Introduction aux vibrations

Introduction aux vibrations
Human Induced Vibration of Steel Structures
11/4/2008
RFS2-CT-2007-00033
Vue d’ensemble
Vue d’ensemble
• Les bases
–
–
–
–
Equation du mouvement
Fréquence propre
Masse modale
Amortissement
• Vibrations d’origine humaine
• L’objectif du contrôle
• Essai dynamique
RFS2-CT-2007-00033
2
Bases
Dynamique = position de la masse en fonction du temps
Bases
d
dt
d
dt
Vitesse: v(t) =
Position: x(t)
x&(t )
∫ dt
Accéleration: a(t) =&x&(t )
∫ dt
RFS2-CT-2007-00033
3
Equation du mouvement
Système à un dégrée de liberté (oscillateur simple)
&x&(t ) / x&(t ) / x (t ) / F (t )
Bases
m
m &x&(t ) + c x&(t ) + k x (t ) = F{
(t )
1444
424444
3
Internal
c
External
d
RFS2-CT-2007-00033
4
Equation du mouvement
Bases
Equation différentielle d’un système oscillant librement :
m &x&(t ) + c x&(t ) + k x (t ) = 0{
1444
4Interne
24444
3 Externe
x (t ) = A sin(ω0 t )
k
c
&x&(t ) + x&(t ) + x (t ) = 0
m
m
c
δ =
; ω0 =
2m
&x&(t ) + 2 δ x&(t ) + ω0 x (t ) = 0
2
&x&(t ) + 2 D ω0 x&(t ) + ω0 x (t ) = 0
2
k
m
δ
D =ξ =
ω0
m
Amortissement:
Expliquation plus loin
RFS2-CT-2007-00033
k
c
5
Fréquence propre
• Fréquence propre = f en 1/s
• Fréquence angulaire: ω 0 = 2 π f
en rad/s
• Vibration harmonique (sinusoïdale) : x (t ) = A sin(ω 0 ⋅ t )
Amplitude
Bases
Amplitude
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
Temps en s
0
0.0
0.5
1.0
1.5
Temps en s
0
0.0
2.0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
Vibration 1 Hz
0.5
1.0
1.5
2.0
Vibration 2 Hz
RFS2-CT-2007-00033
6
Fréquence propre
Bases
• Détermination pour un oscillateur simple
k
m
– système non-amorti
ω0 =
– système amorti
ωD = ω0 1 − D 2 ≈ ω0
• Détermination manuelle (poutre)
ω0 = ( j ⋅ π )
2
EI
μ l4
• Détermination par ordinateur
RFS2-CT-2007-00033
1. Harmonique: j=1
2. Harmonique: j=2
7
Fréquence propre
• Chaque fréquence a son propre mode d’oscillation
1. Harmonique: j=1
Bases
2. Harmonique: j=2
• Il y a autant de fréquences propres et de modes que
de degrés de liberté (dynamique)
• Plus la fréquence est basse, plus son énergie est
basse
• 1ère fréquence propre ⇒ énergie la plus basse ⇒
⇒ fréquence la plus probable
RFS2-CT-2007-00033
8
Analyse spectrale
Amplitude
Evolution dans le temps
1
0.8
0.5
0.6
0.4
Amplitude
0.4
0.2
0
-0.2 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Temps en s
3.5
4.0
Spectre
0.3
0.2
0.1
-0.4
0
-0.6
0
2
-0.8
4
6
8
Fréquence, Hertz
10
12
-1
L’évolution dans le temps peut être décrite par un ensemble d’ondes sinusïdales et leurs amplitudes
Amplitude
Amplitude
Amplitude
Amplitude
0.5
0.5
0.5
0.5
0.4
0.4
0.4
0.4
0.3
0.3
0.3
0.3
0.2
0.2
0.2
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
0.0
1.0
2.0
3.0
Time in s
4.0
+
0.1
0
-0.1
0.0
1.0
2.0
3.0
Time in s
4.0
+
0.1
0
-0.1
0.0
1.0
2.0
3.0
Time in s
4.0
+
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.2
-0.2
-0.3
-0.3
-0.3
-0.4
-0.4
-0.4
-0.5
-0.5
-0.5
RFS2-CT-2007-00033
0.0
1.0
2.0
3.0
Time in s
4.0
9
Masse modale
• Tous les modes d’un système peuvent être réduit à
un oscillateur simple
Bases
ω0 =
k modal
m modal
• La fréquence reste inchangée
• La fréquence peut être déterminée grâce aux
équations de base utilisant les valeurs “modales”
• Masse modale ≈ masse activée
RFS2-CT-2007-00033
10
Amortissement
• Effet : Diminution de l’amplitude
• Conversion de l’énergie
Bases
–
–
–
–
par frottement
par déformation
par flux de fluide
etc.
