TD n°4 : Mouvement de particules chargées dans E et B

Mécanique. TD n°4 PCSI TD n°4 : Mouvement de particules chargées dans 𝑬 et 𝑩 Exercice n°1 : Expérience de Millikan Entre les armatures horizontales d’un condensateur plan, distantes de 𝑒, existe une atmosphère gazeuse dans laquelle sont introduites de très petites gouttes de glycérine, toutes identiques, obtenues par pulvérisation. Le mouvement vertical d’une goutte est observé au microscope. Cette atmosphère gazeuse se comporte comme le vide du point de vue électrique, mais oppose à chaque goutte une force de freinage donnée par la formule de Stockes: f = -­‐6πrηv ; r est le rayon de la goutte et η est le coefficient de viscosité du milieu. On néglige la poussée d’Archimède. Au temps initial, la goutte dont on suit le mouvement est proche de l’armature supérieure du condensateur sans vitesse initiale. Données r = 1,8 10-­‐6 m ; η = 1,8 10-­‐5 SI µglycérine = 1,25 103 kgm-­‐3 , g = 9,81 m s-­‐2 La goutte tombe sous l’action de la pesanteur, le condensateur n’étant pas chargé : 1. Exprimer v(t), en déduire l’expression de la vitesse limite vl 2. Exprimer la durée tl au bout de laquelle la goutte atteint vl à un millième près ? 3. AN : calculer vl et tl. Peut-­‐on en déduire qu’on mesure expérimentalement vl. On charge électriquement les gouttes en faisant passer un faisceau de rayons X entre elles et on établit une tension U entre les armatures du condensateur qui crée un champ E vertical descendant. 4. On observe une goutte immobile. Quelle est la charge électrique q de cette goutte ? AN : U = 37445 V ; e = 0,02 m. 5. Après quelques instants de rayonnement ionisant, la goutte prend un mouvement vertical dirigé vers le haut. On mesure un déplacement de 4,9 mm en 10 s. Quelle est la nouvelle charge q’ ? Expliquer pourquoi les valeurs trouvées pour q et q’ sont satisfaisantes. Exercice n°2 : Mouvement dans un champ électrique et magnétique
Pour toutes les études de mouvement, on négligera le poids des ions G1 G devant les autres forces. O1 x Des ions négatifs de charge -­‐q et de masse m sont émis dans le vide, O pratiquement sans vitesse initiale, en un point O d’une grille métallique G verticale. z Ces ions sont accélérés par un champ électrostatique 𝐸 du à la tension U = V1-­‐V0 appliquée entre deux grilles G et G1 parallèles. (On obtient le l même champ 𝐸 qu’entre deux plaques parallèles portées à des y potentiels différents, mais les ions peuvent traverser les grilles) 1. D’après le sens de 𝐸 indiqué sur le schéma indiquer quelle est la grille au potentiel le plus élevé. Étudier le mouvement d’un ion entre G et G1 . Les ions émis en O atteignent G1 en un point O1 avec une vitesse 𝑣! dont on précisera la direction et le sens. Exprimer en fonction de q, U et m la norme 𝑣! de ce vecteur vitesse. 1 Mécanique. TD n°4 PCSI 2. Après avoir traversé la grille G1 , les ions entrent dans une région de champ magnétique uniforme 𝐵 horizontal, parallèle aux grilles et dont le sens est indiqué symboliquement sur le schéma. Établir la nature du mouvement des ions dans cette région. Montrer qu’ils reviennent sur G1 en un point A. Exprimer O1A en fonction de q, m, B et U. 3. Quel est le mouvement des ions après leur passage en A? Reviennent-­‐ils vers G? Atteignent-­‐ils G en un point A’, et si oui avec quelle vitesse? Reviennent-­‐ils ultérieurement sur G1 en un point B ? Décrire sommairement le mouvement des ions jusqu’aux limites des régions des champs et . Montrer que ce mouvement est périodique. 4. On pose OO1 = l .Exprimer le temps T au bout duquel un ion a effectué un cycle complet en fonction de m, q, U, B et l. Exercice n°3 : Particules soumises simultanément à 𝑬 et 𝑩 perpendiculaires
Une particule de masse m, de charge q (q > 0 ), arrive en O avec une vitesse négligeable. Elle est alors soumise à un champ électromagnétique 𝐸(0,0,E ), 𝐵 ( 0, B, 0 ). z On négligera le poids. 1. Écrire les équations du mouvement. y 2. Déterminer la fonction y(t) . 3. Trouver une équation indépendante concernant z(t). Donner O l’expression de z(t). x 4. Déterminer la fonction x(t). 5. Construire la trajectoire z(x) en calculant quelques valeurs numériques à l’aide des expressions paramétrages précédentes. Exercice n°4 : le cyclotron
Un cyclotron est constitué essentiellement par deux demi cylindres d’axe Oz, de rayon R, placés dans l’entrefer d’un électroaimant, où règne un vide poussé. Un champ magnétique 𝐵 = 𝐵𝑢! uniforme est appliqué sur tout le domaine des demi-­‐cylindres. Les parois des demi-­‐ cylindres sont matérialisées par deux électrodes conductrices creuses, appelées dees. Les dees sont séparées par une région de faible épaisseur 𝑑. Dans cette région, un générateur crée un champ électrique uniforme 𝐸 variant sinusoïdalement à la fréquence 𝑓: 𝑈
𝐸 = 𝐸! cos 2𝜋𝑓𝑡 = cos 2𝜋𝑓𝑡 𝑑
Une source permet d’injecter des protons au centre avec une énergie cinétique négligeable. 𝑑 électroaimant z !⃗ 𝐵
O vue latérale dees vue de électroaimant dessus O D2 𝐸!⃗ D1 2 Mécanique. TD n°4 1.
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PCSI La tension U = V1-­‐V2 est positive. Les protons sont émis à l’instant t = 0 en un point O situé sur D1. Établir l’expression littérale de l’énergie cinétique EC des ions à leur première arrivée en D2. On suppose que le champ 𝐸 est 𝐸! pendant la traversée de longueur faible 𝑑 . Ces protons pénètrent alors dans D2. Quel est ensuite leur mouvement? Exprimer le rayon R1 de leur trajectoire en fonction de 𝑒, 𝑈, 𝑚 et 𝐵. Exprimer la durée du premier demi-­‐cercle. Les protons ressortent de D2. Comment doit être orienté le champ 𝐸 pour que les ions soient accélérés jusqu’en D1? Quelle est donc la fréquence de la tension U et du champ 𝐸 ? A.N: 𝑚 = 1,6.10-­‐27 kg , e = 1,6.10-­‐19 C , B = 1,5 T. Quelle est l’expression du rayon R2 du deuxième demi-­‐cercle? Du rayon Rn du nième demi-­‐
cercle? On suppose que les protons traversent l’espace accélérateur lorsque u = U. A.N.: U = 50 kV , n = 400. Calculer Rn.= 3