U102 – Devoir sur les suites (TST2S)

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LES SUITES - DEVOIR
EXERCICE 1
L'objectif de cet exercice est de comparer l'évolution des économies de deux personnes au cours
d'une année.
· Pierre possède 500 euros d'économies le 1
er
janvier. Il décide d'ajouter 50 euros le 27 de
chaque mois.
· Emilie ne possède que 400 euros d'économies le 1
er
janvier, mais elle décide d'augmenter ses
économies de 10 % le 27 de chaque mois.
1) Cas de Pierre :
On note  la somme initiale reçue le 1
er
janvier, et  la somme disponible à la fin du n
ième
mois.
a) Montrer que la suite   correspondante est arithmétique : précisez sa raison et son terme
initial
b) Exprimer  en fonction de 
c) Calculer la somme dont dispose Pierre à la fin de l'année.
d) Calculer le taux d’augmentation de ses économies entre le 1
er
janvier et le 31 décembre
2) Cas de Emilie :
On note  la somme initiale reçue le 1
er
janvier, et  la somme disponible à la fin du n
ième
mois.
a) Montrer que la suite   correspondante est géométrique : précisez sa raison et son terme
initial
b) Exprimer  en fonction de 
c) Calculer la somme dont dispose Emilie à la fin de l'année.
d) Calculer le taux d’augmentation de ses économies entre le 1
er
janvier et le 31 décembre
3) Comparaison des deux cas :
A l’aide de la calculatrice, déterminer à la fin duquel mois les économies d’Emilie deviennent
supérieures à celles de Pierre.
EXERCICE 2
L’élève souhaite estimer le nombre de plombémies pour l’année 2010. Pour cela, elle considère
que le nombre de plombémies baisse de 11% par année à partir de 2005.
Elle modélise alors cette évolution par une suite géométrique de terme général  où  désigne
un entier naturel et  représente le nombre de plombémies de   
On a alors 
1. a. Montrer que la raison de cette suite est égale à 0,89.
b. Calculer  . On arrondira à l’unité.
2. a. Exprimer  en fonction de .
b. Calculer alors le nombre de plombémies que l’élève peut estimer pour l’année 2010. On
arrondira le résultat à l’unité.
3. On rappelle le résultat suivant :
Si  est une suite géométrique de premier terme  et de raison  avec   , alors :
a. Calculer, pour les années 2005 à 2009 incluses, le nombre total T de plombémies que l’élève
peut obtenir avec sa modélisation. On arrondira le résultat à l’unité.

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EXERCICE 3
Le tableau ci-dessous donne les dépenses de soins hospitaliers pour les années 2008 à 2010 en
milliards d’euros en France.
Années 2008 2009 2010
Dépenses de soins hospitaliers en milliards d’euros 76,2 76,1 81,2
Source : DREES, comptes de la santé.
1. Calculer le pourcentage d’évolution des dépenses de soins hospitaliers entre 2008 et 2009.
2. Les prévisions de dépenses font apparaître une augmentation annuelle de 2% des dépenses
de soins hospitaliers à partir de l’année 2010.
On note, pour tout entier naturel  le montant des dépenses de soins hospitaliers en milliards
d’euros pour l’année    On a donc 
a. Calculer  et  . On arrondira à  près.
b. Quelle est la nature de la suite  ? Préciser sa raison.
c. Exprimer, pour tout entier naturel  en fonction de .
3. Calculer l’estimation du montant des dépenses de soins hospitaliers pour l’année 2015.
4. On utilise un tableur pour calculer le montant des dépenses de soins hospitaliers.
A B C D E F G H I J K L M N
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 81,2
Quatre formules sont proposées à saisir en C2 puis à recopier vers la droite.
Une seule est exacte. Indiquer, sur la copie, la réponse choisie.
a. =B2∗1,02ˆC1 b. =B2∗1,02 c. =B2∗0,02 d. =$B$2∗1,02
5. a. Résoudre, pour t réel, l’équation
b. En déduire une estimation de l’année à partir de laquelle les dépenses de soins hospitaliers
dépasseront 100 milliards d’euros.

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CORRECTION
Exercice 1
1) Cas de Pierre
Chaque mois Pierre ajoute une somme fixe à ses économies, on a donc une relation de la forme
Avec le 1
er
terme   et la raison   
Soit 
A la fin de l’année, il dispose de
Entre le 1
er
janvier et le 31 décembre, ses économies ont augmenté de 10%.
2) Cas d’Emilie
Chaque mois Emilie ajoute un pourcentage à ses économies, on a donc une relation de la forme
Avec le 1
er
terme   et la raison    
Soit 
A la fin de l’année, il dispose de
Entre le 1
er
janvier et le 31 décembre, ses économies ont augmenté de 10%.
3) Comparaison des deux cas
Cela équivaut à résoudre 
Economie de Pierre
…
Economie d’Emilie
…

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Les économies d’Emilie deviennent supérieures à celles de Pierre à la fin du mois d’octobre.
EXERCICE 2
1.a.
Une baisse de 11% correspond à un coefficient multiplicateur de :
La suite étant géométrique, on passe d’un terme au suivant en le multipliant toujours par le
même nombre qui est la raison.
La raison est donc 0,89.
b. 
2.a. 
b. L’année 2010 correspond à 
Le nombre de plombémies que l’élève peut estimer pour l’année 2010 est de 5 042.
3. a. L’année 2009 correspond à 
Pour les années 2005 à 2009 incluses, le nombre total T de plombémies que l’élève peut obtenir
avec sa modélisation est de 36 247.
Exercice 3
1.
Soit 
Le pourcentage d’évolution des dépenses de soins hospitaliers entre 2008 et 2009 est de 3,81%.
2.
La hausse de 2% correspond à un coefficient multiplicateur de  
a. 

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b. Pour passer d’un terme au suivant on multiplie toujours par le même nombre 1,02, qui est la
raison. La suite  est une suite géométrique de raison est 1,02 et de premier terme 81,2.
c. 
3. L’estimation du montant des dépenses de soins hospitaliers pour l’année 2015 est  .
4.
Réponse b.
5. a.
L’ensemble des solutions de l’inéquation est 
b. L’année à partir de laquelle les dépenses de soins hospitaliers dépasseront 100 milliards
d’euros est   