Moment d`une force par rapport à un point - TPWorks

Cours
Mécanique
Notion de Moment d'une force par rapport à un point
I Définition
On appelle moment, par rapport au point B de la force A 2/1 appliquée au point A, le vecteur d'origine
r
B défini par la relation : MB A 2/1 = BA ∧ A 2/1 ou MB A 2/1 = ± d × A 2/1 k
( )
( )
- le moment est aussi communément appelé couple
Un moment génère ou interdit un mouvement de rotation autour d'une droite ∆.
On caractérise le moment par :
∆
- son point d'application : B
- sa direction :
perpendiculaire au plan défini par les vecteurs BA et A 2/1
d : longueur du segment
orthogonal au support de
( )
MB A 2/1
A 2/1 et passant par B
- son sens :
r
MB A 2/1 ≥ 0 sens du vecteur vers k
( )
r
M (A ) ≤ 0 sens du vecteur vers - k
B
z
2/1
( )
M (A )
M (A )
B
d
O
- sa norme :
MB A 2/1
y
= BA × A 2/1 × sin α
B
2/1
= d × A 2/1
B
2/1
=
L A + MA + NA
2
2
2
A
x
A 2/1
α
( )
r
r
r
avec MB A 2/1 = L A i + M A j + N A k
- le moment est symbolisé comme vecteur par une flèche à double trait :
L'unité légale du moment est le newton-mètre, son symbole est N.m (on utilise aussi le mN.M = N.mm)
- sens du moment dans repère O,x,y,z
positif x vers y, négatif y vers x
A
-
+
y
O
y
B
d
x
A 2/1
A 2/1
A
( )
MB A 2/1 ≥ 0
O
B
d
( )
MB A 2/1 ≤ 0
x
II Rappel sur le produit vectoriel
x BA
( )
XA
y BA . Z A - z BA . YA
MB A 2/1 = BA ∧ A 2/1 = y BA ∧ YA = z BA . X A - x BA . Z A
z BA
ZA
x BA . YA - y BA . X A
III Résultante des moments
Soit R la résultante des forces (somme vectorielle des n forces s'exerçant sur le solide considéré ), le
moment résultant en n'importe quel point I des n forces est égal au moment en I de la résultante R .
Nota : lorsque le solide est en équilibre la résultante des moments est égale à zéro.
 LA 
 LB 




Si MI R = MI A 1/2 + MI B 3/2 avec MI A 1/2  M A  et MI B 3/2  MB 
N 
N 
 A
 B
r
r
r
alors MI R = (L A + L B ) i + (M A + MB ) j + (N A + NB ) k
() ( ) ( )
( )
( )
()
Moment d'une force par rapport à un point.doc
STS : Conception Industrialisation Microtechniques Page 1 /2
Cours
Mécanique
Notion de Moment d'une force par rapport à un point
IV Actions mécaniques dues à un système pignon crémaillère
Lors de son mouvement de translation la
crémaillère 2 génère une action
mécanique de contact A 2/1 inclinée d'un
angle de pression α (en général α = 20°)
Sens de rotation du
pignon
Cette force crée en O un moment ou
couple dans le pignon 1 :
MO A 2/1 = OA ∧ A 2/1
Ou bien algébriquement :
M O A 2/1 = + d .A 2/1 avec d ⊥ A 2/1
Ce moment génère la rotation du pignon 1.
( )
( )
A 2/1
α
d
O
Sens de translation
de la crémaillère
A
Pignon 1
Crémaillère 2
V Actions mécaniques dues un moteur électrique
Au cours du fonctionnement, le stator 1r exerce sur
le rotor 2 des actions mécaniques f i ; elles se
réduisent à un couple moteur Cm suivant l'axe x.
Stator 1
O
Le moment en un point O quelconque de l'axe x
r
s'écrit : MO(1/2) = Cm i
r
fi
Rotor 2
r
MO(1/2) = Cm i
x
Ce couple moteur est déterminé par la relation
d'énergétique suivante :
P = Cm.ω2/1
P : puissance du moteur (en W)
Cm : couple moteur (en N.m)
ω2/1 : vitesse angulaire (en rad/s)
VI Actions mécaniques dues un ressort de flexion enroulé
(complément : cf. cours ressorts)
Une force B 2/1 due à une pièce 2 (non représentée)
génère au point A un moment proportionnel à θ l'angle de
rotation du ressort.
b
h
y
1
Le moment est défini par la relation :
(
)
r
E.b.h 3
M A B 2/1 = k a . θ k avec k a =
12 . l
B
x
A
b : largeur (en mm)
h : épaisseur (en mm)
θ : angle de rotation du ressort (en rad)
B 2/1
l : longueur développée du ressort (en mm)
E : module d'élasticité longitudinal ou d'Young (en Mpa
Moment d'une force par rapport à un point.doc
(
)
r
M A B 2/1 = k a . θ k
STS : Conception Industrialisation Microtechniques Page 2 /2