Dérivées - Jean

18 septembre 2003
D´eriv´ees des fonctions d’une variable r´eelle `a
valeurs r´eelles, complexes ou vectorielles
PC*2
18 septembre 2003
Table des mati`eres
1 D´eriv´ee en un point 2
2 D´eriv´ee globale 4
2.1 Applications de classe C1..................... 4
2.2 Op´erations sur les fonctions d´erivables ............. 5
3 Th´eor`emes de Rolle et des accroissements finis 11
4 La fonction exponentielle complexe 14
5 D´eriv´ees d’ordres sup´erieurs 15
6 Classe Cnpar morceaux 21
7 Fonctions r´eciproques 22
8 Quelques techniques de calcul 24
8.1 Changement de fonction ..................... 24
8.2 Signe d’une fonction, in´egalit´es ................. 25
8.2.1 M´ethodes d’´etude du signe d’une fonction ....... 25
8.2.2 Preuve d’in´egalit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8.3 Utilisation de Taylor-Young ................... 27
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Notations
– si a<bsont deux r´eels, on notera [a, b) l’un des deux intervalles
[a, b[,[a, b].
–Kest le corps des r´eels ou des complexes, pr´ecis´e si n´ecessaire.
–Eest un K-espace vectoriel de dimension finie. Dans certaines preuves,
on le supposera muni d’une norme || ||.
– Le terme fonction num´erique d´esigne une fonction `a valeurs r´eelles.
– Tous les intervalles consid´er´es sont non r´eduits `a un point. Si Iest un
intervalle et a∈I,on posera Ia={h∈R, a +h∈I}, intervalle qui
contient 0.
–˙ Iest l’int´erieur de l’intervalle I.
1 D´eriv´ee en un point
D´efinition 1.1. Soit fune application d’un intervalle Idans E.a∈I. On
dit que fest d´erivable au point asi l’application de I− {a}dans Ed´efinie
par :
x7→ f(x)−f(a)
x−a
admet une limite quand xtend vers ale long de I− {a}. Cette limite est
appel´ee nombre d´eriv´e de fau point aet not´e f0(a) ou encore D(f)(a), ou
encore df
dx (a).
Remarque 1.1.Dans le cas o`u E=R, interpr´eter g´eom´etriquement f0(a).
Proposition 1.1. Avec les mˆemes hypoth`eses et notations, les propri´et´es
suivantes sont ´equivalentes :
–fest d´erivable au point aet f0(a) = m.
–fadmet au voisinage de ale d´eveloppement limit´e :
f(x) = f(a) + m(x−a)+(x−a)(x)
O`u est une application de Idans Etelle que (a) = 0 continue en 0.
– L’application h7→ f(a+h)de Iadans Eadmet au voisinage de 0le
d´eveloppement limit´e :
f(a+h) = f(a) + mh +h1(h)
O`u 1est une application de Iadans Etelle que (0) = 0 continue en
0.
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Remarque 1.2.Dans le cas o`u E=R, interpr´eter g´eom´etriquement ∆(x) =
f(x)−f(a)−f0(a)(x−a). Conclusion ?
D´efinition 1.2 (Notation diff´erentielle). Soit f:I→E,d´erivable en
a∈I,on appelle diff´erentielle de fau point a,l’application df(a)R-lin´eaire
de Rdans Ed´efinie par :
h7→ df(a)(h) = f0(a).h
La diff´erentielle de l’application π:x7→ xde Rdans Ren n’importe quel
point de Rest ´egale `a π,on la note dx donc :
∀h∈R, dx(h) = h
ce qui permet d’´ecrire :
df(a) = f0(a)dx
Exercice 1.Soit f: [0,1] →Ed´erivable et nulle en 0. Etudier la limite de la
suite :
un=
n
X
k=1
fk
n2
En d´eduire la limite de la suite :
Pn=
n
Y
k=1 1 + k
n2
Proposition 1.2. Avec les hypoth`eses et les notations pr´ec´edentes, si fest
d´erivable en a,elle y est continue. Les lecteurs donneront l’exemple d’une
fonction continue en aet non d´erivable en ce point.
Exercice 2(Difficile). Soit f:] −1,1[→E,continue en 0 et k∈]−1,1[. On
suppose que
lim
h→0
h6=0
f(h)−f(kh)
h=l∈E
Montrer que fest d´erivable en 0.
