilisation d'un détecteur linéarisé, dont le
préamplificateur a un gain moins important que le précédent.
A la Figure (5.3) on trouve les valeurs d'épaisseur optique obtenues selon les différentes
méthodes et quadratures. La quadrature spatiale donne des valeurs optiques légèrement plus
faibles et ces écarts seront visibles pour les autres propriétés aussi. En revanche, les écarts
entre la détermination de l'épaisseur optique par méthode inverse ou par méthode directe sont
quasiment nuls. Cela est vrai aussi pour la quadrature de 34 directions utilisée pour traiter la
variation de la luminance dans l'angle solide du faisceau. Les valeurs relatives aux coefficients
d'extinction sont présentées à la Figure (5.4).
Les valeurs de l'albédo (ω) pour les différents cas sont comparés à la Figure (5.5). Le fait
d'avoir d'avantage de directions dans l'angle d'incidence du faisceau, fait que l'on peut mesurer
une diffusion plus importante, ce qui explique des valeurs supérieures de l'albédo pour une
quadrature de 34 directions. Cet effet est plus prononcé autour des longueurs d'onde de 8µm
(filtre Christiansen), où un pic apparaît.
Concernant le coefficient d'Henyey-Greenstein (g), les résultats (Figure (5.6)) obtenus
montrent aussi qu'une quadrature plus raffinée autour de la direction normale donne des
valeurs de g plus proches de l'unité pour les longueurs d'onde situées surtout aux environs de 8
µm. Cela peut expliquer le pic trouvé à cette longueur d'onde pour l'albédo.
Des écarts plus prononcés apparaissent, entre la quadrature spatiale et d'autres quadratures,
pour le coefficient d'asymétrie vers l'avant (f1), surtout pour les longueurs d'onde supérieures à
9 µm (Figure 5.7). Ces écarts sont aussi visibles pour le coefficient d'asymétrie (f2) mais sont
moins importants (Figure 5.8). Les écarts trouvés entre les coefficients d'asymétrie f1 et f2 sont
probablement dus aux différences entre les deux quadratures qui engendrent des fonctions de
phase différents avec la normalisation (équation (1.44)).
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
132
Les valeurs correspondantes à la variation des coefficients radiatifs en fonction de l'angle
d'incidence pour deux longueurs d'ondes différentes (8 µm et 5 µm) sont montrées à la Figure
(5.9). Les résultats obtenus semblent en concordance avec ceux de Boulet (1992) calculés à
partir de la théorie électromagnétique, et portant sur des échantillons ayant une masse
volumique moins importante (10 kg/m3), ce qui donne des coefficients plus petits. A une
longueur d'onde de 8 µm les coefficients sont moins influencés par la variation de l'angle
d'incidence du faisceau par rapport aux résultats obtenus pour une longueur d'onde de 5 µm.
Cet effet est expliqué par la réduction de l'albédo et de l'épaisseur optique à 8 µm en raison du
filtre de Christiansen. Les Tableaux (5.1) et (5.2) donnent les valeurs des propriétés radiatives
estimées en fonction de l'angle d'incidence pour les longueurs d'onde de 8 µm et 5 µm
respectivement. Dans ces Tableaux sont présentées les épaisseurs optiques estimées par la
méthode inverse et par la méthode directe (modèle 2e ordre avec une épaisseur optique
multipliée par le cosinus de l'angle d'incidence). L'épaisseur optique estimée par méthode
inverse diminue avec l'augmentation de l'angle d'incidence d'une façon plus prononcée, par
rapport à une estimation par méthode directe, pour la longueur d'onde de 5 µm. Toutefois, cet
effet est inversé pour la longueur d'onde de 8 µm. Cela met en évidence qu'une identification
de l'épaisseur optique par méthode directe provoque des erreurs différentes, en fonction des
propriétés radiatives du matériau identifié. Le coefficient d'asymétrie vers l'avant (f1) passe
d'une valeur de 0,9918 pour une incidence de 0° à pratiquement l'unité (0,9999) pour tous les
autres angles d'incidence. Ce comportement est provoqué par l'incapacité de la fonction de
phase à décrire le phénomène de rétrodiffusion spéculaire existant pour une incidence inclinée
du faisceau collimaté. La fonction de phase telle qu'elle est définie ne permet que d'avoir un
pic de rétrodiffusion dans la direction opposée à l'incidence du faisceau et, comme il a été
montré par Boulet (1992), le pic de rétrodiffusion pour ces types de matériaux a un
comportement spéculaire, c'est-à-dire le pic est présent dans une direction d'angle opposé à
celui à d'incidence du faisceau par rapport à la normale à la surface de l'échantillon. De ce fait,
les réflectances estimées ont une allure plus isotrope et le coefficient f1 s'approche de l'unité.
Les Figures (5.10) à (5.19) présentent les transmittances et réflectances mesurées et
calculées pour les différents angles d'incidence et pour deux longueurs d'onde différentes
(8 µm et 5 µm). Les valeurs calculées sont obtenues à partir des propriétés radiatives listées
dans les Tableaux (5.1) et (5.2). Les Figures (5.10) et (5.11) ont été obtenues pour une
incidence normale du faisceau collimaté sur la surface de l'échantillon et les résultats issus de
calculs par les modèles direct et inverse sont présentés. La concordance entre ces deux
modèles et les points expérimentaux est très bonne pour les deux longueurs d'onde analysées.
La courbe de transmittance correspondant à 8 µm offre un pic plus prononcé autour de la
direction d'incidence. Cela est dû surtout à l'épaisseur optique (τo=4,87) plus réduite pour cette
longueur d'onde, qui fait que le faisceau collimaté est encore plus prononcé. Pour cette
longueur d'onde, un léger pic de rétrodiffusion est aussi aperçu. Pour la longueur d'onde de 5
µm l'épaisseur optique est plus importante (τo=9,97) et l'albédo est aussi plus élevé (ω=0,943),
ce qui permet d'avoir davantage d'énergie diffusée pour les directions situées en dehors de la
direction d'incidence.
Il faut remarquer que les transmittances et réflectances sont calculées à partir de mesures de
transmission et de réflexion réalisées autour de l'échantillon à l'aide de l'équation (4.10). Les
mesures de transmission et de réflexion pour les directions plus éloignées de la normale
donnent des valeurs plus faibles, mais pour le calcul des transmittances et des réflectances ces
valeurs sont divisées par le cosinus de l'angle polaire, en présentant des valeurs plus élevées et
aussi plus bruitées. Cela explique les écarts plus prononcés entre les valeurs expérimentales et
théoriques observés pour ces angles.
133
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
Les Figures (5.12) à (5.19) donnent les transmittances et les réflectances mesurées et
calculées en situation d'incidence non normale à la surface de l'échantillon, pour les deux
longueurs d'onde déjà analysées. La méthode inverse d'identification de l'épaisseur optique est
présentée. Les courbes expérimentale et théorique sont toujours en bon accord et une certaine
tendance est observée pour tous les cas, avec des transmittances expérimentales supérieures
aux valeurs théoriques pour 90°≥θ≥θI, des transmittances expérimentales inférieures aux
théoriques pour θI≥θ et pour 360°≥θ≥270°, des réflectances expérimentales supérieures à
celles calculées pour 90°≤θ≤(θI+180°) et des réflectances expérimentales inférieures aux
théoriques pour (θI+180°)≤θ≤270°. Une explication possible de ce phénomène est une
certaine asymétrie de la fonction de phase de ce matériau que la fonction de phase modélisée
n'arrive pas à reproduire. Malgré le fait que le modèle développé est fondé sur l'hypothèse de
non-symétrie azimutale du champ de luminance, la fonction de phase ne dépend que de l'angle
entre la direction d'incidence et la direction de diffusion et présente donc une symétrie
azimutale. L'effet de la non-symétrie de la fonction de phase à été déjà démontré par Boulet
(1992).
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
134
1
10
0
Transmission [%]
10
direction 1
-1
10
-2
10
-3
10
direction 16
-4
10
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Longueur d'onde λ [µm]
Figure (5.1) : Valeurs de transmission [%] pour les différentes directions de mesure.
-1
10
direction 34
Réflexion [%]
-2
10
-3
10
direction 19
-4
10
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Longueur d'onde λ [µm]
Figure (5.2) : Valeurs de réflexion [%] pour les différentes directions de mesure.
135
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
τo inverse - 24 directions
τo directe - 24 directions
inverse - 34 directions
τo inverse - 178 directions
τo directe - 178 directions
τo
11
Epaisseur optique (τo)
10
9
8
7
6
5
4
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.3) : Epaisseur optique estimée pour l'échantillon C3-CRIR.
τo inverse - 24 directions
τo directe - 24 directions
τo inverse - 34 directions
τo inverse - 178 directions
τo directe - 178 directions
-1
Coefficient d'extinction [m ]
45000
40000
35000
30000
25000
20000
15000
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.4) : Coefficient d'extinction estimé pour l'échantillon C3-CRIR.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
τo inverse - 24 directions
τo
136
τo directe - 24 directions
inverse - 34 directions
τo directe - 178 directions
τo inverse - 178 directions
1.0
0.9
Albédo ( ω)
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.5) : Albédo estimé pour l'échantillon C3-CRIR.
τo inverse - 24 directions
τo directe - 24 directions
inverse - 34 directions
τo inverse - 178 directions
τo directe - 178 directions
τo
Coefficient d'Henyey-Greenstein (g)
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.6) : Coefficient de Henyey-Greenstein estimé pour l'échantillon C3-CRIR.
137
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
τo inverse - 24 directions
τo directe - 24 directions
τo inverse - 34 directions
τo inverse - 178 directions
τo directe - 178 directions
Fraction d'asymétrie vers l'avant (f1)
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.7) : Coefficient d'asymétrie vers l'avant (f1) estimé pour l'échantillon C3-CRIR.
τo inverse - 24 directions
τo directe - 24 directions
τo inverse - 34 directions
τo inverse - 178 directions
τo directe - 178 directions
1.1
1.0
Fraction d'asymétrie (f2)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.8) : Coefficient d'asymétrie (f2) estimé pour l'échantillon C3-CRIR.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
Coefficient d'extinction (λ =8 µm)
Coefficient de diffusion (λ =8 µm)
Coefficient d'absorption (λ =8 µm)
Coefficient d'extinction (λ =5 µm)
Coefficient de diffusion (λ =5 µm)
Coefficient d'absorption (λ =5 µm)
60000
55000
-1
50000
Coefficients [m ])
138
45000
40000
35000
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
0
5
10
15
20
25
30
Angle d'incidence [degre]
35
40
45
Figure (5.9) : Variation des coefficients avec l'incidence pour l'échantillon C3-CRIR.
Tableau (5.1) : Propriétés radiatives estimées pour différents angles d'incidence
(λ=8 µm).
Angle
0°
10°
20°
30°
40°
ω
0,5329
0,5598
0,5399
0,5235
0,5636
g
0,8974
0,9015
0,8988
0,8871
0,8965
f1
0,9918
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
f2
0,7791
0,7373
0,8073
0,8393
0,8897
τo (inverse) τo (directe)
4,870
4,875
4,876
4,874
4,833
4,791
4,783
4,657
4,738
4,556
Tableau (5.2) : Propriétés radiatives estimées pour différents angles d'incidence
(λ=5 µm).
Angle
0°
10°
20°
30°
40°
ω
0,9435
0,9557
0,9438
0,9353
0,9302
g
0,8879
0,9063
0,8727
0,8897
0,8657
f1
0,9918
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
f2
τo (inverse) τo (directe)
0,9035
9,973
10,360
0,8672
10,720
11,759
0,9262
9,416
10,421
0,8851
9,047
9,145
0,9023
7,768
8,388
139
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
Réflectance
Transmittance
110
1
10
100
90 80
70
120
60
130
0
10
50
140
40
Transmittances et Réflectances
-1
10
30
150
-2
160
10
-3
10
-4
10
-3
10
-2
10
20
170
10
180
0
190
350
200
-1
340
330
210
10
220
0
10
320
230
1
310
240
10
expérimentale
τo estimée
τo directe
300
250
260 270 280
290
Figure (5.10) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=0° pour une longueur d'onde de λ=8 µm.
Réflectance
Transmittance
110
100
90 80
70
120
-1
10
Transmittances et Réflectances
60
130
50
140
40
30
150
160
-2
10
20
170
10
180
0
190
350
200
340
330
210
-1
10
220
320
230
310
240
250
260 270 280
290
300
expérimentale
τo estimée
τo directe
Figure (5.11) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=0° pour une longueur d'onde de λ=5 µm.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
Réflectance
10
100
90 80
70
120
10
50
140
-1
10
60
130
0
Transmittances et Réflectances
Transmittance
110
1
140
40
30
150
-2
10
160
-3
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
20
170
10
180
0
190
350
200
340
330
210
220
0
10
320
230
1
240
10
expérimentale
estimée
310
300
250
260 270 280
290
Figure (5.12) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=10° pour une longueur d'onde de λ=8 µm.
Réflectance
0
10
120
Transmittance
110
100
90 80
70
60
130
140
-1
10
Transmittances et Réflectances
50
40
30
150
-2
10
-3
10
160
20
170
10
180
0
190
350
-2
10
200
-1
10
340
330
210
220
320
230
0
10
310
240
250
260 270 280
290
300
expérimentale
estimée
Figure (5.13) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=10° pour une longueur d'onde de λ=5 µm.
141
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
Réflectance
1
10
120
0
Transmittances et Réflectances
-4
-5
10
70
60
50
40
30
150
-2
10
10
100
140
-1
10
-3
110
130
10
10
Transmittance
90 80
160
20
170
10
180
0
190
350
-4
10
-3
10
-2
10
-1
200
340
330
210
10
220
0
10
320
230
1
240
10
expérimentale
estimée
310
250
260 270 280
290
300
Figure (5.14) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=20° pour une longueur d'onde de λ=8 µm.
Réflectance
0
10
120
Transmittance
110
100
90 80
70
60
130
140
-1
10
Transmittances et Réflectances
50
40
30
150
-2
10
-3
10
160
20
170
10
180
0
190
350
-2
10
200
-1
10
340
330
210
220
320
230
0
10
310
240
250
260 270 280
290
300
expérimentale
estimée
