CIRCU IT S LIN ÉA IRES EN RÉGIM E QU ELCO N QU E

Introduction
Étant donné un circuit linéaire, fonctionnant en régime quelconque, les seuls moyens dont nous disposons
jusqu’à présent, pour en faire l’étude sont :
- Les lois des nœuds et des mailles.
- Les relations courant-tension pour les dipôles constitutifs.
Leur utilisation nous permet d’aboutir à une (ou plusieurs) équation(s)
différentielle(s) linéaire(s), liant les signaux d’entrée et de sortie, selon
e(t)
une relation du type :
Circuit
d 2s
ds
d 2e
de
a 0s + a1
+ a2
+ ... = b 0 e + b 1
+ b2
+ ...
dt
dt
dt 2
dt 2
Dès que l’ordre de cette équation différentielle dépasse 2, la résolution en devient fort compliquée.
s(t)
La méthode exposée dans ce chapitre, faisant appel à la transformation de Laplace, permet de connaître la
réponse d’un circuit linéaire à une sollicitation quelconque en évitant de résoudre de telles équations
différentielles.
Avertissement : Les notions mathématiques abordées ici ont avant tout un but pratique.
En particulier, nous ne nous attarderons pas sur l’étude de telle ou telle limite, ou sur la convergence de telle
ou telle intégrale…
Le lecteur curieux consultera avec profit un des nombreux ouvrages mathématiques sur ce sujet.
1. Transformation de Laplace
1.1 Fonctions causales.
Une fonction f du temps est dite causale si f(t) est nulle pour toute date t < 0.
Nous dirons que f(t) apparaît à la date t = 0.
La fonction causale élémentaire est la fonction échelon unité,
notée (t), définie par :
(t) = 0 si t < 0
(t) = 1 si t ≥ 0
(t)
1
0
t
(t) permet de rendre causale toute fonction du temps :
• Soit la tension constante E = 2V ; E× (t) correspond ainsi à une tension nulle pour t < 0 puis égale à 2V
pour t ≥ 0.
sin t× (t)
• De la même façon, sin t× (t) correspond à une fonction
sinusoïdale du temps, de pulsation , et apparaissant à la
date choisie pour origine.
1
0
t
(t- )
• Fonction échelon unité retardée : (t - )
C’est la fonction échelon apparaissant à la date .
1
0
• Combinaisons de fonctions causales.
Il est possible de définir de nombreuses fonctions causales
à partir de fonctions élémentaires :
La tension v(t) ci-contre est nommée « créneau causal »
On peut la considérer comme la somme d’une tension échelon
de hauteur 2V, apparaissant à la date origine, et d’une tension
échelon de hauteur (-2V), apparaissant à = 0,5s.
Nous écrirons ainsi : v(t) = 2× (t) - 2× (t – 0,5)
t
v(t) (V)
2
0
t (s)
0,5
v’(t) (V)
De la même façon, la tension v’(t) de la figure de droite peut
être vue comme la somme d’une rampe causale , de pente 1V/s
apparaissant à la date t = 0 (v’1 = t× (t)) et d’une rampe causale
de pente (-1)V/s, apparaissant à la date = 1s ( v’2 = (-t + 1)× (t-1))
Finalement, v’(t) = v’1 + v’2 = t× (t) +(-t + 1)× (t-1)
1
0
t (s)
1
1.2 Définition de la transformation
Soit f(t) une fonction du temps causale, continue et dérivable pour t > 0.
On appelle transformée de Laplace de f(t), la fonction F(p) de la variable complexe p, définie par :
F( p) =
∞
f ( t ) × e − pt × dt
0
Remarque 1 : Autre notation
F(p) =
(f(t))
F(p) est appelée transformée
-1
f(t) =
(F(p))
f(t) est appelée originale.
Remarque 2 : L’existence de F(p) suppose que l’intégrale de définition soit convergente ; ce sera toujours le cas
pour les fonctions utiles à l’étude des circuits linéaires.
