Optique physique

Math spé
EXERCICES DE RÉVISION OPTIQUE PHYSIQUE 2010
Interféromètre de Michelson interférences
I Franges d’égale inclinaison Emilie
Ou considérera que la source S à l’entrée de l’interféromètre est ponctuelle, que le miroir M1 est fixe, mais que M2 peut se translater parallèlement à l’axe des z.
L’ensemble est placé dans l’air assimilé au vide et éclairé en lumière monochromatique de longueur d’onde λo
1. Montrer qu’on obtient en un point P de l’écran des interférences entre deux ondes issues de deux sources cohérentes dont on indiquera les positions sur une figure.
Envisager le cas d’un rayon émis sous un angle quelconque, et tracer sur la figure les rayons émergeants de l’interféromètre.
2. Décrire le phénomène observé sur l’écran et montrer que la figure est constituée d’anneaux de centre F foyer principal image de L.
3. Considérant un rayon qui, après transmission par la lame semi réfléchissante, arrive sous incidence i faible sur le miroir M1, calculer la différence de chemin optique δ de deux rayons qui interfèrent en un point P de l’écran, en fonction de i et de d, l’épaisseur de la lame d’air traversée.
4. Calculer l’ordre d’interférence p au point P. En déduire l’ordre d’interférence po au centre.
L’incidence i du rayon étant faible, déterminer le rayon du nième anneau brillant, en fonction de f, λ, d et n et de l’excédant fractionnaire ε défini par po = k1 + ε où k1 est l’ordre d’interférence du premier anneau brillant.
5. Décrire le phénomène observé dans le cas d = 0 (“contact optique”).
II Franges d’égale épaisseur Jacob
On reprend le montage présenté en cours en remplaçant la lentille et l’écran d’observation par l’oeil.
Le faisceau est monochromatique de longueur d’onde λ1, le centre de la source étendue S est placée au centre d’une lentille convergente d’axe optique Iz. On suppose que IA1 = IA2 et on fait tourner le miroir M1 d’un angle α très faible autour de son axe A1z.
1. Montrer que l’on obtient des franges d’interférences localisées sur M2 (ou M1).
2. Déterminer l’éclairement en un point P de M2 repéré par A2P = X (valeur algébrique).
En déduire la valeur de l’interfrange i en fonction de λ1 et a.
3. Donner une application pratique de ce phénomène pour le miroir M1 en supposant M2 parfait.
4. Cette foisci, la source n’est plus, monochromatique. S provient d’une lampe à vapeur de sodium dont le spectre d’émission ne contient que deux raies de couleur jaune, de longueur d’onde λ1 = 588,9 nm et λ’1 = λ1 + Δλ, 0< Δλ << λ1
On déplace M1 dans la direction Iz de manière à faire défiler les franges étudiées dans les questions précédentes. On constate que les franges se brouillent et disparaissent au bout de 500 franges.
Expliquer ce phénomène. En déduire Δλ et λ’1
III Spectrométrie interférentielle de Michelson Benjamin
(interféromètre réglé en lame d’air éclairée sous incidence normale)
La source est une lampe à vapeur de cadmium qui émet un groupe d'ondes monochromatiques, centré autour d'une fréquence moyenne νo correspondant à la longueur d'onde λo = 643,8 nm.
On désigne par Iν(ν) l'intensité spectrale de la source, c'estàdire la contribution relative de chaque fréquence à l'intensité de l'onde émise par la source. En 1892, Michelson a déterminé la largeur totale à mihauteur ∆ν1/2 de cette radiation en adoptant un modèle rectangulaire pour Iν(ν) centré sur la fréquence νo :
Iν(ν) = A pour νo  ∆ν1/2 / 2 ≤ ν ≤ νo + ∆ν1/2 / 2 et Iν(ν) = 0 autrement.
1 Calculer νo. Quelle est la couleur de cette radiation ?
2 Montrer que l' intensité détectée peut se mettre sous la forme : I(τ) = I(0)/2 [ 1 + γ t (τ) cos (2πνοτ) ]
γ t (τ) étant une fonction que l'on déterminera.
3 En déduire le facteur de visibilité des franges d'interférence, c'estàdire la quantité V = (I M  Im)/(IM + Im), IM étant l'intensité maximale et Im l'intensité minimale. Tracer l'allure des graphes |γ t (τ)| et I(τ).
4 En augmentant la longueur entre les miroirs x à partir d' une valeur nulle, on obtient une première annulation de V pour x = 15,9 cm. Quelle valeur ∆ν1/2 Michelson atil obtenu ? Calculer Lt = c / ∆ν1/2 appelée longueur de cohérence temporelle. En déduire, en picomètre, l'écart en longueur d'onde ∆λ1/2 correspondant.
