physique des semiconducteurs: rappels et fondamentaux

PHYSIQUE DES SEMICONDUCTEURS:
RAPPELS ET FONDAMENTAUX
A: Éléments d’histoire des
semiconducteurs
- des questions des pionniers…
D: Quelques éléments de réponse
- métal, isolant, semiconducteur
- semiconducteurs IV-IV, III-V et II-VI
- …aux chefs d’œuvre des bâtisseurs
B: Symétries et périodicité
- Réseau réciproque
- États de Bloch
- Zone de Brillouin
C: Structure de Bandes
- Modèle de l’électron quasi-libre
- Modèle chimique LCOA
- Gaps (directs et indirects)
- Densité d’états
1/45
Découverte de l’effet photovoltaïque et photoconducteur
Edmond Becquerel
X1836
1839 (CRAS)
W. Smith
1873 (Nature)
 - Se
2/45
Découverte du point contact rectifier (poste à galène)
Ferdinand Braun
Prix Nobel 1909
CuO2
Premier radar
Rad lab MIT
1939 - 1945
Cu
3/45
Michael Faraday
1883
Paul Drude
1896
Gaz
Gaz
SC BT
Densité (cm )
10
10
10
Temps entre choc (s)
10-11
10-14
> 10-9
-3
16
19
Résistivité
Quelques problèmes insolubles vers 1900…
Ag2 S
Cu, Au, Fe, …
Temperature
22
Negative temperature coefficient
« Les électrons semblent ne pas être diffusés par les atomes du cristal »
4/45
Diffraction des rayons X vers 1910
Ecran
X rays
Sir W. H. Bragg, Sir
W. L. Bragg (1915)
SiC
Max von Laue (1914)
5/45
Louis de Broglie découvre que
les électrons se comportent comme des ondes
Énergie des électrons


1925
E=
1
2 m λ2
h2
Relation entre la longueur d’onde et l’énergie
d’un électron
6/45
Aux Bell Labs, Davisson confirme
la nature ondulatoire des électrons….
7/45
Wigner, Seitz, Bloch décrivent la structure de bandes des solides
1930
énergie
6 eV
0.5 nm
Bande
d’énergies interdites
4 eV
0.6 nm
0.5 nm
λ=
h
2 m E
λ=
1 . 2 nm
 EeV 
8/45
TROU (Wilson, Seitz)
STATISTIQUE DANS LES SEMICONDUCTEURS (Fermi)
ZONE DE CHARGES D’ESPACE (Mott, Schottky, Pohl)
¿ 1 µm
A cet instant, la micro-électronique devient un miracle annoncé…
1930-1938
9/45
LE COMMUTATEUR TELEPHONIQUE EN 1937
L’ORDINATEUR AVANT LE TRANSISTOR:
ENIAC
10/45
Il faut dire que les composants sont imposants…
LE CROSSBAR
LA TRIODE DE
LEE De FOREST
11/45
UNE PROPOSITION ASTUCIEUSE…
MAIS IL MANQUE LA PHYSIQUE QUANTIQUE
12/45
Melvin Kelly, directeur des Bell Labs, a foi dans la nouvelle physique quantique
Il embauche les premiers spécialistes américains de physique quantique dont:
William Shockley
John Bardeen
13/45
The famous lab book entree
Décembre 1947
Bardeen, Shockley, Brattain
14/45
Décembre 1947
Le premier transistor
1958
Le premier circuit intégré
(Jack Kilby)
2005
Circuit à 1 000 000 000 de transistors
(Intel)
15/45
L’EXPLOSION DE LA MICROELECTRONIQUE
16/45
PHYSIQUE DES SEMICONDUCTEURS:
RAPPELS ET FONDAMENTAUX
A: Éléments d’histoire des
semiconducteurs
- des questions des pionniers…
D: Quelques éléments de réponse
- métal, isolant, semiconducteur
- semiconducteurs IV-IV, III-V et II-VI
- …aux chefs d’œuvre des bâtisseurs
B: Symétries et périodicité
- Réseau réciproque
- États de Bloch
- Zone de Brillouin
C: Structure de Bandes
- Modèle de l’électron quasi-libre
- Modèle chimique LCOA
- Gaps (directs et indirects)
- Densité d’états
17/45
Cristal et périodicité
GaAs
Cellule élémentaire
Réseau direct
 = n a  n a n a
R
i
1 1
2 2
3 3
L’interaction cristal-électron
V  r  = ∑ U  r − Ri  est périodique
i
18/45
Réseau réciproque
Analyse en série de Fourier
V  r  =
∑
G ∈RR
V  G  ei G r
Réseau réciproque
avec
ai aj∗= 2 π δ ij
a1∗= 2 π
 = n a
G
∗  n2 a
2∗  n 3 a3∗¿
i
1 1
¿
x
a
Réseau direct
−a∗¿ −
2π
a
0
a∗=
2π
a
a2×a3
a1 . a2 ×a3
kx
Réseau réciproque
19/45
Onde électronique libre

Hamiltonien décrivant l’électron libre dans le vide
E
H Ψ  r  = E Ψ  r 
−
ℏ2
2
2m
∇ Ψ  r  = E Ψ  r 