• Exemple 1 : Transformée d’une tension échelon de hauteur E.
U1 ( p) =
∞
E × e − pt × dt = E ×
0
− e − pt
p
u1(t)
∞
E
0
E
U1 ( p) =
p
0
t
• Exemple 2 : Transformée d’une rampe causale de pente a.
u2(t)
u2(t) = 0 pour t < 0 et u2(t) = at pour t > 0
U 2 ( p) =
∞
at × e − pt × dt
nous intégrons par parties :
-pt
il vient du = adt et v =
a
0
Soient u = at et dv = e dt ;
e − pt
ainsi U 2 ( p) = at × −
p
et finalement
∞
+
∞
0
U 2 ( p) =
a
p2
− e − pt
p
0
∞
a × e − pt
− a × e − pt
× dt = 0 +
p
p2
0
0
1s
t
• Exemple 3 : Transformée d’une « impulsion » exponentielle.
-t/
u3(t) = 0 pour t < 0 et u3(t) = e
pour t > 0
1
∞ −t
− p+ t
−1
pt
−
τ
× dt =
U 3 ( p) = e τ × e
× e
1
p+
0
U 3 ( p) =
τ
1
∞
0
t
0
τ
1 + τp
=
1
p+
τ
u3(t)
1
1.3 Quelques propriétés
La plupart des propriétés sont données ici sans démonstration : Consulter un ouvrage de mathématiques !
1.3.1 Linéarité.
Soient 2 fonctions du temps causales f1(t) et f2(t), ainsi que 2 constantes a et b
Si F1(p) et F2(p) désignent respectivement les transformées de f1(t) et f2(t) , la fonction g(t) = a×f1(t) + b×f2(t) admet
pour transformée G(p) = a×F1(p) + b×F2(p)
Exemple : Établissons les expressions des transformées de sin t×
j t
Nous utilisons la relation e = cos t + jsin t
j t
(e ) =
∞
0
e − ( p − jω ) t
e jωt × e − pt × dt = −
p − jω
∞
0
1
=
p − jω
(t) et de cos t×
(t) .
(t)
sin t.
1
Multiplions cette expression par la quantité conjuguée :
p
ω
(cos t + jsin t) =
+ j×
2
2
2
p +ω
p + ω2
j t
(e ) =
D’où on peut tirer :
p
(cos t) =
p 2 + ω2
0
t
(t)
cos t.
1
et
(sin t) =
ω
p 2 + ω2
0
2 /
t
1.3.2 Théorème du retard (ou transformée d’une translatée).
Soit f(t), fonction causale du temps, dont la transformée est F(p).
Soit f(t – ) la fonction retardée d’une durée .
(La fonction f(t) a en fait subi une translation dans le temps).
Recherchons la transformée de la translatée
(f(t- ) ) =
∞
0
f ( t − θ) × e − pt × dt =
∞
f
f(t)
(f(t- )).
0
f ( t − θ) × e − pt × dt
t
θ
car f(t- ) est nulle entre t = 0 et t = si f(t) est causale !
Posons t’ = t- ; alors dt’ = dt et les bornes d’intégration en t’ deviennent 0 et +∝.
(f(t’) ) =
∞
∞
+θ) × dt '= e − pθ × f ( t ') × e − pt '× dt '
f ( t ') × e − p ( t '
0
et finalement :
-p
(f(t - ) ) = e
0
×
f(t- )
(f(t) )
-p
Une translation de (- ) dans l’espace « t » correspond à la multiplication par e
dans l’espace « p »
• Exemple 1 : Transformée d’une tension en forme de créneau.
Soit la tension causale v(t) ci-contre.
v(t) = 0 pour t < 0 et t > ; v(t) = E pour 0 < t <
v(t)
E
Nous avons décomposé précédemment v(t) en la somme d’un échelon de
hauteur E apparaissant à t = 0 et d’un échelon de hauteur (–E) apparaissant
à la date , soit v(t) = E× (t) - E× (t – )
E
E × (1 − e − pθ )
E
Il vient immédiatement : V( p) = − e − pθ × =
p
p
p
0
t (s)
• Exemple 2 : Transformée de « l’impulsion de Dirac ».
