Les gaz parfaits quantiques II
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« Statistiques quantiques » Physique statistique (PHY433) Amphi 6 Fermi-Dirac métaux, isolants, semi-conducteurs, naines blanches, étoiles à neutrons Les gaz parfaits quantiques II Gilles Montambaux Bose-Einstein 6 mars 2017 1 « Statistiques quantiques » μ(T = 0) = ²F kB T rayonnement, effet de serre, lasers, rayonnement cosmologique, condensation de Bose, suprafluidité, supraconductivité Résumé Fermions : Les propriétés physiques dépendent de la structure du spectre au voisinage du niveau de Fermi Fermi-Dirac métaux, isolants, semi-conducteurs, naines blanches, étoiles à neutrons μ≤0 kB T Bosons : La physique est conditionnée par les états quantiques au voisinage du fondamental Bose-Einstein rayonnement, effet de serre, lasers, rayonnement cosmologique, condensation de Bose, suprafluidité, supraconductivité 4 Équation d’état d’un gaz parfait de Fermions / de Bosons Les Fermions ont tendance à s’éviter : Équation d’état d’un gaz parfait de Fermions / de Bosons principe d’exclusion de Pauli Les Fermions ont tendance à s’éviter : Les Bosons ont tendance à se condenser dans le même état principe d’exclusion de Pauli Les Bosons ont tendance à se condenser dans le même état A T=0K, les Fermions ont une énergie cinétique finie les Bosons sont tous dans l’état fondamental ? F ? F B N’oubliez pas les QCM ! B 5 6 Température caractéristique Le contrôle… Gaz quantique Gaz classique Le contrôle (3 h) aura lieu le lundi 27 mars de 14h à 17 h Aucun document autorisé. Tablette, ordinateur et téléphone interdits. Calculatrice recommandée. Un formulaire sera joint au problème. Dictionnaire papier autorisé pour les EV2 et EV3 longueur thermique de de Broglie densité Amphi 6 I. II. Généralités: * Le principe de Pauli * impose des conditions sur la nature des états quantiques * conditionne la répartition des niveaux d’énergie grand potentiel (pression), énergie interne, facteur d’occupation, densité d’états, corrections par rapport au G.P. classique * et donc la thermodynamique α = βμ = Fermions Propriétés basse température Deux exemples le gaz d’électrons les naines blanches F III. Bosons B La condensation de Bose-Einstein Trois exemples la suprafluidité les atomes froids la supraconductivité Bosons Fermions nombre d’occupation de l’état 9 Résumé : μ kT α = βμ = Statistiques quantiques μ kT 10 Équation d’état du gaz parfait quantique Fermions ? Bosons fkF = 1 fkB = eβ(²k −μ) +1 Fermi-Dirac N= X Pression P V = −A ? eβ(²k −μ) −1 B Bose-Einstein fk ²k k Grand potentiel 1 F AF,B = ±kT X ln(1∓fk ) U= X fk ²k où le potentiel chimique est déterminé par X k fk ²k P V = ∓kT N= X fk k k k Energie interne U= X k ln(1∓fk ) Eliminer α équations d’état U = f(N, T ) P V = g(N, T ) Comment calculer ces sommes ? N= X fk Comment calculer ces sommes ? μ(T ) N= k U= X X f~k ~ k fk ²k k P V = ∓kBT U= X X f~k ²~k ~ k P V = ∓kBT ln(1∓fk ) k X ln(1∓f~k ) ~ k Pour un gaz parfait, les états sont les états Dans un grand système, ces états Comment calculer ces sommes ? X ~ k U= X k X P V = ∓kBT X Z D(²) = X k D(²)d² ² sont les états de translation d² = nombre d’états dans une tranche d’énergie [², ² + d²] On définit aussi N<(²) = nombre d’états d’énergie inférieure à dN<(²) D(²) = d² forment un continuum Remplacer ces sommes discrètes sur δ(² − ²k ) Il peut s’agir des états propres d’une particule quantique ou des modes électromagnétiques ou