D´efinition 1.3 (D´eriv´ees lat´erales). On dit que f:I→Eadmet une
d´eriv´ee `a droite au point a∈I,suppos´e non plus grand ´el´ement de I,si
l’application :
I∩[a, +∞[→E x 7→ f(x)
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est d´erivable en a. Sa d´eriv´ee en ce point est appel´ee d´eriv´ee `a droite de f au
point aet not´ee f0
d(a). On d´efinit aussi la d´erivabilit´e `a gauche de fen un
point qui n’est pas plus petit ´el´ement de I.
Proposition 1.3. f:I→Eest d´erivable en a∈˙ Isi et seulement si elle
l’est `a gauche et `a droite et si f0
d(a) = f0
g(a).
2 D´eriv´ee globale
D´efinition 2.1. Une application d’un intervalle Idans Eest dite d´erivable
sur Isi elle est d´erivable en tout point de I. L’application de Idans Equi
associe `a tout point x∈Isa d´eriv´ee en ce point est not´ee f0ou encore D(f)
ou encore df
dx . On notera que fest alors continue sur I.
Proposition 2.1. Soit f:I→Eune application,Jun sous intervalle de
I. Si fest d´erivable sur I,f|Jest d´erivable sur J. R´eciproquement si Jest
ouvert et si f|Jest d´erivable sur J,fest d´erivable en tout point de J.
D´emonstration.
Preuve : La partie directe est facile. Prouvons la r´eciproque quand Jest
ouvert. Soit a∈J,soit  > 0,puisque Jest ouvert, il existe α > 0 tel que
]a−α, a +α[⊂Jet :
∀x∈]a−α, a +α[, x 6=a , 
f(x)−f(a)
x−a)−f0
|J(a)
< 
Comme ]a−α, a +α[⊂Iet arbitraire,on en d´eduit :
lim
x→a
x∈I−{a}
f(x)−f(a)
x−a=f0
|J(a)
d’o`u la d´erivabilit´e de fen a.
2.1 Applications de classe C1
D´efinition 2.2. On dit qu’une application f:I→Eest de classe C1sur I
si et seulement si elle est d´erivable en tout point de Iet si sa fonction d´eriv´ee
f0:I→Eest continue sur I.
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Exemple 2.1. La fonction num´erique fd´efinie sur Rpar :
f(x) = x2sin 1
xet f(0) = 0
est d´erivable en tout point de R∗, en un tel point x:
f0(x)=2xsin 1
x−cos 1 x
La r`egle de d´erivation permettant l’obtention de cette formule ne s’applique
pas en 0 ; en ce point, il faut avoir recours `a la d´efinition. Pour x∈R∗:
f(x)−f(0)
x=xsin 1 x
Donc 
f(x)−f(0)
x≤ |x|pour x6= 0 et :
lim
x→0
x6=0
f(x)−f(0)
x= 0
Donc fest d´erivable sur Rmais f0n’est pas continue en 0 puisque :
lim
n→∞ f01
2nπ =−1
et
lim
n→∞ f01
π/2+2nπ = 0
2.2 Op´erations sur les fonctions d´erivables
Proposition 2.2. Soit f:I→Cet a∈I. Alors fest d´erivable en a∈I
(resp d´erivable sur Iresp C1sur Isi et seulement si Re fet Im fle sont et :
f0(a) = (Re f)0(a) + i(Im f)0(a)resp D(f) = D(Re f) + iD(Im f)
En particulier fest d´erivable au point a(resp d´erivable sur Iresp C1sur I)
et :
f0(a) = f0(a)resp D f=D(f)
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Proposition 2.3. Soit f:I→E, ce dernier ´etant rapport´e `a une base
(e)=(e1,...,en). Notons (f1(x), f2(x),...,fn(x)) les composantes de f(x)
dans (e); alors fest d´erivable en a∈I(resp d´erivable sur Iresp C1sur I)
si et seulement si les f1le sont et :
f0(a) =
n
X
i=1
f0
i(a)eiresp D(f) =
n
X
i=1
D(fi)ei
D´emonstration. Soit x∈I−{a}, la composante d’indice idu vecteur f(x)−f(a)
(x−a)
dans la base (e) est fi(x)−fi(a)
(x−a). Donc la fonction x7→ f(x)−f(a) (x−a)admet une limite
lquand x→asi et seulement si, pour tout i∈ {1,2,...,n}, la fonction
x7→ fi(x)−fi(a)
(x−a)admet une limite liet qu’alors :
l=
n
X
i=1
liei
ce qui est bien le r´esultat attendu. La g´en´eralisation aux fonctions d´erivables
sur Iet C1(I, E) s’en d´eduit imm´ediatement.
