1ère S

Tale S
Chapitre n° 8
LE DIPÔLE RL
I- La bobine
1°)Définition
• Une bobine est constituée d’un enroulement de fil électrique en cuivre, entouré d’une gaine ou d’un vernis
isolant. Elle est caractérisée par
s'exprimant en
(
) et
s'exprimant en
(
).
Rq. 1 : L’inductance d’une bobine dépend des caractéristiques du composant, comme la longueur du fil enroulé, la
nature du conducteur électrique ou le diamètre des spires.
Rq. 2 : L’unité Henry étant peu adaptée aux valeurs d’inductance, celles-ci sont souvent exprimées avec des sousmultiples.
Rq. 3 : La valeur de l’inductance peut être augmentée en introduisant un noyau de fer doux à l’intérieur de la bobine.
Rq. 4 : La valeur de la résistance d’un fil conducteur de longueur l, de section uniforme S et de résistivité ρ
(caractéristique du matériau utilisé) s’exprime par :
.
• Notation conventionnelle :
2°)Modélisation d’une bobine
a) Relation entre tension aux bornes d’une bobine et intensité
• En convention récepteur, la tension uAD(t) aux bornes d’une bobine est liée à l’intensité du courant qui la
traverse par la relation :
• Le terme
montre que la tension aux bornes de la bobine dépend de
et de
montre que plus la résistance interne est grande, plus ce terme est
• Le terme
b) Les différents comportements d’une bobine
• Lorsque l’intensité du courant traversant la bobine est constante, la tension à ses bornes vaut : uAD(t)
: la
bobine se comporte alors comme un simple conducteur ohmique.
di( t )
• Dans certaines circonstances le terme r.i(t) peut être négligé devant L.
: la bobine est alors qualifiée
dt
ou appelée
-
, et la tension à ses bornes vaut : uAD(t) =
di( t )
et uAD(t)
dt
di( t )
si l’intensité du courant diminue, i(t) est une fonction décroissante du temps, donc
et uAD(t)
dt
plus la variation de l’intensité est importante, plus la valeur absolue de la tension aux bornes de la bobine
est
si l’intensité du courant augmente, i(t) est une fonction croissante du temps, donc
II- Étude de la réponse d’un dipôle RL à un échelon de tension
1°)Introduction
a) Le dipôle RL
Un dipôle RL est constitué de l’association d’un conducteur ohmique de résistance R et d’une bobine de
résistance interne r et d’inductance L.
Un dipôle RL a donc pour résistance totale : RT =
-1-
b) L’échelon de tension
Un dipôle RL subit un échelon de tension lorsque
l’interrupteur, du circuit dans lequel un générateur de tension continue
(E) est branché en dérivation aux bornes du dipôle RL, est fermé. La
tension uRL passe alors brutalement de 0 V à E V.
uRL
t
0
2°)L’étude
a) Montage
A
•
•
B
R
r
L
•
• D
•
P
•
•
E
N
b) Établissement de l’équation différentielle
• Avant le basculement de l’interrupteur en position fermée, l’intensité du courant est supposée
• Lorsque l’interrupteur est basculé en position fermée, la tension aux bornes du dipôle RL passe
brutalement de
• D’après la loi d’additivité des tensions :
soit
• En notant τ =
soit
soit
L
avec RT = R + r, nous obtenons :
RT
c) Solution de l’équation différentielle
• L’équation différentielle linéaire du premier ordre en i(t) à coefficients constants et avec second membre
non nul peut admettre comme solution :
où A, B et m sont des constantes à déterminer
•
Si
•
L’équation différentielle
•
La comparaison membre à membre nous conduit à écrire :
alors
peut alors s’écrire :
soit
m=
=
et
soit
La solution générale de l’équation différentielle s’écrit alors :
•
De plus à t = 0 s, l’intensité du courant est nulle, donc
Donc :
soit
Donc :
avec
•
Conclusion :
•
Intensité électrique finale : L’intensité électrique étant définie par :
vers l’infini,
t
−
e τ
tend vers
, donc i(t) tend vers
-2-
:
i(∞) =
, lorsque t tend
d) Évolution de la tension aux bornes de la bobine
• La tension aux bornes de la bobine est définie par :
• Or l’intensité du courant est définie par :
soit
alors
soit
soit
soit
t
Conclusion : Lorsque t tend vers l’infini, e − τ tend vers
, donc uBD(t) tend vers
.
Si la bobine est idéale, la tension aux bornes de la bobine uBD(t) tend vers
.
e) Les graphiques i = f(t) et uL = f(t)
r =0 Ω
r =5 Ω
r =5 Ω
r =0 Ω
E=6V
;
L = 200 mH
R = 10 Ω
;
III- Étude de la réponse d’un dipôle RL à une rupture de tension
1°)Introduction
Un dipôle RL subit une rupture de courant lorsque
l’interrupteur, du circuit dans lequel un générateur de tension continue
(E) est branché en dérivation aux bornes du dipôle RL, est brutalement
ouvert. La tension uRL passe alors brutalement de
Và
V.
uRL
t
0
2°)L’étude
a) Montage
A
•
B
R
•
r
L
• D
i
uBD
uR
•
•
E
b) Établissement de l’équation différentielle
• Avant l’ouverture de l’interrupteur, l’intensité du courant est égale à
• A l’ouverture de l’interrupteur, la tension aux bornes du dipôle RL passe brutalement de
• D’après la loi d’additivité des tensions :
soit
soit
• En notant τ =
soit
L
avec RT = R + r, nous obtenons :
RT
-3-
Và
V.
c) Solution de l’équation différentielle
• L’équation différentielle linéaire du premier ordre en i(t) à coefficients constants et sans second membre
peut admettre comme solution :
où A, B et m sont des constantes à
déterminer
•
Si
•
L’équation différentielle
•
La comparaison membre à membre nous conduit à écrire :
alors
peut alors s’écrire :
soit
m=
=
et
soit
La solution générale de l’équation différentielle s’écrit alors :
•
De plus, à t = 0 s, l’intensité du courant vaut :
Donc :
soit
•
Conclusion :
•
Intensité électrique finale : L’intensité électrique étant définie par :
t
vers l’infini, e − τ tend vers
avec τ =
Donc :
L
RT
, lorsque t tend
, donc i(t) tend vers
d) Évolution de la tension aux bornes de la bobine
• La tension aux bornes de la bobine est définie par :
• Or l’intensité du courant est définie par :
alors
soit
soit
t
Conclusion : Lorsque t tend vers l’infini, e − τ tend vers
, donc uBD(t) tend vers
3°)Le phénomène de surtension
Supposons que l’intensité électrique du courant traversant une inductance pure de 1 Henry passe brutalement de
1 A à 0 A en 1 ms, par ouverture de l’interrupteur du circuit.
La tension à ses bornes étant définie par :
, vaut :
Cette surtension momentanée provoque une étincelle aux bornes de l’interrupteur, pouvant être dangereuse pour
les composants du circuit. Un système de protection est indispensable (diode, condensateur …)
IV-La constante de temps du dipôle RL
1°)Analyse dimensionnelle
Lors de l’établissement de l’équation différentielle régissant la mise en tension du dipôle RL, nous avons défini la
L
constante τ comme le quotient τ =
: quelle est la dimension de cette constante ?
RT
-4-
D’après la loi d’Ohm, nous avons :
soit
donc
Or la tension aux bornes d’une inductance pure est définie par :
Donc :
donc
soit
Conclusion : Le quotient
τ=
L
est homogène à
RT
L
est appelé
RT
du dipôle RL et s’exprime en
2°)Méthodes de détermination
a) À partir des valeurs des composants du circuit
La connaissance de la résistance du conducteur ohmique et de l’inductance de la bobine permet simplement de
L
calculer la constante de temps : τ =
RT
b) À partir du graphique i = f(t)
•
Lorsque le dipôle RL est soumis à un échelon de tension, le graphique i = f(t) ayant comme équation
, nous avons à t = τ :
•
soit
Lors d’une rupture de tension dans un circuit comportant un dipôle RL, le graphique i = f(t) ayant comme
, nous avons à t = τ :
équation
•
Lorsque le dipôle RL est soumis à un échelon de tension, le tracé de la tangente au graphique i = f(t)
permet de mettre en évidence un point d’intersection entre l’asymptote à la courbe et la tangente ;
l’abscisse de ce point d’intersection a pour valeur : t = τ
•
Lors d’une rupture de tension dans un circuit comportant un dipôle RL, le tracé de la tangente au
graphique i = f(t) permet de mettre en évidence un point d’intersection entre l’axe des abscisses et la
tangente ; l’abscisse de ce point d’intersection a pour valeur : t = τ
450
400
400
350
350
300
300
250
250
200
200
150
150
100
100
50
t (en s)
0
10
20
30
40
50
60
i = f(t)
i (en mA)
i = f(t)
i (en mA)
450
0
soit
70
80
90
50
t (en s)
0
0
100
Réponse d’un dipôle RL à un échelon de tension
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Réponse d’un dipôle RL à une rupture de tension
-5-
3°)Influence des caractéristiques du circuit sur la constante de temps lors de l’établissement d’un courant
a) Les graphiques i = f(t)
U=6V
r=5Ω
Courbe  :
R = 10 Ω
donc RT = 15 Ω

