EXPO SE XVI Th@or~me de chan~ement de base par un morphisme lisse~ et a p p l i c a t i o n s . par M. ARTIN Sommaire : I. Le th@or~me de changement de base par un morphisme lisse. 2. Le th@or~me de sp@cialisation des groupes de cohomologie. 3. Le th@or~me de puret@ cohomologique relatif. 4. Le th@or~me de comparaison de la cohomologie pour les pr@sch@mas alg@briques sur . C Le th@or&me de finitude pour les pr@sch~mas alg@briques en caract@ristique z@ro. 206 - 2 - XVI. I. Le th@or~me de changement de base par un morphisme lisse. Th@or~me 1.1 . Soient • C ]P , n ~ IN , e t g! X < X' Y ~ ' .g. y, (~) un dia~ramme cart@sien, avec g f universellement lo0alement ph@rique pour quasizgompaet e t ~ u a s i - s 4 p a r ~ , 0 -ac_~yclique (resp. univ. loc. IL , resp. univ. loc. Alors pou r chaque f aisceau 6Toupes, resp. abglien de F n -acyclique pour su___r X I -as- ]L ) (XV I. II). d'ensembles (resp. de L-torsion) e_~t ind- ~-- , le morphisme de changement de base (XII 8.1.2 ) est bijectif pour q = 0 (resp. q En particulier, en appliquant Corollaire 1 , XV 2.1 resp. q ~< n). , on trouve le 1.2 . (Th@or@me de changement de base par un morphisme lisse). Supposons que le morphisme g de soit quasi-compact et quasi-s@par@, et que (~) ~ C soit lisse, qu__~e f IP soit l'ensemble compl@mentaire & l'ensemble des caract@ristiques r@siduelles de Alors pour chaque faisceau pes, res p. ab@lien de F d'ensembles (resp. de ~-torsion) sur 207 X Y ind - • -grou- , le. mo~phisme de change- -3 merit de base ~ % 1.1 est quasi-projectif (resp. pour q). . Traitons d'abord le cas oG f : X ~ Y : ce n'est qu'une conjonotion du th@or~me de changement de base pour un morphisme propre finition q = 0 ci-dessus est bijectif p put q = O,1, resp. pour chaque D4monstration de XVI. - XII 5.1 et ~e la d@- XV 1.9 • En effet, on a un diagramme commutatif X \/' i ) X Y oG ~ est projectif, donc propre, et oh verte. Or on sait est vrai pour ~ XII 5.1 i est une immersion ou- que le th@or6me de changement de base quel que soit g : Y' ---> Y . Puisque gXy~ : Y'XyY--@Y est encore universellement O-acyclique (resp . . . . ), on se ram6ne imm4diatement par (XII 4.4 (ii)) ~ d@montrer le th@or~me pour le morphisme f i , c'est-~-dire, on est ramen4 au cas oG est une immersion ouverte. Alors le th@or~me est cons@quence de la d@finition X V 1.10 (ii) Traitons maintenant le cas g@n@ral. L'assertion est locale sue Y , et on peut donc supposer Lemme affine. 1.3 • O n peut de plus supposer D@monstration. prouver Y 1.1 Proc@dant comme dans pour un f X affine. XIi 6.1 , on est r@duit, pour donn@~ & le prouver dens la situation d@- 208 - 4 - XVl. duite de la situation donn@e par des changements de base ~, --> y, , pour un morphisme local Y',Y stricts de induit par g ~ : Y'--~ Y Y > Y , de localis@s , et g prouver que les homomorphis- mes sont bijectifs pour q ~ n nous ram~ne donc au oas oG , o~ X = XxyY Y,Y',g , ~' = X'xy,Y' sont strictement locaux, . Cela et prouver dans ce cas la bijeotivit@ des applications pr@c@dentes, admettant que 1.1 est prouv@ pour couvrement fini de sch@ma somme des surjectif tons que h : Z h X X. l ....~.. f affine. Or soit par des ouverts affines X , d'oG u n morphisme Z le est s@par@, et qu'il est affine lorsque f X' . To- est s@par@. XII 6.8 , on voit que (~) pour q ~ net pout" , il suffit de prouver la bijectivit@ des applications cor- respondantes Hq(Z,h~(F)) ---> Hq(Z,,h'~(F')), homomorphismes de changement de base, pour ment de base Or si , et soit h' : Z ~ --~ pour prouver la bijectivit@ des applications F un re- , qui est donc affine et muni d'un m~rphisme Ceoi dit, appliquant le lemme de descente tout X. i (Xi) f X' ---> X Z ---> X et le change- , soient des isomorphismes en dimension ~ n. est s@par@, donc th~se, ce qui prouve g condition que les 1.1 h est affine, il e n e s t lorsque f ainsi par hypo- est suppos@ s@par@. Dans le cas g~n@ral, on peut alors appliquer le r@sultat pr@c@dent g est toujours s~par@, et on conclut ce qui prouve encore que 1.1 h est vrai pour qui f 1.3 . Remar~ue. On pourrait aussi invoquer la suite spectrale de Leray pour le recouvrement ouvert (Xi) de 209 X , et ses variantes non com- - mutatives, - mais cette m4thode, rents du recours ~ distinguer 5 XVI. qui n'est p~s essentiellement XII 6.8 , a l e d~savantage & nouveau les trois cas habituels, diff@- de nous obliger travail qui a d@j~ @t4 fair dans loc.oit. Pour achever la d@monstration du th@or&me il suffit de ramener la d@monstration au cas oh affine et de type fini, donc quasi-projectif. peut supposer X affine. sont des sch4mas affines dans le cas g@n@ral, Bolt alors f : X ---> D'apr~s X = lim X ~ et de type fini sur technique de passage ~ la limits habituelle Y est 1.3 , on , oG f ~ : X ~ Y ~ Y . On termine avec la (VII 5)- Compl@~ents 1.4. a) Nous laissons au lecteur le soin de constater que la m@me d@monstration donne encore une conclusion est universellement !ocalement oas, l'homomorphisme lorsqu'on (-1)-acyelique de changement nonc@ d'injectivit6 qui pr4c&de : si suivant, g est universellement momorphisme ab@lien de @n+1 @I de 1.1 localement de ~-torsion 1.1 F sur X . D'autre 1.1 par l'@- contenu @galement dans la d@monstration est universellement de base F ~ on peut compl@ter alors pour tout faisceau en groupes de changement : dans ce ,,) f~(g'~(F)) est in09ctif pour tout faisceau d'ensembles n > 0 (XV 1.14) g de base ~o : g~(f (F)) part, supposons ~ nouveau suppose que F localement sur X ~ l'homomorphisme est un monomorphisme n -~cyclique pour est un monomorphisme sur O- acyclique, X 210 IL ~ si g , alors l'ho- pour tout faiscea~ - 6- x-~. b) II est sans doute possible de donner 6galement une conclusion d'injectivit@ analogue & partir de l'hypoth&se de cit@ locale pour ]L de g I -asph@ri- , en introduisant les invariants de cohomologie non commutative de la th~se de GIRAUD, comparer 2- XII 5.11 la mGme question se pose @galement pour (1.6) et (2.3) ci-dessous. Corollaire 1.5 = ]P- {p} • Soit K/k une extension de corps, et soit , o__~fl p = car k ° Alors Spec(K) universellement local ement acyclique pour localmment I -asph@rique pour ]L ; si ~ k ~ Spec(k) est et universellement et K sont s@parablement clos, alors le morphisme pr@0@dent est @galement universellement acyclique pour • et universellement I -asph@rique pour ]L Notons tout de suite la consequence suivante de (1-5) : Coro!laire clos, X I .6 . .Soient u~n K/k sch~ma~ F une extension de corps s@parablement un faisceau d'ensemble (resp. de IL-groupes, re sp. de groupes ab@liens de ]L= IP-{p] , p = car es__t bi~ective pour k q = 0 . Alors L-torsion) q ~ I ]Let q). Spec(K) --~ Spec(k) universellement I -asph@- ]L , et des [email protected] Notons qu'on peut interpr@ter aussi l'homomorphisme pr@c@dent sur les par , o_~fl , r esp. pour tout Cela r@sulte en effet aussitSt du fait que rique pour X l'application (resp. p.our est universellement acyclique pour sur ind- VIII 2.4 Hq comme s'identifiant 2 & l'homomorphisme de changement de base (*) C'est ca qui est effectivemaut ~tabli dans le livre de J. Giraud. 