Cette fonction est la limite du créneau ci-contre (hauteur E et
largeur ), vérifiant E× = 1, lorsque → 0
Il s’agit d’une impulsion de hauteur infiniment grande, de largeur
infiniment faible, et dont la surface balayée est unitaire.
E
On la nomme et on la représente par une flèche avec l’annotation
« 1 », comme ci-contre à droite ; ce 1 désigne la surface de l’impulsion
et non sa hauteur.
Cet « objet » mathématique n’a bien sur aucun sens physique, mais il joue
un rôle important dans l’étude des circuits par la méthode de Laplace.
Nous pouvons écrire : = 0 si t ≠ 0 et
Alors ∆(p) =
0+
( (t)) = δ( t ) × e − pt × dt =
t (s)
1
0
δ( t ) × dt = 1
0−
∞
0
- /2 /2
t (s)
0+
δ( t ) × e − pt × dt puisque (t) est nulle en dehors de cet intervalle.
0−
0
Or, entre 0- et 0+ , e-pt est constante et vaut 1, et vaut également 1.
∆(p) =
D’où
( (t) ) = 1
1.3.3 Transformée d’une fonction causale amortie (exponentiellement).
Soit la fonction du temps f(t) causale, dont la transformée est F(p).
-at
La fonction f ’(t) = e ×f(t) correspond à un amortissement exponentiel de f(t) ; la constante de temps étant = 1/a,
nous pouvons admettre la « disparition » (annulation) de f ’ au bout d’une durée 5 = 5/a.
On peut écrire
(f ’(t)) =
-at
e ×f(t) =
-at
∞
e − at × f ( t ) × e − pt × dt =
0
∞
f ( t ) × e − ( p + a ) t × dt
0
(e ×f(t) ) = F(p + a)
d’où :
-at
La transformée de e ×f(t) est de même forme que la transformée F(p) de f(t), mais en y effectuant le changement
de variable p → p + a.
-at
Une multiplication par e
dans l’espace « t » correspond à une translation de +a dans l’espace « p »
• Exemple : Transformée d’une sinusoïde amortie.
f’
-at
Soit la fonction f ’(t) = e ×sin t×
En se rappelant que
On établit aisément
(t) (cf. ci-contre)
ω
(sin t) =
p 2 + ω2
ω
-at
(e ×sin t) =
( p + a ) 2 + ω2
e
-at
0
t (s)
-e
-at
1.3.4 Transformée de la dérivée d’une fonction causale.
Soit la fonction f(t) causale, admettant F(p) comme transformée.
On recherche la transformée de
Intégrons par parties :
(
d’où :
df
, soit
dt
-pt
(
∞
∞
df
df
× e − pt × dt = df × e − pt
)=
dt
dt
-pt
0
0
du = -p×e ×dt
v= f
u=e
dv = df
∞
∞
df
) = f ( t ) × e − pt 0 + p × f ( t ) × e − pt × dt = −f (0) + p × F( p)
dt
[
]
0
df
)= p×F(p) – f(0)
dt
Le cas le plus intéressant est celui des fonctions causales nulles en t = 0 (conditions initiales nulles) :
Pour une fonction causale du temps, nulle en 0, la dérivation dans l’espace « t » correspond à une multiplication
de la transformée par p dans l’espace « p ».
et ainsi :
(
• Exemple : Résolution d’une équation différentielle.
Soit un circuit linéaire, régi par l’équation :
d 2s
ds
− 3 + 2s( t ) = 5e( t ) , avec les conditions initiales
2
dt
dt
suivantes : s(t) et e(t) nulles pour t ≤ 0.