IV Miroir de Lloyd (CCP Phys 2, 2010)
Fahd
On considère le dispositif interférentiel du miroir de Loyd composé d'un miroir plan AB, de largeur l et d'un écran placé en B, orthogonalement au plan du miroir. Une source ponctuelle S, située à une hauteur h audessus du plan du miroir et à une distance d de l'extrémité A du miroir, éclaire celuici sous incidence rasante (h<<d+l), d'une lumière de longueur d'onde λ. Les faisceaux, direct et réfléchi par le miroir, contribuent aux interférences observées en un point de l'écran (figure).
1 Ce dispositif estil à division du front Figure 1 : Miroir de Lloyd
d'onde ou à division d'amplitude? Quelle est la conséquence sur les intensités I1 et I2 des faisceaux issus des sources secondaires S1 et S2?
2 Positionner les sources secondaires S1 et S2 dans le dispositif interférentiel et délimiter le champ d'interférences dans le plan de la figure. Contrairement au rayon direct, le rayon réfléchi subit, lors de la réflexion, un déphasage de π. Ces sources secondaires sontelles cohérentes? Synchrones? en phase?
3 Déterminer la différence de marche optique δ et l'ordre d'interférence p au point M (BM = x) en fonction de λ, h, l, d et x. 4 En déduire l'expression de l'intensité lumineuse I(x) en M. Quelle est la forme des franges obtenues?Déterminer la forme et la position de la frange centrale. 5 Exprimer l'interfrange i et en déduire le nombre N de franges que l'on peut observer sur l'écran en fonction de λ, h, l, d et d. Application numérique : Calculer i et NB, nombre de franges brillantes, sachant que λ = 632,8nm, h = 1mm, l = 30 cm, d = 50 cm. 6 Application : Un bateau en mer à 10 km de la côte veut capter une émission radio FM de fréquence 100MHz. Le faisceau parallèle, provenant de l'émetteur situé sur la côte, se réfléchit en partie sur la mer et le dispositif s'identifie à celui du miroir de Lloyd. a Par mer calme, celleci se comporte comme un miroir parfait : pour quelle raison l'émission de radio estelle mal perçue quand l'émetteur est situé à une hauteur de 10m et la perception bien meilleure quand celuici se trouve sur une colline à une hauteur de 700m? On justifiera la réponse en calculant l'interfrange i' au niveau du bateau qui fait office d'écran. Ce calcul nécessite celui de la différence de marche géométrique Δ' = 2z sinθ (à démontrer), de la différence de marche optique δ', de l'ordre d'interférence p'(z) et éventuellement celui de l'intensité vibratoire I'(z). L'interfrange i' s'exprimera en fonction de la longueur d'onde émettrice λ' et de l'angle θ indiqué sur la figure. b Par mer agitée, celleci se comporte comme un miroir imparfait : la vibration propagée par le faisceau parallèle est perpendiculaire au plan d'incidence, avec un facteur de réflexion du miroir imparfait R˩ = 80 %. Exprimer, en fonction de I'1 (intensité du faisceau direct) et I'2 (intensité du faisceau réfléchi) puis en fonction de R˩ le contraste C =
0
0
Imax
¡ Imin
0
0
Imax
+ Imin
Calculer C pour R˩ = 80 %. La perception des ondes estelle bien contrastée quand l'antenne réceptrice se déplace le long du mat du bateau?
V Miroirs de Fresnel Ayoub
On considère le système interférentiel des miroirs de Fresnel Les miroirs (M1) et (M2), d'arête commune (Δ), font entre eux un angle α = 3' et sont éclairés par une source ponctuelle S située à une distance d = 60 cm de (Δ), dans le plan de symétrie du système perpendiculaire à (Δ). Les miroirs donnent de S deux images S1 et S2. Les interférences sont observées dans un plan (E) parallèle à (Δ) et perpendiculaire au plan médiateur de S1 S2 à la distance D = 1,40m de (Δ). La position d'un point P sera repérée par sa distance x à l'axe (yy'), intersection du plan médiateur de S1 S2 avec (E). 1 La source émet de la lumière monochromatique λ = 632,8nm.
a Exprimer la différence de marche optique δ(x) et l'intensité lumineuse I(P) dans le plan (E) en fonction de I o, α, d, D x et λo. (IS1 = IS2 = Io : intensité commune des sources secondaires).
b Déterminer les expressions littérales et les valeurs numériques de l'interfrange i et la largeur l du champ d'interférences.
