CIRCU IT S LIN ÉA IRES EN RÉGIM E QU ELCO N QU E

Introduction
Étant donné un circuit linéaire, fonctionnant en régime quelconque, les seuls moyens dont nous disposons
jusqu’à présent, pour en faire l’étude sont :
- Les lois des nœuds et des mailles.
- Les relations courant-tension pour les dipôles constitutifs.
Leur utilisation nous permet d’aboutir à une (ou plusieurs) équation(s)
différentielle(s) linéaire(s), liant les signaux d’entrée et de sortie, selon
une relation du type :
...
dt
ed
b
dt
de
beb...
dt
sd
a
dt
ds
asa
2
2
2
2
210210
+++=+++
Dès que l’ordre de cette équation différentielle dépasse 2, la résolution en devient fort compliquée.
La méthode exposée dans ce chapitre, faisant appel à la transformation de Laplace, permet de connaître la
réponse d’un circuit linéaire à une sollicitation quelconque en évitant de résoudre de telles équations
différentielles.
Avertissement : Les notions mathématiques abordées ici ont avant tout un but pratique.
En particulier, nous ne nous attarderons pas sur l’étude de telle ou telle limite, ou sur la convergence de telle
ou telle intégrale…
Le lecteur curieux consultera avec profit un des nombreux ouvrages mathématiques sur ce sujet.
1. Transformation de Laplace
1.1 Fonctions causales.
Une fonction f du temps est dite causale si f(t) est nulle pour toute date t < 0.
Nous dirons que f(t) apparaît à la date t = 0.
La fonction causale élémentaire est la fonction échelon unité,
notée
(t), définie par : (t) = 0 si t < 0
(t) = 1 si t ≥ 0
(t) permet de rendre causale toute fonction du temps :
• Soit la tension constante E = 2V ; E×
(t) correspond ainsi à une tension nulle pour t < 0 puis égale à 2V
pour t ≥ 0.
• De la même façon, sint×
(t) correspond à une fonction
sinusoïdale du temps, de pulsation , et apparaissant à la
date choisie pour origine.
Circuit
e(t) s(t)
t 0
sint× (t)
1
t
(t)
0
1

• Fonction échelon unité retardée : (t - )
C’est la fonction échelon apparaissant à la date .
• Combinaisons de fonctions causales.
Il est possible de définir de nombreuses fonctions causales
à partir de fonctions élémentaires :
La tension v(t) ci-contre est nommée « créneau causal »
On peut la considérer comme la somme d’une tension échelon
de hauteur 2V, apparaissant à la date origine, et d’une tension
échelon de hauteur (-2V), apparaissant à  = 0,5s.
Nous écrirons ainsi : v(t) = 2×
(t) - 2× (t – 0,5)
De la même façon, la tension v’(t) de la figure de droite peut
être vue comme la somme d’une rampe causale , de pente 1V/s
apparaissant à la date t = 0 (v’
1
= t× (t)) et d’une rampe causale
de pente (-1)V/s, apparaissant à la date  = 1s ( v’
2
= (-t + 1)× (t-1))
Finalement, v’(t) = v’
1
+ v’
2
= t× (t) +(-t + 1)× (t-1)
1.2 Définition de la transformation
Soit f(t) une fonction du temps causale, continue et dérivable pour t > 0.
On appelle transformée de Laplace de f(t), la fonction F(p) de la variable complexe p, définie par :
∞
−
××=
0
pt
dte)t(f)p(F
Remarque 1 : Autre notation F(p) = (f(t)) F(p) est appelée transformée
f(t) = 
-1
(F(p)) f(t) est appelée originale.
Remarque 2 : L’existence de F(p) suppose que l’intégrale de définition soit convergente ; ce sera toujours le cas
pour les fonctions utiles à l’étude des circuits linéaires.
• Exemple 1 : Transformée d’une tension échelon de hauteur E.
∞
∞−
−
−
×=××=
0
0
pt
pt
1
p
e
EdteE)p(U
p
E
)p(U
1
=
• Exemple 2 : Transformée d’une rampe causale de pente a.
u
2
(t) = 0 pour t < 0 et u
2
(t) = at pour t > 0
dteat)p(U
0
pt
2
××=
∞
−
nous intégrons par parties :
Soient u = at et dv = e
-pt
dt ; il vient du = adt et
p
e
v
pt−
−
=
ainsi
∞∞
−−
∞
−
×−
+=×
×
+
−×=
00
2
ptpt
0
pt
2
p
ea
0dt
p
ea
p
e
at)p(U
et finalement
2
2
p
a
)p(U =
t
(t-)
0
1
t (s)
v (t) (V)
0
2
0,5
t (s)
v’ (t) (V)
0
1
1
t
u
1(t)
0
E
t
u
2(t)
0
a
1s

