Ondes électromagnétiques dans le vide

TD Ondes
TPC2
Ondes électromagnétiques dans le vide
Exercice no 1 : Onde produite par un laser
Un laser hélium-néon émet un faisceau lumineux cylindrique de rayon r = 0, 75 mm, de longueur d’onde
632, 6 nm, assimilé à une OPPM. La puissance moyenne émise est < P >= 2 mW . ε0 = 8, 85.10−12 F.m−1
et µ0 = 4π.10−7 H.m−1 .
1 – Calculer les valeurs numériques des amplitudes des champs électrique et magnétique de l’onde émise.
2 – Déterminer le nombre moyen de photons par unité de volume dans le faisceau. La constante de
Planck est h = 6, 62.10−34 J.s ; un photon de fréquence ν transporte une énergie hν.
3 – Déterminer le nombre de photons émis par seconde par le laser.
4 – En réalité, le faisceau n’est pas tout à fait cylindrique mais conique : quelle est la raison de cette
divergence ?
Exercice no 2 : Champ électromagnétique
On considère le champ électrique suivant, régnant dans une partie de l’espace vide de charge et de courant :
~
E(M,
t) = E0 cos(ωt + kz)~ux + E0 sin(ωt + kz)~uy
avec k =
√
ε0 µ0 ω.
1 – Vérifier la compatibilité de cette expression avec les équations de Maxwell.
2 – Déterminer le champ magnétique associé.
3 – Déterminer le vecteur de Poynting de ce champ électromagnétique.
Exercice no 3 : Rencontre de deux OPPM
Deux ondes électromagnétiques planes progressives sinusoïdales de même pulsation, amplitude et phase
à l’origine, se propagent selon la direction de l’axe (z 0 z), mais dans des sens contraires. Déterminer les
expressions des champs électrique et magnétique résultants, ainsi que du vecteur de Poynting, lorsque
les deux ondes possèdent les états de polarisation suivants. Dans chacun des cas y-a-t-il propagation de
l’énergie ?
1 – Les deux ondes sont polarisées rectilignement selon la direction de l’axe (x0 x).
2 – L’onde se propageant vers les z croissants est polarisée circulairement droite, l’autre est polarisée
circulairement gauche.
Exercice no 4 : Onde stationnaire
~ = E0 eiω(t− xc )~uy se propage le long de l’axe (Ox), dans le vide.
Une onde électromagnétique de champ E
~ 0 = −E0 eiω(t+ xc )~uy .
En O, elle subit une réflexion qui revient à lui superposer une onde E
1 – Déterminer le champ électrique résultant.
2 – Déterminer le champ magnétique correspondant.
3 – Déterminer les positions des ventres et des nœuds des champs électrique et magnétique.
1
Exercice no 5 : Onde dans le vide
On considère le champ électrique suivant :
Ex = 0 ;
Ey = E0 cos(
πy j(ωt−kz)
)e
a
;
Ez = αE0 sin(
πy j(ωt−kz)
)e
a
avec α quelconque.
1 – À quelle condition sur α ce champ peut-il être celui d’une onde électromagnétique dans le vide ?
Décrire l’onde : direction ? sens de propagation ? plane ?
2 – Déterminer le champ magnétique associé puis le vecteur de Poynting de l’onde et sa moyenne temporelle en un point donné.
3 – Déterminer la relation de dispersion k = f (ω) et tracer la courbe correspondante. Faire apparaître
une pulsation particulière ω0 . Si ω < ω0 , quelle est la nature de k ? Exprimer alors le champ électrique,
en notation réelle, et commenter.
Exercice no 6 : Champ électromagnétique en notation complexe
On considère une onde électromagnétique plane progressive sinusoïdale se propageant dans le vide dans la
direction et le sens d’un axe (z 0 z). Écrire l’expression du champ électromagnétique en notation complexe
lorsqu’elle possède les polarisations suivantes :
1 – la polarisation est rectiligne suivant la direction de l’axe (x0 x) ;
2 – la polarisation est rectiligne suivant la direction de la bissectrice du plan (xOy) ;
3 – la polarisation est circulaire droite.
Exercice no 7 : États de polarisation
Décrire l’état de polarisation des ondes suivantes :
1 – Ex = Acos(ωt + kz) , Ey = −Asin(ωt + kz) ;
2 – Ex = Acos(ωt − kz) , Ey = −Acos(ωt − kz) ;
3 – Ex = Acos(ωt − kz) , Ey = −Asin(ωt − kz + π/4) ;
4 – Ex = jAej(ωt−kz) ; Ey = Aej(ωt−kz) .