acoustiques (à une fréquence donnée ) dans une boîte. ln(1∓f~k ) Dans un grand système, ces états D(²)ϕ(²)d² La densité d’états D() compte le nombre d’états à une énergie donnée . ~ k Pour un gaz parfait, les états ϕ(²k ) = k f~k ²~k ~ k par des intégrales sur l’énergie Densité d’états Z X μ(T ) ϕ(²k ) = D(²)ϕ(²)d² f~k ( de translation forment un continuum Remplacer ces sommes discrètes sur 13 N= μ(T ) par des intégrales sur l’énergie ( N<(²) s’appelle aussi densité d’états intégrée ) 0 ² N<(²) = X k Θ(² − ²k ) Θ x Particule dans une boîte X N<(²) = ~ k Densité d’états Θ(² − ²~k ) c.a.l. périodiques ky eiki xi = eiki (xi +L) Dans la limite du continuum, N<(²) = µ L 2π ¶3Z ²(~ k)<² d3~k eiki L = 1 car dans une boîte de taille L, les états~ k sont quantifiés et distants de Volume de l’espace des ~k |²~k < ² N<(²) = V (2π)3 Si ²(~k) = ²(|~k|) N<(²) = , ce volume est isotrope, sphère de rayon V 4πk 3 (2π)3 3 p~ = h̄~k remarque 2π L eikx = eik(x+L) k=n 2π L eikL = 1 n∈Z V 4πp3 N<(²) = 3 h 3 ²×2 N<(²) = Si π L µ L 2π ¶3Z ²(~ k)<² ni ∈ Z d3~k Le résultat ne dépend pas des c.a.l. ²(~k) = ²(k) en dimension d V 4πk3(²) N<(²) = (2π)3 3 sin kL = 0 k=n 2π L k(²) c.a.l. bord dur ⇒ ki = n i 2π L Rappel : conditions aux limites c.a.l. périodiques kx V Ad k d (2π)d h̄2 k2 ~ ²(k) = 2m n ∈ N∗ Pour des particules massives, de spin s ² V 4π N<(²) = (2s + 1) (2π)3 3 ×2 N<(²) = µ 2m² h̄2 ¶3/2 N<(²) ∝ ²d/2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2 k h̄2 k2 ²= 2m La densité d’états ne dépend pas des conditions aux limites D(²) = (2s + 1) k 19 V (2m)3/2 √ ² 4π 2 h̄3 en dimension d=3 D(²) ∝ ²d/2−1 20 en dimension d … N<(²) = V Ad k d (2π)d pour un spectre quadratique 2 2 h̄ k ²(~k) = 2m N<(²) ∝ ²d/2 1 D(²) ∝ √ ² D(²) ∝ ² D(²) ∝ √ 1 D(²) ∝ √ ² kx ² ²~k = d=3 d=2 ² ² d=1 d/2−1 D(²) ∝ Cte d=1 D(²)d² = nombre d’états dans une tranche d’énergie [², ² + d²] ²~k h̄2 kx2 2m Contours d’énergie constante ² d=2 N<(²) ∝ ²d D(²) ∝ Cte kx pour un spectre linéaire, ²(~k) = h̄ck ky kx ky D(²) ∝ ²d−1 ²~k = cf. ondes électromagnétiques, phonons, électrons dans le graphène ! Nanotubes de carbone h̄2 2 (k + ky2 ) 2m x 22 Comment calculer ces sommes ? d=1 N= X fk → k U= X fk ²k → k d=2 P V = ∓kT X k ln(1∓fk ) f (²) = Z Z Graphène ) eβ(²−μ) ±1 D(²)f (²)d² ²D(²)f (²)d² → ∓kT Z D(²)d² ln[1∓f (²)] Int. p. parties « Gaz 2D » à l’interface de deux semiconducteurs 1 PV = Z N<(²)f (²)d² Remplacer ces sommes discrètes par des intégrales 24 Comment calculer ces sommes ? Équation d’état : relier PV à N et T −ln[1−f²] F Z P V = ∓kT D(²)d² ln[1∓f² ] f² F B B ln[1 +f²] Pour un gaz de particules massives f² d/2 N<(²) ∝ ² PV = Z N<(²)f (²)d² d U = PV 2 Équation d’état à haute température, première correction quantique ∀T Fermions Bosons 25 Équation d’état à haute température, première correction quantique 26 Équation d’état à haute température, première correction quantique Limite haute température: Dans la limite haute température ? F avec ? B G.P. classique (d=3) (amphi 5, p. 65) que l’on peut récrire sous la forme pour 27 Fonction de partition à une particule libre (s=0) z1 = V V = 3 (2πmkT )3/2 λ3T h Fermions à température nulle Gaz parfait de Fermions On définit l’énergie de Fermi Quelques propriétés Deux exemples : Tous les états tels que I - Électrons libres dans les solides sont occupés II - Naines blanches, étoiles à neutrons 29 tels que N = N<(²F ) Fermions à température nulle Fermions à température nulle, définitions Tous