L = 200 mH

Courbe  :

R = 25 Ω
donc RT = 30 Ω
L = 200 mH
Courbe  :
R = 10 Ω
donc RT = 15 Ω
L = 400 mH
b) … en bref !
Les courbes représentant l’intensité traversant la bobine lors de l’établissement d’un courant possèdent deux
grandes parties :
• un
(pour t < 5.τ) au cours duquel l’intensité traversant la bobine
s’établit ;
• un
(pour t > 5.τ, date à partir de laquelle l’intensité du courant est égale
à 99 % de sa valeur finale) au cours duquel l’intensité traversant la bobine est quasi constante.
V- Énergie emmagasinée par la bobine
1°)Mise en évidence expérimentale
a) Montage
r
L
i
E=6V
L = 1,1 H ; r = 11,5 Ω
•
•
E
b) Observation et interprétation
Une fois le courant établi dans la branche comportant le dipôle RL, l’ouverture de l’interrupteur provoque
: la bobine est à l’origine de l’établissement d’un courant électrique
dans le circuit, elle avait donc auparavant
2°)Expression mathématique
Une bobine d’inductance L parcourue par un courant d’intensité i possède une énergie Ebobine définie par :
3°)Applications industrielles
Le stockage d’énergie par une bobine et sa restitution lors des variations de l’intensité du courant dans le circuit
sont utilisées dans de nombreux dispositifs :
•
•
•
•
-6-