La physique quantique en conflit avec notre intuition

1
La physique quantique en conflit avec notre intuition
Roger Balian,
Institut de Physique Théorique, Centre de Saclay,
et Académie des Sciences
Summary. Quantum physics against intuition. Since Galileo, deeper understanding of physical reality often
contradicts everyday’s intuition. This trend has become dramatic a century ago, rendering modern physics
abstruse to the laymen. The scientist can exert his intuition and his imagination within an elaborate mathematical
language, but it is impossible to translate his ideas faithfully into ordinary language; this difficulty may be one of
the causes of the present tarnish of the image of science. A first shock was brought in by relativity, which
revolutionized our conceptions of space and time, but quantum physics presents even more counter-intuitive
features.
One has been led to represent physical quantities pertaining to a system, such as the position or the
velocity of a particle, no longer by ordinary numbers but by “observables”, mathematical objects which belong
to a non-commutative algebra. Namely, the product of two such observables is not a unique new observable but
may depend on their order: the products AB and BA may differ.
The values that a physical quantity can take constitute a set of ordinary numbers, the eigenvalues a
(n)
of
the observable A. This set may be discrete as a consequence of the algebra. The discreteness of the eigenvalues
of the energy of an atom explains the spectrum of its radiation. Any component of the intrinsic angular
momentum of an electron can take only two opposite values, baffling our geometric intuition.
If two observables commute (i.e., AB=BA), they are compatible: both may take well-defined values
chosen among the eigenvalues. If they do not commute (i.e., AB≠BA), which occurs for the position and velocity
of a particle, for the electric and magnetic field, or for the components of an angular momentum, they are
incompatible: their values cannot be measured nor even specified simultaneously. Each of them presents
statistical fluctuations which must be larger than some lower bound (Heisenberg’s inequality). The state of a
system, prepared under some definite conditions, should be identified as the set of expectation values of all
observables.
Thus, quantum physics, our most fundamental description of nature, is a theory involving irreducible
probabilities and unavoidable uncertainties. Its predictions do not refer to a single system, but to a statistical
ensemble, and the observer cannot be completely disregarded. Moreover it may involve aspects which are
apparently contradictory (Bohr’s complementarity). An electron, an atom or a molecule may behave in limiting
cases either as a particle or as a wave; under intermediate conditions, it behaves as both, but each of the
descriptions is blurred with probabilities. As a wave, it can interfere with itself. Likewise, an electromagnetic
field has the double nature of a set of photons and of a wave. At the macroscopic scale, relative fluctuations are
small, so that determinism emerges.

2
Quantum probabilities differ from standard ones. In particular, quantum correlations involving four
observables pair wise violate Bell’s inequalities, so that microscopic quantities are intrinsically indeterminate
and depend on the observation process.
The GHZ paradox, due to Greenberger, Horne and Zeilinger, exemplifies the most troublesome
conceptual feature of quantum physics. Indeed, it baffles not only intuition, but also current logics. It deals with
a physical system made of three correlated particles. Various observables, A
1
, A
2
, A
3
, B
1
, B
2
and B
3
≡B
1
B
2
, which
we do not specify here, can be measured on such a composite system. Each of them may take discrete values a
1
,
a
2
, a
3
, b
1
, b
2
equal either to +1 or to –1. Since the three observables A
1
B
1
, A
2
B
2
and A
3
B
3
are compatible, they can
be simultaneously controlled. Consider then a statistical ensemble of systems, all prepared identically in such a
way that A
1
B
1
=A
2
B
2
=A
3
B
3
= +1. If we measure A
1
and B
1
, we shall find either a
1
=b
1
= +1 or a
1
=b
1
= –1, that is
always a
1
=b
1
; likewise for a
2
=b
2
= ±1 and a
3
=b
1
b
2
= ±1. We are tempted to infer that a simultaneous
determination of the values a
1
, a
2
and a
3
of A
1
, A
2
and A
3
(which are compatible) should verify a
3
=a
1
a
2
, that is,
a
1
a
2
a
3
=1. However both theory and experiment provide in all cases a
1
a
2
a
3
= –1. In fact the four statements a
1
=b
1
,
a
2
=b
2
, a
3
=b
1
b
2
and a
1
a
2
a
3
= –1 which seem contradictory are separately “true”, in the sense that each one can be
verified experimentally; but such experiments cannot be performed on a single system. We are not allowed to
make a logical reasoning based on a simultaneous consideration of the values of B
1
and A
2
because these
observables do not commute. No calculation, no experiment can simultaneously provide values for the numbers
b
1
and a
2
. Hence, we cannot regard as true together the statements a
1
=b
1
and a
2
=b
2
, although they can be checked
by separate experiments. Each one is true, but their union is meaningless.
Thus, if theory does not allow us to imagine thought experiments in which several statements on a
system might simultaneously be checked, we cannot draw conclusions by putting such statements together. We
are led to regard the “truth” of a quantum statement as contextual. The values of physical quantities are not
attached only to the system in itself, but also refer to the context in which their relations may be verified.
Quantum mechanics does not deal with objects per se, but with what we know and what we can infer about
them. It does not provide a direct image of the reality of the object since it involves its observation. Although it
is a perfect tool for letting us make statistical predictions, and although it appears as our most basic theory owing
to its precision and generality, it violates our daily intuition, our elementary mathematical intuition and our
feelings about reality. Its probabilities and even its logics obey rather shocking new rules.
A u cours des derniers siècles, le champ de la physique n’a cessé de s’élargir. Cette
science couvre des phénomènes de plus en plus variés, à des échelles s’étendant de 10
–18
m en
physique des particules à 10
26
m en cosmologie. Elle permet de faire des prévisions de plus en
plus précises, et fournit une vision de plus en plus unifiée du monde. Dans une perspective
réductionniste, on peut la considérer comme la science la plus « fondamentale », en ce sens
que les autres sciences sont supposées en découler sans adjonction de principes nouveaux : la
chimie devrait en principe émerger de la physique atomique, la biologie de la chimie – même
si cette hiérarchie est de nature plus philosophique que scientifique ; dans la pratique, il n’est
pas question de réduire la biologie à la chimie, ou la chimie à la physique.