Exercice no 8 : Onde cylindrique
On étudie une onde électromagnétique cylindrique, émise par des sources situées le long d’un axe (Oz).
~
En coordonnées cylindriques d’axe (Oz), le champ électrique s’écrit : E(M,
t) = E(r)exp(i(ωt − kr))~uz où
E(r) est réel dans la zone de champ lointain où kr >> 1. L’onde se propage dans le vide.
1 – Déterminer le champ magnétique associé à ce champ électrique. Commenter son expression.
2 – Quelle est la valeur moyenne h~π i du vecteur de Poynting ? En déduire la puissance moyenne P
rayonnée à travers un cylindre d’axe (Oz) de hauteur h = 1 m et de rayon r >> 1/k.
3 – En déduire l’expression de E(r) en fonction de r, P , k, ω et µ0 .
4 – En déduire la relation de dispersion reliant k et ω en négligeant les termes en (1/kr)2 . On rappelle
l’expression du laplacien d’un champ scalaire de la forme U (r, t) en coordonnées cylindrique :
∆U =
1 ∂ ∂U
(r
).
r ∂r ∂r
~ et B
~ et décrire la structure de l’onde.
5 – Donner les champs E
2
Exercice no 9 : Étude énergétique d’un champ électromagnétique
~ = E0 e−z/z0 cos(kx − ωt)~uy .
Dans l’espace z > 0 règne un champ E
~ sachant qu’il n’y a aucune charge.
1 – Calculer le champ B
2
3
4
5
–
–
–
–
Déterminer le vecteur de Poynting ~π et calculer sa moyenne temporelle π~m .
Quel est le flux de π~m à travers une surface définie par y ∈ [0, 1], x constant et z ∈ [0, ∞[ ?
Quelle est l’énergie moyenne de la tranche délimitée par S(x) et S(x + dx) ?
Déterminer la vitesse de propagation de l’énergie. On supposera ω >> c/z0 .
Exercice no 10 : Amortissement d’un dipôle oscillant
Un dipôle oscillant est modélisé par un ion fixe en O, de charge +e et un électron de charge −e et de
masse m susceptible de se déplacer le long de l’axe (Oz). Il est soumis à une force de rappel de la forme
F~ = −mω02 z~uz avec f0 = ω0 /2π = 5.1014 Hz. On donne e = 1, 6.10−19 C et m = 9.10−31 kg.
1 – À l’ordre le plus bas, on admet que le mouvement de l’électron n’est pas amorti et sa côte est
z(t) = acos(ω0 t). Exprimer l’énergie mécanique Em de l’électron.
µ0 ω 4 p2
2 – On rappelle la puissance moyenne rayonnée par un dipôle < P >=
, avec p l’amplitude du
12πc
T0 < P >
moment dipolaire. Calculer le rapport
où T0 = 1/f0 et conclure.
Em
3 – En déduire que l’amplitude des oscillations décroît exponentiellement avec une constante de temps
τ à calculer. Faire le lien avec la longueur de cohérence temporelle de ce dipôle considéré comme une
source d’onde.
Exercice no 11 : Si le photon avait une masse non nulle...
Dans le cas où le photon aurait une masse non nulle, les équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère
s’écriraient respectivement :
~
~
ρ
∂E
A
V
−→ ~
= µ0~j + µ0 ε0
− 2,
− 2 et rotB
ε0 d
∂t
d
d étant une constante inversement proportionnelle à cette masse m hypothétique.
Les équations intrinsèques ne subiraient pas de modification.
1 – Déterminer la dimension de la constante d.
2 – Montrer que la condition de jauge de Lorentz ne résulte plus d’un choix mais est une nécessité (on
partira de l’équation locale de conservation de la charge électrique).
3 – Établir les équations de propagation des potentiels dans le vide.
4 – Établir la relation de dispersion pour une onde plane monochromatique.
5 – En déduire les vitesses de phase et de groupe.
6 – À une longueur d’onde de 650nm, l’écart entre la vitesse mesurée dans le vide d’un paquet d’ondes
et la constante c est inférieur à 0, 005 %. Quelle masse maximale m pourrait avoir le photon sachant
~
que d =
? Comparer aux masses du proton et de l’électron.
mc
7 – Montrer à partir de la relation de dispersion que cette masse, si elle n’est pas nulle, est de plusieurs
ordres de grandeur inférieure à cette estimation numérique.
~ =
div E
Il y a trois grands mystères dans la vie.
Pour un poisson, c’est l’eau.
Pour un oiseau, c’est l’air.
Pour un être humain c’est lui-même.
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