Écrivons la transformée de Laplace de cette combinaison linéaire de fonctions :
Si E(p) et S(p) désignent respectivement les transformées de e(t) et de s(t),
5
2
p ×S(p) – 3.p×S(p) + 2.S(p) = 5.E(p) , ce qui amène à S( p) =
× E( p)
2
p − 3p + 2
Connaissant e(t) et ainsi E(p), on détermine aisément S(p) ; il reste à « remonter » à l’originale s(t) par inversion de
la transformée. (Voir plus loin)
1.3.5 Transformée de la primitive d’une fonction causale.
Soit f(t) causale, dont la transformée est F(p)
Nous admettons la propriété :
t
( f ( u )du ) =
0
F( p)
p
Dans la mesure où une fonction causale f admet une transformée F(p), l’intégration dans l’espace « t » correspond
à une division de la transformée par p dans l’espace « p ».
1.3.6 Théorème de la valeur finale.
Nous admettons la relation suivante :
lim f ( t ) = lim p × F( p) (si ces limites existent et sont finies)
t →∞
p → 0+
1.3.7 Théorème de la valeur initiale.
Nous admettons la relation suivante :
lim f ( t ) = lim p × F( p) (si cette limite existe et est finie)
t → 0+
p→∞
1.4 Inversion (Retour à la fonction originale )
Le problème consiste à trouver la fonction originale f(t) à partir de sa transformée F(p). La fonction f(t)
ainsi déterminée ne sera définie que pour t ≥ 0.
Habituellement, nous ne rencontrons que des transformées se présentant sous forme d’un rapport de 2 polynômes
N ( p)
.
en p, de type F( p) =
D ( p)
Physiquement le degré de D(p) est supérieur ou égal au degré de N(p) : Il est alors possible de décomposer F(p) en
éléments simples.
Pour un polynôme D(p), de degré d, il existe d racines qui sont, soit toutes distinctes, soit dont certaines sont
d’ordre multiple.
2
Exemple :
D1(p) = p + 3p + 2 de degré 2 s’écrit D1(p) = (p +1).(p + 2) ; D1(p) possède 2 racines distinctes,
p1 = -1 et p2 = -2.
2
2
D2(p) = p + 2p + 1 de degré 2 s’écrit D2(p) = (p + 1) ; D2(p) possède 1 racine double p1 = -1 .
• Si D(p) possède des racines réelles distinctes, p1 , p2 , p3 …, on écrira :
N ( p)
A
B
C
F( p) =
=
+
+
( p − p1 ).( p − p 2 ).( p − p3 )
p − p1 p − p 2 p − p3
où A , B , C sont des constantes (indépendantes de p) ; on les détermine de la façon suivante :
A = lim ( p − p1 ).F( p) , B = lim ( p − p 2 ).F( p) ,
p → p1
p → p2
• Si D(p) possède des racines réelles dont une est d’ordre multiple, on écrira par exemple :
N ( p)
A1
A2
B
C
F( p) =
=
+
+
+
2
2
−
−
−
p
p
p
p
p
p3
( p − p1 ) .( p − p 2 ).( p − p3 )
( p − p1 )
1
2
où A1 , A2 , B , C sont des constantes par rapport à p.
Nous aurons A1 = lim ( p − p1 ) 2 .F( p) , etc…
p → p1
• Si D(p) possède un ou plusieurs couples de racines complexes conjuguées, on ne cherchera pas à décomposer en
éléments du 1er ordre, mais on conservera des trinômes en p2 dans l’expression de D(p) ; on consultera alors une
table de transformées.
Une fois la décomposition de F(p) en éléments simples terminée, on pourra aisément « remonter » à l’originale
1
E
-at
est e , et que celle de
est la constante E, on mettra f(t) sous
f(t) ; en se rappelant que l’originale de
p+a
p
forme d’une combinaison linéaire d’exponentielles décroissantes du temps et de constantes.
• Exemple 1 : Rechercher l’originale de U ( p) =
2p + 1
p 2 + 3p + 2
2p + 1
A
B
;
=
+
( p + 1).( p + 2)
p +1 p + 2
on détermine aisément A = -1 et B = 3
3
−1
d’où U ( p) =
.