• Dépend des
–
–
–
–
–
–
matériaux composant la structure
assemblages
finitions et meubles
amplitude des vibrations
fréquence
etc.
RFS2-CT-2007-00033
11
Amortissement
Taux d’amortissement ξ (Xsi)
• 100% Amortissement critique
Amplitude
Amplitude
Bases
• 10% Amortissement critique
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
Temps en s
0
0.0
1.0
2.0
3.0
0.0
4.0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
0%
Temps en s
0
1.0
2.0
0%
100%
RFS2-CT-2007-00033
3.0
4.0
10%
12
Spécification de
l’amortissement
Bases
• coefficient d’amortissement c [Ns/m]
(force d’amortissement FD = - c v)
• décrément logarithmique Λ [-]
(pour la détermination de l’amortissement)
• Taux d’amortissement ξ [-]
– relation à c:
– relation à Λ:
c
c
ξ=
=
2mω 0 2 mk
Λ
ξ=
4π 2 + Λ2
RFS2-CT-2007-00033
13
Amortissement
Bases
Détermination à partir de mesures
1 x0
Amplitude
Λ = ln
1.5
n xn
Exemple n = 1 :
1 0,53
Λ = ln
= 0,63
1 0, 28
Exemple n = 2 :
1 0,53
Λ = ln
= 0,63
2 0,15
1
fréquence propre: 1Hz
1.00
0.53
0.5
0.28
0
0.0
1.0
2.0
-0.5
0.15
3.0
4.0
Temps en s
-1
-1.5
n=1
ξ=
n=2
0,63
4 π + 0,63
2
2
= 0,1
RFS2-CT-2007-00033
14
Vibrations d'origine humaine
Vibrations d’origine
humaine
Le mouvement humain excite AUSSI les structures !
RFS2-CT-2007-00033
15
Probabilité de la fréquence d’un pas
slow
lent
normal
normal
fs,m = 1.837 Hz
Fonction de density
densité de
probabilité
Probability
function
f x (x)
Vibrations d'origine humaine
Fréquence d’un pas
3.5
σf = 0.126 Hz
fast
rapide
total
total
3
2.5
fs,m = 2.06 Hz
fs,m = 1.503 Hz
2
σf = 0.148 Hz
σf = 0.141 Hz
1.5
fs,m = 1.80 Hz
1
σf = 0.268 Hz
0.5
0
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
Step frequency
Fréquence
d’un pasfsfs[Hz]
en Hz
RFS2-CT-2007-00033
16
Force de réaction au sol pour un pied
force mesurée de réaction
Force [N]
1000
900
800
700
600
Marche
lente
500
400
300
200
100
0
43
43.2
43.4
43.6
43.8
44
44.2
44.4
44.6
Time [sec]
Force [N]
1000
900
800
700
600
Marche
normale
500
400
300
200
100
0
132.6
132.8
133
133.2
133.4
133.6
133.8
134
13
Time [sec]
1000
Contact initial Positionnement
Mise en charge Pré-balancement
RFS2-CT-2007-00033
Marche
rapide
Force [N]
Vibrations d'origine humaine
Composante verticale
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
22.6
22.8
23
23.2
23.4
23.6
23.8
24
Time [sec]
17
24.2
Vibrations d'origine humaine
Composante verticale
Combinaison des deux pieds
Timing du support simple
Et double du pied
Contact initial
gauche
Contact initial
gauche
Phase positionnement gauche
Contact
bilatéral
Contact
simple droit
Contact
bilatéral
Contact
simple gauche
Phase positionnement droit
Contact initial
droit
Contact
bilatéral
Contact
simple droit
Contact
bilatéral
Phase positionnement droit
Contact initial
droit
Mouvement du centre de gravité de l’humain
si synchronisé: mouvement de CoG = vibration des ponts
Vitesse
Amplitude
forces de réaction verticale du sol
Mise en charge positive
RFS2-CT-2007-00033
18
0.1
F lat [kN]
Valeurs mesurées (3 pas)
• forces transversales
0.05
0
-0.05
-0.1
130
131
132
133
• forces verticales
134
Temps [s]
1.25
F vert [kN]
Vibrations d'origine humaine
Composante transversale
1
0.75
0.5
0.25
0
130
131
132
133
134
Temps [s]
RFS2-CT-2007-00033
19
Application des charges
• Charge verticale (coefficients voir le rapport VoF)
F (t ) / G = K1 ⋅ t + K 2 ⋅ t 2 + K 3 ⋅ t 3 + K 4 ⋅ t 4 + K 5 ⋅ t 5 + K 6 ⋅ t 6 + K 7 ⋅ t 7 + K 8 ⋅ t 8
1,5 Hz
Fvert /G [-]
1.6
1.2
0.8
ce
n
ta
s
i
d
0.4
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Time [s]
2,4 Hz
1.6
Fvert /G [-]
Vibrations d'origine humaine
en analyse de pas de temps
1.2
0.8
0.4
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Time [s]
• Charge horizontale
ti m
e
– constante
– dépends de la synchronisation et de l’accélération
RFS2-CT-2007-00033
Pied gauche
Pied droit
20
Vibrations d'origine humaine
Synchronisation
• Négligeable pour les planchers
• Négligeable pour les vibrations verticales
• Non négligeable pour les vibrations transversales
Force de contact transversal
du pied droit
Vitesse
Mouvement lat.