E=
ℏ2 k 2
2m
États et énergies propres
Ψ k  r  = e
E k =
i k r
ℏ2 k 2
kx
2m
20/45
e
Conditions de Bragg
i k R
 
ei k ' R
Terme de retard de phase entre les ondes diffractées
R
e

e
ei k ' r
i k r
Réflexion totale
k '=−k
k
i  k −k ' . R
Contribution de toutes les ondes diffractées
par un milieu périodique
∑
R∈RD
i  k −k ' . R



ff  R , k , k '  e
Contribution non nulles pour:
k =
G ∈ RR

G
2
Les points G/2 vont être interdits
k ' = k  G
Bragg+ von Laüe
RR
Miroirs de Bragg
21/45
Zone de Brillouin
ky
X
Γ
kx
L
Léon Brillouin
22/45
Théorème de BLOCH-FLOQUET
Les états propres d’un Hamiltonien
H = −
où le potentiel U (r) est périodique U  r  R  = U  r 
ℏ2
2m
2
∇  U r 
pour tout R du réseau direct
peut se mettre sous la forme du produit d’une onde électronique libre et d’une fonction
présentant la périodicité du cristal:

Ψ k  r  = u k  r  e i k r
avec
u k  r  R  = u k  r 
Felix Bloch
1925
23/45
Démonstration (courte!) (1)
On considère l’opérateur translation:
T R f  r  = f r  R 
Quelques propriétés de l’opérateur:
T R T R' f  r  = f r  R  R ' 
T R T R ' = T R ' T R = T R  R '
∣T R Ψ∣=∣Ψ∣= 1
Théorème de Floquet: si
R ∈ RD
T R∗ T R = T −R T R = 1
l’opérateur TR commute avec l’Hamiltonien du cristal
T R H Ψ = H  r  R  Ψ r  R  = H  r  Ψ r  R  = H T R Ψ
T R H = H T R
24/45
Démonstration (courte!) (2)
Il existe donc une base d’états propres communs à H et TR
T R T R ' = T R ' T R = T R  R '
∣T R Ψ∣=∣Ψ∣= 1
c  R  R '  = c  R  c  R ' 
∣c  R ∣ = 1
H ψ= E ψ
T R ψ = c  R  ψ
i k R

c  R = e
i k R

Ψ  r  R  = Ψ  r  e
∀ R ∈ RD
−i k  r  R 
i k r

Ψ  r  = [ Ψ  r  R  e
] e ∀ R ∈ RD
u k  r  = u k  r  R' 
25/45
PHYSIQUE DES SEMICONDUCTEURS:
RAPPELS ET FONDAMENTAUX
A: Éléments d’histoire des
semiconducteurs
- des questions des pionniers…
D: Quelques éléments de réponse
- métal, isolant, semiconducteur
- semiconducteurs IV-IV, III-V et II-VI
- …aux chefs d’œuvre des bâtisseurs
B: Symétries et périodicité
- Réseau réciproque
- États de Bloch
- Zone de Brillouin
C: Structure de Bandes
- Modèle de l’électron quasi-libre
- Modèle chimique LCOA
- Gaps (directs et indirects)
- Densité d’états
26/45
Théorie des bandes d’énergies
PseudoMomentum
Bandes d’énergie
Liaisons
chimiques
Diffraction
d’ondes
électroniques
Fonction de Green
du propagateur
27/45
Electrons quasi-libres
Le potentiel cristallin périodique se développe en série de Fourier

V x  =
∑
G∈RR
a
V G ei G x
V x 
Les états propres des électrons sont solutions de l’équation de Schrödinger
d2
−
Ψ k  x 
2
2 m dx
ℏ2


iG x
V
e
Ψ k  x  = Ek Ψ  x 
∑ G
G
d2
−
Ψ k  x   U cos  g x  Ψ k  x  = E k Ψ  x 
2
2 m dx
ℏ2
Simplification
PC
Les parties périodiques des fonctions de Bloch se développent aussi en série de Fourier:
Ψ k  r  = uk  r  e
i k r
Ψ k x  =
∑
G ' ∈RR
C G'  k  e
i  G '−k  x
28/45
kx
G=−
4
2π
0
a
G=
2π
a
Réseau réciproque
E(k)
3
U = .1
2
Pourquoi une bande d’énergie interdite ?
2
∣Ψ ±G / 2  r ∣
1
Bande d’énergie interdite
0
-2
-1
0