211 (*); - 7 - XVI ~(~qe(P)) --~Rqf~(g,*(F)) , oN f : X ---~ Spec(k) et g' : X K .....~. X est quasi-compacf , f' : X K ---> $peo(K) sent les morphismes et quasi-s@par@, , g = Speo(K) @vidents. la bijectivit@ Done lorsque gr~oe ~ fair que est universellement clique pour • $pec(k) et universellement quasi-s@par@, Spec(K) -~> 1.6 est universellement I -asph@rique pour ~ te de k k Toute extension sous-alg~bres A & localiser un tel apparalt XV 2.1 Remarque K acyclique pour ~ et et uni- 1.5 , il suffit de prouver VIII 1.1 , on peut alors supp~ser k est limite inductive de type fini sur k , st k de ses @tant parfait, quitte , on peut le supposer lisse, de sorte que @tant universellement et universellement ~ . A entralner que comme limite inductive filtrante de sous-alg~bres Cos derni~res pour quasi-compact de A acy- 1.5 • Quitte ~ passer g la clSture parfai- , ce qui est licite par parfait. X du (XV 1.7, 1.6 (i)). Ceci montre done que pour prouver la premi&re assertion de localement I -asph~rique pour ee qui suffit manifestement Spec(k) versellement 1.1 , comme cons@quence localement Ce dernier fait implique done d@j& X de ces homomorphis- mes peut aussi ~tre consider@e, Spec(K) - ~ ~Spec(k) localement , on conclut grace ~ localement I -asph@riques XV 1.13 (i£) lisses. acycliques pour pour K IL IL en vertu de , c.~.f.d. 1.7 . On comparera le th4or~me d'invariance 1.5 ~ XII 5.4, o~ on n'a pas eu ~ supposer le faisceau de torsion envisag~ premier aux caract@ristiques supposer X propre sur k r@siduelles, mais o~ en revanche on dolt . D@j~ dans le cas de 212 HI(x,~p~ ) , oh - X 8 XVI. - est une courbe alg4brique affine sur un corps alg4briquement clos (par exemple la droite affine) k de car • p > 0 , l'analo- gue des 4nonc6s pr4c4dents devient faux, ~ cause des ph4nom~nes de "ramification immod4r4e" la classification £ l'infini, des revGtements est essentiellement 2.1 ~_~morphisme . Soient L C I -asph&rique pour F n 6IN resp. ab~lien de constant sur pour • I -torsion) • Alors les q = 0 Rqf F (re~. et pour tout ~oint g~om4trique ~ pour ces m~mes valeurs de changement f : X --~ , resp. loc. (resp. d e constructible n -acyclique ind - ~ et localement sont constructibles pour d__~e Y Y (*) et localement O-acycli- et locale- q = O,1, resp. pou r q ~ n) , on a q(xs,Fg) Remar u ~ . de groupe ~ / p Z , et soit un faisceau d'ensembles groupes, ment constants pour , finis propre que (resp. loc. X 4tales principaux des groupes de cohomologie. • de prgsentation ~ ). S o it que dans un tel cas "continue". 2. Th4or~me de sp~cialisation Th~or~me impliquant , q Notons que la derni~re assertion n'est que le thgor&me de de base pour un morphisme Compte tenu de XV 2.1 propre XII 5.2, , on a immgdiatement le corollaire sui- (@) Pour une hypoth~se moins restrictive que celle de propret~ permettant d'obtenlr les m~mes conclusions, cf. SGA 5 II 3 et SGA 1XIII. 213 - 9 - xvl. vant Corollairs 2.2 . (Th@or~me de sp4cialisation pour l e s g r o u p e s de cohomologie). Soit IL~ f : X ) un morphisme propre et lisse, e t ]P l'ensemble compl@mentaire ~ l'ensemble des caract4ristiques r~siduelles de Y . Soit F ]L-~QUPeS, resp. ab@lien de Alors les q = O Y Rqf(F) q = O,I ~ de pour ces m@mes valeurs de Remarque. Prenant ~-torsion) constructible sur X sont constructibles et localement constants p?ur (resp. ~ o ur point g@om~trique un faisceau d'ensembles (resp. de ind- n = ! , resp. pour tout Y q), et pour tout , on a q , et traduisant en termes de groupes fon- damentaux, on retrouve (SGAI X 3.8) comparant les groupes fondamentaux des fibres d'un morphisme propre et lisse. D@monstration de constructibles 2.] . Puisqu'on salt d@j~ que les XIV 1.1 , il suffit grace ~ que pour tout morphisme de sp@cialisation g~om@triques de Y Rqf (F) IX 2.11 ~ -"> ~o sont de prouver de points , le morphisme de sp@cialisation correspondant (VIII 7.7) est bijectif pour les valeurs de q envisag@es. Or on a ~ oe sujet le r@sultat un peu plus g@n@ral suivant (off il est inutile de suppo- 214 - ser f 10 - de prgsentation finie et Corollaire 2.) . Soient ~ phisme propre et localement rique pour XVI. F constructible) , n ~ IN , C ~ f : X ~ Y un mor- 0 -x~oyclique (resp. localement IL , resp. localement I -acyoli~ue pour I I -asph@- ), F u_~n faisceau d'ensembles (resp. de ind - • -groupes, resp. ab@lien de L-torsion) sur X , qui est localement constant. Alors pour tout morphisme de sp~cialisation Y ~I " ~ Yo de points g@om@triques de , l'homomorphisme de sp~cialisation correspondant est bijectif pour q = 0 De plus~ dans le cas (resp. pour n = 0 ~.ej q = 0,1 g morphisme R1f (F)~ --~ R1f (F)~ pour F sur ~-torsion , l'homomorphisme de sp&cialisation X , l'homonest F quel- localement cons- (~) est injectif q = n+1 I1 existe un sch@ma strictement local int&gre phisme g ~ Y' ...>.. point g@ngrique en Y appliquant le point form@ Yl' le localis@ strict de remplacer Y' Y relativement & ~o g@briquement clos, de serte que Y' (f,F,g) ~ Yo' , et un moten Yo , le , puis son sous-sch@ma y~ . De }lus, quitte par son normalis@ dans une clSture alg@brique de son corps does fonotions~ on pout supposer triques de Y' : il suffit par exemple de prendre d'abord ferm~ int&gre d@fini par un point au-dessus de pour n). 