Les gaz parfaits quantiques II

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« Statistiques quantiques »
Physique statistique (PHY433)
Amphi 6
F
Fermi-Dirac
i Di
métaux, isolants,semi-conducteurs, naines blanches, étoiles à neutrons
Les gaz parfaits quantiques II
Gilles Montambaux
11 mars 2015
Bose-Einstein
1
« Statistiques quantiques »
rayonnement, effet de serre, lasers, rayonnement cosmologique, condensation de
Bose, suprafluidité, supraconductivité
Résumé
Fermions :
F
Fermi-Dirac
i Di
Les propriétés physiques dépendent
de la structure du spectre au voisinage
du niveau de Fermi
métaux, isolants,semi-conducteurs, naines blanches, étoiles à neutrons
Bosons :
La physique est conditionnée
par les états quantiques
au voisinage du fondamental
Bose-Einstein
rayonnement, effet de serre, lasers, rayonnement cosmologique, condensation de
Bose, suprafluidité, supraconductivité
4
Équation d’état d’un gaz parfait de Fermions / de Bosons
Les Fermions ont tendance à s’éviter :
Équation d’état d’un gaz parfait de Fermions / de Bosons
principe d’exclusion de Pauli
Les Fermions ont tendance à s’éviter :
Les Bosons ont tendance à se condenser dans le même état
principe d’exclusion de Pauli
Les Bosons ont tendance à se condenser dans le même état
A T=0K,
les Fermions ont une énergie cinétique finie
les Bosons sont tous dans l’état fondamental
?
F
?
F
B
N’oubliez pas
les QCM !
B
5
6
Température caractéristique
Gaz quantique
Amphi 6
I. Généralités:
Gaz classique
grand potentiel (pression), énergie interne,
facteur d’occupation,
p
, densité d’états,,
corrections par rapport au G.P. classique
II Fermions
II.
F
i
Propriétés basse température
Deux exemples
le gaz d’électrons
d électrons
les naines blanches
III Bosons
III.
B
longueur thermique de de Broglie
densité
F
B
La condensation de Bose-Einstein
Trois exemples
la suprafluidité
les atomes froids
la supraconductivité
Les transparents précédés de
proposent des calculs intermédiaires
simples ou des rappels qui ne sont pas développés en cours.
8
* Le principe de Pauli * impose des conditions sur la nature des états quantiques
Résumé :
Statistiques quantiques
Fermions
* conditionne la répartition des niveaux d’énergie
* et donc la thermodynamique
Bosons
fkF =
1
fkB =
eβ(²k −μ) +1
Fermi-Dirac
N=
X
Bosons
Fermions
9
nombre d’occupation de l’état
Équation d’état du gaz parfait quantique
?
Pression
P =−
fk ²k
AF,B = ±kT
fk ²k
N=
B
U=
X
k
U=
X
fk ²k
k
fk
X

μ(T )
fk ²k
k
où le potentiel chimique est déterminé par
N=
X
ln(1∓fk )
Eliminer
α
 équations d’état
U = f(N, T )
X
ln(1∓fk )
k
fk
k
X
k
k
k
P V = ∓kT
ln(1∓fk )
Energie interne
∂A
A
=−
∂V
V
P V = ∓kBT
U=
X
Comment calculer ces sommes ?
F
?
X
eβ(²k −μ) −1
Bose-Einstein
k
Grand potentiel
1
P V = f (N, T )
Pour un gaz parfait,
parfait les états
sont les états
Dans un grand système, ces états
de translation
forment un continuum
 Remplacer ces sommes discrètes par des intégrales
12
(
Densité d’états
X
Z
ϕ(²k ) =
k
D(²) =
k
²
d²
N<(²) =
δ(² − ²k )
N<((²)) = V
On définit aussi
= nombre d’états d’énergie inférieure à
D(²) =
²
N<(²) =
dN<(²)
d
d²
X
k
Si
Θ(² − ²k )
Θ
( N<(²) s’appelle aussi densité d’états intégrée )
Densité d’états
L
2π
¶3Z
²(k)<²
(~
k)<
d3~k
Volume de l’espace des ~k |²~k < ²
( )3
(2π)
~k) = ²(|k|)
²(k)
²(
²(|~k|)
N<(²)
( )=
x
0
µ
car dans une boîte de taille L, les états~
k sont quantifiés et distants de
= nombre d’états dans une tranche d’énergie [², ² + d²]
N<(²)
Θ(² − ²~k )
Dans la limite du continuum,
Il peut s’agir des états propres d’une particule quantique ou des modes
électromagnétiques ou acoustiques (à une fréquence donnée ) dans une boîte.