Figure (5.15) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=20° pour une longueur d'onde de λ=5 µm.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
Réflectance
Transmittance
110
1
10
100
90 80
70
120
60
130
0
10
142
50
140
40
Transmittances et Réflectances
-1
10
30
150
-2
160
10
-3
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
20
170
10
180
0
190
350
200
340
330
210
220
0
10
320
230
1
10
expérimentale
estimée
310
240
300
250
260 270 280
290
Figure (5.16) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=30° pour une longueur d'onde de λ=8 µm.
Réflectance
Transmittance
110
0
10
100
90 80
70
120
60
130
140
-1
10
Transmittances et Réflectances
50
40
30
150
-2
10
-3
10
160
20
170
10
180
0
190
350
-2
10
200
-1
10
340
330
210
220
320
230
0
10
310
240
300
250
260 270 280
expérimentale
estimée
290
Figure (5.17) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=30° pour une longueur d'onde de λ= 5 µm.
143
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
Réflectance
110
1
10
100
70
120
60
50
130
0
10
40
140
-1
Transmittances et Réflectances
Transmittance
90 80
10
30
150
-2
10
160
-3
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
20
170
10
180
0
190
350
200
340
330
210
220
0
10
320
230
1
240
10
expérimentale
estimée
310
300
250
260 270 280
290
Figure (5.18) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=40° pour une longueur d'onde de λ=8 µm.
Réflectance
Transmittance
110
0
10
100
90 80
70
120
60
130
140
-1
10
Transmittances et Réflectances
50
40
30
150
-2
10
-3
10
160
20
170
10
180
0
190
350
-2
10
200
-1
10
340
330
210
220
320
230
0
10
310
240
300
250
260 270 280
expérimentale
estimée
290
Figure (5.19) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=40° pour une longueur d'onde de λ=5 µm.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
144
5.3 RESULTATS OBTENUS POUR LA LAINE DE VERRE (86 kg/m3)
Les mesures de transmission et de réflexion pour la laine de verre sont présentées
respectivement aux Figures (5.20) et (5.21). Les directions de mesure correspondent à celles
déjà adoptées pour l'échantillon précédent.
L'épaisseur optique est pratiquement la même pour tous les 5 cas analysés, Figure (5.22),
sauf qu'au-delà de 9 µm une légère réduction des épaisseurs optiques obtenue avec la
quadrature de 34 directions et pour la quadrature spatiale est observée. La Figure (5.23)
montre les résultats relatifs au coefficient d'extinction.
Les courbes de l'albédo ont un comportement semblable à celles obtenues pour
l'échantillon C3-CRIR. Une quadrature de 34 directions conduit à une identification de valeurs
d'albédo plus élevées, mais cette fois-ci un pic n'apparaît plus autour de 8 µm. A cette
longueur d'onde l'épaisseur optique est plus importante (τo=7,20) que celle estimée pour
l'échantillon C3-CRIR (τo=4,87) et le coefficient d'Henyey-Greenstein moins élevé (Figure
(5.25)).
Des écarts plus prononcés apparaissent à nouveau entre la quadrature spatiale et les autres
quadratures pour le coefficient d'asymétrie vers l'avant (f1), à l'exception des longueurs d'onde
comprises entre 7 µm et 9 µm, où le coefficient f1 s'approche de l'unité pour tous les cas testés
(Figure 5.26). Ces écarts sont aussi visibles pour le coefficient d'asymétrie (f2) mais ils sont
moins importants (Figure 5.27).
La variation des coefficients radiatifs en fonction de l'angle d'incidence pour deux
longueurs d'ondes différentes (8 µm et 5 µm) est présentées à la Figure (5.28) et les propriétés
radiatives estimées sont données dans les Tableaux (5.3) et (5.4). Pour ce matériau la
dépendance des propriétés radiatives en fonction de l'angle d'incidence est moins forte que
celle de l'échantillon C3-CRIR. L'épaisseur optique calculée à partir d'une méthode inverse
présente des résultats proches de ceux obtenus avec une méthode directe (épaisseur optique
calculé à l'aide d'un modèle du 2e ordre et multipliée par le cosinus de l'angle d'incidence). Les
valeurs du coefficient d'asymétrie vers l'avant s'approchent de l'unité pour les inclinaisons
différentes de 0° : c'est le même effet que celui déjà trouvé et interprété pour l'échantillon C3CRIR.
Les transmittances et réflectances mesurées et calculées pour les divers angles d'incidence
et pour deux longueurs d'onde différentes (8 µm et 5 µm) sont présentées aux Figures (5.29) à
(5.38). Les valeurs calculées sont obtenues à partir des propriétés radiatives listées aux
Tableaux (5.3) et (5.4). Pour un faisceau incident normalement sur la surface de l'échantillon
les résultats d'estimation obtenus par une estimation directe et une estimation inverse sont
présentés aux Figures (5.29) et (5.30) pour deux longueurs d'onde. A une longueur d'onde de 8
µm l'épaisseur optique de l'échantillon est plus faible et cela donne des réflectances mesurées
inférieures à celles obtenues pour une longueur d'onde de 5 µm et en conséquence les valeurs
sont plus bruitées. Dans ce cas les écarts entre les transmittances et réflectances calculées à
partir d'une méthode directe pour l'estimation de l'épaisseur optique et les valeurs
expérimentales sont beaucoup plus importants que ceux trouvés à partir d'une estimation de
l'épaisseur optique par méthode inverse. Les Figures (5.31) à (5.38) présentent les
transmittances et les réflectances mesurées et calculées pour un faisceau incident incliné sur la
surface de l'échantillon. Les résultats expérimentaux et théoriques sont toujours en très bon
145
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
accord. Cependant, on observe à nouveau les écarts déjà constatés pour l'échantillon C3-CRIR
dus probablement à la non-symétrie de la fonction de phase.
La Figure (5.39) montre la transmission et la réflexion hémisphérique obtenues pour
l'échantillon de laine de verre de 86 kg/m3, avec un faisceau incident normalement sur la
surface de l'échantillon, et cela dans 4 différents cas :
a) l'intégration numérique du champ de luminances est effectuée à partir des équations
(1.22 et (1.23)) en utilisant les propriétés radiatives estimées par la méthode décrite dans
ce travail et en considérant une identification par méthode directe de l'épaisseur optique
et une quadrature de 24 directions avec l'hypothèse de symétrie azimutale pour la bande
spectrale comprise entre 1,7 µm et 15 µm ;
b) l'intégration numérique du champ de luminances est réalisée à partir des équations
(1.22) et (1.23) en utilisant les propriétés radiatives estimées par la méthode décrite dans
ce travail et en considérant une identification par méthode inverse de l'épaisseur optique
et une quadrature de 24 directions avec l'hypothèse de symétrie azimutale pour la bande
spectrale comprise entre 1,7 µm et 15 µm ;
c) Mesures utilisant un spectromètre FTIR (Biorad FTS45), un détecteur MCT et une
sphère intégrante dorée pour les longueurs d'ondes comprises entre 2,5 µm et 22 µm ;
d) Mesures utilisant un spectromètre à double faisceau et à double réseau (Perkin Elmer Lambda 900), muni d'un détecteur PbS et d'un photomultiplicateur, et une sphère
intégrante de Spectralon, pour les longueurs d'onde comprises entre 0,2 µm et 2,5 µm.
Les écarts obtenus entre les mesures réalisées avec les deux spectromètres avec une sphère
intégrante présentent des différences beaucoup plus prononcées que les écarts observés entre
les deux modèles utilisés pour le calcul de l'épaisseur optique. Les valeurs mesurées avec le
spectromètre Biorad FTS45 et une sphère intégrante sont inférieures à celles calculées à partir
des propriétés optiques identifiées dans ce travail. Les mesures effectuées avec le spectromètre
Perkin Elmer sont plus concordantes dans la plage de recouvrement de longueur d'onde. Cela
met en évidence des efforts encore nécessaires pour obtenir la caractérisation au niveau
quantitatif du signal mesuré par des spectromètres.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
146
0
10
direction 1
-1
Transmission [%]
10
-2
10
-3
10
direction 15
-4
10
-5
10
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Longueur d'onde λ [µm]
Figure (5.20) : Valeurs de transmission [%] pour les différentes directions de mesure.
-1
10
direction 34
Réflexion [%]
-2
10
-3
10
direction 20
-4
10
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Longueur d'onde λ [µm]
Figure (5.21) : Valeurs de réflexion [%] pour les différentes directions de mesure.
147
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
τo inverse - 24 directions
τo directe - 24 directions
τo inverse - 34 directions
τo inverse - 178 directions
τo directe - 178 directions
12
Epaisseur optique (τo)
11
10
9
8
7
6
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.22) : Epaisseur optique estimée pour l'échantillon de laine de verre 86 kg/m3.
τo inverse - 24 directions
τo directe - 24 directions
τo inverse - 34 directions
τo inverse - 178 directions
τo directe - 178 directions
-1
coefficient d'extinction [m ]
5000
4500
4000
3500
3000
2500
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.23) : Coefficient d'extinction estimé pour l'échantillon de laine de verre 86 kg/m3.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
τo inverse - 24 directions
148
τo directe - 24 directions
τo inverse - 34 directions
τo inverse - 178 directions
τo directe - 178 directions
1.0
0.9
Albédo (ω)
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.24) : Albédo estimé pour l'échantillon de laine de verre 86 kg/m3.
τo inverse - 24 directions
τo directe - 24 directions
τo inverse - 34 directions
τo inverse - 178 directions
τo directe - 178 directions
Coefficient d'Henyey-Greenstein (g)
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.25) : Coefficient de Henyey-Greenstein estimé pour l'échantillon de laine de
verre 86 kg/m3.
149
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
τo inverse - 24 directions
τo
τo directe - 24 directions
inverse - 34 directions
τo directe - 178 directions
τo inverse - 178 directions
Fraction d'asymétrie vers l'avant (f1)
1.02
1.00
0.98
0.96
0.94
0.92
0.90
0.88
0.86
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.26) : Coefficient d'asymétrie vers l'avant (f1) estimé pour l'échantillon de laine de
verre 86 kg/m3.
τo inverse - 24 directions
τo directe - 24 directions
τo inverse - 34 directions
τo inverse - 178 directions
τo directe - 178 directions
1.00
Fraction d'asymétrie (f2)
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
0.65
0.60
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.27) : Coefficient d'asymétrie (f2) estimé pour l'échantillon de laine de verre 86
kg/m3.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
Coefficient d'extinction (λ=8 µm)
Coefficient de diffusion (λ=8 µm)
Coefficient d'absorption (λ=8 µm)
Coefficient d'extinction (λ=5 µm)
Coefficient de diffusion (λ=5 µm)
Coefficient d'absorption (λ=5 µm)
50000
-1
45000
Coefficients [m ]
150
40000
35000
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Angle d'incidence [degre]
Figure (5.28) : Variation des coefficients avec l'incidence pour l'échantillon de laine de
verre 86 kg/m3.
Tableau (5.3) : Propriétés radiatives estimées pour différentes angles d'incidence
(λ=8 µm).
Angle
0
10
20
30
40
ω
0,3757
0,4393
0,4455
0,4547
0,4378
g
0,8846
0,9208
0,9191
0,9211
0,9267
f1
0,9827
0,9999
0,9999
0,9999
0,9991
f2
0,8114
0,7870
0,7971
0,8120
0,8368
τo (inverse)
7,199
7,261
7,124
6,903
6,581
τo (directe)
7,265
7,277
7,111
6,816
6,413
Tableau (5.4) : Propriétés radiatives estimées pour différentes angles d'incidence
(λ=5 µm).
Angle
0
10
20
30
40
ω
0,8672
0,8796
0,8835
0,8818
0,8491
g
0,8816
0,9023
0,9007
0,9086
0,8979
f1
0,9623
0,9990
0,9999
0,9999
0,9975
f2
0,8542
0,8099
0,8230
0,8332
0,9164
τo (inverse)
7,967
8,177
8,187
8,189
7,688
τo (directe)
8,054
8,329
8,365
8,279
7,844
151
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
Réflectance
Transmittance
110
0
10
100
90 80
70
120
60
130
-1
10
50
140
40
Transmittances et Réflectances
-2
10
30
150
-3
160
10
-4
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
20
170
10
180
0
190
350
200
340
330
210
220
-1
10
320
230
0
310
240
10
expérimentale
τo estimée
τo directe
300
250
260 270 280
290
Figure (5.29) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=0° pour une longueur d'onde de λ=8 µm.
Réflectance
0
10
120
110
100
90 80
70
60
130
-1
10
Transmittances et Réflectances
Transmittance
50
140
40
30
150
-2
10
160
20
-3
10
-4
10
-3
10
-2
10
170
10
180
0
190
350
200
340
330
210
-1
10
220
320
230
0
10
310
240
250
260 270 280
290
300
expérimentale
τo estimée
τo directe
Figure (5.30) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=0° pour une longueur d'onde de λ=5 µm.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
Réflectance
10
Transmittances et Réflectances
-5
10
60
50
40
30
150
-2
10
-4
70
140
-1
10
10
90 80
130
10
-3
100
120
0
10
Transmittance
110
1
152
160
20
170
10
180
0
190
350
-4
10
-3
10
-2
200
10
340
330
210
-1
10
220
0
10
320
230
1
240
10
expérimentale
estimée
310
300
250
260 270 280
290
Figure (5.31) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=10° pour une longueur d'onde de λ=8 µm.
Réflectance
0
10
120
110
100
90 80
70
60
130
-1
10
50
140
-2
Transmittances et Réflectances
Transmittance
10
40
30
150
-3
10
160
-4
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
20
170
10
180
0
190
350
200
340
330
210
220
320
230
0
10
310
240
250
260 270 280
290
300
expérimentale
estimée
Figure (5.32) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=10° pour une longueur d'onde de λ=5 µm.
153
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
Réflectance
Transmittance
110
0
10
100
90 80
70
120
60
130
-1
10
50
140
40
Transmittances et Réflectances
-2
10
30
150
-3
160
10
-4
10
-5
10
-4
10
-3
10
20
170
10
180
0
190
350
200
-2
340
330
210
10
220
-1
10
320
230
0
240
10
expérimentale
estimée
310
300
250
260 270 280
290
Figure (5.33) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=20° pour une longueur d'onde de λ=8 µm.
Réflectance
Transmittance
110
0
10
100
90 80
70
120