0 -acyclique, pour est injectif ; si conque, pour tout faisceau ab@lien de X q ~ ] o tant sur ci-dessus , resp. pour localezent tout faisceau de groupes localement constant (~) Yo et Y Ylt normal et k(y~) al- sont des points g@om@- . Utilisant le th@or~me de changement de b a s e ~ I I 5.1) on est ramen@~pour prouver 215 2.3, & l e faire en - remplagant vet 2.3 ~o et Y' ~O' ~I par dans le cas oG ~I g@n@rique 11 - Y', y~, y~ Y , ce qui nous famine ~ prou- est normal et strictement local, et oG sont respectivement Yl XVI. son point ferm@ . D'ailleurs, utilisant morphisme de sp@cialisation (~) XII 4 Ye et son point , on volt que l'homo- s'identifie alors & l'homomorphis- me oG X I = Xy~ et oN g : Yl "-> Y et gl : XI ~ X sent les mor- phismes canoniques. Notre assertion provient alors du lemme suivant (o~ on ne suppose plus Lemme f propre) : 2.4 . Avec les notations pr41iminaires de l'h~poth~se de propret4 our f int~re, Yl de Point g@n@rique clos, et soient XI = Xy I ' 2.3 , abandonnons .... , supposons en revanche tel ~ue k(Yl) gl : XI ---> X Y normal soit s@parablement le morphism e canoniqu @. Alors l'homomorphisme (~) est bijectif pour jectif pour q = n n = 0 g F ~'9" su___r X q = 0 (ree~. bioectif pour , injectif pour (~) b~- pour tout faisceau en groupes est injectif pou T Un argument imm@diat (XV 1.6 (i) > de prouver la relation F ~ , resp. q = n+1). De plus, dane le cas localement ac~clique, , l'homomorphisme q = 0,1 gl ~I~( F ) 216 , q = I (ii)) montre %u'il suffit - et pour n ~ I 12 - XVI. , les relations suppl@mentaires Rqg I g ~ ( F ) = 0 pour Ces relations 6tant locales sur X I g q ~ n • pour la topologie @tale, et F @rant localement constant pour la topologie @tale, on peut supposer F constant, done de la forme un GX , oG G est un ensemble (resp. ind -]L-groupe, resp. un groupe ab@lien de d'autre part que l'hypoth~se que g~(Gyl) g ~ Gy X est normal implique (IX 2.14.~), et l'hypoth~se que blement clos implique que les Rqg~(Gyl) D'autre part, l'hypoth~se que g • ..) implique que la formation des de base f : X --> peut supposer L-torsion). Notons Y Y pour q 4 n k(Yl) est s@para- sont nuls pour est localement Rqg~(Gy) q ~ I 0 -acyclique (resp. commute au changemeht , compte tenu du fait que l'on affine, et qu'alors Yl appara~t comme limite projective de ses voisinages ouverts affines, qui sont quasi-compacts dans Y , de sorte qu'on peut appliquer la d@finition la th6orie du passage & la limite XV 1.11 et VII 5 • On en eonclut qu'on a bien ax~~> g1.(~x1) , ~gl (axl)=° ce qui ach~ve la d@monstration de 2.4 pour I~ q ~n et par suite de Remar~ue. La d@monstration qui pr@c&de, via 2.1 2.4 , plus simple que notre d@monstration initiale, est due & M. Lubkin. Corellair_._~e et soit 2.5 q .< n . Sous les conditions de . Alors les Hq(x~, F) J 217 2. I , supposons Y c_onnexe, , p_our les ~oints g@om@tri- - qBes Y de_e Y , 13 - AWl. sont tous isomorphes entre eux. 3. Le th@or~me de puret@ cohomologique relatif. D4finition 3.1 (Y,X) S -immersion ferm@e une . Soit S un sch4ma. On appelle i : Y ---> X S-couple lisse d_~e S -pr4sch@mas lisses, c'est-&-dire~ un diagramme commutatif de pr@sch4mas Y i ...> . \/ X S tel qua f et m@e. On notera g : U -> (Y,X) ~ns S h soient lisses et qua U = X - Y j : U ---> soit une immersion fer- X l'immsrsion ouverte, et le morphisme structural. On appelle oodimension d e en u n point xs , i y @ Y la codimension en y de la fibre Y S , o___~ s = h ( X ) La codimension est done une fonotion localement eonstante sur Y . Nous indiquerons par la phrase "(Y,X) est de codimension qua cette fonction est mGme constante, g valeur Soient (Y,X) un qu'il existe des entiers y dans X S -couple lisse et m et n , y ~ un voisinage c Y. Rappelons (SGA II 4.10) X' de , et u n morphisme @tale : X' ---> E n S = Spec O S It l, ..., tn] 218 c 14 - tels que IE m Y' = Y ~ X' - xvI. soit l'image inverse du sous-sch@ma ferm@ dgfini par les @quations S tm+ I . . . . On peut exprimer ce rgsultat lo~ie @tale~ cha~ue, standard en disant que loQa!3n~ent pour !a topq- s -couple lis se ( ~ mS ' E nS ) pour r m un locale S -couple lisse torsion localement duelles. 3.2 est isomor~he au couple n convenables, (Y,X) oG tr] on se propose de calculer les faisoeaux _~(X,F) = (Rqi!)F (V 4 et VIII 6.6) pour , & valeurs dans un faisceau ab41ien de constant Nous commengons proposition et (Y,X) = S~ec 0 S It I Dans le pr4sent num@ro, de oohomologie = tn = 0 F premier aux oaraot3ristiques par des consid4rations pr@liminaires r4siz , Soit u J > x S un diagramme c ommutatif)o~ f ouverte telle que la fibre U est lisse~ et est une immersion j soit dense dans s £ S . Soit F S un faisceau d'ensembles sur phisme oanonique f~F > pour chaque X S j~g~F = j~jXf~F est bijectif. 219 S . Alors !e m o r - - 15 - xvI. D4monstration. On se r@duit facilement au oas o~ dans X . Soit m@trique de ~ X un point g@om@trique de au-dessus de , ~ : ~--~ ~ x un point g@o- le morphisme des S dants~ et . On a, avec les notations @videntes, U X~ (f~)~ = X , est r@trocompaot localis@s stricts de ~= , S S U en des points g@om@triques correspon- H O (~x ,~ ~ ) --~ E°(~,~) ~: U ~ ~ Par suite il suffit de d@montrer que S est 0 -~cyollque, oe qui impliquera (j~g~F) x ~ Puisque ~ H°([,g~ ~ • est limite de morphismes lisses, il est looalement cyclique (XV 2.1, 1.11), et par XV 1.12 les fibres g@om@triques de sent ~/~ connexes et non-vides. Soit la fibre H°(S,F) X~, ~' il suffit de d@montrer que 0 -~cycliques, c'est-~-dire un point g@om@trique de ~ . Alors est r6guli&re, oonnexe et non vide, et il r@sulte de l'hypoth~se que U~, est un ouvert dense de X~, , d o n c connexe et non-vide~ d'o~ le r~sultat. | Corollaire 3.2.1. Sous les conditions de de la cat@g0rie des revGtements @tales de revGtements ~tales de tout groups fini G U 3.2 , le foncteur X X'F--~X'I U dans la cat@gorie des est pleinement fiddle. En particulier, pour , l'application de restrictio n est injeotiye. 220 - Cela rTsulte de 16 - XVI. 3.2 , via un argument standard que nous allons, pour la commodit@ des rSf@rences, Lemme ~.2.2. Soit f~ : f : X Et(Y) ---> Et(X) la catTgorie Et(Y) fm Y des rev@tements @tales de Y' ----> Y sch@mas~ et soit Y' I > Y'xyX Y dans de Et(X) : est fid&le (resp. pleinement lid&Is) • (ii) Pour tout revGtement f, : x' - - ~ un morphisme de le fonoteur image inverse Conditions @quivalentes (i) > expliciter en un Y' @tale Y' le morphisme dTduit de , l'applieation d_~e Y f U ~ ~ f'-1(U) la fois ouvertes et fermTes des la fois ouvertes et fermTes de Y' X' , dTsignant Pa~ par changement de base de l'ensemble des parties dans l'ensemble des parties est injective(resp, bijective). (ii bis) Avec les notations de (ii), pour tout faisoeau d'ensembles constant C sur Y' , l'application canonique H°(~',c) est injective . ~°(x,,~c) (resp. bijective). (iii) Avec les notations de (ii), l'applieation canonique r(Y,/Y) est injective ~ r(x,/x) (rest. bijective). La dTmonstration est laissTe au lecteur (cf. SGA 22t 2, IX 3.1 et 3.2). - 17 - XVI. Remar{{ues 3.2.3. O n peut consid@rablement g@n@raliser en termes de faisceaux d'ensembles, sur sur f ~ les ).2 ~ tant en affaiblissant les hypotheses qu'en termes de faisceaux de groupes avec des conclusions Rqg~(f~F) (cf. SGA 2 XIV i e t SGA I XIII ). Remarque analogue pour 3.4 & 3.6. "Rappelons" aussi le th@or~me de purer@ de Zariski - Nagata sous sa forme relative Th@or&me 3.3 : . (Th@or~me de puret@ relatif). U ....3, J Soit X S un diagramme commutatif oh f est lisse, et oQ ouverte telle que pour tout s dimension ~ 2 dzns Xs 6 S D@monstration. U X - U s est une immersion soit partout de coS X'p > X' I U de la dans la cat@gorie des rev6- est une @quivalence de cat@gories. Que le foncteur soit pleinement fiddle a @t@ vu ( 3 . 