Théorie des champs classiques B. Fourcade Bertrand

Th´eorie des champs classiques
B. Fourcade
Bertrand.F[email protected]

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Th´eorie Classique des Champs
R´ef´erences
Note : les ouvrages marqu´es d’un ast´erisque sont plus difficiles d’acc`es.
– Classical Mechanics, Herbert Goldstein ;
– Th´eorie Classique des Champs , L.D. Landau et E.M. Lifshitz ;
– Geometry, Particles, and Fields, Bjørn Felsager∗;
– Nonlinear Science, Emergence and Dynamics of Coherence Stuctures, Alwyn Scott∗;
– Mathematical Biology, J.D. Murray ;
– Introduction `a la Th´eorie des Champs∗- Fran¸cois Delduc (Fran¸[email protected]).
Cours donn´e au DEA de Physique Rhˆone-Alpin ;

CHAPITRE 1
Introduction
1. Pr´ elude
La m´ecanique classique d´ecrit les syst`emes `a un petit nombre de degr´es de libert´e (par exemple,
le mouvement d’une particule dans une fosse de potentiel). La th´eorie des champs, quant `a elle, est le
langage naturel pour d´ecrire les syst`emes `a un nombre infini de degr´es de libert´e.
Prenons l’exemple d’un solide o`u l’atome num´erot´e ia un d´eplacement ui. Pour des d´eplacements
de longueurs d’onde λbeaucoup plus grande que la distance inter-atomique a,λa, les d´eplacements
uipeuvent ˆetre consid´er´es comme une fonction continue de xet du temps tavec u(x,t), o`u xparcourt
la droite r´eelle. On dira u(x,t) est un champ.
Le but de la th´eorie des champs est d’´etablir les ´equations du mouvement du champ u(x,t) `a partir
de quelques propri´et´es simples sur :
(1) les sym´etries et les interactions ;
(2) une mani`ere simple d’´etablir les ´equations du mouvement `a partir d’un principe d’extremum.
Dans ce cours, nous nous int´eresserons aux champs classiques (par opposition `a une situation
quantique). Dans les cours suivants, vous quantifierez les champs en introduisant des op´erateurs de
cr´eation et d’annihilation. Cette quantification se fait suivant des r`egles strictes et il est n´ecessaire
d’´etudier d’abord les propri´et´es des situations classiques.
Voici quelques exemples tir´es au hasard qui illustrent les situations physiques qui nous int´eresserons
ici (et cela nous servira de plan)
(1) ´ Elasticit´e : champ de d´eplacement u(x,t) ;
Exemple 1.1.On consid`ere une chaˆıne de ressorts contigus o`u chaque masselotte est
attach´e `a deux ressorts premier voisins. Le d´eplacement des masselottes est une variable ui
qui d´epend du num´ero ide la masselotte. Nous d´esirons passer `a une description continue
o`u la chaˆıne de masselottes et de ressorts repr´esente un fil ´elastique qui peut ˆetre ´etir´e. La
notation discr`ete avec des indices iperd alors son sens. On pr´ef`ere travailler avec un champ de
d´eplacement u(x) qui est le d´eplacement local du fil ´elastique en un point d’abscisse curviligne
x. En ´ecrivant u(x), le d´eplacement est devenu un fonction continue de x. C’est un champ.
(2) Physique statitistique et transitions de phases : le champ est ici un param`etre d’ordre η(x,t)
qui indice la phase. C’est-`a-dire que la valeur de η(x,t) nous permet de connaˆıtre la phase
que l’on d´ecrit.
Exemple 1.2.Dans un ferro-aimant, ηn’est autre que l’aimantation, mais il existe
beaucoup d’autres exemples de param`etre d’ordre. Lorsque η(x) = 1 partout, la phase est
aimant´ee. Lorsque η(x) = 0, l’aimantation moyenne est nulle et la phase est paramagn´etique.
On travaillera sur une enthalpie libre qui est une fonction de ce param`etre d’ordre. Dans un
ferro-aimant, le param`etre d’ordre η(x), c’est-`a-dire l’aimantation locale, varie d’un point `a
un autre. On travaillera avec une enthlapie libre de la forme :
G=ZΩ ddxaη(x)2+1
2c(∇ϕ)2+u 4ϕ(x)4(1)
(3) R´eactions chimiques : champ d’une esp`ece chimique de concentration c(x,t) qui diffuse dans
un milieu qui peut ˆetre excitable chimiquement.
Exemple 1.3.On consid`ere l’´equation de diffusion (voir plus loin)
∂c
∂t =D∆c+c(1 −c) (2)
o`u dest la constante de diffusion.
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