60
130
-1
10
50
140
40
Transmittances et Réflectances
-2
10
30
150
-3
160
10
-4
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
20
170
10
180
0
190
350
200
340
330
210
220
320
230
0
10
310
240
expérimentale
estimée
300
250
260 270 280
290
Figure (5.34) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=20° pour une longueur d'onde de λ=5 µm.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
Réflectance
Transmittance
110
0
10
100
90 80
70
120
60
130
-1
10
154
50
140
40
Transmittances et Réflectances
-2
10
30
150
-3
160
10
-4
10
-5
10
-4
10
-3
10
20
170
10
180
0
190
350
200
-2
340
330
210
10
220
-1
10
320
230
0
240
10
expérimentale
estimée
310
300
250
260 270 280
290
Figure (5.35) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=30° pour une longueur d'onde de λ=8 µm.
Réflectance
0
10
120
110
100
90 80
70
60
130
-1
10
50
140
-2
Transmittances et Réflectances
Transmittance
10
40
30
150
-3
10
160
-4
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
20
170
10
180
0
190
350
200
340
330
210
220
320
230
0
10
310
240
250
260 270 280
290
300
expérimentale
estimée
Figure (5.36) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=30° pour une longueur d'onde de λ=5 µm.
155
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
Réflectance
0
10
120
110
100
90 80
70
60
130
-1
10
50
140
-2
Transmittances et Réflectances
Transmittance
10
40
30
150
-3
10
160
-4
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
20
170
10
180
0
190
350
200
340
330
210
220
-1
10
320
230
0
240
10
expérimentale
estimée
310
250
260 270 280
290
300
Figure (5.37) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=40° pour une longueur d'onde de λ=8 µm.
Réflectance
Transmittance
110
0
10
100
90 80
70
120
60
130
-1
10
50
140
40
Transmittances et Réflectances
-2
10
30
150
-3
160
10
-4
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
20
170
10
180
0
190
350
200
340
330
210
220
320
230
0
10
310
240
300
250
260 270 280
expérimentale
estimée
290
Figure (5.38) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=40° pour une longueur d'onde de λ=5 µm.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
156
Transmission - Sphère intégrante IR
Réflexion
- Sphère intégrante IR
Transmission - τo Directe
Réflexion
- τo Directe
Transmission - τo Inverse
Réflexion
- τo Inverse
Transmission - Sphère intégrante proche IR
Réflexion
- Sphère intégrante proche IR
Transmission et réflexion hemisphérique
1
0.1
0.01
1E-3
1E-4
0
5
10
15
20
25
Longueur d'onde λ [µm]
Figure (5.39) : Valeurs des transmissions et réflexions obtenues pour la laine de verre de
86 kg/m3 avec 3 spectromètres différents.
157
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
5.4 RESULTATS OBTENUS POUR LA MOUSSE DE CARBONE TYPE 2
Les mousses de carbone présentent une dépendance spectrale des propriétés radiatives plus
faible que les fibres de verre. Cela est visible dans les courbes de transmission et de réflexion
présentées aux Figures (5.40) et (5.41). Dans ce cas, l'échantillon a montré une diffusion vers
l'avant très faible autour de la direction d'incidence et le signal mesuré pour les directions plus
éloignées n'est pas détecté par le FTIR. Pour essayer d'avoir d'avantage de transmissions
mesurées la quadrature utilisée jusqu'à présent a été modifiée. La région correspondant à
l'intervalle entre 20°<θ<µ o avec 6 directions a été réduite à un intervalle entre 10°<θ<µ o avec
toujours 6 directions. En utilisant cette nouvelle quadrature, il a été possible d'obtenir un
signal jusqu'à la direction 11 de la nouvelle quadrature. Les 6 premières directions de la
quadrature sont à l'intérieur de l'angle solide du faisceau et sont seulement considérées pour
les calculs avec une quadrature de 34 directions. Sur la Figure (5.41) on observe que, pour la
direction opposée à celle d'incidence (direction 34), des valeurs de réflexion sont inférieures à
celles situées aux directions voisines.
Les épaisseurs optiques calculées par les différentes méthodes sont comparées à la Figure
(5.42) et les coefficients d'extinction à la Figure (5.43). Les écarts entre les différentes
méthodes sont nettement plus élevés que ceux trouvés pour les laines de verre. Cela est dû à la
difficulté d'identifier l'épaisseur optique par une méthode inverse en raison d'un nombre réduit
de données de transmission disponibles, ce qui conduit à un nombre de conditionnement (NC)
d'ordre 105 plus élevé que le valeur de NC calculée pour l'identification des propriétés
radiatives en déterminant l'épaisseur optique par une méthode directe. Cependant
l'identification de l'épaisseur optique donne des valeurs coïncidantes pour les différentes
méthodes, pour les longueurs d'onde supérieures à 10 µm. En effet, c'est dans cette plage que
les courbes de transmission présentent des amplitudes équivalentes à celles de réflexion. Au
delà de cette plage, l'identification de l'épaisseur optique devient fortement bruitée.
L'épaisseur optique calculée à partir d'une quadrature de 34 directions, en considérant la
variation de la luminance à l'intérieur de l'angle solide du faisceau incident, présente un écart
plus prononcé pour les courtes longueurs d'onde. Par conséquent l'albédo est plus important
que ceux calculés par les autres méthodes (Figure (5.44)). Sur la Figure (5.45), on observe que
le coefficient d'Henyey-Greenstein pour la quadrature de 34 directions s'approche de l'unité
pour les courtes longueurs d'onde, en présentant un écart par rapport à la quadrature de 24
directions.
Les résultats obtenus par Doermann (1995) pour cette mousse de carbone à partir d'un
modèle prédictif combinant l'optique géométrique et la diffraction montrent une épaisseur
optique indépendante de la longueur d'onde, ce qui est en désaccord avec les mesures
présentées ici. En revanche, le comportement de l'épaisseur optique trouvée dans ce travail est
en accord avec les résultats obtenues par Boulet (1992) pour une laine de carbone.
Le bruit excessif trouvé pour l'estimation de l'épaisseur optique par méthode inverse se
répercute sur l'identification des autres paramètres radiatifs.
Pour l'analyse de l'influence d'une incidence variable sur l'échantillon de type mousse on a
réalisé des calculs pour la longueur d'onde de 11,3 µm. Pour cette longueur d'onde (λ>10 µm)
la méthode d'identification de l'épaisseur optique est moins influencée par les bruits de
mesures et les résultats sont en accord avec les différents cas-tests. L'influence de l'inclinaison
du faisceau est montrée à la Figure (5.48) et les valeurs des propriétés radiatives estimées sont
listées au Tableau (5.5). Une dispersion plus importante des valeurs est observée par rapport à
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
158
celle obtenue pour les laines de verre. On s'attendait à avoir des propriétés radiatives
constantes par rapport à la variation de l'angle d'incidence du fait de la nature isotrope du
matériau. Cependant une mauvaise sensibilité du modèle provoque des erreurs importantes sur
l'identification des propriétés radiatives. La difficulté de l'identification est illustrée aux
Figures (5.49) à (5.53). Sur la Figure (5.49), on observe les transmittances et les réflectances
expérimentales et théoriques obtenues avec une incidence normale du faisceau incident. Les
mesures des transmittances expérimentales sont réalisées jusqu'à un angle de 20°. Au-delà le
signal devient trop faible et il n'est plus détecté par le FTIR. Bien que les valeurs théoriques
soient en bonne concordance avec les valeurs mesurées il demeure un grand intervalle
(90°<θ<20° et 270<θ<340°) où aucune information expérimentale n'est disponible pour
l'estimation de la fonction de phase. Avec l'inclinaison du faisceau les directions de mesure
vers l'avant deviennent encore plus réduites avec un signal très bruité pour les angles θI
supérieurs à 20°. Des mesures ont été effectuées dans les directions relatives à une réflexion
spéculaire. Les courbes correspondantes sont repérées avec un symbole "X".
En conclusion, le fait que les mousses de carbone soient peu diffusantes vers l'avant et ont
une absorption assez importante (par rapport aux laines de verre) rend l'estimation de leurs
propriétés radiatives plus difficile. Dans ce cas, l'estimation de l'épaisseur optique doit être
réalisée par une méthode directe. Avec l'inclinaison du faisceau incident l'énergie disponible
vers l'avant devient encore plus réduite et l'identification encore plus difficile. Une alternative
à envisager est d'utiliser une fonction de phase plus simple, du type de réflexion diffuse par
des sphères opaques (Figure 1.11) afin de réduire le nombre de paramètres à identifier.
159
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
-1
10
Transmission [%]
direction 1
-2
10
-3
10
direction 11
-4
10
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Longueur d'onde λ [µm]
Figure (5.40) : Valeurs de transmission [%] pour les différentes directions de mesure.
-2
10
Réflexion [%]
direction 34
direction 20
-3
10
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Longueur d'onde λ [µm]
Figure (5.41) : Valeurs de réflexion [%] pour les différentes directions de mesure.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
τo inverse - 24 directions
τo directe - 24 directions
τo inverse - 34 directions
τo directe - 178 directions
160
20
Epaisseur optique (τo)
18
16
14
12
10
8
6
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.42) : Epaisseur optique estimée pour l'échantillon de mousse de carbone type 2.
τo inverse - 24 directions
τo directe - 24 directions
τo inverse - 34 directions
τo directe - 178 directions
Coefficient d'extiction [m ]
5000
4000
3000
2000
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.43) : Coefficient d'extinction estimé pour l'échantillon de mousse de carbone type 2.
161
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
τo inverse - 24 directions
τo directe - 24 directions
τo inverse - 34 directions
τo directe - 178 directions
0.9
0.8
Albédo
0.7
0.6
0.5
0.4
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.44) : Albédo estimé pour l'échantillon de mousse de carbone type 2.
τo inverse - 24 directions
τo directe - 24 directions
τo inverse - 34 directions
τo directe - 178 directions
Coefficient d'Henyey-Greenstein (g)
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.45) : Coefficient de Henyey-Greenstein estimé pour l'échantillon de mousse de
carbone type 2.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
162
τo inverse - 24 directions
τo directe - 24 directions
τo inverse - 34 directions
τo directe - 178 directions
Fraction d'asymétrie vers l'avant (f1)
1.001
1.000
0.999
0.998
0.997
0.996
0.995
0.994
0.993
0.992
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.46) : Coefficient d'asymétrie vers l'avant (f1) estimé pour l'échantillon de mousse
de carbone type 2.
τo inverse - 24 directions
τo directe - 24 directions
τo inverse - 34 directions
τo directe - 178 directions
1.0
Fraction d'asymétrie (f2)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.47) : Coefficient d'asymétrie (f2) estimé pour l'échantillon de mousse de carbone
type 2.
163
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
Coefficient d'extinction (λ=11,3 µm)
Coefficient de diffusion (λ=11.3 µm)
Coefficient d'absorption (λ=11,3 µm)
45000
-1
Coefficients [m ]
40000
35000
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Angle d'incidence [degre]
Figure (5.48) : Variation des coefficients avec l'incidence pour l'échantillon de mousse de
carbone type 2.
Tableau (5.5) : Propriétés radiatives estimées pour différentes angles d'incidence
(λ=11,3 µm).
angle
0
10
20
30
40
ω
0,6955
0,6990
0,7934
0,8139
0,6568
g
0,9473
0,9494
0,8227
0,8249
0,9566
f1
0,9969
0,9989
0,9773
0,9877
0,9985
f2
0.6370
0,6308
0,8843
0,8631
0,2823
τo (inverse) τo( directe)
10,500
9,565
10,570
10,547
10,060
10,515
10,320
10,072
8,095
8,970
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
Réflectance
0
10
120
10
110
100
70
60
50
140
-2
10
Transmittances et Réflectances
Transmittance
90 80
130
-1
164
40
30
150
-3
10
160
-4
170
10
180
0
190
350
10
-5
10
20
-4
10
-3
200
10
-2
340
330
210
10
220
-1
10
320
230
0
310
240
10
250
260 270 280
290
300
expérimentale
τo estimée
τo directe
Figure (5.49) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=0° pour une longueur d'onde de λ=11,3 µm.
Réflectance
-1
10
120
110
100
90 80
70
60
130
-2
10
Transmittances et Réflectances
Transmittance
50
140
40
30
150
-3
10
160
20
-4
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
170
10
180
0
190
350
200
340
330
210
220
320
230
-1
10
310
240
250
260 270 280
290
300
expérimentale
estimée
réflectance spéculaire
Figure (5.50) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=10° pour une longueur d'onde de λ=11,3 µm.
165
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
Réflectance
-1
10
120
110
100
70
60
130
-2
10
Transmittances et Réflectances
Transmittance
90 80
50
140
40
30
150
-3
10
160
20
-4
10
-5
10
-4
10
170
10
180
0
190
350
200
-3
10
340
330
210
-2
220
10
320
230
-1
240
10
expérimentale
estimée
réflectance spéculaire
310
250
260 270 280
290
300
Figure (5.51) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour un
angle d'incidence θI=20° pour une longueur d'onde de λ=11,3 µm.
Réflectance
110
-1
10
100
90 80
70
120
60
130
-2
10
Transmittances et Réflectances
Transmittance
50
140
40
30
150
-3
10
160
20
-4
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
170
10
180
0
190
350
200
340
330
210
220
320
230
-1
10
310
240
250
260 270 280
290
300
expérimentale
estimée
réflectance spéculaire
Figure (5.52) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=30° pour une longueur d'onde de λ=11,3 µm.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
Réflectance
-1
10
120
Transmittance
110
100
90 80
70
60
130
50
Transmittances et Réflectances
140
40
30
150
-3
10
20
160
-5
10
-3
10
170
10
180
0
190
350
200
340
330
210
220