2 . 1 ) . Le fait qu'il soit ess. surjectif v a s e On se donne un revGtement @tale se prolonge en un revGtement facile au cas oG U U' @tale de X' dSduire du thSor~me olassique. U , il faut montrer qu'il de X . R@duetion imm@diate est r@trocompact dans X , puis au cas o~ est affine et de type fini sur f X . Alors le foncteur cat@gorie des rev~tements @tales de tements @tales de , j Spec ~ de type fini. 222 , X un sch@ma connexe~ S et - 18 XVI. - n = dim S proc&de par r@currence sur On (SGA 2 X 3.4) cons@quence du th@or~me classique Ayant l'unicit@, S ~ > S quitte & agrandir au-dessus desquels U = X S pour se r@duire au cas @tant fini (EGX IV 7.8.3 U , on peut supposer U' . Sinon, soient U peut se prolonger, x x et il faut prouver alors un point maxima] de X-U U' . Nous pouvons supposer que et soit B' le normalis@ de rationnelles sur le rev&temcnt g~bre finie est une A = OS~ s U ° = U @ AAo , 0 / t s'@tend g u n Spec B ~ o g au-dessus d'un voi- dim 0S~ s = n ~ < n I et . Posons dans l'anneau des fonctions U ~ done max A B' est une B-alB' x B -alg@bre du point ferm@ de , B o = B/tB Spec B ° ~ appelons- par u n rev@tement @tale conve- (ce qui est ioisible) on peut supposer B' e @tale de X compl~tement d@compos@ sur au eas o~ la As = A/tA ' la restriction du rev@tement g rev@tement Spes B o . On est ainsi ramen@ est compl~tement d@compos@o en dehors o Spec B o . Alors les hypotheses de X V 3.3 sent satisfaites~ d'oG le rSsultat. Corollaire 3.4 • N@mes hypoth&ses que dens (RIj~)~.~-~ ~ = 0 pour cheque faisceau F 223 • B de . Quitte g remplaoer d'un voisinage de Spec B ~ o s = f(x) (loc.cit.). I1 suffit @videmmeht de d@montrer que Par hypoth~se de r@currenee, nable , et B -alg~bre @tale. Soient le U' (et donc (iii) (vi)). De plus~ que le th@or~me est d@j& d@montr@ pour la dimension B = OX, x S maximal parmi les ouverts Tout revient g prouver qu'on peut prolonger sinage de dens le oas n = 0 • on peut appliquer la technique de descente de SGA IX 4.7 au normalis~ X) normal (S , l'assertion @tant 3.3 . Alors on a de groupes ind-finis sur S - 19 - XVI. R@duction comme d'habitude au cas fini, et F construotible. Soit 0 -~ faisceaux de groupes ind-finis sur de 3.2 que le foncteur j~g~ S noeth@rien, F S ~ , et est exact ,donc (RIj~)g~F ~ jectif. On peut donc remplacer par par IX 2.14 et VIII 5.5 au eas o~ un groupe fini ordinaire G o Soit X X en le localis@ strict de sulte de 3o) que G x ~ . I1 r@sulte que 3~g G---~ 3~g C (R I"~ ) g G est in- , et on se ram&ne ainsi F = G x de type une injection de C = G/F est surjectif, donc (XII 3.1) que F G f est constant, & valeur un point g@omgtrique de et ~ ~ ~XxU X~ . Alors il r g - l'on a et ce dernier est nul, d'oh le r@sultat. Lemme 3.5 • (Lemme d'Abhyankar relatif). Soit lisse de codimension I, tel que t = 0 dans X . Soient galoisien d'ordre Posons Alors n u__nn S -couple soit d@fini par une @quatiqn U = X-Y et V/U un rev@tement principal Premier aux caraet@ristiques r@siduelles de X ' = S~e9 OX [ Z ~ / ( z n - t ) te rev@tement Y (Y~X) V' , U ' = U XxX' , Y • V' = V XxX' s ' @ t e n d u n i q u e , m e n t & u n r e v @ t e m e n t @ t a l e de X' D@monstration. R@duction imm4diate au cas fini sur affines et de type Spec 2Z . L'unicit@ est un cas particulier de allons d@duire l'existence de trique de Soient S,X,Y S ~ ~ ~ et ~ > XV 1.12 : soient un point g@om@trique de ~ Y ~ 3.2.1 . Nous un point g@om@- au-dessus de le morphisme des localis@s stricts oorrespon- 224 - dants induit par f t e n u de l ' u n i c i t @ , , il - XVI U = U x~ suffit tend en un rev~tement , etc ... Par descente, 4 v i d e m m e n t de d @ m o n t r e r que @tale de n'admet pas de rev~tement vial de 20 X' , c'est-&-dire non-trivial) que ~' cempte V' (puisque s'4X' est un rev~tement tri- U' Soit Um = Spec O ~ ~ = ~ , o~ t 1/m m paroourt l'ensem- m ble des entiers Alors ~/~ G = ~ m premiers ~ la caract@ristique est un "rev~tement Z~/m~ r4siduelle de X" galoisien infini" de groupe ab@lien , et on voit imm@diatement qu'il suffit de d@montrer m que ~ est l-asph~rique pour l'ensemble pl4mentaire g la caract4ristique Consid@rons le morphisme (ii)). D'apr~s les fibres g@om4triques Soit est ~ limite des fibres aux car° r @ s , ~ i n d u i t par on se r@duit au cas tel revgtement r@gulier, et ~/~ de m = I U- W = Us . Or S de S il galoisien d'un trivial (qui est ~'- = Z S suffit encore est . , d'ordre premier U~ . En r e m p l a g a n t lisse au-dessus am = U . Soit u n sch@ma s t r i c t e m e n t compl@mentaire ~-S de d @ m o n t r e r que (~m) ~ de , e'est-k-dire, ~ La fibre g@om@trique • . Par suite est l'ouvert r@gulier de codimension . Ii est limite de mor- sont l-asph@rique pour un ~vgtement "Xm = Spe O O ~ ~ l / m ~ S X XV 1.12 , il suffit de d@montrer que (Um) ~ principal de l-asph4rique pour un point g@om@trique ehaque revgtement X de r@siduelle f : ~ --~ phismes lisses, donc iocalement (XV 2.1, 1.11 ]L ~ ~ com- de V ~), un local ~ un sous-ensemble I. On peut dono appliquer le lemme d'Abhyankar sous sa forme usuelle(SGAl X 3.6) pour oonclure que 225 V induit un re- - v~tement pour m Vm sur Wm oonvenable. W - XVI. qui s'@tend en un revGtement F~is Z s'ensuit que ce rev~tement trivial de 21 donc Zm 4tale de @tant strictement est trivial, donc V m Zm local~ , il est un rev6tement , c.q.f.d. m Remar%ue 3.5.1. Lorsqu'on ne suppose pas l'ordre aux earaot@ristiques oeoi : soit m r@siduelles de ohaque point r@siduelles de X n de G premier , on peut encore prouver le plus grand entier premier aux caract@ristiques Y s ~ qui divise l'ordre de S ~ le rev~tement les points maximaux de Y G Vs ~ et supposons que pott~ de Us = Xs - Ys , des groupes d'inertie ait~ en d'ordres premiers s aux caraot@ristiques r@siduelles de Y . Alors la conclusion reste valable en prenant X' = Spee O x [z] /(zm-t) prendre pour m , plus g@n@ralement~ un multiple Corollaire r@siduelles 3.6 • (Purer@ cohomologique S -couple lisse de codimension grouPes constructible et localement miers aux caract@ristiques commun quelconque tions de 3.1 d'ensembles , (RIj~)j~F point@s ~ d@signe le quotient de Fy en dimension constant de est iocalement i (Fy/int(Fy)) suppos@s oorrespondantes. I, et soit r4siduelles F sur X (Y~X) un faisceau de X , d'ordres pr e - . Alors avec les nota- isomorphe , o_~ I). Soit comme faisceau ' Fy = F I Y e t oh Fy/int(Fy) par les op@rations de Fy sur lui-mGme par automorphismes int@rieurs. Remarque. L'isomorphisme du oorofLl~ire 226 3.5 . On peu% aussi des ordres des groupes d'inertie qu'on vient d'envisager~ premiers aux caract@ristiques de 3.6 n'est pas canonique. 