• Exemple 3 : Transformée d’une « impulsion » exponentielle.
u
3
(t) = 0 pour t < 0 et u
3
(t) = e
-t/
pour t > 0
∞
∞
τ
+−
−
τ
−
×
τ
+
−
=××=
00
t
1
p
pt
t
3
e
1
p
1
dtee)p(U
p1
1
p
1
)p(U
3
τ+
τ
=
τ
+
=
1.3 Quelques propriétés
La plupart des propriétés sont données ici sans démonstration : Consulter un ouvrage de mathématiques !
1.3.1 Linéarité.
Soient 2 fonctions du temps causales f
1
(t) et f
2
(t), ainsi que 2 constantes a et b
Si F
1
(p) et F
2
(p) désignent respectivement les transformées de f
1
(t) et f
2
(t) , la fonction g(t) = a×f
1
(t) + b×f
2
(t) admet
pour transformée G(p) = a×F
1
(p) + b×F
2
(p)
Exemple : Établissons les expressions des transformées de sint×
(t) et de cost× (t) .
Nous utilisons la relation e
jt
= cost + jsint
(e
jt
) =
∞∞
−ω
ω−
=
ω−
−=××
ω−−
00
pttj
jp
1
jp
e
dtee
t)jp(
Multiplions cette expression par la quantité conjuguée :
(e
jt
) = (cost + jsint) =
2222
p
j
p
p
ω+
ω
×+
ω+
D’où on peut tirer :
(cost) =
22
p
p
ω+
et (sint) =
22
pω+
ω
1.3.2 Théorème du retard (ou transformée d’une translatée).
Soit f(t), fonction causale du temps, dont la transformée est F(p).
Soit f(t – ) la fonction retardée d’une durée .
(La fonction f(t) a en fait subi une translation dans le temps).
Recherchons la transformée de la translatée (f(t-)).
(f(t-) ) =
∞
∞
θ
−−
××θ−=××θ−
0
ptpt
dte)t(fdte)t(f
car f(t-) est nulle entre t = 0 et t =  si f(t) est causale !
Posons t’ = t- ; alors dt’ = dt et les bornes d’intégration en t’ deviennent 0 et +∝.
(f(t’) ) =
∞
−θ−
∞
θ+−
×××=××
0
'ptp
0
)'t(p
'dte)'t(fe'dte)'t(f
et finalement :
(f(t - ) ) = e
-p
× (f(t) )
Une translation de (-) dans l’espace « t » correspond à la multiplication par e
-p
dans l’espace « p »
t
u
3(t)
0
1
sint. (t)
t 0
1
cost. (t)
1
0 t
2/
f
t 0
f(t) f(t-)