D(²)d²
X
~
k
D(²)ϕ(²)d²
La densité d’états D() compte le nombre d’états à une énergie donnée .
X
N<(²) =
Particule dans une boîte
, ce volume est isotrope
isotrope, sphère de rayon
V 4πk 3
(2π)3 3
p~ = h̄k
h~k
N<(²) =
remarque
2π
L
k(²)
V 4πp3
h3 3
Rappel : conditions aux limites
périodiques
q
c.a.l. p
ky
eiki xi = eiki (xi +L)
c.a.l. périodiques
ik
ik( L)
eikx
= eik(x+L)
eiki L = 1
kx
ki = n i
2π
L
2π
L
ni ∈ Z
k=n
2π
L
c.a.l. bord dur
⇒
eikL = 1
n∈Z
sin kL = 0
k=n
²×2
π
L
n ∈ N∗
²
×22
×2
N<(²) =
µ
L
2π
¶3Z
²(~
k)<²
×2
×22
×2
×2
d3~k
Le résultat ne dépend pas des c.a.l.
k
²=
h̄2 k2
2m
Les transparents précédés de
proposent des calculs intermédiaires
simples ou des rappels qui ne sont pas développés en cours.
k
16
Si
En dimension d
²(~k) = ²(k)
N<(²) =
en dimension d
V 4πk3(²)
N<(²) =
(2π)3
3
Pour des particules massives,
massives
de spin s
V
N<(²) =
Ad k d
((2π))d
V 4π
N<(²) = (2s + 1)
(2π)3 3
µ
2m²
h̄2
pour un spectre quadratique
h̄2 k2
~
²((k)) =
2
2m
N<(²) ∝ ²d/2
1
D(²) ∝ √
²
h̄2 k2
~
²(k) =
²(k)
2m
¶3/2
N<(²) ∝ ²d/2
D(²) ∝ ²d/2−1
en dimension d=3
D(²) ∝ ²d/2−1
D(²) ∝
D(²) ∝ Cte
√
²
d=3
d=2
d=1
V (2m)
(2 )3/2 √
D(²) = (2s + 1) 2
²
4π
h̄3
V
Ad k d
(2π)d
²
²
²
pour un spectre linéaire
linéaire,
~k) = hck
²(k)
²(
h̄ck
17
N<(²) ∝ ²d
D(²) ∝ ²d−1
Cf. ondes électromagnétiques, phonons, électrons dans le graphène !
D(²)d² = nombre d’états dans une tranche d’énergie [², ² + d²]
h̄2 kx2
²~k
²~k =
2m
d=1
kx
kx
Contours d’énergie
d énergie constante
d=2
d=1
Nanotubes de carbone
1
D( ) ∝ √
D(²)
²
d=2
ky
D(²) ∝ Cte
kx
ky
²~k =
h̄2 2
(k + ky2 )
2m x
kx
19
« Gaz 2D » à l’interface de deux semiconducteurs
Graphène
)
f (²) =
Comment calculer ces sommes ?
N=
X
fk
→
k
U=
X
fk ²k
→
k
P V = ∓kT
X
ln(1∓fk )
Z
Z
eβ(²−μ) ±1
Comment calculer ces sommes ?
D(²)f (²)d²
Pour un gaz
de particules massives
²D(²)f (²)d²
→∓
∓kT
k
1
Z
N<(²) ∝ ²d/2
D(²)d²
( ) ln[1∓f
[ ∓f ((²)]
)]
Int p
Int.
p. parties
PV =
Z
PV =
N<(²)f (²)d²
 Remplacer ces sommes discrètes par des intégrales
Z
U=
N<(²)f (²)d²
d
PV
2
∀T
21
Quantités thermodynamiques et facteurs de Fermi / Bose
22
−ln[1−f²]
Equation d’état : relier PV à N et T
F
Z
P V = ∓kT D(²)d² ln[1∓f² ]
f²
F
B
B
ln[1 +f²]
ett
f²
Équation d’état à haute température, première correction quantique
ipp
ipp
23
ipp = intégration par parties
Fermions
Bosons
24
Équation d’état à haute température, première correction quantique
Équation d’état à haute température, première correction quantique
Limite haute température:
Dans la limite haute température
?