22 - - XVI. D@monstration. On se ram~ne imm@diatement au cas connexe. Puisque l'assertion est locale sur @tale~ nous pouvons supposer que F leur un groupe fini ordinaire d'ordre ristiques r@siduelles de Soit U = X - Yet X G ~ (2Z/m ~ ) X noeth@rien et pour la topologie est un faisoeau constant~ & vam premier aux caract@- , et de plus que U' = Spe¢ 0 U It l/m] principal galoisien "essentiel" de ~mX X X U ~mX ~ (Z/m~)x , qui est u n ~ v @ t e m e n t de gr~upe ~/m ~ puisque . Lee rev@tements principaux de groupe qui sont trivialisSs sur H = Hom (Zg/m ~ ) G) U' G sont classifi@s localement sur mod Jut(G) " de Y U par , qui est un ensemble point@ iso- morphe & l'ensemble sous-jacent de O/int(G) morphisme du faisceau constant sur Hy Y . On obtient ainsi un dans (RJj~)G U , et il suffit de d@montrer qu'il est bijectif~ ce qui r@sulte imm@diatement de 3-5 • Th@or~me ~.7 (Purer@ cohomologique). • lisse de codimension c > O . Soit F Soit (Y,X) u~n S -couple tun faisceau ab@lien sur X looalement isomorphe (pour la topologie @tale) & u,n faisceau de la forme f~(d) , oG G est un faiseeau de torsion sur aux caract@ristiques r@siduelles (par exemple F S , premier un faisceau loca- lement 9£nstant de groupes finis d'ordres premiers aux caract@ristiques r@siduelles de X). Alors,avec les notations de ~(x,F) = (R~i~)F=O F J:~J~F i ~A ~ / e o [(:~qj~)j~"=o s~ q ~ o 227 3.1 , on a , , 2o-1 , - 23 - XVI. et est u n ~ i s c e a u iocalement isomorphe & i~(F) D@monstration. L'assertion est locale sur X pour la topologie @- tale ; on peut donc (*)supposer F constant, donc si on veut F ~ f~( ZZ/n 2Z )S pour le faisceau constant Traitons d'abord le cas dans le cas F diatement de ions que sur S (L'assertion pour ( R 1 j ~ ) j ~ , localement constant tout au moins, r@sulterait imm43.6 , mais nous allons le d@duire de nouveau.) Rappe- (Y,X) est localement isomorphe au couple et si l'on remplace S par SI = S~ec 0 s It] X=~ c = I (Z /n Z~ )S n-1 ]E S et o~ Y (IE~ -I, IE~) , ~ on se ram~ne au cas o~ est la section t = 0 de X/S La situation est localement isomorphe ~ l'inclusion de la section l'infini dans l'espace projectif SI X=IP , Y IP SI . On peut donc prendre U = ]E S1 la section ~ l'infini, et = X-Y Examinons la suite spectrale de Leray (RPf)(Rqj~)( =/n) "°~(RP+%%)( ~ /n) Or l'aboutissement est nul pour plus, les Rqj~ sont concentr@s sur isomorphiquement sur en vertu de et que p+q > 0 S par f ~Pf j~(F I U) = ~ P f q > 0 (RPf)(Rqj~) d@termine le faisceau (F) si , st d'autre part 3.2 . I1 s'ensuit que f (Rqj~) Y , d'apr&s (Rqj~) = 0 si XV 2.2 . De , qui s'envoie j~(F iU ) ~ si %> pet 0 F q > 0 , , enfin • La suite spectrale se r@duit doric ~ des (*) Du moins si F @tait suppos@ localement constant. Le lecteur se convaincra que la d~monstration qui suit s'applique aussi, essentiellement au casg@n~ral. 228 - 24 - XVI. isomorphismes f (Rqj~)(F iN ) Mais si (Rqf)(F) q ~ 0~2 q = 2 (Rq+If)(F) , etest si phe & q = I Le cas (Y,X) q> si c > I un q / I XII 5.2 et S -couple lisse de codimension X de S , de sorte qu'on ait un diagramme commutatif y u \/ " Y Z et qui est lisse au-dessus Z X oh chaque couple est tun . I1 est ~ on peut trouver un sous-sch4ma de codimension I qui contient , S -couple lisse (on devrait appeler S-triple lisse), oG la codimension de est si IX 4.7 • Dons c > I X (Y,Z) G , ~t est un faisceau looalement isomor- de de • se traite maintenant facilement par r@currence : clair que~ localement sur un 0 un faisceau localement isomorphe ~ , comme il r4sulte ais@ment de iX(F) si se calcule fibre par fibre (XiI 5.2)~ doric est nul (Rqj~)(F I U) = 0 soit N) (Z,X) (Y,Z~X) est I, et celle c-I Or on a la suite spectrale de foncteurs compos@s (RPui)(R%~)F Par hypoth~se de r4ourrence~ ment isomorphe ~ v~(F) r@currence, appliqu@e si (R~Lv!)F = 0 q = 2 (Rq%r!)F si q / 2 et est ?.ocale.-. , d'ofl encore par hypoth~se de ~ que 229 (RPu!)(R~g!)F est nul si - 25 - XVI. (p,,~) / (20-2,2) etest (p,q) , d'oG imm@diatement = (20-2,2) looalement isomorphe & u~w~(F) le r@sultat pour si (RP+qi!)F o.q.f.d. Corollaire C be ~ X ~.8 , Soient (Y~X) un S -couple lisse de oodimension. un entier naturel premier aux caract4ristiques ~l r@siduelles ~ et posons qui est un faisceau sur @tale ) au faisceau (~/n~)y ab@lien sur c4e dans X 3.7 Y localement , annul@ par en vertu de (3°7). n , satisfaisant • Alors on a (pour m@moire) et de p!u ~ on a un isomorphisme 20 y(F) ~ D@monstration. isomorphe eanonique (pour la topolog.ie Soit F tun faisoeau & la condition 4 n o n - ~(F) = 0 .~our. i / 2c : i'(F)@ %/x On d@finit ais@ment un homomorphisme oanonique 20 i.e. un homomorphisme i~(F) en utilisant ....~ ~o~ l'homomorphisme reste & prouver que ~ (~20~(~/~), ~2~(F) canonique est un isomorphisme, ment en suivant la dgmonstration C~rollaire 3.8.1. F donn@e de Sous les conditions de 3.8, 230 => ) , Hqm.(~/n~,F) ~ Ii ce qu'on vgrifie ais4).7 • la formation des , - 26 H~(F) XVI. - 9.0minute ~ t o u t changement de b a s e S' ......>..... $ C'est clair° Corollaire X un 3.9 • (Th6or&me de puret@ cohomologique absolue). Soient sch6ma r6~alier, oodimension e Y un sous-pr6sch6ma ferm6 r @ ~ l i e r en ehaque point. Supposons de plus Rue oalement de t~pe fini sur un cgrps parfait premier aux oaraot@ristiques r@siduelles de [~(s/~z) __ et k X soit io- . Alors~ si X de n es__~_t ~ on a s_i i~ 20 =o H 2 y(Z~/n~ c~ ) est un faisceau s ~ Y localement isomorphe (po~r la topo!ogie @tale) au faisoeau constant C'est un oas particulier de implique que Remarques X et Y 3.7 , oompte tenu qua l'hypoth~se sent lisses sur k 3.10. a) On pent dgns 3.8 explioiter la struoture du feisoeau on trouve qu'il sst canoniquement isomorphe eu faisoeau Qu ~n (~ Ty/X , n)/"° d@signe le faisoeau des racines n.~mes de l'unit@ (]ocale- ment isomorphe au faiseeau constant 2~/n~). L'isomorphisme en ques- tion est @tudi@ sous le nom de classe fondame~tale locale de Y dans X, dans la situation un peu plus g~n6rale des intersections compl~tes relatives, dans Exp. XVIII consacr4 A la dualit6. 