1 Charge/Décharge d`un condensateur à travers une résistance

Université Montpellier II : UFR Sciences Module EEA2 Cours EEA2 : régimes transitoires
Yves Bertrand, [e-mail] - 1 - cours2003/2004
Régimes transitoires. Régimes forcés
1 Charge/Décharge d'un condensateur à travers une résistance
1.1 Charge
Soit le circuit donné ci-dessous :
Initialement le condensateur ne porte aucune charge Q0 =0. A l'instant t=0 on ferme
l'interrupteur K. La source de tension continue E est alors connectée aux bornes du circuit RC
série.
E
KR
C
+q(t)
i(t)
uC(t)
On peut se demander quel sera le régime permanent de ce montage, lorsque le régime
transitoire sera terminé ?
Un condensateur est formé de deux armatures en influence électrostatique totale, séparées
par une couche diélectrique isolante. Donc, en régime continu aucun électron ne peut passer
d'une armature à l'autre à travers le diélectrique et le condensateur peut être vu comme un
circuit ouvert ne laissant passer aucun courant.
Remarque : en fait, un tout petit nombre d'électrons transitent quand même dans le
diélectrique donnant ainsi naissance à un courant très petit, appelé courant de fuite du
condensateur. Pour notre étude, ce courant sera négligé.
On peut donc déduire qu'en régime permanent, une fois le régime transitoire passé, le
courant dans le circuit sera nul. Par conséquent il n'y aura pas de chute de potentiel dans la
résistance et la tension aux bornes de condensateur sera égale à E. Sa charge sera donc égale à
Q=CE, l'armature +Q étant reliée à la borne + de la source de tension. On devra vérifier que
notre solution nous permet de retrouver ces résultats à t = ∞.
Pendant la charge, le courant contribue à augmenter la charge de la plaque positive du
condensateur. On a donc, avec les conventions choisies sur la figure, la relation suivante :
dt
du
C
dt
dq
iC
== .
La loi d'Ohm instantanée s'écrit : C)t(q
)t(iRE +=
Soit, en exprimant i(t) et q(t) en fonction de uC(t) :
RC
E
RC
u
dt
du CC =+ , équation différentielle du premier ordre à coefficients constants.

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La solution générale uC(t) de cette équation est égale à la somme de la solution uC0(t) de
l'équation sans second membre (ESSM) plus une solution particulière uC1(t) de l'équation avec
second membre (EASM). La constante d'intégration sera déterminée par les conditions
initiales.
ESSM : 0u
RC
1
uCC =+
& => RC
t
u
du
C
C−= => RC
t
0C Aeu −
=
EASM : Comme le 2nd membre est constant, la solution particulière est à chercher sous
forme d'une constante, d'où : uC1 = E
La solution générale est donc : RC
t
CAeE)t(u −
+=
Les conditions initiales (à t=0, q=0 et donc uC=0) permettent de déterminer la constante A :
uC(t=0) = 0 = E + A => A = -E.
La tension aux bornes du condensateur est donc donné par : ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛−= −RC
t
Ce1E)t(u
On en déduit le courant : RC
t
Ce
R
E
dt
du
C)t(i − ==
la grandeur τ = RC est homogène à un temps. Elle est appelée constante temps (en s)
EuC
t
τ
E/R
i
t
τ
Tracé de la courbe :
(
)
τ−
−= /t
Ce1E)t(u
1 / Pente à l'origine :
]
τ
=
τ
=
⎥
⎦
⎤
=
τ−
=
E
e
E
dt
du
0t
/t
0t
C
doù l'équation de la tangente à l'origine : t
E
)t(uCτ
=
2 / Asymptote : pour t  ∞, uC(t) =E
3 / Intersection des deux droites précédentes : c'est le point (τ ; E).