+
p +1 p + 2
U ( p) =
-t
-2t
Finalement, u(t) = (-e + 3.e )×
(t)
• Exemple 2: Rechercher l’originale de U ( p) =
1
p.( p 2 + 2p + 1)
1
A
B
C
=
+
+
2
2
p ( p + 1)
p +1
p.( p + 1)
on détermine A = 1 , B = -1 et C = -1;
1
1
−
d’où U ( p) = 1 −
p ( p + 1) 2
p +1
U ( p) =
-t
-t
Finalement : u(t) = (1 – t.e – e )×
(t)
2. Calcul Opérationnel (ou symbolique)
Voyons maintenant comment utiliser la transformation de Laplace pour l’étude des circuits linéaires
fonctionnant en régime quelconque.
2.1 Schéma opérationnel ; impédances opérationnelles.
Pour un dipôle linéaire quelconque, nous pouvons écrire une relation u(t) = f(i(t)) entre les grandeurs instantanées
u(t) et i(t). Que devient cette relation lorsqu’on considère les transformées U(p) et I(p) de u(t) et de i(t) ?
Pour une résistance :
i(t)
R
u(t) = R.i(t)
U(p)= R.I(p)
I(p)
u(t)
R
U(p)
Pour une inductance :
i(t)
L
u( t) = L
u(t)
di
dt
U(p)= L.p.I(p) –L.i(0)
I(p)
L.i(0)
Lp
U(p)
Pour une capacité :
1/Cp
C
i(t)
i( t ) = C
du
dt
I(p)= C.p.U(p) – C.u(0)
I(p)
U(p)
u(t)
Cu(0)
Les schémas de droite, traduisant la transformée de Laplace de la relation u(t) = f(i(t)) sont appelés schémas
opérationnels.
Dans le cas où les conditions initiales sont nulles (i(0) ou u(0) sont nuls), on peut écrire, entre les transformées U(p)
et I(p), une relation de type U(p) = Z(p).I(p) (ou I(p) = Y(p).U(p))
U ( p)
1
I( p )
est nommée impédance opérationnelle ; ( Y ( p) =
est l’admittance opérationnelle)
Z( p) =
=
I( p )
Z( p) U ( p)
Il vient ainsi : Résistance → Z(p) = R
Y(p) = 1 / R
Inductace → Z(p) = Lp
Y(p) = 1 / Lp
Capacité → Z(p) = 1 / Cp
Y(p) = Cp
Remarque : Dans le cas particulier du régime sinusoïdal permanent , nous retrouverons les écritures habituelles
(ZR = R ; ZL = jl ; ZC = 1/jC ) en remplaçant la variable de Laplace p par la variable complexe j .
2.2 Transmittance opérationnelle ou isomorphe.
Soit un circuit linéaire, soumis à une sollicitation quelconque e(t),
apparaissant à une date origine.
Ce circuit est régi par une équation différentielle linéaire du type :
d 2s
ds
d 2e
de
a 0s + a1
+ a2
+ ... = b 0 e + b 1
+ b2
+ ...
dt
dt
dt 2
dt 2
• 1er cas : Toutes les grandeurs sont nulles pour t < 0.
e(t)
Circuit
linéaire
s(t)
La transformée de Laplace de l’équation ci-dessus est :
2
2
a0S(p) + a1pS(p) + a2p S(p) + … = b0E(p) + b1pE(p) + b2p E(p) +...
2
2
Soit:
S(p).( a0 + a1p + a2p +…) = E(p).( b0 + b1p + b2p +…)
S( p)
b + b1p + b 2 p 2 +
= 0
et ainsi
E( p)
a 0 + a1p + a 2 p 2 +
S( p)
Physiquement, s(t) est uniquement du à l’apparition de e(t). Le rapport
désigne la transmittance
E( p)
opérationnelle (ou isomorphe) du circuit.