231 , - 27 - XVI. b) II est tr~s plausible que les conclusions de 3.10 base 3.9 et de a) restent valables sans postuler l'existence d'un corps de k ~ tout au moins lor~que X est un pr@sch~ma "excellent". C'est ce qui sera @tabli en tous cas dans Exp. XIX lorsque X est de caract@ristique nulle, en utilisant la r@solution des singularit@s de Hironaka. Comme nous verrons dans SGA "th@or&me de puret@ absolu" 5 on a besoin do (ainsi que de la r@solution des singula- tit@s) notamment pour pouvoir @tablir la "formule de dualit@ locale", (qui elle-m@me est un des ingr@dients majeurs de la formule de LEFSC~KETZ-VERDIER). 4. Th@or6me de comparaison de la cohomologie pour les pr@sch@mas alg6briques sur Soit X C un sch6ma alg6brique sur comparer les sites 6tale et classique sur les notations de me g@n@rale de Th6or6me 4.! Spec C X . Nous allons ~ et no~s reprenons XI 4 • Le th@or~me de comparaison~ qui est la forXI 4.4 , est le suivant . Soit f : X --~ S un morphisme de type fini de sch@mas localement de type fini sur Spec C diagramme commutatif de morphismes de sites 232 , de sorte qu'o n a un - 28 Soit F Xet ( Set < XVI. - ¢ Xcl ...... Sol un faisceau d'ensembles (resp. de groupes ind-finis, resp. ab@lien de torsion) et supposons qu'on soit dans l'un des cas sUivants : (i) f (ii) F propre , constructible. Alors les morphismes de changement de base sont bi~eotifs pour q q = 0 (respo pour XII 4.1.2 q = 0,1 , resp. pour >.o). Remarquons que le th@or~me de Grauert-Remmert que n o u s avions utilis@ clans la d @ m o n s t r a t i o n de oas partieulier de (m) (~) (XI 4.5 ~ (iii)) 4.4 , est un 4.1 En fait~ nous utilisons l'homomorphisme de changement de base sous des conditions plus g@n@rales que oelles envisag@es dans Exp. XII~ o~ nous nous @tions limit@s & un cart6 cart@sien de morphismes de ~r6sch@mas. Le leoteur se oonvainora ais6ment que la d@finition s'@tend verbatim ~ tin cart@ essentiellement commntatif de morphismes de sites. Pour plus de d@veloppements ~ ce sujet, voir expos@ suivant. 233 - 29 Pour la d@monstration, Dans ce cas t le r@sultat - XVI. nous traitons d'abord l e c a s sera cons@quence f propre. de GAGA et du th@or~me de ohangement de base pour un morphisme l@mentaire qui aurait pu figurer dans Exp. XIV. Pour traiter l e c a s g@n@ral, nous utilisoroms propre~ par un raisonnement de plus la r~solution des singularit@s 6- ~] et 3.7. On peut @videmment sur ¢ Cas f propre. (a) L'espaoe (b) Si topologique S dans un off f ~n . Pour F ,donc aussi est localement X ,de type fini est propre, alors (b) fcl : Xcl --~ est une Xcl est un form@ on se ram&he par 16 lemme de Chow au oas cecas fet Scl topologiques. @tant trivial. un faisceau d'ensembles los deux morphismes suivants compact. (a) est trivial puisque localement est projeotif~ Bolt Xcl propre d'espaces En effet~ Y Nous rappelons los faits @l@mentaires f : X application supposer et fel (resp . . . . ) sur ~ la formation des ta formation des fibres (XIt 5 . 2 e t [2~ de v@rifier le th~or~me fibre par fibre, Xet Rq o Pour commute 4 . 1 1 . I ) . I1 s u f f i t donc en les points ferm6s de Set Dans le lemme suivant, nous ne supposons pas que 234 g soit propre: - Lemme 30 - XVI. 4,2 . Sol_._.! X h . _ \/ S un diagramme cemmutatif avec X tel que sur F U h j =" U un faisceau d'ensembles U 4galement pour D@monstration. propre, et soit induise un isomorphisme . Soient induit sur h . Sile ~ X et de l'ouvert ~ : U (resp . . . . ) sur th@or~me 4-~ U ~ U un ouvert de ~ = U X~ X d~e los inclusions, , e_}_t F le faisceau est vrai pour (g,~!F) il l'est (g,j~F) Le th@or~me est vrai pour (h,~! ~) paroe qu'on est ramen@ & le v@rifier fibre par fibre, et on a alors los deux cas suivants : ou bien la restriction ou bien le morphisme r@sultat h du faisceau & la fibre est nulle, est un isomorphisme. Dans ces deux cas, le est trivial. On 9rouve que ~F J! ~ -- ~ ~het ~ (~ !~ ) -~- hol x ~(j, ~ ~. ) et (Rqhet~)~!~ = (Rqfo]x) s ~ ( ~ ! F ) pour les valeurs de q envisagges, donc que et 235 : 0 si q>O 31 - d~o~ 4.2 Lemme avec - XVI. . 4-Z f . Pour v @ r i f i e r 4.1 propre ~ il suffit que de plus f pour t o u t e s de le faire est de d i m e n s i o n dane relative l e s donn@es (f,F) le cas oh on suppose g I et S = Spec ¢ es_t un point. D@monstration. r@sultat Rgourrence sur la d i m e n s i o n c o n n u en d i m e n s i o n relative < n noUs pouvons faire fibre, nous pouvons supposer un point~ et donc poser r@duit. n'est X constante ouvert dense X de d i m e n s i o n 8oient sur a u c u n de X ~ ~ rence du graphe du morphisme gramme que est d4fini, ~ : U ....> ~ ~ par est sur de et I . Comme nous p o u v o n s rationnelle irr4ductible le fibre S = Spec . De plus, une f o n c t i o n sur lequel n > I la v 4 r i f i c a t i o n 4 n composant Supposons , et que nouslIavonsremarqu@, c'est-&-dire, relative. X X supqui X , U un C Xx~ I l'adh@- . On a un d i a - commutatif Y = Spec o~ les d i m e n s i o n s relatives se de r @ o u r r e n o e , le th~or~me d'oG on conclut trivial pour qu'il q = 0 de l'est ~ si a et est vrai @galement ~ b pour pour est a b @ l i e n ).36 sont < n • Par l ' b j p o t h ~ - (a,.) (g~.) et (b,.) . E n effet~ de t o r s i o n sur X c'est ~ oela - 32 - XVl. r@sulte du morphisme de suites ~pectrales de Leray ~(RPhet~) (Rqae~)F si enfin F ........>. ~(RP~qge%~ )F est un faisceau de groupes ind-finis sur que puisque 6a(R1ge~). ~ , notons est un foneteur effagable , il suffit de d4montrer (compte tenu du r@sultat pour q = 0), que (R1gcl~) e ~ est @galement effagable (cf. XII 8.2), ce qui r@sulte de la suite exaete 0 ~ (R1bcl~)aol ~ e~F et du fait que (R1~ol~) c ~ (R1bcl~) s ~- et ---> bo1~R1~ol~) c ~ (R1ael~) ~ , sent effagables grgce l'hypoth&se de r4ourrence. Soit maintenant F ~ F het her F = G un faisceau d'ensembles sur r---> O ~ on se famine (pour q = O) ~ d4montrer un faisceau de la forme CnFC het ~ , 4.1 est de dimension relative < n F pour O , done pour . M a i s pour un tel faisceau, le r~- sultat sera cons@quence du th@or&me pour Soit . On a . Par la suite exacte (4.3.1) h X (g,.) et pour (h,.) , et , comme on voit imm@diatement. un faisceau ab@lien de torsion cur X . On a la suite exacte (~) Puisque 0 ~ U j!j~F ~ est dense dans F ~ X i i~F ~ , on a 237 0 dim Y ~< n , done 4.1 est - vrai pour (g i Y' i~F) 33 XVI • - ,donc (g, i i~F) pour 4.1 gr&ce au lemme des cinq, de v@rifier rgsulte du