320
230
-1
10
166
310
240
250
260 270 280
290
300
expérimentale
estimée
réflectance spéculaire
Figure (5.53) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=40° pour une longueur d'onde de λ=11,3 µm.
167
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
5.5 RESULTATS OBTENUS POUR LA MOUSSE DE CARBONE TYPE 3
La mousse de carbone du type 3 présente une diffusion vers l'avant encore plus réduite que
la mousse de type 2. Elle a un diamètre de pore et une largeur de bâtonnets plus importants.
Les courbes de transmission et de réflexion sont montrées aux Figures (5.54) et (5.55). Les
valeurs des propriétés radiatives estimées par les différentes méthodes sont présentées dans les
Figures (5.56) à (5.61). L'estimation de l'épaisseur optique par méthode inverse s'est avérée
bruitée et l'estimation avec une quadrature de 34 directions à donné des écarts importants par
rapports aux autres. Seule l'estimation de l'épaisseur optique par méthode directe semble avoir
conduit à des résultats corrects.
Sur la Figure (5.62) on observe une certaine difficulté du modèle utilisant la fonction de
phase de Nicolau (1994) à décrire le champ de transmittances et de réflectances pour les
directions comprises entre 10° et 20° autour de la direction normale. En fait, le pic de
diffusion est très pointu vers l'avant et la fonction de phase de Nicolau ne le reproduit pas
correctement. Le facteur d'asymétrie (f2) estimé est petit (nécessaire pour décrire la réflexion)
et de cette façon la fonction de phase est plus isotrope. Avec l'augmentation de l'inclinaison
du faisceau (Figures (5.63) à (5.65)) les écarts deviennent encore plus prononcés.
Pour cet échantillon on a aussi réalisé des comparaisons entre les différents spectromètres
déjà utilisés pour la laine de verre 86 kg/m3. Les écarts entre les mesures de réflexion et de
transmission hémisphérique effectuées avec un spectromètre Biorad FTS45 et celles calculés à
partir des propriétés radiatives estimées dans ce travail restent élevés. Cependant les mesures
de réflexion hémisphérique effectuées avec le spectromètre Perkin Elmer présentent une
excellente concordance avec celles obtenues dans ce travail. Pour la transmission
hémisphérique les écarts relatifs sont plus importants mais le signal mesuré est très faible.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
168
0
10
direction 1
-1
Transmission [%]
10
-2
10
-3
10
direction 11
-4
10
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Longueur d'onde λ [µm]
Figure (5.54) : Valeurs de transmission [%] pour les différentes directions de mesure.
-1
10
direction 34
Réflexion [%]
-2
10
-3
direction 19
10
-4
10
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Longueur d'onde λ [µm]
Figure (5.55) : Valeurs de réflexion [%] pour les différentes directions de mesure.
169
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
τo inverse - 24 directions
τo directe - 24 directions
τo inverse - 34 directions
τo directe - 178 directions
16
Epaisseur optique (τo)
14
12
10
8
6
4
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.56) : Epaisseur optique estimée pour l'échantillon de mousse de carbone type 3.
τo inverse - 24 directions
τo directe - 24 directions
τo inverse - 34 directions
τo directe - 178 directions
-1
Coefficient d'extinction [m ]
2400
2200
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.57) : Coefficient d'extinction estimé pour l'échantillon de mousse de carbone type 3.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
τo inverse - 24 directions
τo directe - 24 directions
τo
τo directe - 178 directions
inverse - 34 directions
170
1.0
0.9
Albédo (ω)
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.58) : Albédo estimé pour l'échantillon de mousse de carbone type 3.
τo inverse - 24 directions
τo directe - 24 directions
τo inverse - 34 directions
τo directe - 178 directions
Coefficient d'Henyey-Greenstein (g)
1.00
0.99
0.98
0.97
0.96
0.95
0.94
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.59) : Coefficient de Henyey-Greenstein estimé pour l'échantillon de mousse de
carbone type 3.
171
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
τo inverse - 24 directions
τo directe - 24 directions
τo inverse - 34 directions
τo directe - 178 directions
Fraction d'asymétrie vers l'avant (f1)
1.000
0.995
0.990
0.985
0.980
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.60) : Coefficient d'asymétrie vers l'avant (f1) estimé pour l'échantillon de mousse
de carbone type 3.
τo inverse - 24 directions
τo directe - 24 directions
τo inverse - 34 directions
τo directe - 178 directions
0.9
Fraction d'asymétrie (f2)
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
1
3
5
7
9
11
Longueur d'onde λ [µm]
13
15
Figure (5.61) : Coefficient d'asymétrie (f2) estimé pour l'échantillon de mousse de carbone
type 3.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
172
valeurs estimées : ω=0,77 ; g=0,97 ; f1=0,99 ; f2=0,63 ; τo inverse= 9,40 (τo directe=8,96)
Réflectance
110
0
10
100
90 80
70
120
60
130
-1
10
50
140
-2
Transmittances et Réflectances
Transmittance
10
40
30
150
-3
160
10
20
-4
10
-5
10
-4
10
-3
170
10
180
0
190
350
200
10
-2
340
330
210
10
220
-1
10
320
230
0
310
240
10
250
260 270 280
290
expérimentale
300
τo estimée
τo directe
Figure (5.62) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=0° pour une longueur d'onde de λ=11,3 µm.
valeurs estimées : ω=0,79 ; g=0,98 ; f1=1,00 ; f2=0,74 ; τo inverse=10,62 (τo directe= 9,34)
Réflectance
Transmittance
110
0
10
100
90 80
70
120
60
130
-1
10
50
140
40
Transmittances et Réflectances
-2
10
30
150
-3
10
20
160
-4
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
170
10
180
0
190
350
200
340
330
210
220
320
230
0
10
310
240
300
250
260 270 280
290
expérimentale
estimée
réflectance spéculaire
Figure (5.63) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=10° pour une longueur d'onde de λ=11,3 µm.
173
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
valeurs estimées : ω=0,89 ; g=0,99 ; f1=1,00 ; f2=0,88 ; τo inverse=18,57 (τo directe= 9,73)
Réflectance
Transmittance
110
-1
Transmittances et Réflectances
-2
-5
10
50
40
30
150
10
-4
60
140
10
10
70
130
10
-3
90 80
120
0
10
100
160
20
170
10
180
0
190
350
-4
10
-3
10
200
340
-2
10
-1
10
330
210
220
320
0
10
230
310
240
300
250
260 270 280
290
expérimentale
estimée
réflectance spéculaire
Figure (5.64) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour
un angle d'incidence θI=20° pour une longueur d'onde de λ=11,3 µm.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
174
Transmission - Sphère intégrante IR
Réflexion
- Sphère intégrante IR
Transmission - τo Directe
Réflexion
- τo Directe
Transmission - Sphère intégrante proche-IR
Réflexion
- Sphère intégrante proche-IR
Transmission et Réflexion hémisphérique
0.1
0.01
1E-3
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
Longueur d'onde [µm]
Figure (5.65) : Valeurs des transmissions et réflexions obtenues pour la mousse de
carbone type 3 avec 3 spectromètres différents.
175
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
5.6 ANALYSE DES ERREURS DE L'ALIGNEMENT OPTIQUE
Des erreurs d'alignement optique du dispositif expérimental peuvent produire des erreurs
sur les propriétés identifiées. Un avantage du type de mesure pratiqué ici est que
l'identification est réalisée à partir des mesures de transmission et de réflexion qui sont des
grandeurs relatives, sans nécessité de recourir à des mesures absolues de flux. Cependant, il a
été vu que le signal détecté pour un échantillon est très faible par rapport au signal incident sur
l'échantillon et que le rapport entre les deux signaux peut donner lieu à des erreurs de linéarité.
Dans le dispositif expérimental utilisé dans ce travail cette source d'erreur a été réduite avec
l'utilisation d'un détecteur linéarisé. D'autres paramètres comme un mauvais positionnement
du détecteur, où une erreur sur l'inclinaison du porte-échantillon sont également des sources
d'erreurs.
L'erreur de positionnement du détecteur est estimée inférieure à 4 mm et l'erreur
d'alignement du porte-échantillon inférieure à 2° par rapport à la direction du faisceau
incident.
5.6.1 INFLUENCE DU POSITIONNEMENT DU DETECTEUR
Comme il a été montré au chapitre 4, un positionnement précis du détecteur par rapport au
miroir MS4 est assez difficile à réaliser. Afin d'évaluer cette influence, des mesures ont été
effectuées en déplaçant le détecteur d'une distance connue et observant les erreurs obtenues
sur la méthode d'identification. L'échantillon considéré pour cette analyse est la fibre de verre
C3-CRIR et les mesures sont réalisées en condition de symétrie azimutale. A la réalisation de
l'alignement optique, le détecteur est placé sur l'image de la source à une distance d'environ
160 mm du miroir MS4. Une platine de translation installée sous ce détecteur permet de
l'approcher (sens positif) où de l'éloigner (sens négatif) du miroir MS4. Les mesures de
transmission et de réflexion sont réalisées pour 6 positions différentes du détecteur et l'on
notera qu'à chaque déplacement du détecteur la courbe de base doit être refaite.
Les propriétés radiatives identifiées sont présentées à la Figure (5.66) et les écarts observés
sont relativement faibles. Seul un écart un peu plus prononcé a été trouvé pour le coefficient
d'Henyey-Greenstein et pour le facteur d'asymétrie vers l'avant (f1) avec le détecteur placé à la
position +2 mm. Il est clair que les écarts entre les courbes sont également dus au bruit des
mesures.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
0mm
-2mm
+2mm
-4mm
11
+4mm
-6mm
0mm
-2mm
+2mm
-4mm
+4mm
-6mm
1.0
-6
10
Epaisseur optique
176
0.9
9
Albédo (ω)
+4
8
7
6
0.8
0.7
0.6
5
0.5
4
3
5
7
9 11 13
Longueur d'onde λ [µm]
0mm
-2mm
+2mm
-4mm
15
1
0.9
0.8
+2
0.7
3
5
7
9 11 13
Longueur d'onde λ [µm]
5
7
9 11 13
Longueur d'onde λ [µm]
0mm
-2mm
1.0
1
3
+4mm
-6mm
Fraction d'asymétrie vers l'avant (f1)
Coefficient d'Henyey-Greenstein (g)
1
+4mm
-6mm
1.000
0.995
0.990
0.985
0.980
0.975
+2
0.970
0.965
0.960
1
15
0mm
-2mm
+2mm
-4mm
15
+2mm
-4mm
3
5
7
9 11 13
Longueur d'onde λ [µm]
15
+4mm
-6mm
Fraction d'asymétrie (f2)
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
1
3
5
7
9 11 13
Longueur d'onde λ [µm]
15
Figure (5.66) : Influence du positionnement du détecteur sur l'identification des propriétés
radiatives pour l'échantillon C3-CRIR.
177
CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX
5.6.2 INFLUENCE D'ALIGNEMENT DU PORTE-ECHANTILLON
Le porte-échantillon doit être placé normalement à l'incidence du faisceau pour les mesures
en condition de symétrie azimutale. L'alignement du porte-échantillon est réalisé à l'aide du
laser extérieur, qui matérialise le trajet optique du faisceau infrarouge, et d'un miroir plan
remplaçant l'échantillon. Le porte-échantillon (Figure 4.5) doit être aligné de façon à obtenir
un retour, par réflexion du faisceau laser, sur son point d'émission. Quelques erreurs
d'inclinaison seront toujours présentes dues, soit à un mauvaise alignement par rapport au
faisceau infrarouge, soit à une différence de parallélisme entre la surface de l'échantillon et
celle du miroir. A fin de déterminer les erreurs résultantes sur l'identification des propriétés
radiatives, des mesures ont été réalisées en inclinant le porte échantillon à des angles connus
(entre -10° et +10°). Les angles positifs correspondent à une rotation horaire du porteéchantillon et les angles négatifs correspondent à une rotation dans le sens inverse.
La Figure (5.67) montre les propriétés radiatives estimées aux différents angles pour
l'échantillon C3-CRIR. Il faut remarquer qu'une inclinaison θI=0° correspond à la position
d'alignement mais elle peut ne pas être la position réelle pour une incidence normale du
faisceau incident. Les écarts obtenus sont relativement faibles jusqu'à une inclinaison de +/-5°.
Avec une inclinaison de +/-10° les erreurs sont surtout plus importantes pour les coefficients
de la fonction de phase.
5.7 CONCLUSION
Une identification des propriétés radiatives en considérant une condition de non-symétrie
azimutale du champ de luminance a été réalisée pour deux types de matériaux fibreux et deux
mousses de carbone. Le modèle d'identification a permis de calculer l'épaisseur optique,
l'albédo et les trois paramètres de la fonction de phase de Nicolau (1994). Les résultats sont en
bon accord pour les fibres de verre pour lesquelles un albédo proche de l'unité permet d'avoir
d'avantage d'énergie détectée. La fonction de phase de Nicolau se montre bien adaptée pour
représenter la diffusion des fibres. Pour des incidences variables seuls de légers écarts sont
observés entre les transmittances expérimentales et théoriques, écarts probablement dus à une
non-symétrie azimutale de la fonction de phase. Bien que le modèle permette le calcul d'un
champ de luminance sans symétrie azimutale, la fonction de phase demeure, elle, définie sur
une hypothèse d'une symétrie azimutale.
L'identification de l'épaisseur optique par méthode inverse permet d'obtenir des valeurs de
transmittances théoriques et expérimentales plus concordantes. Cependant, l'identification de
l'épaisseur optique pour les mousses a présenté des erreurs importantes. Un signal trop faible
pour les transmittances et un nombre de conditionnement élevé ne permettent pas l'estimation
de ce paramètre pour toutes les longueurs d'onde explorées. Il faut envisager d'utiliser une
fonction de phase encore plus simple pour l'estimation pour la réduction du nombre de
paramètres à estimer. Cependant, ces échantillons ont permis de voir les limites du modèle
d'identification.
Des mesures réalisées avec trois différents spectromètres montrent que les écarts dus au
dispositif expérimental utilisé peuvent être importantes et un effort pour bien définir les
mesures quantitatives fournies par ces appareils doit être réalisé.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