3
Au fur et à mesure que la physique s’est unifiée, qu’elle est devenue plus explicative et
plus fiable, elle a cependant dû s’appuyer sur des outils mathématiques de plus en plus
élaborés et abstraits. Afin de rendre intelligible la réalité du monde, nous devons payer un
prix : il nous faut remplacer le langage des mots, devenu inadéquat, par un langage
mathématique plus adapté et précis. Ce nouveau langage est multiforme, difficile à acquérir ;
il peut sembler hermétique au profane, obstacle majeur à l’enseignement et à la vulgarisation.
Le chercheur s’en accommode, mais même pour lui, l’intuition ne peut guère s’appuyer sur
l’expérience quotidienne.
Ce caractère contre-intuitif de nombreuses branches de la physique n’est pas nouveau.
La théorie cinétique des gaz, malgré ses succès, a été rejetée par la majorité des savants
jusqu’au début du XX
ème
siècle, tant il semblait évident que la matière était continue ; elle ne
s’est imposée qu’après la mise en évidence des atomes. Lorsque nous abordons la relativité,
nous ne pouvons qu’être troublés par une conception de l’espace-temps aussi peu conforme à
l’observation courante. Cependant, parmi les révolutions des bases de la physique
contemporaine, c’est la mécanique quantique qui nous paraît la plus choquante, puisqu’elle
défie même l’intuition mathématique courante et va jusqu’à ébranler le raisonnement logique,
comme nous allons le voir. Nous ne pourrons éviter une certaine technicité, mais essayerons
de présenter les outils mathématiques indispensables à la compréhension ; les calculs seront
donnés en note.
Les observables, représentation quantique des grandeurs physiques
La notion même de grandeur physique associée à un système donné présente en
physique quantique un aspect surprenant. A l’échelle macroscopique sur laquelle se fondent
nos intuitions, les grandeurs physiques auxquelles nous sommes habitués se comportent
comme des nombres : on peut les multiplier entre elles, et le produit de deux grandeurs A et B
est toujours commutatif, c’est-à-dire qu’il satisfait à l’identité AB=BA. (Par exemple, on
obtient la puissance communiquée à un objet en multipliant sa vitesse par la force exercée sur
elle). Pourtant, à l’échelle microscopique régie par la mécanique quantique, l’expérience a
conduit à représenter les grandeurs physiques non par des nombres, mais par des objets
mathématiques, appelés « observables », ayant des propriétés algébriques différentes de celles
des nombres réels ordinaires. En particulier, la multiplication présente un caractère nouveau :
elle dépend de l’ordre des facteurs. On doit postuler que le produit de deux grandeurs
physiques n’est pas commutatif [
1
] : le produit AB peut différer du produit BA. Ainsi, la
position et la vitesse d’une particule sont représentées par des observables qui ne commutent

