Les gaz parfaits quantiques II
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« Statistiques quantiques » Physique statistique (PHY433) Amphi 6 F Fermi-Dirac i Di métaux, isolants,semi-conducteurs, naines blanches, étoiles à neutrons Les gaz parfaits quantiques II Gilles Montambaux 11 mars 2015 Bose-Einstein 1 « Statistiques quantiques » rayonnement, effet de serre, lasers, rayonnement cosmologique, condensation de Bose, suprafluidité, supraconductivité Résumé Fermions : F Fermi-Dirac i Di Les propriétés physiques dépendent de la structure du spectre au voisinage du niveau de Fermi métaux, isolants,semi-conducteurs, naines blanches, étoiles à neutrons Bosons : La physique est conditionnée par les états quantiques au voisinage du fondamental Bose-Einstein rayonnement, effet de serre, lasers, rayonnement cosmologique, condensation de Bose, suprafluidité, supraconductivité 4 Équation d’état d’un gaz parfait de Fermions / de Bosons Les Fermions ont tendance à s’éviter : Équation d’état d’un gaz parfait de Fermions / de Bosons principe d’exclusion de Pauli Les Fermions ont tendance à s’éviter : Les Bosons ont tendance à se condenser dans le même état principe d’exclusion de Pauli Les Bosons ont tendance à se condenser dans le même état A T=0K, les Fermions ont une énergie cinétique finie les Bosons sont tous dans l’état fondamental ? F ? F B N’oubliez pas les QCM ! B 5 6 Température caractéristique Gaz quantique Amphi 6 I. Généralités: Gaz classique grand potentiel (pression), énergie interne, facteur d’occupation, p , densité d’états,, corrections par rapport au G.P. classique II Fermions II. F i Propriétés basse température Deux exemples le gaz d’électrons d électrons les naines blanches III Bosons III. B longueur thermique de de Broglie densité F B La condensation de Bose-Einstein Trois exemples la suprafluidité les atomes froids la supraconductivité Les transparents précédés de proposent des calculs intermédiaires simples ou des rappels qui ne sont pas développés en cours. 8 * Le principe de Pauli * impose des conditions sur la nature des états quantiques Résumé : Statistiques quantiques Fermions * conditionne la répartition des niveaux d’énergie * et donc la thermodynamique Bosons fkF = 1 fkB = eβ(²k −μ) +1 Fermi-Dirac N= X Bosons Fermions 9 nombre d’occupation de l’état Équation d’état du gaz parfait quantique ? Pression P =− fk ²k AF,B = ±kT fk ²k N= B U= X k U= X fk ²k k fk X μ(T ) fk ²k k où le potentiel chimique est déterminé par N= X ln(1∓fk ) Eliminer α équations d’état U = f(N, T ) X ln(1∓fk ) k fk k X k k k P V = ∓kT ln(1∓fk ) Energie interne ∂A A =− ∂V V P V = ∓kBT U= X Comment calculer ces sommes ? F ? X eβ(²k −μ) −1 Bose-Einstein k Grand potentiel 1 P V = f (N, T ) Pour un gaz parfait, parfait les états sont les états Dans un grand système, ces états de translation forment un continuum Remplacer ces sommes discrètes par des intégrales 12 ( Densité d’états X Z ϕ(²k ) = k D(²) = k ² d² N<(²) = δ(² − ²k ) N<((²)) = V On définit aussi = nombre d’états d’énergie inférieure à D(²) = ² N<(²) = dN<(²) d d² X k Si Θ(² − ²k ) Θ ( N<(²) s’appelle aussi densité d’états intégrée ) Densité d’états L 2π ¶3Z ²(k)<² (~ k)< d3~k Volume de l’espace des ~k |²~k < ² ( )3 (2π) ~k) = ²(|k|) ²(k) ²( ²(|~k|) N<(²) ( )= x 0 µ car dans une boîte de taille L, les états~ k sont quantifiés et distants de = nombre d’états dans une tranche d’énergie [², ² + d²] N<(²) Θ(² − ²~k ) Dans la limite du continuum, Il peut s’agir des états propres d’une particule quantique ou des modes électromagnétiques ou acoustiques (à une fréquence donnée ) dans une boîte. D(²)d² X ~ k D(²)ϕ(²)d² La densité d’états D() compte le nombre d’états à une énergie donnée . X N<(²) = Particule dans une boîte , ce volume est isotrope isotrope, sphère de rayon V 4πk 3 (2π)3 3 p~ = h̄k h~k N<(²) = remarque 2π L k(²) V 4πp3 h3 3 Rappel : conditions aux limites périodiques q c.a.l. p ky eiki xi = eiki (xi +L) c.a.l. périodiques ik ik( L) eikx = eik(x+L) eiki L = 1 kx ki = n i 2π L 2π L ni ∈ Z k=n 2π L c.a.l. bord dur ⇒ eikL = 1 n∈Z sin kL = 0 k=n ²×2 π L n ∈ N∗ ² ×22 ×2 N<(²) = µ L 2π ¶3Z ²(~ k)<² ×2 ×22 ×2 ×2 d3~k Le résultat ne dépend pas des c.a.l. k ²= h̄2 k2 2m Les transparents précédés de proposent des calculs intermédiaires simples ou des rappels qui ne sont pas développés en cours. k 16 Si En dimension d ²(~k) = ²(k) N<(²) = en dimension d V 4πk3(²) N<(²) = (2π)3 3 Pour des particules massives, massives de spin s V N<(²) = Ad k d ((2π))d V 4π N<(²) = (2s + 1) (2π)3 3 µ 2m² h̄2 pour un spectre quadratique h̄2 k2 ~ ²((k)) = 2 2m N<(²) ∝ ²d/2 1 D(²) ∝ √ ² h̄2 k2 ~ ²(k) = ²(k) 2m ¶3/2 N<(²) ∝ ²d/2 D(²) ∝ ²d/2−1 en dimension d=3 D(²) ∝ ²d/2−1 D(²) ∝ D(²) ∝ Cte √ ² d=3 d=2 d=1 V (2m) (2 )3/2 √ D(²) = (2s + 1) 2 ² 4π h̄3 V Ad k d (2π)d ² ² ² pour un spectre linéaire linéaire, ~k) = hck ²(k) ²( h̄ck 17 N<(²) ∝ ²d D(²) ∝ ²d−1 Cf. ondes électromagnétiques, phonons, électrons dans le graphène ! D(²)d² = nombre d’états dans une tranche d’énergie [², ² + d²] h̄2 kx2 ²~k ²~k = 2m d=1 kx kx Contours d’énergie d énergie constante d=2 d=1 Nanotubes de carbone 1 D( ) ∝ √ D(²) ² d=2 ky D(²) ∝ Cte kx ky ²~k = h̄2 2 (k + ky2 ) 2m x kx 19 « Gaz 2D » à l’interface de deux semiconducteurs Graphène ) f (²) = Comment calculer ces sommes ? N= X fk → k U= X fk ²k → k P V = ∓kT X ln(1∓fk ) Z Z eβ(²−μ) ±1 Comment calculer ces sommes ? D(²)f (²)d² Pour un gaz de particules massives ²D(²)f (²)d² →∓ ∓kT k 1 Z N<(²) ∝ ²d/2 D(²)d² ( ) ln[1∓f [ ∓f ((²)] )] Int p Int. p. parties PV = Z PV = N<(²)f (²)d² Remplacer ces sommes discrètes par des intégrales Z U= N<(²)f (²)d² d PV 2 ∀T 21 Quantités thermodynamiques et facteurs de Fermi / Bose 22 −ln[1−f²] Equation d’état : relier PV à N et T F Z P V = ∓kT D(²)d² ln[1∓f² ] f² F B B ln[1 +f²] ett f² Équation d’état à haute température, première correction quantique ipp ipp 23 ipp = intégration par parties Fermions Bosons 24 Équation d’état à haute température, première correction quantique Équation d’état à haute température, première correction quantique Limite haute température: Dans la limite haute température ? F avec B ? G.P. classique (d=3) gaz parfait : ((amphi p 5,, p. p 60)) (amphi 5 5, p p. 60) que l’on peut récrire sous la forme µ V z1 = 3 (2πmkT )3/2 h ¶ pour 25 Fonction de partition à une particule (s=0) z1 = V V = 3 (2πmkT )3/2 λ3T h Fermions à température nulle Gaz parfait de Fermions On définit O dé t l’énergie é e g e de Fermi