θ I= 0°
θ I= -1°
θ I= +1°
θ I= -5°
θ I= +5°
θ I= -10°
θ I= +10°
1.0
12
11
0.9
10
0.8
9
Albédo
Epaisseur optique
178
8
7
0.7
6
0.6
5
0.5
4
1
3
5
7
9 11 13
Longueur d'onde λ [µm]
θ I= 0°
θ I= -1°
θ I= +1°
θ I= +5°
1.0
0.9
0.8
0.7
1
3
5
7
9 11 13
Longueur d'onde λ [µm]
θ I= -10°
1
θ I= +5°
3
5 7 9 11 13 15 17
Longueur d'onde λ [µm]
θ I= -5°
θ I= -10°
θ I= +10°
Fraction d'asymétrie (f2)
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
1
3
15
1.000
0.995
0.990
0.985
0.980
0.975
0.970
0.965
0.960
0.955
0.950
θ I= -1°
θ I= +1°
5
7
9 11 13
Longueur d'onde λ [µm]
θ I= +10°
15
θ I= 0°
3
θ I= -5°
Fraction d'asymétrie vers l'avant (f1)
Coefficient d'Henyey-Greenstein (g)
1
15
5
7
9 11 13
Longueur d'onde λ [µm]
15
Figure (5.67) : Influence d'inclinaison du porte-échantillon sur l'identification des
propriétés radiatives pour l'échantillon C3-CRIR.
179
CONCLUSION
&21&/86,21(73(563(&7,9(6
Une étude menée sur la méthode des ordonnées discrètes a permis de caractériser les
erreurs inhérentes à l'utilisation des divers types de quadratures et schémas d'interpolation.
Cette étude a démontré que, pour le calcul du flux radiatif, les quadratures qui respectent le
demi-moment du rayonnement donnent des résultats beaucoup plus précis qui celles qui
respectent uniquement le moment total du rayonnement. Par rapport aux schémas
d'interpolation linéaire, le schéma diamant est celui qui a donné les meilleurs résultats en
termes de convergence par rapport aux autres schémas analysés ("step", exponentiel et
intégral). Son inconvénient est qu'il peut donner des oscillations sur le champ de luminance,
surtout pour les directions proches de µ=0, si un nombre minimum de volumes de contrôle
n'est pas utilisé. La linéarisation du terme source, présentée par Chai et al. (1994) pour des
calculs en géométrie bidimensionnelle, donne d'excellents résultats en termes de réduction du
nombre d'itérations quand elle est appliquée à une configuration monodimensionnelle.
Le développement d'un modèle de solution de l'équation de transfert radiatif en condition
de non-symétrie azimutale a apporté de nouvelles possibilités à l'identification des propriétés
radiatives des matériaux semi-transparents. De plus le modèle développé en ordonnées
discrètes appliqué à un volume de contrôle a permis l'analyse de diverses stratégies
expérimentales. En fait, la réussite d'un modèle d'identification est liée a différents paramètres.
Les principaux sont les valeurs des propriétés radiatives, la forme d'incidence du rayonnement
sur l'échantillon, la forme des mesures du rayonnement diffusé par l'échantillon et le nombre
de directions de mesure explorées.
Des mesures ont été réalisées sur des matériaux fibreux et des mousses. Les fibres sont
constituées par des cylindres en verre disposés selon des plans parallèles aux frontières de
l'échantillon. Cette disposition non isotrope provoque une variation des propriétés radiatives
en fonction de l'angle d'incidence. Une étude fondée sur la solution des équations de Maxwell
a été réalisée par Lee (1989, 1996) et Boulet (1992) sur ces matériaux. Les résultats
expérimentaux obtenus sont en bon accord avec leurs calculs.
Bien que le modèle développé soit basé sur l'hypothèse de non-symétrie azimutale du
champ de luminance, la fonction de phase utilisée présente une symétrie azimutale et des
différences réduites, mais toujours présentes, entre les mesures et valeurs théoriques sont
observées. Un autre problème lié à la fonction de phase, telle qu'elle est utilisée dans ce
travail, est qu'elle ne permet d'avoir qu'un pic de rétrodiffusion dans la direction opposée à
l'incidence du faisceau et, comme cela a été montré par Boulet (1992), le pic de rétrodiffusion
pour ces types de matériaux présente un comportement spéculaire. C'est-à-dire que le pic
apparaît dans une direction faisant un angle égal à celui d'incidence du faisceau par rapport à
la normale à la surface de l'échantillon.
L'élaboration d'un nouveau dispositif goniométrique a conduit à un montage expérimental
plus précis, avec plusieurs degré de liberté sur ses composants, permettant un meilleur
alignement. Cependant, du fait de la nécessité d'utilisation de ce dispositif dans une autre
configuration expérimentale (Dembélé, 1998) ses dimensions sont plus importantes que celles
du goniomètre utilisé antérieurement par Uny (1986), Nicolau (1994) et Doermann (1995). Le
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale
180
fait d'avoir un goniomètre de plus grandes dimensions induit la nécessité d'un compartiment
en plexiglas également plus grand, ce qui augmente le temps de purge du système.
Une vigilance particulière doit être observée lorsqu'il s'agit d'utiliser des valeurs des
propriétés radiatives identifiées dans des modèles autres que ceux à partir desquels ces
propriétés ont été identifiées. Parfois, les corrections sont possibles pour l'utilisation des
propriétés radiatives obtenues à partir de modèles plus précis dans des modèles plus
simplifiés, comme c'est le cas du modèle à deux-flux. Les calculs de ces facteurs correctifs ont
été développés pour les fonctions de phase du type Delta. Le pic de diffusion vers l'avant est
considéré comme une transmission de rayonnement dans cette même direction et les
paramètres radiatifs doivent être corrigés. Houston et Korpela (1982) ont montré que les
variations obtenues sur les paramètres radiatifs avec ces facteurs de correction peuvent être de
l'ordre de 100% et plus.
Concernant quelques suggestions relatives à la poursuite de recherches dans le domaine
d'identification des propriétés radiatives, on peut lister les points suivants :
•
Une analyse numérique fondée sur un modèle bidimensionnel (2-D) en géométrie
cylindrique pourrait être menée afin de prendre en compte la non-uniformité du faisceau
incident sur l'échantillon pour une identification avec le présent modèle, en situation
unidimensionnelle (1-D). Cependant une estimation des propriétés basée sur un modèle
2-D rendra le code de calcul extrêmement lent. Une autre difficulté est la nécessité de
réalisation de mesures en situation bidimensionnelle au cas où l'on utilise un modèle 2D. L'énergie disponible pour les mesures en condition 1-D est déjà très faible et les
mesures en condition 2-D doivent être effectuées sur des zones discrètes de la surface de
l'échantillon.
•
Au chapitre 3 différentes stratégies ont été analysées en se basant sur le nombre de
conditionnement. Bien que cette analyse nous ait déjà donné une idée des performances
de chaque montage expérimental, une étude sur l'identification des propriétés radiatives
à partir de valeurs bruitées des signaux calculés de façon théorique, pour chaque modèle
pourrait être envisagée.
•
En ce qui concerne le dispositif expérimental un effort doit être réalisé par rapport à
deux points principaux. Le premier concerne la source de rayonnement du dispositif
spectrométrique Biorad FTS-60A. Cette source est constituée d'un filament en
céramique en forme de trois spirales. Cette construction provoque des uniformités au
niveau du faisceau infrarouge. Une solution possible serait l'utilisation d'une source
céramique en forme de rectangle. Mais l'élaboration d'une telle source obligera son
installation en dehors du spectromètre avec l'addition d'une optique supplémentaire. La
purge de l'ensemble sera aussi un point à résoudre. La deuxième considération
expérimentale est en rapport avec la qualité des mesures quantitatives obtenues avec ce
spectromètre. Bien que les mesures de transmission et de réflexion soint relatives, les
erreurs de linéarité sont toujours présentes. Une procédure d'étalonnage du détecteur
avec des radiomètres de référence devrait être envisagée.
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
181
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MOURA, L.M., BAILLIS, D., SACADURA, J.F.
Identification of thermal radiation properties of dispersed media: comparison of different
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11th International Heat Transfer Conference, Kyongju, Korea, 23-28 August, 1998.
(Accepted)
MOURA, L.M., LOPES, R., BAILLIS, D., SACADURA, J.F.
Parameter identification for packed spheres systems: solid hemispherical spectral reflectivity
LATCYM 98 - VII Latin American Congress of Heat and Mass Transfer, Salta, Argentine, 5-8
Octobre, 1998. (Accepted)
LOPES, R., MOURA, L.M., DELMAS, A., SACADURA, J.F.
Directional spectral emittance of ceramic material: theoretical prediction compared to
experimental data.
7th AIAA/ASME Joint Thermophysics and Heat Transfer Conference, June 15-18 1998,
Albuquerque, New Mexico, USA. (Accepted)
LOPES, R., MOURA, L.M., DELMAS, A., SACADURA, J.F.
Prediction of directional spectral emittance of ceramic at high temperature: impurities
influence.
High Temperature High Pressure. (On press)
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
197
LOPES, R., MOURA, L.M., BAILLIS, D., SACADURA, J.F.
Directional spectral emissivity of a packed bed: correlation of theoretical prediction and
experimental data.
1998 ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition, November 1520, 1998, Anaheim, California, USA. (Accepted)
MOURA, L.M, BAILLIS, D., SACADURA, J.F.
Analysis of the discrete ordinate method: angular discretization.
14th Brazilian Congress of Mechanical Engineering, December 8-12th 1997, COB1425,
Bauru, Brazil.
LOPES, R., MOURA, L.M, DELMAS, A., SACADURA, J.F.
Prediction of directional spectral emittance of an absorbing and scattering ceramic material at
high temperature.
14th Brazilian Congress of Mechanical Engineering, December 8-12th 1997, COB1427,
Bauru, Brazil.
MOURA, L.M, DA SILVA, S., SACADURA, J.F., LAURENT, M.
Comparação entre dois métodos de ordenadas discretas aplicados à forma integral da equação
de transferência radiativa.
6° ENCIT/LATCYM, Nov. 1996, Florianópolis, Brasil, 1667-1672
DA SILVA, Z., DEMBELE, S., LOPES, R., MOURA, L.M.
Etude des transferts de chaleur para rayonnement dans les milieux semi-transparents.
2° Colloque des doctorants de l'INSA. 4 Avril 1996, INSA, Villeurbanne, France
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
198
A.1 SOLUTION DE L’ETR SANS SYMETRIE AZIMUTALE PAR DEVELOPPEMENT EN
SERIE
Si la diffusion est anisotrope le champ diffus ne présente plus une symétrie azimutale.
Chandresankar (1960) et Özisik (1973) proposent la décomposition du champ de luminance
L(τ,µ,φ) en termes de série de Fourier en sinus et en cosinus autour de la variable φ :
L(τ , µ ,φ ) =
∞
∞
∑ L (τ , µ ) cos k (φ − φo ) + ∑ Lk (τ , µ ) sin k (φ − φo )
k
k =0
(A1.1)
k =0
L’équation du transfert radiatif (1.7) est écrite de façon à prendre en compte le faisceau
incident, L(θI,φo) comme condition limite. Si l'on élimine le terme d’émission du milieu (le
dispositif expérimental ne détecte pas le faisceau émis par le milieu - la détection est
synchrone), on peut écrire l’équation (1.7) sous la forme :
&
&
& &
&
dL τ ,Ω
ω
p Ω', Ω L τ ,Ω dΩ'
µ
+ L τ ,Ω =
dτ
4 π Ω '= 4 π
( )
( )
∫ (
) ( )
(A1.2)
avec les conditions aux limites :
L(τ , µ , φ) τ = 0 = F1 ( µ , φ) ; µ > 0
L(τ , µ , φ) τ = τ = 0
0
(A1.3)
; µ<0
Si l'on veut prendre en compte le terme d’émission, on peut utiliser une superposition de
solutions. F1(µ,φ) est le champ de luminance incident. Il peut être décomposé en une partie
collimatée et une autre diffuse, à l'aide de la fonction delta :
F1 (µ, φ) = Lo δ(µ − µ I ) δ(φ − φ o ) + Fd ( µ, φ)
(A1.4)
Le faisceau collimaté arrive d’une direction (µI,φ0), avec µI>0, φo ∈ [0,2π] et a une
luminance Lo. La distribution du champ de luminance diffus est représentée par Fd pour µ>0 et
φ ∈ [0,2π].
Le faisceau collimaté à travers le milieu va être, soit diffusé, soit absorbé. On peut
décomposer le champ de luminance en une composante collimatée (Lc) et une autre diffuse
(Ld) :
L( τ, µ , φ) = L c ( τ, µ , φ) + Ld ( τ, µ , φ)
(A1.5)
Le champ de luminance collimaté est réduit à une équation différentielle homogène :
µ
∂L c ( τ, µ , φ)
+ L c ( τ , µ , φ) = 0
∂τ
0 ≤ τ ≤ τo ; − 1 ≤ µ ≤ 1
(A1.6)
199
ANNEXE A1 : Solution de l’ETR sans symétrie azimutale par développement en série
avec les conditions limites :
Lc (τ , µ , φ) τ= 0 = F1 ( µ , φ) ; µ > 0
Lc (τ , µ , φ) τ= τ = 0
(A1.7)
; µ<0
0
et la solution est :
L+ c (τ, µ , φ) = F1 (µ , φ) e − τ µ
; µ>0
L− c (τ , µ , φ) = 0
; µ<0
(A1.8)
Le champ de luminance diffus est calculé avec l’équation suivante :
∂L d (τ, µ , φ)
ω
p µ F (µ ', φ') e − τ µ dµ ' dφ'
µ
+ L d (τ , µ , φ ) =
4 π φ= 0 µ =−1 p 1
∂τ
2π
1
∫ ∫ ( )
2π
1
ω
p µ L (τ, µ ', φ')dµ ' dφ'
+
4 π φ = 0 µ =−1 p d
∫ ∫ ( )
(A1.9)
0 ≤ τ ≤ τo ; − 1 ≤ µ ≤ 1
µ p = µµ ' + 1 − µ 2 1− µ ' 2 cos(φ − φ ')
Les conditions aux limites établissant l’absence de rayonnement diffus incident sur les
deux faces de l’échantillon sont les suivantes :
L d (τ, µ , φ) τ = 0 = 0 ; µ > 0
(A1.10)
L d (τ, µ , φ) τ = τ = 0 ; µ < 0
o
Le faisceau incident participe comme terme source de l’équation du champ diffus.
Comme la condition limite de diffusion Ld(µ,φ) n’existe pas dans la méthode
expérimentale, on peut l’éliminer des équations (A1.6) à (A1.10) et la solution pour le champ
collimaté devient alors :
L+ c (0, µ , φ)
τ=0
= L o δ(µ − µ I )δ(φ − φ o ) e − τ µ
L+ c (τ, µ , φ) τ = 0 = 0
L− c (τ, µ , φ) τ = τ = 0
o
et le champ diffus :
; µ = µo
; µ > 0 ∧ µ ≠ µo
; µ<0
(A1.11)
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
200
∂L d (τ , µ , φ)
ω
p µ L (τ , µ ', φ')dµ ' dφ'
+ L d (τ, µ , φ) =
µ
4 π φ= 0 µ =−1 p d
∂τ
2π
1
∫ ∫ ( )
+
ω
L p(µ , µ I , φ, φ o )e − τ µ I
4π o
(A1.12)
L’équation (A1.1) devient :
L(τ , µ , φ) =
K
∑ L (τ, µ) cos k (φ − φ )
k
(A1.13)
o
k =0
avec K+1 équations pour chaque composante Lk(τ,µ). La fonction de phase peut être aussi
écrite sous la forme d’une série de Fourier (Godsalve, 1994) :
( ) ∑ p (µ, µ')cos k (φ − φ')
K
p µp =
k
(A1.14)
k =0
ce qui donne pour l’équation (A1.12) :
 ∂Lk d (τ , µ )