th@or&me pour Soit F g j!j~F F Lemme (R1gcl~)~ ~ , ce qui r@sulte de i i~F (g,i i ~ ) , i.e. Spec ~ (~) , e_~t F . Ii suffit (g,j!j~F) (4.2) c.q.fod. (4.1) dans le cas o~ X X et de l'effagabilit@ pour (hypoth~se de r@currence), ~.4 . Pour d@montrer , oe qui est effagable pour le du th@or~me pour suffit de d4montrer ceci : soit sur (f,j!j~F) un faisceau de groupes ind-finis sur et pour et pour pour (4.2). de d@montrer que le feneteur faisceau . Ii suffit done, f est propre, il une courbe compl~te r@guli~re ' un faisceau constant et oonstructible bles (resp . . . . ) sur X d'ensem- . Alors les morphismes Hq(Xet,F ) -----> Hq(xoI,F ) sent bi~ectif s pour les valeurs de D@monstration. q envisag@es. ~aisqu'il suffit de v@rifier le th@or6me fibre par fibre, on est ramen@ par 4-3 au cas X prepre et de dimension g I. Le cas de dimension 0 est d'ailleurs trivial~ et il r@sulte de eela que le th@or6me est vrai pour un morphisme fini. Puisque pre, la cehemologie de tires (VII 3.] et eonstruotible 4.3.1 et de Xcl est pro- commute aux limites indue- [2] , 4.12.1) et on est done ramen@ au cas F (IX 2.9 (iii)). On applique exaete Xet f et IX 2.14 . Pour un faisoeau d'ensembles, IX 2.14 montrent qu'on peu~ prendre 238 la suite F = ~ C - o~ ~ : X' ~ X 34 - XVI. est fini, X' est normal, est un faisceau constant sur X' . Pour un faisceau ab61ien de tor- sion, on prend une r6solution de ceaux de la forme solution, ~ C F on rappells 9abilit6 de c~ cas ~ C maintenant F = F ~ C . Pour un ~ i s c e a u qu,il suffit de dSmontrer l'effa- pour le faisceau dans lequel on peut plonger F = ,dono F ,donc X par X' pour un ~ i s c e a u on est encore r6duit au . Or il est @vident par (VIII 5-5 remplacer et 5.8) qu'on peut , d'oG le lemme. Pour traiter ce dernier eas, il suffit 6videmment de la dimension cohomologique que pour une courbe complete (q = O) ~ (q = I) : X (IX 7.7 et [2~ de changement catSgorie des rev~tements On a un ±somorphisme de m@me, notant bles de ~ de d@montrer de base induit une @quivalence @tales de X @tales analytiques c : H2(Xet,~n ) Or les deux premieres assertions r@sultent GAGA. Pour la derni~re, 4.14.1)) ( ) Xol connexe et non-vide. de la cat@gorie des rev@tements (q = 2) : (tenant cempte et r@guli~re on a connexe et non-vide Le morphisme C et on applique la suite spectrale d'une r6- de groupes ind-finis~ G et par des produits finis de fais~ et on ss r6duit encore au cas (R1gcl~) donc r6gulier, notons qu'on a -~ et de la finis de H2(XoI~) immSdiatement H2(Xet,% ) = 0 inversi- (cela r6sulte de la suite sxacte 239 de (IX 4.5) et le faiseeau des fonotions ho!omorphes Xcl , H 2 (Xcl ,@~) = 0 Xci. - 0 et du fait que > 35 - 2Z --~ XVI. ~ exp ~. ~m ~ 0 H2(Xcl,~) = H2(%et,~X ) = 0 p~r GAGA). Par suite la suite exacte de Kummer IX 3.2 (resp. la suite exacte sur Xcl donne H1(Xet,Gm)/n ~ > H 2 ( X e t , ~ n ) (resp. H 1 ( X c l , ~ ) / n ~H2(Xcl , ~n > . D'apr~s GAGA, le morphisme canonique H1(Xet,Gm) = Pic X ~ Pic Xcl 4.1 est bijectif, d'oh le r@sultat, ce qui prouve f dans le eas oa est propre. Cas F constructible. La d@monstr~tion se fait par r@currence sur dim X . Supposons le r~sultat connu si la dimension est < n prouvons-le quand la dimension de Lemme 4.5 . On peut supposer dense et F X f : X est > 4 S X et S affines~ dono que le raisonnement de ~: X' > n une immersion ouverte constant~ D4monstration. Comme dans la d@monstration de supposer ~ et X fini, e% 4.4 C f pour se 1.3~ on peut en effe~ quasi-projectif. Alors on appliramener au cas F = ~ C constant, d'o~ en rempla~ant 240 X par X' , - aU F GaS 36 - XVI. constant. O n peut remplacer x X par Xre d . Soit h,, ~, Z S un diagramme commutatif tel que jectif, et que h X soit r@duit, que donc pour soit pro- soit une immersion ouverte dense. I1 suffit de v@rifier le th~or~me pour les deux morphismes 4.3), ~ h puisque ~ h , f (cf. d~m. de est propre, donc pour une immer- sign ouverte dense. Lemme 4.6 • On peut de plus supposer D@monstration. de S" que Soit S' h ~ S S' soit r@gulier, une "r@solution des singularit6s f! f le diagramme cart@sien dSduit de Soit ~ v@rifier F 4.1 de la forme ~ S' ) S h un faisceau d'ensembles constant sur G = h' h ' ~ pour h' F' e t on e n d@duit q u ' i l G ~ oh tel et soit X c r@6~ulier. , i.e., un morphisme surjectif, propre et birationnel, X' F S (cf. F' 4.3.1) suffit X' . On a (pour , c'est-&-dire, eBt constant sur 241 X q = O) de pour u n f aisceau . Or on a un - 37 - XVI. diagramme oommutatif (off on supprime le symbole "et") ~f (h '~') = et a , o f' ~ F' ~ b hel ~ c m f F' sent bijectifs d'apr~s le rgsultat pour un morphisme propre. Pour dgmontrer que que a' ~ d est bijectif, il suffit de d~montrer l'est, done que s~f'~ ~'~ donc on est ramen@ au cas f'cl~ S = S' , done S r~gulier. (Remarque : Nous avons utilis6 sans le mentionner explioitement le th~or~me de finitude pour un morphisme propre Soit F XIV 1.1) • un faisceau ab~lien constant de torsion sur suffit de traiter le cas F ~ ( ~/n)x . Or le morphisme duit tun isomorphisme au-dessus d'un ouvert dense X ; soient j' : U' On a dim Y < n pour (f,(~/n)y) 0 ~ ~ X' parce que l'ouvert U h'-1(U) j : U ~ ~ U X . I1 h' inX de , et Y = X-U . est dense, done le th@or~me est vrai , Par la suite exaote j!( ~ / n ) u ~ ( ~/n)x ~ ( ~In)y--~ 0 et le lemme des cinq, on se ram&he & d@montrer le thgor&me pour le faiseeau j!( ~ / n ) u et le morphisme f trer le th@or~me pour (hf', j ' ! ( m / n ) u , ) 242 , doric par 4.2 & dfimon- . Or on a une suite exacte - 0 ~ 38 j ' l ( ~ / n ) u , ---) - XVl. ( ~Z/n)x, -=--> ( ~ / n ) y , -=~ et le th@er~me est vrai pour (hf', ( ~ / n ) y , ) 0 , par l'hypoth~se de r4currence. I1 suffit donc de d@montrer le th@or~me pour (hf' , l/n)X,). Mais par le cas propre, le th@or~me est vrai pour (ha.) ~ et il s'ensuit, par la suite spestrale de Leray pour le couple de morphismes (f', ~ / n ) h , f' , qu'il suffit de le d4montrer pour , d'oG le lemme dans ce cas. Supposons enfin que F soit un faisceau de groupes finis cons- tant. Rappelons qu'il suffit de d@montrer que le foncteur ( R 1 f c l ~ ) ~ ( . ) est effagable pour ger F , donc pour de la forme h' F' F , donc pour un G = h' h'~F o2 F' G dans lequel on peut plon- , c'est-~-dire pour un faisceau est constant sur X' . On a et 0 ---> (Rlfol~)h'ct ~(. ) ~ (Rlfclh'cl~)c~(.)=(Rlholf'ot.