F
avec
B
?
G.P. classique (d=3)
gaz parfait :
((amphi
p 5,, p.
p 60))
(amphi 5
5, p
p. 60)
que l’on peut récrire sous la forme
µ
V
z1 = 3 (2πmkT )3/2
h
¶
pour
25
Fonction de partition à une particule (s=0)
z1 =
V
V
= 3 (2πmkT )3/2
λ3T
h
Fermions à température nulle
Gaz parfait de Fermions
On définit
O
dé t l’énergie
é e g e de Fermi
e
Quelques propriétés
Deux exemples :
Tous les états
I - Électrons libres dans les solides
tels que
sont occupés
II - Naines blanches, étoiles à neutrons
27
Tous les autres sont vides
Energie de Fermi
Fermions à température nulle, définitions
Tous les états
tels que
Fermions à température nulle
sont occupés
Niveau de Fermi
Définit une sphère de rayon
h̄2 k2
²=
2
2m
Vit
Vitesse
de
d F
Fermii
vF =
²F
h̄kF
m
Tous les autres états sont vides
Mer de Fermi
• Mer de Fermi = ensemble des états occupés
• Surface de Fermi = surface d’énergie
• Énergie de Fermi définie par
²F
N = N<(²F )
V 4π 3
V 4π
kF = 2
N =2
3
(2π)3 3
(2π) 3
µ
2m²F
h̄2
2 1/3
kF =
N
1
= 3
V
a
((3π )
a
Vecteur d’onde de Fermi
kF
−k
kF
¶3/2
kB TF ≡ ²F
²F = (3π
(3 2 )2/3
kB TF = (3π )
h̄
2ma2
Fermions à température nulle
Vecteur d’onde de Fermi
définit la température de Fermi
2 2/3
2
k
h2
h̄
2ma2
cf . argument dimensionnel
Fermions massifs à Température nulle
T=0K
est vraii à toute température
é
car
?
F
31
32
Fermions à température nulle
Pour caractériser un gaz de fermions,
il faut d’abord évaluer
sa température de Fermi
T=0K
kB TF = (3
(3π 2 )2/3
Si
T À TF
gaz classique (non dégénéré)
Si
T ¿ TF
gaz « dégénéré
g
g
»
h̄2 ρ2/3
2m
TF
gaz d’atomes ultrafroids
< 1 K
3He liquide
q
1K
él. dans les solides
104 K
él. dans les naines blanches 109 K
« Pression quantique »
« Pression quantique »
33
Chaleur spécifique
Exemple 1 : les électrons d’un métal (sodium)
2
kB TF = (3π 2 )2/3
h̄
2me a2
a ∼ 3.5Å
34
Gaz parfait
classique
ρ ∼ 2.5 1028 m−3
U=
TF ∼ 36 000K ∼ 3 eV
3
C = NkB
2
Basse température
( e V ↔ kB T
1 eV ↔ 11600 K )
3
N kB T
2
T ¿ TF
A température ambiante, les électrons d’un métal forment un gaz fortement dégénéré
T ¿ TF
C = γT
Quid des propriétés électroniques à basse température ?
35
La chaleur spécifique linéaire en T est une propriété caractéristique d’un métal
Chaleur spécifique
C = γT
Exemple 2 : les naines blanches
interprétation
Variation de température
δT
Classiquement :
Ici, à cause du principe de Pauli
Ici
Pauli, à basse T ,
la proportion d’électrons pouvant être excités
thermiquement est d’ordre T /TF
Stabilité : compétition entre pression gravitationnelle
et pression de Fermi
Gaz de noyaux + électrons
T¯ ∼ 107 K
2
h̄2
M¯
kB TF ∝
EG ∼ G
2ma2
R
(noyaux)
TF
∼ 5 104 K
(electrons)
TF
µ
résultat exact
C = N kB
π2 T
2 TF
∼ 5 109 K
2
(el)
P (electrons) V = Ne kB TF
5
¶
Sirius B
L gaz d
Le
de noyaux estt classique
l
i
Le gaz d’électrons est dégénéré
>> P (noyaux) V
= Nn kB T¯
C’est la pression quantique des électrons
qui empêche son effondrement et assure sa stabilité
La chaleur spécifique linéaire en T est une propriété caractéristique d’un métal
Bien que la température soit de 10 millions K, le gaz d’électrons peut être décrit
comme un gaz à température nulle !!! .