Proposition 2.4 (D´eriv´ee d’une combinaison lin´eaire). Soient fet g
des applications de Idans Ed´erivables en un point a∈I(resp d´erivable sur
Iresp C1sur I);α, β des scalaires. Alors αf +βg est d´erivable en a(resp
d´erivable sur Iresp C1sur I)et
(αf +βg)0(a) = αf 0(a) + βg0(a)resp D(αf +βg) = αD(f) + βD(g)
ou encore,si fet gsont d´erivables sur I:
d(αf +βg) = αdf +βdg
On en d´eduit que l’ensemble des applications de Idans Ed´erivables sur I
(resp C1sur I)est un Kespace vectoriel not´e ∆1(I, E) (resp C1(I, E)) et que
l’application f7→ f0(a)est une forme lin´eaire sur cet espace.
D´emonstration. Posant h=αf +βg, on passe `a la limite l’´egalit´e :
h(x)−h(a)
x−a=αf(x)−f(a) x−a+βg(x)−g(a) x−a
Les cas d´erivables sur Iet C1s’en d´eduisent imm´ediatement.
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Exercice 3.Soient fet gdeux applications d´erivables de Rdans R. A quelle
condition la fonction max(f, g) est elle d´erivable ? On pourra, par exemple,
exprimer max(f, g)`a l’aide de |f−g|
Proposition 2.5. Soit fune application de Idans Ed´erivable en un point
a∈I(resp d´erivable sur Iresp C1sur I). Soit u∈ L(E, F )o`u Fest un
autre K-espace vectoriel de dimension finie. Alors g=u◦f:I→Fest
d´erivable en a(resp d´erivable sur Iresp C1sur I)et :
g0(a) = u(f0(a)) resp D(u◦f) = u(D(f))
D´emonstration. Pour x∈I− {a}, la lin´earit´e de upermet d’´ecrire :
g(x)−g(a)
x−a=uf(x)−f(a) x−a
Comme une application lin´eaire d’un K-espace vectoriel de dimension finie
dans un autre est toujours continue, le th´eor`eme de composition des limites
et la d´erivabilit´e de fen apermettent d’´ecrire :
lim
x→a
x6=a
uf(x)−f(a)
x−a=u(f0(a))
ce qui est le r´esultat voulu. Les autres s’en d´eduisent.
Proposition 2.6 (D´eriv´ee de B(f, g)). Soient E F G trois K-espaces
vectoriels et B: (x, y)7→ B(x, y)une application bilin´eaire de E×F→G.
Si f:I→Eet g:I→Fsont deux applications d´erivables en a∈I
(resp d´erivable sur Iresp C1sur I), alors l’application φ:I→Gd´efinie par
φ(x) = B(f(x), g(x)) est d´erivable en a(resp d´erivable sur Iresp C1sur I)
et :
φ0(a) = B(f(a), g0(a))+B(f0(a), g(a)) resp D(φ) = B(f, D(g))+B(g, D(f))
En particulier si fet gsont deux applications de Idans Kd´erivables au
point a∈I(resp d´erivable sur Iresp C1sur I); alors fg est d´erivable en a
(resp d´erivable sur Iresp C1sur I)et :
(fg)0(a) = f(a)g0(a) + f0(a)g(a)resp D(fg) = fD(g) + gD(f)
ou encore :
d(fg) = fdg +gdf
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D´emonstration. Il existe deux applications 1:Ia→Eet 2:Ia→Ftelles
que, pour tout h∈Ia:
f(a+h) = f(a) + f0(a)h+h1(h) (1)
g(a+h) = g(a) + g0(a)h+h2(h) (2)
avec
lim
h→01(h) = 0 et lim h→02(h)
En rempla¸cant dans l’expression de φ(a+h) = B(f(a+h), g(a+h)) f(a+h)
et g(a+h) par les d´eveloppements limit´es ci-dessus, la bilin´earit´e de Bpermet
alors d’´ecrire :
φ(a+h) = φ(a)+[B(f(a), g0(a)) + B(f0(a), g(a))] h+R(h)
avec :
R(h) = B(f(a+h), h2(h)) + B(h1(h), g(a) + g0(a)h)
qui s’´ecrit encore, vu la bilin´earit´e de B, sous la forme h(h) o`u l’on a pos´e :
(h) = B(f(a+h), 2(h)) + B(1(h), g(a) + g0(a)h)
Or l’application B:E×F→Gest continue car les espaces sont de dimension
finie. Il en r´esulte :
lim
h→0(h)=0
et le r´esultat voulu. g´en´eralisations imm´
ediates.