ω
cos k (φ − φ o )µ
L o p(µ , µ I , φ, φ o )e − τ µ I
+ Lk d (τ, µ ) =
∂τ
k =0

 4π
K
∑
2π
1
K
ω
p k (µ , µ' ) cos k (φ − φ') Lk d (τ, µ ') cos k (φ' − φ o ) dµ ' dφ'
+
4 π φ= 0 µ =−1 k =0
∫ ∫ ∑[
]
(A1.15)
en réécrivant :
 ∂Lk d (τ, µ ) k
 ω
k
cos (φ − φ o )µ
L o p(µ , µ I , φ, φ o )e − τ µ I
+ L d (τ, µ ) =
∂τ
k =0

 4π
K
∑
2π
1
K
ω
cos k (φ − φ') cos k (φ' − φ o ) dφ' p k (µ ,µ' ) Lk d (τ , µ ') dµ '
+
4 π φ=0 k =0
µ =−1
∫ ∑[
] ∫
(A1.16)
d’après Özisik (1973), page 308 :
∫
2π
φ=0
où
1
δ 0k = 
0
pour k = 0
pour k ≠ 0
ce qui donne :
[
]
cos k (φ − φ') cos k (φ'− φ o ) dφ' = π δ 0k + cos k (φ − φ o )
(A1.17)
201
ANNEXE A1 : Solution de l’ETR sans symétrie azimutale par développement en série
 ∂Lk d ( τ, µ ) k
 ω
cos k (φ − φ o )µ
+ L d ( τ, µ ) =
L o p(µ , µ I , φ, φ o )e − τ µ I
∂τ