1
2
k = k / G / 2 
29/45
Théorie des bandes d’énergies: modèle des liaisons fortes (1)
m−1
m
m1
∣n, m⟩
En
x
Hm=
p2
2m
 V  x−m a 
∣n, m ⟩ = Ψ n , m  x  = Ψ n  x − m a 
H m ∣n ,m ⟩ = E n∣n, m ⟩
On va chercher des solutions combinaison linéaire d’orbitales atomiques
∣n,m⟩
(CLOA)
30/45
Rappel: Liaison chimique (1)
m
Hamiltonien de deux atomes voisins:
H=
p2
2m
 V  x−m a   V  x−  m1  a
Approximation des liaisons fortes:
m1
∣n, m⟩
∣n, m1 ⟩
En
E n− 1
1- Les niveaux En sont indépendants
2- La base {∣n ,m ⟩ , ∣n, m1 ⟩ }
est complète
L’espace de Hilbert décrivant les deux atomes voisins est de dimension 2:
Termes diagonaux
⟨n , m∣H ∣n ,m⟩ = E n  ⟨n , m∣V  x −  m1  a ∣ n, m⟩ ≈ E n
Termes non diagonaux
En 0
⟨n , m∣H ∣n ,m1 ⟩ = E n ⟨n , m∣n ,m1 ⟩ ⟨n , m∣V  x − m a ∣n ,m1 ⟩ ≈ − An
Tunnel
31/45
Rappel: Liaison chimique (2)
[
E n − An
H=
−A n E n
]
En = E n  An
∣n⟩− =
E−n = E n − An
∣n⟩ =
1
2
1
2
 ∣n , m⟩ − ∣n ,m1 ⟩ 
 ∣n , m⟩  ∣n ,m1 ⟩ 
Anti-liant
En
2An
liant
Linus Pauling
E n− 1
32/45
Théorie des bandes d’énergies: modèle des liaisons fortes (2)
Considérant tout le cristal et ne prenant que les plus proches voisins:
][
]
Les états propres sont des CLOA
[
0
0
−An
. ..
Suite de Fibonacci
−An cn , m−1  E n cn , m − An c n, m1 = E cn , m
. ..
−A n
0
− An E n −An
Hn =
0
−A n E n
0
0
−An
...
c n, m− 1
cn , m
c n, m 1
...
m
cn , m = λ = e
car
ψn = ∑ cn , m ∣n ,m ⟩
m
solutions de l’équation de Schrödinger
H n ψn = E ψ n
imα
=e
i k m a 
n de carré sommable
E  k  = E n − 2 An cos  k a 
33/45
Théorie des bandes d’énergies: modèle des liaisons fortes (3)
E k
En
bande de conduction
En
E n  k  = E n − 2 An cos  k a 
bande interdite
E n− 1
E n− 1
bande de valence
−
π
E n− 1  k  = E n−1 − 2 An−1 cos  k a 
k
a
π
a
Bord de zone de Brillouin
34/45
Masse effective
E k
E n  k  = E n − 2 An cos  k a 
Près d’un extremum:
E n k − E c ≈ An a2
 
En  k  − E c ≈
ℏ2
2 mc
k
k2
Ec
ℏ2
mc =
2
2
2 a An
ℏ2
mv =
2
2 a An−1
0
Près d’un extremum, concept de masse effective:
E  k  = ℏ ω  k  =E ext 
ℏ2
2
t
 k − k ext 
M
−1
k
0
 k − k ext 
Pour l’instant
pas de connection
avec la dynamique
35/45
Théorie des bandes d’énergies: modèle des liaisons fortes (5)
ik ma

Ψ n, k = ∑ e
Ψ n  x−m a  =
m
ei k x ⇔ porteuse
e
∑
[
m
ik r
]
−i k x
Ψ n r  e
u n , k périodique
u n , k ⇔ signal
Ψ n x 
En
x
un,k : réminiscence du matériau hôte
eikr : indépendante du matériau, non diffusé
36/45
Structure de bande de l’arséniure de gallium
E n  k  = E c 
ℏ2
2 mc
2
k
kz
ky
kx
Surface d’équi-énergie
37/45
Structure de bande du silicium
E n  k  = E c 
ℏ2
2

Δk x 2
ml

k y2
mt

kz2
mt

Surface d’équi-énergie
38/45
PHYSIQUE DES SEMICONDUCTEURS:
RAPPELS ET FONDAMENTAUX
A: Éléments d’histoire des
semiconducteurs
- des questions des pionniers…
D: Quelques éléments de réponse
- métal, isolant, semiconducteur
- semiconducteurs IV-IV, III-V et II-VI
- …aux chefs d’œuvre des bâtisseurs
B: Symétries et périodicité
- Réseau réciproque
- États de Bloch
- Zone de Brillouin
C: Structure de Bandes
- Modèle de l’électron quasi-libre
- Modèle chimique LCOA
- Gaps (directs et indirects)
- Densité d’états
39/45
Remplissage des bandes: principe de Pauli
F
Ec  k 
Natomes niveaux
de l’énergie
Wolfgang Pauli
k
Usuellement:
N electrons
N atomes
= entier
Entier pair
Ex: Si, C, …
Isolant
Entier impair:
Ex: Li, Al,..
Métal
40/45
Métal, Isolant, Semiconducteur
qq kT
Semiconducteur
Isolant
Métal
0 eV<
Gap
Gap
=
>0
4<eV
4 eV
h
41/45
Tableau de Mendelieev
42/45
Tableau de Mendeljeev
Semiconducteur IV-IV
43/45
Tableau de Mendeljeev
Semiconducteur III-V
44/45
Tableau de Mendeljeev
Semiconducteur II-VI
45/45