2nde : corrigé du contrôle de probabilités

2nde : corrigé du contrôle de probabilités
I (1,5 points)
III (3,5 points)
³ ´
4
1
• p A = 1 − p(A) = 1 − =
.
5
5
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie usuelle.
Ainsi obtient-on une liste ordonnée de trois résultats, par
exemple « Pile », « Pile », « Face » que l’on note (P ; P ; F).
• p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
donc p(A ∩ B) = p(A) + p(B) − p(A ∪ B) =
1. Représentons la situation par un arbre :
1 2 3
+ −
5 3 4
P
b
P
b
F
b
P
b
F
b
P
b
F
b
P
b
7
12 40 45
+
−
=
=
60 60 60
60
P
b
F
b
II (3,5 points)
b
On joue avec un dé bien équilibré dodécaédrique (à 12 faces
numérotées de 1 à 12) qu’on lance une seule fois et on s’intéresse
au nombre inscrit sur la face supérieure.
P
b
F
b
1. L’univers associé à cette expérience est
F
Ω = {1 ; 23 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12} .
b
b
2. Le dé est bien équilibré ; chaque face a la même chance
d’apparaître donc nous sommes en situation d’équiprobabilité
F
2. L’univers est l’ensemble de toutes les listes possibles ; il y
en a huit.
3. • Un événement élémentaire est par exemple : « obtenir
un multiple de 12. ».
• Un événement impossible est par exemple : « avoir un
nombre supérieur à 14. ».
• un événement à quatre issues est par exemple : « avoir
un multiple de 4. »
1
4
=
car
12 3
l’événement « obtenir un multiple de 3 » est {3 ; 6 ; 9 ; 12}
4. La probabilité d’obtenir un multiple de 3 est
(a) Soit A l’événement « Les trois résultats sont identiques » ; il est constitué de {PPP ; FFF} ;
donc p(A) =
1
2
=
.
8
4
(b) Soit B l’événement « La suite des trois résultats commence par Pile » ; B représente la moitié des résultats possibles (par symétrie). il est constitué de
{P P P ; P P F ; P F P ; P F F }.
1
4
.
On en déduit p(B) = =
8
2
IV (3,5 points)
Dans un groupe de 60 personnes, 34 aiment le rap, 24 ont plus de 20 ans et, parmi ces 24 personnes, 8 aiment le rap.
1. On complète le tableau :
Âge
Goûts musicaux
Aiment le rap
N’aiment pas le rap
Total
Moins de 20 ans
Plus de 20 ans
Total
26
10
36
8
16
24
34
26
60
2. On rencontre au hasard une personne de ce groupe.
• Soit A : « la personne a plus de 20 ans ».
p(A) =
2
24
=
60
5
• Soit B : « la personne n’aime pas le rap ».
p(B) =
13
26
=
60
30
• Soit C : « la personne a plus de 20 ans et n’aime pas le rap ».
p(C ) =
16
4
=
60
15
Remarque : il faut toujours simplifier les résultats !
Page 1/2
V (4 points)
VI (4 points)
Une fourmi se déplace sur les arêtes dun tétraèdre ABCD. Depuis un sommet quelconque, elle se déplace vers un sommet voisin.
Une agence de location de véhicules possède un parc de 200
voitures. Certaines possèdent différentes options :
• 120 véhicules ont un GPS.
• 70 véhicules ont un radar de recul.
D
b
• 40 véhicules ont un radar de recul et un GPS.
Un employé prend un véhicule au hasard. On note
• R l’événement : « le véhicule a un radar ».
A
b
b
C
• G l’événement : « le véhicule a un GPS ».
• S l’événement : « le véhicule n’a ni radar, ni GPS ».
1. Schéma :
b
B
200
La fourmi se trouve en A ; elle parcourt deux arêtes.
Traçons un arbre illustrant la situation
A
b
R
B
b
C
b
D
b
A
b
B
b
D
b
A
b
B
b
70
R ∩G
40
G
120
C
A
b
2. Chaque voiture a la même probabilité d’être choisie. Nous
sommes donc en situation d’équiprobilité.
La probabilité d’un événement est donc le nombre total de
cas possibles, divisé par le nombre total de cas possibles.
D’après l’énoncé, on a :
70
120 3
7
p(R) =
et p(G) =
=
= .
200 20
200 5
D
b
b
C
¡ 2¢
L’univers est constitué des neuf trajets 3 possibles.
Ω = {AB A − ABC − ABD − AC A − AC B − AC D − AD A − ADB −
ADC }
1.
3. • R ∩ G est l’éventent « le véhicule choisi a un radar et un
GPS ».
• R ∪ G est l’éventent « le véhicule choisi a un radar ou un
GPS »
• R est l’éventent « le véhicule choisi n’a pas de radar »..
(a) La probabilité que la fourmi se trouve en A au bout
3
1
du trajet de deux arêtes est p(A) = =
9
3
(b) La probabilité que la fourmi se trouve en B au bout
2
du trajet de deux arêtes est p(B) =
9
• R ∩ G est l’éventent « le véhicule choisi n’a ni radar ni
GPS ».
4. (non demandé dans ce contrôle)
(c) La probabilité que la fourmi se trouve en C au bout
2
du trajet de deux arêtes est p(C) =
9
(d) La probabilité que la fourmi se trouve en D au bout
2
du trajet de deux arêtes est p(D) =
9
2. La somme de ces quatre nombres doit être égale à 1.
3 2 2 2 9
+ + + = =1
9 9 9 9 9
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• 40 véhicules ont le radar et un GPS donc
40
1
=
p(R ∩ G) =
.
200
5
• p(R ∪ G) = p(R) + p(G) − p(R ∩ G)
3
7 3 1 7 + 12 − 4 15
+ − =
=
=
=
.
20 5 5
20
20
4
³ ´
7
13
=
.
• p R = 1 − p(R) = 1 −
20
20
³
´
³
´
1
3
.
• p R ∩ G = p R ∪ G = 1 − p (R ∪ G) = 1 − =
4
4