Facteur d’occupation de Bose
Gaz parfait de Bosons
I - La condensation de Bose-Einstein
II - Thermodynamique du rayonnement (amphi 8)
Le potentiel chimique est déterminé par la condition :
39
40
T’<T
T=0 K
Equation d’état d’un gaz parfait de bosons
T
Le potentiel chimique est déterminé par
Accident ! !
Il s’annule
’
l pour une température
t
é t
critique donnée par
N=
d=3
Z
D(²)
1
d²
eβc ² − 1
L’intégrale converge si
nombre macroscopique de bosons
dans le même état quantique
Température critique de Bose-Einstein (d=3, s=0)
N=
Z
D(²)
ce qui est le cas si d=3
41
Equation d’état : T > Tc
1
d²
eβc ² − 1
Le potentiel chimique s’annule à Tc
Q se passe-t-il
Que
t il pour T < Tc ???
( dimension : énergie3/2 )
?
constant
diminue
On a fait une erreur en remplaçant la somme par une intégrale
cf . argument dimensionnel
43
C’est licite si les termes de cette somme discrète varient lentement avec k
Ce qui devient faux si a
, car occupation macroscopique du fondamental
Or, si
Le niveau
et
le facteur de Bose de l’état fondamental diverge
Condensation de Bose-Einstein
est peuplé macroscopiquement
JJ’affirme
affirme que dans ce cas,
cas un nombre de molécules continûment croissant avec la
densité s’installe dans le premier état quantique (celui qui possède une énergie
cinétique nulle), tandis que les molécules restantes se répartissent conformément
à la valeur 1 du paramètre  ((=e
e)…
) une séparation se produit : une partie
se condense, l’autre reste un « gaz parfait saturé ».
A. Einstein (1924)
Nombre macroscopique d’atomes condensés dans l’état fondamental
"
N0 (T ) = N 1 −
µ
T
Tc
¶3/2 #
45
Equation d’état : T < Tc
Condensation de Bose-Einstein
« Condensation » d’un nombre macroscopique d’atomes dans l’état fondamental
"
N0 (T ) = N 1 −
µ
T
Tc
¶3/2 #
?
Condensation dans l’espace
l espace des impulsions
Une fraction macroscopique de particules est partout à la fois !
47
48
Equation d’état : T < Tc
Equation d’état : T < Tc
Qualitatif :
chaleur spécifique
(poly. § 7.3)
gaz parfait classique
proportion d’atomes non condensés
Remarque :
U P indépendants de la densité !!
U,
49
Condensation de Bose-Einstein
Einstein à Ehrenfest 1925
"C'est une belle théorie, mais contient-elle une part de vérité ?"
Suprafluidité de 4He
(1937)
2.17 K
(cf. poly. fig.7.6)
Condensation de Bose-Einstein
Einstein à Ehrenfest 1925
"C'est une belle théorie, mais contient-elle une part de vérité ?"
Condensation de Bose dans un gaz d’atomes ultrafroids 1995
37 él
électrons
t
+ 37 protons
t
+ 50 neutrons
t
T > Tc
b
boson
T < Tc T ¿ Tc
ky
Transition « lambda » de l’hélium
vers une phase
h
« superfluide
fl id »
mais interactions entre les atomes
kx
11 électrons + 11 protons + 12 neutrons
boson
Et la supraconductivité ?
Kamerlingh Onnes
Résumé :
Statistiques quantiques
1911
éléments ou alliages simples
1K – 20 K
mercure 4,2K
1986
Bednorz, Müller (oxydes)
« Woodstock de la physique » !!!
Fermi-Dirac
Nombre de particules
Bose-Einstein

μ(T )
N.Y., 18 mars 1987
Les électrons sont des fermions chargés qui se repoussent !!
Energie
g interne
Mais, via les vibrations du réseau (les phonons),
ils s’apparient pour former des « paires de Cooper » qui sont des bosons
et peuvent se condenser pour former un état « superfluide ».
BCS 1957
Pression
Bardeen, Cooper, Schrieffer
Encore de grandes questions : atteindre plus haute température, développement
des applications, questions fondamentales encore non résolues
/
D(²) ∝ ²d/2−1
D(²) ∝ ²d−1
particules massives
particules sans masse
54
Prochains amphis
p
d=3
s=0
d=3
3
s=1/2
Fermions
7 - Electrons dans les solides, métaux, isolants, semiconducteurs
Bosons
8 - Thermodynamique du rayonnement, gaz de photons
55
56
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