S( p)
b + b1p + b 2 p 2 +
T( p) =
= 0
E( p )
a 0 + a1p + a 2 p 2 +
La transmittance opérationnelle d’un circuit linéaire apparaît comme le rapport de 2 polynômes en « p ». Les
cœfficients des différents termes de ces polynômes sont les coefficients de l’équation différentielle qui régit le
fonctionnement du circuit.
• 2ème cas : Le signal de sortie n’est pas nul à t = 0.
Comme e(t) n’apparaît qu’à cette date, la valeur initiale de s(t) est due à une grandeur électrique interne au
circuit, grandeur non nulle à l’origine du temps.
Puisque s(0) ≠ 0 , la transformation de Laplace appliquée à l’équation différentielle ci-dessus fait apparaître
un terme constant dans le membre de gauche.
Physiquement, nous aurons ainsi la superposition d’un régime libre, du à s(0), et d’un régime forcé, du à
e(t). Le régime libre va s’amortir et disparaître au bout d’un certain temps (phénomène transitoire), alors que le
régime forcé va perdurer : Ce régime forcé correspond au régime permanent de fonctionnement.
Conséquence : La transmittance opérationnelle, telle que nous l’avons définie, n’a de sens que pour le
régime permanent. (ou forcé par la grandeur d’entrée)
• Relation avec la transmittance complexe ( ou harmonique, ou isochrone ) T(j ).
Nous nous plaçons en signaux sinusoïdaux établis. (régime permanent)
Si à u(t) = U 2sin t , on associe U = [ U ; 0 ] = U + 0j , on rappelle qu’à u’ = du / dt , on associe U’ = j U .
Écrivons l’équation différentielle du circuit en notation complexe :
2
2
a0S + a1j S + a2(j ) +… = b0E + b1j E + b2(j ) +…
S
b + b1 ( jω) + b 2 ( jω) 2 +
T( jω) =
= 0
d’où:
E
a 0 + a1 ( jω) + a 2 ( jω) 2 +
Nous pouvons constater que l’analogie est totale entre T(p) et T(j ), si on associe j à p.
La transmittance complexe T(j ) est un cas particulier de la transmittance opérationnelle T(p), pour lequel p = j .
Pour le régime sinusoïdal établi, p = j , et seulement dans ce cas !
• Importance de la réponse impulsionnelle.
Supposons un circuit linéaire attaqué par une impulsion de Dirac (t), dont la transformée est ∆(p) = 1.
S( p)
s’identifie alors à S(p).
Sa transmittance opérationnelle T( p) =
∆ ( p)
D’où la relation importante :
La transmittance opérationnelle d’un circuit n’est autre que la transformée de Laplace de sa réponse à une
impulsion de Dirac.
• Pôles et zéros.
La transmittance T(p) étant un rapport de 2 polynômes en p, ceux ci possèdent des racines.
N ( p)
Posons T( p) =
;
Les racines de N(p) (→ solutions de N(p) = 0 ) sont nommées les zéros de T(p)
D ( p)
Les racines de D(p) (→ solutions de D(p) = 0 ) sont nommées les pôles de T(p).
Soient z1, z2, z3… les zéros de T(p) et p1, p2, p3… les pôles de T(p).
( p − z1 ).( p − z 2 ).( p − z3 )...
T(p)peut ainsi s’écrire : T( p) = K.
où K est une constante.
( p − p1 ).( p − p 2 ).( p − p3 )...
La connaissance des pôles d’une transmittance opérationnelle permet de préciser une caractéristique importante
d’un circuit linéaire : Sa stabilité.
Nous pouvons définir la stabilité d’un circuit linéaire de la façon suivante : Étant donné un circuit linéaire
initialement au repos, il sera qualifié de stable si, après être soumis à une impulsion de Dirac à une date origine, il
revient au repos au bout d’une durée finie.
Si le circuit est instable, une telle sollicitation le fera, soit entrer en saturation, soit entrer en oscillation
quasi permanente.
( p − z1 ).( p − z 2 ).( p − z3 )...
( p − p1 ).( p − p 2 ).( p − p3 )...