2 La source S (lampe spectrale) émet deux radiations lumineuses de même intensité I'o et de longueurs d'onde λ1 = 577,0 nm et λ2 = 579,1 nm (doublet jaune du mercure).
a Établir l'expression de l'intensité I'(P) en un point P de (E) et montrer qu'elle s'écrit sous la forme où on définira les fonctions f et g.
b Montrer que, en théorie, des mesures sur le graphe de l'enregistrement de I'(x) permettraient de déduire es valeurs des deux longueurs d'onde. Le dispositif étudié ici permetil effectivement de calculer λ1 et λ2 ? Justifier votre réponse.
VI Franges de Meslin Thomas
Deux demilentilles L1 et L2 ont été obtenues à l’aide dune lentille mince convergente L de diamètre D = 5cm et de distance focale image f = 25cm, que l’on a coupée en deux, selon une direction perpendiculaire à son axe optique Oz. Les deux demilentilles sont alors écartées le long de l’axe optique Oz, d’une distance d = O1O2= 2 mm (Figure 2).
On éclaire l’ensemble par un faisceau de lumière parallèle, dirigé suivant l’axe optique, issu d’une lampe à vapeur de mercure, de longueur d’onde dans le vide λ = 543,5 nm.
NB : la traversée du foyer d’une lentille introduit un déphasage supplémentaire de π
1a) Faire une figure soignée représentant la partie commune des faisceaux sphériques issus de F1 et de F2 ; on prendra sur l’axe optique un facteur d’échelle égal à 25. Exprimer, en fonction de d et λ, la différence de phase φo entre les ondes arrivant respectivement en F2 et en F1 b) Donner l’expression de la phase φ 1 de l’onde sphérique, issue du foyer F1 de la demilentille L1, en un point P situé dans la partie commune des faisceaux coniques issus de F1 et F2. On introduira r1 = F1P et on prendra comme origine des phases celle de l’onde sphérique provenant de L1 et convergeant en F1.
c) Même question pour la phase φ2, au point P précédent, de l’onde sphérique qui converge au foyer F2 de la demilentille L2. Comment traduiton le fait que le point P est atteint par l’onde sphérique, provenant de L2, avant le foyer F2 ? On introduira r2 = F2P et on prendra la même origine des phases que précédemment.
2 a) Montrer que l’intensité, au point P, de l’onde résultant de la superposition des deux ondes sphériques, issues de F1 et F2. fait apparaître la différence de phase suivante: α(r1+r2)+β
α et β étant deux quantités que l’on calculera en précisant leurs unités respectives. Quelle est la géométrie des franges d’interférence dans un plan perpendiculaire à F1F2 ?
b) Calculer la largeur maximale du champ d’interférence dans un plan de front orthogonal à l’axe optique du système.
c) On analyse le phénomène d’interférence dans le plan médian du segment F1F2. Déterminer les caractéristiques géométriques des franges noires ainsi que leur nombre dans le plan où le champ d’interférence est maximal.
d) Pour agrandir la figure d’interférence, on utilise un objectif de microscope, de distance focale image f = 2cm, qui en forme une image sur un écran situé à une distance de son foyer image éga1e à 1,2 m. Quel est le grandissement transversal ?
diffraction
VII Théorème de Babinet Aymeric
Deux écrans percés d’ouvertures, et tels que les ouvertures de l’un correspondent exactement aux zones opaques de l’autre, sont dits écrans complémentaires (figure ). La somme des transmittances de tels objets est donc égale à l’unité.
Il convient de remarquer que cette définition est théorique car les écrans réels étant d’extension finie, la relation de complémentarité doit en pratique être restreinte à un support borné. Dans la première question nous ferons abstraction de ce point de rigueur.
La définition précédente se généralise à des objets dont la transmitance n’est pas forcément binaire. On pose alors que deux objets diffractant de transmitances t1(x, y) et t2(x, y) sont complémentaires si: t1(x,y) + t2(x,y) = 1.
1 Montrez que les figures de diffraction à l’infini, produites par deux transmitances complémentaires, sont identiques sauf en l’image géométrique de l’onde incidente (on néglige bien sûr la diffraction de la lentille de projection). Ce résultat constitue l’énoncé du théorème de Babinet, encore appelé théorème des écrans complémentaires.
2 On se place dans le cas où les deux transmitances ne sont complémentaires que sur un domaine borné (D). Autrement dit, leur somme ne vaut 1 que sur (D), et elle est nulle en dehors.
En vous inspirant de la démonstration précédente, adaptez l’énoncé du théorème de Babinet à cette situation plus réaliste.
