1ère S

Tale S
Chapitre n° 8
LE D IPÔLE RL
I- La bobine
1°)Définition •Une bobine est constituée d’un enroulement de fil électrique en cuivre, entouré d’une gaine ou d’un vernis
isolant. Elle est caractérisée par s'exprimant en ( ) et
s'exprimant en ( ).
Rq. 1 : L’inductance d’une bobine dépend des caractéristiques du composant, comme la longueur du fil enroulé, la
nature du conducteur électrique ou le diamètre des spires.
Rq. 2 : L’unité Henry étant peu adaptée aux valeurs d’inductance, celles-ci sont souvent exprimées avec des sous-
multiples.
Rq. 3 : La valeur de l’inductance peut être augmentée en introduisant un noyau de fer doux à l’intérieur de la bobine.
Rq. 4 : La valeur de la résistance d’un fil conducteur de longueur l, de section uniforme S et de résistivité ρ
(caractéristique du matériau utilisé) s’exprime par : .
•Notation conventionnelle :
2°)Modélisation d’une bobine
a) Relation entre tension aux bornes d’une bobine et intensité
•En convention récepteur, la tension uAD(t) aux bornes d’une bobine est liée à l’intensité du courant qui la
traverse par la relation :
•Le terme montre que la tension aux bornes de la bobine dépend de
et de
•Le terme montre que plus la résistance interne est grande, plus ce terme est
b) Les différents comportements d’une bobine
•Lorsque l’intensité du courant traversant la bobine est constante, la tension à ses bornes vaut : uAD(t) : la
bobine se comporte alors comme un simple conducteur ohmique.
•Dans certaines circonstances le terme r.i(t) peut être négligé devant
dt
)t(di
.L
: la bobine est alors qualifiée
ou appelée , et la tension à ses bornes vaut : uAD(t) =
- si l’intensité du courant augmente, i(t) est une fonction croissante du temps, donc
dt
)t(di
et uAD(t)
- si l’intensité du courant diminue, i(t) est une fonction décroissante du temps, donc
dt
)t(di
et uAD(t)
- plus la variation de l’intensité est importante, plus la valeur absolue de la tension aux bornes de la bobine
est
II- É tude de la réponse d’un dipôle RL à un échelon de tension
1°)Introduction
a) Le dipôle RL
Un dipôle RL est constitué de l’association d’un conducteur ohmique de résistance R et d’une bobine de
résistance interne r et d’inductance L.
Un dipôle RL a donc pour résistance totale : RT =
- 1 -

b) L’échelon de tension
Un dipôle RL subit un échelon de tension lorsque
l’interrupteur, du circuit dans lequel un générateur de tension continue
(E) est branché en dérivation aux bornes du dipôle RL, est fermé. La
tension uRL passe alors brutalement de 0 V à E V.
2°)L’étude
a) Montage
b) É tablissement de l’équation différentielle •Avant le basculement de l’interrupteur en position fermée, l’intensité du courant est supposée
•Lorsque l’interrupteur est basculé en position fermée, la tension aux bornes du dipôle RL passe
brutalement de
•D’après la loi d’additivité des tensions : soit
soit soit
•En notant
T
R
L
=τ
avec RT = R + r, nous obtenons :
c) Solution de l’équation différentielle •L’équation différentielle linéaire du premier ordre en i(t) à coefficients constants et avec second membre
non nul peut admettre comme solution : où A, B et m sont des constantes à déterminer
•Si alors
•L’équation différentielle peut alors s’écrire :
•La comparaison membre à membre nous conduit à écrire :
soit m = = et soit
La solution générale de l’équation différentielle s’écrit alors :
•De plus à t = 0 s, l’intensité du courant est nulle, donc
Donc : soit Donc : avec
•Conclusion :
•Intensité électrique finale : L’intensité électrique étant définie par : , lorsque t tend
vers l’infini,
τ
−
t
e
tend vers , donc i(t) tend vers : i(∞) =
- 2 -
uRL
0
t
R
E
•
A
D
•
L
r
•
•
B
•
•
•
P N