du plancher
Déplacement latéral
Apport d’énergie
du pied droit
RFS2-CT-2007-00033
21
L’objectif du dimensionnement
L’objectif du
dimensionnement
• Pour les deux types de structure, l’objectif est le confort.
• La perception des vibrations est individuelle et dépend de :
–
–
–
–
–
–
–
–
–
L’âge et l’état de santé des personnes
La situation individuelle lors des vibrations
La posture de la personne (assise, debout, allongée)
L’attente de la vibration (attente, surprise)
La direction de la vibration (horizontale, verticale)
L’amplitude de la vibration (accélération)
La fréquence de la vibration
La durée et la répétition de la vibration
etc.
• Les exigences de confort pour les ponts et pour les planchers
sont différentes.
• Classification du confort dans les deux cas.
RFS2-CT-2007-00033
22
Essai dynamique
Essai dynamique
• L’essai dynamique est nécessaire
– en cas de doute
– lorsque les amortisseurs doivent être installés
• Le but de l’essai est
– détermination des propriétés dynamiques de la structure
• fréquence propre
• mode
• amortissement
– détermination du confort
• Les procédures d’essai dépendent de l’objectif
recherché
• La valeur mesurée est l’accélération
RFS2-CT-2007-00033
23
Accéléromètres
Essai dynamique
Spécifications :
– Gamme de fréquence 0,1 Hz .... 50 Hz pour les ponts
1,0 Hz ….200 Hz pour les planchers
– Sensitivité min.
19 mV/G
– Plage d’accélération ±0,5 g
Piézoélectrique
Capacitive
RFS2-CT-2007-00033
24
Essai dynamique
Emplacement des
accéléromètres
• Pré-calcul recommandé
• L’emplacement dépend des modes étudiés
1. Harmonique
2. Harmonique
• Recommandation : Utilisation de plusieurs
accéléromètres
RFS2-CT-2007-00033
25
Essai dynamique
Types d’essai
Essais d’identification
• détermination des propriétés
dynamiques de la structure
– fréquences propres
– modes
– amortissement
Essais de performance
• détermination du confort
• essai d’identification à
effectuer au préalable
• essai de marche sous
condition d’utilisation
• essais de vibration ambiante
• essais de vibration forcée
• essais de vibration libre
RFS2-CT-2007-00033
26
Essai dynamique
Essai de vibration ambiante
• Une structure est en mouvement perpétuel du fait
des conditions ambiantes
• La structure répond aux conditions ambiantes en
oscillant dans ses modes propres
• Vibrations ambiantes sont très faibles ⇒ Utilisations
d’accéléromètres très sensibles
RFS2-CT-2007-00033
27
• Impulsion courte
• Vibration libre jusqu’à la stabilisation du système
4.00
3.00
2.00
accélération [m/s²]
Essai dynamique
Test de vibration libre
1.00
0.00
-1.00
-2.00
-3.00
-4.00
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
2.000
2.200
Temps [s]
RFS2-CT-2007-00033
28
Les types d’impulsions
Marteau calibré
Essai dynamique
Excitation par les talons
sur planchers
sur planchers et ponts
Sauts importants sur les ponts
RFS2-CT-2007-00033
29
Essai dynamique
Test de performance
• La structure est testée sous condition normale
d’utilisation
• La charge escomptée doit être appliquée
– nombre escomptée de personnes
– dans la manière escomptée de mouvement
RFS2-CT-2007-00033
30
Questions & Réponses
Human Induced Vibration of Steel Structures
11/4/2008
RFS2-CT-2007-00033