Les gaz parfaits quantiques II

Physique statistique (PHY433)
Amphi 6
Les gaz parfaits quantiques II
Gilles Montambaux
11 mars 2015 1
« Statistiques quantiques »
Fi
Di
F
erm
i
-
Di
rac
métaux, isolants,semi-conducteurs, naines blanches, étoiles à neutrons
Bose-Einstein
rayonnement, effet de serre, lasers, rayonnement cosmologique, condensation de
Bose, suprafluidité, supraconductivité
« Statistiques quantiques »
Fi
Di
F
erm
i
-
Di
rac
métaux, isolants,semi-conducteurs, naines blanches, étoiles à neutrons
Bose-Einstein
rayonnement, effet de serre, lasers, rayonnement cosmologique, condensation de
Bose, suprafluidité, supraconductivité
Résumé
Fermions :
Les propriétés physiques dépendent
de la structure du spectre au voisinage
du niveau de Fermi
du
niveau
de
Fermi
Bosons :
La physique est conditionnée
La
physique
est
conditionnée
par les états quantiques
au voisinage du fondamental
4

Équation d’état d’un gaz parfait de Fermions / de Bosons
Les Fermions ont tendance à s’éviter : principe d’exclusion de Pauli
Les Bosons ont tendance à se condenser dans le même état
Les
Bosons
ont
tendance
à
se
condenser
dans
le
même
état
F
?B
?
5
Équation d’état d’un gaz parfait de Fermions / de Bosons
Les Fermions ont tendance à s’éviter : principe d’exclusion de Pauli
Les Bosons ont tendance à se condenser dans le même état
Les
Bosons
ont
tendance
à
se
condenser
dans
le
même
état
A T=0K, les Fermions ont une énergie cinétique finie
les Bosons sont tous dans l’état fondamental
FN’oubliez pas
les QCM !
B
6
Température caractéristique
Gaz classique
Gaz quantique
densité
longueur thermique de de Broglie
Amphi 6
I. Généralités: grand potentiel (pression), énergie interne,
facteur d’occu
p
ation
,
densité d’états
,
p, ,
corrections par rapport au G.P. classique
II
Fi
II
.
F
erm
i
ons
Propriétés basse température
Deux exemples
le gaz d
’
électrons
F
Deux
exemples
le
gaz
d électrons
les naines blanches
III
B
F
B
III
.
B
osons
La condensation de Bose-Einstein
Trois exemples
la suprafluidité
B
Trois
exemples
la
suprafluidité
les atomes froids
la supraconductivité
Les transparents précédés de proposent des calculs intermédiaires
simples ou des rappels qui ne sont pas développés en cours. 8

* Le principe de Pauli * impose des conditions sur la nature des états quantiques
* conditionne la répartition des niveaux d’énergie
*
et donc la thermodynamique
et
donc
la
thermodynamique
Fermions Bosons
nombre d’occupation de l’état 9
Résumé : Statistiques quantiques
Fermions
Fermions
f
F
1
B
1
Bosons
Fermi-Dirac
f
F
k
=e
β(²
k
−μ)
+1f
B
k=
1
eβ(²k−μ)−1
Bose-Einstein
N=X
k
f
k
²
k
AF,B =±kT Xln(1∓fk
)
Grand potentiel
k
U
X
f
P
∂A A
Pression Energie interne
U
=
X
k
f
k
²
k
P
=−∂V=−V
Équation d’état du gaz parfait quantique
F
?
B
?
B
?
où le potentiel chimique est déterminé par
U=Xfk²k
N=Xfk
Eliminer équations d’état
α
kk
P
V
=
∓
k
T
X
l
n
(
1
∓
f
k
)
PV =f(N,T)
U=f(N,T)
P
V
∓
k
T
X
k
l
n
(
1
∓
f
k
)
Comment calculer ces sommes ?
N=
X
f
k
μ(T)
U
=
X
f
²
X
k
U
=
X
k
f
k
²
k
PV =∓k
BTX
k
ln(1∓fk
)
Pour un gaz parfait
les états sont les états de translation
k
Pour
un
gaz
parfait
,
les
états
sont
les
états
de
translation
Dans un grand système, ces états forment un continuum
Remplacer ces sommes discrètes par des intégrales 12