Soit, après décomposition en éléments simples :
A
B
C
S( p) =
+
+
+
p − p1 p − p 2 p − p3
1
-at
remontons à l’originale s(t) : comme l’originale de
est e ,
p+a
+p1t
+p2t
+p3t
s(t) = A.e
+ B.e
+ C.e
+…
Pour E(p)= ∆(p) = 1 , S(p) = T( p) = K.
La stabilité de notre circuit exige que lim s( t ) = 0
t →∞
- Si les pôles pi sont réels, ils doivent être négatifs,
- Si les pôles pi sont complexes, leur partie réelle doit être négative.
Un circuit linéaire est qualifié de stable si les pôles de sa transmittance opérationnelle sont à partie réelle négative
2.3 Quelques exemples.
i(t)
• Exemple 1 :
t=0
Le condensateur C est initialement chargé sous la tension E ;
l’interrupteur est ouvert pour t < 0 , puis fermé à t = 0.
Étudions l’évolution du courant i(t) à compter de t = 0.
Définissons d’abord le schéma opérationnel de ce circuit, pour
t>0:
Il vient I(p) = CE – Cp.UC(p), avec UC(p) =R.I(p)
D’où I(p).(1 + RCp) = CE
CE
E
1
Soit encore I( p) =
=
⋅
1 + RCp
R p+ 1
RC
uC(t)
R
C
I(p)
CE
1/Cp
i(t)
t
E −
dont l’originale est : i( t ) =
⋅ e RC
R
E/R
0
t
i(t)
• Exemple 2 :
On envisage la même situation initiale que dans l’exemple précédent
mais la décharge s’effectue dans une bobine d’inductance L et de
résistance négligeable.
t=0
uC(t)
L
C
I(p)
A partir du schéma opérationnel équivalent, nous pouvons écrire :
I(p) = CE – Cp.UC(p)
avec UC(p) = Lp.I(p) (i(0) = 0)
d’où I(p).(1 + LCp2)= CE
soit encore:
posons ω02
E
1
I( p ) = ⋅
L p2 + 1
LC
1
C
ω0
⋅
=
; alors I( p) = E
L p 2 + ω02
LC
C
dont l’originale est : i( t ) = E
⋅ sin ωt
L
(En réalité, la bobine est pourvue d’une certaine résistance,
qui va provoquer un amortissement plus ou moins rapide de ce
courant au cours du temps).
R
UC(p)
CE
UC(p)
Lp
1/Cp
i(t)
+E (C/L)
0
-E (C/L)
t
2 /
• Exemple 3 :
L
R
Calculons la transmittance opérationnelle du classique circuit
RLC représenté ci-contre.
1
1
1
1
Cp
=
=
×
T( p) =
1
LC p 2 + R p + 1
1 + RCp + LCp2
R + Lp +
LC
L
Cp
Choisissons : R = 1kΩ ; L = 1mH ; C = 10nF ; il vient alors : T( p) =
uE
C
uS
1011
p 2 + 106 p + 1011
Les pôles de T(p) sont p1 ≈ - 887300 et p2≈ - 112700 .
Les pôles de T(p) sont réels négatifs : Le circuit est donc stable.
Envisageons une attaque impulsionnelle : uE(t) = (t), soit UE(p) = 1
1011
nous aurons : S( p) = T( p).E( p) =
p 2 + 106 p + 1011
129100
129100
−
Soit, après décomposition en éléments simples : S( p) ≈
p + 112700 p + 887300
dont l’originale est : s(t) ≈ 129100×(e
-112700t
–e
-887300t
)
Qu’en est-il du comportement de notre circuit en régime sinusoïdal permanent ?
Remplaçons p par j dans l’expression de la transmittance :
T( jω) =
1
1 + jRCω +
(
Nous reconnaissons une réponse passe-bas du second ordre, de pulsation propre ω0 =
m =
R
C
. (Soit respectivement
⋅
2
L
0
LC jω
)2
1
, et d’amortissement
LC
≈ 316200 rad/s et m ≈ 1,58 avec les valeurs numériques choisies )