 4 π
k =0
K
∑
1
∑ [
]∫
ω
+
δ ok + cos k (φ − φ o ) p k (µ ,µ' ) Lk d ( τ , µ ') dµ '
4
k =0
µ =−1
K
(A1.18)
l’équation ci-dessus peut être séparée en une série d’équations fonction de Lk(τ,µ) à cause de
l’indépendance linéaire de cos k(φ-φo).On obtient donc :
∂Lk d (τ, µ ) k
ω
µ
+ L d (τ , µ ) =
L p(µ , µ I , φ, φ o )e − τ µ I +
∂τ
4π o
1
ω
[δ + 1] p k (µ ,µ' ) Lk d (τ, µ')dµ'
4 ok
µ =−1
∫
les luminances peuvent être obtenues à partir de Lk par la relation suivante :
L d (τ, µ , φ) =
où k=0,1, ... , K.
K
∑ L (τ, µ)cos k (φ − φ )
k
d
k =0
o
(A1.19)
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en condition de non-symétrie azimutale du champ radiatif
A.2 DIFFERENTS TYPES DE QUADRATURES
Tableau A2.1 : Quadrature de Gauss (Abramowitz and Stegun, I.A., 1972).
Quadrature
G2
G4
G6
G8
G10
G12
±µj
.577350269189626
.339981043584856
.861136311594053
.238619186083197
.661209386466265
.932469514203152
.183434642495650
.525532409916329
.796666477413627
.960289856497536
.148874338981631
.433395394129247
.679409568299024
.865063366688984
.973906528517171
.125233408511469
.367831498998180
.587317954286617
.769902674194305
.904117256370475
.981560634246719
wj
1.000000000000000
.652145154862546
.347854845137454
.467913934572691
.360761573048138
.171324492379171
.362683783378362
.313706645877887
.222381034453374
.101228536290376
.295524224714753
.269266719309995
.219086362515982
.149451349150581
.066671344308689
.249147045813403
.233492536538354
.203167426723065
.160078328543347
.106939325995318
.047175336386512
202
203
ANNEXE A2 : Différents types de quadratures
Tableau A2.2 : Quadrature de Fiveland (Fiveland, 1985).
Quadrature
F2
F4
F6
F8
F10
F12
±µj
.500000
.21132490
.78867511
.14644626
.49999980
.85355386
.10267238
.40620470
.59379534
.89732742
.08375152
.31272730
.50000362
.68726825
.91624917
.06687722
.36669356
.28873171
.71126604
.63330817
.93312301
wj
1.
1/2
1/2
1/3
1/3
1/3
1/4
1/4
1/4
1/4
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Tableau A2.3 : Quadrature de Gauss projetée.
Quadrature
GP2
GP4
GP6
GP8
GP10
GP12
±µj
.500000000000000
.211324865405187
.788675134594813
.112701665379258
.500000000000000
.887298334620742
.069431844202974
.330009478207572
.669990521792428
.930568155797026
.046910077030668
.230765344947159
.500000000000000
.769234655052842
.953089922969332
.033765242898424
.169395306766868
.380690406958402
.619309593041598
.830604693233132
.966234757101576
wj
1.000000000000000
.500000000000000
.500000000000000
.277777777777778
.444444444444444
.277777777777778
.173927422568727
.326072577431273
.326072577431273
.173927422568727
.118463442528094
.239314335249683
.284444444444444
.239314335249683
.118463442528094
.085662246189585
.180380786524069
.233956967286346
.233956967286346
.180380786524069
.085662246189585
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en condition de non-symétrie azimutale du champ radiatif
Tableau A2.4 : Quadrature de Radau (Abramowitz and Stegun, I.A., 1972).
Quadrature
R2
R4
R6
R8
R10
R12
±µj
1.000000000000000
.447213595499958
1.000000000000000
.285231516480645
.765055323929465
1.000000000000000
.209299217902479
.591700181433142
.871740148509607
1.000000000000000
.165278957666387
.477924949810444
.738773865105505
.919533908166459
1.000000000000000
.136552932854928
.399530940965349
.632876153031861
.819279321644007
.944899272222882
1.000000000000000
wj
1.000000000000000
.833333333333333
.166666666666667
.554858377035487
.378474956297847
.066666666666667
.412458794658703
.341122692483505
.210704227143505
.035714285714286
.327539761183898
.292042683679685
.224889342063125
.133305990851070
.022222222222222
.271405240910696
.251275603199201
.212508417761021
.157974705564370
.091684517413196
.015151515151515
Tableau A2.5 : Quadrature de Radau Projetée.
Quadrature
RP2
RP4
RP6
RP8
RP10
RP12
±µj
1.000000000000000
.333333333333333
1.000000000000000
.155051025721682
.644948974278318
1.000000000000000
.088587959512704
.409466864440735
.787659461760847
1.000000000000000
.057104196114518
.276843013638124
.583590432368917
.860240135656219
1.000000000000000
.039809857051469
.198013417873608
.437974810247386
.695464273353636
.901464914201174
1.000000000000000
wj
1.000000000000000
.750000000000000
.250000000000000
.376403062700468
.512485826188422
.111111111111111
.220462211176768
.388193468843172
.328844319980060
.062500000000000
.143713560791226
.281356015149462
.311826522975741
.223103901083571
.040000000000000
.100794192626741
.208450667155954
.260463391594787
.242693594234485
.159820376610255
.027777777777778
204
205
ANNEXE A2 : Différents types de quadratures
Tableau A2.6 : Directions et poids de la quadrature (Nicolau, 1994).
Nombre
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
Direction
1.000000000000000
9.979537419492756E-001
9.933570437277633E-001
9.853906565671194E-001
9.745532308208386E-001
9.615254804006200E-001
9.471259249878312E-001
9.151727781828069E-001
8.128936621898530E-001
6.384361578219329E-001
4.072584537458540E-001
1.398961177654189E-001
-1.398961177654189E-001
-4.072584537458540E-001
-6.384361578219329E-001
-8.128936621898530E-001
-9.151727781828069E-001
-9.471259249878312E-001
-9.615254804006200E-001
-9.745532308208386E-001
-9.853906565671194E-001
-9.933570437277633E-001
-9.979537419492756E-001
-1.000000000000000
Pondération
9.517784181422018E-004
2.800120433972411E-003
6.347447943166013E-003
9.501545365101708E-003
1.205912467531457E-002
1.385908978760419E-002
1.478827259079047E-002
6.265057026475118E-002
1.404383299632994E-001
2.058738381710948E-001
2.530279491588329E-001
2.777019332279304E-001
2.777019332279304E-001
2.530279491588329E-001
2.058738381710948E-001
1.404383299632994E-001
6.265057026475118E-002
1.478827259079047E-002
1.385908978760419E-002
1.205912467531457E-002
9.501545365101708E-003
6.347447943166013E-003
2.800120433972411E-003
9.517784181422018E-004
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en condition de non-symétrie azimutale du champ radiatif
206
Tableau A2.7 : Directions et poids de la quadrature appliqués à une luminance variable
dans l'angle solide (θo=1,27°) - corrections des demi-moments 0, 1, 2 et 3.
Nombre
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
θi
0.000
0.399
0.701
0.952
1.137
1.244
2.981
6.282
9.621
12.847
15.891
18.699
23.770
35.620
50.325
65.967
81.958
98.042
114.033
129.675
144.380
156.230
161.301
164.109
167.153
170.379
173.718
177.019
178.756
178.863
179.048
179.299
179.601
180.000
θi+1-θi
0.399
0.302
0.251
0.185
0.107
1.737
3.301
3.339
3.226
3.044
2.808
5.070
11.851
14.704
15.643
15.991
16.084
15.991
15.643
14.704
11.851
5.070
2.808
3.044
3.226
3.339
3.301
1.737
0.107
0.185
0.251
0.302
0.399
Direction (µ)
1.00000000
0.99997579
0.99992519
0.99986194
0.99980299
0.99976413
0.99864685
0.99399547
0.98593431
0.97496795
0.96178522
0.94721436
0.91517278
0.81289366
0.63843616
0.40725845
0.13989612
-0.13989612
-0.40725845
-0.63843616
-0.81289366
-0.91517278
-0.94721436
-0.96178522
-0.97496795
-0.98593431
-0.99399547
-0.99864685
-0.99976413
-0.99980299
-0.99986194
-0.99992519
-0.99997579
-1.00000000
Pondération
0.00000682
0.00003926
0.00005962
0.00006398
0.00005121
0.00002476
0.00283343
0.00642296
0.00961458
0.01220259
0.01402397
0.01496420
0.06265057
0.14043833
0.20587384
0.25302795
0.27770193
0.27770193
0.25302795
0.20587384
0.14043833
0.06265057
0.01496420
0.01402397
0.01220259
0.00961458
0.00642296
0.00283343
0.00002476
0.00005121
0.00006398
0.00005962
0.00003926
0.00000682
207
ANNEXE A2 : Différents types de quadratures
Tableau A2.8 : Directions et poids de la quadrature N24-C8 (θo=1,27°).
indice
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
θ
0
3.666
3.666
3.666
3.666
3.666
3.666
3.666
3.666
6.608
6.608
6.608
6.608
6.608
6.608
6.608
6.608
9.806
9.806
9.806
9.806
9.806
9.806
9.806
9.806
12.953
12.953
12.953
12.953
12.953
12.953
12.953
12.953
15.945
15.945
15.945
15.945
15.945
15.945
15.945
15.945
18.715
18.715
µ
1.00000000
0.99795374
0.99795374
0.99795374
0.99795374
0.99795374
0.99795374
0.99795374
0.99795374
0.99335704
0.99335704
0.99335704
0.99335704
0.99335704
0.99335704
0.99335704
0.99335704
0.98539066
0.98539066
0.98539066
0.98539066
0.98539066
0.98539066
0.98539066
0.98539066
0.97455323
0.97455323
0.97455323
0.97455323
0.97455323
0.97455323
0.97455323
0.97455323
0.96152548
0.96152548
0.96152548
0.96152548
0.96152548
0.96152548
0.96152548
0.96152548
0.94712593
0.94712593
η
0.00000000
0.00000000
0.02774254
0.04999034
0.06233693
0.06233693
0.04999034
0.02774254
0.00000000
0.00000000
0.04992828
0.08996765
0.11218783
0.11218783
0.08996765
0.04992828
0.00000000
0.00000000
0.07389443
0.13315316
0.16603928
0.16603928
0.13315316
0.07389443
0.00000000
0.00000000
0.09725773
0.17525237
0.21853613
0.21853613
0.17525237
0.09725773
0.00000000
0.00000000
0.11919470
0.21478143
0.26782807
0.26782807
0.21478143
0.11919470
0.00000000
0.00000000
0.13921684
ξ
0.00000000
0.06394004
0.05760799
0.03986596
0.01422800
-0.01422800
-0.03986596
-0.05760799
-0.06394004
0.11507295
0.10367714
0.07174681
0.02560614
-0.02560614
-0.07174681
-0.10367714
-0.11507295
0.17030929
0.15344337
0.10618610
0.03789738
-0.03789738
-0.10618610
-0.15344337
-0.17030929
0.22415620
0.20195775
0.13975910
0.04987945
-0.04987945
-0.13975910
-0.20195775
-0.22415620
0.27471576
0.24751035
0.17128248
0.06113001
-0.06113001
-0.17128248
-0.24751035
-0.27471576
0.32086209
0.28908676
w
0.00095178
0.00023589
0.00023589
0.00023589
0.00023589
0.00023589
0.00023589
0.00023589
0.00023589
0.00053472
0.00053472
0.00053472
0.00053472
0.00053472
0.00053472
0.00053472
0.00053472
0.00080042
0.00080042
0.00080042
0.00080042
0.00080042
0.00080042
0.00080042
0.00080042
0.00101587
0.00101587
0.00101587
0.00101587
0.00101587
0.00101587
0.00101587
0.00101587
0.00116751
0.00116751
0.00116751
0.00116751
0.00116751
0.00116751
0.00116751
0.00116751
0.00124578
0.00124578
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en condition de non-symétrie azimutale du champ radiatif
indice
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
θ
18.715
18.715
18.715
18.715
18.715
18.715
23.77
23.77
23.77
23.77
23.77
23.77
23.77
23.77
35.62
35.62
35.62
35.62
35.62
35.62
35.62
35.62
50.325
50.325
50.325
50.325
50.325
50.325
50.325
50.325
65.967
65.967
65.967
65.967
65.967
65.967
65.967
65.967
81.958
81.958
81.958
81.958
81.958
81.958
81.958
81.958
µ
0.94712593
0.94712593
0.94712593
0.94712593
0.94712593
0.94712593
0.91517278
0.91517278
0.91517278
0.91517278
0.91517278
0.91517278
0.91517278
0.91517278
0.81289366
0.81289366
0.81289366
0.81289366
0.81289366
0.81289366
0.81289366
0.81289366
0.63843616
0.63843616
0.63843616
0.63843616
0.63843616
0.63843616
0.63843616
0.63843616
0.40725845
0.40725845
0.40725845
0.40725845
0.40725845
0.40725845
0.40725845
0.40725845
0.13989612
0.13989612
0.13989612
0.13989612
0.13989612
0.13989612
0.13989612
0.13989612
η
0.25086009
0.31281741
0.31281741
0.25086009
0.13921684
0.00000000
0.00000000
0.17488195
0.31512638
0.39295616
0.39295616
0.31512638
0.17488195
0.00000000
0.00000000
0.25269915
0.45534814
0.56780985
0.56780985
0.45534814
0.25269915
0.00000000
0.00000000
0.33394937
0.60175598
0.75037743
0.75037743
0.60175598
0.33394937
0.00000000
0.00000000
0.39627164
0.71405682
0.89041429
0.89041429
0.71405682
0.39627164
0.00000000
0.00000000
0.42961701
0.77414310
0.96534065
0.96534065
0.77414310
0.42961701
0.00000000
ξ
0.20005424
0.07139853
-0.07139853
-0.20005424
-0.28908676
-0.32086209
0.40306176
0.36314610
0.25130490
0.08968968
-0.08968968
-0.25130490
-0.36314610
-0.40306176
0.58241213
0.52473520
0.36312803
0.12959889
-0.12959889
-0.36312803
-0.52473520
-0.58241213
0.76967478
0.69345302
0.47988438
0.17126875
-0.17126875
-0.47988438
-0.69345302
-0.76967478
0.91331295
0.82286654
0.56944131
0.20323125
-0.20323125
-0.56944131
-0.82286654
-0.91331295
0.99016619
0.89210891
0.61735852
0.22033270
-0.22033270
-0.61735852
-0.89210891
-0.99016619
208
w
0.00124578
0.00124578
0.00124578
0.00124578
0.00124578
0.00124578
0.00880985
0.00880985
0.00880985
0.00880985
0.00880985
0.00880985
0.00880985
0.00880985
0.01974827
0.01974827
0.01974827
0.01974827
0.01974827
0.01974827
0.01974827
0.01974827
0.02894974
0.02894974
0.02894974
0.02894974
0.02894974
0.02894974
0.02894974
0.02894974
0.02322366
0.02322366
0.02322366
0.02322366
0.02322366
0.02322366
0.02322366
0.02322366
0.03914932
0.03914932
0.03914932
0.03914932
0.03914932
0.03914932
0.03914932
0.03914932
209
ANNEXE A2 : Différents types de quadratures
indice
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
θ
98.042
98.042
98.042
98.042
98.042
98.042
98.042
98.042
114.033
114.033
114.033
114.033
114.033
114.033
114.033
114.033
129.675
129.675
129.675
129.675
129.675
129.675
129.675
129.675
144.38
144.38
144.38
144.38
144.38
144.38
144.38
144.38
156.23
156.23
156.23
156.23
156.23
156.23
156.23
156.23
161.285
161.285
161.285
161.285
161.285
161.285
µ
-0.13989612
-0.13989612
-0.13989612
-0.13989612
-0.13989612
-0.13989612
-0.13989612
-0.13989612
-0.40725845
-0.40725845
-0.40725845
-0.40725845
-0.40725845
-0.40725845
-0.40725845
-0.40725845
-0.63843616
-0.63843616
-0.63843616
-0.63843616
-0.63843616
-0.63843616
-0.63843616
-0.63843616
-0.81289366
-0.81289366
-0.81289366
-0.81289366
-0.81289366
-0.81289366
-0.81289366
-0.81289366
-0.91517278
-0.91517278
-0.91517278
-0.91517278
-0.91517278
-0.91517278
-0.91517278
-0.91517278
-0.94712593
-0.94712593
-0.94712593
-0.94712593
-0.94712593
-0.94712593
η
0.00000000
0.42961701
0.77414310
0.96534065
0.96534065
0.77414310
0.42961701
0.00000000
0.00000000
0.39627164
0.71405682
0.89041429
0.89041429
0.71405682
0.39627164
0.00000000
0.00000000
0.33394937
0.60175598
0.75037743
0.75037743
0.60175598
0.33394937
0.00000000
0.00000000
0.25269915
0.45534814
0.56780985
0.56780985
0.45534814
0.25269915
0.00000000
0.00000000
0.17488195
0.31512638
0.39295616
0.39295616
0.31512638
0.17488195
0.00000000
0.00000000
0.13921684
0.25086009
0.31281741
0.31281741
0.25086009
ξ
0.99016619
0.89210891
0.61735852
0.22033270
-0.22033270
-0.61735852
-0.89210891
-0.99016619
0.91331295
0.82286654
0.56944131
0.20323125
-0.20323125
-0.56944131
-0.82286654
-0.91331295
0.76967478
0.69345302
0.47988438
0.17126875
-0.17126875
-0.47988438
-0.69345302
-0.76967478
0.58241213
0.52473520
0.36312803
0.12959889
-0.12959889
-0.36312803
-0.52473520
-0.58241213
0.40306176
0.36314610
0.25130490
0.08968968
-0.08968968
-0.25130490
-0.36314610
-0.40306176
0.32086209
0.28908676
0.20005424
0.07139853
-0.07139853
-0.20005424
w
0.03914932
0.03914932
0.03914932
0.03914932
0.03914932
0.03914932
0.03914932
0.03914932
0.02322366
0.02322366
0.02322366
0.02322366
0.02322366
0.02322366
0.02322366
0.02322366
0.02894974
0.02894974
0.02894974
0.02894974
0.02894974
0.02894974
0.02894974
0.02894974
0.01974827
0.01974827
0.01974827
0.01974827
0.01974827
0.01974827
0.01974827
0.01974827
0.00880985
0.00880985
0.00880985
0.00880985
0.00880985
0.00880985
0.00880985
0.00880985
0.00124578
0.00124578
0.00124578
0.00124578
0.00124578
0.00124578
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en condition de non-symétrie azimutale du champ radiatif
indice
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
θ
161.285
161.285
164.055
164.055
164.055
164.055
164.055
164.055
164.055
164.055
167.047
167.047
167.047
167.047
167.047
167.047
167.047
167.047
170.194
170.194
170.194
170.194
170.194
170.194
170.194
170.194
173.392
173.392
173.392
173.392
173.392
173.392
173.392
173.392
176.334
176.334
176.334
176.334
176.334
176.334
176.334
176.334
180
µ
-0.94712593
-0.94712593
-0.96152548
-0.96152548
-0.96152548
-0.96152548
-0.96152548
-0.96152548
-0.96152548
-0.96152548
-0.97455323
-0.97455323
-0.97455323
-0.97455323
-0.97455323
-0.97455323
-0.97455323
-0.97455323
-0.98539066
-0.98539066
-0.98539066
-0.98539066
-0.98539066
-0.98539066
-0.98539066
-0.98539066
-0.99335704
-0.99335704
-0.99335704
-0.99335704
-0.99335704
-0.99335704
-0.99335704
-0.99335704
-0.99795374
-0.99795374
-0.99795374
-0.99795374
-0.99795374
-0.99795374
-0.99795374
-0.99795374
-1.00000000
η
0.13921684
0.00000000
0.00000000
0.11919470
0.21478143
0.26782807
0.26782807
0.21478143
0.11919470
0.00000000
0.00000000
0.09725773
0.17525237
0.21853613
0.21853613
0.17525237
0.09725773
0.00000000
0.00000000
0.07389443
0.13315316
0.16603928
0.16603928
0.13315316
0.07389443
0.00000000
0.00000000
0.04992828
0.08996765
0.11218783
0.11218783
0.08996765
0.04992828
0.00000000
0.00000000
0.02774254
0.04999034
0.06233693
0.06233693
0.04999034
0.02774254
0.00000000
0.00000000
ξ
-0.28908676
-0.32086209
0.27471576
0.24751035
0.17128248
0.06113001
-0.06113001
-0.17128248
-0.24751035
-0.27471576
0.22415620
0.20195775
0.13975910
0.04987945
-0.04987945
-0.13975910
-0.20195775
-0.22415620
0.17030929
0.15344337
0.10618610
0.03789738
-0.03789738
-0.10618610
-0.15344337
-0.17030929
0.11507295
0.10367714
0.07174681
0.02560614
-0.02560614
-0.07174681
-0.10367714
-0.11507295
0.06394004
0.05760799
0.03986596
0.01422800
-0.01422800
-0.03986596
-0.05760799
-0.06394004
0.00000000
210
w
0.00124578
0.00124578
0.00116751
0.00116751
0.00116751
0.00116751
0.00116751
0.00116751
0.00116751
0.00116751
0.00101587
0.00101587
0.00101587
0.00101587
0.00101587
0.00101587
0.00101587
0.00101587
0.00080042
0.00080042
0.00080042
0.00080042
0.00080042
0.00080042
0.00080042
0.00080042
0.00053472
0.00053472
0.00053472
0.00053472
0.00053472
0.00053472
0.00053472
0.00053472
0.00023589
0.00023589
0.00023589
0.00023589
0.00023589
0.00023589
0.00023589
0.00023589
0.00095178
Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
211
A.3 SOLUTION ANALYTIQUE POUR UN MILIEU NON DIFFUSANT
Si l'on considère un milieu semi-transparent non diffusant gris avec indice de réfaction
unitaire pour une géométrie unidimensionnelle et avec des parois grises à des températures
imposées.
ε1 ,T1
ε2 ,T2
y
dans ce cas l’équation (1.9) devient (Özisik, 1973 et Schwander, 1988) :
τ = βy = σ a y
(A3.1)
µ
∂L( τ , µ )
+ L( τ , µ ) = Lo (T( τ ))
∂τ
L’intégration de l’équation de transfert radiatif prend la forme :
τ
1 o
 (τ − τ ') 
L (T) exp −
µ  dτ'