VIII Hologramme d’un point à l’infini Pops Juliette
Une onde monochromatique ψ de longueur d’onde λ issue d’un point à l’infini se propage dans une direction d’angle θ avec la normale Oz à une plaque photographique. On envoie simultanément sur la plaque une onde ψ o cohérente avec ψ et de même longueur d’onde. ψo est appelée onde de référence. L’origine des phases est placée en O. On désigne par a l’amplitude réelle de ψo et εa celle de ψ avec ε<<1.
La plaque photographique est de longueur infinie suivant Oy et de largeur x
2L >> λ suivant Ox. Son émulsion est caractérisée par un facteur γ tel ψ
u
que si E(x) est l’éclairement reçu par la plaque au point M d’abscisse x, z
son facteur de transmission en amplitude, après développement, t(x) est ψo
proportionnel à [E(x)]γ/2
1 Calculer l’éclairement reçu par la plaque au point M en fonction de a, ε, θ et x. En déduire l’expression du facteur de transmission t(x).
2 La plaque développée est placée sur un écran de facteur de transmission égal à l’unité sur toute l’étendue de la plaque et nul en dehors. Celleci est éclairée par l’onde de référence ψ o sous incidence normale. Montrer que l’on observe trois ondes par observation à l’infini.
3 Que se passetil si on éclaire la plaque développée dans les mêmes conditions qu’à la question précédente mais avec une onde plane ψ’o de longueur d’onde λ’≠ λ ? En déduire le principe de l’holographie.
IX Observation d’une figure de diffraction de Fraunhofer dans la plan de l’image d’une source ponctuelle
Antoine
Soit le système présenté cicontre : une lentille L donne d’une source ponctuelle S une image géométrique S’ (en l’absence de diffraction).
Le faisceau issu de S est diaphragmé par Σ. Nous montrerons que l’on observe une figure de diffraction de Fraunhofer au voisinage du point S’.
1 Exprimer le déphasage de l’onde en M en fonction du déphasage de l’onde en P, puis celui en P en fonction de celui en S
2 Montrer que φ(M) = cste2π/λ (SPPMo)
3 En utilisant le repère (O, x, y, z), montrer que φ(M) = cste’2πd/λad’ (xX+yY). Conclure dans le cas où le diaphragme est la lentille ellemême.
X Filtrage spatial Alexandre L
Un support pour pupilles diffractantes est X’’ X X’ disposé dans le plan Oxy. Il possède une largeur L L selon Ox et une longueur suffisamment grande. Il est éclairé par une onde pp z d’amplitude ao et de longueur d’onde λo
O E F’ Une lentille convergente, de distance focale f’, est placée de telle manière que les plans Ex’’y’’ et Oxy soient conjugués avec un grandissement égal à 1. On place sur le support une pupille diffractante présentant une périodicité spatiale d selon Ox.
1 Quelle est l’amplitude diffractée dans le plan focal image de la lentille L ?
Rappel : on peut associer à une fonction x→f(x) dpériodique et paire sa série de Fourier ∞
 
F o ∑ F n cos 2πn
1
x
d
2 On suppose L grand devant le pas d du motif périodique.
Qu’observeton sur un écran confondu avec le plan Ex’’y’’quand on intercale dans le plan F’x’y’ :
a une fente, centrée en F’, et de largeur 2 λo f’/L
b deux fentes, de même largeur 2 λo f’/L centrées en ± λo f’/d
XI Monochromateur Anne Marie
Un réseau plan comporte des « traits » parallèles à Oz et le pas est a = 2μm. Ce réseau est utilisé par réflexion, et il peut tourner autour de l’axe Oz (rotation repérée par l’angle α). Il est éclairé par un faisceau de lumière blanche parallèle faisant l’angle β (β≤0) avec la direction Ox (direction normale au plan du réseau pour α = 0.)
On règle l’angle β de manière à ce que pour α = 0, on sélectionne la longueur d’onde λo = 600nm dans le spectre d’ordre 2 et dans la direction β’ = 0.
1.a. Calculer la valeur de l’angle β
b. Entre quelles limites doiton faire varier α pour pouvoir sélectionner, dans la direction β’ = 0, tout le spectre s’étendant de λ = 400nm à λ = 800nm ?
2. On utilise le dispositif de réception représenté cidessous. α = 0 et β est réglé dans les conditions du 1.a.
On prend f’ = 10cm et b = 1mm. En déduire que la fente, centrée sur F’, ne laisse passer qu’une étroite bande spectrale ∆λ centrée sur λo. Calculer ∆λ