4
pas ; il en est de même du champ électrique et du champ magnétique. Mathématiquement, les
observables microscopiques de la physique quantique sont des éléments d’une algèbre non
commutative caractéristique du système considéré, ce qui entraîne des conséquences
physiques surprenantes.
Déjà, si l’on considère une seule observable A, son appartenance à une structure
d’algèbre fait apparaître des concepts nouveaux. Parmi les divers états du système, il existe
une famille, celle des « états propres de A », qui a les propriétés suivantes. Dans chaque état
propre de A, la grandeur physique correspondante prend une valeur bien définie, appelée
« valeur propre de A » ; pour tout autre état, elle est mal définie et présente une fluctuation
statistique. Cependant, lorsqu’on teste un système en effectuant une mesure de A, on obtient
toujours pour résultat l’une des valeurs propres ; l’existence d’une fluctuation statistique se
traduit par la possibilité d’obtenir des résultats différents lorsqu’on répète la mesure sur des
systèmes semblables, bien qu’ils soient tous préparés dans le même état.
L’ensemble a
(1)
, a
(2)
,… des valeurs propres de A est souvent discret, auquel cas il
n’existe aucun état du système dans lequel la grandeur A prendrait une valeur précise située
dans les intervalles entre les a
(n)
. Le mot de « quantum » a d’ailleurs été introduit pour
désigner un tel comportement non continu des grandeurs physiques. Par exemple, les valeurs
propres e
(1)
≤ e
(2)
≤ e
(3)
… de l’observable E qui représente l’énergie d’un atome sont discrètes,
et elles dépendent de la nature de cet atome. Lorsque celui-ci passe du niveau 2 au niveau 1, il
émet l’énergie e
(2)
– e
(1)
sous forme d’un rayonnement électromagnétique dont la fréquence ν
est donnée par la relation de de Broglie e
(2)
– e
(1)
=hν, où h=6,6×10
–34
m² kg s
–1
est la
constante de Planck. Le fait que l’énergie ne puisse prendre que certaines valeurs discrètes
permet de comprendre pourquoi le spectre d’émission d’un atome ne comporte que des
fréquences bien définies, caractéristiques de cet atome.
Un autre exemple d’observables prenant des valeurs discrètes est donné par le moment
cinétique intrinsèque S d’un électron, vecteur dont les trois composantes caractérisent la
manière dont il tourne en permanence sur lui-même. Cette rotation, que l’on serait tenté de
comparer à celle d’une toupie, a pourtant un comportement très différent de ce que l’on
observe sur des objets macroscopiques ; pour marquer cette spécificité, on la désigne par le
mot de « spin ». Le spin d’un électron a des propriétés surprenantes, qui résultent de la non
commutation de ses composantes : la longueur du vecteur S est donnée par S²=3(h/4π)²,
mais chacune de ses composantes S
x
, S
y
, S
z
, qui caractérisent la rotation autour des axes Ox,
Oy, Oz, ne peut prendre que deux valeurs propres discrètes opposées, +h/4π et – h/4π, au lieu

5
de pouvoir varier continûment. De plus, sa projection S
w
sur une direction arbitraire Ow n’a
également que les deux valeurs propres +h/4π et – h/4π. Ces caractéristiques insolites violent
notre intuition géométrique et semblent contradictoires, mais sont confirmées par de multiples
expériences : on peut observer le spin de l’électron en détectant son moment magnétique, qui
lui est proportionnel. En mesurant l’une de ses composantes, on trouve bien l’une ou l’autre
des deux valeurs propres +h/4π ou – h/4π.
Passons maintenant aux relations mutuelles entre deux observables. Si A et B
commutent (c’est-à-dire si AB=BA), elles sont compatibles dans le sens suivant. Il est
possible, au moins théoriquement, de préparer le système dans un état propre commun à A et
B, état où les grandeurs physiques représentées par A et B prennent respectivement des valeurs
a
(m)
et b
(n)
bien définies, choisies parmi les valeurs propres a
(1)
, a
(2)
,… de A et b
(1)
, b
(2)
,… de
B. De plus, il est possible théoriquement de mesurer simultanément A et B.
Mais si deux observables ne commutent pas (AB≠BA), les grandeurs physiques
qu’elles représentent sont incompatibles : il est en général impossible de spécifier avec
précision les valeurs de A et B à la fois, et il est impossible de les mesurer simultanément.
Nous préciserons ce point dans la suite à l’aide de l’inégalité de Heisenberg. Même les
préparations les plus fines conduisent en général à des états où A prend non pas une valeur
définie, mais peut prendre l’une ou l’autre des diverses valeurs propres a
(1)
, a
(2)
,… affectées
chacune d’une probabilité, et de même pour B. La physique quantique est ainsi une théorie
foncièrement probabiliste : à l’échelle microscopique, elle ne fournit pas de prévisions
certaines. Pour un ensemble statistique de systèmes tous préparés de la même façon connue, il
existe toujours des dispersions, au moins pour certaines grandeurs physiques. L’état de l’un de
ces systèmes est représenté en physique quantique par un objet mathématique qui nous permet
d’associer à chaque observable A son espérance E(A), sa fluctuation statistique ∆A (donnée
par ∆A²= E[A²−E(A)²], à une paire d’observables leur corrélation. Ces quantités sont
mesurables par des séries d’expériences répétées. Un « état quantique » d’un système doit
ainsi être identifié à la synthèse de toute l’information (probabiliste) que nous possédons sur
ce système dans les conditions considérées.
Singularité des probabilités quantiques
Cependant, la physique quantique n’est pas régie par la théorie mathématique
ordinaire des probabilités, car les observables, objets qui ne commutent pas entre eux, s’y
substituent aux variables aléatoires habituelles (qui commutent). Ce remplacement rend la