les états Tous les autres sont vides sont occupés Niveau de Fermi Définit une sphère de rayon Energie de Fermi h̄2 k2 ²= 2m Vitesse de Fermi vF = ²F 30 h̄kF m Tous les autres états sont vides Mer de Fermi • Mer de Fermi = ensemble des états occupés • Surface de Fermi = surface d’énergie • Énergie de Fermi définie par kF = µ 2m²F h̄2 (3π 2 )1/3 a Vecteur d’onde de Fermi kF −kF N = N<(²F ) V 4π 3 V 4π N =2 k =2 (2π)3 3 (2π)3 3 F 1 N = 3 V a ²F ¶3/2 kB TF ≡ ²F ²F = (3π 2 )2/3 kB TF = (3π ) h̄ 2ma2 Vecteur d’onde de Fermi définit la température de Fermi 2 2/3 2 k h̄2 2ma2 cf . argument dimensionnel amphi 5, p.14 Fermions à température nulle Fermions massifs à température nulle T=0K est vrai à toute température car ? F 33 Fermions à température nulle 34 Pour caractériser un gaz de fermions, il faut d’abord évaluer sa température de Fermi T=0K 2 2/3 h̄ kB TF = (3π ) Si T À TF gaz classique (non dégénéré) Si T ¿ TF gaz « dégénéré » 2 2/3 ρ 2m TF gaz d’atomes ultrafroids < 1 K 3He liquide 1K él. dans les solides 104 K él. dans les naines blanches 109 K « Pression quantique » « Pression quantique » 35 36 Exemple 1 : les électrons d’un métal (sodium) 2 2 2/3 h̄ kB TF = (3π ) 2me a2 a ∼ 3.5Å Capacité thermique Gaz parfait classique ρ ∼ 2.5 1028 m−3 U= TF ∼ 36 000K ∼ 3 eV 3 C = NkB 2 Basse température ( e V ↔ kB T 1 eV ↔ 11600 K ) 3 N kB T 2 T ¿ TF A température ambiante, les électrons d’un métal forment un gaz fortement dégénéré T ¿ TF C = γT Quid des propriétés électroniques à basse température ? 37 Capacité thermique C = γT interprétation Variation de température δT Classiquement : Ici, à cause du principe de Pauli, à basse T , la proportion d’électrons pouvant être excités thermiquement est d’ordre T /TF La chaleur spécifique linéaire en T est une propriété caractéristique d’un métal Exemple 2 : les naines blanches Stabilité : compétition entre pression gravitationnelle et pression de Fermi Gaz de noyaux + électrons T¯ ∼ 107 K 2 kB TF ∝ (noyaux) TF ∼ 5 104 K (electrons) TF µ résultat exact C = N kB π2 T 2 TF ∼ 5 109 K 2 (el) P (electrons) V = Ne kB TF 5 ¶ La chaleur spécifique linéaire en T est une propriété caractéristique d’un métal h̄ 2ma2 Sirius B Le gaz de noyaux est classique Le gaz d’électrons est dégénéré >> P (noyaux) V = Nn kB T¯ C’est la pression quantique des électrons qui empêche son effondrement et assure sa stabilité Bien que la température soit de 10 millions K, le gaz d’électrons peut être décrit comme un gaz à température nulle !!! . α = βμ = Facteur d’occupation de Bose μ kT Gaz parfait de Bosons I - La condensation de Bose-Einstein II - Thermodynamique du rayonnement (amphi 8) Le potentiel chimique est déterminé par la condition : 41 T=0 K T’<T 42 Équation d’état d’un gaz parfait de bosons (d=3) T α = βμ = μ kT Le potentiel chimique est déterminé par Accident ! ! Il s’annule pour une température critique donnée par d=3 N= Z D(²) 1 d² eβc ² − 1 L’intégrale converge si nombre macroscopique de bosons dans le même état quantique 43 ce qui est le cas si d=3 Équation d’état d’un gaz parfait de bosons (d=3) α = βμ = Le potentiel chimique est déterminé par μ kT Équation d’état d’un gaz parfait de bosons (d=3) α = βμ = μ kT Le potentiel chimique est déterminé par Transition en d=3 ! ! Transition en d=3 ! ! Il s’annule pour une température critique donnée par d=3 Pas de transition en d=2 d=3 (poly. fin § 7.1.1) d=2 N= Z D(²) 1 d² eβc ² − 1 45 Température critique de Bose-Einstein (d=3, s=0) N= Z D(²) 1 d² eβc ² − 1 46 Équation d’état : T > Tc Le potentiel chimique s’annule à Tc ( dimension : énergie3/2 ) Energie interne T > Tc cf . argument dimensionnel 48 Équation d’état : T < Tc Or, si et le facteur de Bose de l’état fondamental diverge Le potentiel chimique s’annule à Tc Que se passe-t-il pour T < Tc ??? Le niveau est peuplé macroscopiquement ? constant diminue On a fait une erreur en remplaçant la somme par une intégrale # d’atomes dans les états excités + # d’atomes dans l’état fondamental Nombre macroscopique d’atomes condensés dans l’état fondamental C’est licite si les termes de cette somme discrète varient lentement avec k Ce qui devient faux si a , car occupation macroscopique du fondamental Condensation de Bose-Einstein " N0 (T ) = N 1 − µ T Tc ¶3/2 # 50 Condensation de Bose-Einstein « Condensation » d’un nombre macroscopique d’atomes dans l’état fondamental " N0 (T ) = N 1 − µ T Tc ¶3/2 # Condensation dans l’espace des impulsions J’affirme que dans ce cas, un nombre de molécules continûment croissant avec la densité s’installe dans le premier état quantique (celui qui possède une énergie cinétique nulle), tandis que les molécules restantes se répartissent conformément à la valeur 1 du paramètre (=e)… une séparation se produit : une partie se condense, l’autre reste un « gaz parfait saturé ». A. Einstein 1924 Une fraction macroscopique de particules est partout à la fois ! 52 Équation d’état : T < Tc Équation d’état : T < Tc ? chaleur spécifique (poly. § 7.3) 53 Équation d’état : T < Tc 54 Condensation de Bose-Einstein Einstein à Ehrenfest 1925 « A partir d’une certaine température, les molécules « se condensent » sans l’intervention de forces d’attraction, c’est-à-dire qu’elles s’agrègent en un état de vitesse nulle. C'est une belle théorie, mais contient-elle une part de vérité ? » Qualitatif : gaz parfait classique proportion d’atomes non condensés 56 Condensation de Bose-Einstein Einstein à Ehrenfest 1925 "C'est une belle théorie, mais contient-elle une part de vérité ?" Suprafluidité de 4He (1937) 2.17 K Condensation de Bose-Einstein Einstein à Ehrenfest 1925 "C'est une belle théorie, mais contient-elle une part de vérité ?" Condensation de Bose dans un gaz d’atomes ultrafroids 1995 boson 37 électrons + 37 protons + 50 neutrons T < Tc T ¿ Tc T > Tc ky Transition « lambda » de l’hélium vers une phase « superfluide » kx mais interactions entre les atomes Et la supraconductivité ? Kamerlingh Onnes boson 11 électrons + 11 protons + 12 neutrons Résumé : Statistiques quantiques 1911 éléments ou alliages simples 1K – 20 K mercure 4,2K 1986 Bednorz, Müller (oxydes) « Woodstock de la physique » !!! Fermi-Dirac Nombre de particules Bose-Einstein μ(T ) N.Y., 18 mars 1987 Les électrons sont des fermions chargés qui se repoussent !! Mais, via les vibrations du réseau (les phonons), ils s’apparient pour former des « paires de Cooper » qui sont des bosons et peuvent se condenser pour former un état « superfluide ». BCS 1957 Bardeen, Cooper, Schrieffer Encore de grandes questions : atteindre plus haute température, développement des applications, questions fondamentales encore non résolues Energie interne Pression D(²) ∝ ²d/2−1 D(²) ∝ ²d−1 particules massives particules sans masse 60 Prochains amphis d=3 s=0 d=3 s=1/2 Fermions 7 – Electrons dans les solides, métaux, isolants, semiconducteurs Bosons 8 - Thermodynamique du rayonnement, gaz de photons 61 62
