2nde : corrigé du contrôle de probabilités

2nde : corrigé du contrôle de probabilités
I (1,5 points)
•p³A´=1−p(A)=1−1
5=4 5.
•p(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A∩B)
donc p(A∩B)=p(A)+p(B)−p(A∪B)=1
5+2 3−3 4
=12
60 +40 60 −45 60 =7 60
II (3,5 points)
On joue avec un dé bien équilibré dodécaédrique (à 12 faces
numérotées de 1 à 12) qu’on lance une seule fois et on s’intéresse
au nombre inscrit sur la face supérieure.
1. L’univers associé à cette expérience est
Ω={1 ; 23 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12} .
2. Le dé est bien équilibré ; chaque face a la même chance
d’apparaître donc nous sommes en situation d’équipro-
babilité
3. •Un événement élémentaire est par exemple : « obtenir
un multiple de 12. ».
•Un événement impossible est par exemple : « avoir un
nombre supérieur à 14. ».
•un événement à quatre issues est par exemple : « avoir
un multiple de 4. »
4. La probabilité d’obtenir un multiple de 3 est 4
12 =1 3car
l’événement « obtenir un multiple de 3 » est {3; 6 ; 9 ; 12}
III (3,5 points)
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie usuelle.
Ainsi obtient-on une liste ordonnée de trois résultats, par
exemple « Pile », « Pile », « Face » que l’on note (P ; P ; F).
1. Représentons la situation par un arbre :
P
PP
F
FP
F
F
PP
F
FP
F
2. L’univers est l’ensemble de toutes les listes possibles ; il y
en a huit.
(a) Soit A l’événement « Les trois résultats sont iden-
tiques » ; il est constitué de {PPP ; FFF} ;
donc p(A) =2
8=1 4.
(b) Soit B l’événement « La suite des trois résultats com-
mence par Pile » ; B représente la moitié des ré-
sultats possibles (par symétrie). il est constitué de
{PPP ;PPF ;PF P ;PF F }.
On en déduit p(B) =4
8=1 2.
IV (3,5 points)
Dans un groupe de 60 personnes, 34 aiment le rap, 24 ont plus de 20 ans et, parmi ces 24 personnes, 8 aiment le rap.
1. On complète le tableau :
Goûts musicaux
Âge Moins de 20 ans Plus de 20 ans Total
Aiment le rap 26 8 34
N’aiment pas le rap 10 16 26
Total 36 24 60
2. On rencontre au hasard une personne de ce groupe.
•Soit A : « la personne a plus de 20 ans ».
p(A)=24
60 =2 5
•Soit B : « la personne n’aime pas le rap ».
p(B)=26
60 =13 30
•Soit C : « la personne a plus de 20 ans et n’aime pas le rap ».
p(C)=16
60 =4 15
Remarque : il faut toujours simplifier les résultats !
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V (4 points)
Une fourmi se déplace sur les arêtes dun tétraèdre ABCD. De-
puis un sommet quelconque, elle se déplace vers un sommet voi-
sin.
A
B
C
D
La fourmi se trouve en A ; elle parcourt deux arêtes.
Traçons un arbre illustrant la situation
A
B
A
C
D
C
A
B
D
D
A
B
C
L’univers est constitué des neuf trajets ¡32¢possibles.
Ω={AB A −ABC −ABD −AC A −ACB −AC D −AD A −ADB −
ADC }
1. (a) La probabilité que la fourmi se trouve en A au bout
du trajet de deux arêtes est p(A) =3
9=1 3
(b) La probabilité que la fourmi se trouve en B au bout
du trajet de deux arêtes est p(B) =2
9
(c) La probabilité que la fourmi se trouve en C au bout
du trajet de deux arêtes est p(C) =2
9
(d) La probabilité que la fourmi se trouve en D au bout
du trajet de deux arêtes est p(D) =2
9
2. La somme de ces quatre nombres doit être égale à 1.
3
9+2 9+2 9+2 9=9 9=1
VI (4 points)
Une agence de location de véhicules possède un parc de 200
voitures. Certaines possèdent différentes options :
•120 véhicules ont un GPS.
•70 véhicules ont un radar de recul.
•40 véhicules ont un radar de recul et un GPS.
Un employé prend un véhicule au hasard. On note
•R l’événement : « le véhicule a un radar ».
•G l’événement : « le véhicule a un GPS ».
•S l’événement : « le véhicule n’a ni radar, ni GPS ».
1. Schéma :
RG
R∩G
12070 40
200
2. Chaque voiture a la même probabilité d’être choisie. Nous
sommes donc en situation d’équiprobilité.
La probabilité d’un événement est donc le nombre total de
cas possibles, divisé par le nombre total de cas possibles.
D’après l’énoncé, on a :
p(R)=70
200 =7 20 et p(G)=120 200 =3 5.
3. •R∩Gest l’éventent « le véhicule choisi a un radar et un
GPS ».
•R∪Gest l’éventent « le véhicule choisi a un radar ou un
GPS »
•Rest l’éventent « le véhicule choisi n’a pas de radar »..
•R∩G est l’éventent « le véhicule choisi n’a ni radar ni
GPS ».
4. (non demandé dans ce contrôle)
•40 véhicules ont le radar et un GPS donc
p(R∩G)=40
200 =1 5.
•p(R∪G)=p(R)+p(G)−p(R∩G)
=7
20 +3 5−1 5=7+12−4 20 =15 20 =3 4.
•p³R´=1−p(R)=1−7
20 =13 20 .
•p³R∩G´=p³R∪G´=1−p(R∪G)=1−3
4=1 4.
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