e Quelques propriétés Deux exemples : Tous les états I - Électrons libres dans les solides tels que sont occupés II - Naines blanches, étoiles à neutrons 27 Tous les autres sont vides Energie de Fermi Fermions à température nulle, définitions Tous les états tels que Fermions à température nulle sont occupés Niveau de Fermi Définit une sphère de rayon h̄2 k2 ²= 2 2m Vit Vitesse de d F Fermii vF = ²F h̄kF m Tous les autres états sont vides Mer de Fermi • Mer de Fermi = ensemble des états occupés • Surface de Fermi = surface d’énergie • Énergie de Fermi définie par ²F N = N<(²F ) V 4π 3 V 4π kF = 2 N =2 3 (2π)3 3 (2π) 3 µ 2m²F h̄2 2 1/3 kF = N 1 = 3 V a ((3π ) a Vecteur d’onde de Fermi kF −k kF ¶3/2 kB TF ≡ ²F ²F = (3π (3 2 )2/3 kB TF = (3π ) h̄ 2ma2 Fermions à température nulle Vecteur d’onde de Fermi définit la température de Fermi 2 2/3 2 k h2 h̄ 2ma2 cf . argument dimensionnel Fermions massifs à Température nulle T=0K est vraii à toute température é car ? F 31 32 Fermions à température nulle Pour caractériser un gaz de fermions, il faut d’abord évaluer sa température de Fermi T=0K kB TF = (3 (3π 2 )2/3 Si T À TF gaz classique (non dégénéré) Si T ¿ TF gaz « dégénéré g g » h̄2 ρ2/3 2m TF gaz d’atomes ultrafroids < 1 K 3He liquide q 1K él. dans les solides 104 K él. dans les naines blanches 109 K « Pression quantique » « Pression quantique » 33 Chaleur spécifique Exemple 1 : les électrons d’un métal (sodium) 2 kB TF = (3π 2 )2/3 h̄ 2me a2 a ∼ 3.5Å 34 Gaz parfait classique ρ ∼ 2.5 1028 m−3 U= TF ∼ 36 000K ∼ 3 eV 3 C = NkB 2 Basse température ( e V ↔ kB T 1 eV ↔ 11600 K ) 3 N kB T 2 T ¿ TF A température ambiante, les électrons d’un métal forment un gaz fortement dégénéré T ¿ TF C = γT Quid des propriétés électroniques à basse température ? 35 La chaleur spécifique linéaire en T est une propriété caractéristique d’un métal Chaleur spécifique C = γT Exemple 2 : les naines blanches interprétation Variation de température δT Classiquement : Ici, à cause du principe de Pauli Ici Pauli, à basse T , la proportion d’électrons pouvant être excités thermiquement est d’ordre T /TF Stabilité : compétition entre pression gravitationnelle et pression de Fermi Gaz de noyaux + électrons T¯ ∼ 107 K 2 h̄2 M¯ kB TF ∝ EG ∼ G 2ma2 R (noyaux) TF ∼ 5 104 K (electrons) TF µ résultat exact C = N kB π2 T 2 TF ∼ 5 109 K 2 (el) P (electrons) V = Ne kB TF 5 ¶ Sirius B L gaz d Le de noyaux estt classique l i Le gaz d’électrons est dégénéré >> P (noyaux) V = Nn kB T¯ C’est la pression quantique des électrons qui empêche son effondrement et assure sa stabilité La chaleur spécifique linéaire en T est une propriété caractéristique d’un métal Bien que la température soit de 10 millions K, le gaz d’électrons peut être décrit comme un gaz à température nulle !!! . Facteur d’occupation de Bose Gaz parfait de Bosons I - La condensation de Bose-Einstein II - Thermodynamique du rayonnement (amphi 8) Le potentiel chimique est déterminé par la condition : 39 40 T’<T T=0 K Equation d’état d’un gaz parfait de bosons T Le potentiel chimique est déterminé par Accident ! ! Il s’annule ’ l pour une température t é t critique donnée par N= d=3 Z D(²) 1 d² eβc ² − 1 L’intégrale converge si nombre macroscopique