~)~(.), dons il suffit de d~montrer l'effa~abilit@ de ce dernier foncteur pour un faisceau constant° Mais on a la suite exacte o (R hcle'cl ) et ~ premier membre est effagable , disons effac@ par la r4solution de Godement (XII 3.3), parse que h est propre. I1 suffit dons de d6montrer que le membre de droite est effac4 par la r@solution de Godement, dons que vrai pour (f', F') (R1f'cl ~) e~(.) o~ F' l'est, dons que le th@or~me est est constant, d'o~ le lemme. 243 - 39 - XVI. Fin de la d@monstration. Nous supposons mainter~%nt que faisceau constant et que f : X ~> dense, avec Le cas ensembliste r~sulte S r@gulier. 3.2 S imm@diatement de gie classique - en effet, on e n ~ d u i t X = S-Y q > 0 avec et du lemme trivial analogue que ~f~ Y r4gulier, i.e. la structure induite r@duite, On a pour la topolo- et fcl~ g~F sont 9ar au cas off X = S-C 1 (Y,S) , oG est un C1 Cv , avec structure - Yv dim C ~ +I < dim C Spec est muni de et d@finissons r4cursivement = l'ouvert dense des points r@guliers de C v +I = maintenant , on va d'abord se r4duire au cas oG de plus couple lisse. En effet, @crivons Y~ est un est une immersion euverte constants de m~me valeur, donc isomorphes Pour F parce que Y~ C~ induite r@duite. est dense dans C~ , d'oG une suite X = XI C X2 o~ les inclusions = S-C 2 C - X 3 = S-C 3 iV : X~ > X9+I C ... CX r --S , sont des immersions ouver- tes et oh l'on a X~ = X~+I - Yv Or l'image directe tante (3.2), et lee les vari4t4s de leurs de q Y ~ F Rqi~ , Y~ ferm@ dane , et r4gulier. d'un faisceau oons~ant sur F et concentr4s sont constructibles de dimension ~ n-1 envisag@es. X~+I est conssur (3.4, 3.6, 3.7) pour les va- Donc par l'hypoth~se de r@currence suite spectrale de Leray (resp. la suite exacte 244 X et la XII 3.2), on se r4- - duit au cas de i~ 4O - , d'oG la r@duction annono@e. ~ais pour un couple lisse la valour des (Rqf)F (Y,S) on a oalcul@ explicitement pour la topologie un calcul analogue et facile, los r~sultats XV~. f (3-4, 3.6, 3.7), et que nous laissons au lecteur, analogues pour la topologie le th@or~me pour @tale classique. On en d@duit par une comparaison directe. 5- Le th@or~me de finitude pour les pr@sch@mas alg@briques t@ristique 5.1 f : X--~ S • Soient k un corps de caract@ristique un morphisme de type fini de type fini sur k F . Soit Rqf F sont @~alement un faisceau oonstructible , resp. pour tout On met l'hypoth&se qu'on v a s e que constructibles k ankar pour X . Alors (resp. pour soit de caraot@ristique des singularit@s pourvu %ue . On peut done d@duire un r@sultat dim X 4 2 0 parce pour la caract@ristique l'on admet la r@solution des singularit4s, p d'ensembles sur_r q = 0 de q). La d@monstration vaut @galement ristique / 0 ~our servir du th@or&me de r@solution dres premiers ~ z4ro, e t soh@mas looalement (resP. de groupes finis, resp. ab@lien de torsion) q = 0,1 en oarac- z@ro. Th@or~me les donne ~ en appliquant [ 3 ] • Un autre ingr@dient 245 p > 0 F • si soit d'or-- en caraot@- los r@sultats de la d@monstration, ~] d'Abhy- en plus du 41 - sempiternelth, de ch&ngement - XVI. de base pour un morphisme propre, est le "th@or6me de puret@ eohomologique Rappelons absolu" 3.9 • que le th@or~me est d@j& d@montr@ pour un morphisme propre et pour S arbitraire (XIV 1.1). D'ailleurs on obtiendra dans Expos@ XIX (encore en car. O) le th@or&me de finitude hypotheses beaueoup plus faibles que et que f S soit un sous les sch@ma excellent soit de type fini, en prouvant pour de tels sch@mas le th@or~me de purer@ absolu sous la forme signal@e d~ns 3.10. Dans le cas de caract@ristique sion ~ 3 de k sch@ma de dimen- ~ on n'a pour l'instant que la cons@quenoe XI 3.3 Th@or&me ~ 0 ~t d'un facile : 5.2 • Soit X un ..... un corps s@parablement sch@ma al~@brique clos, et soit F lisse sur Speck et d'ordres premiers & la cara ot@ristique est un groupe fini q = 0,t D@monstration k . Alors Hq(X,F) (resp. un ensemble point@ fini) pour tout 5.2 • On peut supposer (VIII 1.1). R@currenco sur n = dim X il existe un hyper-recouvrement de sont des "bons voisinages". speotrale de constant, q (resp. ). de k alg@briquement : D'apr&s XI 3.3 , au cas oh X et par la suite est donc admet une fibration @l@mentaire 246 olos par des ouverts qui On se r@duit imm~diatement, d'un hyper-reoouvreme~t un bon voisinage~ X , un faisceau de groupes ab@liens finis (resp. de groupes finis) qui est loealement ~our suivante (XI 3.1) - 42 x - J XVI. ~ S D'apr@s (3.2, 3.6, 3.7), le faiscsau sur , X (RIj~)F (Rqj~)F = 0 si j F est localement constant est Iccalement constant sur q > 0 Y = X-X . Par suite il r@sults de 2.1 (RP~)(Rqj~)F est un faisceau localement constant sur valeurs de envisag@es, q , et que S pour les st le r@sultat r@sulte de l'hypoth&se de r4currence et de la suite spectrale de Leray (resp. de la suite exacts XII 3.2) • La d@monstration de pour le cas F 5.1 : R@currence au cas S et 4.1 oonstructible. Nous nous bornerons ~ indiquer les grandes lignes X est tr@s voisine de cells de sur affines, donc la m@thode de ~ d @ m o n s t r a ~ i o n de dim X = n f . On se r@duit d'abord quasi-projectif, en appliquant 1.3 • Ensuite on applique et (VIII 5.5 et 5.8) pour se ramener au cas F IX 2o15 constant. On a un diagramme commutatif \ S o~ h est une immersion ouverte dense et o~ th@or&me est vrai pour le th4or~me pour (h,F) ~ est propre, donc le (XIV 1.1). Ii suffit ainsi de d@montrer , c'est-g-dire pour une immersion ouverte 247 - 43 - xvI. h : S' dense et u n faisceau constant. Soit des singularit@s de S f' S une r@solution et h ! X ~ S < ..... X' h S' le diagramme cart@sien d@duit de th@or~me pour ....>. ,donc h . On se famine & d@montmer le au cas oG de plus S = S' est r@gulier. Par la m@thode de r@currence employ@e dans la fin de la d@monstration de i.e. 4.1 oG , on se r4duit au cas oG (Y,S) (3.2, 3.4, 3.6, Remar%ue Y = S-X est non-singulier, est un couple lisse, et on termine en appliquant 3.7). 5.3 • La d@monstration de 5.1 qu'on vient d'esquisser est @galement valable lorsqu'on se donne u n anneau noeth@rien gauche, annul@ par un entier n > 0 A (qu'il faut supposer premier la caract@ristique si celle-ei n'est pas suppos@e nuile, of. remarques suivant 5.1) , et ~ u ' o n consid~re des faisoeaux de A -mo- dules ~ gauche eonstruetibles. REFERENCES • Hironaka~ H. ]Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero, Annals of Math., vol. 79 (1964), p. 109. 248 - [2] 3] Godement~ P. Abhyankar, S. 44 - XVI Th~orie des Faisceaux , Paris, 1958 Local uniformization on algebraic surfaces over ground fields of characteristic p / O , Ann. of Ma%b., vol. 63 (1956), p. 491 - 4] J.P. Serre, G~om~trle Alg4brlque et C~om~trle Analy tique, Annales Inst. Fourier 1956, p. 1-42 (Cit~ GAGA). 249