TES Spé Maths
Le 1 Juin 2015
avec calculatrice
Eléments de correction de l’interrogation n°7
Exercice 1 :
Une compagnie aérienne propose des vols directs entre
certaines villes notées A, B, C, D, E, F et G.
Cela conduit au graphe G ci-contre dont les sommets
sont les villes et les arêtes représentent les liaisons aériennes
6. Ce graphe estil connexe ? Justifier
Oui, ce graphe est connexe car deux sommets quelconques de ce graphe peuvent être reliés par
une chaîne
7. Donner les degrés de chacun des sommets de ce graphe.
8. Estil possible pour un voyageur de construire un itinéraire qui utilise chaque liaison aérienne une fois
et une seule ?
On cherche si ce graphe admet une chaîne eulérienne.
Or, d’après le théorème d’Euler, un graphe admet une chaîne eulérienne si et seulement s’il est
connexe et admet exactement zéro ou deux sommets de degré impair.
Ici le graphe admet 4 sommets de degré impair donc il n’existe pas de chaîne eulérienne et donc il
n’est pas possible pour un voyageur de construire un itinéraire qui utilise chaque liaison aérienne
une fois et une seule.
9. a) Montrer qu'il est possible de construire un itinéraire qui utilise chaque liaison aérienne une fois et une
seule en ajoutant une seule liaison qui n'existe pas déjà et que l'on précisera.
Si on ajoute une arête reliant les sommets A et E, alors le graphe reste connexe et il a exactement
deux sommets de degré impair ( B et G ) donc, d’après le théorème d’Euler, il admet une chaîne
eulérienne.
b) Donner ensuite un exemple d’un tel itinéraire en utilisant l’algorithme d’Euler. *
B – C – E – F – G – B –A - C- D –
E - G
B – C – E – F – G – B –A –D- B –
E - A - C- D – E - G
Vous prendrez soin de bien mathématiser les questions posées et d’argumenter vos
réponses.