de bosons dans le même état quantique Température critique de Bose-Einstein (d=3, s=0) N= Z D(²) ce qui est le cas si d=3 41 Equation d’état : T > Tc 1 d² eβc ² − 1 Le potentiel chimique s’annule à Tc Q se passe-t-il Que t il pour T < Tc ??? ( dimension : énergie3/2 ) ? constant diminue On a fait une erreur en remplaçant la somme par une intégrale cf . argument dimensionnel 43 C’est licite si les termes de cette somme discrète varient lentement avec k Ce qui devient faux si a , car occupation macroscopique du fondamental Or, si Le niveau et le facteur de Bose de l’état fondamental diverge Condensation de Bose-Einstein est peuplé macroscopiquement JJ’affirme affirme que dans ce cas, cas un nombre de molécules continûment croissant avec la densité s’installe dans le premier état quantique (celui qui possède une énergie cinétique nulle), tandis que les molécules restantes se répartissent conformément à la valeur 1 du paramètre ((=e e)… ) une séparation se produit : une partie se condense, l’autre reste un « gaz parfait saturé ». A. Einstein (1924) Nombre macroscopique d’atomes condensés dans l’état fondamental " N0 (T ) = N 1 − µ T Tc ¶3/2 # 45 Equation d’état : T < Tc Condensation de Bose-Einstein « Condensation » d’un nombre macroscopique d’atomes dans l’état fondamental " N0 (T ) = N 1 − µ T Tc ¶3/2 # ? Condensation dans l’espace l espace des impulsions Une fraction macroscopique de particules est partout à la fois ! 47 48 Equation d’état : T < Tc Equation d’état : T < Tc Qualitatif : chaleur spécifique (poly. § 7.3) gaz parfait classique proportion d’atomes non condensés Remarque : U P indépendants de la densité !! U, 49 Condensation de Bose-Einstein Einstein à Ehrenfest 1925 "C'est une belle théorie, mais contient-elle une part de vérité ?" Suprafluidité de 4He (1937) 2.17 K (cf. poly. fig.7.6) Condensation de Bose-Einstein Einstein à Ehrenfest 1925 "C'est une belle théorie, mais contient-elle une part de vérité ?" Condensation de Bose dans un gaz d’atomes ultrafroids 1995 37 él électrons t + 37 protons t + 50 neutrons t T > Tc b boson T < Tc T ¿ Tc ky Transition « lambda » de l’hélium vers une phase h « superfluide fl id » mais interactions entre les atomes kx 11 électrons + 11 protons + 12 neutrons boson Et la supraconductivité ? Kamerlingh Onnes Résumé : Statistiques quantiques 1911 éléments ou alliages simples 1K – 20 K mercure 4,2K 1986 Bednorz, Müller (oxydes) « Woodstock de la physique » !!! Fermi-Dirac Nombre de particules Bose-Einstein μ(T ) N.Y., 18 mars 1987 Les électrons sont des fermions chargés qui se repoussent !! Energie g interne Mais, via les vibrations du réseau (les phonons), ils s’apparient pour former des « paires de Cooper » qui sont des bosons et peuvent se condenser pour former un état « superfluide ». BCS 1957 Pression Bardeen, Cooper, Schrieffer Encore de grandes questions : atteindre plus haute température, développement des applications, questions fondamentales encore non résolues / D(²) ∝ ²d/2−1 D(²) ∝ ²d−1 particules massives particules sans masse 54 Prochains amphis p d=3 s=0 d=3 3 s=1/2 Fermions 7 - Electrons dans les solides, métaux, isolants, semiconducteurs Bosons 8 - Thermodynamique du rayonnement, gaz de photons 55 56