µ
µ>0
L+ (τ, µ ) = L+ (0, µ ) exp − τ µ +
µ<0
 (τ − τ ) 
L (τ,− µ ) = L (τ o ,− µ ) exp − o
µ  +

−
∫
0
−
∫
τo
τ
 ( τ '− τ o ) 
1 o
L (T) exp −
µ  dτ '
µ

(A3.2)
Le flux de rayonnement et le rayonnement incident sont donnés par les formules :
 1
q r ( τ ) = 2 π  L+ (0, µ ) exp − τ µ µdµ −
 0
∫
+
1
τ
0
0
∫∫
 (τ − τ )
L− (τ o ,− µ ) exp − o
µ
0

∫
1
 (τ − τ ') 
Lo (T(τ )) exp −
µ  dτ' dµ −

 1
G( τ ) = 2 π  L+ (0, µ ) exp − τ µ dµ +
 0
∫
+
 (τ − τ ')  1
Lo (T(τ)) exp −
µ  µ dτ ' dµ +

0
∫∫
1
0
τ
1
τo
0
τ
∫∫

 µdµ


 ( τ '− τ o ) 
Lo (T(τ)) exp −
d
'
d
τ
µ

 (A3.3)
µ


 (τ − τ)
L− (τ o ,− µ ) exp − o
µ
0

∫
1
1
τo
0
τ
∫∫

 dµ


 ( τ '− τ o )  1
Lo (T(τ )) exp −
d
'
d
τ
µ


µ µ


ou encore, en introduisant la fonction integro-exponentielle :
(A3.4)
ANNEXE A.3 : Solution Analytique pour un milieu non diffusant
212
[
q r (τ ) = π L+ (0, µ )E 3 (τ) − L− (τ o ,− µ )E 3 (τ o − τ ) +
∫
τ
0
Lo (T)E 2 (τ − τ')dτ' −
∫
τo
τ
(A3.5)
Lo (T)E 2 (τ'− τ )dτ'

[
G( τ ) = 2 π L+ ( 0, µ ) E 2 ( τ) + L− (τ o ,− µ )E 2 (τ o − τ ) +
∫
τ
0
Lo ( T) E 1 ( τ − τ')dτ' +
∫
τo
τ
(A3.6)
Lo (T) E 1 ( τ '− τ )dτ'

On considère un problème où le mst est soumis à une température uniforme To et les parois
sont à des températures uniformes T1 et T2 :
τ
τo
q r (τ ) = 2σ T14 E 3 (τ ) − T24 E 3 (τ o − τ ) + To4 ∫ E 2 (τ − τ ')dτ ' − ∫ E 2 (τ '− τ )dτ ' 
 0
 
τ

{
(A3.7)
]}
[
q r (τ ) = 2σ T14 E 3 (τ ) − T24 E 3 (τ o − τ ) + To4 E 3 (τ o − τ) − E 3 (τ )

 τ
G(τ ) = 2σ T14 E 2 (τ ) + T24 E 2 (τ o − τ ) + To4  E 1 (τ − τ ')dτ ' +
 0

{
[
∫
τo
∫τ

E 1 (τ '−τ )dτ '  (A3.8)

G(τ ) = 2σ T14 E 2 (τ ) + T24 E 2 (τ o − τ ) + To4 2 − E 2 (τ o − τ ) − E 2 (τ )
]}
Donc, pour les flux et rayonnement incident dans les parois, on obtient :
 T4
1 

q r (0) = 2σ  1 − T24 E 3 (τ o ) + To4  E 3 (τ o ) −  
2 

2
(A3.9)

T4
1

q r (τ o ) = 2σ T14 E 3 (τ o ) − 2 + To4  − E 3 (τ o ) 
2
2


(A3.10)
{
[
]}
G(0) = 2σ T14 + T24 E 2 (τ o ) + To4 1 − E 2 (τ o )
{
[
]}
G(τ o ) = 2σ T14 E 2 (τ o ) + T24 + To4 1 − E 2 (τ o )
et la luminance sortant en τ=τo est donnée par la formule :


L+ (τ = τ o , µ ) = Lo (To )1 − exp − τ µ 


(A3.11)
FOLIO ADMINISTRATIF
THESE SOUTENUE DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON
Nom : MOURA
Date de soutenance : 15/07/1998
(avec précision du nom de jeune fille, le cas échéant)
Prénoms : Luís Mauro
Titre : Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants
en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif
Nature : Doctorat
Formation doctorale : Thermique et Energétique
Cote B.I.U.-Lyon : T20/210/19
/
et
bis
Numéro d'ordre : 98ISAL0059
Classe :
Résumé :
Ce mémoire de thèse présente une formulation d'un problème radiatif en situation de non-symétrie
azimutale du champ radiatif appliquée à l'identification des propriétés radiatives (épaisseur optique,
albédo et fonction de phase) des matériaux fibreux et des mousses. Une géométrie
monodimensionnelle a été considérée.
La solution numérique de l'équation du transfert radiatif est basée sur la méthode des ordonnées
discrètes appliquée à un volume de contrôle. Une nouvelle quadrature spatiale est proposée. La
quadrature est adaptée aux conditions expérimentales, en permettant d'avoir un nombre maximal de
points selon les directions susceptibles d'être explorées par le dispositif expérimental.
Le programme développé permet de considérer différentes situations expérimentales. De ce fait,
cinq stratégies expérimentales sont analysés de manière à déterminer la plus performante pour
l'identification des propriétés radiatives des matériaux considérés.
L'identification des propriétés radiatives est réalisé à partir des mesures de transmittances et de
réflectances spectrales et bidirectionnelles obtenues à l'aide d'un montage expérimental comprenant
un spectromètre à transformée de Fourier et un dispositif goniométrique.
Les propriétés radiatives sont identifiées pour un faisceau collimaté dont les angles d'incidence
varient entre 0° et 40°. L'identification est réalisée pour des longueurs d'onde allant de 1,5 µm à 15
µm. Une analyse des erreurs dues à un alignement imparfait du dispositif expérimental est présentée.
Mot clés : Propriété Radiative - Milieu Semi-transparent - Fibre - Laine verre - Mousse Ordonnées Discrètes
Laboratoire(s) de recherches : CETHIL (Centre de Thermique de LYON)
Directeur de thèse : Pr. J.F. SACADURA
Président de jury :
Composition du jury :
Mme. D. BAILLIS-DOERMANN (examinateur), MM. C. BISSIEUX (rapporteur),
G. JEANDEL (rapporteur), F. PAPINI (examinateur), M. RAYNAUD (examinateur),
J.F. SACADURA (examinateur)