TES Spé Maths

NOM :……………………………….
TES Spé Maths
Le 1 Juin 2015
avec calculatrice
Interrogation n°7
Exercice 1 :
Une compagnie aérienne propose des vols directs entre
certaines villes notées A, B, C, D, E, F et G.
Cela conduit au graphe G ci-contre dont les sommets
sont les villes et les arêtes représentent les liaisons aériennes
1. Ce graphe estil connexe ? Justifier
……………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………..
2. Donner les degrés de chacun des sommets de ce graphe.
Sommets
Degrés
A
B
C
D
E
F
G
3. Estil possible pour un voyageur de construire un itinéraire qui utilise chaque liaison aérienne une fois
et une seule ?
4. a) Montrer qu'il est possible de construire un itinéraire qui utilise chaque liaison aérienne une fois et une
seule en ajoutant une seule liaison qui n'existe pas déjà et que l'on précisera.
b) Donner ensuite un exemple d’un tel itinéraire en utilisant l’algorithme d’Euler.
5. Que faudrait-il pouvoir avoir un cycle eulérien ? Donner la réponse sans aucun autre commentaire.
Vous prendrez soin de bien mathématiser les questions posées et d’argumenter vos
réponses.
Exercice 2 :
Graphe pondéré
Des touristes sont logés dans un hôtel, noté A.
Dans le graphe ci-contre, B, C, D, E, F et G désignent des
sites touristiques.
Les tronçons de route que les touristes peuvent emprunter
sont représentés par les arêtes sur le graphe ci-dessous.
De plus, on a indiqué le long de chaque arête la distance en
kilomètres des différents tronçons.
Déterminer le plus court trajet menant de l’hôtel A au site E. Justifier à l’aide d’un algorithme.
TES Spé Maths
Le 1 Juin 2015
avec calculatrice
Eléments de correction de l’interrogation n°7
Exercice 1 :
Une compagnie aérienne propose des vols directs entre
certaines villes notées A, B, C, D, E, F et G.
Cela conduit au graphe G ci-contre dont les sommets
sont les villes et les arêtes représentent les liaisons aériennes
6. Ce graphe estil connexe ? Justifier
Oui, ce graphe est connexe car deux sommets quelconques de ce graphe peuvent être reliés par
une chaîne
7. Donner les degrés de chacun des sommets de ce graphe.
Sommets
Degrés
A
3
B
5
C
4
D
4
E
5
F
2
G
3
8. Estil possible pour un voyageur de construire un itinéraire qui utilise chaque liaison aérienne une fois
et une seule ?
On cherche si ce graphe admet une chaîne eulérienne.
Or, d’après le théorème d’Euler, un graphe admet une chaîne eulérienne si et seulement s’il est
connexe et admet exactement zéro ou deux sommets de degré impair.
Ici le graphe admet 4 sommets de degré impair donc il n’existe pas de chaîne eulérienne et donc il
n’est pas possible pour un voyageur de construire un itinéraire qui utilise chaque liaison aérienne
une fois et une seule.
9. a) Montrer qu'il est possible de construire un itinéraire qui utilise chaque liaison aérienne une fois et une
seule en ajoutant une seule liaison qui n'existe pas déjà et que l'on précisera.
Si on ajoute une arête reliant les sommets A et E, alors le graphe reste connexe et il a exactement
deux sommets de degré impair ( B et G ) donc, d’après le théorème d’Euler, il admet une chaîne
eulérienne.
b) Donner ensuite un exemple d’un tel itinéraire en utilisant l’algorithme d’Euler. *
B–C–D–E -G
C – E – F – G – B –A - C
B – C – E – F – G – B –A - C- D –
E -G
A –D- B – E - A
B – C – E – F – G – B –A –D- B –
E - A - C- D – E - G
Vous prendrez soin de bien mathématiser les questions posées et d’argumenter vos
réponses.
Exercice 2 :
Graphe pondéré
Des touristes sont logés dans un hôtel, noté A.
Dans le graphe ci-contre, B, C, D, E, F et G désignent des
sites touristiques.
Les tronçons de route que les touristes peuvent emprunter
sont représentés par les arêtes sur le graphe ci-dessous.
De plus, on a indiqué le long de chaque arête la distance en
kilomètres des différents tronçons.
Déterminer le plus court trajet menant de l’hôtel A au site E. Justifier à l’aide d’un algorithme.
Rechercher le plus court trajet pour aller de A à E revient à chercher une plus courte
chaîne allant de A à F ; c’est pourquoi on utilise l'algorithme de Dijkstra.
A
0
A:0
D:9
B : 12
C : 17
G : 24
B
∞
12(A)
12(A)
C
∞
20(A)
17(D)
17(D)
D
∞
9(A)
F
∞
∞
30(D)
30(D)
28(C)
29(G)
28(C)
F : 28
Une plus courte chaîne allant de A à E est : A- D- C - F - E.
C’est le plus court trajet allant de l’hôtel A à l’hôtel E.
La longueur de ce trajet est de 31 km
G
∞
∞
∞
25(B)
24(C)
E
∞
∞
∞
∞
∞
33(G)
31(F)