d) É volution de la tension aux bornes de la bobine
•La tension aux bornes de la bobine est définie par :
•Or l’intensité du courant est définie par : soit
alors soit
soit soit
Conclusion : Lorsque t tend vers l’infini,
τ
−
t
e
tend vers , donc uBD(t) tend vers .
Si la bobine est idéale, la tension aux bornes de la bobine uBD(t) tend vers .
e) Les graphiques i = f(t) et u L = f(t)
E = 6 V ; L = 200 mH ; R = 10 Ω
III- É tude de la réponse d’un dipôle RL à une rupture de tension
1°)Introduction
Un dipôle RL subit une rupture de courant lorsque
l’interrupteur, du circuit dans lequel un générateur de tension continue
(E) est branché en dérivation aux bornes du dipôle RL, est brutalement
ouvert. La tension uRL passe alors brutalement de V à V.
2°)L’étude
a) Montage
b) É tablissement de l’équation différentielle
•Avant l’ouverture de l’interrupteur, l’intensité du courant est égale à
•A l’ouverture de l’interrupteur, la tension aux bornes du dipôle RL passe brutalement de V à V.
•D’après la loi d’additivité des tensions : soit
soit soit
•En notant
T
R
L
=τ
avec RT = R + r, nous obtenons :
- 3 -
uRL
0
t
R
•
A
D
•
i
uR
uBD
L
r
•
•
B
•
E
r =0 Ω
r =5 Ω
r =0 Ω
r =5 Ω

c) Solution de l’équation différentielle •L’équation différentielle linéaire du premier ordre en i(t) à coefficients constants et sans second membre
peut admettre comme solution : où A, B et m sont des constantes à
déterminer
•Si alors
•L’équation différentielle peut alors s’écrire :
•La comparaison membre à membre nous conduit à écrire :
soit m = = et soit
La solution générale de l’équation différentielle s’écrit alors :
•De plus, à t = 0 s, l’intensité du courant vaut :
Donc : soit Donc : avec
T
R
L
=τ
•Conclusion :
•Intensité électrique finale : L’intensité électrique étant définie par : , lorsque t tend
vers l’infini,
τ
−
t
e
tend vers , donc i(t) tend vers
d) É volution de la tension aux bornes de la bobine
•La tension aux bornes de la bobine est définie par :
•Or l’intensité du courant est définie par : alors
soit soit
Conclusion : Lorsque t tend vers l’infini,
τ
−
t
e
tend vers , donc uBD(t) tend vers
3°)Le phénomène de surtension
Supposons que l’intensité électrique du courant traversant une inductance pure de 1 Henry passe brutalement de
1 A à 0 A en 1 ms, par ouverture de l’interrupteur du circuit.
La tension à ses bornes étant définie par : , vaut :
Cette surtension momentanée provoque une étincelle aux bornes de l’interrupteur, pouvant être dangereuse pour
les composants du circuit. Un système de protection est indispensable (diode, condensateur …)
IV-La constante de temps du dipôle RL
1°)Analyse dimensionnelle
Lors de l’établissement de l’équation différentielle régissant la mise en tension du dipôle RL, nous avons défini la
constante τ comme le quotient τ =
T
R
L
: quelle est la dimension de cette constante ?
- 4 -

D’après la loi d’Ohm, nous avons : soit donc
Or la tension aux bornes d’une inductance pure est définie par : donc
Donc : soit
Conclusion : Le quotient
T
R
L
est homogène à
τ =
T
R
L
est appelé du dipôle RL et s’exprime en
2°)Méthodes de détermination
a) À partir des valeurs des composants du circuit
La connaissance de la résistance du conducteur ohmique et de l’inductance de la bobine permet simplement de
calculer la constante de temps : τ =
T
R
L
b) À partir du graphique i = f(t)
•Lorsque le dipôle RL est soumis à un échelon de tension, le graphique i = f(t) ayant comme équation
, nous avons à t = τ : soit
•Lors d’une rupture de tension dans un circuit comportant un dipôle RL, le graphique i = f(t) ayant comme
équation , nous avons à t = τ : soit
•Lorsque le dipôle RL est soumis à un échelon de tension, le tracé de la tangente au graphique i = f(t)
permet de mettre en évidence un point d’intersection entre l’asymptote à la courbe et la tangente ;
l’abscisse de ce point d’intersection a pour valeur : t = τ
•Lors d’une rupture de tension dans un circuit comportant un dipôle RL, le tracé de la tangente au
graphique i = f(t) permet de mettre en évidence un point d’intersection entre l’axe des abscisses et la
tangente ; l’abscisse de ce point d’intersection a pour valeur : t = τ
i = f(t)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
t (en s)
i (en mA)
i = f(t)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
t (en s)
i (en mA)
Réponse d’un dipôle RL à un échelon de tension Réponse d’un dipôle RL à une rupture de tension
- 5 -