Z
Densité d’états
(
X
k
ϕ(²
k
)=
Z
D(²)ϕ(²)d²
(
La densité d’états D( )compte le nombre d’états à une énergie donnée .
D
(
²
)
X
δ
(
²
²
)
Il peut s’agir des états propres d’une particule quantique ou des modes
D
(
²
)
=
X
k
δ
(
²
−
²
k
)
électromagnétiques ou acoustiques (à une fréquence donnée ) dans une boîte.
[
², ² +d²
]
= nombre d’états dans une tranche d’énergie D(²)d²
²
d²
= nombre d’états d’énergie inférieure à
N
<
(²
)
On définit aussi
²
D(²)=dN
<
(²)
d
N
<
(²)=X
k
Θ(²−²
k
)
Θ
d
²
( s’appelle aussi densité d’états intégrée )
N
<
(²
)
0
x
N
<
(²)=X
~
k
Θ(²−²
~
k
)
Particule dans une boîte
Dans la limite du continuum,
k
N
<
(²)=
µ
L
2
π
¶
3
Z
(
~
k
)
<
d
3
~
k
car dans une boîte de taille , les états sont quantifiés et distants de
L
~
k
2π
L
µ
2
π
¶
Z
²
(
k
)
<
²
L
N
<
(
²
)
=
V
Volume de l’espace des ~ k|²
~
k
<²
(
)
3
<
(
)
V
(
2π
)
3
²
(
~
k
)
=
²
(
|
~
k
|
)
Si
ce volume est isotrope sphère de rayon
k
(
²
)
²
(
k
)
=
²
(
|
k
|
)
N
(
)
V4πk3
Si
,
ce
volume
est
isotrope
,
sphère
de
rayon
k
(
²
)
V
4
π
p
3
~
h
~
k
N
<
(
²
)
=(2π)33
N
<
(²)=
V
h
3
4
π
p
3
~
p=¯
h
k
remarque
Densité d’états
c.a.l.
p
ériodi
q
ues
k
pq
k
y
eik
ixi
=eik
i(xi+L)
e
ik
i
L
=
1
k
x
e
i
=
1
k
i
=n
i
2π
L
n
i
∈Z
2π
L
µ
L
¶
3
Z
~
N
<
(²)=
µ
L
2π
¶
Z
²(~ k)<²
d
3
~
k
Le résultat ne dépend pas des c.a.l.
Rappel : conditions aux limites
c.a.l. bord dur
c.a.l. périodiques
i
k
i
k
(
L
)
i
k
L
2
π
π
sin kL =0
e
i
k
x=e
i
k
(
x+
L
)
⇒e
i
k
L
=1
k=n
2
π
L
k=n
π
L
n∈N
∗
n∈Z
²²
×2
2
×
2
×2
×2
2
²=¯h2k2
2m
kk
×
2
×2
×2
Les transparents précédés de proposent des calculs intermédiaires
simples ou des rappels qui ne sont pas développés en cours. 16

²(~ k)=²(k
)
Si en dimension d
N
<
(²)=V
(
2π
)
d
A
d
k
d
N
<
(²)=V
(
2
π
)
3
4πk
3
(²)
3
²
(
~
k
)
=
¯h
2
k
2
Pour des particules massives
(
)
(
2
π
)
3
²
(
k
)
=
2m
3
/
2
Pour
des
particules
massives
,
de spin s
N
<
(²)=(2s+1) V
(2π)
3
4π
3µ2m²
¯h
2
¶
3
/
2
N
<
(²)∝²
d/2
V
(
2
)
3
/
2
D(²)=(2s+1)
V
4π
2
(
2
m
)
3
/
2
¯h
3
√
²
D(²)∝²d/2−1
en dimension d=3 17
En dimension d
N
<
(²)=V
(2π)
d
A
d
k
d
pour un spectre quadratique
²
(
~
k
)
=¯h
2
k
2
2
N
<
(²)∝²
d/2
D(²)∝²
d/2−1
pour
un
spectre
quadratique
(
)
2
m
D(²)∝1
√
²
D(²)∝√²
D(²)∝Cte
√
²
d=1
d=3
d=2
²
²
²
pour un spectre linéaire
²
(
~
k
)
=
¯
h
c
k
N
<
(
²
)
∝
²
d
D
(
²
)
∝
²
d−1
pour
un
spectre
linéaire
,
²
(
k
)
=
h
c
k
N
<
(
²
)
∝
²
D
(
²
)
∝
²
Cf. ondes électromagnétiques, phonons, électrons dans le graphène !
²
~
=
¯h
2
k
2
x
D(²)d² =nombred’´etats dans une tranche d’´energie [², ² +d²
]
²
~
k
²
k
=
2m
D
(
)
1
d=1
k
k
x
D
(
²
)
∝
√
²
kx
Contours d
’
énergie constante
k
y
Contours
d énergie
constante
D(²)∝Cte
d=2
k
x
kx
ky
²
~
k
=¯h
2
2m(k
2
x
+k
2
y
)
19
d=1
Nanotubes de carbone
d=2
)
« Gaz 2D » à l’interface de deux semiconducteurs Graphène
)