Voyons quelques applications de ce r´esultat.
Proposition 2.7. Soit (E, (|)) un espace euclidien (resp hermitien) dont
on note || ||2la norme associ´ee au produit scalaire. fet gdeux applications
de Idans Ed´erivables au point a∈I(resp d´erivable sur Iresp C1sur I),
alors l’application φ:I→Kd´efinie par :
φ(x)=(f(x)|g(x))
est d´erivable au point a(resp d´erivable sur Iresp C1sur I)et :
φ0(a)=(f(a)|g0(a)) + (f0(a)|g(a)) resp D(φ)=(D(f)|g)+(f|D(g))
En particulier, en prenant f=g, il vient dans le cas euclidien (K=R) :
φ0(a) = 2(f(a)|f0(a)) resp D(||f||2
2) = 2(f|D(f))
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Et dans le cas hermitien (K=C) :
φ0(a) = 2 Re(f(a)|f0(a)) resp D(||f||2
2) = 2 Re(f|D(f))
Il en r´esulte que, dans le cas euclidien, si pour tout x∈I,f(x)est un vecteur
unitaire et fest d´erivable sur Ialors, pour tout x∈I,f(x)⊥f0(x).
D´emonstration. Dans le cas euclidien, cela r´esulte de la bilin´earit´e de ( |).
Dans le cas hermitien, il faudrait refaire une preuve analogue `a celle de la
proposition pr´ec´edente.
Proposition 2.8. Si Eest un plan euclidien (resp un espace euclidien de
dimension 3) orient´e. Si fet gsont deux applications de classe C1de I→E
alors les applications suivantes sont de classe C1:
x7→ Det(f(x), g(x)) et D(Det(f, g)) = Det(f, D(g)) + Det(D(f), g)
x7→ f(x)∧g(x)et D(f∧g) = f∧D(g) + D(f)∧g
D´emonstration. Il s’agit toujours de d´eriv´ees d’applications bilin´eaires en f
et g.
Proposition 2.9 (D´eriv´ee de f
g). Soient f:I→Eet g:I→Kdeux
applications d´erivables au point a∈I(resp d´erivables sur Iresp C1sur I).
On suppose que gne s’annule pas sur I. Alors u=f
gest d´erivable au point
a(resp d´erivable sur Iresp C1sur I)et :
u0(a) = g(a)f0(a)−g0(a)f(a)
g2(a)resp D f g=gD(f)−fD(g) g2
ou encore,si fet gsont d´erivables sur Iet 06∈ g(I):
df
g=gdf −fdg g2
D´emonstration. On ´etudie la d´erivabilit´e de 1
get on se ram`ene `a un produit.
D´efinition 2.3 (D´eriv´ee logarithmique). Soit f:I→Kd´erivable,ne
s’annulant pas sur I. On appelle d´eriv´ee logarithmique de fen un point a∈I
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le scalaire f0(a)
f(a). Si gv´erifie les mˆemes hypoth`eses,en posant u=fg,v=f
get
w=fα, α ∈Z,il vient :
u0(a)
u(a)=f0(a) f(a)+g0(a) g(a)
v0(a)
v(a)=f0(a) f(a)−g0(a) g(a)
w0(a)
w(a)=αf0(a) f(a)
D´emonstration. Il ne faut surtout pas prendre le logarithme puisque les
fonctions peuvent ˆetre `a valeurs complexes. On v´erifie ces formules `a partir
de celles du produit.
Proposition 2.10 (D´eriv´ee d’une fonction compos´ee). Soit φ:J→R
une application d´erivable au point a∈J(resp d´erivable sur Jresp C1sur
J). On suppose φ(J)⊂I. Soit f:I→Eune application d´erivable au point
φ(a)∈I(resp d´erivable sur Iresp C1sur I)Alors l’application u=f◦φ:
J→Kest d´erivable au point a(resp d´erivable sur Jresp C1sur J)et
u0(a) = f0(φ(a)).φ0(a)resp D(u) = D(f)◦φ.D(φ)
Ou encore,si fet φsont d´erivables sur Iet J:
d(f◦φ)=(df ◦φ).dφ
D´emonstration. Normalement vue en HX pour les fonctions num´eriques. La
preuve est identique (on peut aussi passer aux composantes dans une base).
Exemple 2.2. Soit f:I→R,`a valeurs strictement positives, d´erivable sur
I;α∈K. L’application :
u=fα:x7→ eαln x
est d´erivable sur Iet u0
u=αf0 f
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