les énoncés - Libres Savoirs

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1ère Année d’Etudes
ÉLECTROMAGNÉTISME
Responsable : François Marquier
Équipe pédagogique : Guillaume Berthet, Vincent Denechaud, Pierre
Dussarrat, Mukhtar Musawwadah, Christophe Sauvan et Léo Wojszvzyk
Travaux dirigés
2017
1

Table des matières
TD n◦1 Propagation et Diffraction. 3
TD n◦2 Rayonnement d’une antenne filaire 5
TD n◦3 Retour sur le bleu du ciel. 6
TD n◦4 Relation entre rayonnement, diffraction, réflexion et diffusion 9
TD n◦5 Modèle de Drude 11
TD n◦6 Propagation dans la matière 13
TD n◦7 Réflexion et transmission par un système plan 15
TD n◦8 Transmission par un film mince 16
TD n◦9 Absorption et diffusion par une particule sphérique 18
2

TD n◦1
Propagation et Diffraction.
1 Rappels sur les ondes planes
1) Écrire les équations de Maxwell dans le vide. En déduire l’équation de propagation du champ
électrique E(r, t)dans le vide.
2) On rappelle que le champ électrique peut s’écrire sous la forme :
E(r, t) = ZE(r, ω) exp(−iωt)dω
2π
Déduire de la question (1) l’équation vérifiée par E(r, ω)(équation de Helmholtz).
3) On s’intéresse dans cette question à une forme particulière E(r, ω) = E(ω) exp(ikx). Quelle
relation doit vérifier k? Comment s’appelle une telle onde ? Montrer que E(r, t)se met sous la
forme d’un "paquet d’ondes".
4) Retrouver les règles de calcul du rotationnel et de la divergence pour une onde plane de
vecteur d’onde k. En déduire que pour une onde plane, les champs dans le vide sont transverses.
Retrouver le lien entre E,Bet le vecteur d’onde k.
2 Vecteur de Poynting
On donne un champ électrique décrit par une onde plane monochromatique : E(r, t) = E0eycos(kx−
ωt). En déduire l’expression du champ magnétique B(r, t). Calculer le vecteur de Poynting, donné
par :
S=1
µ0
E×B
Quelle est sa moyenne temporelle et pourquoi ne calcule-t-on jamais que sa moyenne temporelle ?
En utilisant les champs dans leur formulation complexe, montrer qu’elle peut se mettre sous la
forme suivante :
hSi=1
2µ0
Re (E×B∗)
3 Transformation de Fourier et diffraction... Un rappel du cours
d’optique physique !
On considère un écran opaque situé dans le plan z= 0 dans lequel une ouverture de largeur L
a été percée. Cet écran est éclairé en incidence normale par une onde plane monochromatique
d’amplitude uniforme E0. Afin de simplifier le problème, on travaille dans l’approximation scalaire
et on raisonne sur un système à deux dimensions ne dépendant que de xet de z.
3

1) Écrire le champ E(x, z)en fonction de sa transformée de Fourier E(α, z)sur la variable
d’espace x. Retrouver ensuite l’expression de E(x, z)sous la forme d’un développement en ondes
planes pour z > 0. Quels sont les vecteurs d’onde et les amplitudes de ces ondes planes ?
2) On note θl’angle formé par le vecteur d’onde ket l’axe Oz. Donner l’ouverture angulaire
θmax du faisceau diffracté.
3) Dans le cas le plus général, montrer par un argument qualitatif que les largeurs ∆xet kmax
x
des fonctions E(x, z = 0) et ˜ E(kx, z = 0) sont reliées par la relation ∆xkmax
x≥2π. Retrouver le
résultat de la question 2).
4

TD n◦2
Rayonnement d’une antenne filaire
On étudie le rayonnement d’une antenne constituée de quatre antennes filaires parallèles, de
longueur L, et disposées aux sommets d’un carré de côté λ/2(voir figure). Les antennes sont
alimentées par des courants monochromatiques et émettent des champs de longueur d’onde λ.
Les antennes Aet Bsont alimentées par le même courant I(t), tandis que les antennes Cet D
sont alimentées par un courant −I(t).
A
y
x
B
C
D
h/2
1) Indiquer les directions pour lesquelles il y a des maxima et des minima d’émission. On donnera
la réponse sans faire aucun calcul.
2) Le courant I(t)est de la forme I(z, t) = I0cos(kz −ωt) = Re[I0exp(ikz −iωt)], avec k=
ω/c = 2π/λ. Ecrire, dans l’approximation de champ lointain, l’expression du potentiel vecteur A
au point r= (x, y, z)dû à une seule antenne dont le centre est situé à l’origine des coordonnées.
Préciser les conditions de validité de cette expression.
3) Ecrire l’expression du potentiel vecteur de l’ensemble des quatre antennes, l’origine étant prise
au centre du carré ABCD. Retrouve-t-on le résultat du 1) ?
4) D’une manière générale, comment peut-on augmenter la directivité d’un système d’antennes ?
5