• Exemple 1 : Transformée d’une tension en forme de créneau.
Soit la tension causale v(t) ci-contre.
v(t) = 0 pour t < 0 et t >  ; v(t) = E pour 0 < t < 
Nous avons décomposé précédemment v(t) en la somme d’un échelon de
hauteur E apparaissant à t = 0 et d’un échelon de hauteur (–E) apparaissant
à la date , soit v(t) = E×
(t) - E× (t – )
Il vient immédiatement :
p
)e1(E
p
E
e
p
E
)p(V
p
pθ− θ−
−×
=×−=
• Exemple 2 : Transformée de « l’impulsion de Dirac ».
Cette fonction est la limite du créneau ci-contre (hauteur E et
largeur ), vérifiant E× = 1, lorsque  → 0
Il s’agit d’une impulsion de hauteur infiniment grande, de largeur
infiniment faible, et dont la surface balayée est unitaire.
On la nomme  et on la représente par une flèche avec l’annotation
« 1 », comme ci-contre à droite ; ce 1 désigne la surface de l’impulsion
et non sa hauteur.
Cet « objet » mathématique n’a bien sur aucun sens physique, mais il joue
un rôle important dans l’étude des circuits par la méthode de Laplace.
Nous pouvons écrire :  = 0 si t ≠ 0 et
1dt)t(
0
0
=×δ
+
−
Alors ∆(p) = ((t)) =
∞
+
−
−−
××δ=××δ
0
0
0
ptpt
dte)t(dte)t( puisque (t) est nulle en dehors de cet intervalle.
Or, entre 0- et 0+ , e
-pt
est constante et vaut 1, et  vaut également 1.
D’où ∆(p) =
((t) ) = 1
1.3.3 Transformée d’une fonction causale amortie (exponentiellement).
Soit la fonction du temps f(t) causale, dont la transformée est F(p).
La fonction f ’(t) = e
-at
×f(t) correspond à un amortissement exponentiel de f(t) ; la constante de temps étant  = 1/a,
nous pouvons admettre la « disparition » (annulation) de f ’ au bout d’une durée 5 = 5/a.
On peut écrire
(f ’(t)) = e
-at
×f(t) =
∞
∞
+−−−
××=×××
0 0
t)ap(ptat
dte)t(fdte)t(fe
d’où : (e
-at
×f(t) ) = F(p + a)
La transformée de e
-at
×f(t) est de même forme que la transformée F(p) de f(t), mais en y effectuant le changement
de variable p → p + a.
Une multiplication par e
-at
dans l’espace « t » correspond à une translation de +a dans l’espace « p »
t (s)
v (t)
0
E
t (s)
0
E
-/2 /2
t (s)
0
1

• Exemple : Transformée d’une sinusoïde amortie.
Soit la fonction f ’(t) = e
-at
×sint× (t) (cf. ci-contre)
En se rappelant que
(sint) =
22
pω+
ω
On établit aisément
(e
-at
×sint) =
22
)ap( ω++
ω
1.3.4 Transformée de la dérivée d’une fonction causale.
Soit la fonction f(t) causale, admettant F(p) comme transformée.
On recherche la transformée de
dt
df , soit
∞
−
∞
−
×=××=
0
pt
0
pt
edfdte
dt
df
)
dt
df
(
Intégrons par parties : u = e
-pt
du = -p × e
-pt
× dt
dv = df v = f
d’où :
[ ]
∞
−
∞
−
×+−=×××+×=
0
pt
0
pt
)p(Fp)0(fdte)t(fpe)t(f)
dt
df
(
et ainsi :
(
dt
df )= p
× F(p) – f(0)
Le cas le plus intéressant est celui des fonctions causales nulles en t = 0 (conditions initiales nulles) :
Pour une fonction causale du temps, nulle en 0, la dérivation dans l’espace « t » correspond à une multiplication
de la transformée par p dans l’espace « p ».
• Exemple : Résolution d’une équation différentielle .
Soit un circuit linéaire, régi par l’équation : )t(e5)t(s2
dt
ds
3
dt
sd
2
2
=+− , avec les conditions initiales
suivantes : s(t) et e(t) nulles pour t
≤ 0.
Écrivons la transformée de Laplace de cette combinaison linéaire de fonctions :
Si E(p) et S(p) désignent respectivement les transformées de e(t) et de s(t),
p
2
× S(p) – 3.p × S(p) + 2.S(p) = 5.E(p) , ce qui amène à )p(E
2p3p
5
)p(S
2
×
+−
=
Connaissant e(t) et ainsi E(p), on détermine aisément S(p) ; il reste à « remonter » à l’originale s(t) par inversion de
la transformée. (Voir plus loin)
1.3.5 Transformée de la primitive d’une fonction causale .
Soit f(t) causale, dont la transformée est F(p)
Nous admettons la propriété :
( p
)p(F
)du)u(f
t
0
=
Dans la mesure où une fonction causale f admet une transformée F(p), l’intégration dans l’espace « t » correspond
à une division de la transformée par p dans l’espace « p » .
1.3.6 Théorème de la valeur finale .
Nous admettons la relation suivante :
)p(Fplim)t(flim
0pt
×
=
+
→∞→
(si ces limites existent et sont finies)
1.3.7 Théorème de la valeur initiale .
Nous admettons la relation suivante :
)p(Fplim)t(flim
p0t
×
=
∞→→
+
(si cette limite existe et est finie)
t (s)
f’
0
e
-
at
-e
-
at