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 la tangente à l'origine coupe l'asymptote au temps t=τ.
4 / Calcul du temps tn au bout duquel la valeur maximum est atteinte à n % près.
E
100
n
e1EE /tn=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−− τ−
qui conduit à : 100
n
e/tn=
τ− , soit : n
100
logtnτ=
D'où, le temps t10 au bout duquel la valeur maximum est atteinte à 10 % près :
τ
=3,2t
et le temps t1 au bout duquel la valeur maximum est atteinte à 1 % près : τ= 6,4t.
Une règle pratique consiste à considérer qu'au bout du temps t= 5τ on a atteint la valeur
finale (à moins de 1% près).
Pour le tracé de τ−
=/t e
R
E
)t(i , on a une exponentielle décroissante qui atteint la valeur i=0
au bout du temps t=5t, à moins de 1% près.
Remarque 1 : On retrouve bien qu'après la fin du phénomène transitoire, on a i=0 et le
condensateur chargé sous E qui porte donc une charge Q=CU .
Remarque 2 : Si, au lieu d'un condensateur initialement déchargé, on part d'un
condensateur C préalablement chargé avec la charge Q0, la technique de résolution reste la
même. Seule la condition initiale change : uc (t=0) = Q0/C et le résultat devient :
C
Q
e1E)t(u 0
RC
t
C+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛−= − et τ−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛−= /t
0e
C
Q
E
R
1
)t(i
1.2 Décharge
Initialement le condensateur porte la charge Q0. A l'instant t=0 on ferme l'interrupteur K.
Le condensateur se décharge alors à travers R jusqu'à annulation de sa charge. Le courant
devient alors nul.
KR
C
+q(t)
i(t)
uC(t)
ici, le courant est un courant de décharge du condensateur et on a
dt
du
C
dt
dq
iC
−=−= .
La loi d'Ohm instantanée s'écrit : 0
C)t(q
)t(iR =+
Soit, en exprimant i(t) et q(t) en fonction de uC(t) :

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0
RC
u
dt
du CC =+ , équation différentielle du premier ordre à coefficients constants, sans
second membre, dont la solution finale est :
τ−
=/t
0
Ce
C
Q
)t(u et τ−
τ
=/t
0e
Q
)t(i
Q0/C uC
t
τ
Q0/RC
i
t
τ
2 Etablissement et coupure de courant dans une self, à travers
une résistance
2.1 Etablissement du courant
Soit le circuit donné ci-dessous :
Initialement la self n'est le siège d'aucun courant I0=0. A l'instant t=0 on ferme
l'interrupteur K. La source de tension continue E est alors connectée aux bornes du circuit RL
série.
E
KR
L
i(t)
uL(t)
On peut se demander quel sera le régime permanent de ce montage, lorsque le régime
transitoire sera terminé ?

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Une self ne développe de fem d'induction à ses bornes que lorsque le courant qui la
traverse varie dans le temps : c'est la loi de Lentz. Donc, en régime continu, c'est-à-dire,
lorsqu'elle est parcourue par un courant constant non nul on a : uL(t) = 0. Ici, lorsque l'on va
fermer l'interrupteur K, le courant, partant de i=0, va s'établir pendant la durée du phénomène
transitoire jusqu'à atteindre une valeur limite continue. Cette valeur est simplement donnée
par IL=E/R.
On peut donc déduire qu'en régime permanent, une fois le régime transitoire passé, le
courant dans le circuit sera IL=E/R et la ddp aux bornes de L sera uL=0.
Remarque : Toute self a une résistance intrinsèque RL. Pour la prendre en compte, il suffit
de considérer la self réelle comme une self pure L en série avec sa résistance propre RL. On
retrouve alors un montage du type de la figure ci-dessus dans lequel la résistance devient R'
somme de la résistance externe R et de la résistance de la self RL.
La loi d'Ohm instantanée s'écrit : dt
diL
)t(iRE +=
Soit, en divisant par L:
L
E
)t(i
L
R
dt
di =+ , équation différentielle du premier ordre à coefficients constants.
La technique de résolution est la même que pour la charge du condensateur à travers une
résistance. Compte-tenu de la condition initiale : i(t=0) = 0, on trouve :
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛−= τ
−t
e1
R
E
)t(i et τ
−
== t
LeE
dt
di
L)t(u
la grandeur τ = L/R est homogène à un temps. Elle est appelée constante temps (en s).
Les courbes trouvées pour i(t) et uL(t) sont du même type que celles trouvées pour uC(t) et
i(t), respectivement, dans le cas de la charge du condensateur à travers une résistance.
E
i
t
τ
E/R
uL
t
τ
Remarque 1 : On retrouve bien qu'après la fin du phénomène transitoire, on a uL=0 et que
le courant est constant et égal à E/R.